r r Razón Aritmética Constante

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1 TRILCE Cpítulo 0 SERIES Y SUMATORIAS DEFINICIÓN : U sere es l dó dd de los térmos de u suesó umér y l resultdo de dh dó se le llm sum o vlor de l sere. De uerdo o esto, s l suesó umér es : ; ; ;... ; Etoes l sere umér sod ell será :... SERIE ARITMÉTICA L sere rtmét es l dó dd de los térmos de u suesó rtmét de rzó ostte (Est lse de suesoes so llmds progresoes rtméts (P. A.)).... r r Rzó Artmét Costte EJEMPLO... El profesor de RM le pdó l ño TRILCITO que sumrá ls ots oteds por sus 0 ompñeros e el últmo smulro. Ls ots so : ; ; ; ;... ; El profesor se quedó dmrdo de TRILCITO porque lo resolvó por métodos dferetes. Oserv ómo lo hzo y uáles so los métodos que utlzó : º método S L sum de los térmos equdsttes sempre es l msm 0

2 Rz. Mtemáto Como so 0 térmos, se form 0 prejs, luego : S 0(8) 80 º método : verto el orde de los sumdos Sere orgl : S Sere esrt l revés : S S térmos º sumdo S = 0 ( + ) Últmo sumdo ( + ) S = 0 Ctdd de sumdos De est últm expresó podemos dedur que el vlor de l sere se otee medte l fórmul : t t S Dode : t : er sumdo t : Últmo sumdo : tdd de sumdos º método Hlló l ley de formó de los térmos y los ordeó sí : E est º olum estmos sumdo 0 térmos; ooemos est tdd grs l suesó que pree e l º olum Nótese e est º olum l suesó :,,,..., 0 () () () (0)... (... 0) 0() S =[ ]+0 S = (0 )+0 S = 80 0

3 TRILCE º método : Utlzó el método omtoro º º º º... 0º S = S C C 0! S 0 8!! S 80 Ejemplo () Clulr l sum de los 0 prmeros térmos de : ; ; ; - ; ; ; ; - 8 ; ; 0 ; ; - ;... () () () Ejemplo () Cuáts olts hy e l fgur 0? Ejemplo () Hllr l sum de todos los elemetos del sguete rreglo uméro, s hy 0 fls : () () () (0)? SERIE GEOMÉTRICAS Ejemplo () Clulr l sum de todos los úmeros desde l fgur hst l fgur 0. El Rey de l Id, e reoometo l geoso veto relzdo por Lhur Sess, dedó reompesrlo geerosmete, pr lo ul mdó llmrlo Plo. El veto ost de u tlero udruldo o 8 slleros por ldo (es der; udrdos e totl) que smul u mpo de tll y pezs ( pr d jugdor) que represet los ejértos e luh. Pde lo que quers djo el rey. Solto que se me de gro de trgo por el prmer sllero, y por d sllero sguete el dole de l tdd teror, hst termr o los slleros. El Rey ordeó que se umplese su deseo. Al o de u tempo los lulsts del plo omuro l soero que tl peddo er mposle. Vemos :

4 Rz. Mtemáto Csllero : S S º º º º º S = 800 gros de trgo U sere geométr es l dó dd de los térmos de u progresó geométr. * Se l sere geométr : * (r ) * S... r r Rzó Geométr (r ) (r ) E el prolem de l hstor de el Ajedrez, se tee l sere. S = Ejemplo () Clulr : R frs Rzó Geométr E dode : = r = ( ) S ( ) S L Terr, overtd de Norte Sur e u semrdo o u oseh por ño, trdrí 0 sglos e produr semejte tdd de trgo. Ejemplo () Clulr : S = SERIES NOTABLES A) Sum de los "" prmeros úmeros turles oseutvos. ( )... Ejemplo (8) Clulr : R = 0, + 0, + 0, , Ejemplo () Cz le djo Alessdro : "Te voy h pgr u sum de dero por el prmer udrlátero que euetres de l sguete fgur, y luego te ré duplddo dh sum por d uevo udrlátero que euetres". S Cz le pgó 8 soles e totl, uáto le pgó por el urto udrlátero?

5 TRILCE Ejemplo () Hllr l sum totl de todos los elemetos del sguete rreglo : º º º º 8 0 Ejemplo () Clulr : 0,0 0,0 0,0... 0, S (... ) 0º Ejemplo () Se tee el sguete rreglo uméro : Ejemplo (0) Hllr "x" e l sguete sere : x = 0 Clulr l sum de todos los térmos que hy desde l fl hst l fl 0. B) Sum de los "" prmeros úmeros mpres oseutvos ( - ) = Ejemplo () Se se que : A = B = Hllr : B - A C) Sum de udrdos de los "" prmeros úmeros turles. ( )( )... Ejemplo () Clulr : S =

6 Rz. Mtemáto Ejemplo () Clulr el vlor de "", e l sguete sere : = 80 Ejemplo (8) S : Clulr : S... "" sumdos S S S S S... S Ejemplo () Hllr el úmero totl de trágulos que hy desde l fgur hst l fgur 0. Fg. Fg. Fg. Ejemplo () Clulr : S =,00 +,008 +, D) Sum de los uos de los "" prmeros úmeros turles.... ( ) E) Sum de los "" prmeros úmeros trgulres oseutvos. Ejemplo () Hllr l sum totl del sguete rreglo uméro : º º º º º 0 ( )...

7 TRILCE Ejemplo (0) Clulr : ( ) ( )( ) 0... N térmos Ejemplo () Cuáts olts hrá hst l fgur 0? () () () () (0)? SERIES ESPECIALES A) Sum de produtos ompuestos por ftores oseutvos : Ejemplo () S... 0 Ejemplo () S Ejemplo () Hllr l sum totl e el sguete esquem s hy 0 fls. F : F : F : F : F :

8 Rz. Mtemáto B) Sum de produtos ompuestos por ftores uy dfere es ostte. Ejemplo () S... 0 Ejemplo () Hllr l sum de todos los elemetos e el sguete esquem : C) Sum de produtos ompuestos por ftores uy sum es ostte : Ejemplo () S Ejemplo () Hllr l sum de todos los elemetos e el sguete esquem :

9 TRILCE... 0 D) Sum de ls verss de los produtos ompuestos por ftores uy dfere es ostte. Ejemplo () S Ejemplo () S

10 Rz. Mtemáto E) Sere geométr lmtd : Dode : 0 < r < Ejemplo () S... r S... Ejemplo () S 8... Ejemplo () S... Ejemplo () S... 8

11 TRILCE SUMATORIAS Cosderemos l sguete suesó: ; ; ; ;... ; m L sum de los térmos de l suesó será : m m L expresó e el ldo dereho de l guldd se deom "sumtor" y osttuye u form revd de esrr l sere dd. Dode : : Notó Sgm. Nos represet l sum de los térmos de l form " " de dh suesó. : Nos represet uo de los térmos de l suesó, depededo del vlor de "". er. térmo do térmo er. térmo m m térmo geerl : Tom vlores desde hst m m Límte feror de l sumtor Límte superor de l sumtor Ejemplo : Represetr l sguete sumtor : L suesó está formd por todos los eteros postvos desde hst 0. Se u etero ulquer uyo vlor mímo es (límte feror) y el vlor máxmo es 0. (límte superor). 0 Por lo tto l suesó dd l podemos represetr omo : Ejemplo : Clulr : ( ) Cd térmo sumr es de l form " - " dode "" tom vlores ; y Pr Térmo ( )

12 Rz. Mtemáto Ejemplo : Expresr ls sumtors e form desrrolld y lulr el vlor de l sum : 0 ) 0 ) 0 ) ( ) d) ( ) 0 Ejemplo : Expresr ls sums usdo sumtors : ) = PROPIEDADES. Número de térmos de l sumtor : m # térmos = m + Ejemplo : Hlle el úmero de térmos de l sguete sumtor : 80 # térmos = 80 + = 8. S k es u vlor ostte : Ejemplo : m m k k. ; so térmos que depede de l vrle "" m m m ( ) ) = Ejemplo : ( ). Sumtor de u ostte. k = te. )... 0 m k k (#térmos) = k (m + ) Ejemplo : 8 0 0(8 ) 0. Desdoldo l sumtor : = ; + ; + ; + ;... ; + p ; + p + ;... m d) = m p m p 0

13 TRILCE E d so resolver ls sguetes sumtors : 0 ) ( ) f) ( ) 0 ) ( 0) 0 g) ( ) ( ) ( ) ) ( )( ) 0 d) e) ( )

14 Rz. Mtemáto EJERCICIOS PROPUESTOS 0. L sum de 0 úmeros eteros oseutvos es 0. Cuál es l sum de los 0 sguetes? ) 80 ) 0 ) 0 d) 80 e) Al sumr úmeros turles oseutvos el resultdo d. Hllr el myor de los sumdos. ) ) ) d) e) 0. L sum de todos los úmeros turles desde "" hst "" es 0. Clulr el vlor de "" y dr omo respuest el produto de sus frs. 0. S : ) 0 ) ) d) e) 0 Hllr : m m ) 0 ) ) d) 8 e) Clulr el vlor de : J =,0 +,0 +, ) 00 ) 00 ) 00 d) 00 e) Determr el vlor de l sguete sum : S =,0 +,0 +, ,8 ) 0,8 ),8 ) 8, d),8 e), 0. Clulr el vlor de los 00 prmeros térmos de :,,, -,,,, - 8,, 0,, - ) 0 ) 0 ) 0 d) 0 e) Dspog los úmeros turles e form djut y de esegud el últmo térmo de l fl úmero ) ) 80 ) 80 d) 0 e) 0. Hllr l sum totl s hy 0 fls : ) 80 ) 80 ) 8 d) 8 e) Se rregl úmeros e form de "dmte", omo se muestr e el dgrm Cuál es l sum de los úmeros e el eésmo dmte? ) ( ) ) ) ( ) d) e) ( ) ( (. Dos herms : Ptty y Pol ro te l proxmdd del vero u régme de det. Ptty lo llev o omedo durzos d dí, metrs que Pol l llev o omedo durzo el prmer dí, e el segudo, e el terero y sí suesvmete, l det termó udo ms hí omdo l msm tdd de durzos. S l det se ó el de ovemre. Qué dí termó? ) 0 de demre. ) de demre. ) 8 de demre. d) de demre. e) de demre.. E u reuó todos los sstetes se sludro o u pretó de mos, s e totl huo 8 pretoes de mos. Cuátos sstero l reuó? ) )

15 TRILCE ) 8 ) ) d) e). Por motvos de u fest ftl se reprtero u totl de 00 juguetes etre ños, dádole d uo juguetes más que l teror. Cuátos juguetes se les do los prmeros? ) 800 ) 80 ) 0 d) 80 e) 0. U uelo tee 0 etos y reprtó ert tdd de rmelos de l sguete form: El prmero le do 0, l segudo, terero y sí suesvmete. Cuáts olss de rmelo h tedo que omprr el uelo, s d ols tre 0 rmelos? ) 0 ) ) d) 8 e). Hllr l sguete sum (dr l sum de frs del resultdo) Hllr el vlor de : x ; s : (x + ) = 00 ) ) ) d) e) 0. Cuáts olts ls hy e l fgur 0? () () () ) ) 0 ) 0 d) e). Hllr ls sums de ls áres de los ftos írulos sí formdos, tomdo omo dámetro el rdo de l rufere teror. ) ) ) 0 d) e). U profesor se do uet que medd que trsurrí el lo, él gst myor úmero de tzs por sem. Así l prmer sem gstó tzs, l segud tzs, l terer tzs y sí suesvmete. S el lo duró 8 sems; y d j de tzs trí tzs. Cuáts js ró el profesor durte el lo pr ompletr su dtdo? ) ) 0 ) d) e). Dos herms : Kre y Mel, ompr d u el msmo álum de fgurts. Kre peg e el suyo fgurt el prmer dí, e el segudo dí, e el terero y sí suesvmete y Mel peg 0 fgurts d dí. S ms omprro su álum el msmo dí y Mel lo lle el dí. Cuáts fgurts le fltrá Kre ese dí pr ompletr el suyo? ) 8 ) ) 0 d) e) 8. Clulr : 0, 0,0,... (... ) ) 0 ) 0 ) 00 d) e) 000 ) ) 0 ) 80 d) e) 00. U perso dee reorrer m y los he de l sguete mer, e el prmer muto reorre "" metros, e el segudo muto reorre "" metros y retroede 0m, e el terer muto reorre ""m y retroede 0m, e el urto muto reorre ""m, y retroede 0m, y sí suesvmete, llegdo l met e mutos extmete. Hllr "". ) ) 0 ) d) 0 e). Hllr l sum totl e el sguete rreglo trgulr : F ) 8 ) 80 ) 0 d) e) 8 8 F F F F F0. Cuátos hexágoos regulres se formrá l ur los etros de ls ruferes, tl que e el teror de d hexágoo hy solmete u rufere?

16 Rz. Mtemáto. U pelot de Pg pog es dejd er de m de ltur, y d vez que reot se elev u ltur gul l mtd de l ltur teror. Cuátos metros reorró l pelot hst que quedó teórmete estát? 0 ruferes ) 0 ) 80 ) 8 d) e). Lus todos los dís vst uo de sus fmlres e orde más ero. S l s del más ero está 0m de l s de Lus y prtr de llí todos se euetr 0m de dst. Cuáto hrá mdo Lus e totl después de her vstdo l últmo de sus fmlres, sedo que luego de vstr u fmlr sempre retor su s y que sus fmlres so 0? ) 0 ) ) 80 d) 00 e) 80. Glder y Lol lee u ovel de 00 págs, Glder lee 00 págs drs y Lol 0 págs el prmer dí, 0 págs el segudo dí, 0 el terero y sí suesvmete. Después de her leído uáts págs, odrá? ) 0 ) 000 ) 00 d) 80 e) 00. E u huert hy 0 lloes, d uo de ellos tee m de lrgo y, m de ho. Durte el rego el hortelo llev los uos de gu desde el pozo studo m del extremo de l huert y d l vuelt el lló por el suro, el gu que rg d vez le srve pr pegr u solo lló. Cuál es l logtud de mo que reorre el hortelo pr regr tod l huert? Not : El mo omez y term juto l pozo. ) 8 m ) m ) m d) m e) 08 m 0. Hllr l sum totl del sguete rreglo uméro : ) 0 ) 0 ) 0 d) 0 e) 0. Clulr : A + B x térmos... A... B x térmos ) ) 0 ) d) 0 e). Sedo que : Hllr : S... S S S S S S... S S 0 8 ) 0 ) ) 0 d) 0 e). Hllr l sum totl del sguete rreglo uméro : ) m ) m ) m d) 0 m e) 00 m 8. Clulr el vlor de "S". S : S... 0 térmos ) 00 ) 00 ) 00 d) 00 e) 0 0 ) - 00 ) - 80 ) 080 d) - 80 e) - 0. Hllr l sum de : R (x ) (x ) (x ) (x )... "" sumdos Pr : x = ( - )

17 TRILCE ) ( ) ) ( ) ) ( ) d) ( ) e) 0. S x > ; lulr el vlor de l sguete sere : R... x x x. U mro prte o 0 psjeros, e el prmer prdero sue y j, e el sguete sue 8 y j, e el sguete sue y j y sí suesvmete. Cuátos jro e el prdero etrl de su reorrdo, s flz o ordo? ) d) x x x x x ) e) x x x x ) x x ) 8 ) ) 0 d) e). Hllr l sum de ls dez prmers fls del sguete rreglo uméro. F F F F ) ) ) 0 d) e). Hllr l sum totl del sguete rreglo, s tee 0 fls : ) ) ) 0 d) 0 e) 8. El prmer dí de trjo gé S/. ; el segudo dí gé S/. ; el terer dí gé S/. ; el urto dí gé S/. y sí suesvmete. S trjé 0 dís, uáto gé el últmo dí? ) ) ) 0 d) 80 e) 0. Clulr l sum de los ftos térmos ddos : ) d)... ) e) ). Clulr l sum de todos los térmos del sguete rreglo : ) 0 ) 80 ) 00 d) 00 e) 00. Clulr el vlor de "E". S : ) d)... E [... ] ) e) ). L sum de l últm fl del rreglo : Es gul 80, uáts fls tee el rreglo? ) ) 8 ) d) 0 e). Hllr el vlor de l sguete sere : E... 0 ) 0 ) 0 ) 0 d) 0 e) 0.Clulr : S... ),8 ), ), d), e),

18 Rz. Mtemáto. Clulr R e : R eotrrá l o de "x" ños? V=m/s 0(0 ) ) ) e) 0(0 ) 0(0 0 ). Clulr el vlor de : ) d) 0(0 0 ) 0(0 0 ) M... 0 ) d) ) e) ) 8. Hllr el áre del trágulo, s todos los ortes so homogéeos. B m A 0 m ) 0m ) 0m ) 0m d) 0m e) 00m. Redur : N ) ) d) e) 00 0 ) 00. U tlet se dspoe de etrer e el ruto mostrdo empledo 0 segudos pr r de u írulo otro (e setdo horro), pero d vez que omplet med vuelt dess u tempo myor e 0 segudos l que vee empledo pr r de u írulo otro. Luego otú y pr r de u írulo otro emple el tempo que dess. Cuáto tempo hrá trsurrdo hst termr u desso que duró 0 segudos? B A C 8 0 ) m ) d) m ) 80m e) 80m. Clulr : S 0m S 8... ) 0 ) 0 ) 00 d) 0 e) 0. At u esforzd tlet relz su etremeto el ul se euetr e el puto A y se drge h el puto B, reorredo de l dst que l sepr de B y mr hí el puto C. Luego se drge h A, reorredo de l dst que l sepr de A, y mr el puto D. Después se drge h C reorredo ) 00 seg ) 000 seg ) 00 seg d) 00 seg e) 000 seg. Clulr l sum de todos los térmos udos por l líe demrd hst l fl 0. Fl Fl Fl Fl Fl Fl ) 0 ) 0 ) 0 d) 0 e) 80. Clulr : S S... de l dst que l sepr de C y mr el puto E y sí suesvmete. A qué dst de B se

19 TRILCE ) 8 d) ) e) ) 8. Hllr "S" S S : f f f f () () () () Clulr : f () f () f ()... f (0) ) 0, ) 0, ) 0, d), e) 0,. E el sguete rreglo trágulo lulr l sum de los térmos de F Fl Fl Fl Fl ) ) ) d) e). Ddos : S S... 0 Hllr : S S 8 ) 8 d) 8 ) 8 e) 8 ) ) 800 ) 800 ) 80 d) 8000 e) Clulr "S" ) 00 d) Fl 0 S ) 0 e) 0 ) 0. Clulr el vlor de l sguete sere : S térmos ) 80 ) 80 ) 80 d) 0 e) 80

20 Rz. Mtemáto 8 Clves Clves d d d d d d e d e d d d e e e e