Escuela de Ingeniería Civil en Obras Civiles

Transcripción

1 Escuela de Ingenería Cvl en Obras Cvles ANÁLISIS COMPUTACIONAL NO LINEAL DE ESTRUCTURAS DE ACERO, INCORPORANDO AISLADORES SÍSMICOS DE COMPORTAMIENTO LINEAL Y NO LINEAL EN SU BASE Memora para optar al Título de Ingenero Cvl en Obras Cvles Profesor Patrocnante : Sr. José Soto M. Ingenero Cvl M. Sc. Eng. Cvl Profesor Copatrocnante : Sr. Julo Lopetegu T. Ingenero Cvl, Doctor en Ingenería Profesor Examnador : Sr. Adolfo Castro B. Ingenero Cvl M. Sc. Eng. Cvl EDUARDO JAVIER PELDOZA ANDRADE VALDIVIA,

2 AGRADECIMIENTOS Qusera aprovechar este espaco para agradecer prmero que nada a Dos, que me ha bendecdo acompañado durante todos estos años. de vda. A m famla, quen me ha brndado carño comprensón en todos ms proectos A los profesores Sr. Julo Lopetegu Torres Sr. José Soto Mranda, por las horas de apoo teórco la dsponbldad de materal bblográfco equpo necesaro. A todos ms compañeros de la carrera de Ingenería Cvl en Obras Cvles, que esperaron (pacentemente) los resultados de esta tess con grandes expectatvas.

3 ÍNDICE DE MATERIAS Captulo Págna. Introduccón.. Descrpcón del Programa Computado-nal Estructural Utlzado (PLANT)... Introduccón... Hpótess de cálculo estructural utlzadas por el programa.... Reaccones nternas en el estado deformado.... Desplazamentos rígdos propos Superposcón de las rotacones resultantes Transformacón de sstemas de coordenadas Descrpcón de la poscón de un elemento deformado Estados de carga - deformacón...7. Trabajo energía de deformacón...8. Trabajo de una carga sobre el desplazamento causado por otra carga...9. Ejemplo de solucón aproxmada Resolucón de grandes sstemas de ecuacones Análss de sstemas no lneales Control por desplazamentos Modaldades de cálculo del programa..4. Entrada de datos al programa..4.. Representacón espacal de la estructura..4.. Descrpcón de las seccones transversales Sofcttacones de carga..5. Cálculos dnámcos utlzando PLANT El método de Newmark Adaptacón del método de Newmark al programa PLANT 5 3. Programas de Computacón para Análss de Estructuras Asladas Exstentes en el Mercado Programa N - PAD Programa 3D - BASIS Programa ETABS Programa SAP Nonlnear. 3

4 4. Modelos de Ablacón Sísmca El objetvo de la aslacón sísmca Aslador de goma con bajo amortguamento (Low-dampng rubber bearíng: LDB) Aslador de goma de alto amortguamento (Hgh-dampng rubber bearíng: HDB) Aslador de goma con núcleo de plomo (Lead-rubber bearíng: LRB) Aslador Bectráté de France (EDF) Aslador elástco - frcconante (Reslent-frícton base solator: R-FBI) Aslador de péndulo frcconante (Frcton pendulum sstem: FPS) Método Utlzado para Incorporar el Modeb de Aslacón Sísmca al Programa PLANT Orgnal Modelo de aslacón utlzado Resolucón de la ecuacón dferencal asocada al modelo Solucón por medo del método de Euler Solucón por medo del método de Runge - Kutta de qunto orden Adaptacón de las solucones del modelo de Wen al programa PLANT Presentacón de Resultados Aslador solo Marco plano con aslacón basal Estructura trdmensonal de un pso con aslacón basal Conclusones. 66 Resumen. 67 Summar. 68 Bblografía. 69 Anexo A: Dagrama de Flujo para la Subrutna DYNAM. 7 Anexo B: Entrada de datos para cálculos dnámcos con PLANT. 8 Anexo C: Input de los ejemplos del Capítulo VI en formato de PLANT. 85

5 CAPÍTULO I : INTRODUCCIÓN En la actualdad, el computador se ha convertdo en una herramenta ndspensable para la Ingenería Cvl. No sólo ha mejorado enormemente la velocdad precsón de los cálculos, tambén ha posbltado el tratamento la operatora de algortmos modelos matemátcos que hasta hace unas décadas atrás eran mpractcables que sólo pertenecía al ámbto puramente teórco. Ello ha aberto nnumerables posbldades para soluconar satsfactoramente una ampla gama de problemas que requeren complejas smulacones numércas o el manejo de grandes cantdades de nformacón en forma cas nstantánea. En el campo de la Ingenería Estructural, el computador ha posbltado entre otras cosas el análss del comportamento de estructuras frente a varadas formas de solctacones de cargas. Para el caso del dseño ssmorresstente, es de especal nterés el estudo de la respuesta estructural frente a la aceleracón basal debda a un terremoto. Como se trata de una solctacón de duracón e ntensdad aleatora, lo deal es representar la estructura de manera lo más fdedgna posble, consderando que muchos de sus elementos pueden sufrr algún tpo de falla que comprometa su establdad capacdad de soporte. En la década de los ochenta, un grupo de ngeneros del Lehrstühl für Stahlbau de Aachen (Alemana) desarrolló el programa computaconal PLANT con el objetvo de llevar a cabo numerosas modaldades de cálculo estructural que ncluesen la posble plastfcacón de algún elemento. Dcho programa abarca la determnacón de la carga últma, establdad estructural (pandeo), análss dnámco (frecuencas propas método de Newmark). A través de los años, este programa ha sdo corregdo aumentado en varas oportundades, según sean los requermentos de los usuaros las nuevas tecnologías mplementadas. La presente tess trata sobre la nclusón del modelo de Wen en las subrutnas de cálculo dnámco del programa PLANT, el cual hace posble la smulacón de asladores sísmcos de base de comportamento elastoplástco, a fn de dsponer de una herramenta de cálculo que, además de descrbr la respuesta de una estructura aslada, tambén verfque s ésta ncurre en algún tpo de falla que mplque plastfcacón. Se ncluen los fundamentos teórcos del programa, como así tambén algunos ejemplos de cálculo de estructura aslada.

6 CAPÍTULO II : DESCRIPCIÓN DEL PROGRAMA COMPUTACIONAL ESTRUCTURAL UTILIZADO (PLANT).. Introduccón. El programa de cálculo estructural PLANT fue creado en 98 en el Lehrstühl für Stahlbau de Aachen (Alemana) por los Drs. J. Lopetegu, A. Saleh Ch. Stutzk. Fue concebdo como un programa de análss expermental que smulase test de carga sobre estructuras, ncorporando modelos de comportamento de materales las condcones del sstema analzado (barras, nudos, apoos, seccones, etc.) (LOPETEGUI, 983; SALEH, 98; STUTZKI, 98). El programa fue escrto en lenguaje FORTRAN, a fn de hacer comprensble su funconamento al usuaro, además de dejar aberta la posbldad de ncorporar nuevas subrutnas, según sean los futuros requermentos de análss (LOPETEGUI et al., 987)... Hpótess de cálculo estructural utlzadas por el programa. Los algortmos de PLANT se fundamentan en el equlbro de las fuerza de reaccón nterores de una estructura deformada las cargas que se obtenen drectamente por la matrz de rgdez elástca que se genera de los elementos que componen dcha estructura. Esto permte saber s comportamento del sstema está dentro del rango elástco, o ben ha ncursonado en valores que producen la plastfcacón de algún elemento. La teoría que sustenta estos cálculos es la que se explca a contnuacón.... Reaccones nternas en el estado deformado. Para un elemento estructural tpo barra, la teoría de cálculo de matrz de rgdez utlza un sstema de coordenadas locales asocado a los extremos del elemento. Con ello es posble descrbr la barra tanto en su poscón ncal como deformada, puesto que en cada seccón transversal exsten las sguentes posbldades de deformacón (SEDLACEK et al., 985): ) Tres desplazamentos (u, v, w) ) Tres rotacones (ϕ x, ϕ, ϕ z ) 3) Un ángulo de alabeo (ϕ x ) Además, a cada deformacón le corresponde una reaccón nterna: ) Tres fuerzas (Q x, Q, Q z ) ) Tres momentos (M x, M, M z ) 3) Un bmomento (M w )

7 X ϕ xk X M xk W k U V k k ϕ k ϕ' xk Q zk Q xk k M k M wk V ϕ Q M ϕ' x ϕ x U Y W ϕzk M w Q x M x Q z Y Mzk ϕ z M z Z Z FIGURA. Defncón de las posbles deformacones sus reaccones nternas asocadas. El equlbro de las fuerzas nterores de los extremos de las barras con las fuerzas exterores en los extremos de las msmas lleva a la ecuacón en notacón matrcal que expresa esta relacón: F ext K v (.) donde F ext es el vector de las fuerzas exterores, K es la matrz de rgdez del elemento, v es el vector de las deformacones antes menconadas.... Desplazamentos rígdos propos. En un elemento pertenecente a una estructura bajo carga, atendendo a un sstema global de coordenadas, se pueden dstngur dos tpos de desplazamentos: ) Desplazamentos rígdos: corresponden a los desplazamentos gros del elemento analzado en los cuales no están comprometdas sus propedades mecáncas, sno que se deben a deformacones de los elementos aledaños. ) Desplazamentos propos: corresponden a los desplazamentos gros que se producen al aplcar drectamente algún tpo de solctacón de carga sobre el elemento. 3

8 P B B P C C A A (a) (b) FIGURA. Ejemplos de desplazamento rígdo propo. La FIGURA. es un ejemplo smple de ambos casos de desplazamento. En (a) el elemento BC presenta una desplazamento rígdo, pues se traslada por efecto de la deformacón propa del elemento AB bajo la carga P. En (b) el desplazamento de BC se debe tanto a su deformacón propa como a la que presenta AB por transmsón de momento, es decr, ha tanto desplazamento propo como rígdo...3. Superposcón de las rotacones resultantes. En el análss de una estructura trdmensonal compuesta, un problema a resolver es la adecuada transformacón superposcón de las deformacones de los elementos, que se traducen en desplazamentos rotacones de los puntos que srveron de referenca para las poscones ncales; más aún s se trata de un análss elástoplástco, en donde se pueden alcanzar grandes deformacones. Es de especal nterés lo que sucede con las rotacones, pues se debe consderar que en el caso trdmensonal se debe convertr de un sstema partcular de coordenadas (el de cada extremo de una barra) a uno global o vceversa, además de separar las rotacones rígdas de las propas en cada elemento; pero los vectores de rotacón no se pueden sumar o restar en cada paso teratvo. En el programa PLANT se plantean las fórmulas del Dr. A. Saleh que son especalmente útles para la conversón de grandes rotacones de un sstema a otro, utlzando una matrz de transformacón que se calcula en base a un vector de rotacón obtendo en cada teracón de carga. Para un cuerpo sometdo a dos rotacones sucesvas, dgamos A a contnuacón B, el vector de gro resultante se obtene a partr de la sguente fórmula (SALEH, 98): C A + B A B A B (.) 4

9 en notacón condensada: ( B) A, C Es posble nvertr el proceso para obtener la dferenca entre dos rotacones, o sea, el vector de gro A a partr de C B : C B + B C A + C B (.3) Como la fórmula no es conmutatva, es decr, ( B) ( B,A) las rotacones necesaramente debe tenerse en cuenta (SALEH, 98). A,, el orden de sucesón de Una forma de descrbr la poscón de un elemento en el espaco respecto de un sstema global de coordenadas es medante un vector. Aplcando el concepto del vector de gro, se puede determnar su longtud, dreccón sentdo ncales con la sguente nformacón: Δx : Δ : Δz : l : dferenca de coordenadas entre los extremos de las barras, calculada a lo largo del eje X. dferenca de coordenadas entre los extremos de las barras, calculada a lo largo del eje Y. dferenca de coordenadas entre los extremos de las barras, calculada a lo largo del eje Z. longtud del elemento ndeformado. La relacón entre los valores anterores es: l Δx + Δ + Δz (.4) De acuerdo a la FIGURA.3, los ángulos que señalan la dreccón del elemento en el espaco son: α arcsen β arcsen ( Δ l Δ z ) o ( Δ z l ) (.5a.5b) Exste además un tercer ángulo, denomnado γ, que vene dado por la geometría del sstema que determna la poscón de la seccón en el eje prncpal del elemento. 5

10 Y Z Y β X α X l Δz Z Δx Δ γ Δz FIGURA.3 Ángulos que defnen la poscón del elemento en el espaco. Estos ángulos forman los sguentes vectores de gro: A B γ C tan β tan T α tan T T (.6a,.6b.6c)..4. Transformacón de sstemas de coordenadas. S tomamos en cuenta la FIGURA.3, para transformar el sstema de coordenadas globales al sstema de coordenadas local del elemento, se le somete a la sguente secuenca (SEDLACEK et al., 985): ) El sstema se traslada en forma paralela hasta la poscón del extremo ncal de la barra. ) El sstema se rota alrededor del eje Z en el ángulo α que se encuentra contendo dentro del plano XY. Los ejes X e Y se converten en X e Y respectvamente. 3) En la nueva poscón, el sstema se rota alrededor del eje Y en el ángulo β ;este paso hará concdr el eje X con el eje longtudnal del elemento, transformándose en el eje X. 4) Fnalmente, el sstema en su nueva poscón se rota alrededor del eje X en el ángulo γ para hacerlo concdr con el sstema local de coordenadas, convrtendo los ejes X e Y 6

11 en X e Y respectvamente completándose así la transformacón. Para realzar el proceso anteror medante vectores de gro, la transformacón de coordenadas globales a coordenadas locales se puede obtener con la doble aplcacón de la Ec.., lo que en notacón resumda es (SALEH, 98): ( ( B, A) ) D C, (.7) Para realzar la conversón de un sstema de coordenadas local a otro global, se aplca la sguente matrz T dada por la fórmula (SALEH, 98): T T T T 3 T T T 3 T T T D + D ( ) ( ) x D Dx D + Dz Dx Dz D ( ) ( ( ) ( ) Dx D D + D D D Dz + Dx D D + D D D D + D D x z z x z ) (.8) T : Matrz de transformacón. D : Vector de gro. D x,,z : Componentes del vector de gro. D : Cuadrado del módulo del vector de gro. La forma en que opera esta matrz T es multplcándose a ambos lados de la matrz de rgdez local K, dando como resultado una matrz de rgdez global K G...5. Descrpcón de la poscón de un elemento deformado. Un elementos en su poscón deformada se le defne por la deformacón que presentan sus puntos extremos. Después de n teracones para el cálculo de la deformacón fnal, la poscón de un nudo en el espaco en coordenadas cartesanas se puede expresar vectoralmente como: n, j T x + v ( x,, z ) + ( u, v w) T j (.9) La rotacón de un nudo se defne como la rotacón de su sstema local de coordenadas, el cual ncalmente se encuentra paralelo al sstema global de coordenadas. Estos ángulos de rotacón para un paso teratvo cualquera en notacón vectoral son: j ( ϕ, ϕ, ϕ ) Φ (.) x z 7

12 o como vector de rotacones: Φ Φ j j F j tan (.) Φ j La rotacón total después de n pasos teratvos se compone de varas rotacones parcales F j, las cuales se superponen por medo de la Ec... Debdo a la traslacón rotacón de los nudos, el eje de la vga se torna una línea curva trdmensonal, presentándose los desplazamentos rígdos propos descrtos en el Párrafo... ; esto produce la traslacón del eje prncpal de nerca. La relacón entre los vectores de gro que descrben la poscón fnal que adopta la vga al cabo de n pasos teratvos está dada por la sguente relacón, que toma en cuenta la Ec.. (SALEH, 98; SEDLACEK et al., 985): ( C ( B A )) E, (.) n n, n A B : Vectores de rotacón que contenen el movmento total del elemento debdo a desplazamentos tanto rígdos como propos de la barra. C : Vector de rotacón en el sentdo del desplazamento del eje de la vga; este resultado corresponde al valor medo de la torsón del elemento. E : Vector de rotacón correspondente a la rotacón rígda del eje longtudnal de la vga desde su poscón ncal ndeformada hasta su poscón fnal. Los vectores anterores se muestran como ejemplo para una vga en el espaco en la FIGURA.4 (SEDLACEK et al., 985). X Y Z Δx k X Y Z B n,n α n Δ A n C n β n Δz l n k n X n Z n FIGURA.4 Vectores de gro que defnen la poscón deformada. Y n 8

13 Una vez determnado el vector de rotacón E, es posble medante la Ec.. determnar el vector que relacona la poscón en coordenadas globales con la poscón deformada (SALEH, 98; SEDLACEK et al., 985): ( E D ) Dn, (.3) Además, tambén es posble determnar la rotacón relatva de los extremos de la vga, separando la rotacón total de la rotacón rígda: * ( E, Fn ) Fn * ( E, F ) F n j n j (.4a b) en donde: F, F n E : F n F n j * *, n j : Rotacones de los nudos en los extremos de las vgas en la n-ésma teracón, con respecto a los ejes locales ncales (X, Y, Z ). Rotacón rígda del eje de la vga. : Rotacones relatvas de los nudos extremos de la vga, las cuales causan las deformacones. Tambén se pueden aprovechar las Ecs..6a, b c, para obtener los ángulos de rotacón de los extremos de la vga (SALEH, 98; SEDLACEK et al., 985). Φ * n, j * ϕ x arctanf * ϕ arctanf * ϕ z arctanf z x (.5) Con esta nformacón se pueden calcular las fuerzas de reaccón elástca medante la teoría lneal clásca, pues las deformacones relatvas * ϕ n son pequeñas. Los valores para los momentos (Mx, M, M z ) las fuerzas (F x, F, F z ) se obtenen en los extremos de la vga medante el método de las deformacones. Con la fuerzas nternas elástcas es posble determnar la deformacón del materal en los extremos del elemento (SEDLACEK et al., 985; STUTZKI, 98): el u Qx E A v M EJ z w M EJ ϕ M EC x el z el el w M (.6a - d) 9

14 con la expresón para la deformacón: ( x, z, w) u v z w ω ϕ x ε, (.7) Por medo de las relacones esfuerzo - deformacón del materal, se obtene la dstrbucón de tensones en la seccón. Las fuerzas nternas se calculan por ntegracón de estas tensones en las seccones transversales. Estas fuerzas de reaccón en la seccón son a la vez las reaccones del elemento en sus extremos. Para calcular las fuerzas de reaccón de la estructura completa, se suman las fuerzas nternas de los elementos producdas en los puntos nodales. Para poder ejecutar este cálculo, las fuerzas en los extremos de las vgas son transformadas por medo de la matrz coordenadas a uno global (SEDLACEK et al., 985). T T n de la Ec..8, desde un sstema local de..6. Estados de carga - deformacón. Un estado de carga - deformacón se defne como un par de vectores P v que satsfacen la expresón correspondente a la Ec... Esta ecuacón expresa una correspondenca únca en el caso de vectores lneales; esto se puede denotar (LOPETEGUI,983; SEDLACEK et al., 985): P v (.8) Se defne la ortogonaldad de dos estados cualesquera de carga - deformacón, dgamos P v P v, s la carga de una de las confguracones no tene una contrbucón de trabajo en la otra confguracón: P v P v (.9) Dos vectores de carga o dos vectores de deformacón son paralelos cuando exste un escalar, dgamos x, tal que P xp o ben v xv. La ortogonalzacón de dos estados de carga - deformacón es sempre posble. Una forma es expresar un vector de carga, por ejemplo P, en dos componentes: una paralela al otro vector de carga conocdo, dgamos P, otra perpendcular al vector deformacón conocdo, dgamos v : P P P v * + P P P + x (.3) * P es la componente de la cual es ortogonal a v : P

15 P * P v P x P (.3) El escalar x se calcula a partr de la condcón de ortogonaldad entre P v : * ( P x P ) v x P v P v (.3) El vector de desplazamento v tambén se puede expresar por medo de dos componentes; una paralela al vector de desplazamento vector de carga: v la otra componente ortogonal al v v v + v v v P + (.33) * * v es la componente de v la cual es ortogonal a P. El escalar tambén se puede calcular * usando la doble condcón de ortogonaldad, es decr, P v : ( v v ) P P v P v (.34) S consderamos el prncpo general de Bett, obtenemos la expresón (LOPETEGUI SEDLACEK, 986; LOPETEGUI SEDLACEK, 988; SEDLACEK et al., 985): P (.35) v P v S a la Ec..35 le aplcamos la Ec..3 la Ec..34, entonces se llega a la conclusón * * que x ; luego, el segundo estado ortogonal se puede expresar como P : v P v * * P v v P P v x v P (.36a b)..7. Trabajo energía de deformacón. La ecuacón que expresa el trabajo para un estado de carga - deformacón en un sstema estructural es:

16 W P v (.37) donde P es un vector generalzado de carga, de deformacón. v es su correspondente vector generalzado La Ec..37 expresa el trabajo realzado por el vector de carga P sobre el estado de deformacón, representado por el desplazamento v. Este trabajo es almacenado como energía de deformacón. La energía de deformacón en estructuras almacenada ncalmente por medo de la flexón puede escrbrse: U l EIv ( x) d x (.38) Donde v ( x) es la funcón de desplazamento. De acuerdo a la teoría clásca de flexón en vgas: E I v ( x) M ( x), lo cual aplcado a la Ec..38: U l M ( x) EI d x (.39)..8. Trabajo de una carga sobre el desplazamento causado por otra carga. Consderando dos estados de carga - deformacón denotados como P v P v a partr de lo planteado en el Párrafos..6..7, se tenen los sguentes resultados (LOPETEGUI SEDLACEK, 986; LOPETEGUI SEDLACEK, 988): P v P v l l EIv ( x) v ( x) d x ( M x M x EI ) ( ) ( ) d x (.4a b) M (x) representa el dagrama de momento de flexón en la estructura debdo a P Es posble trabajar a nvel global en la estructura con estados de carga - deformacón de la msma manera que con funcones de Rtz en un medo contnuo. S exsten estados de carga - deformacón dsponbles, o s éstos pueden ser generados usando una matrz de rgdez exstente, entonces se pueden aplcar todos los métodos de análss estátco, reemplazando las funcones e ntegrales con estados de carga - deformacón. Para el análss de sstemas no lneales, la matrz de rgdez necesara para generar los estados de carga - deformacón podría

17 ser la del sstema lneal o smplfcado (LOPETEGUI SEDLACEK, 986; LOPETEGUI SEDLACEK, 988)...9. Ejemplo de solucón aproxmada. A contnuacón, se expondrá un ejemplo de solucón aproxmada con un subespaco defndo por algunos estados de carga - deformacón. Sean P v, P v,..., Pn v n estados de carga - deformacón para un sstema estructural bajo un vector de carga externa F. Una solucón aproxmada para un campo de desplazamento se puede escrbr (LOPETEGUI SEDLACEK, 986; LOPETEGUI SEDLACEK, 988; SEDLACEK et al., 985): v x K + v + x v + x n v n (.4) Las fuerzas de reaccón correspondentes al estado deformado son: R x K P x P x n Pn (.4) Las fuerzas resduales corresponden a fuerzas que no están en balance, las cuales se pueden expresar como: F + R F x P x P x n Pn (.43) F K El estado deformado se varía sucesvamente, de tal manera que cada componente de la deformacón es aumentado de x v hasta ( x + d x ) v. La nueva deformacón está dada por: v + Δv, con Δv d x v. El dferencal d x es un escalar. El trabajo correspondente a la varacón expresado como: dv puede ser du * F dv ( F x P x P K xn Pn ) v d x (.44) El trabajo vrtual es cero cuando el producto escalar F dv es cero. S se fjan las varacones * du en cero, se puede obtener un sstema de ecuacones: 3

18 (.45) n n n n n n n n x x x v F v F v F v P v P v P v P v P v P v P v P v P M M L M O M M L L El sstema de ecuacones tene una solucón s la matrz de coefcentes no es sngular éste es el caso cuando los estados de carga - deformacón son lnealmente ndependentes. La mejor aproxmacón posble al vector de deformacón v de la estructura vene dada por la Ec..4, la correspondente fuerza resdual es F de la Ec..43. La solucón proporconada será una solucón exacta cuando el vector de carga dado sea una combnacón lneal de vectores de carga conocdos P. La matrz de coefcentes es una matrz dagonal cuando los estados de carga - deformacón son ortogonales, es decr, los productos k v P para, los escalares x k (LOPETEGUI SEDLACEK, 986; LOPETEGUI SEDLACEK, 988): x v P v F (.46) S los estados de carga - deformacón no fuesen ortogonales, puede efectuarse un procedmento de ortogonalzacón. Otra forma de llegar al msmo resultado es descomponendo el vector de carga F en componentes paralelas a las cargas ndvduales P en una componente perpendcular a todos los vectores de desplazamento de los estados de carga - deformacón (LOPETEGUI SEDLACEK, 986; LOPETEGUI SEDLACEK, 988). *,,, F P P P F F F F F v v v P P P n x n x x n n K K K (.47) Esto lleva a una expresón de la componente ortogonal antes menconada: (.48) n x n x x P P P F F K * La condcón de ortogonaldad nos lleva tambén al sstema planteado en la Ec..45 (LOPETEGUI SEDLACEK, 988). * v F 4

19 ... Resolucón de grandes sstemas de ecuacones lneales. A fn de resolver grandes sstemas de ecuacones lneales con el método de estados de carga - deformacón, dchos estados deben ser calculados. A contnuacón se da un algortmo para encontrar los estados en caso que el sstema de ecuacones esté partconado como se ndca (LOPETEGUI SEDLACEK, 986; LOPETEGUI SEDLACEK, 988): A A A A AV AV a a V V a b + AV + A V P P b b a b P P a b (.49) Prmero, se ntentará resolver el sguente sstema de ecuacones: AV AV a a + AV + A V b b P a P b P (.5) Donde están dadas las matrces A,, k, los vectores P a P b ; la solucón que se k busca es V a, V b P. Una posble estratega de solucón podría ser prmero resolver V a en la sguente ecuacón (LOPETEGUI SEDLACEK, 986; LOPETEGUI SEDLACEK, 988): A V a P a (.5) Conocdo el vector V a, luego se resuelve el sguente sstema: AVb Pb A V (.5) a Se puede entonces obtener una solucón para el vector de desplazamentos V b. El vector P, el cual es desconocdo hasta este momento, se puede determnar (LOPETEGUI SEDLACEK, 988): P AV b (.53) El vector P en el análss estructural es el vector de las fuerzas resduales, las cuales están presentes cuando el vector de deformacón es V. El vector P tene componentes dstntas de cero solamente en su parte superor. Cuando cada estado de carga - deformacón no tene componentes en su parte nferor de su vector de carga, el método de ortogonalzacón 5

20 resulta ser mu ventajoso pues los productos escalares P v sólo necestan ser evaluados en la parte superor de los vectores (LOPETEGUI SEDLACEK, 988). k Para la solucón de un sstema de ecuacones lo más recomendable es, en prmer lugar, determnar un vector de deformacón v una fuerza resdual P P. La solucón luego se postula de la sguente forma (LOPETEGUI SEDLACEK, 988): + xv + x v + x n v n (.54) v v K+ 988): El procedmento de cálculo consta de los sguentes pasos (LOPETEGUI SEDLACEK, ) Determnacón de v P, usando P (donde,,..., n). El estado de carga - deformacón es: P P, v ) El estado de carga - deformacón es ortogonalzado para >. Cada caso de carga - deformacón que se obtenga con este algortmo será ortogonal a todos los estados anterores excepto el últmo, por tanto necesta ser ortogonalzado solamente a partr de las componentes del últmo estado de carga - deformacón. El estado ortogonalzado se denota así: P * * v (.55) 3) Se mejora la aproxmacón a la solucón: v v + x v nueva antes * (.56) * donde v es el vector de deformacón del estado de carga - deformacón ortogonal, el coefcente x es: x P v (.57) P v * * * 4) Las fuerzas resduales correspondentes a v nueva son: P P x P * + (.58) 6

21 5) S no se alcanza la precsón requerda, el procedmento debe rencarse desde el paso () con Análss de sstemas no lneales. En el caso de sstemas no lneales, tambén es posble calcular el vector de deformacón s se conocen numerosos estados de carga - deformacón del tpo P * * v. El astersco ndca que los estados de carga - deformacón son sem - ortogonales, es decr P v * * k s > k (LOPETEGUI, 983). La aproxmacón en la deformacón que defne el estado de equlbro deseado es: v x K+ * * * v + xv + x n vn (.59) El sguente procedmento se realza para construr un sstema de estados de carga - deformacón ortogonalzados para mejorar smultáneamente la aproxmacón del vector deformacón. Sea una estructura no lneal en el estado deformado, cargada con las fuerzas resduales F. Se calcula un vector de deformacón v con la matrz de rgdez ncal v antes con F como vector de carga. La nueva aproxmacón para el vector de deformacón es: v v + v (.6) nueva antes En el sguente paso, las fuerzas resduales F se calculan con el sstema real no lneal en el estado deformado v nueva. El nuevo estado de carga - deformacón se defne: F F v (.6) En el lado zquerdo está la dferenca entre las fuerzas resduales correspondentes a las deformacones v v, al lado derecho el ncremento de deformacón v. antes nueva S se conoce otro estado de carga - deformacón, el nuevo debe ser ortogonalzado con respecto a todos los estados anterores. Esto sólo requere que el vector de carga de este nuevo estado no realce trabajo en el vector deformacón de todos los anterores. S el nuevo estado de carga - deformacón es entonces: P v los anterores son * * P k v k ( k,,..., ) 7

22 P v * * P z k k P v z v * k * k (.6a b) * P v k donde: z * * P v k k Este estado de carga - deformacón ortogonalzado se varía bajo el supuesto de * * lnealdad en los alrededores de, lo que sgnfca que x P x v tambén es váldo. La v nueva nueva aproxmacón para el vector deformacón: v v + x v nueva antes * (.63) El factor x se determna de tal manera que el producto escalar de las fuerzas resduales así calculadas multplcadas con * v sea cero. x F v (.64) P v * * * La fuerza resdual para el sguente paso es F + : F F x P * + (.65)... Control por desplazamentos. Para cálculos con desplazamento controlado, se determna una línea ncal de deformacón v una varacón de la msma, de tal manera que la ampltud en el vector de deformacón se mantenga sufcentemente cerca de un valor constante para reducr las fuerzas resduales al mínmo. Para una deformada v, se calcula la fuerza R requerda para mantener el sstema en equlbro. Esto se asume (LOPETEGUI et al., 987; LOPETEGUI SEDLACEK, 988): R λ F + F (.66) donde: λ : Factor de carga. F : Carga que recbe el sstema. F : Fuerzas resduales. 8

23 El factor de carga es entonces determnado para que las fuerzas resduales no realcen nngún trabajo en la deflexón v : ( R λf ) v R v λ F v (.67a b) Con auda de la fuerza resdual F se calcula un ncremento de deformacón v, la deformacón resultante cercana a la de v ( v + v ) se normalza de tal manera que tene una ampltud mu. Se dan a contnuacón dos posbldades: ) ) El nuevo vector ( v + se multplca por un factor de reduccón a, para que el vector v ) total de deformacón a ( v + v el vector v tengan gual longtud: n v a a n ( v + v ) n ( v + v ) n v (.68a b) v ) La deformacón es la únca multplcada por el factor a, para que las longtudes de los vectores v ( v + a ) sean guales: v v a v v + a v v v v + a v (.69a b) Se calcula la fuerza R la cual mantene al sstema en la poscón deformada v. El nueva ncremento de la deformacón mejorado es recente es: v nueva v. El estado de carga deformacón más R R v nueva (.7) v La teracón se realza de la msma forma explcada en el Párrafo... La longtud del vector deformacón es mantenda constante sólo para la determnacón de los estados de carga - deformacón (LOPETEGUI et al., 987; LOPETEGUI SEDLACEK, 988). 9

24 .3. Modaldades de cálculo del programa. En cuanto a la forma de cálculo, PLANT consdera la teoría de prmer, segundo tercer orden, contemplando los estados elástco elastoplástco del materal, dentro de lo cual exsten las sguentes opcones de procedmentos de análss (KUCK HOFFMEISTER, 988; LOPETEGUI et al., 987): ) Cálculo con deformacones ncales. ) Carga últma por medo de deformacón controlada. 3) Establdad, pandeo longtudnal. 4) Establdad, pandeo torsonal. 5) Establdad, pandeo con volcamento. 6) Cálculo con deformacón controlada. 7) Cálculo con factor de carga controlado por hstoral de carga. 8) Cálculo con factor de carga controlado por teracón corregda. 9) Cálculo con deformacón controlada por hstoral de carga. ) Análss dnámco, cálculo de frecuencas propas. ) Análss dnámco, método de Newmark para ntegrar la ecuacón de movmento..4. Entrada de datos al programa. A fn de ngresar los datos que representen a la estructura, PLANT está dseñado con una orden de leer un archvo de nput en formato ASCII, el cual debe contar con los sguentes códgos descrptvos (KUCK HOFFMEISTER, 988; LOPETEGUI et al., 987): ) Procedmento de análss requerdo. ) Representacón espacal de la estructura. 3) Característcas de las seccones, tanto geométrcas como del materal consttuente. 4) Solctacones de carga..4. Representacón espacal de la estructura. PLANT trabaja por medo de estructuras planteadas en base a barras descrtas por medo de sus puntos extremos, con su respectva ubcacón espacal dada en coordenadas cartesanas. A estos puntos se les asocan los grados de lbertad correspondentes a las condcones de conexón dadas por el problema, tales como nudos desplazables o fjos, con o sn transmsón de momento (KUCK HOFFMEISTER, 988; LOPETEGUI et al., 987).

25 X Y Z FIGURA. Descrpcón de una estructura smple medante barras nudos..4.. Descrpcón de las seccones transversales. Como se consderan tanto el análss elástco plástco de las estructura, se han ncludo dos formas de representar las seccones transversales de los elementos (KUCK HOFFMEISTER, 988; LOPETEGUI et al., 987): ) Para los cálculos de tpo elástco, se ngresan drectamente los valores de área de la seccón, momentos de nerca torsonales, módulo de elastcdad corte, dstanca entre el centro de gravedad corte, constante de alabeo área nterna de Brent (para seccones tpo cajón). ) Para los cálculos de tpo elastoplástco, la descrpcón geométrca del perfl debe hacerse medante lámnas. Dchas lámnas se descrben medante coordenadas de nco fn, referdas a un sstema que tene como orgen el centro de gravedad de la seccón. Además para cada lámna se nclurá el espesor los valores de ordenadas de alabeo tensones resduales de cada extremo. A estos datos se les debe adjuntar nformacón general de la seccón como módulo de elastcdad corte, esfuerzo de fluenca dstanca del centro de gravedad al centro de corte (LOPETEGUI et al., 987).

26 ,9, 4,5 Y 4,5,9 5, 5, Lámna e Nº [cm] Z z W k z k W k σ σ [cm] [cm] [cm ] [cm] [cm] [cm ] [kn/cm ] [kn/cm ],9-5, -4,5, 5. -4,5 -,,,,, -4,5,, 4,5,,, 3,9-5, 4,5 -, 5, 4,5,,, FIGURA. Ejemplo de un perfl representado con tres lámnas para cálculos elastoplástcos Solctacones de carga. Se puede dstngur tres tpos de cargas aplcables a la estructura (KUCK HOFFMEISTER, 988; LOPETEGUI et al., 987): ) Cargas puntuales, ngresadas en forma vectoral con respecto a un sstema global de coordenadas. ) Momentos, ngresados en forma vectoral. 3) Cargas dnámcas, ngresadas como aceleracones basales por medo de un archvo de datos. Además, de acuerdo a la modaldad de análss realzada, a dchas solctacones se les debe adjuntar un códgo que exprese el uso que deberán tener dentro de los cálculos, los cuales son: ) Cargas multplcadas por un factor admensonal, a fn de estudar su comportamento frente a las reaccones nternas de la estructura (por ejemplo, en análss de carga últma).

27 ) Cargas que permanecen constantes durante el análss completo (por ejemplo, las de peso propo). 3) Cargas que producen perturbacones ncales en la estructura, por ello solamente se ncluen en la prmera teracón del análss (por ejemplo, para calcular pandeo de columnas se necesta nclur, además de la carga compresva axal, una carga perpendcular al eje del elemento, ubcada en un punto convenente). 4) Cargas para el cálculo de valores propos (por ejemplo, frecuencas propas)..5. Cálculos dnámcos utlzando PLANT. Por medo de la ntegracón de los esfuerzos que provocan las deformacones, PLANT permte calcular las reaccones nternas de la seccón en cada extremo de la barra. El vector de las fuerzas resultantes se obtene medante la suma de las fuerzas de reaccón. Para el caso de un vector de fuerzas que nclue momentos, dcha suma se calcula aplcando la superposcón de vectores de rotacón para dstntos sstemas de coordenadas que fue explcada en los Párrafos..3, (KUCK HOFFMEISTER, 988; LOPETEGUI et al., 987). La ntencón de crear un programa que obtenga reaccones por medo de ntegracón es precsamente abarcar los casos en que la solctacón mplca un maor resgo, detectar s es que en alguno de los extremos de las barras en las cuales se ha dscretzado la estructura se ha producdo alguna plastfcacón que pueda nducr deformacones adconales, o ben comprometer la capacdad de soporte. En lo referente al cálculo de estructuras sometdas a terremotos, PLANT posee subrutnas adaptadas para el análss dnámco, basado en la ecuacón que expresa la relacón de equlbro entre la aceleracón del suelo las reaccones de la estructura frente a los desplazamentos (LOPETEGUI et al., 987): M & + C & + K Q(t) (.7) La resolucón se efectúa medante las ecuacones de Newmark, que expresan la ntegracón de la velocdad el desplazamento en pequeños ntervalos de tempo..5.. El método de Newmark. Este método propuesto orgnalmente por N. Newmark (959) nclue en su formulacón varados métodos que usan ntervalos de tempo para la solucón de ecuacones lneales no lneales. Dentro de las ecuacones se utlzan los parámetros β γ, los cuales srven para expresar la forma en que varía la aceleracón a través del tempo (PAZ, 997). 3

28 La expresón para el ncremento de la velocdad, consderando ntervalos de tempo de gual longtud (PAZ, 997): Δ& && Δt + γ Δ& Δt (.7) Además, el ncremento del desplazamento, consderando tambén ntervalos de tempo de gual longtud (PAZ, 997): Δ & Δt + && Δt + β Δ& Δt (.73) Con respecto al parámetro γ, se han observado que su valor óptmo es γ, a que cualquer valor dstnto a éste ntroduce un efecto de amortguacón superfluo al problema. Atendendo a esto, combnando las Ecs..7.73, es posble hallar las sguentes expresones para el ncremento de la aceleracón la velocdad (PAZ, 997): Δ&& Δ & & β Δt β Δt β (.74) Δ & Δ & + t & t β Δ β Δ 4β (.75) Además, s se consdera la Ec..7 de movmento de la estructura en forma ncremental, se tene: M Δ & + C Δ& + K Δ ΔQ (.76) S en la Ec..76 se ntroduce lo obtendo en las Ecs , es posble hallar una expresón que relacone el ncremento del desplazamento con el resto de las fuerzas que partcpan en el movmento (PAZ, 997): M C M C M K Q & & C Δ + + Δ Δ && β Δt β Δt β Δt β β t 4β (.77) En la Ec..77 es posble asumr lo sguente: * M C K + + K β Δt β Δt (.78) 4

29 Y además: ΔQ * M C M Q & & C Δ Δ t & β Δt β β 4β (.79) Reemplazando las Ecs en la Ec..77 se obtene: K * * Δ ΔQ (.8) En todas las ecuacones anterores, C K son las matrces de amortguacón rgdez respectvamente, evaluadas en el nstante de tempo ncal t del ntervalo de tempo Δ + t t t (PAZ, 997). En el uso del método de Newmark se debe selecconar prmeramente un valor numérco para el parámetro β; el autor sugere que β. Para β el método asume una 6 6 varacón lneal de la aceleracón, s ben los cálculos resultan ser condconalmente estables. Para β, el método asume una varacón lneal de la velocdad, lo que conlleva a consderar 4 la aceleracón como constante dentro del ntervalo de tempo. Este segundo caso es el más usado, pues ha demostrado ser estable en forma ncondconal, además de poseer una precsón satsfactora en sus resultados (PAZ, 997)..5.. Adaptacón del método de Newmark al programa PLANT. Para el cálculo de los desplazamentos, velocdades aceleracones resultantes en una estructura debdo a un terremoto, PLANT recoge los conceptos planteados por Newmark para su aplcacón en algortmos que equlbran las fuerzas de reaccón (nerca, amortguacón restauracón) con las producdas por aceleracones basales (LOPETEGUI et al., 987). Retomando lo expuesto en el Párrafo.5.., Newmark plantea las sguentes ecuacones para calcular el ncremento de la velocdad desplazamento en un ntervalo de tempo dado: Δ& && Δt + γ Δ& Δt (.7) Δ & Δt + && Δt + β Δ& Δt (.73) S consderamos que la varacón de la aceleracón comprende la dferenca entre los valores extremos del ntervalo, entonces se tene que: 5

30 Δ & && + & (.8) Con la Ec..8 es posble amplar las Ecs Recordando además que los valores óptmos para el análss son β, γ 4, se obtene (KUCK HOFFMEISTER, 988; LOPETEGUI et al., 987): & && Δt + (&& & ) Δt (.8) Δ + & ( ) Δt (.83) 4 Δ Δt + && Δt + && + & De la Ec..83 es posble obtener la sguente expresón para && + : & + 4 Δt 4 Δ Δt & & (.84) La Ec..84 puede sustturse en la Ec..8, a fn de expresar la varacón de la velocdad en funcón de los valores para el nstante t t : Δ & Δ Δt & (.85) Además, tenendo presente que Δ& & + &, se obtendrá de la Ec..85 una nueva expresón: & Δ & (.86) Δt + Como se observa, las Ecs establecen una relacón entre desplazamento, velocdad aceleracón en los nstantes t t + t t. S además retomamos la Ec..7, ésta puede quedar determnada para el nstante t t +, resultando (LOPETEGUI et al., 987): M & + + C & + + K + Q+ & (.87) Como + Δ, se tene de la Ec..87 : + M & K (.88) + + C & + + K Δ Q+ 6

31 Es posble ahora susttur las Ecs en la Ec..88 : K Q K C M Δ + Δ Δ + Δ Δ Δ + & && & t t t 4 4 (.89) De la Ec..89 se puede separar Δ a un lado de la gualdad: K M C M Q K C M + + Δ + Δ + Δ + Δ + & & & t t t 4 4 (.9) En la Ec..9 es posble asumr los sguentes valores auxlares: K C M K S + Δ + Δ t t 4 (.9) S M C M Q Q & & & + + Δ t 4 (.9) Reemplazando las Ecs..9.9 en la Ec..9, se obtene una expresón equvalente a un problema estátco (LOPETEGUI et al., 987): S S K Q K Δ + (.93) Para el caso de la Ec..93, el programa obtene las reaccones que equvalen a K medante ntegracón, mentras que Δ se calcula por los métodos cláscos de resolucón de sstemas de ecuacones (KUCK HOFFMEISTER, 988; LOPETEGUI et al., 987). Para optmzar el resultado de Δ que se obtene de la Ec..93, se debe retomar lo planteado en la Ec..9, establecer que las fuerzas de reaccón para Δ + + se determnen por medo de ntegracón de las seccones, es decr (KUCK HOFFMEISTER, 988; LOPETEGUI et al., 987): ( ) K M C M Q C M Δ Δ + Δ Δ + Δ + & & & t t t 4 4 (.94) De manera análoga a la Ec..93, en la Ec..94 posble dstngur fuerzas que dependen de las reaccones nternas ( ), otras que dependen de factores asocados al problema R s 7

32 dnámco como son masa, amortguamento tempo ( fórmulas (LOPETEGUI et al., 987): R M ), lo que se resume en las sguentes R S ( + Δ ) K (.95) R M 4 M + C Δ (.96) Δt Δt Reemplazando las Ecs en la Ec..94, aprovechando la susttucón de la Ec..9, se tene: R M S Q+ R S (.97) Lo anteror sólo se cumple s los desplazamentos obtendos en la Ec..93 por medo de la solucón del sstema de ecuacones satsfacen lo planteado en la Ec..97, cosa que no sempre sucede debdo a que R S es la resultante que se obtene medante la ntegracón de las reaccones, la cual tambén consdera la plastfcacón de alguna parte de la seccón s ésta alcanza esfuerzos superores al de fluenca del materal; es por ello que se producen fuerzas resduales que rompen el equlbro, las cuales se pueden calcular reordenando la Ec..97 de la sguente forma (LOPETEGUI et al., 987): F des S Q+ R S R M (.98) Dcho vector de fuerzas resduales es controlado por algortmos del programa PLANT, puesto que es utlzado para aplcar los sguentes crteros de convergenca: ) El módulo del vector de las fuerzas resduales deberá ser menor que un valor de toleranca establecdo prevamente. ) El módulo del vector de las fuerzas resduales para el presente paso de tempo deberá ser menor que el del paso de tempo anteror. 3) El trabajo realzado por las fuerzas resduales deberá ser menor que el trabajo realzado por las fuerzas que solctan la estructura. 4) El trabajo realzado por las fuerzas resduales en el presente paso de tempo deberá ser menor que el trabajo realzado por las fuerzas resduales del paso de tempo anteror. 8

33 S alguna de las condcones anterores no se cumple, entonces el programa ejecuta una subrutna de optmzacón de cargas deformacones, en donde a las fuerzas resduales se les restan sus componentes que no realzan trabajo en los estados de carga - deformacón que se obtenen por ntegracón. Dcha condcón se determna medante la ortogonalzacón de estados de carga deformacón que fue explcada en el Párrafo. (LOPETEGUI et al., 987). 9

34 CAPÍTULO III : PROGRAMAS DE COMPUTACIÓN PARA ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS AISLADAS EXISTENTES EN EL MERCADO 3.. Programa N-PAD. Fue el prmer programa desarrollado específcamente para el cálculo de estructuras asladas sísmcamente. Funcona en computadores IBM o compatbles, es propedad de Base Isolaton Consultants of San Francsco (Calforna). En él se modela explíctamente el comportamento no-lneal del aslador, pero se smplfca el modelamento de la superestructura. La aproxmacón se debe al supuesto que el aslador, al modfcar el período aumentar la energía dspada, reduce la transmsón de esfuerzos a través de la base a tal punto que la superestructura permanece dentro del rango elástco. En la representacón de ésta se asumen dafragmas rígdos, de tal manera que ha sólo dos grados de lbertad posbles en cada pso: dos de traslacón uno de rotacón. Se puede especfcar un amortguamento vscoso equvalente para cada modo de la superestructura (NAEIM KELLY, 999). Este programa trabaja con dos modelos de comportamento de materal para representar la aslacón: elastoplástco blneal, aparte de éstos tambén se puede representar el comportamento lneal. Estos modelos consderan que las relacones fuerza - deformacón se producen dentro de un plano de corte. Tambén se puede nclur para el aslador un coefcente de amortguacón vscosa la rgdez vertcal (NAEIM KELLY, 999). La confguracón de la superestructura los asladores en el N-PAD tenden a resultados efcentes desde el punto de vsta computaconal. La desventaja de este programa radca en que no está dseñado para obtener el comportamento completo de la superestructura, además de la falta de un modelo que consdere el endurecmento posteror a la fluenca que presentan algunos tpos de asladores (NAEIM KELLY, 999; SKINNER et al., 996). 3.. Programas 3D-BASIS. Corresponde a una sere de programas amplamente dfunddos para el cálculo de estructuras con aslacón sísmca. Su prmera versón fue desarrollada en la State Unverst of New York con sede en Buffalo el año 989, fue posterormente actualzada en 99. En él se representa la superestructura con un modelo lneal elástco smlar al del N-PAD, pero además se ncorporan varados modelos para representar los comportamentos blneales, frcconales o lneales vscosos que pueda presentar un aslador. El modelo blneal está representado con el modelo de Wen, pero la respuesta está desacoplada en las dos dreccones horzontales (WEN, 976). Los elementos frcconales consderan cargas bdrecconales e ncorporan un coefcente de frccón que varía con la velocdad de deslzamento. Los soportes elástcos con amortguacón moderada se pueden representar tambén con elementos elástcos lneales 3

35 vscosos lneales. El 3D-BASIS no ncorpora nnguna capacdad vertcal de análss (NAEIM KELLY, 999). En el 3D-BASIS se mplementó un esquema de solucón efcente, en el cual las fuerzas de los elementos no lneales se trasladan al lado derecho de la ecuacón se resuelven teratvamente. Sn embargo, al gual que el N-PAD, no tene la capacdad de modelar una superestructura general en tres dmensones n consderar el posble endurecmento del aslador. Actualmente exsten versones del 3D-BASIS para dferentes tpos de plataformas estacones de trabajo. Tambén se han creado versones adaptadas para dferentes necesdades de cálculo estructural, como el 3D-BASIS-M (para varas estructuras soportadas por una únca base aslada), el 3D-BASIS-ME (para estanques con aslacón sísmca), el 3D- BASIS-TABS (nterface con el programa de análss estructural ETABS). La dstrbucón del 3D- BASIS se hace a través del Natonal Center for Earthquake Engneerng Research (NCEER) de la State Unverst of New York en Buffalo (EE.UU.), tambén en el Natonal Informaton Servce for Earthquake Engneerng (NISEE) de la Unverst of Calforna en Berkele (NAEIM KELLY, 999) Programa ETABS. El programa ETABS es uno de los más populares para el análss dnámco estructural en la zona oeste de Estados Undos. Ha sdo desarrollado por Computer and Structures of Berkele (Calforna). A partr de su sexta versón se le han ntroducdo numerosos elementos no-lneales, los cuales son apropados para la modelacón de asladores sísmcos. Éstos ncluen elementos blneales smples con endurecmento constante elementos vscosos con velocdades de exponente varable. Al combnar estos elementos se puede modelar el comportamento de asladores de elastómero de alto amortguamento, con núcleo de plomo, o del tpo frcconal. En un análss de hstoral de tempo el modelo de una superestructura trdmensonal completa de comportamento lneal se descompone en sus formas modales luego se combna con los elementos no-lneales. Estos elementos no-lneales concentrados tambén se pueden usar dentro de la superestructura, por ejemplo, para modelar dspadores pasvos de energía. El uso de elementos especales como aberturas ( gaps ) resortes ( sprngs ) hace posble la modelacón de la tensón neta el levantamento del aslador. En este caso, sn embargo, las masas no producen efecto en el sentdo vertcal, por lo que se subestma la fuerza de mpacto que se produce cuando un aslador levantado retorna a su poscón de equlbro. Una característca mportante de este programa es la facldad con que se pueden modelar losas de pso no-rígdas (NAEIM KELLY, 999). 3

36 3.4. Programa SAP- Nonlnear. El programa SAP- pertenece a una sere de programas desarrollados por Edward L. Wlson en la Unverst of Calforna (Berkele, EE.UU.) desde los prmeros años de la década del 7. En dcha época, las versones más populares de esta sere eran SAP-IV, NONSAP SOLIDSAP. Posterormente, con la aparcón de los computadores personales, aparecen nuevas versones para este formato a cargo de la Computer and Structures (Berkele, Calforna). La últma generacón es la SAP-, dseñada para ejecutarse en ambente Mcrosoft Wndows, e nclue nterfases gráfcas que permten entre otras cosas la vsualzacón de la estructura dseñada, deformacones a escala, anmacones en tempo real de desplazamentos en un hstoral de carga a través del tempo (CSI, 997; NAEIM KELLY, 999). La sere SAP- está compuesta por los programas SAP-, SAP- PLUS SAP- Nonlnear. Todos estos programas ncluen sstemas rápdos de solucón de ecuacones, solctacones estructurales de cargas o deformacones, vgas no prsmátcas, elementos tpo cáscara de alta precsón, análss dnámco con vectores propos o de Rtz, dferentes tpos de sstemas coordenados, opcones de constrccón de puntos, fusón de mallas creadas en forma ndependente, elementos de resorte para todos los grados de lbertad, múltples análss dnámcos en un sólo cálculo, el dseño optmzacón de estructuras de acero o concreto. La versón SAP- Nonlnear es de especal nterés para el modelamento de edfcos aslados sísmcamente, pues nclue varados elementos no lneales que smulan el comportamento de asladores elastoplástcos o frcconales, amortguadores vscosos, entre otras no-lnealdades localzadas. El SAP- Nonlnear utlza un esquema de solucón smlar al del 3D-BASIS, en el cual las fuerzas de los elementos no-lneales se colocan en el lado derecho de la ecuacón de movmento, que luego se resuelve en forma teratva hasta alcanzar la convergenca (CSI, 997; NAEIM KELLY, 999). 3