TEMA 7: RENTAS VARIABLES

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1 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr TEM 7: RENTS VRIBLES ÍNDICE. RENTS VRIBLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRIC..... RENT TEMPORL, POSPGBLE, INMEDIT Y ENTER CÁLCULO DEL VLOR CTUL CÁLCULO DEL VLOR FINL RENT TEMPORL, PREPGBLE, INMEDIT Y ENTER CÁLCULO DEL VLOR CTUL CÁLCULO DEL VLOR FINL RENTS PERPETUS RENTS POSPGBLES RENTS PREPGBLES RENTS DIFERIDS RENTS TEMPORLES, POSPGBLES Y ENTERS RENTS TEMPORLES, PREPGBLES Y ENTERS RENTS PERPETUS, POSPGBLES Y ENTERS RENTS PERPETUS, PREPGBLES Y ENTERS RENTS NTICIPDS RENTS TEMPORLES, POSPGBLES Y ENTERS RENTS TEMPORLES, PREPGBLES Y ENTERS RENTS VRIBLES EN PROGRESIÓN RITMÉTIC RENT TEMPORL, POSPGBLE, INMEDIT Y ENTER CÁLCULO DEL VLOR CTUL CÁLCULO DEL VLOR FINL RENT TEMPORL, PREPGBLE, INMEDIT Y ENTER CÁLCULO DEL VLOR CTUL CÁLCULO DEL VLOR FINL RENTS PERPETUS RENTS POSPGBLES... 0 Tem 7:Rets Vrbles -- L formó e este tem está extrí s e su totl e

2 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr.3.. RENTS PREPGBLES RENTS DIFERIDS RENTS TEMPORLES, POSPGBLES Y ENTERS RENTS TEMPORLES, PREPGBLES Y ENTERS RENTS PERPETUS, POSPGBLES Y ENTERS RENTS PERPETUS, PREPGBLES Y ENTERS RENTS NTICIPDS RENTS TEMPORLES, POSPGBLES Y ENTERS RENTS TEMPORLES, PREPGBLES Y ENTERS RENTS FRCCIONDS TÉRMINO NUL Y TNTO DE FRECUENCI TÉRMINO DE FRECUENCI Y TNTO NUL RENTS VRIBLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRIC Este tpo e rets sre pr lorr u ojuto e ptles eusttes e el tempo uys utís so rbles sgueo u ley e progresó geométr, esto es, térmo es gul l teror multplo por u msmo úmero (ue se eom rzó e l progresó geométr) y ue eotremos por. Pr lulr uluer térmo bst o ooer, por tto, el prmero e ellos y l rzó e l progresó... RENT TEMPORL, POSPGBLE, INMEDIT Y ENTER.. CÁLCULO DEL VLOR CTUL L represetó gráf e u ret rble e progresó geométr, temporl, pospgble, met y eter es l sguete: V0? Tem 7:Rets Vrbles -- L formó e este tem está extrí s e su totl e

3 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr Se trt e lorr e el orge toos los térmos ue ompoe l ret. Pr ello lleremos, uo uo, esoto e régme e esueto ompuesto l tto e l ret, ese oe está ptl hst el orge, obteéose el lor tul, ue se eot o l sguete termologí: (;) oe: prmer térmo e l progresó rzó e l progresó úmero e ptles tto e loró llegmos l sguete fórmul: V 0 (; ) So ftor omú: K 3 ( ) ( ) ( ) ( ) se obtee: V0 (; ) K ( ) ( ) Se puee obserr ue el orhete es l sum e térmos e progresó geométr e rzó: r plo l expresó ue sum térmos ue sgue est ley, es er, ue sum los térmos e u progresó geométr, ue reormos ue es l sguete: r S r Tem 7:Rets Vrbles -3- L formó e este tem está extrí s e su totl e

4 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr Tem 7:Rets Vrbles -4- L formó e este tem está extrí s e su totl e seo: prmer térmo e l progresó últmo térmo e l progresó r rzó e l progresó plo h fórmul los térmos tulzos e l ret, el lor tul e l ret ue e l sguete form: ) (; / / / / / / e oe flmete se puee obteer: ) (; Est es u expresó ue solmete se porá utlzr uo: Cuo se umple: l expresó el lor tul uerá e l sguete form: 3 ) (; K So ftor omú: Obsérese ue l progresó geométr el orhete l ue os refermos e est osó, e rzó «r» es ferete l progresó geométr e l prop ret, uy rzó es.

5 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr se obtee: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (; ) K [ ( ees) K ] El orhete, l smplfrse, o es más ue l sum rtmét e ees l u, ueo el lor tul sí: (; ).. CÁLCULO DEL VLOR FINL prtr el lor tul se porá lulr el lor e l ret e uluer otro mometo, utlzo l reló ue exste etre los lores feros e los feretes mometos e tempo. E oreto, el lor fl será el resulto e ptlzr el lor tul tes lulo. V? V Mtemátmete, reoro ue l fórmul e l ptlzó ompuest pr lulr el lor fl e u etermo ptl l períoos es: ( ) C C0 est reló se expres sí: Tem 7:Rets Vrbles -5- L formó e este tem está extrí s e su totl e

6 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr S ( ) (; ) ( ; ) Se hubese llego l msmo resulto s se hubese ptlzo uo e los térmos e l progresó hst el mometo y posterormete se hubese sumo los lores fles e uo e ellos. EJEMPLO Hllr el lor tul y fl e los gresos ules eos e u trbjor ue el prmer ño gr euros y esper ue rez u 5% ul e form umult pr u horzote temporl e 4 ños.. Supoeo u ts e loró el 7%. b. Supoeo u ts e loró el 5%. V0? V4? , , , ños. Vloro l 7%. Como l rzó e l progresó,05 y el tto e loró 0,07, o se umple 7% 5%, por lo ue se pr lulr el lor tul se tee ue plr l sguete fórmul: (; ) ( ) Tem 7:Rets Vrbles -6- L formó e este tem está extrí s e su totl e ( 0,07) 4 ( 0.000;,05) 4 0,07 4, ,07, ;,05) 4 0, 07 ( 7.696,0 El lor fl se lul o l sguete fórmul: S S,07 ( ) (; ) ( ; ) (0.000;,05) 4 0,07 4 ( 0,07) 7.696, ,76 S 0.000;,05) 4 0,07 ( 4 (0.000;,05) 4 0, , ,0.../...

7 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr.../... b. Vloro l 5%. Como l rzó e l progresó,05 y el tto e loró 0,05, se umple, por lo ue se pr lulr el lor tul se tee ue plr l sguete fórmul: (; ) ,05 ( 0.000;,05) 4 0, ;,05) 4 0, 05 ( 76.90, ,48 El lor fl se lul o l msm fórmul ue e el so teror: S S,05 ( ) (; ) ( ; ) (0.000;,05) 4 0,05 4 ( 0,05) 76.90, ,00 S 0.000;,05) 4 0,05 ( 4 (0.000;,05) 4 0, ,00.. RENT TEMPORL, PREPGBLE, INMEDIT Y ENTER Pr u ret rble o térmos e progresó geométr, temporl ( ptles), prepgble, met, eter y lor e ompuest, l represetó gráf ue e l sguete form: V0? V? CÁLCULO DEL VLOR CTUL U posbl osste e lorr los ptles moeo, por u prte, el prmer ptl, ue y está e el orge y el resto e ptles,, omo ret pospgble met e térmos: Tem 7:Rets Vrbles -7- L formó e este tem está extrí s e su totl e

8 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr V0? Otr posbl osste e oertrl e pospgble multplo por ( ) toos los térmos. & ( ) (; ) ( ; )... CÁLCULO DEL VLOR FINL Se puee obteer ptlzo el lor tul e l msm ret. V0 V? L expresó l ue se lleg es: S & ( ) & (; ) ( ; ).3. RENTS PERPETUS El álulo e l ret e progresó geométr perpetu se relz, omo ls emás rets perpetus, trés el límte uo el úmero e térmos e l ret () tee fto..3.. RENTS POSPGBLES E prmer lugr oserremos ue o se umple: sí ue utlzmos l fórmul el lor tul e u ret rble e progresó geométr, temporl, pospgble, met y eter y le plmos los límtes: Tem 7:Rets Vrbles -8- L formó e este tem está extrí s e su totl e

9 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr (; ) Lm Lm ( ) ( ) Lm [ ( ) ] Lm ( ) ( ) Lm Result ue flmete el límte, y por tto el resulto el lor tul, está e fuó e l reló exstete etre el lor e l rzó e l progresó () y ( ), y sólo terá seto fero uo: < o ue e es mer el orhete e l euó eleo es u úmero meor ue, ue eleo u úmero exesmete lto tee ero, ueo el sguete lor tul: (; ) Lm ( ) (; ) Como reorremos el tem teror, o tee seto lulr el lor fl e u ret perpetu..3.. RENTS PREPGBLES Pr lulr el lor tul e u ret perpetu, prepgble, met y eter bst o multplr el lor tul e u ret e ls msms rterísts, pero pospgble por ( ). sí: & ( ) (; ) ( ; ).4. RENTS DIFERIDS Se hbl e rets fers uo se lor o teror su orge. l tempo ue trsurrí etre el orge e l ret y el mometo e loró lo eomábmos períoo e fermeto e l ret. Tem 7:Rets Vrbles -9- L formó e este tem está extrí s e su totl e

10 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr.4.. RENTS TEMPORLES, POSPGBLES Y ENTERS Pr lorr l ret fer, prmero lorremos l ret e su orge (se oser omo met y se lul su lor tul) y posterormete esotremos ho lor tul (omo u solo ptl) hst el mometo t elego, e régme e esueto ompuesto l tto e terés gete urte el períoo e fermeto. Gráfmete serí: V0 V? Vt 3 - t Períoo e fermeto 0 3 Mometo e loró () Orge El resulto fl uerí sí: ( ) - (; ) (; ) ( ; ) ( ) El fermeto solmete fet l lor tul, por tto, el lor fl se lul omo e u ret met..4.. RENTS TEMPORLES, PREPGBLES Y ENTERS l gul ue rzomos pr ls rets perpetus, prepgbles, mets y eters, pr lulr el lor tul e u ret temporl, prepgble, fer y eter bst o multplr el lor tul e u ret e ls msms rterísts, pero pospgble por ( ). sí: & ( ) (; ) ( ; ).4.3. RENTS PERPETUS, POSPGBLES Y ENTERS l gul ue hemos heho terormete, pr lulr el lor tul e u ret perpetu, pospgble, fer y eter bst o Tem 7:Rets Vrbles -0- L formó e este tem está extrí s e su totl e

11 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr plr límtes uo tee fto e el lor tul e u ret temporl, pospgble, fer y eter. sí: (; ) ( ) - Lm (; ) Lm (; ) - ( ) ( ) - Lm (; ) Es er: (; ) - ( ) (; ) Tl y omo sueí o ls rets mets, hy ue reorr os uestoes: El lor tul e l ret perpetu, pospgble, fer y eter sólo terá seto fero uo: < No tee seto lulr el lor fl e u ret perpetu RENTS PERPETUS, PREPGBLES Y ENTERS l gul ue hemos heho terormete, pr lulr el lor tul e u ret perpetu, prepgble, fer y eter bst o multplr el lor tul e u ret e ls msms rterísts, pero pospgble por ( ). sí: & ( ) (; ) ( ; ).5. RENTS NTICIPDS So uells ue se lor o posteror su fl, seo el períoo e tpó e l ret el tempo ue trsurre etre el fl e l ret y el mometo e su loró..5.. RENTS TEMPORLES, POSPGBLES Y ENTERS Vlorremos l ret, trtáol omo ret met, e su fl y posterormete ptlzmos este lor, l msmo tpo (), urte el períoo e tpó (h). Tmbé se porá lorr l ret e su orge y posterormete ptlzmos hst el puto eseo. Tem 7:Rets Vrbles -- L formó e este tem está extrí s e su totl e

12 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr t V0 3 - Vh? V 0 3 h Períoo e tpó Orge F (h) Mometo e loró El resulto será: V h Es er: h S (; ) h h ( ) S(; ) ( ) (; ) h S (; ) h h ( ) S(; ) ( ) (; ) L tpó solmete fet l lor fl pero o l lor tul, ue se relzrá omo s e u ret met se trtr, umpléose l sguete reló, omo e uluer otro tpo e ret, etre feretes lores e l ret: V0 3 - Vh? V 0 3 h Períoo e tpó Orge V V h V 0 h ( ) ( ) F (h) Mometo e loró Tem 7:Rets Vrbles -- L formó e este tem está extrí s e su totl e

13 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr.5.. RENTS TEMPORLES, PREPGBLES Y ENTERS l gul ue hemos heho terormete, pr lulr el lor tul e u ret temporl, prepgble, tp y eter bst o multplr el lor fl e u ret e ls msms rterísts, pero pospgble por ( ). sí: h S& ( ) h (; ) ( ; ) S EJEMPLO Determr el lor tul e los gresos e u empres pr los próxmos 5 semestres s pr el prmer períoo see 500 euros y se estm u remeto semestrl el 8% urte los prmeros 0 semestres y mteéose ostte prtr e etoes. Tpo e loró el 0% efeto semestrl. Los 5 gresos osttuye u ret, pero tomos ojutmete serí letor. Por el otrro, s se oser e prmer lugr los 0 prmeros térmos (ret e progresó geométr, met, pospgble, temporl y eter) y otuó los 5 últmos (ret ostte, pospgble, temporl, fer y eter), poremos empler fórmuls e rets. sí,gráfmete: 500, ,08 500,08 500, , semestres 0% Fórmul el lor tul e l ret rble e progresó geométr, temporl, pospgble, met y eter, uo o se umple ue : (; ) ( ) Tem 7:Rets Vrbles -3- L formó e este tem está extrí s e su totl e ( 0,0) 0 ( 500;,08) 0 0, 0, ,0,08 500;,08) 0 0, ( 4.9,0 4.9,0.../...

14 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr.../... Fórmul el lor tul e l ret ostte, pospgble, temporl, fer y eter : ( ) ( ) ( 0,0) 5 5 0,0 0, 3, ,0 500,08 5 0,0 500,08 3, , ,0 5 0, ,90 0 ( 0,0) ( 0,0) 0.460,78 Y poemos sumr los lores tules e ls os rets: ( 500;,08) 0 0, 0 4.9,0.460, ,80 5 0,0 V0 5.65,80. RENTS VRIBLES EN PROGRESIÓN RITMÉTIC Este tpo e rets se refere u ojuto e ptles uys utís ro y lo he sgueo u ley e progresó rtmét, esto es, térmo es el teror umeto (o smuo) e u msm utí (ue se eom rzó e l progresó rtmét) y ue otremos por, sempre expres e ues moetrs. Pr lulr uluer térmo bst o ooer, por tto, el prmero e ellos y l rzó e l progresó. Este tpo e rets ls estumos e el tem teror. Tem 7:Rets Vrbles -4- L formó e este tem está extrí s e su totl e

15 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr.. RENT TEMPORL, POSPGBLE, INMEDIT Y ENTER... CÁLCULO DEL VLOR CTUL L represetó gráf e u ret rble e progresó rtmét, temporl, pospgble, met y eter es l sguete: V0? 3 -(-) (-) Se trt e lorr e el orge toos los térmos ue ompoe l ret. Pr ello lleremos, uo uo, esoto e régme e esueto ompuesto l tto e l ret, ese oe está ptl hst el orge, obteéose el lor tul, ue se eot o l sguete termologí: (;) oe: prmer térmo e l progresó rzó e l progresó úmero e ptles tto e loró llegmos l sguete fórmul: V ( ) ( ) ( ) ( ) 0 (; ) K 3 ( ) ( ) Pr fltr l opert e l expresó superor, llmremos: ( ) o lo ue l expresó ue e l form: (; ) ( ) 3 ( ) K [ ( ) ] [ ( ) ] Tem 7:Rets Vrbles -5- L formó e este tem está extrí s e su totl e

16 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr Tem 7:Rets Vrbles -6- L formó e este tem está extrí s e su totl e S multplmos mbos membros por : [ ] [ ] 4 3 ) (; K Y s restmos est expresó l teror teremos: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 3 ) (; 3 ) (; 3 ) (; 3 ) (; ) (; ) (; ; ; ; ; K K K K K K Opero e el seguo membro e l gul: [ ] ) (; 3 ) (; 3 ) (; ; ; K K K Teeo hor e uet ue: etoes: K K Est últm expresó es el lor tul e u ret utr, ostte, pospgble, temporl, met y eter, por lo ue ourre ue: K

17 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr Tem 7:Rets Vrbles -7- L formó e este tem está extrí s e su totl e S: etoes: sí: K Retomo y susttuyeo e l fórmul teror: ; ; ; ; ; ; ; ) (; ) (; ) (; ) (; ) (; ) (; ) (; K Por últmo, s e el seguo membro e est gul summos y restmos: teremos: ; ; ; ) (; ) (; ) (;

18 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr (; ) (; ) (; ) ; ; ; Es er, l fórmul ue se emple pr lulr el lor tul e u ret rble e progresó rtmét, met, temporl y pospgble e térmo y e rzó es: ( ; )... CÁLCULO DEL VLOR FINL prtr el lor tul se porá lulr uluer otro lor fero, utlzo l reló ue exste etre los feretes lores feros e los sttos mometos e tempo: sí, el lor fl: EJEMPLO 3 S ( ) (; ) ( ; ) Hllr el lor tul y fl e u orrete e gstos ules eos e u egoo ue el prmer ño ser.000 euros y se esper ue umete 00 euros ño, supoeo u ts e loró el 7% y pr u horzote temporl e 4 ños. V0? V4? ños 7% Vlor tul: ( ; ).../... Tem 7:Rets Vrbles -8- L formó e este tem está extrí s e su totl e

19 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr.../... ( ) (.000;00) 4 0, ( 0,07) 0, , , , , , ,387 0,07 0,07 (.000;00) 4 0,07 Vlor fl: S S.000;00) 4 0, 07 ( 7.53,89 ( ) (; ) ( ; ) 4 ( 0,07) 7.53, ,37 (.000;00) 4 0,07 S.000;00) 4 0, 07 ( 9.508, ,89.. RENT TEMPORL, PREPGBLE, INMEDIT Y ENTER Pr u ret rble o térmos e progresó rtmét, temporl ( ptles), prepgble, met, eter y lor e ompuest, l represetó gráf ue e l sguete form: V0? 3 (-) V? CÁLCULO DEL VLOR CTUL U posbl osste e lorr los ptles moeo, por u prte, el prmer ptl, ue y está e el orge y el resto e ptles,, omo ret pospgble met e térmos: Tem 7:Rets Vrbles -9- L formó e este tem está extrí s e su totl e

20 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr V0? V? 3 (-) Otr posbl osste e oertrl e pospgble multplo por ( ) toos los térmos. & ( ) (; ) ( ; )... CÁLCULO DEL VLOR FINL prtr el lor tul se porá lulr uluer otro lor fero, utlzo l reló ue exste etre los feretes lores feros e los sttos mometos e tempo: sí, el lor fl: S & ( ) & (; ) ( ; ).3. RENTS PERPETUS El álulo e l ret e progresó rtmét perpetu se relz, omo ls emás rets perpetus, trés el límte uo el úmero e térmos e l ret () tee fto..3.. RENTS POSPGBLES S plmos el oepto e límtes uo tee fto: (; ) (; ) (; ) (; ) (; ) lm lm - lm - ( ) - ( ) - [ ] - ( ) - ( ) - lm - ( ) ( ) - lm ; ; ; - ; - Tem 7:Rets Vrbles -0- L formó e este tem está extrí s e su totl e ;

21 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr (; ) (; ) (; ) (; ) (; ) (; ) - lm - lm - lm lm ; - ( ) ( ) - lm - ( ) ( ) - ( ) ( ) 0 0; lm lm - ; - - ; ; Es er: ( ; ) NOT: Tos ls fórmuls se h esrrollo supoeo ue l rzó es post ( > 0), es er, ue los térmos umeto, uue sgue seo áls pr el so otrro, bstrí o mbr el sgo e l rzó () e ls fórmuls..3.. RENTS PREPGBLES Pr lulr el lor tul e u ret perpetu, prepgble, met y eter bst o multplr el lor tul e u ret e ls msms rterísts, pero pospgble por ( ). sí: & ( ) (; ) ( ; ).4. RENTS DIFERIDS.4.. RENTS TEMPORLES, POSPGBLES Y ENTERS Pr lorr l ret fer, prmero lorremos ret e su orge (se oser omo met y se lul su lor tul) y posterormete esotremos ho lor tul (omo u solo ptl) hst el mometo t elego, e régme e esueto Tem 7:Rets Vrbles -- L formó e este tem está extrí s e su totl e

22 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr ompuesto l tto e terés gete urte el períoo e fermeto. Gráfmete serí: V0 V? Vt 3 (-) t Períoo e fermeto 0 3 Mometo e loró () Orge El resulto fl uerí sí: ( ) - (; ) (; ) ( ; ) ( ) El fermeto solmete fet l lor tul, por tto, el lor fl se lul omo e u ret met..4.. RENTS TEMPORLES, PREPGBLES Y ENTERS l gul ue rzomos pr ls rets perpetus, prepgbles, mets y eters, pr lulr el lor tul e u ret temporl, prepgble, fer y eter bst o multplr el lor tul e u ret e ls msms rterísts, pero pospgble por ( ). sí: & ( ) (; ) ( ; ).4.3. RENTS PERPETUS, POSPGBLES Y ENTERS l gul ue hemos heho terormete, pr lulr el lor tul e u ret perpetu, pospgble, fer y eter bst o plr límtes uo tee fto e el lor tul e u ret temporl, pospgble, fer y eter. sí: (; ) Lm Lm - ( ) Lm (; ) ( ) (; ) - (; ) ( ) - Tem 7:Rets Vrbles -- L formó e este tem está extrí s e su totl e

23 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr Es er: (; ) - ( ) (; ) Tl y omo sueí o ls rets mets, o tee seto lulr el lor fl e u ret perpetu RENTS PERPETUS, PREPGBLES Y ENTERS l gul ue hemos heho terormete, pr lulr el lor tul e u ret perpetu, prepgble, fer y eter bst o multplr el lor tul e u ret e ls msms rterísts, pero pospgble por ( ). sí: & ( ) (; ) ( ; ).5. RENTS NTICIPDS.5.. RENTS TEMPORLES, POSPGBLES Y ENTERS Vlorremos l ret, trtáol omo ret met, e su fl y posterormete ptlzmos este lor, l msmo tpo (), urte el períoo e tpó (h). Tmbé se porá lorr l ret e su orge y posterormete ptlzmos hst el puto eseo. V0 V 3 (-) Vh? 0 3 Períoo e tpó h Orge F El resulto será: V h Es er: h S (; ) h h ( ) S(; ) ( ) (; ) (h) Mometo e loró h S (; ) h h ( ) S(; ) ( ) (; ) Tem 7:Rets Vrbles -3- L formó e este tem está extrí s e su totl e

24 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr L tpó solmete fet l lor fl pero o l lor tul, ue se relzrá omo s e u ret met se trtr, umpléose l sguete reló, omo e uluer otro tpo e ret, etre feretes lores e l ret: V0 3 (-) Vh? V 0 3 h Períoo e tpó Orge V V h V 0 h ( ) ( ) F (h) Mometo e loró.5.. RENTS TEMPORLES, PREPGBLES Y ENTERS l gul ue hemos heho terormete, pr lulr el lor tul e u ret temporl, prepgble, tp y eter bst o multplr el lor fl e u ret e ls msms rterísts, pero pospgble por ( ). sí: h S& ( ) h (; ) ( ; ) S 3. RENTS FRCCIONDS El lor e ls rets osttes y rbles, estus terormete, está etermo por el térmo e l ret, l uró y el tto e terés; e ls rets rbles e progresó e ley oo, emás e los prámetros terores pree tmbé l rzó e l progresó. Cuo estumos l ptlzó y el esueto, uo e los prpos utlzos pr efetur l loró, er ue los prámetros ue Tem 7:Rets Vrbles -4- L formó e este tem está extrí s e su totl e

25 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr eterm ést, el tempo y el tto e terés, ebe estr referos l msm u e tempo, y e so otrro relzr ls oportus trsformoes. Ls rets fros o e freue stt l ul, so uells e ls ue el períoo e ptlzó el tto o oe o el períoo el pgo o obro el térmo e l ret. te este pltemeto, puee rse os stuoes stts ue lzremos e los sguetes epígrfes. 3.. TÉRMINO NUL Y TNTO DE FRECUENCI Que el térmo e l ret se perb ulmete, metrs ue el tto e ptlzó se e freue feror l ño, es er, ue os e u terés k e freue y ue el térmo e l ret se perb ulmete. E este so, pr oertr ls rets fros e rets eters y poer plr too lo ue hemos sto e rets hst hor, lulremos el tto efeto ul prtr e l freue «k». Tl y omo mos e tems terores, el tto efeto se lul prtr e l reló e eule e ttos: e oe: ( k) k k ( k) 3.. TÉRMINO DE FRECUENCI Y TNTO NUL E este so el períoo e ptlzó es superor l períoo e ue se perbe l ret, es er, os el terés efeto ul, metrs ue el térmo e l ret se perbe k ees etro el ño. Pr eotrr el lor e este tpo e rets fros, teremos tmbé ue referr mbos prámetros térmo y tto l msm u e tempo. Tem 7:Rets Vrbles -5- L formó e este tem está extrí s e su totl e

26 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr hor, pr oertr ls rets fros e eters, lulremos el tto e freue «k» prtr el tto efeto ul, teeo e uet ue hor l uró e l msm o ebe expresrse e ños, so e «k» períoos. El tto e freue lo lulmos trés e l reló e eule e ttos y será, omo y estumos e tems terores: k k ( ) EJEMPLO 4 Clulr el lor tul e u ret e 40 térmos pospgbles y trmestrles, e 0 ños e uró, lor l 6% ul, seo el térmo e trmestre 00. Do ue los térmos so trmestrles y el tto e tulzó es ul, estmos e el seguo so ue hemos sto. Gráfmete: /4 /4 3/4 4/4 /4 /4 3/4 4/4 0 0 ños Clulmos el terés «4» e freue trmestrl prtr el tto efeto ul. Pr ello utlzmos l fórmul ue los relo y, posterormete, l fórmul e u ret ostte, met, temporl, pospgble y eter (porue y l hbremos forzo ser eter l her or el períoo el térmo o el el tto e ptlzó). sí: k k ( ) 4 ( 0,06) 0, El lor tul e este tpo e ret es: sí: ( ) 40 0, ,04674 / Tem 7:Rets Vrbles -6- L formó e este tem está extrí s e su totl e

27 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr.../... ( 0,04674) , , , , 0030, , , ,93 EJEMPLO 5 Clulr los lores tul y fl e u ret e 0 térmos trmestrles pospgbles, e prmer térmo 00 sbeo ue los pgos trmestrles ree e 4 l trmestre y seo el tto e loró el 6% ul. Do ue los térmos so trmestrles y el tto e tulzó es ul, estmos e el seguo so ue hemos sto. Gráfmete: /4 /4 3/4 4/4 /4 /4 3/4 4/4 Teremos ue oertr l ret fro e eter. Es er, y ue el térmo e l ret es trmestrl, hbrá ue psr el tto ul l tto trmestrl. sí: k k ( ) 4 ( 0,06) 0, El lor tul e u ret rble e progresó rmét, temporl, pospgble, met y eter (y l hemos oerto e eter) es el sguete: ( ; ) ( ) 5 ños (00;4) 0 0, , , ,04574 / Tem 7:Rets Vrbles -7- L formó e este tem está extrí s e su totl e

28 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr / ( 0,04674) 0 0 0, , , ,3940 0, ,04674 ( 00;4) 0 0, ,58 ( 00;4) 0 0, ,58 El lor fl e u ret rble e progresó rmét, temporl, pospgble, met y eter (y l hemos oerto e eter, ooo el lor l lo poemos lulr ptlzo uél 0 trmestres l,46764% trmestrl o be 5 ños l 6% ul. Esto es: ( ) V V0 0 5 ( 0,04674) V6.343,58 ( 0,06) 3.36,5 V0.343,58 S( 00;4) 0 0, ,5 EJEMPLO 6 Determr los lores tul y fl e u ret e 36 térmos mesules pospgbles y rbles e progresó geométr e prmer térmo 00 y rzó,04, seo el tto e loró el 8% ul. Do ue los térmos so mesules y el tto e tulzó es ul, estmos e el seguo so ue hemos sto. Gráfmete: ,95 60, ,47 00, ,6 0 / /... / /... / 3 ños Y ue se trt e u ret rble, teremos ue resoler el problem por el úo proemeto e referr el tto e ptlzó l msmo períoo e tempo l ue está refero el térmo e l ret. Es er, y ue el térmo e l ret es trmestrl, hbrá ue psr el tto ul l tto mesul. sí: k k ( ) / Tem 7:Rets Vrbles -8- L formó e este tem está extrí s e su totl e

29 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr.../... ( 0,08) 0, El lor tul e u ret rble e progresó geométr, temporl, pospgble, met y eter (y l hemos oerto e eter) es el sguete: (; ) ( ) ( 0,006434) 36 ( 00;,04) 36 0, , ,006434, ,56.../... ( 00;,04) 36 0, ,56 El lor fl e u ret rble e progresó geométr, temporl, pospgble, met y eter (y l hemos oerto e eter, ooo el lor l lo poemos lulr ptlzo uél 36 meses l 0,6434% mesull o be 3 ños l 8% ul. Esto es: ( ) V V ( 0,006434) V3 6.76,56 ( 0,08) 8.473,5 V ,56 S( 00;,04) 36 0, ,5 EJEMPLO 7 Determr el lor tul e u ret perpetu, seo el tto e loró el 7% efeto ul y sus térmos e 850 trmestrles prepgbles. Do ue los térmos so trmestrles y el tto e tulzó es ul, estmos e el seguo so ue hemos sto. Gráfmete: /4 /4 3/4 4/4 /4 /4 3/4 4/4 Clulremos el terés «4» e freue trmestrl prtr el tto efeto ul. Pr ello utlzmos l fórmul ue los relo y, posterormete, l fórmul e u ret ostte, met, temporl, pospgble y eter (porue y l Tem 7:Rets Vrbles -9- L formó e este tem está extrí s e su totl e ños /

30 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr / hbremos forzo ser eter l her or el períoo el térmo o el el tto e ptlzó). sí: k k ( ) 4 ( 0,07) 0, El lor tul e este tpo e ret es: & & sí: & 0, , ,07 0,07059 & 0, ,07 Tem 7:Rets Vrbles -30- L formó e este tem está extrí s e su totl e