BIOESTADÍSTICA. Para Antropólogos Físicos. José Luis Castrejón y Diana Troncoso [Seleccionar fecha]

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1 BIOESTADÍSTICA Pr Atropólogos Físos José Lus Cstrejó D Trooso [Seleor feh] Nots pr el urso e Boestíst mprto e el seguo semestre e l letur e Atropologí Fís e l Esuel Nol e Atropologí e stor. Versó prelmr.

2 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Itrouó UNIDAD I Como su ombre lo e, el objetvo prpl e l ESTADÍSTICA INFERENCIAL es ferr los PARÁMETROS POBLACIONALES; es er, prtr e u muestr letor, estbleer o l mor probbl posble los vlores esooos e l pobló estu; por ejemplo; l me µ, proporó p o vrz σ. Geerlmete, el vestgor puee plter hpótess sobre los prámetros; por ejemplo: IPÓTESIS LITERAL DEL INVESTIGADOR L proporó e persos e l ENA que us letes es meor. L proporó e persos que ostumbr osumr om ráp es e.6. L proporó e persos o obes e l elegó Beto Juárez es mor que e l elegó Mlp Alt. L me e l esttur e ls mujeres estutes e l ENA es meor 65 m. L me el úmero e mutos ros que se us el utomóvl e l Cu e Méo es mor que e l u e Mér. IPÓTESIS ESTADÍSTICA DEL INVESTIGADOR v v v : p <. : p.6 : p > v v BJ p : µ < 65 : µ > µ DF MA Mer Empero, es tre e l estíst ferel etermr s ests hpótess so váls o o, mete lgu e ls sguetes tés:. ESTIMACIÓN: ) Putul: E l ul, prtr e los tos e u muestr l strbuó probblíst e l vrble, se estm u vlor pr el prámetro. b) Por tervlos: A trvés e l ul, prteo e l formó e l muestr l strbuó probblíst e l vrble, se efe u rgo e vlores etre los ules probblemete se euetr el el prámetro.. PRUEBAS O CONTRASTES DE IPÓTESIS: Estrteg que, utlzo los tos e l muestr l strbuó probblíst e l vrble, efe l probbl e ometer u error e l estmó se eterm u regó e rehzo pr l hpótess. ESTIMACIÓN PUNTUAL Se θ l letr o l que se eot u prámetro poblol. S se tom u muestr letor e tmño ( X, X, X,..., X ), θˆ es u fuó e los vlores e l ˆ θ f X, X, X,..., ; es er, θˆ es u estmor putul e θ. X muestr: ( ) A. MÉTODO PARA ALLAR ESTIMADORES PUNTUALES Este versos proemetos pr eotrr estmores putules θˆ e los prámetros pobloles θ ; por ejemplo: el métoo e mometos, el e mímos

3 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA uros el e fuó e verosmltu. Por el mometo, revsemos sólo éste últmo: A.) MÉTODO DE FUNCIÓN DE VEROSIMILITUD S X,...,, X, X X so los tos e u muestr letor que se obtuvo e ert pobló u fuó e probbl es P ( ) muestr es L ( X X, X,..., X ) P( X ) P( X ) P( X )... P( ), X, l fuó e verosmltu e l. Por ello, este métoo e estmó osste e eotrr el vlor el prámetro θ oe l fuó L ( X, X, X,..., X ) le su mámo; es er, h que lulr l erv e L, gulrl ero espejr θ. Vemos, lguos ejemplos e esto: θ A..) Estmor el prámetro λ Se X, X, X,..., X los tos e u muestr letor que se obtuvo e ert pobló oe l vrble X tee strbuó posso o prámetro λ [X~P( λ )]. Cuál es el mejor estmor e éste prámetro? Sbemos que l strbuó e l vrble X es: λ e λ P( )! Por ee, X tee tl strbuó: P λ e ( ) λ λ λ λ, P ( ) e λ, P( ),, P( )! e!! λ e λ! Sgueo l epresó L ( X X, X,..., X ) P( X ) P( X ) P( X )... P( ), X, l fuó e verosmltu e est vrble es: λ λ λ λ e λ e λ e λ e λ L( X, X, X,..., X )!!!! Lo ul puee brevrse : e L λ λ Y ello reurse e: λ e λ L π! Porque... X + X + X X X X X... X π!

4 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Ahor h que mmzr l fuó. S ést es u fuó ulquer, los putos rítos e f ( ) so los msmos que los vlores rítos el logrtmo l f turl f ( ) ( ) : λ e λ l L l π! Como: l l lb b λ l L l e λ l( π! ) l b l + l : Como: ( ) b Como: λ l L l( e ) + l λ l( π! ) l e l l ( π!) l L λ + l λ l Y obteer l erv: l L λ l λ l( π! ) + λ λ λ λ f ( ) f ( ) l Como: L + λ λ Igulo ero, el prámetro λ se overte e estmor λˆ rest espejrlo: + ˆ λ λˆ λˆ λˆ λˆ Y sí sbemos que l teer u vrble letor o strbuó posso [X~P( λ )], el estmor e mám verosmltu el prámetro λ es l me muestrl. 4

5 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA A..) Estmor el prámetro p Se X, X, X,..., X los tos e u muestr letor que se obtuvo e ert pobló, oe l vrble X tee strbuó beroull o prámetro p [X~Be( p )]. Cuál es el mejor estmor e éste prámetro? P Sbemos que l strbuó e l vrble X es: P p p ;, ( ) ( ) Por ee, X tee tl strbuó: ( ) p ( p), P( ) p ( p), P( ) p ( p), ( ) P p ( p) Sgueo l epresó L ( X X, X,..., X ) P( X ) P( X ) P( X )... P( ), X, l fuó e verosmltu e est vrble es: L P p p P p p P p p P p ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( p) Lo ul puee brevrse : Y ello reurse e: Porque L p ( p) L p ( p) X + X + X X X X X... X π Ahor h que mmzr l fuó. S ést es u fuó ulquer, los putos rítos e f ( ) so los msmos que los vlores rítos el logrtmo l f turl f ( ) ( ) : ( ) l L l p p l b l + l Como: ( ) b Como: l l p + l ( p) L l l l L l p + l ( p) Y obteer l erv: l L p + p ( p) 5

6 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA 6 ( ) p p p L + l Y se multpl por meos, por ee ( ) p p p L l Igulo ero, el prámetro p se overte e estmor pˆ rest espejrlo: ( ) ˆ ˆ p p ( ) p p ˆ ˆ ( ) p p ˆ ˆ p p p ˆ ˆ ˆ p ˆ p ˆ p ˆ Y sí tmbé esubrmos que l teer u vrble letor o strbuó beroull [X~Be( p )], el estmor e mám verosmltu el prámetro p es l me muestrl. B. PROPIEDADES PARA DETERMINAR EL MEJOR ESTIMADOR B.) PROPIEDADES GENERALES ) INSESGAMIENTO S θˆ es u estmor el prámetro poblol θ, se e que θˆ es sego s ( ) θ θ ˆ E. Por el otrro, s θˆ es u estmor sesgo e θ, se efe el sesgo e θˆ omo ( ) ( ) θ θ θ ˆ ˆ E Sesgo. b) SUFICIENCIA Se e que u estmor θˆ e θ es sufete uo su álulo volur to l formó e u muestr. ) MÍNIMA VARIANZA Se e que ˆ θ es u estmor e mím vrz e θ s pr ulquer otro estmor ˆ θ se umple que l vrz el prmero es meor que l el seguo: ( ) ( ) ˆ θˆ θ Vr Vr <.

7 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA ) EFICIENCIA Seo ˆ θ ˆ θ os estmores sesgos e θ, se e que ˆ θ es más efete s su vrz es meor l e ˆ θ : Vr ( ˆ θ ) < Vr( θˆ ). e) CONSISTENCIA Se e que u estmor θˆ e θ es osstete s, uo es gre ( N ), θˆ teerá θ ( ˆ θ θ ), seo su fere mu pequeñ. Esto ebo que s E >, E es mu pequeño ( ˆ θ θ < E). Lm P N B.) COMPROBACIÓN DE LAS PROPIEDADES Vemos etoes, mete lguos ejemplos, ómo se omprueb s u estmor umple o ests propees el porqué so t mporttes: L me poblol µ es u prámetro que se lul o l sguete epresó: S X, X, X,..., X pr promrse su vlor serí: µ N es u muestr letor E ( ) µ N X, tres estmores posbles ˆ µ + + ˆ µ + ˆ µ Cumple estos tres estmores o ls propees tes meos? PROPIEDAD ESTIMADOR ˆµ + + E( ˆ µ ) E E ( + + ) INSESGAMIENTO E ( ˆ θ ) θ [ E( ) + E( ) + E( )] [ µ + µ + µ ] µ [ µ ] µ Como poemos ver, el estmor ˆµ o es sesgo, puesto que su esperz es gul E ( ˆ µ ) µ. El sesgo e este estmor es: SESGO Sesgo ( ˆ θ ) µ µ Sesgo( ˆ θ ) µ µ Sesgo( ˆ θ ) µ Sesgo( ˆ θ ) µ PROPIEDAD ESTIMADOR ˆµ 7

8 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA INSESGAMIENTO E ˆ θ ( ) θ E + ( µ ) E E ( + ) ˆ µ E µ. [ E( ) + E( )] [ µ + µ ] [ µ ] µ ˆµ es u estmor sesgo e µ porque su esperz es ( ) µ SUFICIENCIA X + X + X X ( ) + ˆ µ ˆµ o es u estmor sufete, pues su álulo sólo eh mo e sólo tos e l muestr letor o el resto e l formó obte. ˆ PROPIEDAD ESTIMADOR ˆµ INSESGAMIENTO E ˆ θ ( ) θ E ( µ ) ˆ E E ( ) [ E( ) + E( ) + E( ) E( )] [ µ + µ + µ µ ] µ [ µ ] µ ˆµ es u estmor sesgo e µ pues su esperz es E ( µ ) µ. SUFICIENCIA X + X + X X ( ) ˆ µ X + X + X ˆ X Asmsmo, ˆµ es u estmor sufete que utlz toos los tos e l muestr letor. Ahor be, ompremos lgus vrzs e tres prámetros: σ σ σ PROPIEDAD VARIANZA DE ESTIMADORES MÍNIMA VARIANZA Vr ( ˆ θ ) < Vr( θˆ ) L vrz el estmor ˆ θ es meor que l el estmor ˆ θ, rzó por l ul ˆ θ tee u mím vrz. Vr ˆ θ < Vr θˆ EFICIENCIA ( ) ( ) 8

9 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Seo los os sesgos, l vrz el estmor ˆ θ es meor que l el estmor ˆ θ, rzó por l ul ˆ θ umple o ls propees e mím vrz efe. C. ESTIMADORES APROPIADOS MÁS COMUNES Auque es reomeble eotrr el estmor euo trvés e u métoo omprobr que umpl o tos ls propees, l teorí estíst frm que los mejores estmores pr los sguetes prámetros so: MEDIA POBLACIONAL VARIANZA POBLACIONAL PROPORCIÓN POBLACIONAL PARÁMETRO σ µ N N N X ( µ ) N p M N MEDIA MUESTRAL VARIANZA MUESTRAL Pues este estmor es sesgo: PROPORCIÓN MUESTRAL ESTIMADOR s s X ( ) ( ) p ˆ m INTERVALOS DE CONFIANZA CONTRASTE DE IPÓTESIS A. INTERVALOS DE CONFIANZA A ompró e l estmó putul, l ostruó e tervlos es u té que permte l vestgor propoer u rgo e vlores etre los ules puee hllrse, o erto gro e ofz ( por ee, e error) el el prámetro poblol θ. Otr vetj e est metoologí es que, pr lulr los vlores L L el tervlo L < θ < L, l epresó pr su ostruó eh mo el tpo e strbuó que tee l vrble e l pobló e lguos tos obteos e l muestr, omo so: su tmño ( ), esvó estár ( s ) o vrz ( s ), segú el so, su me ( ) o proporó ( pˆ ) B. CONTRASTE DE IPÓTESIS S u lgu, ést es u e ls metoologís que más utlz l estíst pr otrstr ulquer hpótess que el vestgor h plteo sobre los prámetros e u o más pobloes, o be, sobre reloes etre vrbles. B.) FUNDAMENTOS beo plteo el vlor hpotéto µ e l hpótess el vestgor v, se plte os hpótess más: l IPÓTESIS ALTERNATIVA l IPÓTESIS 9

10 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA, que sempre lue e su pltemeto lgú sgo e gul (,, ) NULA que es s sempre opuest lo que plte l hpótess el vestgor IPÓTESIS DEL INVESTIGADOR v : θ θ v : θ < θ v : θ > θ IPÓTESIS NULA v : IPÓTESIS ALTERNATIVA : θ θ : θ θ : θ θ : θ < θ : θ θ : θ > θ S be e los tervlos e ofz bst omprr el vlor hpotéto µ propuesto e l hpótess el vestgor v otr el tervlo e ofz obteo o por eto e ofz, l té e otrste e hpótess osste, o e ( ) α ofrmr o o l hpótess el vestgor hpótess ul. B.) ERRORES POSIBLES Y SU CONTROL v, so e otrstr el resulto o l D u hpótess ul que puee ser verer o fls (o lo sbemos), el proemeto e otrste e hpótess os llev rehzrl o o. S u lgu, omo vestgores qusérmos rehzr u hpótess ul fls o rehzr u hpótess ul verer, pero este ls posbles otrrs, ls ules se eom errores: IPÓTESIS NULA VERDADERA FALSA SE RECAZA ERROR TIPO I NO SE RECAZA ERROR TIPO II L probbl e ometer el ERROR TIPO I es ooo omo l SIGNIFICANCIA e l prueb se eot por α. A prtr e ello teemos que: α P (error tpo I) α P (rehzr o que es verer ) α P (rehzr es verer ) E geerl, l sgf α es esoo, sí que el vestgor l fj. Como e ell epee l probbl e ometer el error tpo I, se bus que se pequeñ; e hí que los vlores más omues pr l sgf α se: PROBABILIDAD DE VALOR DE α ERROR TIPO I RAMA DE USO MÁS COMÚN α..% Me mpo epermetl. α..% Atropologí fís. α.5 5.% Atropologí fís. α..% Ces soles.

11 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Ahor be, se efe l ERROR TIPO II omo l POTENCIA e l prueb se le eot o l letr β, segú lo ul: β P (error tpo II) β P (o rehzr o que es fls ) β P (o rehzr es fls ) A fere e α, el vlor e β está fuer el otrol el vestgor sólo puee reuírsele umeto el tmño e l muestr. Por ello es que, omo veremos más elte, se sbe que ls pruebs o prmétrs so meos potetes que ls pruebs prmétrs, uo vlor e β es más pequeño. B.) IPÓTESIS NULAS Y SU REGIÓN DE RECAZO Co respeto l sgf α, be meor que su vlor tmbé eterm l regó e rehzo e l hpótess ul. S ést lue u gul : µ µ, l regó e rehzo, omo e los tervlos e ofz, se ve e os, motvo por el ul se le eom prueb e os ols o blterl. Por el otrro, s l hpótess ul otee los sgos o, ( : µ µ, : µ µ ), l regó e rehzo que sólo e u lo, otrro l que señl el sgo e mor o meor: ESTIMACIÓN DE LA MEDIA POBLACIONAL µ A. INTERVALO DE CONFIANZA A.) EN POBLACIONES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL S l vrble letor tee u strbuó orml o me µ vrz σ, sbemos que l epresó pr estrzrl es: Z µ ~ N (,) σ De uero est fórmul, el tervlo estrí etre os vlores: Z Z, roeos por u áre, eot por α, que elmt l ofz el tervlo. S es el áre ebjo e l urv, etoes el tervlo e ofz puee espefrse omo α el α e ol es gul α.

12 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Prteo e esto teemos que l probbl el vlor el prámetro estrzo Z está etre α Z α Z : α α α < < Z Z Z P QUE IMPLICA α σ µ α α < < Z Z P Pero o olvemos que el puto es eotrr u tervlo e ofz l ( ) α por eto e ofz pr l me µ, por lo ul h que espejr su vlor e l teror epresó: Epresó e probbl pr el tervlo e ofz. < < α α σ µ Z Z P Se ej sol X µ l psr multplo su vsor. < < Z Z P σ µ σ α α Se espej µ l mover X. + < < Z Z P σ µ σ α α Se multpl por - pr her postvo el vlor e µ, lo ul verte l esgul mor que. > > + Z Z P σ µ σ α α Se verte los vlores e límtes pr reuperr u esgul meor que. + < < Z Z P σ µ σ α α Se brev l epresó. Z P σ α De est form teemos que, el tervlo l ( ) α por eto e ofz pr µ uo l pobló tee strbuó orml es: Z σ µ α α α/ α/ -α

13 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA El problem e est epresó pr etermr el tervlo e µ es que supoe ooer σ ; vlor uo álulo, por sí msmo, requere el to e µ que estmos estmo: σ N ( µ ) Ate est ohere, l opó es susttur σ por su estmor putul s : N s ( ) Pero ese smple etlle, uo l pobló es pequeñ ( < ), mpl tmbé u mbo e l strbuó, que ej e ser orml se overte e t e stuet o gros e lbert (g.l.): µ t ~t (-) s Por tl motvo, l epresó pr eotrr el tervlo l ( α ) por eto e ofz pr µ uo l pobló tee strbuó orml que omo: EXPRESIÓN PARA ENCONTRAR UN INTERVALO AL ( ) s ( α ) POR CIENTO DE CONFIANZA PARA µ CUANDO µ t LA POBLACIÓN TIENE DISTRIBUCIÓN NORMAL. α Doe es l me muestrl, ( t ) α es el vlor e tbls e l t e stuet o ( α ) por eto e ofz gros e lbert (g.l.), s l esvó estár e l muestr es el tmño e l muestr. A.) EN POBLACIONES CON DISTRIBUCIÓN DESCONOCIDA S se esooe l strbuó e vrble letor o me µ vrz σ, pero se tee u muestr gre ( > ), e uero l Teorem Cetrl e Límte puee sumrse que l vrble tee u strbuó prommete orml. Debo ello, l epresó pr lulr el tervlo l ( α ) por eto e ofz pr µ uo se tee u muestr gre e u pobló o strbuó esoo es: EXPRESIÓN PARA ENCONTRAR UN INTERVALO AL α POR CIENTO DE CONFIANZA PARA µ CUANDO LA POBLACIÓN TIENE DISTRIBUCIÓN DESCONOCIDA PERO > ( ) µ Z α s

14 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Doe es l me muestrl, o ( α ) Z es el vlor e tbls e l strbuó orml α por eto e ofz, s l esvó estár e l muestr es el tmño e l muestr. A.) EJEMPLOS DE ESTIMACIÓN. Supogmos que l vrble esttur e ls mujeres estutes e l ENA sgue u strbuó prommete orml. Los sguetes tos (e etímetros) orrespoe u muestr letor e l pobló: Es posble olur que l me µ e l pobló es meor 65 m? Costrur u tervlo e ofz pr µ l 95%. DATOS GENERALES X~N(µ,σ) s 7. 5 IPÓTESIS : µ < 65 v CONFIABILIDAD Y SIGNIFICANCIA α.5 α. 5 α. 975 EXPRESIÓN PARA INTERVALO ( ) VALOR DE µ t t α ( ).. ( 8 ) 7.. g l g l ( ) α s ( ) t α 7 t APLICACIÓN µ µ ( 56.7,64.) COMPARACIÓN CON LA IPÓTESIS ( 56.7,64.) µ vs. : µ < 65 De uero l muestr obte o u vel e ofz el 95% se puee frmr que l esttur promeo e ls mujeres estutes e l ENA está etre etímetros. Por lo tto, se tee eve estíst que, o u error el 5%, que l me e l esttur e est pobló es meor 65 m. v. U vestgor oser que l me el tempo e reorro e los estutes e l ENA s es mor 6 mutos. Supogmos que los sguetes vlores so tos e u muestr letor e est pobló: Supoeo que l pobló tee u strbuó orml: ) Costrur u tervlo l 95% e ofz pr l me µ. 4

15 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA b) Cotestr: Qué se puee olur respeto l hpótess? DATOS GENERALES X~N(µ,σ) s IPÓTESIS : µ > 6 v CONFIABILIDAD Y SIGNIFICANCIA α.5 α. 5 α. 975 EXPRESIÓN PARA INTERVALO ( ) VALOR DE µ t t α ( ).. ( 6 ) 5.. g l g l ( ) α s ( ) t α 5 t APLICACIÓN µ µ ( 44.8,8.7) COMPARACIÓN CON LA µ ( 44.8,8.7) vs. v : µ > 6 IPÓTESIS ) Co u 95% e ofz se puee frmr que l me el tempo e reorro e los estutes e l ENA s se hll etre los 44.8 los 8.7 mutos. b) Como este tervlo otee vlores meores los 6 mutos, e uero l muestr o h eve estíst que permt ferr, o u 5% e error, que l hpótess el vestgor se verer.. Los sguetes tos orrespoe l rufere rel e etímetros e 5 ños reé os: Supoeo que l pobló tee u strbuó orml, es posble frmr que l me se meor 5 m? Comprobr est hpótess ostrueo u tervlo l 9% e ofz. DATOS GENERALES X~N(µ,σ) 5. 8 s. 6 IPÓTESIS : µ < 5 v CONFIABILIDAD Y SIGNIFICANCIA α. α. 5 α. 95 EXPRESIÓN PARA INTERVALO ( ) VALOR DE µ t t α ( ).. ( 5 ) 4.. g l g l ( ) α s ( ) t α 4 t

16 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA.6 5 APLICACIÓN µ.8.76 µ (.5,4.9) COMPARACIÓN CON LA µ (.5,4.9) vs. v : µ < 5 IPÓTESIS Se puee frmr, o u 9% e ofz, que l me e l rufere rel e los ños e est pobló está etre los.5 los 4.9 etímetros; motvo por el ul se ept, o u % e error, que l me e est vrble es meor 5 m. B. CONTRASTE DE IPÓTESIS B.) IPÓTESIS NULAS Y SU REGIÓN DE RECAZO Cuo se quere estmr el vlor e l me poblol µ se puee plter ls sguetes hpótess: IPÓTESIS DEL INVESTIGADOR v : µ µ v : µ < µ : µ > µ IPÓTESIS NULA IPÓTESIS ALTERNATIVA : µ µ : µ : µ µ : µ < µ v : µ µ : µ > µ µ Segú se el so e uero l sgf α, l regó e rehzo pr l hpótess ul será: : µ µ IPÓTESIS : µ µ v : µ µ PRUEBA BILATERAL O DE DOS COLAS α REGIÓN DE RECAZO DE t v : µ : µ : µ < µ -α α/ α/ / Z α µ t / Z α µ < PRUEBA UNILATERAL O DE UNA COLA α REGIÓN DE RECAZO DE α t / Zα -α v : µ : µ : µ > µ µ µ > 6

17 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA REGIÓN DE RECAZO DE -α α t / Z α Pero sber óe se euetr l regó e rehzo o bst; es eesro ooer el vlor e oe prte. Este to se obtee reooeo el tpo e strbuó probblíst e l pobló hllo e sus tbls el vlor que ompre tl ofbl. Pr u pobló o strbuó orml, el vlor e l regó e rehzo se bus ( ) e ls tbls pr l strbuó t mete l epresó s l prueb es blterl ( ) t α t α o s es ulterl. Bst busr e ls tbls e l strbuó t los gros e lbert e tersetrlo o l ofbl, que epee el tpo e prueb. Flmete, se greg u sgo egtvo s l regó e rehzo (o u prte) se euetr e l seó feror el eje e ls X. Metrs tto, pr pobloes u strbuó es esoo pero el tmño e l muestr es gre ( > ), el vlor oe l regó e rehzo epee e ls epresoes Z α (pruebs blterles) o Z α (pruebs ulterles). Por ee, e este so h que ur ls tbls e strbuó orml busr el vlor e Z que teg l probbl que l ofz e l prueb gregr u sgo egtvo s l regó e rehzo está e l seó feror el eje e ls X. B.) PROCEDIMIENTO PARA EL CONTRASTE DE IPÓTESIS. Teeo l hpótess el vestgor v, plter l hpótess ul l hpótess ltertv.. Reooer l strbuó probblíst e l vrble e terés.. Determr el ESTADÍSTICO DE PRUEBA su strbuó probblíst. Es er, eotrr l epresó que otee l ompró el estísto muestrl o estmor el prámetro o el vlor hpotéto l vrbl muestrl. EXPRESIÓN PARA EL ESTADÍSTICO DE PRUEBA t EN POBLACIONES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL EXPRESIÓN PARA EL ESTADÍSTICO DE PRUEBA Z EN POBLACIONES CON DISTRIBUCIÓN DESCONOCIDA PERO > µ s t µ s Z 4. Clulr el estísto e prueb. 5. Determr el vel e sgf α e l prueb, sí omo l ubó el vlor e l regó e rehzo e l hpótess ul. 7

18 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA 6. Ubr el estísto e prueb o respeto l regó e rehzo e l hpótess ul ; s está etro e ell, rehzr l hpótess ul. S está fuer, olur o qué sgf o ofbl o se rehz. B.) EJEMPLOS DE CONTRASTE DE IPÓTESIS. E u vestgó sobre el remeto émo e los estutes e l ENA, u vrble e terés fue el tempo que tr los lumos pr trslrse e su s l esuel, el ul se lul meor 9 mutos. Supoeo que l pobló tee u strbuó orml prtr e los sguetes tos que se tomro e u muestr letor: ) Cotrstr l hpótess o u vel e sgf e.5. b) Costrur u tervlo l 95% e ofz pr l me e l pobló. Ate u problem sí, lo prmero que ebemos her es her eplíts ls hpótess: IPÓTESIS : µ < 9 : µ 9 : µ < 9 v Posterormete, reooemos l strbuó probblíst e l pobló los tos geerles e l muestr: DATOS GENERALES X~N(µ,σ) s Reoro uo eotrmos tervlos e ofz pr µ, sbemos que u epresó que relo los tos e l me poblol, l me muestrl, l esvó estár e l muestr que se pl pr pobloes o strbuó orml es: µ t ~t (-) s Doe l vrble t tee u strbuó t e stuet o gros e lbert (g.l.). Por tl motvo, est epresó os servrá pr lulr uestro estísto e prueb: EXPRESIÓN PARA EL ESTADÍSTICO DE PRUEBA t APLICACIÓN t µ s t Y o ese to, flt eotrr l regó e rehzo e l hpótess ul pr otrstrlos: 8

19 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA REGIÓN DE RECAZO DE : µ 9 ( ) () () α.5 α. 95 t t. 747 t α.5.95 Por últmo, h que ubr el estísto e prueb t o respeto est regó e rehzo olur: UBICACIÓN DE ESTADÍSTICO DE PRUEBA t CON RESPECTO A REGIÓN DE RECAZO DE ) Como poemos ver, el estísto e prueb t. 7se euetr etro e l regó e rehzo. Por ee, l hpótess ul : µ 9 se rehz puee frmrse que este eve estíst que que l me el tempo que he los estutes e su s l ENA es sgftvmete ( p <.5) meor 9 mutos, segú lo frmb l hpótess el vestgor. Ahor be, rest estbleer el tervlo e ofz pr l me e est vrble ofrmr el resulto: DATOS GENERALES X~N(µ,σ) s IPÓTESIS : µ < 9 : µ 9 : µ < 9 v CONFIABILIDAD Y SIGNIFICANCIA α.5 α 5. α. 975 EXPRESIÓN PARA INTERVALO ( ) VALOR DE µ t t α ( ).. ( ).. g l g l ( ) α 4.75 s ( ) t α t APLICACIÓN µ µ ( 47.6,84.6) COMPARACIÓN CON LA µ ( 47.6,84.6) vs. v : µ < 9 IPÓTESIS b) Co u 95% e ofz se puee ferr que l me el tempo que he los estutes e su s l ENA está etre los 47.6 los 84.6 mutos, lo ul ofrm, omo señló el vestgor l prueb e hpótess, que l me e est 9

20 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA vrble es meor 9.. Asummos que l vrble gsto ro e reló estuos e l pobló estutl e l ENA es u vrble que sgue u strbuó prommete orml. S supoemos que los sguetes tos orrespoe u muestr letor e estutes el turo vesperto: ) Es posble frmr que el gsto ro es mor e $7.? Cosérese u sgf e.5. b) Euetre el tervlo l 95% e ofz pr l me e l pobló. DATOS GENERALES X~N(µ,σ) s. IPÓTESIS : µ > 7 : µ 7 : µ > 7 v REGIÓN DE RECAZO DE ( ) (8) (7) α.5 α. 95 t t. 796 t α.5.95 EXPRESIÓN PARA EL ESTADÍSTICO DE PRUEBA t CÁLCULO DEL ESTADÍSTICO DE PRUEBA t t t µ s UBICACIÓN DE ESTADÍSTICO DE PRUEBA t CON RESPECTO A REGIÓN DE RECAZO DE ) El estísto e prueb t 5. se hll fuer e l regó e rehzo, motvo por el ul l hpótess ul : µ 7 o se rehz. De est form, o se tee eve estíst que soporte l frmó el vestgor e que l me el p >.5 mor $7.. gsto ro estutl se sgftvmete ( ) DATOS GENERALES X~N(µ,σ) s. IPÓTESIS : µ > 7 : µ 7 : µ > 7 v

21 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA CONFIABILIDAD Y SIGNIFICANCIA α.5 α 5. α. 975 EXPRESIÓN PARA INTERVALO ( ) VALOR DE µ t t α ( ).. ( 8 ) 7.. ( ) α ( ) (8) (7) g l g l t α t t s APLICACIÓN µ µ ( 9.44,5.44) COMPARACIÓN CON LA µ ( 9.44,5.44) vs. v : µ > 7 IPÓTESIS b) Co u 95% e ofz se puee ferr que l me el gsto ro e l pobló e l ENA se euetr etre los pesos. Debo ello, o u 5% e error, puee frmrse que l hpótess el vestgor er orret l er que el promeo e este gsto er superor los $7.. PRUEBA DE NORMALIDAD A f e omprobr s l pobló estu e l ul se h obteo u muestr tee strbuó orml, este vros métoos pr otrstr ls sguetes hpótess: o : L muestr proee e u pobló o strbuó orml. : L muestr o proee e u pobló o strbuó orml. Dos e ls más utlzs so l prueb e Kolmogorov-Smrofv l prueb e Shpro-Wlks, pero quí sólo revsremos l segu que es más potete. A. PRUEBA DE SAPIRO-WILKS El proemeto e est prueb osste e obteer los estístos e ore X (), X ( ), X ( ),..., X ( ) A.) TEORÍA Teeo u muestr e tmño o tos X X X,..., X,,, lo prmero que ebe herse es orerlos e form seete pr ubr los estístos e prueb X (), X ( ), X ( ),..., X ( ). Relzo esto, se obtee los sguetes tos: DATOS Número totl e tos e l muestr. s Vrz e l muestr. h Número totl e sumos que se hrá e el estísto e prueb W. Dtos que se lul e l sguete form:

22 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA S es u úmero pr: Ahor be, se lul el estísto e prueb h S es u úmero o: W h EXPRESIÓN PARA EL ESTADÍSTICO DE PRUEBA W W h, + ( ) j s j Doe ( ) X X ( j ) ( j ) j, es u vlor e tbls e Coefete + X ( j+) X ( j ) so los estístos e ore. Como puee verse e l epresó, l sumtor empez o el j, por lo ul el prmer X ( j ) orrespoe l prmer estísto e ore, el seguo X ( j ) l seguo estísto e ore sí suesvmete. Metrs tto, el prmer vlor e orrespoe l últmo estísto e ore, el seguo l peúltmo, et. Por tl motvo, lo que se he e epresó [ X ( ) ( )] j+ X j es restr los opuestos estístos e ore elevrlos l uro. Sgueo l epresó, tles vlores se multpl espués por el j, que se eotrrá terseto l fl o el úmero e j que se utlzó e ese sumo otr l olum que tee el vlor e l muestrl e ls tbls e Coefete. + Por últmo, l sum e esos proutos se ve etre prouto e l vrz e l muestr. s por ( ) S el estísto e prueb W es meor W α que se euetr terseto el to e otr l sgf α e ls tbls e Peretles pr W, l hpótess ul se rehz. Esto es: o TIPO DE IPÓTESIS o o SE RECAZA SI: o : L muestr proee e u pobló o strbuó orml. W < W α A.) EJEMPLO Dos los sguetes tos eotros: X 95.6 X X X 9. X X 8 7.

23 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA X 8.5 X X Der s l pobló e oe provee est muestr tee o o strbuó orml o u sgf α e.5. o IPÓTESIS : L muestr proee e u pobló o strbuó orml. : L muestr o proee e u pobló o strbuó orml. ESTADÍSTICOS DE ORDEN X () 8. 5 X ( 4 ) 65. X ( 7 ) X ( ) 9. X ( 5 ) 7. X ( 8 ) X ( ) 4. 4 X ( 6 ) X ( 9 ) (mpr) DATOS 9 8 s 68. / h 4 Cálulo el estísto e prueb W : W 8 s () W 4, () j 8 s j ( ) X X ( j ) ( j ) { } [,9 ( X ( 9) X ( ) ) +,9 ( X ( 8) X ( ) ) +,9 ( X ( 7) X ( ) ) + 4,9 ( X ( 6) X ( 4) )] W W 8 () 8 s () { } [.5888( X ( 9) X ( ) ) +.44( X ( 8) X ( ) ) +.976( X ( 7) X ( ) ) +. ( X ( 6) X ( 4) )] 947 s {[.5888( ) +.44( ) +.976( ) +.947( )] } W 8 s () W { } () s W.96 W TIPO DE IPÓTESIS CONTRASTE DE IPÓTESIS : L muestr proee e u pobló o o o

24 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA EXPRESIÓN PARA CONTRASTE DE IPÓTESIS VALORES FINALES A CONTRASTAR strbuó orml. W < W α 9 W.96 W Como el vlor el estísto e prueb W. 8 o es meor W so mor, l hpótess ul o : L muestr proee e u pobló o strbuó orml o se rehz se puee sumr que l pobló e l que fue tom est muestr tee u strbuó orml. PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS PARA LA MEDIA POBLACIONAL Cuo l pobló estu o tee strbuó orml l muestr que e ell hemos obteo es pequeñ ( < ), pr otrstr hpótess sobre su me (o me) que l opó e ehr mo e ls PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS. Cbe er, s embrgo, que l ser ests pruebs e lbre strbuó meos potetes, sólo ebe utlzrse omo últm ltertv. A. PRUEBA DEL SIGNO Prueb o prmétr uo otrste e hpótess se bs e los sgos e ls feres el vlor e to e l muestr o el vlor hpotéto. A.) TEORÍA Teeo u muestr e tmño o tos X, X, X,..., X, lo prmero que ebe herse es lulr sus feres o respeto l vlor hpotéto µ mete l sguete fórmul: ( X µ ): X ( X µ ) X ( ) X µ X ( ) X µ X ( X µ ) (...) (...) X ( X ) + - µ eho esto, esoto los uo vlor fue ero, h que stgur los que slero o vlor egtvo e los que tuvero vlor postvo pr obteer los sguetes tos: DATOS + Número totl e postvos. Vlor mor etre +. Número totl e egtvos. Sum e +. 4

25 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Teeo eso, e uero l tpo e hpótess ul sguete fórmul pr lulr el estísto e prueb: o plte, se pl l TIPO DE IPÓTESIS o o : µ µ o : µ µ o : µ µ EXPRESIÓN PARA EL C ESTADÍSTICO DE PRUEBA C C + p p p p E toos los sos, s el vlor resultte el estísto e prueb p es meor l sgf α eterm por el vestgor ( p < α ), l hpótess ul o se rehz. Es er: TIPO DE IPÓTESIS o o o : µ µ o : µ µ o : µ µ SE RECAZA SI: ( p < α ) A.) EJEMPLO. U ompñí surte botells e refreso que se etquet o ozs. Cuo l Proururí Feerl el Cosumor (PROFECO) prueb u muestr letor e botells, obtee ls sguetes tes: X.4 X. 4 X 5 7. X. 9 X. 5 X.8 X 9 5. X 8. X. 9 X. 5 4 X.7 X 6. X 9. X. X 6 5. S utlzmos u vel e sgf e.5, este sufete eve pr oumetr l usó eu l PROFECO e que l ompñí embotellor está egño los osumores o tes meores e ozs? IPÓTESIS : µ < : µ : µ < v X ( X ).4 o µ +.4. X ( ) 6.8 X (.8 )..7 X (.7 ) X ( ) X (.9 ) X (. ) X (.5 ) X (. ) 9. 8 X (.)..9 9 X (.9 ). 5

26 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA X (.9 )..9. X (. )..5 X (.5 ) X (.5 ) X (.6 ). 6 5 TOTALES TIPO DE IPÓTESIS EXPRESIÓN PARA CALCULAR EL ESTADÍSTICO DE PRUEBA p o DATOS {,9} 9 CONTRASTE DE IPÓTESIS o : µ C p 4C 9 p CÁLCULO DE p 4 C9 + 4C+ 4C+ 4C+ 4C+ p 684 EXPRESIÓN PARA ( p < α ) CONTRASTE DE IPÓTESIS VALORES FINALES A CONTRASTAR p. α. 5 Como vemos, el estísto e prueb p. o es meor l sgf α.5 ; por ee, l hpótess ul o : µ o se rehz. Ello quere er que el oteo promeo evso por l embotellor o es sgftvmete ( p >.5) meor ozs, sí que ls ems terpuests te l PROFECO o tee susteto. B. PRUEBA DE RANGOS DE WILCOXON Prueb o prmétr uo otrste e hpótess es más potete que l el sgo, que o sólo tom e uet ls feres el vlor e to e l muestr o el vlor hpotéto, so tmbé oser los rgos sgos l vlor bsoluto e tles feres. B.) TEORÍA Al gul que e l prueb el sgo, teeo u muestr e tmño o tos X, X, X,..., X, lo prmero que ebe herse quí es lulr ls feres e estos tos o respeto l vlor hpotéto µ trvés e l fórmul ( X µ ). C. 6

27 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA De ello se obtee el vlor bsoluto postvo o egtvo. e, pero se mr s su orge fue X ( X µ ) X ( X µ ) X ( ) X µ X ( X µ ) (...) (...) X ( X ) µ sgo A otuó, tles vlores se ore e meor mor. Asmsmo, esoto los uo vlor fue ero, se empez umerr el resto e los tos pr sgrles u lugr u rgo, el ul se eue el lugr que tee (s h sólo u to o tl vlor) o promeo los lugres que oup los tos o gul vlor. oreos seetemete Lugr EJEMPLO Vlor Rgos e e que provee e rgo postvo Rgos e que provee e egtvo Posterormete, se stgue los rgos e que provee e egtvo f e poer obteer toos los sguetes tos: DATOS + T Sum e los vlores e los rgos e que provee e T Sum e los vlores e los rgos e que provee e T Vlor meor etre + T T. postvo postvo o egtvo. De uero l tpo e hpótess ul o es que se utlzrá u e ests T se le omprrá o u T e ls tbls e Wloo. TIPO DE IPÓTESIS T DE TABLAS CORRESPONDIENTE PARA ESTADÍSTICO DE PRUEBA o o : µ µ o : µ µ o : µ µ T α T α T α Doe es el úmero totl e 7

28 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA α o α es el vlor e l sgf E toos los sos, s l T e los tos es meor o gul l T e tbls, l hpótess ul se rehz. E otrs plbrs: o TIPO DE IPÓTESIS o o o : µ µ : µ µ : µ µ o o SE RECAZA SI: T T T T + α T T α α B.) EJEMPLO. U ompñí surte botells e refreso que se etquet o ozs. Cuo l Proururí Feerl el Cosumor (PROFECO) prueb u muestr letor e botells, obtee ls sguetes tes: X.4 X. 4 X 5 7. X. 9 X. 5 X.8 X 9 5. X 8. X. 9 X. 5 4 X.7 X 6. X 9. X. X 6 5. S utlzmos u vel e sgf e.5, este sufete eve pr oumetr l usó eu l PROFECO e que l ompñí embotellor está egño los osumores o tes meores e ozs? IPÓTESIS : µ < : µ : µ < v X ( X ).4 o µ X (.4 ). 6.8 sgo.6 - X (.8 ) X (.7 ) X (. ) X (.9 ) X (. ) X (.5 ) X (. ) 9. 8 X (.) X (.9 ) X (.9 )... - X (. ).. + 8

29 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA X (.5 ) X (.5 ) X (.6 ) oreos seetemete Lugr Vlor e rgo Rgos e que provee e postvo Rgos e que provee e egtvo DATOS + T.5 T 7. 5 T {.5,7.5}. 5 4 TIPO DE IPÓTESIS T DE TABLAS CORRESPONDIENTE PARA ESTADÍSTICO DE PRUEBA EXPRESIÓN PARA CONTRASTE DE IPÓTESIS VALORES FINALES A CONTRASTAR o CONTRASTE DE IPÓTESIS o T + : µ T α T α + 4 T.5 T T 6 α Pr este so, el vlor e T. 5 o es meor l T e tbls T.5 6, motvo por el ul l hpótess ul o : µ o se rehz. Debo ello orrobormos l olusó obte o l prueb el sgo: o seo el oteo promeo evso por l embotellor sgftvmete ( p >.5) meor ozs, se puee frmr que ls ems terpuests te l PROFECO o tee susteto. 9

30 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA ESTIMACIÓN DE LA PROPORCIÓN POBLACIONAL p A. FUNDAMENTOS Cuo se tee u vrble ulttv que tom os vlores ( {,} ) que se repte vees e u pobló e tmño N, M es el úmero e evetos que preset l rteríst e terés ( ). Por ee, veo M etre N obteemos l proporó poblol: p M N No obstte, l proporó poblol p, omo el resto e los prámetros, es u vlor esooo, rzó por l ul meuo es e terés estmr su vlor mete u tervlo e ofz u prueb e hpótess otr u vlor hpotéto p. B. CONDICIONES PARA SU ESTIMACIÓN Se puee plr u prueb e hpótess sobre l proporó muestrl pˆ sempre uo ore l Teorm Cetrl e Límte se teg u muestr e tmño o u proporó muestrl p ˆ m que umpl o los sguetes tres supuestos:. pˆ m > 5. ( p) m > 5 ˆ. > Cuo tles ooes o se umple, es eesro tomr u muestr más gre. C. INTERVALO DE CONFIANZA L epresó pr eotrr el tervlo e ofz pr l proporó poblol p es: EXPRESIÓN PARA ENCONTRAR UN INTERVALO AL ( α ) POR CIENTO DE CONFIANZA PARA p CUANDO LA POBLACIÓN TIENE DISTRIBUCIÓN APROXIMADAMENTE NORMAL ESTÁNDAR D. CONTRASTE DE IPÓTESIS D.) IPÓTESIS NULAS Y SU REGIÓN DE RECAZO p pˆ Z α pˆ ( p) ˆ Cuo se quere estmr el vlor e l proporó poblol p se puee plter ls sguetes hpótess: IPÓTESIS DEL IPÓTESIS IPÓTESIS NULA INVESTIGADOR ALTERNATIVA v : p p : p p : p p v : p < p : p p : p < p v : p > p : p p : p > p Segú se el so e uero l sgf α, l regó e rehzo pr l hpótess ul será:

31 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA IPÓTESIS v : p p : p p : p p PRUEBA BILATERAL O DE DOS COLAS α REGIÓN DE RECAZO DE Z α/ α -α v : p < p : p p : p < p Z α/ α PRUEBA UNILATERAL O DE UNA COLA α REGIÓN DE RECAZO DE α Z α -α v : p > p : p p : p > p REGIÓN DE RECAZO DE -α α Z α Cbe meor que, l gul que e el otrste e hpótess sobre µ, e est prueb es eesro eotrr el vlor oe l regó e rehzo. Al epeer el Teorem Cetrl e Límte, los vlores pr est prueb epee e u strbuó prommete orml estár se eotrrá e su respetv tbl mete ls epresoes Z o Z α α, segú se l prueb (blterl o ulterl). Esto es, h que busr el vlor e Z que teg l probbl que l ofz e l prueb gregr u sgo egtvo s l regó e rehzo está e l seó feror el eje e ls X. D.) PROCEDIMIENTO PARA EL CONTRASTE DE IPÓTESIS 7. Comprobr los supuestos e l muestr pr verfr l ftbl e l prueb. 8. S tles ooes se umple, epltr l hpótess el vestgor v, l hpótess ul l hpótess ltertv. 9. Clulr el estísto e prueb que ompr el estmor o el vlor hpotéto su vrbl:

32 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA EXPRESIÓN PARA CALCULAR EL ESTADÍSTICO DE PRUEBA Z EN POBLACIONES CON DISTRIBUCIÓN APROXIMADAMENTE NORMAL ESTÁNDAR pˆ p Z p ( p ). Determr el vel e sgf α e l prueb, sí omo l ubó el vlor e l regó e rehzo e l hpótess ul.. Ubr el estísto e prueb o respeto l regó e rehzo e l hpótess ul ; s está etro e ell, rehzr l hpótess ul. S está fuer, olur o qué sgf o ofbl o se rehz. D.) P-VALOR Clulo omo sgf e el softwre estísto, el P-VALOR es l áre bjo l urv elmt por el estísto e prueb Z o l msm reó que l regó e rehzo e l hpótess ul. Est áre o probbl se obtee tmbé mete los tos e tbls s su vlor es meor l sgf α e l prueb e hpótess, l hpótess ul se rehz. e quí l form pr eotrr su vlor: ÁREA DEL P-VALOR < De De PROBABILIDAD DE P-VALOR Z < P( Z < Z < Z ) Z P ( Z < ) Z Z P ( Z > ) Z BÚSQUEDA DE P-VALOR P Z < Z < Z P Z > Z + P Z < Z P( Z < Z ) + P( Z < Z ) Se sum l probbl e los vlores e Z Z. P ( Z < Z ) Se bus l probbl el vlor e Z. P( Z > Z ) P( Z < Z ) Se bus l probbl el vlor e Z ( ) ( ) ( ) E. EJEMPLOS DE ESTIMACIÓN. E u muestr e 59 petes teros e u hosptl psquátro, 4 mtero que osumero mrhu l meos u vez urte su v. Es posble ferr que l proporó e vuos que osumero mrhu e l pobló e estuo es mor e.? ) Relzr u prueb e hpótess o u vel e sgf α. 5 ) Eotrr el p-vlor o sgf e l prueb. e) Costrur u tervlo l 95% e ofz pr l proporó poblol. DATOS GENERALES 59 m 4 p ˆ 4. 5 p ˆ Segú el proemeto pr el otrste e hpótess, lo prmero que ebemos her es omprobr que los tres supuestos se umpl:

33 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA. pˆ > 5. ( pˆ ) > 5. > > > 5 59 > ( 59 )( ) 85 ( ) 5 Comprobo ello, poemos plter ls hpótess pr otrstr: IPÓTESIS v : p >. : p. : µ >. Ahor be, h que lulr el estísto e prueb: EXPRESIÓN PARA EL ESTADÍSTICO DE PRUEBA Z.5. Z pˆ p Z Z p ( p ).5. APLICACIÓN.(.).(.7) Teeo ese to, flt reooer l sgf α, su vlor e tbls l regó e rehzo que elmt: REGIÓN DE RECAZO DE : p. α.5 α. 95 Z. 645 Z α.95 Pr olur el otrste e hpótess rest ubr el estísto e prueb respeto est regó e rehzo olur: Z o UBICACIÓN DE ESTADÍSTICO DE PRUEBA Z CON RESPECTO A REGIÓN DE RECAZO DE ) El estísto e prueb Z. 65 e etro e l regó e rehzo, rzó por l ul l hpótess ul : p. se rehz se fere que l proporó poblol e teros que usro mrhu es sgftvmete ( <.5).. Clulemos hor el p-vlor pr omprobr este resulto: p mor

34 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA ÁREA DEL P-VALOR De Z.65 PROBABILIDAD DE P-VALOR P ( >.65) Z P BÚSQUEDA DE P-VALOR ( Z >.65) P( Z <.65) P ( <.65). 4 Z VALORES A COMPARAR p vlor. 4 α. 5 b) El p vlor. 4 es meor l sgf α. 5, motvo por el ul l hpótess ul : p. se vuelve rehzr. Por últmo, h que ostrur el tervlo e ofz pr l proporó poblol: CONFIABILIDAD Y SIGNIFICANCIA α.95 α. 5 α. 5 α. 975 ( ) EXPRESIÓN p PARA ˆ pˆ p pˆ Z INTERVALO α VALOR DE Z Z Z. 96 α APLICACIÓN COMPARACIÓN CON LA IPÓTESIS Z α.5 (.65) p p (.,.9) p vs. : p >. v (.,.9) ) Co u 95% e ofbl es posble ferr que l proporó poblol e persos ters que lgu vez fumro mrhu está etre..9. Tl tervlo susteto estísto l hpótess el vestgor, que l estm e u vlor mor.. ESTIMACIÓN DE LA VARIANZA POBLACIONAL σ A. FUNDAMENTOS Cuo e u pobló se tee u vrble otu o strbuó orml se ese estmr su vrbl, es posble tmbé estmr u tervlo e ofz her u otrste e hpótess sobre l vrz l esvó estár. B. INTERVALO DE CONFIANZA A otuó se preset l epresó pr eotrr el tervlo e ofz e l vrz l esvó estár e u pobló: EXPRESIÓN PARA ENCONTRAR UN INTERVALO α POR CIENTO DE CONFIANZA PARA σ CUANDO LA POBLACIÓN TIENE DISTRIBUCIÓN NORMAL AL ( ) σ ( ) ( ) s, χ s ( ) ( ) α χ α 4

35 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA EXPRESIÓN PARA ENCONTRAR UN INTERVALO AL ( α ) POR CIENTO DE CONFIANZA PARA σ CUANDO LA POBLACIÓN TIENE DISTRIBUCIÓN NORMAL σ ( ) χ ( ) ( ) ( ) α χ α s, s Nótese que e ests epresoes los vlores mímo mámo el tervlo o se euetr smplemete resto o sumo el vlor que se hll e tbls, so que h que busr uo. C. CONTRASTE DE IPÓTESIS C.) IPÓTESIS NULAS Y SU REGIÓN DE RECAZO Igul que e ls estmoes terores, ls hpótess posbles pr otrstr el vlor e l vrz poblol σ so: IPÓTESIS DEL INVESTIGADOR : σ σ v v v : σ σ < : σ σ > IPÓTESIS NULA σ : σ : σ σ : σ σ IPÓTESIS ALTERNATIVA : σ σ : σ σ < : σ σ > Segú se el so e uero l sgf α, l regó e rehzo pr l hpótess ul será: v : σ σ IPÓTESIS : σ σ : σ σ PRUEBA BILATERAL O DE DOS COLAS REGIÓN DE RECAZO DE α/ -α/ ( ) χ ( ) α χ α v : σ σ < : σ σ : σ σ < PRUEBA UNILATERAL O DE UNA COLA REGIÓN DE RECAZO DE α ( ) χ α v : σ σ > : σ σ : σ σ > 5

36 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA REGIÓN DE RECAZO DE -α χ ( ) α Puee verse quí, l gul que e u prte e l epresó pr el tervlo e ofz e l vrz σ, que ls áres e l sgf o so gules. Ello se ebe, omo se verá e el sguete puto, que el estísto e prueb tee u strbuó j-ur χ, u gráf o tee u urv smétr. Por tl motvo, ( ) ( ) es eesro osultr e ess tbls los vlores e χ χ s l prueb es ( ) blterl ( ) χ α o χ α s es ulterl. Como e otrs osoes, esto mpl busr los gros e lbert e tersetr este regló o l olum e l sgf o ofbl requer. α α C.) PROCEDIMIENTO PARA EL CONTRASTE DE IPÓTESIS. Comprobr que l vrble teg u strbuó orml.. Do el so, her eplíts l hpótess el vestgor v, l hpótess ul l hpótess ltertv. 4. Clulr el estísto e prueb que ompr el estmor o el vlor hpotéto su vrbl: EXPRESIÓN PARA CALCULAR EL ESTADÍSTICO DE PRUEBA χ EN POBLACIONES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL χ ( ) σ s 5. Determr el vel e sgf α e l prueb, sí omo l ubó el vlor e l regó e rehzo e l hpótess ul. 6. Ubr el estísto e prueb o respeto l regó e rehzo e l hpótess ul ; s está etro e ell, rehzr l hpótess ul. S está fuer, olur o qué sgf o ofbl o se rehz. D. EJEMPLOS DE ESTIMACIÓN. Los sguetes tos orrespoe ls ees e outores que oup el rrl pr rebsr metrs oue 5 mlls por hor o l luz termtete reol zquer fuoo. Supog strbuó orml e est pobló. f) Es posble ferr que l vrz e est pobló es meor 7 ños? Relzr u prueb e hpótess o u sgf α. 5. g) Estmr el tervlo pr l vrz o u ofz e 95%. DATOS GENERALES 6

37 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA X~N(µ,σ) s 4. 6 Sbeo que l pobló umple o u strbuó orml, plteemos ls hpótess otrstr: IPÓTESIS : σ < 7 : σ 7 : σ < 7 v Y lulemos el estísto e prueb: EXPRESIÓN PARA EL ESTADÍSTICO DE PRUEBA APLICACIÓN χ ( 7 ) χ.8 χ ( ) σ s U vez obteo este vlor, flt el e l regó e rehzo e l hpótess ul : α.5 REGIÓN DE RECAZO DE : σ 7 ( ) ( 7) ( 6) χ.5 χ.5 χ Y omprr sus uboes: UBICACIÓN DE ESTADÍSTICO DE PRUEBA χ CON RESPECTO A REGIÓN DE RECAZO DE ) El estísto e prueb χ. 8 o se euetr etro e l regó e rehzo e l hpótess ul : σ 7, por lo ul puee ferrse que l vrz p meor 7 ños. Ahor be, eotremos el tervlo e ofz pr l vrz e est pobló: e est pobló e outores o es sgftvmete ( >.5) CONFIABILIDAD Y SIGNIFICANCIA α.95 α. 5 α. 5 α. 975 EXPRESIÓN PARA INTERVALO σ ( ) ( ) s, χ s ( ) ( ) α χ α 7

38 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA VALORES DE ( ) ( ) χ χ α α APLICACIÓN COMPARACIÓN CON LA IPÓTESIS σ ( ) ( 7) ( 6) χ α χ χ ( ) ( 7) ( 6) χ α χ.5 χ.5 ( ) 4.6 ( 7 ) , σ (.,9.7) σ vs. : σ < 7 v (.,9.7) b) Co u 95% e ofz es posble frmr que l vrz e est pobló e outores se euetr e el tervlo emro por los vlores Como tl tervlo otee vlores mores 7, o h eve estíst que sustete l hpótess el vestgor, pero tmpoo l hpótess ul.. Utle u vel e sgf α. 5 pr probr l severó e que l esttur e mujeres supermoelos vrí meos que l esttur e ls mujeres e geerl, sbeo que mbs pobloes tee strbuó orml que l esvó estár e l esttur e l segu pobló es e.5 pulgs. Estturs e supermoelos DATOS GENERALES X~N(µ,σ) 8 s. 9 s. 4 IPÓTESIS : σ v < 6.5 : σ 6. 5 : σ < 6. 5 REGIÓN DE RECAZO DE : σ 6. 5 Vrz e pobló feme geerl σ (.5) 6. 5 α.5 ( ) ( 8) ( 7) χ.5 χ.5 χ EXPRESIÓN PARA ESTADÍSTICO DE PRUEBA CÁLCULO DEL ESTADÍSTICO DE PRUEBA χ χ χ χ ( ) σ ( 8 ) s UBICACIÓN DE ESTADÍSTICO DE PRUEBA χ CON RESPECTO A REGIÓN DE RECAZO DE 8

39 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Como el estísto e prueb χ. 84 e e l regó e rehzo e l hpótess ul : σ 6. 5, ést se rehz puee ferrse que l vrz e ls mujeres supermoelos es sgftvmete ( <.5) e geerl. p meor l e ls mujeres DATOS GENERALES X~N(µ,σ) 8 s. 9 s. 4 IPÓTESIS : σ v < 6.5 : σ 6. 5 : σ < 6. 5 CONFIABILIDAD Y SIGNIFICANCIA α.95 α. 5 α. 5 α. 975 EXPRESIÓN ( ) s ( ) s PARA σ ( ) ( ) INTERVALO, χ α χ α ( ) ( 8) ( 7) VALORES DE χ.9 α χ χ ( ) ( ) χα χ α ( ) ( 8) ( 7) χ α χ χ APLICACIÓN COMPARACIÓN CON LA IPÓTESIS σ.5 (.4 ) ( 8 ).5 8.4, σ (.79,.7) σ vs. : σ v < 6. 5 (.79,.7) L esttur e ls mujeres supermoelos tee u vrz etre.79.7, sí que, o u 95% e ofz, puee sustetrse l frmó el vestgor e que est vrbl es meor l vrz e 6.5 e l pobló feme geerl. 9

40 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA ESQUEMA FINAL PARA REALIZAR INFERENCIAS SOBRE LA MEDIA POBLACIONAL : µ µ vs. : µ µ : µ < µ : µ µ vs. : µ µ vs. : µ > µ L pobló tee strbuó orml? µ t ( ) α µ s t s L muestr es mor? (TCL) µ Z α µ s Z s PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS ) Sgo b) Wloo 4

41 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA TAMAÑO DE MUESTRA REQUERIDO PARA ESTIMACIÓN Cuo esemos otrstr hpótess sobre u prámetro poblol que tee strbuó orml, u uestó fumetl es ooer el tmño e l muestr eesro pr relzr tl proemeto. Sbeo que el mejor estmor putul e µ es, efremos omo el error muestrl: PARA MEDIAS PARA PROPORCIONES µ pˆ p A. TAMAÑO DE MUESTRA PARA ESTIMAR MEDIAS POBLACIONALES A.) POBLACIONES CUYO TAMAÑO TOTAL N ES DESCONOCIDO Como l vrble tee strbuó orml, poemos estrzrlo e l sguete form: σ µ Z σ Que gráfmete es: Y omo esemos que el error e muestreo se pequeño, s α elmt l regó e rehzo e l hpótess ul, pr que se euetre e est áre se ebe σ olur que: σ > Z α Por ee, pr sber el tmño e l muestr, e ello es eesro espejr : > Z α S teemos σ Aplmos l le > Z e los etremos σ α Z α Dejmos sol > σ Y pr espejrl Z α σ l elevmos l > uro A ello ebemos l sguete epresó: 4

42 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA EXPRESIÓN PARA CALCULAR EL TAMAÑO DE MUESTRA PARA ESTIMAR MEDIAS DE POBLACIONES CON TAMAÑO DESCONOCIDO > Z α σ L ul os que pr ooer el tmño e l muestr requer eestmos fjr u ofbl α e estmó eotrr el vlor e Z que le orrespoe; emás, estbleer u mgtu e error e estmó ooer el vlor e σ, que puee estmrse o u e vestgoes prevs o mete muestrs ploto. Clro está que, por su reló, mor ofz α, u mor muestr se eestrá; metrs que mor error e estmó, meor será l muestr requer. A.) POBLACIONES CUYO TAMAÑO TOTAL N ES CONOCIDO A fere e l epresó teror, s el tmño totl N e l pobló es ooo, l epresó pr lulr el tmño e muestr requero es: EXPRESIÓN PARA CALCULAR EL TAMAÑO DE MUESTRA PARA ESTIMAR MEDIAS DE POBLACIONES CUYO TAMAÑO SE CONOCE > N Z α σ ( N ) + Z σ α B. TAMAÑO DE MUESTRA PARA ESTIMAR PROPORCIONES POBLACIONALES B.) POBLACIONES CUYO TAMAÑO TOTAL N ES DESCONOCIDO Como e proporoes l vrz equvle σ p( p) el tmño e muestr requero es:, l epresó pr lulr EXPRESIÓN PARA CALCULAR EL TAMAÑO DE MUESTRA PARA ESTIMAR PROPORCIONES DE POBLACIONES CON TAMAÑO DESCONOCIDO > Z α p ( p) B.) POBLACIONES CUYO TAMAÑO TOTAL N ES CONOCIDO Por últmo, s lo que se ese es lulr el tmño e muestr eesro pr estmr proporoes e u pobló uo tmño N se ooe, se utlz l sguete epresó: EXPRESIÓN PARA CALCULAR EL TAMAÑO DE MUESTRA PARA ESTIMAR MEDIAS DE POBLACIONES CUYO TAMAÑO SE CONOCE > N Z α p ( p) ( N ) + Z p( p) α 4

43 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA C. EJEMPLO DE APLICACIÓN. Jr ese her u euest sobre ls preferes que este e l esuel pr ls próms eleoes e retor e l ENA h pleo relzr su estmó o u 95% e ofz u 5% e error. Sbeo que p( p) es mámo uo p. 5 h tres tos, supoe u proporó e p.. DATOS GENERALES α.95 α. 5 α 5. α. 975 Z p. p. 67 α ) Qué tmño e muestr eestrá Jr pr her estmoes sobre ls proporoes e este feómeo? EXPRESIÓN PARA CALCULAR EL TAMAÑO DE MUESTRA PARA ESTIMAR PROPORCIONES DE POBLACIONES CON TAMAÑO DESCONOCIDO APLICACIÓN > Z > (.96) (..67) (.5) α p ( p) 9.75 Pr relzr u estmó sobre ls proporoes e prefere sobre el prómo retor e l ENA, Jr eest u muestr mor 9.75; lo ul, hblo e persos, mpl euestr lreeor e 4 persos. b) Preveo los ostos tempo que se llevrá euestr 4 persos, Jr ee euestr sólo los estutes. Sbeo que h prommete lumos e l ENA, es que o este mbo reurá su muestr?, uáto?. EXPRESIÓN PARA CALCULAR EL TAMAÑO DE MUESTRA PARA ESTIMAR MEDIAS DE POBLACIONES CUYO TAMAÑO SE CONOCE APLICACIÓN > > N Z p( p) α ( N ) + Z p( p) α (.96) (..67) (.5) ( ) + (.96) (..67) 9.54 S sólo euestr lumos, el tmño e l muestr que Jr requerrí pr her estmoes sobre ls preferes pr retor e l ENA serí e 9.54; es er, 5 estutes. EJERCICIOS DE REPASO I. Defe los sguetes oeptos:. pótess. pótess estíst. Error tpo I 4. Error tpo II 5. Sgf estíst 6. Regó e rehzo 7. Estísto 8. Prámetro 9. Qué es? qué es e prueb µ?. Qué es σ? Qué es s?. Qué es ˆp? Qué es p?. Pote e l prueb 4

44 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA II. Resolver los sguetes problems, terpreto los resultos eotros.. E u estuo relzo por errer López sobre u pobló ftl e l regó e l serr orte e Puebl se obtuvo, etre otros resultos, que l esttur promeo e 5 hombres e ños e Zpotl, Puebl fue e 4.8 m. o u esvó estár e 7.89m. Supoeo strbuó orml e l pobló ) Este eve pr frmr que l esttur e l pobló e ños e ños e est regó es meor e 4 m.? Se α. b) Eotrr u tervlo l 9% e ofz pr l me e esttur e l pobló.. E u estuo sobre remeto esrrollo relzo por Vlluev, Séz Serro etre otrs mes, se oseró l esttur seto e ños etre 9 ños e l omu e L Vll e ls Mrgrts, Chps. E 4 ños que estb e el rgo e.6.5 ños e e se obtuvo u me e 7. m. u esvó estár e 7.6. ) Proporo estos tos eve pr frmr que l pobló tee u esttur seto meor e 7 m.? Se α.5 b) Estmr por tervlo l 95% e ofz l me e l esttur seto e l pobló.. E u eprtmeto e res e u e e supermeros se emp re mol e res e repetes que se supoe otee u klogrmo. U muestr letor e 4 pquetes o peso promeo e.9 klos o u esvó estár e.8 klos. ) S uste fuer el gerete e otrol e l quser teer l ertez e que l t promeo e re mol es e ver e klogrmo, qué hpótess probrí? b) Determe el vlor e p pr l prueb el so ) ) Estbleer u tervlo l 95% e ofz pr l me e l pobló. ) De qué mer rí ooer los resultos e su estuo u grupo e osumores teresos? Los problems 4 l se refere los tos sobre perepó, ó seul tropometrí que fuero reoletos e el grupo (s o los tees puees bjrlos e l reó: Cotrstr l hpótess orrespoete elborr u tervlo e ofz oe se pertete. E toos los sos oserr α.5 e tervlos l 95% e ofz e terpretr toos los resultos. errer Butst, Rebe López Aloso Sergo (995) Dstrbuó e tll peso e pobló ftl e l regó e l serr orte e Puebl, Méo Estuos e tropologí blológ V Coloquo e Atropologí Fís Ju Coms, Méo, IIA, UNAM. VILLANUEVA MARÍA, SAÉNZ MA. ELENA Y SERRANO CARLOS. (98) Cremeto esrrollo e esolres e l Vll e ls Mrgrts, Chps Méo. E II Coloquío e Atropologí Fís Ju Coms, IIA, UNAM. pp

45 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA 4. Se puee supoer strbuó orml e l esttur tropométr e hombres? 5. Se puee sumr strbuó orml e ltur e roll e mujeres el turo vesperto? 6. Supoeo que l vrble perímetro e tur e mujeres o se strbue orml, es posble ferr que tom u vlor mor e 8 mm.? 7. L me e esttur e l pobló e hombres es meor e 65 mm.? 8. L me e l ltur e l roll e mujeres es ferete e 5mm.? 9. L vrz poblol e l esttur totl e mujeres es e 5 mm²?. L proporó e mujeres que h teo reloes seules es mor e.65?. l proporó e mujeres que se utoperbero omo l fgur 6 es meor e.5?. Ls utores e u uvers oser que el vel e retó eberí ser mor l 65%. E u urso e boestíst tomo por 5 lumos 8 ret. ) Proporo estos tos pr ofrmr que el urso se euetr e uero o lo proosto por ls utores. Se α.5. b) Determr u tervlo l 95% e ofz pr l proporó e lumos que ret.. El sguete uestoro fue respoo por u muestr e 5 geólogos. Los úmeros e l ereh so ls freues e respuest e opó:. revso urte el ño pso u o más mujeres embrzs o lts oetroes e plomo e l sgre? ) S 75 b) No 75. Aostumbr omo rut poer l tto sus petes embrzs e que el fumr es resgoso pr el feto? ) S 8 b) No ) Es posble olur que, e l pobló muestre meos el 5% e los geólogos h teo u o más mujeres embrzs o lts oetroes e plomo e l sgre? Se α.. Costrur tervlo l 99% e ofz pr l proporó poblol. b) es posble olur que más el 9% e los méos poe l tto sus petes e que fumr es resgoso pr el feto? Se α.5. Costrur tervlo l 95% e ofz pr l proporó poblol. 4. E u esuel se está pleo l ostruó e hs e bsketbll pues se ree que más e / e l pobló estutl lo prt. U euest relz etetó que, e 48 lumos elegos l zr, preferí omo eporte el bsketbll. Se puee ferr lo plteo? Se α.5. Co 95% e ofbl lulr u tervlo pr estmr l proporó e lumos e to l esuel que prefere bsketbll. Iterprete su resulto. 45

46 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA 5. U tropólogo físo h meo l p el ráeo e 8 fósles e ultos e u tpo roe etto. Obtuvo u me muestrl e 8 m o s 9 m. Clule u tervlo e ofz vel 95% pr l p promeo el ráeo e este tropoe. 6. Dtos e l Euest Nol e Almetó Nutró e el meo rurl 996 muestr que el esto e Guerrero preset l mor proporó e ños esutros el pís e meos rurles segú el peso pr l e o u vlor e.6. S l muestr oser fue e 9 ños e el esto. ) se puee frmr que l proporó e ños e Guerrero es mor e.6? Se α.895 b) Costrur u tervlo l 9% e ofz pr l proporó poblol. 7. L proutv e u sstem que fbr sos omptos vírgees es, segú los empresros más e 5 sos por hor. De resultr erto esto, u ompñí squer omprrá ho sstem. Tomo el sstem prueb, lo tv e 8 hors ( hor es u muestr) obtee u me e 55.8 o u esvó estár e 7.8. Comprrá el sstem e uestó? Respoer est pregut supoeo strbuó orml e l pobló, o ls os metoologís e fere: ) Mete u prueb e hpótess o α.. b) Co u tervlo l 9% e ofz. 8. E u estuo sobre los efetos e l otmó mbetl se mero ls oetroes e hemoglob e 5 persos que hbt e l zo olte o l zo ustrl e Nulp, obteeo los sguetes vlores: 5.6, 4.8, 4.4, 6.6,.8, 4., 7., 8.6, 6., 4.7, 5.7, 6.4,.9, Supoeo que l pobló e l ul se etre l muestr o se strbue prommete orml, es posble olur que l oetró e hemoglob e est regó es mor e 6? 46

47 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA UNIDAD II COMPARACIÓN DE DOS MEDIAS POBLACIONALES Cuo lo que se ese es omprr os pobloes trvés e su me, lo prmero que ebe reooerse es s l vrble omprr tee o o strbuó orml plo l prueb e Shpro-Wlks. A. COMPARACIÓN EN POBLACIONES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL S be es posble supoer strbuó orml e l vrble e mbs pobloes, ls epresoes pr ostrur tervlos e ofz omprr ls mes epee ú e otro requsto: s puee sumrse que sus vrzs so gules o o, lo ul se verf trvés e l prueb e Levee. ) PRUEBA DE LEVEANE Se trt e u prueb pr omprr ls vrzs σ σ e u vrble o strbuó orml e os pobloes e tmño N N, o mes µ µ. ) pótess ul regó e rehzo Como el f es smplemete ferr s ls vrzs e mbs pobloes so estístmete gules o o, ls hpótess e est prueb so: IPÓTESIS NULA IPÓTESIS ALTERNATIVA : σ σ : σ σ REGIÓN DE RECAZO (, ) F α El vlor oe omez l regó e rehzo se euetr ueo ls (, ) tbls F e Fsher mete l epresó, oe los gros e lbert so ( ) e el umeror ( ) F α e el eomor. b) Proemeto pr el otrste e hpótess. Tomr u muestr e pobló obteer sus vrzs muestrles.. Defr l muestr o vrz mor o el úmero l meor o el úmero os; es er, l muestr tee u vrz s, que es mor que l vrz s e l muestr.. Grs ello, puee lulrse el estísto e prueb: 47

48 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA EXPRESIÓN PARA CALCULAR EL ESTADÍSTICO DE PRUEBA F EN POBLACIONES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL F s s oe el umeror es sempre mor que el eomor el resulto tee u strbuó F e Fsher o ( ) gros e lbert e el umeror ( ) gros e lbert e el eomor. 4. Determr el vel e sgf α e l prueb, sí omo l ubó el vlor e l regó e rehzo e l hpótess ul. 5. Ubr el estísto e prueb o respeto l regó e rehzo e l hpótess ul ; s está etro e ell, rehzr l hpótess ul. S está fuer, olur o qué sgf o ofbl o se rehz. U vez que se olue s ls vrzs e mbs pobloes so estístmete gules o feretes, se tee elemetos ostrur tervlos e ofz her pruebs sobre sus mes. ) INTERVALOS DE CONFIANZA Como se h ho, l epresó pr ostrur u tervlo e ofz pr l fere etre ls mes e os pobloes epee el resulto e l prueb e Levee. De uero ell: VARIANZAS IGUALES σ σ VARIANZAS DIFERENTES σ σ ( ) + µ µ t Sp + ( + ) α µ µ t α Y sus resultos se terpret e l sguete form: VALORES RESULTANTES INTERPRETACIÓN Vlores egtvos µ < µ Vlores postvos µ > µ Vlores egtvos postvos µ µ (que lue l ero) s s + ) PRUEBA t Cubertos los terores requstos, es está l prueb que ebe utlzrse pr omprr os pobloes trvés e sus mes: ) pótess ul regó e rehzo L ompró e mes pobloles que est prueb relz permte o sólo estbleer s so feretes, so tmbé s lgu es mor que otr, motvo por el ul ls hpótess que puee plterse so: 48

49 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA IPÓTESIS DEL INVESTIGADOR : µ µ IPÓTESIS NULA IPÓTESIS ALTERNATIVA : µ µ v : µ µ v : µ < µ : µ µ : µ < µ v : µ > µ : µ µ : µ > µ Segú se el so e uero l sgf α, l regó e rehzo pr l hpótess ul será: IPÓTESIS : µ µ v : µ µ : µ µ PRUEBA BILATERAL O DE DOS COLAS α REGIÓN DE RECAZO DE α/ ( + ) t α -α α/ ( + ) t α v : µ < µ : µ µ : µ < µ PRUEBA UNILATERAL O DE UNA COLA α REGIÓN DE RECAZO DE ( + t α -α α ) v : µ > µ : µ µ : µ > µ REGIÓN DE RECAZO DE -α α ( + t α ) El vlor e oe l regó e rehzo se obtee mete ls epresoes ( + ) ( + ) t α s es blterl o t α s es ulterl. Pr eotrrlo, se bus e ls tbls e l strbuó t los gros e lbert se terset o l ofbl bus, que epee el tpo e prueb. Flmete, se greg u sgo egtvo s l regó e rehzo (o u prte) se euetr e l seó feror el eje e ls X. Como puee verse, los gros e lbert es gul l sum e los os tmños e muestr meos os. 49

50 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA b) Proemeto pr el otrste e hpótess. Teeo ls muestrs e tmño, obteer sus mes muestrles.. Depeeo el resulto e l prueb e Levee, lulr el estísto e prueb: VARIANZAS IGUALES σ σ t + Sp Doe Sp es u promeo e ls vrzs muestrles s s, poero por los tmños e ls muestrs que se lul e l sguete form: Sp ( ) s + ( ) + s VARIANZAS DIFERENTES σ σ t s s + que tee u strbuó t e stuet o + gros e lbert.. Determr el vel e sgf α e l prueb, sí omo l ubó el vlor e l regó e rehzo e l hpótess ul. 4. Ubr el estísto e prueb o respeto l regó e rehzo e l hpótess ul ; s está etro e ell, rehzr l hpótess ul. S está fuer, olur o qué sgf o ofbl o se rehz. ) EJEMPLOS DE APLICACIÓN. Los sguetes tos e esttur e etímetros perteee os muestrs letors (feme msul) e estutes e l ENA. Supog strbuó orml e sus pobloes. MUJERES OMBRES Co u sgf e α. 5 : ) es posble ferr que l vrz e esttur feme es ferete l msul e los estutes e l ENA? b) es posble olur que l esttur me feme es meor que l msul e ests pobloes? ) ostrur u tervlo pr l fere e mes l 95% e ofz. 5

51 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA DATOS GENERALES MUJERES s 8. 5 Pobló OMBRES s Pobló v : σ σ IPÓTESIS : σ σ : σ σ REGIÓN DE RECAZO DE σ : σ (, ) (6,7 ) (5,6) α.5 F F F. 94 α.5.95 EXPRESIÓN PARA ESTADÍSTICO DE PRUEBA CÁLCULO DEL ESTADÍSTICO DE PRUEBA F F s F F s ( 8.5) ( 6.65).47 UBICACIÓN DE ESTADÍSTICO DE PRUEBA F CON RESPECTO A REGIÓN DE RECAZO DE ) Como el estísto e prueb F. 47 está fuer e l regó e rehzo que (5,6) e F , l hpótess ul : σ σ o se rehz puee ferrse que l vrz e l esttur e ests os pobloes o es sgftvmete p >.5 ferete. ( ) Teeo el resulto e l prueb e Levee, es posble omprr ls mes o l prueb t : IPÓTESIS : µ µ v : µ < µ : µ < µ REGIÓN DE RECAZO DE : µ µ ( ) (6 7 ) () α.5 α t t t. 77 α

52 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA RESULTADO P. LEVEANE EXPRESIÓN PARA ESTADÍSTICO DE PRUEBA t CÁLCULO DE Sp CÁLCULO DEL ESTADÍSTICO DE PRUEBA t Sp Sp σ : σ t + Sp ( ) s + ( ) + s ( 6 )( 8.5) + ( 7 )( 6.65) t UBICACIÓN DE ESTADÍSTICO DE PRUEBA t CON RESPECTO A REGIÓN DE RECAZO DE b) Como el estísto e prueb t. 59 e e l regó e rehzo que prte () e t , l hpótess ul : µ µ se rehz puee ferrse que esttur feme es sgftvmete ( p <.5) meor l msul e ls pobloes e estutes e l ENA. Flmete, poemos ostrur el tervlo e ofz pr l fere e ls mes: RESULTADO P. LEVEANE σ : σ α α. 975 CONFIABILIDAD α. 95 α VALOR DE ( ) (6 7 ) () t t t.796 ( ) t α EXPRESIÓN PARA INTERVALO DE CONFIANZA APLICACIÓN α.5 µ µ t.975 ( + ) α Sp µ µ µ µ 9.79, 5.9 [ ] INTERPRETACIÓN Vlores egtvos µ < µ ) Co u 95% e ofz es posble ferr que l me e l pobló es meor que l e l pobló ; por lo ul se puee frmr que l esttur me feme es meor que l msul e ls pobloes e estutes e l ENA. 7 5

53 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA. Los sguetes tos perteee os muestrs letors e persos mores, fumores o fumores, e el íe e estruó e pulmó que presetro l morr (el ul es más gre mor eteroro pulmor). NO FUMADORES FUMADORES Supog strbuó orml oteste: ) Es posble ferr que ls vrzs pobloles so feretes? b) Es posble frmr que l estruó pulmor es mor e persos mores fumors? ) Costru u tervlo l 95% e ofz pr l fere e mes. DATOS GENERALES NO FUMADORES 9. 4 s Pobló FUMADORES s Pobló v : σ σ IPÓTESIS : σ σ : σ σ REGIÓN DE RECAZO DE : σ σ (, ) (9,6 ) (8,5) α.5 F F F. 64 α.5.95 EXPRESIÓN PARA ESTADÍSTICO DE PRUEBA CÁLCULO DEL ESTADÍSTICO DE PRUEBA F F s F F s ( 4.85) ( 4.48).7 UBICACIÓN DE ESTADÍSTICO DE PRUEBA F CON RESPECTO A REGIÓN DE RECAZO DE ) Como el estísto e prueb F. 7 está fuer e l regó e rehzo que.975 (8,5) e F., l hpótess ul o se rehz puee ferrse : σ σ que l vrz e l esttur e ests os pobloes o es sgftvmete p >.5 ferete. ( ) 5

54 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA IPÓTESIS : µ µ v : µ < µ : µ < µ REGIÓN DE RECAZO DE : µ µ ( ) (9 6 ) () α.5 α t t t. 79 α.5.95 RESULTADO P. LEVEANE EXPRESIÓN PARA ESTADÍSTICO DE PRUEBA t CÁLCULO DE Sp CÁLCULO DEL ESTADÍSTICO DE PRUEBA t Sp Sp : σ σ t Sp + ( ) s + ( ) + s ( 9 )( 4.85) + ( 6 )( 4.48) t UBICACIÓN DE ESTADÍSTICO DE PRUEBA t CON RESPECTO A REGIÓN DE RECAZO DE b) Como el estísto e prueb t. 66 e e l regó e rehzo que prte () e t , l hpótess ul : µ µ se rehz puee ferrse que l p <.5 mor e persos fumors. estruó pulmor es sgftvmete ( ) RESULTADO P. LEVEANE : σ σ α α. 975 CONFIABILIDAD α. 95 α VALOR DE ( ) (9 6 ) () t t t.687 ( ) t α EXPRESIÓN PARA INTERVALO DE CONFIANZA α.5 µ µ t.975 ( + ) α Sp + 54

55 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA APLICACIÓN µ µ µ µ [ 9.8,.4] INTERPRETACIÓN Vlores egtvos µ < µ ) Co u 95% e ofz es posble ferr que l me e l pobló es meor que l e l pobló ; por lo ul se puee frmr que l estruó pulmor es más gre e persos mores fumors Los sguetes e tos e perímetro rel (mm.) e eotos (-4 hors) fuero obteos urte u vestgó (968-97) e el Vlle e Cholul: OMBRES MUJERES Co u sgf e α. 5, es posble ferr que este feres por seo e el perímetro rel e ests pobloes? IPÓTESIS : µ µ v : µ µ : µ µ OMBRES: ESTADÍSTICOS DE ORDEN. X () X ( ) X ( ) X ( 4 ) 5 X ( 5 ) 9 X ( 6 ) 5 X ( 7 ) 5 X ( 8 ) 5 X ( 9 ) 54 X ( ) 56 X ( ) 65 DATOS 4. 9 s. 7 s EXPRESIÓN PARA EL ESTADÍSTICO DE PRUEBA W ( ) W (mpr) h j, + s j ( ) X X ( j ) ( j ) h 5 W 5 ( ) s j j, ( ) X X ( j ) ( j ) W ( ) ( ) +.5( 56 ) +.6( 54 ) ( 5 5) +.695( 5 ) s W [ 677.8] W ( ) 55

56 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA TIPO DE IPÓTESIS o EXPRESIÓN PARA CONTRASTE DE IPÓTESIS VALORES FINALES A CONTRASTAR CONTRASTE DE IPÓTESIS o : L muestr proee e u pobló o strbuó orml. W < W α W.95 W El estísto e prueb W. 948 o es meor W Por tl motvo, l hpótess ul o se rehz se fere que, e l pobló msul e l ul proee est muestr, l vrble hur broml tee u strbuó orml. MUJERES: ESTADÍSTICOS DE ORDEN. X () 7 X ( ) X ( ) X ( 4 ) X ( 5 ) 7 X ( 6 ) 9 X ( 7 ) X ( 8 ) X ( 9 ) X ( ) X ( ) 5 X ( ) 5 X ( ) 4 X ( 4 ) 45 DATOS 9. 4 s 8. s 64. EXPRESIÓN PARA EL ESTADÍSTICO DE PRUEBA W ( ) W 4 (pr) h j, + s j ( ) X X ( j ) ( j ) 4 h 7 W 7 ( ) s j j, ( ) X X ( 4 j ) ( j ) W ( ) s ( 7) +.8( 4 ) +.46( 5 ) ( 5 ) +.4( 7) +.77( 9) ( ) 8.85 W [ 8.85] W ( ) TIPO DE IPÓTESIS o EXPRESIÓN PARA CONTRASTE DE IPÓTESIS VALORES FINALES A CONTRASTAR CONTRASTE DE IPÓTESIS o : L muestr proee e u pobló o strbuó orml. W < W α 4 W.959 W El estísto e prueb W. 96 o es meor W Por tl motvo, l hpótess ul o se rehz se fere que, e l pobló feme e l ul proee est muestr, l vrble perímetro rel tee u strbuó orml. 56

57 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Comprobo que mbs pobloes tee strbuó orml pr est vrble, hemos l prueb e Levee: DATOS GENERALES OMBRES 4. 9 s. 7 Pobló MUJERES s 8. Pobló v : σ σ IPÓTESIS : σ σ : σ σ REGIÓN DE RECAZO DE : σ σ (, ) (,4 ) (,) α.5 F F F. 67 α.5.95 EXPRESIÓN PARA ESTADÍSTICO DE PRUEBA CÁLCULO DEL ESTADÍSTICO DE PRUEBA F F s F F s (.7) ( 8.).74 UBICACIÓN DE ESTADÍSTICO DE PRUEBA F CON RESPECTO A REGIÓN DE RECAZO DE Como el estísto e prueb F. 74 e e l regó e rehzo que e (,) F Por tl motvo, l hpótess ul : σ σ se rehz puee ferrse que l vrz el perímetro rel e ests os pobloes es p <.5 ferete. sgftvmete ( ) IPÓTESIS : µ µ v : µ µ : µ µ REGIÓN DE RECAZO DE : µ µ α.5 α ( ) ( 4 ) () t t α t 57

58 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA RESULTADO P. LEVEANE EXPRESIÓN PARA ESTADÍSTICO DE PRUEBA t CÁLCULO DEL ESTADÍSTICO DE PRUEBA t t : σ σ t s s UBICACIÓN DE ESTADÍSTICO DE PRUEBA t CON RESPECTO A REGIÓN DE RECAZO DE b) Como el estísto e prueb t. 9 e e l regó e rehzo que prte () e t , l hpótess ul : µ µ se rehz puee ferrse que este feres sgftvs ( p <.5) por seo e el perímetro rel e eotos e ls pobloes el Vlle e Cholul. RESULTADO P. LEVEANE : σ σ CONFIABILIDAD α. 95 α VALOR DE ( ) ( 4 ) () t t t.687 ( ) t α EXPRESIÓN PARA INTERVALO DE CONFIANZA APLICACIÓN α.5 µ µ t [ 5.,.88] α α ( + ) α µ µ µ µ s s INTERPRETACIÓN Vlores postvos µ > µ ) Co u 95% e ofz es posble ferr que l me e l pobló es meor que l e l pobló ; por lo ul se puee frmr que el perímetro rel e hombres es mor que el e mujeres etre los eotos e es lol. B. COMPARACIÓN EN POBLACIONES CON DISTRIBUCIÓN DESCONOCIDA B.) UTILIZANDO DOS MUESTRAS GRANDES S e uero l prueb e Shpro Wlks o es posble supoer strbuó orml e l meos u e ls os pobloes, pero ls muestrs obtes e ells so mores ( >, > ), grs l Teorem Cetrl e Límte puee utlzrse ls sguetes epresoes pr ostrur tervlos e ofz omprr sus mes: 58

59 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA EXPRESIÓN PARA ENCONTRAR UN INTERVALO AL ( α ) POR CIENTO DE CONFIANZA PARA µ µ CUANDO LA POBLACIÓN TIENE DISTRIBUCIÓN DESCONOCIDA PERO ( >, > ) µ µ Z α s s + EXPRESIÓN PARA EL ESTADÍSTICO DE PRUEBA Z EN POBLACIONES CON DISTRIBUCIÓN DESCONOCIDA PERO ( >, > ) Z s s + Como es posble ver, el estísto e prueb es u Z, el ul tee u strbuó orml estár. Debo ello es que se reurre, u vez más, ls tbls e strbuó orml pr obteer los vlores orrespoetes l sgf ofbl e l prueb. B.) UTILIZANDO DOS MUESTRAS PEQUEÑAS E so e que l meos u e ls muestrs o se sufetemete gre ( < ) pr plr el Teorem Cetrl e Límte, l últm ltertv es utlzr l prueb o prmétr U DE MANN-WITNEY. Auque el úo requsto pr emplerl es que l vrble volur se l meos orl, est prueb o sólo es meos potete, so que emás es sobre ls mes e ls pobloes o sobre sus mes. ) pótess ul regó e rehzo Como e otrs osoes, este hpótess uls posbles pr omprr ls mes e os pobloes: IPÓTESIS DEL IPÓTESIS IPÓTESIS NULA INVESTIGADOR ALTERNATIVA v : M M : M M : M M v : M < M : M M : M < M v : M > M : M M : M > M Cus regoes e rehzo, respetvmete, so ls sguetes: PRUEBA BILATERAL O DE DOS COLAS α REGIÓN DE RECAZO DE IPÓTESIS v : M M : M M : M M α/ (, U ) α PRUEBA v : M < M : M M : M < M -α/ ( ) U α, 59

60 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA UNILATERAL O DE UNA COLA α REGIÓN DE RECAZO DE α ( ), U α : M v M > : M M : M > M REGIÓN DE RECAZO DE -α (, ) U α Debe ejrse e lro que l form e l gráf e est strbuó o es espeífmete tl errse e ell sólo puee frmrse que o es smétr. Los vlores que elmt tles regoes, empero, puee eotrrse utlzo (, ) ls tbls pr l prueb e M-Whte mete ls epresoes U α (, ) U α s l prueb es blterl o u e ( ), U α o (, ) U α s l prueb es ulterl. Los vlores que tee u lf ret se euetr buso e los regloes e el vlor e, posterormete l sgf e l prueb por últmo tersetr ello o l olum e m, que es el vlor e. Empero, los que mpl eotrr l regó e rehzo l ereh ( α, α ) ebe lulrse prtr e los terores mete l sguete fórmul: EXPRESIÓN PARA ALLAR EL VALOR DE INICIO DE REGIONES DE RECAZO EN EL EJE SUPERIOR DE LAS X (, ) (, ) PRUEBAS BILATERALES U α U α PRUEBAS UNILATERALES U (, ) (, ) α U α b) Proemeto e otrste e hpótess. Teeo los tos X, X, X,..., X omo muestr e l pobló los tos Y, Y, Y,..., Y omo muestr e l pobló, se sg rgos toos los tos osero omo sólo u mbs muestrs.. A prtr e ello se obtee los sguetes tos: DATOS 6

61 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Tmño e l muestr. Tmño e l muestr. R Sum e los rgos e l muestr. R Sum e los rgos e l muestr.. Teeo eso se lul el estísto e prueb: EXPRESIÓN PARA EL ESTADÍSTICO DE PRUEBA U EN POBLACIONES CON DISTRIBUCIÓN DESCONOCIDA PERO Y MUESTRAS PEQUEÑAS U R ( ) + 4. El vlor obteo se ompr o l regó e rehzo elmt por el vlor e U que se obtuvo e ls tbls e M-Whte que epee e l sgf los tmños e ls muestrs. 5. Flmete se ub el estísto e prueb o respeto l regó e rehzo e l hpótess ul ; s está etro e ell, rehzr l hpótess ul. S está fuer, olur o qué sgf o ofbl o se rehz. ) Ejemplos e pló. Los sguetes tos orrespoe l ltur bso-bregm e ráeos msulos femeos perteeetes los restos óseos hllos e l Cuev e l Celr, Cohul. CRÁNEOS MASCULINOS (POBLACIÓN ) CRÁNEOS FEMENINOS (POBLACIÓN ) S gu e ls pobloes tee strbuó orml utlzmos u sgf e α. 5, es posble ferr que l ltur bso-bregm es meor e los ráeos femeos? CRÁNEOS MASCULINOS RANGO CRÁNEOS FEMENINOS RANGO R 4 7 R 4 9 IPÓTESIS 6

62 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA : M v M > : M M : M > M REGIÓN DE RECAZO DE : M M α.5 α. 95 (, ) ( 9,7) U (, ) ( 9,7) U 6 U U α.5 α EXPRESIÓN PARA EL ESTADÍSTICO DE PRUEBA U EN POBLACIONES CON DISTRIBUCIÓN DESCONOCIDA PERO Y MUESTRAS PEQUEÑAS CÁLCULO DEL ESTADÍSTICO DE PRUEBA t U U R ( ) + ( 9 + ) UBICACIÓN DE ESTADÍSTICO DE PRUEBA U CON RESPECTO A REGIÓN DE RECAZO DE El estísto e prueb U 59 e e l regó e rehzo que prte e ( 9,7) U Por ee, l hpótess ul : M M se rehz puee ferrse que l ltur bso-bregm es sgftvmete ( p <.5) meor e los ráeos femeos.. Sgueo su estuo, el vestgor e los restos óseos e l Cuev e l Celr está tereso e sber s l ltur e l rz preset u morfsmo. Co respeto est vrble, ls pobloes tmpoo tee u strbuó orml. Co u sgf e α. 5, el vestgor se pregut etoes: es posble ferr que l ltur e l rz es meor e ls mujeres? CRÁNEOS MASCULINOS (POBLACIÓN ) CRÁNEOS FEMENINOS (POBLACIÓN ) CRÁNEOS MASCULINOS RANGO CRÁNEOS FEMENINOS RANGO

63 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA R R 6 IPÓTESIS v : M > M : M M : M > M REGIÓN DE RECAZO DE : M M α.5 α. 95 (, ) (,7) U U 8 (, ) U (,7) U α.5 α.95 EXPRESIÓN PARA EL ESTADÍSTICO DE PRUEBA U EN POBLACIONES CON DISTRIBUCIÓN DESCONOCIDA PERO Y MUESTRAS PEQUEÑAS CÁLCULO DEL ESTADÍSTICO DE PRUEBA t U U R ( ) + ( + ) 6 6 UBICACIÓN DE ESTADÍSTICO DE PRUEBA U CON RESPECTO A REGIÓN DE RECAZO DE El estísto e prueb U 6 e e l regó e rehzo que prte e (,7) U Por ee, l hpótess ul : M M se rehz puee ferrse que p <.5 meor e los ráeos femeos. l ltur e l rz es sgftvmete ( ). Los sguetes e tos e hur broml e eotos (-4 hors) fuero obteos urte u vestgó (968-97) e el Vlle e Cholul. OMBRES MUJERES

64 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Co u sgf e α. 5, es posble ferr que este feres por seo e l hur broml e ests pobloes? : µ µ IPÓTESIS : µ µ : µ µ v Pero omo o sbemos s h strbuó orml e mbs pobloes, ls hpótess tmbé porí ser: : M v M : M M : M M Por ee, prmero h que omprobr eso o u e l prueb e Shpro-Wlks pr sber qué prueb plr: OMBRES: ESTADÍSTICOS DE ORDEN. X () X ( ) X ( ) X ( 4 ) 4 X ( 5 ) 5 X ( 6 ) 9 X ( 7 ) X ( 8 ) X ( 9 ) 4 X ( ) 5 X ( ) 7 X ( ) X ( ) X ( 4 ) DATOS. 86 s 7. 7 s EXPRESIÓN PARA EL ESTADÍSTICO DE PRUEBA W ( ) W 4 (pr) h j, + s j ( ) X X ( j ) ( j ) 4 h 7 W 7 ( ) s j j, ( ) X X ( 4 j ) ( j ) W ( ) s ( ) +.8( ) +.46( ) ( 4) +.4( 5 5) +.77( 4 9) ( ) W [ 74.58] W ( ) TIPO DE IPÓTESIS o EXPRESIÓN PARA CONTRASTE DE IPÓTESIS VALORES FINALES A CONTRASTAR CONTRASTE DE IPÓTESIS : L muestr proee e u pobló o o strbuó orml. W < W α 4 W.95 W

65 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA 4 El estísto e prueb W. 95 o es meor W Por tl motvo, l hpótess ul o se rehz se fere que, e l pobló msul e l ul proee est muestr, l vrble hur broml tee u strbuó orml. MUJERES: ESTADÍSTICOS DE ORDEN. X () 9 X ( ) 9 X ( ) X ( 4 ) 5 X ( 5 ) 5 X ( 6 ) 5 X ( 7 ) 5 X ( 8 ) 5 X ( 9 ) 9 X ( ) X ( ) X ( ) X ( ) X ( 4 ) X ( 5 ) 5 X ( 6 ) 6 DATOS 6. 5 s 7 s 49 EXPRESIÓN PARA EL ESTADÍSTICO DE PRUEBA W ( ) W 6 (pr) h j, + s j ( ) X X ( j ) ( j ) 6 h 8 W 8 ( 5) s j j, ( ) X X ( 6 j ) ( j ) W ( 5) s ( 9) +.9( 5 9) +.5( ) ( 5) +.447( 5) +.5( 5) ( 5) +.96( 9 5) 646. W [ 646.] W ( 5) TIPO DE IPÓTESIS o EXPRESIÓN PARA CONTRASTE DE IPÓTESIS VALORES FINALES A CONTRASTAR CONTRASTE DE IPÓTESIS o : L muestr proee e u pobló o strbuó orml. W < W α 6 W.879 W El estísto e prueb W. 879 es meor W Por tl motvo, l hpótess ul se rehz se fere que, e l pobló feem e l ul proee est muestr, l vrble hur broml o tee u strbuó orml. Como u e ls pobloes o umple o el requsto e strbuó orml, l opó pr omprrls es l prueb U e M-Whte. 65

66 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA CRÁNEOS MASCULINOS RANGO CRÁNEOS FEMENINOS RANGO X ().5 X () 9 X ( ).5 X ( ) 9 X ( ) 5 X ( ) 6 X ( 4 ) 4 7 X ( 4 ) 5.5 X ( 5 ) 5.5 X ( 5 ) 5.5 X ( 6 ) X ( 6 ) 5.5 X ( 7 ) 9.5 X ( 7 ) 5.5 X ( 8 ).5 X ( 8 ) 5.5 X ( 9 ) 4 X ( 9 ) X ( ) X ( ) 7 X ( ) 7 7 X ( ) 7 X ( ) 8 X ( ) 7 X ( ) 9 X ( ) 9.5 X ( 4 ) X ( 4 ).5 R 46.5 X ( 5 ) X ( 6 ) 6 6 R IPÓTESIS v : M M : M M : M M REGIÓN DE RECAZO DE : M M α.5 α. 95 (, ) ( 4,6) U (, ) ( 4,6) U 65 U U α.5 α EXPRESIÓN PARA EL ESTADÍSTICO DE PRUEBA U EN POBLACIONES CON DISTRIBUCIÓN DESCONOCIDA PERO Y MUESTRAS PEQUEÑAS CÁLCULO DEL ESTADÍSTICO DE PRUEBA t U U R ( ) + ( + )

67 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA UBICACIÓN DE ESTADÍSTICO DE PRUEBA U CON RESPECTO A REGIÓN DE RECAZO DE ( 4,6) El estísto e prueb U 4. 5 o es meor U.5 65, mor ( 4,6) U 59. Por ee, está fuer e ls regoes e rehzo l hpótess ul.975 : M M o se rehz. De est form puee ferrse que o este fere seul sgftv ( >.5) Cholul. p etre l hur broml e eotos el Vlle e 67

68 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA 68 Esquem pr ferr sobre l ompró e os mes pobloles : µ µ vs. : µ µ : µ µ vs. : µ µ < : µ µ vs. : µ µ > L pobló tee strbuó orml? Ambs muestrs so mores? PRUEBA NO PARAMÉTRICA U e M-Whte Sp t + s s Z + : σ σ? PRUEBA DE LEVEANE s s t + ( ) + + Sp t α µ µ ( ) + + s s t α µ µ + s s Z α µ µ

69 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA COMPARACIÓN DE DOS MUESTRAS PAREADAS Cuo e u muestr e vuos e tmño se me u rteríst os vees o e os los, se e que se obtee os MUESTRAS PAREADAS, seo X, X, X,..., X los tos e l prmer meó Y, Y, Y,..., Y 4 los tos e l segu, us respetvs mes pobloles so µ µ. A. MUESTRAS PAREADAS DE POBLACIÓN CON DISTRIBUCIÓN NORMAL A.) INTERVALO DE CONFIANZA L epresó pr eotrr el tervlo e ofz pr l fere µ µ es: EXPRESIÓN PARA ENCONTRAR UN INTERVALO AL ( α ) POR CIENTO DE CONFIANZA PARA µ CUANDO LA µ POBLACIÓN TIENE DISTRIBUCIÓN NORMAL µ µ t ( ) α S Y sus resultos se terpret e l sguete form: VALORES RESULTANTES Vlores egtvos Vlores postvos Vlores egtvos postvos (que lue l ero) INTERPRETACIÓN µ < µ µ > µ µ µ A.) CONTRASTE DE IPÓTESIS ) pótess ul regó e rehzo Co el fá e omprr ls muestrs pres, ls hpótess que puee plterse so: IPÓTESIS DEL INVESTIGADOR µ µ IPÓTESIS NULA :µ µ IPÓTESIS ALTERNATIVA : µ µ v : µ < µ :µ µ µ < µ v : : µ > µ :µ µ µ > µ v : : Segú se el so e uero l sgf α, l regó e rehzo pr l hpótess ul será: 4 Debe observrse que el tmño e mbs muestrs tee que ser gul. 69

70 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA : µ µ IPÓTESIS : µ µ : µ µ v PRUEBA BILATERAL O DE DOS COLAS α REGIÓN DE RECAZO DE -α α/ α/ ( ) ( ) t α t α : µ < µ : µ µ : µ < µ v PRUEBA UNILATERAL O DE UNA COLA α REGIÓN DE RECAZO DE : µ > µ ( ) t α -α α : µ µ : µ > µ v REGIÓN DE RECAZO DE -α α ( ) t α Como e otrs pobloes o strbuó orml, el vlor e oe l regó e rehzo se obtee e ls tbls pr l strbuó t mete ls ( ) epresoes t α o ( ), e uero l tpo e prueb, l sgf seó t α e que se euetr l regó e rehzo. b) Proemeto pr el otrste e hpótess. Teeo ls muestrs pres e tmño, obteer l fere e pr : [( ), ( ), ( ),...,( )]. Igresr los resultos e l lulor omo tos obteer l me e ls feres su esvó estár S.. eho esto, lulr el estísto e prueb: EXPRESIÓN DEL ESTADÍSTICO DE PRUEBA t PARA LA t DIFERENCIA DE MUESTRAS PAREADAS DE UNA POBLACIÓN CON DISTRIBUCIÓN NORMAL. que tee u strbuó t e stuet o gros e lbert. S 7

71 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA 4. Determr el vel e sgf α e l prueb, sí omo l ubó el vlor e l regó e rehzo e l hpótess ul. 5. Ubr el estísto e prueb o respeto l regó e rehzo e l hpótess ul ; s está etro e ell, rehzr l hpótess ul. S está fuer, olur o qué sgf o ofbl o se rehz. A.) EJEMPLOS DE APLICACIÓN. Los sguetes tos orrespoe l esttur estm prtr e l logtu el fémur zquero ereho e restos óseos msulos e l Cuev e L Celr. ESTATURA A PARTIR DE FÉMUR DERECO ESTATURA A PARTIR DE FÉMUR IZQUIERDO ) Co u sgf e α. 5, es posble ferr que l esttur estm prtr e l logtu el fémur zquero es mor que l estm o el ereho?. b) Costru u tervlo e ofz l 95% pr l fere e ls mes. µ < µ IPÓTESIS :µ µ µ < µ v : : DERECO X IZQUIERDO Y DIFERENCIA X Y X 648 Y 64 ( ) 4 X 64 Y 646 ( ) 6 X 657 Y 79 ( ) 6 X 66 Y 655 ( ) X 5 68 Y ( ) 9 X 6 66 Y ( 66 74) 88 X Y ( ) 6 X 8 59 Y ( 59644) 5 X Y ( ) 8 X 64 Y 655 ( ) 5 X 595 Y 65 ( ) 4 X 58 Y 6 ( 58 6) 4 X 6 Y 599 ( 6 599) 4 X 646 Y 59 ( ) X 5 7 Y ( 7 657) 4 DATOS S

72 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA REGIÓN DE RECAZO DE :µ µ ( ) (5) (4) α.5 t t. 76 t α.5.95 EXPRESIÓN PARA ESTADÍSTICO DE PRUEBA t CÁLCULO DEL ESTADÍSTICO DE PRUEBA t t t S.6 UBICACIÓN DE ESTADÍSTICO DE PRUEBA t CON RESPECTO A REGIÓN DE RECAZO DE ) Como el estísto e prueb t. 6 e e l regó e rehzo que (4) e t , l hpótess ul :µ µ se rehz puee ferrse que l esttur estm prtr e l logtu el fémur zquero es sgftvmete p <.5 mor que l estm o el ereho. ( ) CONFIABILIDAD α.95 α. 5 α 5. α. 975 EXPRESIÓN ( ) S µ µ t PARA INTERVALO α ( ) ( ) 4 VALOR DE t α ( ) g. l. ( 5 ) 4g. l. t α t µ 5 INTERPRETACIÓN Vlores egtvos µ < µ APLICACIÓN µ.448 ( 54.7, 5.) b) Co u 95% e ofz es posble ferr que l me e l esttur estm prtr el fémur zquero es mor que l me e l esttur estm o el ereho.. Los sguetes tos orrespoe tmbé l esttur estm prtr e l logtu el fémur zquero ereho, pero es e restos óseos femeos e l Cuev e L Celr. 7

73 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA ESTATURA A PARTIR DE FÉMUR DERECO ESTATURA A PARTIR DE FÉMUR IZQUIERDO ) Co u sgf e α. 5, es posble ferr tmbé feres etre l esttur estm epeeo el fémur que se utlzo? b) Costru u tervlo e ofz l 95% pr l fere e ls mes. µ µ IPÓTESIS :µ µ µ µ v : : DERECO X IZQUIERDO Y DIFERENCIA X Y X 58 Y 565 ( ) 7 X 569 Y 55 ( ) 6 X 557 Y 559 ( ) X 54 Y 54 ( 54 54) X 5 58 Y ( 58 54) 46 X 6 5 Y ( 5 559) 49 X 7 57 Y ( 57 57) X 8 67 Y ( ) X 9 5 Y ( 5 559) 49 X 56 Y 56 ( 56 56) 47 X 549 Y 56 ( ) 4 DATOS. 8 S REGIÓN DE RECAZO DE :µ µ ( ) () () α.5 t α t t EXPRESIÓN PARA ESTADÍSTICO DE PRUEBA t CÁLCULO DEL ESTADÍSTICO DE PRUEBA t t t S

74 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA UBICACIÓN DE ESTADÍSTICO DE PRUEBA t CON RESPECTO A REGIÓN DE RECAZO DE ) Como el estísto e prueb t. 6 está fuer e ls os regoes e rehzo, l hpótess ul :µ µ o se rehz puee ferrse que, s mportr qué fémur se oupe ( fere e los hombres), l esttur estm es p >.5 gul e ls mujeres. sgftvmete ( ) CONFIABILIDAD α.95 α. 5 α 5. α. 975 EXPRESIÓN ( ) S µ µ t PARA INTERVALO α ( ) ( ) VALOR DE t α ( ) g. l. ( ) g. l. t α t APLICACIÓN µ.8.8 (.48,7.) µ INTERPRETACIÓN Vlores egtvo postvo (lue l ero) µ µ b) Co u 95% e ofz es posble ferr que l me e l esttur estm prtr el fémur ereho es gul que l me e l esttur estm o el zquero. B. MUESTRAS PAREADAS DE POBLACIÓN SIN DISTRIBUCIÓN NORMAL S o es posble sumr strbuó orml e ls os meoes, l ltertv es plr u versó e l prueb e Wloo pr omprr ls muestrs pres. B.) TEORÍA Al gul que e l versó que vmos o teror, e est prueb h que lulr ls feres e los tos, pero e vez e restr l to u vlor hpotéto, los vlores se rest etre ellos (omo e l prueb pr pobloes o strbuó orml): : [( ), ( ), ( ),...,( )]. U vez que se tee esto, tl omo lo hmos e l prueb e Wloo, h que obteer el vlor bsoluto e, mro s su orge fue postvo o egtvo elmo ls feres que se gul ero el totl e. X X X Y ( X Y ) Y ( X X ) Y ( X ) X sgo 74

75 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA X Y ( X X ) (...) (...) (...) X Y ( X X ) Como e l prueb orml e Wloo, so ess feres e vlor bsoluto ls que se sg u rgo: oreos seetemete Lugr Vlor e rgo Rgos e que provee e postvo Rgos e que provee e egtvo Depeeo s el el que provee er postvo o egtvo, los rgos e se stgue pr obteer los sguetes tos: DATOS + T Sum e los vlores e los rgos e que provee e T Sum e los vlores e los rgos e que provee e T Vlor meor etre + T T. postvo egtvo. Ahor be, De uero l tpo e hpótess ul o es que se utlzrá u e ests T se le omprrá o u T e ls tbls e Wloo. TIPO DE IPÓTESIS o T DE TABLAS CORRESPONDIENTE PARA ESTADÍSTICO DE PRUEBA :µ µ :µ µ :µ µ T α T α T α Doe es el úmero totl e α o α es el vlor e l sgf E toos los sos, s l T e los tos es meor o gul l T e tbls, l hpótess ul se rehz. E otrs plbrs: o TIPO DE IPÓTESIS :µ µ :µ µ o o SE RECAZA SI: T T α T α :µ µ + α T T T B.) EJEMPLOS DE APLICACIÓN. E u estuo relzo e hombres e 6 ños por l NCS se regstró, prmero, l esttur que los sujetos frmb teer (reports), espués, l que se 75

76 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA obtuvo por meó. Supoeo que est pobló o tee strbuó orml o u sgf e α. 5, es posble frmr que este feres etre l esttur report l me? Reports µ µ IPÓTESIS :µ µ µ µ v : : X Mes X X X X X X X X X X X X Y ( X Y ) Y ( ). sgo.+ Y ( )..+ Y ( ) Y ( 7 68.) Y ( 7 7.) Y ( 6 6.6) Y ( ) Y ( 64 67)..- 8 Y ( ) Y ( 6 74.)..- Y ( 66 65) + Y ( 7 7.8)..+ oreos seetemete Lugr Vlor e rgo Rgos e que provee e postvo Rgos e que provee e egtvo T 4 44 DATOS T { 4,44} 4 T TIPO DE IPÓTESIS o CONTRASTE DE IPÓTESIS :µ µ 76

77 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA T DE TABLAS CORRESPONDIENTE PARA ESTADÍSTICO DE PRUEBA EXPRESIÓN PARA CONTRASTE DE IPÓTESIS VALORES FINALES A CONTRASTAR T T α T α T 4 T α T 4.5 Pr este so, el vlor e T 4 o es meor l T e tbls T.5 4, motvo por el ul l hpótess ul :µ µ o se rehz puee ferrse que o este feres sgftvs ( p >.5) etre l esttur report l me e est vestgó. COMPARACIÓN DE MÁS DE DOS MEDIAS POBLACIONALES Cuo lo que se eest es omprr más e os pobloes, veremos que lo prmero que ebe herse es u prueb pr vergur s sus mes pobloles so gules. E so e que o, se pl otro otrste e hpótess pr stgur ls que so feretes. A. POBLACIONES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL ) PRUEBA ANOVA Como sus sgls e glés lo e (Alss Of Vre), l prueb ANOVA osste e omprr l vrz que se etre pobloes o l que se etro e pobló. Co tl f, lo prmero que ebe herse es orgzr los tos e ls k muestrs (quí estpulos o os subíes, el prmero e l muestr e l ul provee X el seguo el úmero e to X j ) obteer los sguetes tos: MUESTRA k K X X X X k X X X X k DATO X X X X X k j X k X k X k X kk TOTALES T T X j T X X j T X j T k X kj TAMAÑO k MUESTRA k 77

78 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Como poemos ver, es quí gul l úmero totl e elemetos e tos ls muestrs totl T es gul l sum e los tos e muestr. S be obteer estos tos es reltvmete sello, flt ú os tos que se eestrá pr el estísto e prueb: X j X j DATOS GENERALES Vlor que es gul l e l sum e los totles e muestr T que puee obteerse greso e el moo estísto ( ) e l lulor toos los tos preto l tel. Vlor que se obtee gul que el teror pero mete l tel. Es l esvó estár que obtee l lulor e toos los s tos gresos. ) pótess ul, estísto e prueb regó e rehzo Como ls mes e ls k pobloes so µ, µ, µ,..., µ k, ls hpótess otrstr so: IPÓTESIS NULA : µ µ µ... µ k : IPÓTESIS ALTERNATIVA Al meos u µ es ferete El puto es que, ebo l turlez e est prueb, el estísto pr el otrste e hpótess es más omplejo que e pruebs terores, pues se ostrue prtr e l sguete tbl e álss e vrz: Fuete e vrbl Etre muestrs Detro e muestrs Gros e lbert ( k ) ( k) Totl ( ) TABLA DE ANÁLISIS DE VARIANZA Sum e uros ( X j ) Curos meos (vrz) k T SC e SCt CM e ( k ) SC SCt SCe SC t X j ( X j ) CM SC ( k) Estísto e prueb CM F CM e SC t Defmos ómo estbleer los térmos e lgus epresoes su esrrollo: DATOS CÁLCULO Se obtee resto uo l úmero e ( k ) muestrs/pobloes. Se lul resto uo l úmero totl e elemetos ( ) e tos ls muestrs. k k T ( k) Se obtee resto ( ) ( X j ) k T - ( ) C totl T e muestr se elev l uro se ve etre su tmño muestrl. esos resultos se sum ello se le rest ( ) X j El vlor obteo o l tel, elevo l uro vo etre l 78

79 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA SC CM t e k SC e ( ) X j ( X j ) CM CM F CM e SC ( k) totl: ( ). S be est to puee obteerse e l lulor resto l vlor e el vlor e, elevo l ( ) uro vo etre l totl:, es más fál lulrlo o l sguete epresó: SC ( ) s t 5. Como se ve e l tbl, los uros meos etre muestrs etro e ells so fáles e lulr, pues smplemete se ve su respetv sum e uros etre sus gros e lbert. Flmete, el estísto e prueb se obtee veo los uros meos etre muestrs etre los uros meos etro e ls muestrs. Este estísto e prueb tee u strbuó F e Fsher, por lo ul el vlor e o e l regó e rehzo pr l hpótess ul se euetr mete l ( k, k ) epresó F k e el umeror ( k) α, oe los gros e lbert so ( ) e el eomor. REGIÓN DE RECAZO DE µ µ µ... µ : k F ( k, k ) α Cuo e l prueb ANOVA se h rehzo l hpótess ul e que tos ls mes pobloles so gules ( : µ µ µ... µ k ), este vrs pruebs e otrste múltple que se pl posteror pr eotrr ls mes que fere; por ejemplo, l prueb e Sheffé, l e Du, e Bo Ferro l e Tuke, que veremos otuó. ) PRUEBA DE TUKEY Como se jo, est es u prueb post-ho e otrste múltple e l ul se v ompro prejs e mes pobloles. ) pótess ul estísto e prueb rehzo. 5 Porque s SCt. 79

80 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Teeo k pobloes, se estblee u hpótess ul su ltertv pr r ompro prejs hst otrstrls tos: IPÓTESIS NULA : µ µ IPÓTESIS ALTERNATIVA : µ µ j j Esto mpl que el úmero e pruebs relzr es gul l ombó e, por ejemplo: C k IPÓTESIS NULA IPÓTESIS ALTERNATIVA : µ µ : µ µ : µ µ : µ µ : µ µ k : µ µ k Al usrse u prueb post-ho, el otrste e ests hpótess epee e u estísto e prueb e DIFERENCIAS VERDADERAMENTE SIGNIFICATIVAS, llmo DVS, el ul epee e u to e l prueb ANOVA: EXPRESIÓN PARA CALCULAR EL ESTADÍSTICO DE PRUEBA DVS EN POBLACIONES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL DVS q α, k, k CM * Doe qα, k, k es u to que se hll e ls tbls e Tuke o e Putos poretules el rgo orrego e Stuet pr trtmetos, oe l sgf α so los putos superores [( α.5 5% ), ( α. % )], k so el úmero e muestrs/pobloes ( k) los gros e lbert que eotrmos etro e ls muestrs e l prueb ANOVA. Por su prte CM so tmbé los vrzs (uros meos) etro e ls muestrs (o el úmero e elemetos totles meos el úmero e pobloes) * es el vlor mímo etre los os tmños e muestr omprs ( * mímo{, j }). S el vlor el DVS es mor l fere bsolut e ls mes e ls os muestrs omprs, l hpótess ul se rehz. Es er: : µ µ X X > DVS j Se rehz s j Por últmo, l form más metó e omprobr esto es orgzo los tos e u tbl omo l que se muestr otuó: IPÓTESIS * : µ µ j X X j ( mímo{, }) * j X X j DVS CM q DVS * : µ µ se rehz s X X > DVS </> α, k, k j j 8

81 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA ) EJEMPLOS DE APLICACIÓN. Los sguetes tos orrespoe, e u esl el l, l utoperepó e srmó e grupos e persos e e mor. Supoeo strbuó orml e tos ls pobloes o u sgf e α.5, es posble frmr que l perepó e srmó es ferete segú el grupo e e? 6-64 AÑOS AÑOS AÑOS IPÓTESIS NULA IPÓTESIS ALTERNATIVA : µ µ µ : Al meos u µ es ferete Orgemos los tos: MUESTRA k AÑOS AÑOS AÑOS DATO 5 6 X 5 j TOTALES T T 5 T 47 T 64 TAMAÑO MUESTRA j X DATOS GENERALES X 6 X 5 s. 78 Y lulemos el estísto e prueb: j 8

82 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Fuete e vrbl Etre muestrs Detro e muestrs Gros e lbert ( ) ( 7 ) 5 TABLA DE ANÁLISIS DE VARIANZA Sum e uros SC e SC Curos meos (vrz) 6.69 CM e CM Estísto e prueb.5 F Totl ( 8 ) 7 SC t 8.67 ( 8 ).78 REGIÓN DE RECAZO DE : µ µ µ (,5) (,5) α.5 F F El estísto e prueb F. 8 está fuer e l regó e rehzo que e (,5) F Por tl motvo, l hpótess ul : µ µ µ o se rehz puee frmrse que o este feres e l perepó e srmó etre estos grupos e persos e e mor.. Los sguetes vlores orrespoe l ámetro trsverso mámo e ráeos e hombres egpos e stts épos. S los mbos e l form e l bez lo lrgo el tempo sugere mestzje, supoeo strbuó orml e ls pobloes o u sgf e α. 5, es posble omprobr que hubo mestzje e ests pobloes? 4.C C C IPÓTESIS NULA IPÓTESIS ALTERNATIVA : µ µ µ : Al meos u µ es ferete MUESTRA k. 4.C.. 85.C.. 5.C. DATO 9 8 X 8

83 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA X j TOTALES T T 9 T T 6 TAMAÑO MUESTRA j DATOS GENERALES X 8 X 4796 s 4. 8 j Fuete e vrbl Etre muestrs Detro e muestrs Totl Gros e lbert ( ) ( ) TABLA DE ANÁLISIS DE VARIANZA Sum e uros 9 SC e SC ( 4 ) ( 4 ) SC t Curos meos (vrz) 6.68 CM e CM Estísto e prueb 8.4 F REGIÓN DE RECAZO DE : µ µ µ (,5) (,) α.5 F F El estísto e prueb F e e l regó e rehzo que e (,) F Por tl motvo, l hpótess ul : µ µ µ se rehz puee frmrse que este feres etre ls mes el ámetro trsverso mámo e los ráeos e ests tres pobloes que hubo mestzje. 8

84 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Por tl motvo, pr stgur qué mes so feretes es eesro plr l prueb e Tuke. Estblezmos prmero los tos que obtuvmos e ls muestrs: MUESTRA TOTAL T TAMAÑO DE MUESTRA MEDIA MUESTRAL. 4.C. T 9 X C. T X 9. 5.C. T 6 8 X k 4 Y hor el vlor ostte que terá el oefete pr lulr el α.5 5% VALOR DE COEFICIENTE k ( k) ( 4 ) Ahor otrstemos ls hpótess eesrs: IPÓTESIS * : µ µ * { 7,9} 7 : µ µ * { 7,8} 7 q α, k, k DVS : q q. 58 j X X DVS α, k, k.5,, : µ µ se rehz s X X > DVS < > : µ µ * { 9,8} < Al otrro e ls hpótess : µ µ : µ µ, l hpótess ul : µ µ sí se rehz, por lo ul este u fere sgftv ( p <.5) etre ls mes e l prmer l terer pobló. Ello que o puee perbrse mbos etre pobloes otus, pero sí etre l pobló más tgu l más reete. j j B. POBLACIONES SIN DISTRIBUCIÓN NORMAL ) PRUEBA DE KRUSKAL-WALLIS Cuo el supuesto e orml o se umple e l meos u e ls pobloes, ést es l ltertv l prueb ANOVA. ) pótess ul, estísto e prueb regó e rehzo Igul que e l prueb ANOVA, ls hpótess otrstr so: IPÓTESIS NULA : µ µ µ... µ k : IPÓTESIS ALTERNATIVA Al meos u µ es ferete 84

85 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Empero, el estísto e prueb quí es muho más sello, pues pr su álulo requere t sólo e los tmños muestrles ( ), el úmero totl e los rgos sgos toos los tos omo s fuer u sol elemetos ( ) muestr ( R ): EXPRESIÓN PARA CALCULAR EL ESTADÍSTICO DE PRUEBA EN POBLACIONES SIN DISTRIBUCIÓN NORMAL R R R R k... ( ) k ( + ) Como este estísto e prueb tee u strbuó j-ur, el vlor e o e l regó e rehzo e l hpótess ul se euetr e ls respetvs ( k ) tbls mete l epresó k so los gros e lbert: χ, oe ( ) α REGIÓN DE RECAZO DE µ µ µ... µ : k Do el so que l hpótess ul se rehe e est prueb h que stgur qué mes fere, l prueb pr omprr mes pobloles por prejs es l U e M-Whte. ) PRUEBA U DE MANN-WITNEY S be l prueb U e M-Whte se pl etmete gul omo lo vmos e el tem e Compró e mes pobloles, lo úo que es mportte meor es que ls hpótess so sobre mes que los rgos ebe sgrse vez pr que se ompre u prej e muestrs. Veremos e ulquer form u ejemplo. χ ( k ) α ) EJEMPLOS DE APLICACIÓN. Los sguetes tos orrespoe l gro e ls hers e l bez que se regstrro e 4 tegorís e utomóvles: Sub-ompto Compto Meo Gre Supoeo que ls pobloes o tee strbuó orml; o u sgf α.5 es posble ferr feres e el gro e ls hers respeto l tpo e utomóvl? 85

86 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA IPÓTESIS NULA IPÓTESIS ALTERNATIVA : µ µ µ µ 4 : Al meos u µ es ferete Squemos etoes los tos eesros: Subom. Rgo Compto Rgo Meo Rgo Gre Rgo R 5 R 4.5 R 6.5 R k EXPRESIÓN PARA CALCULAR EL ESTADÍSTICO DE R R R R k PRUEBA EN POBLACIONES SIN DISTRIBUCIÓN NORMAL APLICACIÓN 8 8 ( + ) ( + ) k 8 REGIÓN DE RECAZO DE : µ µ µ µ 4 ( k ) ( 4) ( ) α.5 χ α χ χ.5.95 ( ) ( + ) El estísto e prueb. 78 está fuer e l regó e rehzo que ( ) e χ ; por ee, l hpótess ul : µ µ µ µ 4 o se rehz puee ferrse que o este feres sgftvs ( p >.5) e ls hers e l bez que se regstr e sttos tpos e utomóvles.. E u grupo e hombres o lesoes erebrles se hzo u estuo e sítoms e ftg, evluo sus veles o l esl e Zug (u strumeto pr mer epresó). Teeo tres muestrs: u muestr e hombres o ftg, otr s ftg u e otrol (toos e l msm e), se regstrro los sguetes resultos: MUESTRA CON LESIÓN CEREBRAL Y FATIGA

87 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA MUESTRA CON LESIÓN CEREBRAL SIN FATIGA MUESTRA CONTROL Supoeo que ls pobloes o tee strbuó orml; o u sgf α.5 es posble frmr que est pobloes muestr feres e uero l esl e Zug? IPÓTESIS NULA IPÓTESIS ALTERNATIVA : µ µ µ : Al meos u µ es ferete LC /ftg Rgo LC s/ftg Rgo Cotrol Rgo R 59 R 7.5 R k EXPRESIÓN PARA CALCULAR EL ESTADÍSTICO DE PRUEBA EN POBLACIONES SIN DISTRIBUCIÓN NORMAL APLICACIÓN 9 R R R R k... ( ) k ( 9 + ) ( + ) ( 9 + ). 7 REGIÓN DE RECAZO DE : µ µ µ ( k ) ( ) ( ) α.5 χ α χ χ

88 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA El estísto e prueb. 7 e e l regó e rehzo que e ( ) χ ; por tl motvo l hpótess ul : µ µ µ se rehz puee ferrse que este feres sgftvs ( p <.5) e los resultos e los grupos e uero l esl e Zug. Pr eotrr qué mes fere, plquemos l prueb U e M-Whte. E ell los tos será omoos seetemete pr fltr l sgó e rgos. : µ µ IPÓTESIS : µ µ LC C/FATIGA RANGO LC S/FATIGA RANGO R R 7.5 REGIÓN DE RECAZO DE : µ µ α.5 α. 95 (, ) (,9) U (, ) (,9) U 4 U U 9 4 α.5 α.95 8 EXPRESIÓN PARA EL ESTADÍSTICO DE PRUEBA U EN POBLACIONES CON DISTRIBUCIÓN DESCONOCIDA PERO Y MUESTRAS PEQUEÑAS CÁLCULO DEL ESTADÍSTICO DE PRUEBA t U U R ( ) + ( + )

89 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA UBICACIÓN DE ESTADÍSTICO DE PRUEBA U CON RESPECTO A REGIÓN DE RECAZO DE El estísto e prueb U está fuer e l regó e rehzo. Por ee, l hpótess ul : µ µ o se rehz puee ferrse que o este feres p >.5 etre ls os pobloes o lesoes erebrles. sgftvs ( ) : µ µ IPÓTESIS : µ µ LC C/FATIGA RANGO CONTROL RANGO R R 79.5 REGIÓN DE RECAZO DE : µ µ α.5 α. 95 (, ) (,7) U (, ) (,7) U 5 U U 7 5 α.5 α EXPRESIÓN PARA EL ESTADÍSTICO DE PRUEBA U EN POBLACIONES CON DISTRIBUCIÓN DESCONOCIDA PERO Y MUESTRAS PEQUEÑAS CÁLCULO DEL ESTADÍSTICO DE PRUEBA t U U R ( ) + ( + )

90 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA UBICACIÓN DE ESTADÍSTICO DE PRUEBA U CON RESPECTO A REGIÓN DE RECAZO DE El estísto e prueb U e e l regó e rehzo. Por ee, l hpótess ul : µ µ se rehz puee ferrse que, segú l esl e Zug, este feres sgftvs ( p <.5) etre los hombres o lesó erebrl que sufre ftg l muestr otrol. : µ µ IPÓTESIS : µ µ LC S/FATIGA RANGO CONTROL RANGO R R 9 REGIÓN DE RECAZO DE : µ µ α.5 α. 95 (, ) ( 9,7) U (, ) ( 9,7) U 6 U U α.5 α EXPRESIÓN PARA EL ESTADÍSTICO DE PRUEBA U EN POBLACIONES CON DISTRIBUCIÓN DESCONOCIDA PERO Y MUESTRAS PEQUEÑAS CÁLCULO DEL ESTADÍSTICO DE PRUEBA t U U R ( ) + ( 9 + )

91 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA UBICACIÓN DE ESTADÍSTICO DE PRUEBA U CON RESPECTO A REGIÓN DE RECAZO DE El estísto e prueb U 55 e e l regó e rehzo. Por ee, l hpótess ul : µ µ se rehz tmbé puee ferrse que, segú l esl e Zug, este feres sgftvs ( p <.5) etre los hombres o lesó erebrl que o tee ftg l muestr otrol. De est form poemos omprobr que, e uero l esl e Zug, o este feres etre los hombres o lesoes erebrles que mfest ftg los que o, pero ests os pobloes s so feretes los hombres que o posee gu lesó erebrl. COMPARACIÓN DE PROPORCIONES POBLACIONALES A. COMPARACIÓN DE DOS PROPORCIONES POBLACIONALES A.) FUNDAMENTOS Como e osoes terores, los sguetes métoos srve pr omprr u vrble ulttv, pero que hor se preset e os pobloes ( N, N ), obteeo proporoes p M p M que bus omprrse. N N A.) CONDICIONES PARA SU COMPARACIÓN Se puee plr u prueb e hpótess pr omprr proporoes pobloles sempre uo ore l Teorem Cetrl e Límte ls muestrs sus proporoes umpl o los sguetes supuestos:.. p m 5 > 4. >. ( p ) m 5 ˆ > ˆ p m > 5. 5 ˆ > pˆ m 6. ( ) 5 > Cuo tles ooes o se umple, es eesro tomr u muestr más gre. A.) INTERVALO DE CONFIANZA L epresó pr eotrr el tervlo e ofz pr l fere e proporoes pobloles p p es: EXPRESIÓN PARA ENCONTRAR UN INTERVALO AL ( α ) POR CIENTO DE CONFIANZA PARA p p CUANDO LA POBLACIÓN p p pˆ pˆ Z α p ( p) p( p) + 9

92 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA TIENE DISTRIBUCIÓN APROXIMADAMENTE NORMAL ESTÁNDAR DONDE p p + p + m + + m Igul que e otrs feres, los resultos se terpret e l sguete form: VALORES RESULTANTES INTERPRETACIÓN Vlores egtvos p < p Vlores postvos p > p Vlores egtvos postvos p p (que lue l ero) A.4) CONTRASTE DE IPÓTESIS ) pótess uls su regó e rehzo Al busrse omprr os proporoes pobloles, ls hpótess otrstr so: IPÓTESIS DEL IPÓTESIS IPÓTESIS NULA INVESTIGADOR ALTERNATIVA v : p p : p p : p p v : p < p : p p : p < p v : p > p : p p : p > p Como epee e u strbuó prommete orml estár, omo sempre, segú se el so e uero l sgf α, l regó e rehzo pr l hpótess ul será: PRUEBA BILATERAL O DE DOS COLAS α REGIÓN DE RECAZO DE IPÓTESIS v : p p : p p : p p Z PRUEBA v : p < p : p p : p < p α/ α -α Z α/ α 9

93 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA UNILATERAL O DE UNA COLA α REGIÓN DE RECAZO DE α Z α -α v : p > p : p p : p > p REGIÓN DE RECAZO DE -α α Z α Por tto, o he flt repetr ómo hllr el vlor e o e l regó e rehzo o bse e ls tbls e l strbuó orml estár. b) Proemeto pr el otrste e hpótess. Comprobr los supuestos e l muestr pr verfr l ftbl e l prueb.. S tles ooes se umple, epltr l hpótess el vestgor v, l hpótess ul l hpótess ltertv.. Clulr el estísto e prueb que ompr el estmor o el vlor hpotéto su vrbl: EXPRESIÓN PARA CALCULAR EL pˆ pˆ ESTADÍSTICO DE PRUEBA Z EN Z p( p) p( p) POBLACIONES CON DISTRIBUCIÓN + APROXIMADAMENTE NORMAL ESTÁNDAR que tee u strbuó prommete orml estár. 4. Determr el vel e sgf α e l prueb, sí omo l ubó el vlor e l regó e rehzo e l hpótess ul. 5. Ubr el estísto e prueb o respeto l regó e rehzo e l hpótess ul ; s está etro e ell, rehzr l hpótess ul. S está fuer, olur o qué sgf o ofbl o se rehz. B. COMPARACIÓN DE DOS O MÁS PROPORCIONES POBLACIONALES: ASOCIACIÓN DE VARIABLES CUALITATIVAS U form e omprr os o más proporoes pobloles es l prueb jur χ ; bs e los resultos e tbls e otge (tmbé llms tbls e os etrs). 9

94 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA B.) CONTRASTE DE IPÓTESIS Por ee, pr relzr este otrste e hpótess prmero h que vr los tos que se tee e u prmer tbl e otge: l e los tos observos. VARIABLE CUALITATIVA () DATOS OBSERVADOS O j VARIABLE CUALITATIVA ( j ) (Número e elemetos) C S (o l rteríst) (s l rteríst) O m O m O m O m m () k O O O m O m MARGINALES m O m O m k k k k k k K C O + O + O Ok S O + O + O Ok MARGINALES C + S Es mu mportte lulr el vlor e los mrgles e olum regló, seguráose que l sum e C + S se gul l vlor e. Teeo los tos mrgles, poremos obteer el oteo pr l tbl e otge e los tos esperos mete ulquer e ls sguetes fórmuls: EXPRESIONES PARA OBTENER EL CONTENIDO DE LA TABLA DE CONTINGENCIA DE DATOS ESPERADOS C / S O j Lo ul, por ejemplo, mplrí lo sguete: VARIABLE CUALITATIVA () DATOS ESPERADOS e j VARIABLE CUALITATIVA ( j ) C (o l rteríst) (Número e elemetos) O C j / S (s l rteríst) C S e e C S e e C S e e C S e e C S k ekj K e k () MARGINALES C O + O + O Ok S MARGINALES kj k K S O + O + O Ok C + S 94

95 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Y o está e más volver omprobr que l sum el oteo se gul los mrgles. U vez ostru l tbl e otge e tos esperos se estpul ls hpótess otrstr se lul el estísto e prueb: IPÓTESIS NULA : No h soó etre ls vrbles. EXPRESIÓN PARA CALCULAR EL ESTADÍSTICO DE PRUEBA χ IPÓTESIS ALTERNATIVA : Este soó χ etre ls vrbles. r ( Oj ej ) j e j El ul smplemete osste e sumr los resultos obteos e restr vlor observo su respetvo vlor espero, elevrlo l uro vrlo etre el vlor espero. Obvmete, tl estísto e prueb tee u strbuó j ur o u úmero e gros e lbert gul l prouto e los regloes e l tbl meos uo [ ( r)( ) ] por ls olums e l tbl meos uo: χ α, que o u sgf e α estblee u regó e rehzo e l seó superor el eje e ls X. REGIÓN DE RECAZO DE : No h soó etre l vrble ls pobloes χ -α [( r)( ) ] α Como sempre, s l hpótess ul : No h soó etre l vrble ls pobloes se rehz, este soó etre ls vrbles e terés. Por tl motvo, result mportte vergur el gro e soó que este e ello. B.) COEFICIENTE V DE CRAMER Se trt e u me que eterm l tes e soó etre os vrbles ulttvs. Al ser u prueb que se pl posteror l χ, su álulo mpl l sguete epresó: EXPRESIÓN PARA CALCULAR EL COEFICIENTE DE CRAMER V V ( mímo { r, } ) Doe χ es el estísto e prueb que lulmos terormete, es l úmero e elemetos totles que h e los mrgles e ls tbls e otge el mímo se refere l vlor meor etre los tos por regló meos uo los tos e olum meos uo. χ 95

96 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA El resulto el oefete e Crmer vlor se terpret e l sguete form: V puee estr etre ( V ) V L soó etre ls vrbles es mu ébl. V L soó etre ls vrbles es mu fuerte., su C. EJEMPLOS DE APLICACIÓN. Se ese estbleer s este feres e l proporó e gujeros utvos o form elípt l que preset los restos óseos msulos femeos e l Cuev e l Celr. Segú los tos el profesor Romo, 7 e 45 hombres presetro est rteríst e 6 mujeres tmbé. Co u sgf e α. otrstr l hpótess plte ostrur u tervlo e ofz l 99% pr l fere e proporoes. DATOS GENERALES 45 m 7 p 7. 8 ˆ 45 pˆ m. 8 p ˆ 6 pˆ.8. 7 m + m 7 + p.8 p Segú el proemeto pr el otrste e hpótess, lo prmero que ebemos her es omprobr que los supuestos se umpl:. >. ˆ 5 p m > pˆ m 45 > 7 > > 5 4. > 5. ˆ 5 p m > pˆ m 6 > > > 5. ( ) 5 > 6. ( ) 5 Comprobo ello, poemos plter ls hpótess pr otrstr: > IPÓTESIS v : p p : p p : p p Ahor be, h que lulr el estísto e prueb: EXPRESIÓN PARA EL ESTADÍSTICO DE PRUEBA Z p( p) p( p) APLICACIÓN.8(.7).8(.7) Z Z pˆ pˆ +. Teeo ese to, flt reooer l sgf α, su vlor e tbls l regó e rehzo que elmt: 96

97 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA REGIÓN DE RECAZO DE : p p α. α 5. α. 995 Z Z α Pr olur el otrste e hpótess rest ubr el estísto e prueb respeto est regó e rehzo olur: Z o UBICACIÓN DE ESTADÍSTICO DE PRUEBA χ CON RESPECTO A REGIÓN DE RECAZO DE El estísto e prueb Z. está fuer e l regó e rehzo, rzó por l ul l hpótess ul : p p o se rehz. Por tto, o es posble ferr feres sgftvs ( p >.) etre ls proporoes e ráeos msulos femeos o orfo elípto lo e los restos e l Cuev e L Celr. Pr omprobr este resulto h que ostrur el tervlo e ofz pr l fere e proporoes: CONFIABILIDAD Y SIGNIFICANCIA α.99 α. α. 5 α. 995 EXPRESIÓN p p p PARA INTERVALO pˆ pˆ Z α VALOR DE Z Z. 575 α Z α.995 ( p) p( p) + (.7).8(.7).8 APLICACIÓN p p (.,.) 45 6 Vlores egtvos postvos INTERPRETACIÓN p p (que lue l ero) Como el tervlo pr l fere e proporoes otee l ero, es posble frmr o u 99% e ofbl que l proporó e ráeos msulos femeos o el orfo utvo elípto es gul e ls pobloes e l Cuev e L Celr. 97

98 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Aú sbeo que ls proporoes e est rteríst es gul e ests pobloes, plremos l prueb j-ur pr ver su pló. Orgemos etoes los tos observos: DATOS OBSERVADOS O j FORMA ORIFICIO AUDITIVO ( j ) (Número e elemetos) ELÍPTICA INCLINADA OTRA MARGINALES (o l rteríst) (s l rteríst) O 7 O O O MARGINALES C S POBLACIÓN () Y lulemos los esperos: POBLACIÓN () DATOS ESPERADOS e j FORMA ORIFICIO AUDITIVO ( j ) ELÍPTICA INCLINADA (o l rteríst) (Número e elemetos) OTRA (s l rteríst) MARGINALES e e e e MARGINALES Teeo eso, hgmos el otrste e hpótess: IPÓTESIS NULA : No h soó etre ls vrbles. IPÓTESIS ALTERNATIVA : Este soó etre ls vrbles. Clulemos el estísto e prueb: EXPRESIÓN PARA CALCULAR EL ESTADÍSTICO DE PRUEBA χ χ APLICACIÓN χ r ( Oj ej ) j ( 7 7.) ( ) ( 9.78) ( 6 6.) Y ubquemos l regó e rehzo pr omprr mbos tos: + 6. REGIÓN DE RECAZO DE : No h soó etre l vrble ls pobloes e j. 98

99 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA α. α. 99 χ [( )( ) ] [ ] χ UBICACIÓN DE ESTADÍSTICO DE PRUEBA χ CON RESPECTO A REGIÓN DE RECAZO DE El estísto e prueb χ. está fuer e l regó e rehzo, rzó por l ul l hpótess ul o se rehz ( >.) p se fere que o h soó etre ls vrbles seo form el orfo utvo. Por últmo, mete el oefete e Crmer omprobmos que est frmó se sgftv: EXPRESIÓN PARA CALCULAR EL COEFICIENTE DE CRAMER APLICACIÓN V V ( mímo { r, } ) V. 8 INTERPRETACIÓN V () χ. Seo el vlor el oefete e Crmer V., ofrmmos que l soó etre ls vrbles es mu ébl, por eso hbímos oluo que o h soó.. Se quere etermr s este feres etre l proporó e lohólos que ometero eltos reloos o l promí l proporó e lohólos que relzro frues e 99. De quellos ovtos por provor eos, 5 er bebeores 4 bstemos; metrs tto, e los que ometero frue, 6 er bebeores 44 bstemos. Co u sgf e α. otrstr l hpótess plte ostrur u tervlo e ofz l 99% pr l fere e proporoes. DATOS GENERALES 9 m p 5 ˆ 9 pˆ m 6. p ˆ 6 7 pˆ.. 7 m + m p.8 p

100 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA. >. ˆ 5 p m > pˆ m 9 > 5 > 5 4 > 5 4. > 5. ˆ 5 p m > pˆ m 7 > 6 > 5 44 > 5. ( ) 5 > 6. ( ) 5 > IPÓTESIS v : p p : p p : p p EXPRESIÓN PARA EL ESTADÍSTICO DE PRUEBA Z p( p) p( p) APLICACIÓN.8(.6).8(.6) Z 9 Z pˆ pˆ +.96 REGIÓN DE RECAZO DE : p p α. α 5. α. 995 Z Z α UBICACIÓN DE ESTADÍSTICO DE PRUEBA χ CON RESPECTO A REGIÓN DE RECAZO DE El estísto e prueb Z. 96 e e l regó e rehzo, rzó por l ul l hpótess ul : p p se rehz. Por ee, este feres sgftvs ( p <.) etre ls proporoes e lohólos que ometero eltos reloos o l promí los que ometero frue. CONFIABILIDAD Y SIGNIFICANCIA α.99 α. α. 5 α. 995

101 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA EXPRESIÓN PARA p p p INTERVALO pˆ pˆ Z α VALOR DE Z Z. 575 α Z α.995 (.6).8(.6) ( p) p( p).8 p p (.8,.4) 9 7 INTERPRETACIÓN Vlores postvos p > p Como el tervlo pr l fere e proporoes sólo otee vlores postvos, es posble frmr o u 99% e ofbl que l proporó e lohólos que ometó eltos reloos o l promí es mor que l proporó e lohólos que ometó frue. + ESTADO () DATOS OBSERVADOS DELITO ( j ) (Número e elemetos) MARGINALES PIROMANÍA FRAUDE Alohólo O 5 O 6 Abstemo O 4 O MARGINALES C S O j DATOS ESPERADOS e j DELITO ( j ) (Número e elemetos) MARGINALES PIROMANÍA FRAUDE 9 7 e e Alohólo e 87 e 87 Abstemo MARGINALES ESTADO () IPÓTESIS NULA : No h soó etre ls vrbles. EXPRESIÓN PARA CALCULAR EL ESTADÍSTICO DE PRUEBA χ χ APLICACIÓN IPÓTESIS ALTERNATIVA : Este soó etre ls vrbles. χ r ( Oj ej ) j ( 5 5.) ( ) ( ) ( 44 9.) REGIÓN DE RECAZO DE : No h soó etre l vrble ls pobloes e j 4.87

102 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA α. α. 99 χ [( )( ) ] [ ] χ UBICACIÓN DE ESTADÍSTICO DE PRUEBA χ CON RESPECTO A REGIÓN DE RECAZO DE El estísto e prueb χ e e l regó e rehzo. Debo ello l hpótess ul se rehz ( <.) p se fere que h soó etre ls vrbles esto elto ometo. EXPRESIÓN PARA CALCULAR EL COEFICIENTE DE CRAMER APLICACIÓN V V ( mímo { r, } ) V χ 4.87 INTERPRETACIÓN V (). Seo el vlor el oefete e Crmer V. esubrmos que l soó etre ls vrbles esto elto ometo es ébl.

103 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA EJERCICIOS DE REPASO E toos los problems relzr l prueb e hpótess orrespoete oe se pertete lulr el tervlo e ofz e terpretr toos los resultos. E oe o se que utlzr u sgf e.5 u ofz e uero l vlor e sgf. Los sguetes tos orrespoe u muestr osteológ olol proeete e u sto e zpotzlo (evoes líe 8 el metro). Cso Seo Logtu mám e fémur zquero Dámetro trsverso l / e l áfss el fémur zquero Logtu mám e l tb zquer Logtu mám e l tb ereh Iseró el músulo orsl ho Msulo. 6.. Ause Msulo Ause Msulo Ause 4 Msulo Ause 5 Msulo Ause 6 Msulo Ause 7 Msulo Ause 8 Msulo Ause 9 Msulo 9 4. Ause Msulo... Ause Msulo Prese Msulo Prese Msulo Prese 4 Msulo Prese 5 Msulo Prese 6 Msulo Prese 7 Msulo Prese 8 Msulo Prese 9 Femeo Ause Femeo Ause Femeo Ause Femeo Ause Femeo Ause 4 Femeo Ause 5 Femeo Ause 6 Femeo Ause 7 Femeo Ause 8 Femeo 94 Ause 9 Femeo. 6.. Ause Femeo Ause Femeo 4 8 Ause Femeo 76 Ause Femeo Ause 4 Femeo Ause 5 Femeo Ause 6 Femeo Ause 7 Femeo Ause

104 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA 8 Femeo Ause 9 Femeo Ause 4 Femeo 87 5 Ause 4 Femeo. 6. Ause 4 Femeo Prese 4 Femeo Prese 44 Femeo. 5.. Prese 45 Femeo 9 7. Prese 46 Femeo Prese 47 Femeo... Prese 48 Femeo.. Prese 49 Femeo. 5.. Prese 5 Femeo 78 Prese 5 Femeo Prese 9. Es posble ferr que l logtu mám e fémur zquero es mor e hombres? Supoer strbuó orml e ls os pobloes.. Es ferete el ámetro trsverso l / e l áfss el fémur zquero e hombres respeto l e mujeres? Supog que o h strbuó orml e ls pobloes.. Este fere etre l logtu mám e l tb zquer l logtu mám e l tb ereh? ) Supog strbuó orml e ls pobloes b) Supog que o h strbuó orml e ls pobloes. Este soó etre el seo e los vuos l seró el músulo orsl ho?.se seño u estuo pr otrstr l hpótess e que los hombres tee mor presó sguíe sstól que ls mujeres. Los tos muestrles so: ombres: Mujeres: Preset estos tos eve sufete que ofrme l hpótess el vestgor? Se α.5. ) Supoer strbuó orml e ls pobloes, pr probr l hpótess. b) Supog que o h strbuó orml e ls pobloes. ) Supoer strbuó orml, relzo l fere utlzo u tervlo l 9% e ofz pr l fere e mes pobloles. 4.E u estuo sobre mujeres otomíes e u ert omu se obtuvo u muestr pr mer l posble soó etre l proporó e lfbetsmo el tpo e trbjo que relz. Se obtuvo que el.4% e 44 mujeres obrers so lfbets, metrs que.8% e 5 mujeres ms e s so lfbets. Proporo estos tos eves pr frmr que so feretes ls proporoes e mujeres otomíes e l omu lfbets que trbj o respeto ls que so ms e s? ) Resolver el problem mete pruebs e hpótess. Se α.8 b) Iferr mete tervlo l 9% e ofz pr l fere e proporoes. 4

105 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA 5. Se ese ooer qué t efz result u et pr reur el peso e ls persos pr l ul se seleoó u muestr letor e 6 persos teress e bjr e peso, regstráose el peso e perso tes espués el trtmeto, presetáose los resultos e l tbl sguete: Perso Ates Después Perso Ates Después Co los tos obteos se puee frmr que l et es eu? Se α.5 ) Resolver supoeo strbuó orml. b) Resolver supoeo que o este strbuó orml 6.U equpo e tropólogos está estuo el gro e tegró ulturl e os omues íges, u l sur otr el orte el pís. Uo e los ores empleos e el estuo es l vrble letor úmero e stts plbrs e espñol uss por membro e l omu ; se seleo u muestr letor e omu se lleg : Comu I (Sur) Comu II (Norte) 5 s s Est formó proporo eve sufete pr frmr que s h elemetos e tegró ulturl e mbs omues? ) Iferr mete u prueb e hpótess o α.5. b) Iferr mete u tervlo l 95% e ofz. 7. U estuo sobre plfó fmlr e u zo el Esto e lgo relzo por Cstllej Zvl 6 lsfo u muestr e mujeres e uero os rterísts: uso e toeptvos esolr*. Los tos se preset e l sguete tbl: Esolr Atoepó Bj Alt Usurs 8 Totl 4 * Esolr bj: esolr ul, sbe leer esrbr prmr omplet. Esolr lt: prmr omplet posprmr. Este fere etre l proporó e usurs e toeptvos e ls pobloes efs por l esolr? ) Resolver o prueb e hpótess. Se α.9 b) Iferr mete u tervlo l 9% e ofz. 8. Ab e esubrr os uevs zos rqueológs geográfmete mu ers etre sí. Como o oe el too ls rterísts l tgüe e los restos e mbs zos, se v orroborr s se trt e u sol o e os feretes ulturs preolombs: se seleo u muestr e 5 objetos e u zo u muestr e 8 objetos lolzos e l segu zo. Los resultos el fehmeto e ños e los restos so: 6 CASTILLEJA AÍDA ZAVALA CARLOS (98) Respuest l progrm ol e plfó fmlr e el sureste el Esto e lgo: u regló pr l Atropologí Fís. E II Coloquo e Atropologí Fís Ju Coms, IIA, UNAM. pp

106 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Zo I s Zo II s Co estos tos muestrles puee olurse que l ultur e l zo II es más tgu? Supog strbuó orml. Se α.5 9. U empres etorl está heo u estuo e mero pr sr el perfl e los letores e peróos e u pís etermo; oser que el gro e esolr (eteo omo el totl e ños probos e su tretor esolr) es u ftor etermte e l rterzó e los letores; l empres h lsfo los peróos e utro tegorís: los ros que se espelz o poe éfss e l ot roj (A); los oretos l formó eportv (B); los que eftz spetos eoómos (C) los que se etr e spetos polítos soles (D). Los resultos obteos e l vrble e terés so los sguetes: A B C D Co estos tos h eve sufete pr segurr que l esolr e los letores es u ftor e vró etre los letores e peróos? Se α.5 ) Supog strbuó orml e ls pobloes. b) Supog que o h strbuó orml e ls pobloes.. L Seretrí el Meo Ambete quere etermr s los mbos e l tempertur el gu el Golfo e Méo, usos por l plt e Lgu Vere, tee u efeto sgftvo sobre l fu mr e l regó. Se vero l zr utro grupos e espemees reé os e ert espee e pees. Se oloro los grupos e meos mbetes sepros que smul el oéo, ompletmete étos, o eepó e l tempertur el gu. Ses meses espués se pesro los espemees. Los resultos (e lbrs) se e l tbl sguete: Pesos e los espemees 8ºF 4ºF 46ºF 5ºF ) Supog strbuó orml e ls pobloes. Se α. b) Supog que o h strbuó orml e ls pobloes. 6

107 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA. E u estuo sobre plfó fmlr e el Esto e lgo se plo u euest pr lzr los posbles ftores que flue e el uso e toeptvos. E l sguete tbl se preset ls freues observs e ls mujeres euests e reló su e s us lgú métoo toeptvo Uso e toeptvos E (ños) Usurs No Usurs Este reló etre l e el uso e toeptvos?. E u urso pr plotos se probro tres métoos e eseñz: o setes e uo, veosetes lse e el ul. Se obtuvero los sguetes resultos e l prueb fl: Csete e uo Veosete Clse e ul Este feres etre los putjes obteos e los feretes métoos? Se α.5. L sguete tbl se obtuvo e u vestgó e restos óseos e l épo olol e u regó e Tll l ruzr os ptologís observs: Este soó etre ls os vrbles? Se α. Crb Orbtrí perostoss Porót Ause Prese Ause 5 Prese 4. E ert esuel u grupo e estutes h plteo l posbl e que l feterí e l sttuó este rgo e l omu estutl. U profesor oser que este soó e ls posoes e los lumos respeto l letur e l que estu. Se tom u muestr se observ los sguetes resultos: Letur Posó respeto l propuest A fvor E otr AF 5 AS 7 9 ARQ 4 ET 5 ETN 4 LIN 6 IS 4 Qué se puee er l respeto? Se α.5 7

108 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA UNIDAD III ANÁLISIS DE CORRELACIÓN Y REGRESIÓN LINEAL ANÁLISIS DE CORRELACIÓN Cuo se tee os vrbles, l form más sell pr omprobr s este u reló lel etre ells es ostrueo u grm e spersó o bse e oores ( X, Y ). Empero, omo veremos otuó, l estíst uet o estmores pruebs más press (ores l tpo l strbuó probblíst e ls vrbles) pr etermr s este u soó sgftv o o. A. VARIABLES CUANTITATIVAS CON DISTRIBUCIÓN NORMAL ) COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE PEARSON Me sobre l soó etre os vrbles otus ( X, Y ) pr lulrlo e pobloes muestrs so:, us epresoes ρ PARÁMETRO N ( µ )( µ ) N σ σ r ESTIMADOR ( )( ) ( ) s s No obstte, pr reur l lbor que mpl restr to su me orrespoete, poemos smplfr l epresó el umeror e este estmor: Desrrollmos prmero el bomo: ( + ) Reprtmos l sumtor: + Doe ls mes so osttes por ello puee multplr ls sumtors multplrse por el tmño e l muestr: + Lo ul puee brevrse : Porque: + 8

109 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Y elmo los térmos e omú obteemos: Co lo ul l epresó que sí: EXPRESIÓN PARA CALCULAR EL ESTIMADOR DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE PEARSON PARA VARIABLES CUANTITATIVAS CON DISTRIBUCIÓN NORMAL 7. r ( ) s s Impresble result meor que el vlor e este oefete sólo puee < r < e uero ello ebe terpretrse: eotrrse e el rgo ( ) VALOR DEL COEFICIENTE INTERPRETACIÓN r Este soó lel vers etre ls vrbles. ( ) ( ) r No este soó etre ls vrbles. ( r ) Este soó lel ret etre ls vrbles. Est olusó, s embrgo, o es sufete; pues e el so e que h soó etre ls vrbles, flt omprobr que ést se estístmete sgftv. ) PRUEBA DE IPÓTESIS t Teeo el estmor el oefete e orreló e Perso ( r ), o est prueb se puee efr s su prámetro ( ρ ) tmbé es ferete ero, por ee, este soó sgftv etre ls vrbles. Pr ello, se estpul ls sguetes hpótess: IPÓTESIS : ρ : ρ Ls ules se otrst mete el sguete estísto e prueb: EXPRESIÓN PARA CALCULAR EL ESTADÍSTICO DE PRUEBA SOBRE EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE PEARSON. t r r Como poemos observr, este estísto e prueb es el tpo t ; es er, tee u strbuó t e stuet pero hor, por ser os vrbles, o ( ) gros e 7 S be est es l form más sell pr lulr mulmete el oefete e orreló e Perso, be meor que muhs lulors etífs lo puee rrojr retmete l gresr los tos e mbs vrbles e el moo estísto e regresó lel; este to terá u vlor mu preo l que se obtee heo los álulos mulmete o 4 emles. 9

110 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA lbert se ompr, omo e to prueb blterl e est strbuó, o ls regoes e rehzo e l hpótess ul: REGIÓN DE RECAZO DE : ρ α/ ( ) t α -α α/ ( ) t α B. VARIABLES NO CUANTITATIVAS Y/O SIN DISTRIBUCIÓN NORMAL Cuo ls os vrbles so l meos e tpo orl /o o se pue sumr strbuó orml e ells, este ltertvs o prmétrs pr etermr su soó. ) COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE SPEARMAN ( ρ s ) A fere el oefete e Perso ( omo e muhs pruebs o prmétrs), el oefete e Sperm o se bs e los tos e ls vrbles obtes e l muestr, so e sus rgos, los ules se eterm pr vrble e l mer ostumbr (e meor mor, fjo emptes pr vlores gules); por ejemplo: VARIABLE RANGO VARIABLE RANGO X R Y R R 4 4 R 4 CASO () R. 5 R R R R. 5 R beo sgo rgos los tos e vrble, ebe obteerse, pr so, l fere R R elevrse l uro: CASO () VARIABLE RANGO VARIABLE RANGO X R Y R R R R 4 4 R R. 5.5 R R R. 5 R Es est fere bsolut etre los rgos l que poremos eotrr e l epresó pr lulr el oefete e orreló e Sperm:

111 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA EXPRESIÓN PARA CALCULAR EL ESTIMADOR DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE SPEARMAN PARA VARIABLES AL MENOS ORDINALES Y/O SIN DISTRIBUCIÓN NORMAL. El ul se terpret e l msm form que el teror: r s ( ) 6 VALOR DEL COEFICIENTE INTERPRETACIÓN r Este soó lel vers etre ls vrbles. ( ) ( ) r No este soó etre ls vrbles. ( r ) Este soó lel ret etre ls vrbles. ) PRUEBAS DE IPÓTESIS El oefete e orreló e Sperm, l gul que el e Perso, puee utlzrse pr relzr u prueb sobre l sgf e l soó o el msmo tpo e hpótess que lo gul o fere e ero: IPÓTESIS : ρ : ρ s Empero, el estísto e prueb pr otrstr ests hpótess mb epeeo el tmño e l muestr utlz: ) Muestrs gres S el tmño e l muestr sobreps los elemetos ( > ), puee plrse el Teorem Cetrl e Límte usr el sguete estísto e prueb: s EXPRESIÓN PARA CALCULAR EL ESTADÍSTICO DE PRUEBA SOBRE EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE >. SPEARMAN CUANDO ( ) Z r s ( ) El ul se strbue e mer prommete orml estár por ello se le ompr o l regó e rehzo típ pr est strbuó: REGIÓN DE RECAZO DE : ρ s Z α/ α -α Z α/ α

112 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA b) Muestrs pequeñs S el tmño e l muestr es pequeño ( ), e vez e u estísto e prueb, es el propo oefete e orreló e Sperm el que se ompr o l regó e rehzo e l hpótess ul, eterm por los vlores rítos r s pr l prueb que llev el msmo ombre ( que volur el tmño e l muestr l sgf α ) REGIÓN DE RECAZO DE : ρ s α/ r α α/ r α Es er, l hpótess ul se rehz s C. EJEMPLOS DE APLICACIÓN r s < r α pero tmbé s r s > r α.. Los sguetes tos orrespoe ls logtues e húmero fémur e restos óseos msulos e l Cuev e L Celr, Cohul. ÚMERO FÉMUR Supoeo strbuó orml e ests vrbles, o u sgf α. 5 es posble frmr que este u reló lel etre l logtu el húmero el fémur?

113 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA gmos u prmer olusó prtr el grm e spersó orrespoete: Fémur úmero E est gráf poemos observr que o este u lel lr etre ls vrbles. Pero es eesro omprobr lo que los setos os e o u poo e estíst. E este prmer ejemplo esrrollremos toos los tos eesros pr lulr mulmete el oefete e orreló; o obstte, el los prómos sos reurrremos smplemete los vlores obteos o u e u lulor. ÚMERO FÉMUR X Y TOTAL 99 DATOS GENERALES s s 8. 84

114 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA EXPRESIÓN DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN r DE PEARSON ( ) CÁLCULO 99 7( ) r MANUAL ( ) 8.84 s s.89 VALOR EN r.9 CALCULADORA El sgo egtvo que l soó etre l logtu el húmero l el fémur serí vers, pero su ero vlor ero os u segu prueb pr frmr que l soó etre ests vrbles es s ul. Flmete os rest omprobr que tl frmó se sgftv. IPÓTESIS : ρ : ρ REGIÓN DE RECAZO DE : ρ α.5 α 5. α. 975 ( ) (7) (5) t. 5 α t t EXPRESIÓN PARA ESTADÍSTICO DE PRUEBA CÁLCULO DE t r t t r t (.9) UBICACIÓN DE ESTADÍSTICO DE PRUEBA t CON RESPECTO A REGIÓN DE RECAZO DE El estísto e prueb t. 76 e fuer e l regó e rehzo elmt (5) por t , rzó por l ul l hpótess ul : ρ o se rehz puee frmrse que o este soó sgftv etre l logtu el húmero l el fémur e los restos óseos e est pobló. 4

115 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA. Los sguetes tos orrespoe l pobló juvel msul e Cholul, Puebl (reoplos etre ). LONGITUD MIEMBRO SUPERIOR ESTATURA Supoeo strbuó orml e mbs vrbles, puee frmrse que este soó etre l logtu el membro superor l esttur o u sgf α.5? Esttur Logtu membro superor Auque este spersó e los tos, puee etre verse u lel etre ests vrbles, por ee, u posble soó. 5

116 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA DATOS GENERALES 5 r. 5 El vlor el oefete e orreló e Perso os u soó lel ret oserble. IPÓTESIS : ρ : ρ REGIÓN DE RECAZO DE : ρ α.5 α 5. α. 975 ( ) (5) () t. 64 α t t EXPRESIÓN PARA ESTADÍSTICO DE PRUEBA CÁLCULO DE t r t t r t ( ) UBICACIÓN DE ESTADÍSTICO DE PRUEBA t CON RESPECTO A REGIÓN DE RECAZO DE El estísto e prueb t. 59 e e l regó e rehzo elmt por () t , rzó por l ul l hpótess ul : ρ se rehz puee frmrse que hbí soó sgftv etre l logtu el membro superor l esttur e l pobló juvel msul e Cholul, Puebl.. Los sguetes fuero obteos tmbé e los restos óseos msulos e l Cuev e l Celr, pero est vez so ls logtues e fémur tbs erehos; vrbles que o mostrro strbuó orml. LONGITUD FÉMUR DERECO LONGITUD TIBIA DERECA

117 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Co u sgf α. 5, es posble frmr que este reló etre ells? 44 4 Logtu tb ereh Logtu fémur ereho E este grm los putos se ve mu spersos, por lo que se u est u reló lel etre ls logtues e estos huesos lrgos. 7

118 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA FÉMUR RANGOS TIBIA RANGOS TOTAL 459. DATOS GENERALES r DE SPEARMAN. s ( ) EXPRESIÓN DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN CÁLCULO ( 459) 6.74 ( ) El vlor el oefete e orreló e Sperm os u soó lel ret mu ébl etre l logtu el fémur l e l tb. r s 8

119 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA IPÓTESIS : ρ : ρ s REGIÓN DE RECAZO DE : ρ α.5 α 5. α. 975 Z α Z Z s EXPRESIÓN PARA ESTADÍSTICO DE PRUEBA CÁLCULO DE t t ( ) Z Z.74 r ( ) s.5 UBICACIÓN DE ESTADÍSTICO DE PRUEBA t CON RESPECTO A REGIÓN DE RECAZO DE El estísto e prueb Z. 5 está fuer e l regó e rehzo elmt por Z Por tl motvo, l hpótess ul : ρ s o se rehz puee frmrse que o este soó sgftv etre l logtu el fémur l logtu e l tb msuls e l pobló e l Cuev e Celr. 4. U vestgor ese sber s este reló etre l mgró Méo-EEUU el lfbetsmo. Pr vergurlo obtee e los reportes e l CONAPO los sguetes tos sobre el poretje e persos (por et feertv lgus ) que emgrro hst el ño 5 el poretje e persos lfbets mores e 5 ños: ENTIDAD FEDERATIVA EMIGRANTES (%) ALFABETAS (%) Agusletes. 95. Chps Dstrto Feerl Esto e Méo Gujuto Guerrero lgo. 85. Jlso Mhoá. 86. O Puebl Querétro. 9. S Lus Potosí

120 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Tbso. 9. Verruz Yutá Sbeo que ests vrbles o posee strbuó orml, grfque el grm e spersó, eterme el oefete e orreló rele u prueb e hpótess pr vergur s este soó sgftv etre ls vrbles ( α. 5 ). Poretje e lfbets Poretje e emgrtes E el grm o se observ u reló lel etre ls vrbles emgrólfbetsmo; e heho h u oglomeró reltv e putos e u zo. ESTADO EMIGRANTES RANGO ALFABETAS RANGO R R Agusletes Chps Dstrto Feerl Esto e Méo Gujuto Guerrero lgo Jlso Mhoá O Puebl Querétro S Lus Potosí Tbso Verruz Yutá TOTAL 54.5

121 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA DATOS GENERALES r DE SPEARMAN. s ( ) EXPRESIÓN DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN CÁLCULO r s ( 54.5) ( ) El vlor el oefete e orreló e Sperm os u soó lel ret mu ébl etre l emgró el lfbetsmo. IPÓTESIS : ρ : ρ s REGIÓN DE RECAZO DE : ρ s Y UBICACIÓN DEL COEFICIENTE r s α.5 α 5. 6 r.5. 5 r s. 58 s El vlor el oefete e orreló e Sperm r. 58 está fuer e l 6 regó e rehzo elmt por r. 5, por lo que l hpótess ul.5 : ρ o se rehz puee frmrse que o h soó sgftv etre s l emgró el lfbetsmo; por ee, tmpoo o el lfbetsmo. s 5. U estuo relzo e feretes omues rebo tos sobre l oetró e fluoruro (prtíuls por mlló) e el sumstro el gu e l pobló tmbé vestgó el úmero e etes o res, flts u obturos (CFO) que hbí por e ños Los sguetes vlores, empero, o so los tos obteos, so el rgo obteo por omu pr vrble. FLUORURO CFO Compruebe s este u reló lel etre l oetró e fluoruro los etes α.5. CFO e ests omues ( )

122 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA 8 Detes CFO Coetró e fluoruro E l gráf se observ u lr reló lel etre l oetró e fluoruro e el gu l prese e etes CFO. Eeptuo lguos sos, se ve que metrs ree l oetró e fluoruro, eree l prese e etes CFO. RANGOS DIENTES CFO RANGOS CONCENTRACIÓN FLUORURO R DATOS GENERALES R TOTAL 6 r DE SPEARMAN. s ( ) EXPRESIÓN DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN CÁLCULO ( ) ( ) El vlor el oefete e orreló e Sperm os u soó lel vers mu fuerte etre el úmero e etes CFO l oetró e fluoruro e el sumstro e gu. r s

123 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA IPÓTESIS : ρ : ρ s REGIÓN DE RECAZO DE : ρ s Y UBICACIÓN DEL COEFICIENTE r s α.5 α 5. r r s. 955 s El vlor el oefete e orreló e Sperm r s. 955 e e l regó e rehzo elmt por r , por lo que l hpótess ul : ρ s se rehz puee frmrse que h reló vers sgftv etre l oetró el fluoruro e el gu l prese e etes o CFO e ests pobloes. Es er, mor fluoruro tee el gu, meos etes o res, flttes u obturos preset los ftes. ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE E otrste o l orreló lel proemeto pr hllr l este e tes e u soó etre os vrbles, el álss e regresó lel osste e plr u sere e tés pr eotrr s h usl etre ells; es er, s el vlor e u vrble ( ) vrble ( X ), que se postul omo epeete. Y epee puee eplrse prtr e otr A. FUNDAMENTOS 6 4 L regresó es u métoo que permte eotrr reloes leles etre ls vrbles e u feómeo. Por ee, prmero ebemos revsr ómo, prtr e u sere e tos (omo los otuó que se grf) poemos eotrr l ret que los efe: Y Se tom os oores [(, )(, )], Se lul l peete m Teeo ese vlor el e u puto, se puee ( plr l euó puto-peete ) m Que se esrroll e l sguete form m m X

124 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Como el objetvo es eotrr l ore l orge; es er, el vlor e Y uo X es gul ero, espejmos Y Y mos X el vlor e ero Por lo que el vlor e l ore l orge ( ) + m m ( ) + m m b es b m Y teeo esos vlores poemos estbleer l euó e l ret m + b Tmbé eot por l epresó + b 6 Como poemos ver, uo l reló etre os vrbles es lr ostte, moelos bsos e l form + b so e gr utl pr epresr esrbr o presó su soó. Y X Los tos e feómeos reloos l ser humo, empero, o so t fáles e trbjr, que l vers vrbl bo-pso-soo-ulturl que estos reflej mpe hllr u euó oret que geerle sus resultos. Eho mo e l probbl, l estíst se rresg etoes supoer que l mejor ret pr esrbr u feómeo e este tpo es l que ue ls mes e los vlores posbles e Y pr X ( µ ); s ejr e reooer omo error e este moelo l esvó que to Y pue teer o respeto l ret µ. De est form, pr su álss, l estíst o sólo se prop e los moelos e regresó lel les mb 4

125 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA ls letrs o que se eot l ore l orge (, β ) ( m, b β ) () e presete e ellos: b l peete, so tmbé los pt pr mfestr el vel e ertumbre o error MODELO TEÓRICO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE EN ESTADÍSTICA β + + e β B. AJUSTE DEL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE Cooeo l form el moelo e regresó lel que l estíst utlz pr esrbr l reló etre os vrbles, es hor eesro sber ómo justrlo; es er, ómo prteo e los tos X, Y e u muestr e tmño, lulr l ore l orge l peete e l ret, logro que los errores e el moelo se mímos (rzó por l ul oupremos el proemeto e mímos uros). Pr hllr los vlores β β + + X, : β, tommos u puto ( ) β Y espejmos lo que os mport: el error β e β Que e u muestr e tmño espermos su sum e uros se mím; lo ul epee e β β. e ( β β ) e ( β β ) f e ( β β ) ( β ), β Por lo ul h que eotrr l form e que est fuó se mím. El puto es que, l hber os vrbles, mteremos l vez u ostte; esto es, hremos ervs prles e l fuó. Porque Empeemos por ervr l fuó respeto β : f ( β β ) ( β ), β ( β, β ) f β Y ( β β )( ) [ f ( ) ] Y l gulr ero, β vlores oe l fuó es mím: [ f ( ) ] f ( ) β se overte e estmores ( ˆ, ˆ β ) ( ˆ β ˆ β )( ) β que so los 5

126 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA 6 Stetemos hor lo jeo l sumtor espejémosl: ( ) ˆ ˆ β β ( ) ˆ ˆ β β Como # ( ) ˆ ˆ β β Ahor reprtmos l sumtor: ˆ βˆ β Epresó que tmbé puee eotrse omo: ˆ ˆ β β Porque C C Y l vr eso etre result: ˆ ˆ β β ˆ ˆ β β Euó e l ul poemos espejr ˆ β : ˆ ˆ β β Ahor be, rest her lo msmo o β : Dervmos l fuó respeto β : ( ) ( ) f, β β β β ( ) ( )( ) f, β β β β β Porque ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) f f f Igulmos ero: ( )( ) ˆ ˆ β β

127 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA 7 Desrrollmos espejmos l sumtor: ( ) ˆ ˆ β β ( ) ˆ ˆ β β Ahor l reprtmos lbermos ls osttes: ˆ ˆ β β ˆ ˆ β β Despejemos el térmo que lue ˆβ : ˆ ˆ β β Que puee eotrse omo: ( )( ) ˆ ˆ β β Porque ˆ ˆ β β Lo ul se esrroll e l sguete mer: ˆ ˆ β β + Así que que otro térmo o ˆβ por espejr: ˆ ˆ β β Lo ul se puee smplfr omo: ˆ β Y prtr e ello espejr ompletmete el térmo ˆβ :

128 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA ˆ β Puee erse etoes que, pr eotrr el moelo e regresó lel β + β + e que mejor se just los tos X, Y e u muestr e tmño, bst lulr los estmores e β β 8 que por mímos uros se efe omo: EXPRESIÓN PARA CALCULAR EL ESTIMADOR ˆ β EXPRESIÓN PARA CALCULAR EL ESTIMADOR ˆβ ˆ β ˆ β ˆ β S be mbos tos so fumetles pr ostrur el moelo e regresó lel, el vlor e ˆ β sólo el puto oe l ret ort el eje e ls Y ; esto es, el vlor e Y uo X. Metrs tto, el vlor e ˆβ result muho más sgftvo pr l terpretó que, epeeo e su sgo mgtu, el mbo e l vrble Y uo X mb u u. Por ejemplo: ˆ β + ˆ β ˆ β βˆ S X smue u u ˆ + ˆ β S X umet u u ˆ β + ˆ β β ( ) ( ) ˆ β ˆ β ˆ β + ˆ β ˆ β + ˆ β + + ˆ β ˆ β ( ) ˆ β ˆ β ( ) ˆ β ˆ β + ˆ β + ˆ β ˆ β ˆ β Por tto: S l peete es: X smue u u: X umet u u: postv ( ˆβ ) Y smue ˆβ ues Y umet ˆβ ues egtv ( ˆβ ) Y umet ˆβ ues Y smue ˆβ ues C. CRITERIOS PARA ESTABLECER QUÉ TAN ADECUADO ES EL MODELO. Más llá e eotrr l euó e l ret que se juste los tos, el objetvo prpl e los moelos e regresó lel es preer el vlor e Y u X. Ate feómeos letoros, l estíst sólo puee estmr; pero tes e herlo 8 Igul que e el so el oefete e orreló e Perso, el vlor e l ore l orge l peete e l ret puee obteerse s her mulmete los álulos, pues so muhs ls lulors etífs que rroj sus vlores (,b) l gresr los tos e l muestr e el moo estísto e regresó lel. 8

129 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA ebe verfr que el moelo umpl o utro rteros pr etermr que e ver se euo l esrbr el feómeo. C.) CRITERIO DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL Cosste e verfr que est u soó lel sgftv etre ls os vrbles trvés e u prueb e hpótess. E el so e vrbles o strbuó orml, l prueb que e el tem teror vmos se pl es l t, bs e el oefete e orreló e Perso ( r ): IPÓTESIS : ρ : ρ EXPRESIÓN PARA CALCULAR EL ESTADÍSTICO DE PRUEBA SOBRE EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE PEARSON. t r r REGIÓN DE RECAZO DE : ρ INTERPRETACIÓN -α α/ α/ ( ) t α ( ) t α S se rehz : ρ, el moelo es euo porque este u soó sgftv etre ls vrbles. C.) CRITERIO DEL COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN Iluso justo el moelo e regresó, uo grfmos los vlores estmos ( ŷ ) los omprmos o los vlores reles ( ) su me ( ), poremos eotrr lgus sreps. 6 R 5 Me 4 V. estmo esttur Altur e roll V. rel esttur Altur e roll 9

130 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA L fere etre los vlores reles su me es oo omo esvó totl e los vlores o respeto l me, l ul está ompuest por os esvoes más: ) l que h etre los vlores estmos l me e los orgles, eb l moelo e regresó, ) l que h etre los vlores reles los vlores estmos, que o justf el moelo e regresó es oser omo error e estmó o resuo. Esto es: Desvó totl e vlores o respeto l me ˆ + Desvó eb l moelo e regresó lel. ˆ Desvó o epl por el moelo Error o resuo. Como hemos veo eo, lo que se bus logrr o el moelo e regresó es que el error l esrbr el feómeo se lo más pequeño posble, motvo por el ul l sum e resuos (l uro, pr evtr sgos) ebe ser mím: ( ) ( ) + ( ) ˆ ˆ Vrbl totl: Sum e uros SC totles ( ) t Vrbl eb l moelo e regresó lel: Sum e uros e l regresó ( SC r ) Vrbl o epl por el moelo: Sum e uros e los errores ( SC e ) De hí prtmos pr er que, s o huber feres etre los vlores reles los estmos, el error e estmó serí ulo o estrí u vrbl epl: ˆ ( ) Por lo que l vrbl totl serí gul l vrbl eb l moelo e regresó lel: SC t SC r ˆ ( ) ( ) Y l omprrls (por vsó), rí u oete e : ( ) ( ) ˆ ˆ

131 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Qué ps, s embrgo, uo e l prát este errores e estmó? Pues que el oete e est ompró es meor uo, que prte e l vrbl se ebe los resules. L estíst efe etoes l resulto omo oefete e etermó ( R ), uo vlor está etre ero uo ( R ) l ser multplo por e revel el poretje e l vrbl e Y que el moelo e regresó lel epl. S be su vlor puee lulrse trvés e l fórmul esrt, se h omprobo que pr obteer el oefete e etermó bst o elevr l uro el oefete e orreló: COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN R ( ) ( ) ˆ R r Por últmo: uque lo el serí que, omo vmos, el vlor el oefete e etermó fuer o se err (%), esto pos vees suee. Por ee, flt e rteros estrtos sobre el vlor que ebe teer R pr oserr l moelo e regresó lel euo, smplemete hemos e sugerr que rebse el 5%, justfo que sí l mor prte e l vrbl e Y se eberá l moelo o lo errores. C.) CRITERIOS SOBRE LOS PARÁMETROS DEL MODELO. E los moelos e tpo β + β + e l vrble epeete X se so β. Debo eso, s el vlor e este prámetro fuer gul o mu preo ero ( β ), l vrble X espreerí β, lo ul rí que l vrble epeete o fet tee reló o l vrble epeete; es er, el moelo e regresó lel plteo estrí erro. A f e omprobr que éste o se el so, ebe revsrse que lguos supuestos se umpl pr poer plr os tpos e pruebs. C..) Supuestos el moelo láso e regresó lel smple. Pr poer estmr, los vlores e l vrble epeete ebe ser fjos los e l epeete letoros. Es er, pr to e X que el vestgor rebe eotrrá versos vlores e Y.. Los errores e so epeetes. Esto es, el vlor e uo o epee el vlor e los otros. Ello puee omprobrse mete l prueb e Durb-Wtso: EXPRESIÓN PARA LA PRUEBA DE DURVIN-WATSON Cuo resulto e se terpret e l sguete form: DW ( r r ) r VALOR DE DW INTERPRETACIÓN

132 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA DW Los errores muestr u utoorreló perfet postv. DW Los errores so epeetes. DW 4 Los errores muestr u utoorreló perfet egtv.. El vlor espero e ulquer error es ero: E ( ) e, por ee, bst o omprobr que l me e los errores se ero. Vr σ ; rzó por l ul toos lo errores 4. L vrz e error es ( ) e tee l msm vrz (feómeo eomo homosest). 5. Los errores tee strbuó orml, l gul que los vlores e Y : ~ N β, β σ ( ), El heho e que los errores teg u strbuó orml, se epeetes, esté étmete strbuos, teg me ero vrz σ, puee resumrse e ~ NIID, σ. e us uts sgls: ( ) C..) Prueb ANOVA Prueb fumet e el álss e vrz que postul ls sguetes hpótess: IPÓTESIS β :, β : β o Ls ules se otrst ostrueo el sguete estísto e prueb: β o Fuete e vrbl Deb l moelo e regresó Iepl Gros e lbert ( ) (por error) Totl ( ) Sum e uros SC SC SC r e t Curos meos (vrz) ( ˆ ) ( ˆ ) CM r ( ˆ ) ( ˆ ) e ( ) SC CM S ( ) ( ) t ( ) CM S r Estísto e prueb CM F CM r e El ul tee u strbuó F e Fsher o gro e lbert e el umeror ( ) gros e lbert e el eomor se ompr o l orrespoete α : regó e rehzo u ofbl es ( ) : β o REGIÓN DE RECAZO DE β

133 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA (, ) F α S l hpótess ul se rehz se fere que el moelo e regresó lel es euo. No obstte, se reome relzr l sguete prueb e hpótess pr omprobr s l vrble X es sgftv. C..) Prueb e l peete Prueb que, pr omprobr s l vrble epeete epl los vlores e l vrble epeete, plte ls sguetes hpótess: IPÓTESIS β : β : Y les otrst mete u estísto e prueb que tee u strbuó t e gros e lbert: stuet o ( ) EXPRESIÓN PARA CALCULAR EL ESTADÍSTICO DE PRUEBA t ( ) S Los elemetos e est epresó os so ooos, eeptuo el e, que juto l resto el eomor oform u estmor e l esvó estár e los vlores e Y. gmos etoes u euó pr llegr l epresó o l que S ebe lulrse: t ˆ β S S Bsáoos e l prueb ANOVA sbemos que: S ( ) ˆ ( ) S ( ) ( ) Fórmuls e ls ules espejremos ls sums e uros pr obteer epresoes que eomremos omo : ( ) ( ) S ˆ ( ) ( ) S Por otro lo, reoremos que l vrbl totl e Y es gul l sum e l vrbl eb l moelo l vrbl o epl (eb los errores).

134 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA 4 ( ) ( ) ( ) + ˆ ˆ Pr etermr l vrbl e Y eb l moelo poemos etoes oupr ulquer e ls sguetes epresoes: ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ( ) ( ) r R ˆ S ls ombmos por meo e sus elemetos omues teemos que otr form e lulr el oefete e etermó es: ( ) ( ) ( ) r R ˆ Que se smplf : ( ) ( ) r R ˆ Porque b b b + + Susttumos hor sus ompoetes o ls epresoes que eujmos o el úmero : ( ) ( ) S S r Y relemos los mbos eesros pr slr l elemeto S : Despejmos to l ompró (vsó) ( ) ( ) r S S Psmos veo lo que le multpl multplo lo que le ve ( ) ( ) ( ) S r S Y flmete smos ríz ur ( ) ( ) S r S Co lo ul teemos que l fórmul pr lulr S es: EXPRESIÓN PARA CALCULAR S ( ) ( ) r S S

135 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA U vez que se obteg el vlor e (,( ), ) ˆ β S pr lulr es estísto e prueb e rehzo orrespoete: S rest susttur el resto e los elemetos t omprrlo o l regó REGIÓN DE RECAZO DE β : Clro está que s : β se rehz, el moelo e regresó es euo, porque l vrble epeete o sólo fet los vlores e l epeete, s o que emás result sgftv pr eplrlos. D. USO DEL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE U vez se h omprobo que el moelo justo ˆ ˆ β ˆ + β es euo, puee relzrse estmoes sobre el vlor e Y o u vlor e X, sempre uo éste se euetre e el rgo que est vrble h mostro; es er, que o rebse su mímo su mámo. D.) ESTIMACIÓN PUNTUAL S es el vlor esooo que tom l vrble epeete uo X, u estmó putul e su vlor puee obteerse e l sguete form: EXPRESIÓN PARA ESTIMAR PUNTUALMENTE EL VALOR DE ˆ ˆ β + ˆ β Es er, el vlor estmo pr est Y puee lulrse susttueo los vlores e ˆ β, ˆβ. 9 D.) ESTIMACIÓN POR INTERVALOS A fere e otrs osoes, se llm INTERVALO DE PREDICCIÓN l rgo e el que, o erto gro e ofz, se estm está el vlor hpotéto e uo X α/ ( ) t α -α. Pr su ostruó bst utlzr l sguete epresó: α/ ( ) t α EXPRESIÓN PARA CONSTRUIR UN INTERVALO DE PREDICCIÓN SOBRE EL VALOR DE ˆ t ( ) ( ) ( ) + α S S 9 Auque l operó o es t ompl, ls lulors etífs puee obteer el vlor estmo o más presó, hbeo greso los tos e mbs vrbles e l fuó estíst e regresó lel plo l fuó ( ŷ ) o ( ) 5

136 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Como e too tervlo, obteremos os vlores límtes (mímo mámo el rgo). e quí grfos, omo ejemplo, hos vlores e Y respeto los vlores e : V. má. esttur Altur e roll V. m. esttur Altur e roll V. rel esttur Altur e roll 6 Pr evtr tl sturó, los progrms e estíst permte grfr l líe el moelo e regresó (etrl), sí omo os líes (eterores) que elmt otumete los tervlos e preó pr. Esttur Altur e roll Por otro lo, se ooe omo INTERVALO DE CONFIANZA l rgo e el que, o erto gro e error, puee eotrrse l me e ls Y uo X ; es er: µ : EXPRESIÓN PARA CONSTRUIR UN INTERVALO DE CONFIANZA SOBRE EL VALOR DE µ µ ˆ t ( ) ( ) ( ) + + α S S Como puee verse, tl epresó o fere más que por u o respeto l epresó pr ostrur tervlos e preó. S embrgo, ello es sufete los tervlos e µ : 6

137 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Esttur 4 4 V. má. me estt Altur e roll V. mí. me estt Altur e roll V. rel esttur Altur e roll Altur e roll 48 5 Y e heho, puee omprobrse l gr fere etre ellos: V. má. esttur Altur e roll V. mí. esttur 4 Altur e roll V. má. me estt 4 Altur e roll V. mí. me estt Altur e roll V. rel esttur Altur e roll Esttur 4 4 Altur e roll E. EJEMPLOS DE APLICACIÓN. Los sguetes tos e ltur peso e jóvees ultos so prte e l muestr reolet urte l vestgó e Cholul, Puebl (968-97). ESTATURA PESO

138 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Supoeo strbuó orml e mbs vrbles: ) Puee frmrse que este soó lel etre ests vrbles? b) Do el so, juste el moelo e regresó lel. ) Compruebe s el moelo justo es euo o u sgf α. 5 ) S es el so, rele u estmó putul por tervlos uo l esttur el jove es e 6 mm. Comprobemos etoes s este soó lel etre ests vrbles por meo e u grm e spersó el oefete e orreló Peso jóvees ultos Esttur jóvees ultos.) S be e los vlores más pequeños e l esttur puee verse u soó lel lr o respeto l peso, oforme l esttur umet este ptró o es t lro COEFICIENTE DE PEARSON r.6786.) El vlor el oefete e orreló e Perso os u soó lel ret oserble etre l esttur el peso e est pobló. A otuó squemos los tos eesros pr lulr los estmores ˆβ ˆ β f e estbleer el moelo e regresó. DATOS GENERALES s s S be e est osó se mostrrá el álulo eplíto, espués se mostrrá úmete el obteo retmete o u e l lulor. 8

139 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA EXPRESIÓN PARA CALCULAR EL ESTIMADOR ˆβ EXPRESIÓN PARA CÁLCULO MANUAL ˆ β ( )( 5.4) 5( 596.6) ˆ β 869. CALCULADORA ˆ β. 7 CALCULAR ˆ EL ESTIMADOR ˆ β ˆ β β CÁLCULO MANUAL β CALCULADORA ˆ β Por lo que el moelo e regresó lel justo que omo: ˆ.7 ( ) MODELO TEÓRICO β + β + e MODELO AJUSTADO peso esttur b) Segú el moelo justo, por mlímetro que mb l esttur, el peso mb.7 klogrmos. Ahor be, pr omprobr que el moelo justo es euo h que verfr s umple o los rteros supuestos:. CRITERIO DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN IPÓTESIS : ρ : ρ REGIÓN DE RECAZO DE : ρ α.5 α 5. α. 975 ( ) (5) () t. 64 α t t EXPRESIÓN PARA ESTADÍSTICO DE PRUEBA CÁLCULO DE t r t t r t (.6786) 9

140 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA UBICACIÓN DE ESTADÍSTICO DE PRUEBA t CON RESPECTO A REGIÓN DE RECAZO DE.) El estísto e prueb t. e e l regó e rehzo elmt por () t Por tl motvo, l hpótess ul : ρ se rehz puee frmrse que sí este u soó sgftv etre l esttur el peso e los jóvees ultos e Cholul.. CRITERIO DEL COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN R r CÁLCULO R (.6786). 465.) El vlor el oefete e etermó el moelo justo epl sólo el 46.5% e l vrbl totl el peso. ) Al o umplr o el rtero el oefete e etermó be olur que el moelo justo o es relmete euo pr eplr el feómeo; por ee, o es reomeble relzr estmoes. Vemos hor u ejemplo mu preo oe pomos plr el resto e los rteros:. Los sguetes tos e ltur peso tmbé so prte e l muestr reolet urte l vestgó e Cholul, Puebl (968-97), pero perteee olesetes hombres: ESTATURA PESO Supoeo strbuó orml e mbs vrbles: ) Este soó lel etre ests vrbles? b) E so frmtvo, juste el moelo e regresó lel. ) Compruebe que el moelo justo se euo utlzo u sgf α.5 4

141 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA ) S es posble, rele u estmó putul por tervlos uo l esttur el olesete es e 7 mm Peso olesetes Esttur olesetes.) Pese l spersó e lguos tos puee verse u soó lel etre l esttur el peso, sí omo se efe u peete bstte gre. COEFICIENTE DE PEARSON r.88.) El oefete e orreló e Perso señl u soó lel ret fuerte etre l esttur el peso e los olesetes e Cholul. ESTIMADORES Y AJUSTE DEL MODELO ˆ β.646 ˆ β peso esttur b) De uero l moelo justo, por mlímetro que mb l esttur, el peso mb.646 klogrmos.. CRITERIO DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN IPÓTESIS : ρ : ρ REGIÓN DE RECAZO DE : ρ α.5 α 5. α. 975 ( ) (5) () t. 64 α t t EXPRESIÓN PARA ESTADÍSTICO DE PRUEBA CÁLCULO DE t r t t r t (.88) 4

142 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA UBICACIÓN DE ESTADÍSTICO DE PRUEBA t CON RESPECTO A REGIÓN DE RECAZO DE.) El estísto e prueb t e e l regó e rehzo elmt por () t Por ee, l hpótess ul : ρ se rehz puee frmrse que este u soó sgftv etre l esttur el peso e los olesetes e Cholul.. CRITERIO DEL COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN R r CÁLCULO R (.88). 75.) Segú este oefete, el moelo justo epl el 7.5% e l vrbl totl el peso; lo ul sugere que sólo u meor poretje se ebe los resules. Y tes e verfr los otros os rteros es eesro revsr s se umple los supuestos sobre los errores: Vlores fjos pr X vlores letoros pr Y Errores epeetes Esperz e los errores omosest e los errores Dstrbuó orml e los errores SUPUESTOS Teórmete sbemos que uque os persos m lo msmo, su peso puee ferr. E este so prtulr bst o señlr que este os vuos o u esttur e 67 mlímetros, pero metrs uo pes 5.5 klos, el otro pes 56.5 kg. Al plr l prueb e Durb-Wtso e el SPSS obteemos u vlor e.9. Esto esté t er el ( DW ), poemos frmr que los errores so epeetes. Segú el SPSS, l me e los resules o estrzos es ero; por tto E ( ).. e GRÁFICA DE PAPEL Peso olesetes Errores esperos umulos Toos los supuestos sobre los errores se umple. Errores observos umulos 4

143 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Ahor sí puee verfrse los rteros sobre los prámetros. S be quí se plrá tto l prueb ANOVA (mete SPSS) omo l prueb sobre l peete; ebo l omplej e l prmer, e los sguetes ejemplos e l prát será sufete plr l segu, que es e ell oe se omprueb s l vrble epeete es sgftv pr eplr l vrbl e l epeete. Fuete e vrbl Deb l moelo e regresó Iepl (por error). PRUEBA ANOVA IPÓTESIS β :, β : β o Gros e lbert Sum e uros β o Curos meos (vrz) Estísto e prueb SC. 74 CM r SC CM 4. e Totl 4 SC CM. 495 t : β o REGIÓN DE RECAZO DE β Y UBICACIÓN DEL ESTADÍSTICO r t e F.) El estísto e prueb F. 74 e e l regó e rehzo elmt (,) por F Debo ello puee olurse que guo e los os prámetros.95 es gul ero. 4. PRUEBA DE LA PENDIENTE IPÓTESIS β : β : : β REGIÓN DE RECAZO DE α.5 α 5. α. 975 ( ) (5) () t. 64 α t t EXPRESIÓN PARA CALCULAR S r ( ) S S ( ) CÁLCULO (.88) ( 5 ) S.676 ( 5 ).79 4

144 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA EXPRESIÓN PARA CALCULAR EL ESTADÍSTICO DE PRUEBA t CÁLCULO t t ( 5 ) ˆ β S ( ) S UBICACIÓN DEL ESTADÍSTICO DE PRUEBA t CON RESPECTO A REGIÓN DE RECAZO DE.4) El estísto e prueb t e e l regó e rehzo elmt () por t , ebo lo que l hpótess ul : β se rehz puee frmrse que l vrble esttur es sgftv pr eplr el peso e los vuos e est pobló. Por últmo rest her estmoes, por ejemplo, pr u vuo que pes 7 mlímetros: EXPRESIÓN PARA ESTIMAR PUNTUALMENTE EL VALOR DE ˆ ˆ β ˆ + β CÁLCULO MANUAL ˆ ( 7) CALCULADORA A prtr el moelo e regresó poemos estmr putulmete que, e est pobló, u vuo o u esttur e 7 mlímetros pes 58.5 klogrmos. EXPRESIÓN PARA CONSTRUIR UN INTERVALO DE PREDICCIÓN SOBRE EL VALOR DE CÁLCULO ˆ + t α ( ) ( ) ( ) S + S ( ) ( )( ) [ ,6.584] El peso e u vuo u esttur es e 7 mlímetros está etre los 56.9 los 6. klogrmos. EXPRESIÓN PARA CONSTRUIR UN INTERVALO DE CONFIANZA SOBRE EL VALOR DE µ µ ˆ t ( ) ( ) ( ) + + α S S 44

145 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA CÁLCULO ( ) ( )( ) [ 5.749,6.] E est pobló, el peso promeo e vuos u esttur e 7 mlímetros está etre los 5.7 los 6. klogrmos Peso olesetes Esttur olesetes. A otuó se preset los tos e esttur seto esttur totl e u grupo e ños us ees osl etre los ños. ESTATURA SENTADO ESTATURA TOTAL Supoeo strbuó orml e mbs vrbles: ) Compruebe s este soó lel etre ls vrbles. b) S es el so, juste el moelo e regresó lel. ) Verfque que el moelo se euo u sgf α. 5 ) Rele u estmó putul por tervlos pr uo l esttur seto el ño fuer e 6 mm. 45

146 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA 8 Esttur totl Esttur seto.) Auque este u spersó oserble, puee etreverse u soó lel etre l esttur seto l esttur totl e los ños. COEFICIENTE DE PEARSON r.744.) El vlor el oefete e orreló e Perso tmbé u soó lel ret etre ests vrbles. ESTIMADORES Y AJUSTE DEL MODELO ˆ β.4 ˆ β Esttur totl esttur seto b) Segú el moelo justo, por mlímetro que mb l esttur seto, l esttur totl mb.4 mlímetros.. CRITERIO DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN IPÓTESIS : ρ : ρ REGIÓN DE RECAZO DE : ρ α.5 α 5. α. 975 ( ) (4) () t. 788 α t t EXPRESIÓN PARA ESTADÍSTICO DE PRUEBA CÁLCULO DE t r t t r t (.744) 46

147 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA UBICACIÓN DE ESTADÍSTICO DE PRUEBA t CON RESPECTO A REGIÓN DE RECAZO DE.) El estísto e prueb t e e l regó e rehzo elmt por () t Debo ello l hpótess ul : ρ se rehz puee frmrse que sí h u soó sgftv etre l esttur seto l esttur totl.. CRITERIO DEL COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN R r CÁLCULO R (.744). 594.) De uero l oefete, el moelo justo epl el 5.94% e l vrbl totl e l esttur totl. Dho vlor está mu prómo l vrbl eb los resules, motvo por el ul será mportte verfr que el moelo umpl o otros rteros tes e utlzrlo pr estmr. Vlores fjos pr X vlores letoros pr Y Errores epeetes Esperz e los errores omosest e los errores Dstrbuó orml e los errores SUPUESTOS L prueb Durb-Wtso e SPSS rroj u vlor e.98 ( DW ), por tto, los errores so epeetes. El SPSS señl que l me e los resules o estrzos es ero; por lo ul se umple que E. ( ) e. GRÁFICA DE PAPEL Esttur totl Errores esperos umulos Toos los supuestos sobre los errores se umple.. PRUEBA DE LA PENDIENTE IPÓTESIS Errores observos umulos 47

148 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA β : β : : β REGIÓN DE RECAZO DE α.5 α 5. α. 975 ( ) (4) () t. 788 α t t EXPRESIÓN PARA CALCULAR S r ( ) S S ( ) CÁLCULO (.744) ( 4 ) S 4.7 ( 4 ) EXPRESIÓN PARA CALCULAR EL ESTADÍSTICO DE PRUEBA t CÁLCULO t t ( 4 ) ˆ β S ( ) S UBICACIÓN DEL ESTADÍSTICO DE PRUEBA t CON RESPECTO A REGIÓN DE RECAZO DE.4) El estísto e prueb t e e l regó e rehzo elmt () por t Por tl motvo l hpótess ul : β se rehz poemos frmr que l vrble esttur seto es sgftv pr eplr l esttur totl e los ños etre ños e est pobló. EXPRESIÓN PARA ESTIMAR PUNTUALMENTE EL VALOR DE ˆ ˆ β + ˆ β CÁLCULO Grs l moelo e regresó lel poemos estmr que u ño o 6 mlímetros e esttur seto terí u esttur totl e mlímetros. EXPRESIÓN PARA CONSTRUIR UN INTERVALO DE PREDICCIÓN SOBRE EL VALOR DE ˆ + t α ( ) ( ) ( ) S + S 48

149 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA ( ) ( )( ) [ ] CÁLCULO ,6.66 S u ño e est pobló tuver u esttur seto e 6 mlímetros, su esttur totl estrí etre los los 6.66 mlímetros. EXPRESIÓN PARA CONSTRUIR UN INTERVALO DE CONFIANZA SOBRE ( ) ( ) EL VALOR DE µ ( ) µ ˆ t + + α S S ( ) CÁLCULO ( )( ) [ 8.48,8.6] E est pobló, l esttur totl promeo e ños o u esttur seto e 6 mlímetros estrí etre los 8.48 los 8.6 mlímetros. 8 Esttur totl Esttur seto 49

150 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA EJERCICIOS DE REPASO. Uo e los prples problems e l tropometrí e os es l etermó e l esttur totl. U mer ret es ostrur moelos e regresó o otrs mes tropométrs. U e ls más uss es l ltur e lo roll, pues se ree que este u fuerte reló lel o l esttur. Los sguetes tos orrespoe u muestr e os el seo femeo e u slo e os e l u e Méo: Altur e roll Esttur Altur e roll Esttur ) Dbujr e u grm e spersó los tos. b) Clul l ret e regresó orrespoete grfrl. ) Determ s el moelo es euo, es er lulr oefete e orreló, oefete e etermó relzr l prueb e hpótess sobre l peete e l ret. ) S es el so, relzr u estmó putul por tervlo pr l esttur e u u ltur e l roll se e 45.8 m, tto el vlor vul omo pr el vlor promeo.. Se ese sber s es posble eotrr u moelo e regresó lel etre l fuerz musulr me e klos o u mómetro l resste pr sosteer u peso etermo l re o el brzo eteo, me e mutos éms e mutos. Too relzo o l mo ereh, e u muestr e 5 vuos ultos. Los vlores obteos so los sguetes: fuerz (kg.) Resste (m.) ) Grfr los tos e u grm e spersó. b) Obteer l ret e regresó grfrl e el grm e spersó. ) L peete e l ret e regresó poblol es ferete e ero? Coserr u sgf e.5 ) Obteer los oefetes e orreló etermó. Iterprete estos vlores. e) Qué puee olur sobre el moelo eotro? f) S u perso tee u fuerz e 4.5 kg. f.) Eotrr u tervlo e ofz, l 95%, pr el vlor e l resste f.) Eotrr u tervlo e ofz, l 95%, pr el vlor meo e l resste.. U fuó pr l preservó e fu ese emostrr que, e otr e l opó e l morí, ls güeñs s tre ños. Le gustrí probr esto o estísts. reuo tos sobre el úmero e güeñs e ños (mbos e mles) e lgus ues e Europ. Cgüeñs

151 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Nños ) Grfr los tos e u grm e spersó. b) Obteer l ret e regresó grfrl e el grm e spersó. ) L peete e l ret e regresó poblol es ferete e ero? Coserr u sgf e. ) Obteer los oefetes e orreló etermó. Iterprete estos vlores. e) Qué puee olur sobre el moelo eotro? 4. Los sguetes tos se refere l e roológ et l ltur sfsl e u muestr e ños e Mlp Alt. ) Dbujr e u grm e spersó los tos. Altur b) Clul l ret e regresó orrespoete E sfsl grfrl ) Determ s el moelo es euo, es er lulr oefete e orreló, oefete e etermó relzr l prueb e hpótess sobre l peete e l ret verfr supuestos sobre los errores ) S es el so, relzr u estmó putul por 5. 5 tervlo pr l e e u ño u ltur sfsl se e 55 mm., pr el vlor vul 5. Los 4.64 sguetes 56 tos orrespoe omo por l tervlo. esttur e pres e hjos Pres jos ) Grfr los tos e u grm e spersó. b) Obteer l ret e regresó grfrl e el grm e spersó. ) Obteer el oefete e orreló. Iterprete este vlor. ) L peete e l ret e regresó poblol es ferete e ero? Coserr u sgf e.95 e) Qué puee olur sobre el moelo eotro? Verfr supuestos sobre los errores. f) S el moelo es euo, estmr, putulmete por meo e u tervlo e ofz, l 9%, el vlor e l esttur e u hjo uo l esttur e su pre es e 69 m. Iterpretr. g) Estmr putulmete l esttur e u hjo s l esttur e su pre es e 95 m. qué puee er e este vlor estmo? 6. Coser los sguetes vlores: X Y Grfr los tos e u grm e spersó. ) Obteer l ret e regresó grfrl e el grm e spersó. b) Obteer el oefete e orreló. Iterprete este vlor. 5

152 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA ) L peete e l ret e regresó poblol es ferete e ero? Coserr u sgf e.95 ) Qué puee olur sobre el moelo eotro? Verfr supuestos sobre los errores. 7. Los sguetes tos orrespoe l e presó sguíe e persos pretemete ss. E Presó sguíe ) Grfr los tos e u grm e spersó. b) Obteer l ret e regresó grfrl e el grm e spersó. ) Obteer el oefete e orreló. Iterprete este vlor. ) L peete e l ret e regresó poblol es ferete e ero? Coserr u sgf e.95 e) Qué puee olur sobre el moelo eotro? Verfr supuestos sobre los errores. f) S el moelo es euo, estmr, putulmete por meo e u tervlo e ofz, l 95%, el vlor e l presó sguíe uo l e es e 5 ños. Iterpretr. g) Estmr putulmete l presó sguíe uo l e es e 8 ños. Qué puee er e este vlor estmo? 8. Coser los sguetes tos: X Y ) Grfr los tos e u grm e spersó. b) Obteer l ret e regresó grfrl e el grm e spersó. ) Obteer el oefete e orreló. Iterprete este vlor. ) L peete e l ret e regresó poblol es ferete e ero? Coserr u sgf e.95 e) Qué puee olur sobre el moelo eotro? Verfr supuestos sobre los errores. 9. Los sguetes tos orrespoe l peso el vel totl e olesterol trgléros e 5 persos: Peso Colesterol Trgléros (mg/ ml) Totl (mg/ ml)

153 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA ) Ajustr el moelo e regresó lel múltple b) Relzr ls pruebs e hpótess sobre los oefetes e ls vrbles epeetes. ) Clulr el oefete e etermó el oefete e orreló múltple. ) Verfr supuestos sobre los errores. e) El moelo estmo es orreto?. Ls sguetes meoes se obtuvero e hombres o ees etre 8 ños (tos ls meoes está e etímetros): Esttur Logtu el ro Logtu el fémur ) Ajustr el moelo e regresó lel múltple b) Relzr ls pruebs e hpótess sobre los oefetes e ls vrbles epeetes. ) Clulr el oefete e etermó el oefete e orreló múltple. ) Verfr supuestos sobre los errores. e) El moelo estmo es orreto? 5

154 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Boestíst Prát : Pruebs e pótess Se trbj o l bse e tos ote e el rhvo tropometr.sv l ul otee formó sobre lgus rterísts somtológs e los lumos e Atropologí Fís e prmer semestre e el lo -. Se preset ejemplos tves pr que rele los lumos. I. U muestr. Supoeo que los tos represet u muestr represettv e los estutes e l ENA e prmer semestre e ese lo, Es posble frmr que l e promeo e los lumos e este lo es meor e ños? L hpótess otrstr es: v : µ <, por lo tto ls hpótess estísts so: : µ vs. : µ <. E SPSS se eberá segur los sguetes psos: o. E el meú Alze, seleor Compre Mes seleor Oe- Smple T Test... omo se muestr e l fgur.. E el uro e álogo trour l vrble e el vlor omo se muestr e l fgur r Ok.. Se obtee los sguetes resultos e os tbls, e l prmer se preset el tmño e muestr, l me rtmét, l esvó estár el error estár e l s me,. E el seguo uro se observ el vlor el estísto e prueb, los gros e lbert, l sgf eotr (el p-vlor), l fere e mes ( µ ) el tervlo l 95% e ofz pr ( µ µ ). L hpótess ul que otrst el progrm sempre es l e os ols, o : µ µ. E el so el ejemplo omo Sg. p. < α, se rehz l hpótess o : µ, por lo ul o es meor o es mor ños. S observmos los vlores esrptvos teemos que l me muestr.8446, por lo tto teemos eves estísts que os que l me es mor. Otr form e ver esto es observr el tervlo e ofz 54

155 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA pr l fere µ veo que el tervlo otee sólo vlores so postvos. Por lo tto se fere que µ > µ >. Por lo tto, l hpótess e vestgó o es orret, que l me estístmete (p.) es mor. T-Test Oe-Smple Sttsts E et St. Error N Me St. Devto Me Oe-Smple Test E et Test Vlue 95% Cofee Itervl of the Me Dfferee t f Sg. (-tle) Dfferee Lower Upper II. Ejero Se puee ferr que los gresos fmlres promeo e l pobló e estuo es mor $,? III. Dos muestrs epeetes. Es posble ferr que este feres sgftvs e ls ees e los lumos respeto l turo?. L hpótess otrstr es: : µ µ vs. : µ µ. E el meú Alze, seleor Compre Mes seleor Iepeet-Smples T Test... o. E el uro e álogo trour l vrble e e el uro e vrbles otrstr. Se troue l vrble turo e el uro Groupg Vrble. Dr l e botó Defe Groups. Como el grupo mtuto est ofo omo 5 el vesperto omo 8, se troue estos vlores omo etfores e los grupos respetvmete. Dr l e Cotue e Ok. 55

156 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA. Los resultos se preset e os tbls, l prmer otee ls estísts esrptvs por turo. E l segu se observ e prmer lugr, los resultos e l prueb e Levee sobre l gul e vrzs: o : σ σ. Se observ que Sg..8> α, por lo tto o se rehz l hpótess ul, por lo que se puee sumr l gul e vrzs. Esto mpl que los resultos oe ebemos prestr teó so los el prmer regló. E so e rehzr l hpótess ul, ebemos ver los resultos el seguo regló. T-Test Group Sttsts E et Turo Mtuto Vesperto St. Error N Me St. Devto Me Iepeet Smples Test E et Equl vres ssume Equl vres ot ssume Levee's Test for Eqult of Vres F Sg. t f Sg. (-tle) t-test for Eqult of Mes Me Dfferee 95% Cofee Itervl of the St. Error Dfferee Dfferee Lower Upper Los resultos u estísto e prueb e -.94, 6 gros e lbert sg..5 < α.5, lo ul que se rehz l hpótess ul o : µ µ. Es er, se puee frmr que ls mes e e etre turos so sgftvmete feretes (p.5), seo mor e lumos el turo vesperto. Se preset tmbé el vlor e l fere e mes muestrl, su error estár el tervlo l 95% e ofz. IV. Ejero: Este morfsmo seul e ls vrbles tropométrs reolets: esttur, peso, perímetro e er, rufere el brzo reljo, rufere el brzo otrío, esttur seto, perímetro e tur ltur e l roll? V. Dos muestrs pres. Se ese sber s este fere sgftv e l mgtu e l rufere el brzo reljo respeto l rufere el brzo otrío. S µ µ so ls mes e mgtu s µ µ µ etoes, l hpótess otrstr es: o : µ vs. : µ. E SPSS teemos:. E el meú Alze, seleor Compre Mes seleor Pre-Smples T Test... 56

157 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA. E el uro e vrbles seleor ls os ruferes el brzo e trourls l uro Pre_Vrbles: e Ok.. Apree tres tbls, l prmer otee ls estísts esrptvs e vrble. L segu tbl preset el oefete e orreló lel (r) etre ls os vrbles, l sgf el otrste e hpótess o : ρ, oe ρ es el oefete e orreló lel poblol. E el ejemplo se observ que r, lo ul os soó lel fuerte etre ls os vrbles, omo sg. p. <.5 α se rehz l hpótess ul, lo ul os u soó lel sgftv etre ls vrbles. L terer s tbl otee los vlores e, s,, el tervlo l 95% e ofz pr µ, el vlor el estísto e prueb, los gros e lbert l sgf o p-vlor etermos por los tos. Como p. <.5 α, rehzmos l hpótess ul, por lo ul se fere feres sgftvs e ls os mes pobloles, teeo u vlor mor l rufere el brzo otrío. T-Test Pre Smples Sttsts Pr Crufere el brzo reljo Crufere el brzo otrío Me N St. Devto St. Error Me

158 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Pre Smples Correltos Pr Crufere el brzo reljo & Crufere el brzo otrío N Correlto Sg Pre Smples Test Pr Crufere el brzo reljo - Crufere el brzo otrío Me Pre Dfferees 95% Cofee Itervl of the St. Error Dfferee St. Devto Me Lower Upper t f Sg. (-tle) VI. Ejero: Resolver los problems:. So muhos los rgumetos fvor e l suposó e que ls seretrs esrbe más rápmete e u omputor que e u máqu e esrbr. Por ejemplo, ls egress e u esuel té frm que esrbe e l omputor plbrs más por muto. Pr oertr est frmó u grupo e seretrs se les poe trbjr rmete e u omputor se evlú l fl su velo; e l sguete sem se les poe trbjr elusvmete e máqu elétr e esrbr se evlú su velo e térmo e úmero e plbrs esrts por muto. Los resultos so los sguetes: Seretr Co omputor Co máqu elétr Co est formó se ofrm l frmó e ls seretrs? Se α.. Se ese ooer qué t efz result u et pr reur el peso e ls persos pr l ul se seleoó u muestr letor e 6 persos teress e bjr e peso, regstráose el peso e 58

159 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA perso tes espués el trtmeto, presetáose los resultos e l tbl sguete: Perso Ates Después Perso Ates Después VII. Prueb ANOVA: Se ese sber s etre ls mujeres este feres sgftvs e l esttur totl respeto l vrble que grup l e. Como se tee tres veles e grupó l hpótess probr es: o : µ µ µ. E prmer lugr e SPSS seleoremos ls mujeres, grupo ofo o el úmero e l vrble seo. De l opó Dt mos lk e l opó Selet Cses tvmos l opó If oto s stsfe, omo se muestr e l ptll sguete: Al r lk e el botó If... pree el uro que se preset l ereh. Psmos l vrble seo gregmos l gul o. Dmos l e Cotue 59

160 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Pr l prueb e hpótess e l opó Alze, seleor Compre Mes espués Oe- W ANOVA... E el uro Depeet Lst: sertr l vrble esttur. E el uro Ftor: trour l vrble grupo e e. Como resulto se obtee l tbl ANOVA, oe se observ que sg. p. > α.5, por lo tto o se rehz l hpótess ul, es er ls mes e l esttur e los tres grupos e e o so estístmete feretes. Oew ANOVA Esttur Totl Betwee Groups Wth Groups Totl Sum of Squres f Me Squre F Sg S se huber rehzo l hpótess ul, terímos que repetr l prueb ANOVA gregr l prueb e otrstes múltples 6

161 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA S se huber rehzo l hpótess ul, terímos que repetr l prueb ANOVA gregr l prueb e otrstes múltples,, o lk e el botó Post o..., seleor l prueb e Tuke, r lk e Cotue Ok. VIII. Ejero Resolver los problems:. U empres etorl está heo u estuo e mero pr sr el perfl e los letores e peróos e u pís etermo; oser que el gro e esolr (eteo omo el totl e ños probos e su tretor esolr) es u ftor etermte e l rterzó e los letores; l empres h lsfo los peróos e utro tegorís: los ros que se espelz o poe éfss e l ot roj (A); los oretos l formó eportv (B); los que eftz spetos eoómos (C) los que se etr e spetos polítos soles (D). Los resultos obteos e l vrble e terés so los sguetes: A B C D Co estos tos h eve sufete pr segurr que l esolr e los letores es u ftor e vró etre los letores e peróos? Supog strbuó orml e ls pobloes. Se α.5 4. L Seretrí el Meo Ambete quere etermr s los mbos e l tempertur el gu el Golfo e Méo, usos por l plt e Lgu Vere, tee u efeto sgftvo sobre l fu mr e l regó. Se vero l zr utro grupos e espemees reé os e ert espee e pees. Se oloro los grupos e meos mbetes sepros que smul el oéo, ompletmete étos, o eepó e l tempertur el gu. Ses meses espués se pesro los espemees. Los resultos (e lbrs) se e l tbl sguete: Pesos e los espemees 6

162 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA 8ºF 4ºF 46ºF 5ºF

163 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Boestíst Prát : Pruebs No prmétrs. I. Co los tos el rhvo tropometr. sv, plr l prueb χ pr ver s este reló etre el turo el seo e los estutes e prmer ño e l letur e Atropologí Fís.. E el meú Alze se seleo l opó Desrptve Sttsts, esogeo Crosstbs.. Se troue l vrble Seo omo regló l vrble Turo omo olum.. Se l e el botó Sttsts Se seleo ls opoes: Ch-squre Ph Crmér s V 5. Dr Cotue Ok 6

164 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Se obtee los resultos e l sguete mer: Crosstbs Cse Proessg Summr Seo el Ivuo * Turo Cses Vl Mssg Totl N Peret N Peret N Peret 64.%.% 64.% Seo el Ivuo * Turo Crosstbulto Cout Seo el Ivuo Totl Femeo Msulo Turo Mtuto Vesperto Totl Tbl e otge o ruz Ch-Squre Tests Perso Ch-Squre Cotut Correto Lkelhoo Rto Fsher's Et Test Ler-b-Ler Assoto N of Vl Cses Asmp. Sg. Vlue f (-se) 7.56 b Compute ol for tble Et Sg. (-se) Et Sg. (-se)..6 b. ells (.%) hve epete out less th 5. The mmum epete out s.56. Vlor e χ p. p< α.5, por tto se rehz o : o este reló etre seo turo Smmetr Mesures Noml b Noml N of Vl Cses Ph Crmer's V. Not ssumg the ull hpothess. Vlue Appro. Sg b. Usg the smptot str error ssumg the ull hpothess. 64 χ Auque l prueb soó etre ls vrbles, se puee ferr que es ébl, por el vlor e V e Crmer 64

165 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA II. Prueb χ uo se tee los tos e u tbl e otge. E u estuo sobre plfó fmlr e el Esto e lgo se plo u euest pr lzr los posbles ftores que flue e el uso e toeptvos. E l sguete tbl se preset ls freues observs e ls mujeres euests e reló su e s us lgú métoo toeptvo Uso e toeptvos E (ños) Usurs No Usurs Este reló etre l e el uso e toeptvos?. Crer u bse e tos o tres vrbles: grupo e e (e), toeptvos (tos) freues observs (fo). Reuer que e tos, utlz Vlues pr efr ls tegorís.. Del meú Dt seleor l opó Weght Cses.... Atvr l opó Weght ses b e trour l vrble Freues observs (fo) e el uro Freue Vrble:. Dr l e ok. 4. Del meú Alze seleor Desrptve Sttsts, Crosstbs. Itrour E e regló Atoeptvos e olum. 5. Segur los psos, 4 5 el ejero teror. 65

166 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA III. Ejero: Este reló etre l e e los lumos (grupo e e) el turo e estuo, e l bse tropometrí.sv. IV. Prueb e Norml e Kolmogorov-Smrov. Se ese sber s l vrble gresos fmlres ote e l bse e tos tropometrí.sv tee strbuó orml. L hpótess es: o : L vrble gresos fmlres tee strbuó orml.. Del meú Alze seleor Noprmetr Tests esoger l opó -Smple K-S.... Itrour l vrble Igresos fmlres e el uro Test Vrble Lst. Verf que este tv l opó Norml e Test Dstrbuto Dr l e OK.. Los resultos que se obtee so: NPr Tests 66

167 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Oe-Smple Kolmogorov-Smrov Test N Norml Prmeters,b Most Etreme Dfferees Kolmogorov-Smrov Z Asmp. Sg. (-tle) Me St. Devto Absolute Postve Negtve. Test strbuto s Norml. b. Clulte from t. Igresos Fmlres El estísto e prueb es: D.47 Como p.5, se rehz o. L vrble o se strbue orml. V. Ejero: Uso el omo Splt Fle, verfr s l vrble esttur totl tee strbuó orml e hombres mujeres por sepro. VI. Prueb el sgo Wloo.. A 6 estutes se les pló u eme sobre estíst elemetl e u í luroso. Oho e ellos, seleoos letormete, tomro l prueb e u sló s re ooo. Posterormete, espués e u termeo orto, termro u eme e u sló o re ooo. Co los otros oho estutes se vrtó este proemeto: Estute S re Co re Proporo l muestr rzó sufete pr olur que l utlzó el re ooo e u í luroso flue sobre ls lfoes el eme?. Cpturmos l formó e os vrbles e SPSS llms S Are Co Are.. Del meú Alze seleor Noprmetr Test Relte Smples.. Seleor ls os vrbles e trourls e mer smultáe e el uro 67 Test Pr(s) Lst. Verfr que esté

168 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA 4. Los resultos que se obtee so: NPr Tests Wloo Sge Rks Test Rks S Are - Co Are Negtve Rks Postve Rks Tes Totl. S Are < Co Are b. S Are > Co Are. Co Are S Are Test Sttsts b S Are - Co Are Z -.65 Asmp. Sg. (-tle).99. Bse o egtve rks. b. Wloo Sge Rks Test N Me Rk Sum of Rks b Co l prueb e Wloo, o se rehz l hpótess ul e gul e mes, que p.99>.5. Sg Test 68

169 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Frequees S Are - Co Are Negtve Dfferees Postve Dfferees b Tes Totl. S Are < Co Are b. S Are > Co Are. Co Are S Are Test Sttsts b S Are - Co Are Et Sg. (-tle).. Boml strbuto use. b. Sg Test N 5 6 De mer smlr, e l prueb el sgo o se rehz l hpótess ul e gul e mes, que p..>.5. Co mbs pruebs o es posble ferr feres e ls putuoes e los lumos ebo ls ooes e pló el eme. VI. Ejero: Se ese ooer qué t efz result u et pr reur el peso e ls persos pr l ul se seleoó u muestr letor e 6 persos teress e bjr e peso, regstráose el peso e perso tes espués el trtmeto, presetáose los resultos e l tbl sguete: Perso Ates Después Perso Ates Después Usr ls pruebs el sgo e Wloo pr ferr s es que hubo u smuó sgftv e el peso e ls persos. VII. Prueb U e M-Whte pr omprr os muestrs epeetes: Se ese sber s este fere e el píulo el tríeps etre hombres mujeres o bse e l muestr e lumos e prmer ño e l ENA, ote e el rhvo tropometr.sv, supoeo que ls pobloes o se strbue orml. : θ θ.. Del meú Alze seleor Noprmetr Test luego Iepeet Smples 69

170 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA. Itrour l vrble Píulo el Tríeps e el uro Test Vrble Lst. Itrour l vrble seo l uro Groupg Vrble r l e Defe Groups...Esrbr. Verfr que este tvo l opó M-Whte U Dr l e OK Los resultos so los sguetes: M-Whte Test Rks Píulo el Tríeps Seo el Ivuo Femeo Msulo Totl N Me Rk Sum of Rks Test Sttsts Píulo el Tríeps M-Whte U 69.5 Wloo W Z -.5 Asmp. Sg. (-tle).. Groupg Vrble: Seo el Ivuo El estísto e prueb 69.5 U. L sgf eotr p.. Se rehz o. Es mor el píulo el tríeps e mujeres. 7

171 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA VIII. Ejero: Se ese omprobr s l gete e l u tee hábtos feretes e uto l uo e su slu respeto l e u zo rurl. Se tomro muestrs letors e u u e u pueblo rurl, obteéose los sguetes resultos respeto uáts vees se ue vstr l méo geerl l ño: Cu: Pueblo: Puee eurse que mbs pobloes so feretes? IX. Prueb e Kruskl-Wlls. Se ese sber s l esttur totl e hombres mujeres es ferete respeto l e. Pr relzr est prueb se rero tres grupos e e e l bse e tos el rhvo tropometrí.sv. L hpótess otrstr es: : θ θ θ.. Como queremos relzr el álss e seo, usmos l opó Splt el meú Dt, e troumos l vrble seo tvo l opó.. Del meú Alze seleor Noprmetr Test luego K Iepeet Smples.... Itrour l vrble Esttur totl e el uro Test Vrble Lst. Itrour l vrble ge l uro Groupg Vrble r l e Defe Groups...Esrbr. Verfr que este tvo l opó Kruskl-Wlls. Dr l e OK 7

172 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Los resultos obteos so los sguetes: NPr Tests Seo el Ivuo Femeo Kruskl-Wlls Test Rks Esttur Totl Grupo e e [7,) [,7) [7,) Totl. Seo el Ivuo Femeo N Me Rk Test Sttsts,b, Esttur Totl Ch-Squre.86 f Asmp. Sg..5. Kruskl Wlls Test b. Groupg Vrble: Grupo e e. Seo el Ivuo Femeo E Mujeres se euetr u vlor e p.5>.5, lo ul mpl que o se rehz l hpótess ul. Es er, o este fere e l esttur respeto l e. Seo el Ivuo Msulo Kruskl-Wlls Test Esttur Totl Rks Grupo e e [7,) [,7) [7,) Totl. Seo el Ivuo Msulo N Me Rk Test Sttsts,b, Esttur Totl Ch-Squre.95 f Asmp. Sg..4. Kruskl Wlls Test b. Groupg Vrble: Grupo e e. Seo el Ivuo Msulo E ombres se euetr u vlor e p.4>.5, lo ul mpl que o se rehz l hpótess ul. Es er, o este fere e l esttur respeto l e. X. Ejero: E l ENA se ese sber s los estutes e utro rrers fere e l freue o que sste evetos ulturles orgzos por l sttuó. Pr ello se tom muestrs e estutes se les pregut s sste hos evetos u (), rr vez (), pos vees (), freuetemete (), mu freuetemete (4) o sempre 7

173 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA (5). Los resultos e ls euests se preset otuó. Rele l prueb e hpótess orrespoete. AF 4 ARQ 4 AS 5 5 IS 5 4 7

174 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA.E l bse e tos ote e el rhvo tropometr.sv, seleor sólo ls mujeres mete el omo Dt Selet seleor l opó f oto s stsfe r l e el botó f... Boestíst Prát : Aálss e Regresó. Itrour l sete seo e el uro e logo r l e Cotue luego e Ok. Los sos e hombres pree thos.. Ivestgoes e somtologí postul que este soó lel etre esttur ltur l roll. Ajustremos u 74

175 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA moelo o los tos e los lumos e prmer ño e tropologí fís. Del meú Alze seleor Regresso espués Ler. 4. Itrour l vrble Esttur Totl e el uro Depeet: Altur e Roll e Iepeet Se obtee l sguete sl: Regresso Vrbles Etere/Remove b Moel Vrbles Vrbles Etere Remove Metho Altur e Roll. Eter. All requeste vrbles etere. b. Depeet Vrble: Esttur Totl Moel Moel Summr Ajuste St. Error of R R Squre R Squre the Estmte Pretors: (Costt), Altur e Roll Coefete e Correló Coefete e Determó 75

176 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA ANOVA b Moel Regresso Resul Totl Sum of Squres f Me Squre F Sg Pretors: (Costt), Altur e Roll b. Depeet Vrble: Esttur Totl Probo l hpótess: : β β Coeffets Moel (Costt) Altur e Roll Ustrze Coeffets. Depeet Vrble: Esttur Totl Strze Coeffets B St. Error Bet t Sg Probo l hpótess : β ˆβ ˆβ Probo l hpótess : β 5. Pr sber s este orreló sgftv, el meú Alze, seleomos Correlte espués Bvrte 6. Itroumos ls vrbles Esttur Totl Altur e Roll e el uro e álogo, mos Ok Se obtee los sguetes resultos: Correltos 76

177 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Correltos Altur e Esttur Totl Roll Esttur Totl Perso Correlto.88** Sg. (-tle).. N Altur e Roll Perso Correlto.88** Sg. (-tle).. N **. Correlto s sgft t the. level (-tle). Vlor e r. Probo l hpótess : ρ Too que el moelo: Esttur totl Altur e roll es euo. Veremos hor los supuestos el moelo. 6. Repetmos el pso 4, pero hor tes e r l e Ok, mos e Plots Atvmos l gráf e probbl orml e troumos l vrble epeete los errores estrzos Aemás e los resultos que se obtuvero e el puto teror se preset ls sguetes gráfs: Epete Cum Prob Norml P-P Plot of Regresso Strze Res Depeet Vrble: Esttur Totl.5.5 Observe Cum Prob.75. Co est gráf se est evluo el supuesto e orml e los errores. S fuer etmete orml l strbuó e los errores, toos los putos eberá estr sobre l ret. Se observ pequeñs esvoes e l orml, s embrgo se puee oserr omo vlo este supuesto. 77

178 Boestíst: mterl prelmrjl Cstrejó, DL Trooso Atropologí Fís-ENA Regresso Strze Resul Stterplot Depeet Vrble: Esttur Totl Co est gráf se lz el supuesto e homogee e vrzs. Los putos ebe omportrse e mer letor e u rgo e el eje Y e -, tl omo se observ e l gráf. Por lo tto se puee r omo válo el supuesto. Esttur Totl De uero lo teror el moelo eotro puee oserrse euo pr preer vlores e l esttur prtr e l ltur l roll. Ejero. Ajustr u moelo e regresó osero l vrble esttur totl omo epeete esttur seto omo epeete. Moelo e Regresó Lel Múltple. Co l msm bse e tos o ls mujeres seleoos justremos u moelo osero omo vrble epeete el peso omo epeete l esttur totl, el píulo el tríeps, l rufere el brzo reljo el perímetro e l tur.. E el meú e Ler Regresó Ler trour ls vrbles omo se muestr e el uro.. Seleor e Metho l opó Stepwse (pso pso) e seleó e vrbles. 4. E el meú Plots... seleor ls gráfs omo e el so el moelo e regresó lel smple. Dr Ok. 78