CAPÍTULO VIII APLICACIONES DE LA INTEGRAL

Transcripción

1 PÍTULO VIII PLIIONES DE L INTEGRL 8. VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUIÓN o reó pl es r lreeor e eje e revoló eer sólo e revoló. L prmer reó reslt e rr reó pról lreeor el eje, metrs qe e el seo so se h ro retálo lreeor el eje ostto por l prte speror el retálo. 8.. METODO DE LOS DISOS w R r eje e revoló El volme eero l rr el retálo e toro l eje e revoló eer so o volme es: Volme so R r w S e lr e rr retálo se r el áre e l sete r teemos:

2 R r = = so represettvo el volme vee o por: V R r Se pee oteer promó el volme, llo el volme e sos smlres e ho. VolSólo VolSólo lm R R r r El volme eto pr eje e revoló horzotl será: VolSólo R r S el eje e revoló es vertl se terá: VolSólo R r Ejemplo llr el volme el sólo eero l rr l reó ot por

3 = ; = ; = por revoló e toro e: el eje el eje l ret = l ret = 6. = eje R r 8 eje R r 6 6* LRSON HOSTETLER, állo Geometrí lít M Grw Hll, 986 P 87

4 6 = * r R 6 =6

5 7 R r MÉTODO DE LS PS El volme e p lír eer por retálo es l : h h p eje e revoló w p Vol p w h p w h Vol p pw w p pw w h Vol pwh

6 8 S l qe r es seó trlr se tee: P h El volme e l p represettv e este retálo es V = p h S se tom ps el volme el sólo e revoló será prommete: Vol. Sólo S Vol. Sólo se tee lm p h p h p h Por tto, o se pl el métoo e ps o eje e revoló horzotl se tee: Vol. Sólo ph S el eje e revoló es vertl teremos: Vol. Sólo ph

7 9 Ejemplo llr el volme el sólo eero l rr l reó ot por = ; = ; = por revoló e toro e: el eje el eje l ret = l ret = 6. Eje = Vol 8 Eje = / Vol / / / 8 LRSON HOSTETLER, állo Geometrí lít M Grw Hll, 986 P 87

8 = = = / - Vol / / / / / / / / 6 = 6 = 6 = / 6 - Vol 6 6 / / / 6 / / / / / LONGITUD DE RO S est ostte otr psote pló el állo terl pes, os permte etermr l lot e rv s mportr s orm o ó. El proemeto osste e vr l rv e peqeños

9 semetos e ret el sete moo: 6 L lot el semeto ompreo etre los ptos es: L lot e toos los semetos retlíeos será: Llmo Δ, Δ tervlo l lot s prom e l rv ese el pto hst el pto es: s E el límte teremos: s lm lm lm

10 Por tto, s = tee erv ot e,] l lot e ro etre vee por s S l rv es = l lot e ro etre será: s Ejemplo Hllr l lot e l rv etre = ; = 8 L erv e l ó vee por: L lot e l rv s * 8 *

11 8. TRBJO 8.. TRBJO RELIZDO POR UN FUERZ ONSTNTE S ojeto se meve st D jo l pló e erz ostte F, e s msm reó, el trjo W relzo por es erz se ee omo W=FD 8.. TRBJO RELIZDO POR UN FUERZ VRIBLE Spomos qe ojeto se meve e líe ret ese = hst = por l ó e erz F qe vrí e orm ot. Se prtó e,] e stervlos etermos por = < < <... < = se = -. Pr esoemos tl qe -. E l erz vee por F. Y qe F es ot, spestos m peqeños, olmos qe l erz e stervlo es s ostte. Por tto, el trjo relzo l mover el ojeto lo lro el -ésmo stervlo, es prommete W = F Smo sore toos los stervlos, poemos estmr prommete el trjo relzo l mover el ojeto ese hst por W Más ú, to meor se mejor será l promó. Tomo el límte e es sm pr. teemos W W lm Demos el trjo omo se: S ojeto se meve e líe ret jo l ó e erz F qe vrí e mer ot, e s msm reó, el trjo relzo por es erz pr mover el ojeto ese = hst = vee o por: W LRSON HOSTETLER, állo Geometrí lít M Grw Hll, 986 P 99

12 W lm W F Ejemplo. U erz e lrs omprme melle e pls totl e pls. Qé trjo he lt pr omprmrlo 7 pls? L Le e Hooke e F = k, oe F es l erz, k ostte qe epee el melle l st omprm. F = k =, e oe, k = / F = / W ,6 lrs pl Prolem propesto. U tqe líro, e pes e lto 8 e ro, se olo sore torre e moo qe s oo este pes sore el selo. áto trjo es eesro pr llerlo hst l mt por oro el oo, tomo el e mtl e el selo? p

13 8. PRESIÓN DE UN FLUIDO L presó ejer por líqo sore erpo smero e él vee por p = ρ h qe es epeete e l orm el repete, oe; p es l presó el lo, ρ l es el lo, h l ltr ejo e l spere o pro. Pr reó pl smer horzotlmete l erz totl F sore l reó pl será: F = ρ h Se reó pl vertl smer e lo e es ρ omo se ve e l r. Desemos hllr l erz totl qe tú sore es reó, ese l pro h hst h. oseremos el retálo represettvo e lot L o pto el -ésmo tervlo. L erz qe tú sore ese retálo represettvo es F = ρ proáre = ρ h L Spere el lo h- h- h L L erz qe tú sore los retálos e este tpo es: F h L Tomo el límte o se tee l erz totl sore l reó

14 6 F lm h L Por tto, l erz ejer por lo e es ostte ρ sore reó pl, smer vertlmete etre = e =, vee por F h L oe h eot l pro totl el lo L l lot horzotl e l reó e. Ejemplo. Hllr l erz e lrs sore l r lterl vertl e epósto qe tee l orm e retálo qe se eetr lleo e. - F pro re F F ,, lrs 8.6 MOMENTOS ENTROS DE MS Y ENTROIDES El mometo qe proe ert ms respeto l pto P es LRSON HOSTETLER, állo Geometrí lít M Grw Hll, 986 P

15 7 Mometo = ms rzo el mometo Doe el rzo el mometo es l st e l ms l pto P. El mometo e sstem respeto l ore es M m m... m m S el mometo es ero el sstem está e eqlro. oseremos sstem qe o esté e eqlro, esplemos el pto e poo erto = e moo qe el sstem qee e eqlro. De mer qe: m m m... m o se m m m m mometo el sstem respeto l ore ms totl el sstem Ese pto e leo e eqlro, se llm etro e mss el sstem DEFINIIÓN DEL MOMENTO DE UN SISTEM LINEL El mometo respeto l ore e sstem e mss m, m,...,m, olos e los ptos,,...,, es: M = m +m m S l ms totl el sstem es m, s etro e mss vee o por: = M /m 8.6. DEFINIIÓN DE LOS MOMENTOS DE UN SISTEM BIDIMENSIONL Pr sstem e mss m, m,..., m, olos e los ptos,,,...,, el plo, el MOMENTO M RESPETO L EJE Y es

16 8 M = m +m m Y el MOMENTO M X RESPETO L EJE X es M = m +m m S l ms totl el sstem es m, el etro e mss, vee o por: = M /m = M /m =, = Se l lám e l r e es ostte ρ, el retálo represettvo se h oteo sveo,] e stervlos e hrs. S eotmos por, el etro e mss el -ésmo retálo, l rel el pto meo llev qe: L ms el -ésmo retálo es: Ms = es áre = ρ ] = ρ ] Seo l ms totl prommete

17 9 m ] tomo el límte pr, oteemos omo eó e l ms m ] oe es el áre e l lám. El mometo respeto el eje el -ésmo retálo es Mometo = msrzo el mometo=ρ =ρ ] ] Smo toos esos mometos tomo el límte o, oteemos el mometo respeto l eje eo omo M ] pr el mometo el eje M ] 8.6. MOMENTOS DE UN LÁMIN PLN Se oes ot e,]. Pr l lám pl, e es orme ρ, ot por =, =, =, =, los mometos respeto los ejes, vee os por: M ] M ]

18 l ms m e l lám vee s vez por m ] el etro e mss, por m M M m Ejemplo. Hllr M, M,, pr l lám e es orme ρ ot por, =, =. ] ] M M 6 / ] / / / M M

19 m / / / 6 M m 6 6 M m ENTROIDE DE UN REGIÓN PLN El etro e mss e lám orme sólo epee e l orm e ést, o e es, por tto, poemos eerlzr l órml el etro e mss e lám pr hllr el etro e reó s ms el plo. o hmos tl os, llmremos, el etroe e es reó. Se oes ots e, ]. El etroe, e l reó ot por =, =, =, = vee o por ] ] oe es el áre e l reó. Ejemplo. Hllr el etroe e l reó ot por =, =

20 6 El etroe estrá o por / ] 6 / ] ] 8.8 SUPERFIIES DE REVOLUIÓN S l rá e ó ot se he rr lreeor e eje, l spere resltte se eom spere e revoló. L L R r eje e revoló o el semeto L se he rr sore el eje, eer troo e oo, áre lterl es

21 L r R L r R lterl re Spomos qe l rá e ó, o erv ot e, ], r lreeor el eje, pr eerr spere e revoló, tl omo se lstr e l sete r. Se prtó e, ] e stervlos e hrs. Etoes el semeto retlíeo e lot L = = - = L eer oo tro áre lterl, S vee por L L r R S Por pló el teorem el vlor meo e el teorem el vlor termeo, poemos olr l este e e -, tles qe

22 por tto S ] el áre totl pee estmrse prommete omo S ] tomo el límte o oteemos S S ] ] lm el msmo moo se emestr qe, s l rá e r lreeor el eje, el áre S vee por S ] E ms órmls pr S, poemos mrr los protos π π omo soos ls reres esrts por pto, e lo rá e e s rotó e toro los respetvos ejes e ÁRE DE UN SUPERFIIE DE REVOLUIÓN S = tee erv ot e el tervlo, ], etoes el áre S e l spere e revoló qe eer es rá e {, } es:.- S r e toro l eje S ]

23 .- S r e toro l eje S ] Ejemplo. Hllr el áre e l spere eer por rotó e l rá e =, e s tervlo,], lreeor el eje = El áre será S S S 8 9 / 9 ] / ] 6 6, 9 ] ]

24 6 FÓRMULS BÁSIS DE INTEGRIÓN ; e e l os s s os t se 6 ot s 7 se.t se 8 s.ot s 9 os l t s l ot t l se se ot l s s rs rt l 6 l 7 r se 8 l 9