TEMA 6: TEORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES ÍNDICE

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1 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr TEMA 6: TEORÍA DE RENTAS. RENTAS CONSTANTES ÍNDICE. CONCEPTO DE RENTA FINANCIERA ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA CLASES DE RENTAS SEGÚN LA CUANTÍA DE LOS TÉRMINOS SEGÚN EL NÚMERO DE TÉRMINOS SEGÚN EL ENCIMIENTO DEL TÉRMINO SEGÚN EL MOMENTO DE ALORACIÓN SEGÚN LA PERIODICIDAD DEL ENCIMIENTO SEGÚN LA LEY FINANCIERA ALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA RENTAS CONSTANTES RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA Y ENTERA CÁLCULO DEL ALOR INICIAL CÁLCULO DEL ALOR FINAL RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA Y ENTERA CÁLCULO DEL ALOR INICIAL CÁLCULO DEL ALOR FINAL RENTAS PERPETUAS, INMEDIATAS Y ENTERAS RENTAS POSPAGABLES RENTAS PREPAGABLES RENTAS DIFERIDAS RENTAS TEMPORALES, POSPAGABLES Y ENTERAS RENTAS TEMPORALES, PREPAGABLES Y ENTERAS RENTAS PERPETUAS, POSPAGABLES Y ENTERAS RENTAS PERPETUAS, PREPAGABLES Y ENTERAS RENTAS ANTICIPADAS RENTAS TEMPORALES, POSPAGABLES Y ENTERAS RENTAS TEMPORALES, PREPAGABLES Y ENTERAS Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -- L formó e este tem está extrí s e su totl e

2 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr. CONCEPTO DE RENTA FINANCIERA Hst or ls operoes fers que vemos relzo se ompoí e u ptl úo (o poos) tto e l prestó omo e l otrprestó. S embrgo, y u gr úmero e operoes que se ompoe e u elevo úmero e ptles: l osttuó e u ptl, los ples e jubló, los préstmos,... E tos ells tervee muos ptles y serí fíl y poo práto moverlos e uo e uo, omo lo emos eo st or. Surge l ees e busr u métoo mtemáto que os flte l tre e esplzr u elevo úmero e ptles o reltv fl: ls rets. Se trt e us «fórmuls» que e etermos sos permtrá esplzr e el tempo u grupo e ptles l vez. L ret se efe omo u ojuto e ptles o vemetos equsttes e tempo. Pr que exst ret se tee que r los os sguetes requstos: Exste e vros ptles, l meos os. Pero ostte etre los ptles, es er, etre os ptles oseutvos ebe exstr sempre el msmo espo e tempo (ulquer que se). 2. ELEMENTOS DE UNA RENTA FINANCIERA Los elemetos que ompoe u ret fer so: Fuete e l ret: feómeo eoómo que orge l meto e l ret. Por ejemplo, ls suesvs portoes u pl e pesoes o el greso peróo e u óm lo lrgo el tempo. Orge: mometo e el que omez evegrse 2 el prmer ptl. Fl: mometo e el que term e evegrse el últmo ptl. Aquí l prestó y otrprestó se refere tto l ero que se etreg pr ptlzrlo omo el que se rebe tulzo respetvmete. 2 Reoremos que evegrse lo poemos oserr equvlete prourse. Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -2- L formó e este tem está extrí s e su totl e

3 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr Duró: tempo que trsurre ese el orge st el fl e l ret. Térmo: uo e los ptles que ompoe l ret. Períoo: tervlo e tempo etre os ptles oseutvos. Tto e terés: ts emple pr mover los ptles e l ret. Gráfmete: C C2 C3 C t0 t t2 t3 t- t Orge Durót-t0 Fl 3. CLASES DE RENTAS Ls rets se puee lsfr segú feretes rteros, etre los que vmos estr los que pree e los prtos sguetes. 3.. SEGÚN LA CUANTÍA DE LOS TÉRMINOS Costte: uo toos los ptles so gules. rble: uo l meos uo e los ptles es ferete l resto, puéose stgur: o rbles s segur u ley mtemát, uo vrí letormete. o rbles sgueo u ley mtemát, uo lo e o u ore. E progresó geométr E progresó rtmét 3.2. SEGÚN EL NÚMERO DE TÉRMINOS Temporl: tee u úmero fto y ooo e ptles. Perpetu: tee u úmero fto o emso gre e ptles. Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -3- L formó e este tem está extrí s e su totl e

4 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr 3.3. SEGÚN EL ENCIMIENTO DEL TÉRMINO Pospgble: los ptles se euetr l fl e peroo e tempo. Prepgble: los ptles se stú prpo e peroo SEGÚN EL MOMENTO DE ALORACIÓN Imet: vlormos l ret e su orge o e su fl. Dfer: uo se vlor l ret e u mometo teror su orge, es er, el prmer térmo se euetr e lgú mometo posteror l que le orrespoerí u ret met. 3 Atp: el vlor e l ret se lul o posteror l fl, es er, es quell e l que el últmo térmo e l ret se euetr e lgú mometo teror l que le orrespoerí u ret met SEGÚN LA PERIODICIDAD DEL ENCIMIENTO Eter: el térmo e l ret vee expreso e l msm u e tempo que el tto e vloró, ulquer que se l u tom, es er, l freue e los térmos e l ret oe o l freue o pero o l que se ptlz los tereses. No eter o Peró: el térmo e l ret vee expreso e u u e tempo myor l el tto e vloró. Fro: el térmo e l ret se expres e u u e tempo meor que quell e l que vee expres el tpo e vloró e l ret SEGÚN LA LEY FINANCIERA Smple: emple u ley fer terés smple pr esplzr los ptles. 3 Por ejemplo, serí el so e u ret ul e l que el prmer térmo se euetr e el quto ño. 4 Por ejemplo, serí el so e u ret ul uyo prmer térmo se euetr e el mometo 0. Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -4- L formó e este tem está extrí s e su totl e

5 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr Compuest: l ley fer emple es l e l ptlzó ompuest. 4. ALOR FINANCIERO O CAPITAL DE UNA RENTA El vlor fero o ptl e u ret e u mometo t es el resulto e llevr fermete (ptlzo o esoto) toos los térmos e l ret o mometo e tempo t. Exste os sos espelmete relevtes: S t0 (seo 0 el orge e l ret) os eotrmos o el vlor tul, esto es, resulto e vlorr toos los térmos e l ret e el mometo ero. S t (seo el fl e l ret) se efe omo el vlor fl, resulto e esplzr toos los térmos e l ret l mometo. Pr el orreto empleo e ls fórmuls fers e ls rets, será eesro lsfr ls rets teeo uo e los rteros que emos vsto y, e fuó e l ombó que presete brá que plr u u otr, segú proe. A ls feretes rets que estuemos otuó se les v llr el vlor tul y fl y pr ello bstrá o reorr ls fórmuls mtemáts que permte sumr u sere e térmos que vrí e progresó rtmét o e progresó geométr reete o ereete. Ests expresoes so ls sguetes: Fórmul e l sum e térmos e progresó rtmét: S 2 Fórmul e l sum e térmos e progresó geométr ereete: S r r Fórmul e l sum e térmos e progresó geométr reete: r S r Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -5- L formó e este tem está extrí s e su totl e

6 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr Reoremos tmbé que ls fórmuls pr lulr u térmo -ésmo so: Fórmul el álulo el térmo -ésmo e u progresó rtmét: ( ) Fórmul el álulo el térmo -ésmo e u progresó geométr: oe: r Prmer térmo e l progresó Últmo térmo e l progresó Número e térmos e l progresó r Rzó e l progresó Dfere e l progresó EJEMPLO Se ese sber uáto see l sum e los 30 térmos e u progresó rtmét uyo prmer térmo es gul 5 y uo e los térmos se le sum 2 ues pr obteer el sguete. Cuál serí su sum s e lugr e ser u progresó rtmét fuer u progresó geométr e 8 térmos, uyo prmer térmo fuese.000 y su rzó fuese 0,5? L fórmul pr lulr los térmos e u progresó rtmét es: S 2 Pr ello y que lulr el vlor e 30: ( ) ( 30 ) Y poemos lulr l sum e los 30 térmos e l progresó: 5 63 S S l progresó fuer geométr, gráfmete se represetrí sí: / Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -6- L formó e este tem está extrí s e su totl e

7 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr / Pr lulr l sum terímos que tur e form álog omo lo emos eo terormete, es er, empezo por lulr el vlor el últmo térmo: r ( 8) ,5 7,825 Y poemos lulr l sum e los 8 térmos e l progresó, teeo e uet que omo l rzó es meor que, se trt e u progresó geométr ereete, por lo que se tee que plr est fórmul: r S r.000 7,825 0,5 S.992,9 0,5 5. RENTAS CONSTANTES 5.. RENTA TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA Y ENTERA mos estur u ret ostte (térmos e gul utí), temporl (tee u úmero etermo e ptles), pospgble (los térmos vee l fl el períoo), met (vlorremos l ret e su orge y su fl) y eter (térmos y tto está e l msm u e tempo). Auque o se g expresmete se lulrá e régme e ompuest (ret ompuest) CÁLCULO DEL ALOR INICIAL Comezremos por l ret ostte más fál, l que tee omo térmo l u (ret utr), uy represetó gráf es l sguete: 0? Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -7- L formó e este tem está extrí s e su totl e

8 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr Reoremos que l fórmul pr tulzr u ptl e régme e ptlzó ompuest y esueto rol es: C 0 C ( ) Aplo l efó e vlor tul y llevo los térmos uo uo, esoto e régme e esueto ompuesto l tto e l ret, ese oe está uo e los ptles st el orge se obtee el vlor tul, que se eot o l sguete termologí: oe: úmero e ptles tto e vloró llegmos l sguete fórmul: 0 K ( ) 2 ( ) 3 ( ) ( ) Pr smplfr l expresó teror, emos e er otr que se trt e u progresó geométr e rzó: r Como l rzó es meor que l u 5, l progresó es ereete, por lo que, tl y omo reormos e el tem teror, l sum e los térmos e u progresó geométr ereete es l sguete: S r r Aplo fórmul los térmos tulzos e l ret y smplfo posterormete: 5 El umeror es meor que el eomor. Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -8- L formó e este tem está extrí s e su totl e

9 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -9- L formó e este tem está extrí s e su totl e / / / / / / Est es l expresó que permte lulr el vlor e u ret ostte, temporl, pospgble, met, eter y utr. S embrgo, el mporte e los ptles o suele ser utro. E el supuesto e eotrros o u ret ostte uyos térmos fuer e utí, el vlor tul se represet por: A y se obterí e l sguete form: A K so ftor omú el térmo : A K Se puee observr que el orete es el vlor tul e l ret utr, temporl, pospgble, met y eter e térmos,, es er: A 0 L expresó A,, pues, que l ret es ostte, temporl, pospgble, met, eter y e utí.

10 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr EJEMPLO 2 Clulr el vlor tul e u ret e tres térmos ules veos 6 e 00 euros u u tto e terés el 0% efetvo ul. 0? ños 0% Moveo los ptles uo uo: 0 A K ( ) 2 ( ) 3 ( ) ( ) A3 0, 3 0, 2 ( 0,) ( 0,) ,69 248,69 Utlzo l fórmul e l ret ostte, temporl, pospgble, met y eter: 0 A ( ) ( 0,) 0 A3 0, , ,69 0, 0 248,69 3 EJEMPLO 3 Clulr el vlor e l mposó que teremos que relzr e u bo que ptlz l 2% e terés efetvo ul ompuesto, s queremos spoer e euros l fl e uo e los próxmos 5 ños. / 6 eos sgf que los ptles se eveg l fl el ño, es er, se v trtr e u ret pospgble. Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -0- L formó e este tem está extrí s e su totl e

11 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr / Ls tes rebr e el futuro osttuye u ret ostte, temporl, pospgble, met y eter. Por tto, pr que exst equvle etre l mposó y los retegros, quéll ebe or o el vlor tulzo e estos últmos. Así, l mposó l será el vlor tul e l ret form por los retegros l tto que geer l operó. 0? ños 2% Clulmos el vlor l e u ret temporl, pospgble, met y eter: 0 A ( ) ( 0,2) 0 A5 0, , ,52 0, , CÁLCULO DEL ALOR FINAL Segumos trbjo o l msm ret ostte, utr, temporl ptles, pospgble, met y eter; pero or vmos lulr su vlor fl, es er, vlorremos toos los térmos e l ret e su fl (mometo ), queo gráfmete sí:? Reoremos que l fórmul pr ptlzr u ptl e régme Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -- L formó e este tem está extrí s e su totl e

12 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr e ptlzó ompuest es: ( ) C C0 Aplo l efó e vlor fl y llevo los térmos uo uo, ptlzo e régme e ptlzó ompuest l tto e l ret, ese oe se euetr uo st el fl, se obtee el vlor fl, que se eot o l sguete termologí: s oe: úmero e ptles tto e vloró llegmos l sguete fórmul: 2 s K Pr smplfr l expresó teror, emos e er otr que se trt e u progresó geométr e rzó: r Como l rzó es myor que l u, l progresó es reete, por lo que, tl y omo reormos e el tem teror, l sum e los térmos e u progresó geométr reete es l sguete: S r r Aplo fórmul los térmos ptlzos e l ret y smplfo posterormete: s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s ( ) Al msmo resulto ubésemos llego s se ptlz el vlor tul e l ret st su fl empleo el msmo tto e Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -2- L formó e este tem está extrí s e su totl e

13 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -3- L formó e este tem está extrí s e su totl e vloró: Por tto, el vlor fl e l ret será l ptlzó e su vlor tul, omo se emuestr otuó: s s Est es l expresó que permte mover ptles e u u moetr equsttes etre sí ese su orge st el mometo l tto e terés. S embrgo, el mporte e los ptles o suele ser utro. E el supuesto e eotrros o u ret ostte uyos térmos fuer e utí, el vlor fl se represet por: S y se obterí e l sguete form: 2 S K so ftor omú el térmo : [ ] 2 S K Se puee observr que el orete es el vlor fl e l ret utr, temporl, pospgble, met y eter e térmos, s, es er: s S?

14 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr Del msmo moo, se puee llegr es expresó ptlzo el vlor tul: S s ( ) A L expresó S,, pues, que l ret es ostte, temporl, pospgble, met, eter y e utí. EJEMPLO 4 Clulr el vlor fl e u ret e tres térmos ules veos e 00 euros u u tto e terés el 0% efetvo ul. 3? Desplzo los ptles uo uo: 2 S K 2 ( 0,) 00 ( 0,) 33 3 S3 0, Utlzo l fórmul e l ret ostte, temporl, pospgble, met y eter: ños 0% S s ( ) ( 0,) 3 S3 0, 00 s3 0, , 3 33 Cptlzo el vlor tul, lulo e el ejemplo : S A 0, 3 s 248,69 ( ) A 3 3 ( 0,) A3 0,, 248, S3 0, 00 s3 0, Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -4- L formó e este tem está extrí s e su totl e

15 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr EJEMPLO 5 Clulr el mporte umulo e u bo l bo e 5 ños, s mpoemos l fl e uo e ellos euros seo el tpo e terés e l uet el 2% efetvo ul. El mporte umulo espués e 5 ños será el vlor fl e l ret form por ls mposoes que se relzo, utlzo omo tto e vloró el tpo e terés e l prop uet. 5Slo? ños Clulmos el vlor fl e u ret temporl, pospgble, met y eter: S s ( ) ( 0,2) 5 S5 0, s5 0, ,95 0, ,95 2% 5 EJEMPLO 6 Clulr el úmero e gresos e euros que teemos que relzr l fl e ño pr reur ,94 euros e u bo que ptlz l 6% efetvo ul. E este so se ooe l utí mpoer perómete, que osttuye u ret ostte, y el slo que queremos teer osttuo (el vlor fl e l ret); lo que se ese ooer es el úmero e mposoes relzr, esto es, el úmero e térmos e l ret () que osttuye ls mposoes , ? ños 6% / Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -5- L formó e este tem está extrí s e su totl e

16 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr / Utlzmos l fórmul el vlor fl e l ret ret temporl, pospgble, met y eter, teeo omo ógt el úmero e térmos, e este so ños, : S s ( ) ( 0,06) S 0, s 0, ,94 0,06 ( 0,06) 0,06,06, ,94,06 8, ,06 8, ,06,06 0, ,06 0, , Aplmos logrtmos pr poer espejr : log,06 log, log,06 log, log, ños log,06 7 ños 5.2. RENTA TEMPORAL, PREPAGABLE, INMEDIATA Y ENTERA mos estur u ret ostte (térmos e gul utí), temporl (tee u úmero etermo e ptles), prepgble (los térmos vee l prpo el períoo), met (vlorremos l ret e su orge y su fl) y eter (térmos y tpo e terés está e l msm u e tempo). Auque o se g expresmete se lulrá e régme e ompuest (ret ompuest) CÁLCULO DEL ALOR INICIAL Comezremos por l ret ostte que tee omo térmo l u (ret utr), uy represetó gráf es l sguete: Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -6- L formó e este tem está extrí s e su totl e

17 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr 0? Aplo l efó e vlor tul y llevo los térmos uo uo, esoto e régme e esueto ompuesto l tto e l ret, ese oe está ptl st el orge se obtee el vlor tul, que se eot o l sguete termologí: ä llegmos l sguete fórmul: 0 K 2 3 Pr smplfr l expresó teror, emos e er otr que se trt e u progresó geométr e rzó: r Como l rzó es meor que l u, l progresó es ereete, por lo que, tl y omo reormos e el tem teror, l sum e los térmos e u progresó geométr ereete es l sguete: S r r Aplo fórmul los térmos tulzos e l ret y smplfo posterormete: Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -7- L formó e este tem está extrí s e su totl e

18 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -8- L formó e este tem está extrí s e su totl e ä S reormos, l fórmul e u ret ostte, temporl, pospgble, met y eter er: Por lo que l fórmul teror l poemos expresr tmbé e fuó e e l sguete form: [ ] Est es l expresó que permte mover ptles e u u moetr equsttes etre sí st su orge, l tto e terés. Otr posbl osste e lulr el vlor tul e l ret prepgble vloro por sepro el prmer ptl, que y está e el orge, y el resto e ptles ( ) omo ret pospgble met: Es er:

19 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr Pr rets osttes uyos térmos fuer e utí, el vlor tul se represet por: Ä y se obterí e l sguete form: A 0 K 2 3 so ftor omú el térmo : 0 A K 2 3 ( ) ( ) ( ) Se puee observr que el orete es el vlor tul e l ret utr, temporl, prepgble, met y eter e térmos, ä, es er: 0 A ( ) ( ) L expresó Ä,, pues, que l ret es ostte, temporl, pospgble, met, eter y e utí. ( ) 0 A NOTA: los vlores tules y fles e ls rets prepgbles se obtee prtr e ls rets pospgbles multplo por ( ), es er, ls rets prepgbles so el resulto e ptlzr u períoo ls rets pospgbles CÁLCULO DEL ALOR FINAL Do que los vlores fles e ls rets prepgbles se obtee prtr e ls rets pospgbles multplo por (), poemos estbleer ls sguetes fórmuls: lor fl e u ret ostte, temporl, prepgble, met, eter y utr: Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -9- L formó e este tem está extrí s e su totl e

20 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr ( ) s ( ) lor fl e u ret ostte, temporl, prepgble, met, eter y e utí : ( ) S ( ) EJEMPLO 7 Clulr el vlor tul y fl e u ret e tres térmos ules stuos prpos el ño e 00 euros uo u tto e terés el 0% efetvo ul. lor tul: 0? Moveo los ptles uo uo: 0 A K A 3 0, , 2 3 ( 0,) ,55 273,55 Utlzo l fórmul e l ret ostte, temporl, prepgble, met y eter: ños 0% 0 ( ) ( ) ( 0,) ( 0,) 273,55 0, 0 273,55 Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -20- L formó e este tem está extrí s e su totl e

21 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr / lor fl: 0 3? ños 0% Moveo los ptles uo uo: 2 [ ( ) ( ) K ( ) ] ( ) S 2 [ ( 0,) 00 ( 0,) ] ( 0,) 33, 364,0 3 S 3 0, Utlzo l ret: 3 ( ) 364,0 ( 0,) ( ) , ,0 Cptlzo el vlor tul: ( ) 0 3 ( 0,) 364, , ,0 ( 0,) 364, RENTAS PERPETUAS, INMEDIATAS Y ENTERAS Este tpo e rets sólo se le porá lulr vlor tul pero u el vlor fl, y too ello o epee e que se pospgble o prepgble, ostte o vrble, et. El vlor tul e ests rets se obterá veo qué ourre s plmos ls fórmuls emples pr rets temporles y e lugr e Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -2- L formó e este tem está extrí s e su totl e

22 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -22- L formó e este tem está extrí s e su totl e utlzr u úmero fto e ptles () trbjmos o ftos térmos ( ). E eftv, se trt e trbjr o el oepto mtemáto e los límtes, uo l uró e l ret (y por tto, el úmero e ptles) tee fto RENTAS POSPAGABLES E el so e ret ostte, perpetu, pospgble, met y eter, veremos los sos pr rets utrs y o utrs: RENTA UNITARIA ( ): Reoremos que : Cuo tee fto: 0 Lm Lm 0 RENTA NO UNITARIA (A ): Reoremos que A : A Cuo tee fto: 0 Lm Lm A A 0

23 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr RENTAS PREPAGABLES E el so e ret ostte, perpetu, prepgble, met y eter, se puee er uso e l regl btul pr lulr l ret prepgble que osste e multplr su orrespoete ret pospgble por (): RENTA UNITARIA (ä ): Reoremos que : Multplo por (): 0 ( ) ( ) RENTA NO UNITARIA (Ä ): Reoremos que A : A Multplo por (): A A 0 A ( ) ( ) EJEMPLO 8 Hllr el vlor tul e u ret perpetu semestrl o u térmo e euros s el tto e vloró es el 2% oml ptlzble por semestres, e los sguetes sos:. S los ptles so pospgbles b. S los ptles so prepgbles / Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -23- L formó e este tem está extrí s e su totl e

24 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr / Prevo resolver los vlores e ls rets, y que lulr el tto efetvo semestrl equvlete l tto oml. Reoremos que: k Jk k 2 2 0,06 6% 2 Aor y poemos lulr el vlor l e ls rets pltes:. Cptles pospgbles A 0, 06 0 A , b. Cptles prepgbles A 0, 06 0 A , ,67 0, , , , RENTAS DIFERIDAS So quells que se vlor o teror su orge. El tempo que trsurre etre el orge e l ret y el mometo e vloró se eom períoo e fermeto e l ret RENTAS TEMPORALES, POSPAGABLES Y ENTERAS S prtmos e u ret utr, temporl (e térmos) y pospgble se trt e vlorr los ptles retmete, uo uo, e el mometo e vloró elego. Gráfmete querí: Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -24- L formó e este tem está extrí s e su totl e

25 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr 0 t? t Mometo e vloró Peroo e fermeto () Orge Al plr l efó e vlor fero e el mometo t: t K 2 3 ( ) So ftor omú: querí: ( ) t K 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) El orete e est expresó represet el vlor tul e l ret utr, temporl ( térmos), pospgble, met y eter ( ) que posterormete se esuet omo u ptl úo, l msmo tpo (), urte el períoo e fermeto (). t ( ) Por tto, se obterí el msmo resulto s vlormos l ret e su orge (se oser omo met y se lul su vlor tul) y posterormete se esuet o vlor tul (omo u solo ptl) st el mometo t elego, e régme e esueto Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -25- L formó e este tem está extrí s e su totl e

26 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr ompuesto l tto e terés vgete urte el períoo e fermeto. Gráfmete serí: 0 t? t Mometo e vloró Peroo e fermeto Aplo l efó e vlor tul y llevo los térmos uo uo, esoto e régme e esueto ompuesto l tto e l ret, ese oe está uo e los ptles st el orge se obtee el vlor tul, que se eot o l sguete termologí: oe: () Orge úmero e térmos e l ret tto e vloró peroo e fermeto Alítmete querí sí: t 0 ( ) ( ) ( ) ( ) S l ret fuer ostte, pero e utí ferete e l u (o utr), es er, los térmos fuer e utí, el vlor tul se represet por: A Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -26- L formó e este tem está extrí s e su totl e

27 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr E este so, too lo o segurí seo válo y bstrí o multplr el vlor e l ret utr por l utí el térmo. Es er: A A ( ) ( ) ( ) ( ) El fermeto solmete fet l vlor tul, por tto, s lo que se quere lulr es el vlor fl e l ret, plo l efó e vlor fl se trtrá omo u ret met, uque tmbé se porí obteer o vlor fl prtr el vlor tul fero: 0 t? t Peroo e fermeto () Alítmete: 0 ( ) t ( ) RENTAS TEMPORALES, PREPAGABLES Y ENTERAS S l ret fuese ostte, temporl, prepgble, fer, utr y eter terímos que lulr: Reoro que los vlores tules y fles e ls rets prepgbles se obtee prtr e ls rets pospgbles multplo por ( ), es er, ls rets prepgbles so el resulto e ptlzr u períoo ls rets pospgbles. Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -27- L formó e este tem está extrí s e su totl e

28 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -28- L formó e este tem está extrí s e su totl e t t De gul form, s l ret fuese ostte, temporl, prepgble, fer, e utí, y eter terímos que lulr: A Multplo por ( ): A A t A t RENTAS PERPETUAS, POSPAGABLES Y ENTERAS S l ret fuese ostte, perpetu, pospgble, fer, utr y eter terímos que lulr: Reoro que: y que: etoes: t S l ret fuese ostte, perpetu, pospgble, fer, e utí y eter terímos que lulr:

29 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr A Reoro que: y que: etoes: A A t A ( ) A A ( ) ( ) RENTAS PERPETUAS, PREPAGABLES Y ENTERAS S l ret fuese ostte, perpetu, prepgble, fer, utr y eter terímos que lulr: Reoro que: y que: etoes: t ( ) ( ) ( ) S l ret fuese ostte, perpetu, prepgble, fer, e utí y eter terímos que lulr: Reoro que: A A Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -29- L formó e este tem está extrí s e su totl e

30 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr y que: etoes: A t A ( ) A A ( ) ( ) EJEMPLO 9 Clulr el vlor tul y fl e u ret uy uró es e 5 ños, o térmos ules prepgbles e euros sbeo que se empez evegr etro e 3 ños. Tto e vloró % efetvo ul. Se trt e u ret fer 3 ños, o térmos prepgbles y 5 térmos. lor tul: 0 t t % Peroo e fermeto 3 ños ños Reoremos que: Por lo que: t A A t t A A ( ) ( ) A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( 0,) ( 0,) ( 0,) 0, 5 t 8.099,2 / Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -30- L formó e este tem está extrí s e su totl e

31 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr / t 8.099,2 lor fl: El fermeto o fet l vlor fl, que se poí ber lulo omo el e u ret met e 5 térmos prepgbles: ( ) S ( 0,) ( ) 5 S 5 0, , ,72 5 ( 0,) 8.664, RENTAS ANTICIPADAS So quells que se vlor o posteror su fl. El tempo que trsurre etre el fl e l ret y el mometo e vloró se eom períoo e tpó e l ret RENTAS TEMPORALES, POSPAGABLES Y ENTERAS S prtmos e u ret utr, temporl (e térmos) y pospgble se trt e vlorr los ptles retmete, uo uo, e el mometo e vloró elego. Gráfmete querí: 0? Orge F Peroo e tpó () Mometo e vloró Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -3- L formó e este tem está extrí s e su totl e

32 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr Al plr l efó e vlor fero e el mometo t: 2 ( ) ( ) ( ) ( ) K So ftor omú: querá: ( ) [ ] 2 ( ) ( ) ( ) ( ) K El orete represet el vlor fl e l ret utr, temporl ( térmos), pospgble, met y eter (s ), que posterormete se ptlz omo u ptl úo, l msmo tpo (), urte el períoo e tpó (). Por tto, s prmero se vlor l ret e su fl y posterormete ptlzmos el vlor fl, omo u solo ptl, se obterí el msmo resulto. Gráfmete serí: 0? Orge Alítmete querí sí: ( ) ( ) Est expresó puee otrse e form brev e l sguete form: s s F Peroo e tpó () Mometo e vloró oe: Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -32- L formó e este tem está extrí s e su totl e

33 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr úmero e térmos e l ret tto e vloró peroo e tpó Alítmete querí sí: s ( ) ( ) s ( ) ( ) S l ret fuer ostte, pero e utí ferete e l u (o utr), es er, los térmos fuer e utí, el vlor fl se represet por: S E este so, too lo o segurí seo válo y bstrí o multplr el vlor e l ret utr por l utí el térmo. Es er: S s ( ) s ( ) ( ) L tpó solmete fet l vlor fl pero o l vlor tul, que se relzrá omo s e u ret met se trtr, umpléose l sguete reló etre feretes vlores e l ret: 0? Orge F Peroo e tpó () Mometo e vloró Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -33- L formó e este tem está extrí s e su totl e

34 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -34- L formó e este tem está extrí s e su totl e Alítmete: 0 Como veremos otuó, too lo teror se umple, e gul form, pr rets osttes prepgbles y perpetus RENTAS TEMPORALES, PREPAGABLES Y ENTERAS S l ret fuese ostte, temporl, prepgble, tp, utr y eter terímos que lulr: s Reoro que los vlores tules y fles e ls rets prepgbles se obtee prtr e ls rets pospgbles multplo por ( ), es er, ls rets prepgbles so el resulto e ptlzr u períoo ls rets pospgbles. s s s s De gul form, s l ret fuese ostte, temporl, prepgble, tp, e utí, y eter terímos que lulr: S Multplo l ret utr por : s S S

35 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr EJEMPLO 0 Clulr el vlor tul y fl e u ret e 3 térmos ules e.000 euros pgeros por veo s l vloró l 7% ul se efetú los 8 ños e omez l ret. Se trt e u ret tp, puesto que l vloró se relz 5 ños espués e berse eo efetvo el últmo ptl. No obstte, l tpó o fet l vlor tul que se resolverá omo u ret met. 0? ? lor tul: Reoremos que el vlor tul e u ret ostte, temporl, pospgble, met, eter y e utí es: lor fl: ños 0 A ( ) Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -35- L formó e este tem está extrí s e su totl e ( 0,07) 0 A3 0, , ,32 0, ,32 Pr lulr el vlor fl e u ret ostte, temporl, pospgble, tp, e utí y eter se utlz l sguete fórmul: 7% Orge F loró S ( ) ( ) ( 0,07) ( 0,07) 4.509,06 S3 0,07 0, , /

36 Mtemáts Fers Prof. Mª Merees Rojs e Gr / Tmbé se puee lulr ptlzo 8 ños el vlor tul e l ret. Es er: 0 8 ( 0,07) 4.509, , ,06 Tem 6:Teorí e Rets. Rets Costtes -36- L formó e este tem está extrí s e su totl e