INSTITUCIÓN EDUCATIVA NORMAL SUPERIOR DE QUIBDÓ MATEMÁTICA -- GUÍA DE ESTADÍSTICA 904 Y 905

Transcripción

1 Marcosapb Matemátca Estadístca 904 y INSTITUCIÓN EDUCATIVA NORMAL SUPERIOR DE QUIBDÓ Docente: MARCOSAPB MATEMÁTICA -- GUÍA DE ESTADÍSTICA 904 Y 905 Investgacón: para determnar el peso promedo de los estudantes de la N.S.Q que tenen 14 y 15 años de edad, debdo a que es dfícl localzar a todos los educandos de la N.S.Q que tenen 14 y 15 años de edad, el grupo nvestgador escogó los estudantes de 901, 90 y 903; el análss arrojó los sguentes pesos en kg Actvdades: Ordene los pesos de menor a mayor sn obvar (qutar) nnguno. Identfque las veces que se repte cada peso Identfque el peso que más se repte y el que menos se repte Elabore una tabla que contenga lo sguente: Peso(kg) Veces que se repte ESTADÍSTICA La estadístca es la parte de la matemátca que se ocupa de la recoleccón, presentacón, análss e nterpretacón de los conjuntos de datos. VARIABLES ESTADÍSTICAS Caracteres Los caracteres son los elementos que hacen parte de la poblacón y de la muestra. Tales como seo, número de hjos de una famla, edad, estatura, etc. Caracteres = varables. 1

2 Marcosapb Matemátca Estadístca 904 y VARIABLES CUALITATIVAS Son caracteres que no se pueden medr. O sea, no se pueden representar con números. Ejemplos: Seo, color, músca favorta, deporte preferdo, estado cvl, etc. Varables cuanttatvas Son caracteres que se pueden medr, es decr, se pueden representar con números. Ejemplos: la estatura, la edad, números de hermanos, calfcacones de las áreas en las unversdades, cantdad de puntos obtendos en una competenca, etc. Varables cuanttatvas dscretas Una varable es dscreta, cuando sólo puede tomar valores aslados (enteros) dentro de una muestra. Ejemplos: el número de hjos, la poblacón de una comundad, el número de televsores que posee una persona, etc. Veamos: Una pareja puede tener: 1,, 3, 4,... hjos. Nunca podrá tener 3,5 hjos; O sea, tres hjos y medos. Una poblacón puede tener 00, 400, 500,... habtantes. Nunca podrá tener 46,5 habtantes. NOTA S al realzar un cálculo matemátco sobre varables dscretas, obtenemos números decmales, se debe de consderar el número entero nferor al número decmal. A s: S el cálculo arroja 3,6 hjos; se aproma a 3 hjos. S el cálculo arroja 416,56 habtantes; se aproma a 416 habtantes. Varables cuanttatvas contnuas Una varable es contnua, cuando puede tomar cualquer valor en un ntervalo determnado. Ejemplos: la estatura, el salaro, la edad, puntaje obtendo en una prueba, etc.

3 Marcosapb Matemátca Estadístca 904 y Veamos: La estatura de una persona puede medr: 1,48m;,0m; 1,65m; etc. Ejercco De ejemplo de: dos varables cualtatvas dferente a las que aparecen en la guía, dos cuanttatva dscreta y dos cuanttatvas contnuas. POBLACIÓN Se llama poblacón al conjunto que srve de fuente para la seleccón de la nformacón de un fenómeno dado, las personas u objetos de la poblacón deben tener característcas comunes. Ejemplo: Sí deseamos saber el promedo de hjos que tenen las famlas en el Chocó, la poblacón sería todas las famlas del Departamento del Chocó. Cuál es la poblacón de la nvestgacón? MUESTRA La muestra es un subconjunto de la Poblacón que debe ser cudadosamente selecconada para que sea representatva de la característca que se desea medr. S para realzar el estudo del ejemplo anteror, escogéramos úncamente las famlas de Qubdó, este conjunto de famlas sería la Muestra. Cuál es la muestra de la nvestgacón? Tamaño de la muestra Se llama tamaño de la muestra al número de ndvduos u objetos que hacen parte de la muestra. S en Qubdó esteran 50 famlas, este sería el tamaño de la muestra. Cuáles el tamaño de la muestra de la nvestgacón? FRECUENCIA ABSOLUTA f La frecuenca absoluta de un dato estadístco numérco es el número de veces que se repte ese dato en la muestra. Ejemplo: Sí en una muestra el número 1,36 se repte 7 veces, esto quere decr, que su frecuenca es 7. Identfque la frecuenca absoluta de cada una de los pesos? 3

4 Marcosapb Matemátca Estadístca 904 y FRECUENCIA ACUMULADA fa Se llama frecuenca acumulada de un dato, a la suma de las frecuencas absolutas del dato con la de todos los anterores. S las frecuencas de los tres prmeros datos consecutvos son: 5, 15 y 10, entonces: La frecuenca acumulada del prmer dato es: 5. O sea, 5. Antes del prmer dato no hay otro, por eso es la msma frecuenca absoluta. La frecuenca acumulada del segundo dato es: = 40. O sea, 40. La frecuenca acumulada del tercer dato es: = 50. O sea, 9. Y así sucesvamente hasta termnar con todos los datos. Con los datos obtendos elabore una tabla que contenga lo sguente. Se ubcan de menor a mayor Peso (kg) Frecuenca absoluta (veces que se repte) Frecuenca acumulada (suma de cada frecuenca absoluta con las anterores) Nota: La suma de todas las frecuencas absolutas es gual al tamaño de la muestra. Compruebe la anteror afrmacón. FRECUENCIA RELATIVA fr Ayuda: Sume todas la frecuencas absolutas Se llama frecuenca relatva de un dato, al cocente entre la frecuenca absoluta y el tamaño de la muestra. Ejemplo: S la frecuenca absoluta de un dato es 15 y el 15 tamaño de la muestra es 50, entonces, la frecuenca relatva del dato es: 0, 3 50.Luego, la frecuenca relatva de ese dato es 0,3. FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA Se llama frecuenca relatva acumulada de un dato, a la suma de las frecuencas relatvas de ese dato, con la de los datos anterores. S las frecuencas relatvas de tres datos son: 0,5; 0,3 y 0,. Entonces: fra 4

5 Marcosapb Matemátca Estadístca 904 y La frecuenca relatva acumulada del prmer dato es: 0,5. Para el segundo dato es: 0,5 0,3 0,80. Para el tercer dato es: 0,5 0,3 0, 1,0 Haz una tabla que contenga lo sguente y determne las frecuencas relatvas y acumuladas de cada uno de los datos de la tabla. Peso (kg) F. absoluta F. acumulada F. relatva F. relatva acumulada Analce la mayor y menor frecuenca relatva y otra que usted desee Nota: La suma de las frecuencas relatvas de una dstrbucón de frecuencas es gual a Compruébelo? Ayuda: Sume todas la frecuencas relatvas EL PORCENTAJE Se obtene al multplcar la frecuenca relatva por 100. O sea: 0,5100 = 50%. 50%, léase: ocho por cento. Analce el mayor y el menor porcentaje y otro que usted desee El porcentaje acumulado de un dato: es la suma del porcentaje del dato con los porcentajes de los datos anterores. Elabore una tabla que contenga lo sguente y halle los porcentajes y los porcentajes acumulados Peso (kg) F. absoluta F. acumulada F. relatva F. relatva acumulada Porcentaje Porcentaje acumulado Sume todos los porcentajes, e dentfque a que número se aproma o es gual 5

6 Marcosapb Matemátca Estadístca 904 y MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Las meddas de tendenca central son: El promedo o Meda artmétca, la Medana y la Moda. Las meddas de tendenca central analzan la parte más mportante de la nformacón obtenda. O sea, el centro de la nformacón El promedo o meda artmétca El promedo o meda artmétca de una sere de datos se halla sumando todos los datos y dvdendo ésta por el tamaño de la muestra. O sea: suma de todos los datos 1 3 n 1 Promedo. Entonces : tamañode la muestra n n Promedo o meda artmétca. Sgno de sumatora Datos (varable) n Tamaño de la muestra o número de observacones El promedo o meda artmétca de una sere de datos, es el dato que los representa a todos. Por eso, el promedo o la meda están consttudos por el aporte de todos los datos. El promedo o meda de una sere de datos, muestran que s escoge un dato de esa sere, el dato selecconado es muy cercano al promedo o es el msmo promedo EJEMPLO S en una poblacón el promedo de vda es de 70 años, esto muestra que una persona que nace en ese pueblo (cudad) va a vvr menos de 70 años, 70 años eactamente o más de 70 años. O sea, su fallecmento (deceso) estará alrededor de 70 años Todo esto es un estmado (lo que puede suceder). EJERCICIO Interprete los sguentes promedos. 1. El promedo de goles por partdo del campeonato colombano es de 3 goles.. La estatura promedo del hombre chocoano es de 1,70m. 3. El promedo del dnero usado por los estudantes de la N.S.Q. en el descanso es de $ El promedo de hjos de las famlas colombanas es de 4 hjos. n Halle la meda artmétca o promedo de los pesos. 6

7 Marcosapb Matemátca Estadístca 904 y La medana (Me) La medana de un grupo de datos ordenados según su magntud, es el valor central de la lsta. La medana de los datos: 3, 4, 5, 6, 7 es 5, porque ocupa la poscón central. En este caso el número de datos es mpar. Me = 5. La medana de los datos: 3, 4, 5, 6, 7, 8 es En este caso, el número de datos es par, por eso, la Me = 5, 5 medana se calcula con el promedo de los dos datos centrales Qué peso representa la medana? La moda (Mo) La moda es el dato que más se repte. Cuál es el peso que más se repte? EJEMPLO Hallemos el Promedo, la Medana y la Moda de los sguentes datos: 5, 9, 8,, 6, 5, 6, 1, 3, 5, 9,, 6, 5. Solucón: Ordenando los datos: 1,,, 3, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 8, 9, 9. n = 14 datos Mo = 5. Porque es el dato que más se repte. Me Como n es par, la medana se calculado con el promedo de los dos datos que ocupan la poscón central n , El promedo es 5,14. NOTA: Todos los cuadros que se han elaborados, se llaman cuadros de dstrbucón de frecuencas. 7

8 Marcosapb Matemátca Estadístca 904 y EJERCICIO Los sguentes datos fueron arrojados por un estudo sobre el número de cancones que los habtantes de Qubdó escucharon durante una semana: 4, 8, 1, 3, 5, 5, 10, 6,, 9, 5, 6, 4, 4, 4,, 6,, 3, 9, 9, 11, 10, 6, 6, 6, 10, 10, 6, 4, 4, 5, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 5, 5, 6, 5, 4,, 9, 6, 9, 8, 1, 6, 5, 4, 3, 11, 6, 11, 11, 4, 4, 4, 8, 9, 6, 10,, 4, 6, 4, 6, 4, 6,, 4, 6, 11, 4, 8, 3, 1, 6, 6, 11, 10, 10,, 5, 5, 5, 10,, 6, 8, 9, 9, 8, 6, 5 Actvdades: Ordene los datos de menor a mayor, sn obvar nnguno. Elabore una tabla que contenga: Frecuenca absoluta, frecuenca acumulada, frecuenca relatva, frecuenca relatva acumulada, porcentaje y porcentaje acumulado. Calcule: El promedo, la Moda y la medana. De la tabla, determne: a) El porcentaje de personas que escucha menos de 5 cancones b) El porcentaje de personas que escucha más de 8cancones c) El porcentaje de personas que escucha entre 4 y 9 cancones d) El porcentaje de personas que escucha más de 6 cancones y memos de 10 cancones e) El porcentaje de personas que más cancones escucha y el que menos cancones escucha f) El número de personas que escucha entre 5 y ses cancones g) El número de personas que escucha más de 3 y menos de 8 cancones h) La relacón o proporcón de personas que escuchan más 6 cancones y 10 cancones ) La relacón o proporcón de personas que escuchan menos de 4 y más de 9 cancones Ayuda: en matemátcas, la relacón o proporcón entre dos elementos, se epresa como una dvsón ndcada (nunca se dvde). Se smplfca s es posble. Veamos: La relacón entre los frecuencas absolutas 4 y. Esto es: 4 1, que se epresa a sí: : 1, léase: es a 1, y sgnfca que por cada dos elementos del dato de frecuenca 4 este (se escoge) 1 del dato de frecuenca. 8

9 Marcosapb Matemátca Estadístca 904 y PROMEDIO O MEDIA ARITMÉTICA, MEDIANA Y MODA CUANDO LOS DATOS ESTÁN EN UNA TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS La tabla muestra las calfcacones obtendas por un número de estudantes de la N.S.Q. llenemos la tabla y determnemos: promedo. Mo la mod a. Me la medana. f n tamaño de la muestra f fa fr fra % porcentaje Porcentaje acumulado Total dato. f frecuenca absoluta. fa freccuenc a acumulada. fr freccuenc a relatva. fr freccuenc a relatva acumulada. % porcentaje f multplca cón de un dato por su frecuenca absoluta Como los datos están en una tabla de dstrbucón de frecuencas, el promedo (), la moda (Mo), la medana (Me) y el tamaño de la muestra (n) ; se calculan con las sguentes epresones: f promedo. n f tamaño de la muestra. n Para la medana Mo el dato más repetdo n... s n es par : se busca en fa ( frecuenca acumulada ) Localzacón de Me n 1... s n es mpar : se busca en fa ( frecuenca acumulada ) Importante: s el cocente (dvsón) no concde con nnguna frecuenca acumulada, se toma la superor al cocente. EJERCICIO 1. Los sguentes datos corresponden al resultado de una prueba de Matemátca Elabore una tabla que contenga lo sguente: 9

10 Marcosapb Matemátca Estadístca 904 y f f fa fr fra % porcentaje Porcentaje acumulado De la tabla halle:. Mo. Me. n. Complete la sguente tabla f Total f fa fr fra % porcentaje Porcentaje acumulado 3. La sguente tabla muestral el peso en klogramos de 00 nños. f f fa fr fra % porcentaje Porcentaje acumulado Total a) Halle el número de nños que representa cada peso. b) Complete la tabla y halle:. Mo. Me. n AYUDA: Con el porcentaje y el total de nños, responda la prmera nquetud. RECUERDE: Para determnar el valor que representa un porcentaje: el 3. Complete la sguente tabla y determne:. Mo. Me. n f ? ? 60? ? 80 6 Total f fa fr fra % porcentaje Porcentaje acumulado 10

11 Marcosapb Matemátca Estadístca 904 y Dada la sguente tabla de ntervalos, completémosla y hallemos:. n Intervalos f f fa fr fra % porcentaje Porcentaje (años) acumulado Total En la dstrbucón por ntervalo, hay tener en cuenta lo sguente: marca de clase. Se calcula promedando los lmtes superor e nferor, esto es: lm te superor lm te nf eror. En el prmer ntervalo (10 0), 0 es el lmte superor y 10, el nferor. Luego: 15. En el prmer ntervalo (1): REPRESENTACIONES GRÁFICAS La representacón gráfca de la nformacón que se obtene de una nvestgacón, permte analzar lo que ha ocurrdo y lo que ocurrrá sn acudr a la nformacón consgnada en las tablas. Las gráfcas más usadas para presentar un análss de un trabajo de nvestgacón, son: Polígonos de frecuencas absolutas, polígonos de frecuencas acumuladas, gráfcos de barras y gráfcos de sectores crculares. Polígonos de frecuencas absolutas Procedmento: 1. Se determnan los valores mámos de los datos y de las frecuencas, para dentfcar el tamaño del plano.. Se escoge el prmer cuadrante del plano cartesano. 3. Para cada eje se puede escoger una undad de medda dferente para las dvsones. 4. En el eje horzontal se ubcan los datos (varables), y el eje vertcal, las frecuencas absolutas. 5. Trazando dscontnuas paralelas a los ejes, se relacona cada dato con su frecuenca, y donde concden las paralelas se ubcan los puntos. 6. Fnalmente, se unen los puntos trazando segmentos de rectas. 11

12 Marcosapb Matemátca Estadístca 904 y EJEMPLOS 1. Grafquemos los datos de la sguente tabla: X (años) f (puntos) 14 f(puntos) X(años), ndca que el eje X se ha cortado, y se ha corrdo haca la zquerda; esto se hace para no grafcar los valores que no aparecen en los datos. Polígonos de frecuencas relatvas Se aplca el procedmento anteror, tenendo en cuenta que en el eje vertcal (Y) se ubcan los porcentajes y en el vertcal, los datos (X) Veamos: X f fr Porcentaje 50% Porcentajes 1 0,057 5,7% ,8,8% ,114 11,4% ,34 34,% ,57 5,7%,8% 11,4% 40% 34,% 30% 5,7% 0% 10% 5,7% X 1

13 Marcosapb Matemátca Estadístca 904 y Gráfcos de barras o hstogramas Consste en trazar para cada dato una barra vertcal (rectángulo) cuya altura sea gual a la frecuenca medda sobre una escala vertcal. Este tpo de gráfco es muy utlzado cuando la nformacón se encuentra agrupada por ntervalos. Grafquemos los datos de las sguentes tablas: Intervalos (años) f (Klos) Intervalos 14 f(puntos) X (años) f (puntos) X (años) 13

14 Marcosapb Matemátca Estadístca 904 y Gráfcos crculares o de pastel Consste en representar la nformacón en un círculo que es dvddo en tantas partes como datos tenga la nformacón. Una vez grafcada la nformacón, el círculo parece como un pastel dvddo, de ahí, el nombre (gráfco de pastel). En este tpo de gráfco, se pueden representar todo tpo de varables y todo tpo de frecuencas PROCEDIMIENTO 1. Se dvde la medda de la crcunferenca (360º) por el tamaño de la muestra.. El cocente se multplca por cada una de las frecuencas absolutas de los datos; el producto que resulta, es el ángulo que le corresponde a cada dato en el círculo. 3. Se traza un círculo y con el transportador se mden los ángulos, fnalmente, se ubcan los datos en el área correspondente. Para la sguente tabla, construyamos un gráfco crcular: X (años) f (puntos) Total años 16 años 1 años EJERCICIO 19 años 17 años ANÁLISIS: Trace un rado ncal. A partr de este rado, mda el ángulo del prmer dato. Trace el segundo rado. A partr del segundo rado, mda el sguente ángulo y así sucesvamente, hasta que tome todos los ángulos. Fnalmente, ubque cada dato en la porcón de círculo que le corresponde. 14

15 Marcosapb Matemátca Estadístca 904 y Para cada tabla, realce el gráfco egdo Polígono de frecuenca absoluta Gráfco de barra Polígono frecuenca relatva Gráfco crcular ntervalos Gráfco de barra ANÁLISIS DE TABLAS No este una fórmula mágca que permta comprender la nformacón consgnada en todo tpo de tabla, de ahí, que la capacdad del nteresado juega un papel muy mportante. No obstante, los pasos que a contnuacón se enuncan son de gran ayuda: 1. Se dentfcan las flas y las columnas de la tabla.. Se determna el título o nombre de cada fla y de cada columna, normalmente va en el nco. 3. Se dentfcan las nterseccones entren flas y columnas. 4. Se realzan las operacones nvolucradas en el enuncado de la nformacón tabulada. 5. En la fla total, se ubcan las sumas de las columnas y en la columna total, la suma de las flas. Consderemos la sguente tabla Cantdad vendda Productos Lunes Martes Mércoles Jueves Vernes Total Mango A Acete Arroz 40 Q Tomate 16 B Lmón 9 60 Total 185 Importante: Fla horzontal Columna vertcal Cada cuadrto es una celda En esta tabla se observa: Hay tres (3) columnas: productos, cantdad vendda y total; pero la columna cantdad vendda, a su vez se subdvde en cnco (5) columnas: lunes, martes, mércoles, jueves y vernes. 15

16 Marcosapb Matemátca Estadístca 904 y Hay 7 flas: productos, mango, acete, arroz, tomate, lmón y total. Cada fla se comunca con todas las columnas y vceversa. La fla lmón, se ntersecta con la columna vernes en 60; la fla mango se une con la columna lunes en A, y así sucesvamente. En la columna total, se ha ubcado la suma de los acetes y en la fla total, la suma de los martes Identfque usted las demás nterseccones EJEMPLO 1. La tabla muestra los resultados de una nvestgacón sobre la preferenca de unas personas por unos productos de nformacón. Personas Internet Rado Vdeo juegos Nños Jóvenes Adultos Adultos mayores De la tabla, hallemos: a). El total de personas que preferen los tres tpos de nformacón. b). El total de jóvenes que prefere los tres tpos de nformacón. c). El total de personas que prefere los vdeos juegos. d). El número de personas que prefere rado o nternet. e). El porcentaje de personas que prefere la rado. f). El porcentaje de adultos que prefere la rado. g). El porcentaje que representan los adultos mayores en la rado h). La relacón entre los nños que prefere nternet y los adultos que dsfrutan de los vdeos juegos. ). La probabldad de escoger un nño que le guste los tres tpos de nformacón. j). La probabldad de escoger un adulto mayor que le guste los vdeos juegos. 16

17 Marcosapb Matemátca Estadístca 904 y Solucón a). b). c). d). e). f). g). Para responder este ítem, se debe determnar el total de personas que prefere cada tpo de nformacón y luego, sumar los resultados o sumar todos los datos de la tabla: Total nt ernet : Total rado : Total: Total vedo juegos : Para este ítem, se suman las personas que están en la fla jóvenes: Total de jóvenes que preferen los tres tpos de nformacón: Para este nterrogante, se suman los datos de la columna vdeo juegos: Para responder a esta pregunta, se suman las columnas rado e nternet: Rado : Total: Internet : Este ítem, se responde establecendo la sguente relacón: total personas rado % personas rado total personas los tres 170 Para este nterrogante, se aplca la epresón: total adultos rado % adultos rado total personas los tres 170 Este ítem, se responde con la sguente epresón: ,8% 14,17% total adultos mayores rado % adultos mayores rado 48,78% total personas rado h). Este ítem, se responde con la epresón: nños nt ernet 40 :3 O sea, están en relacón de a 3; es decr, adultos vdeo juegos 60 3 por cada dos nños que prefere el nternet, hay tres adultos que gustan de los vdeos juegos. S esta relacón se mantene, cuando sean 150 nños que usen nternet, cuántos adultos están en los vdeos juegos? ) Este ítem, se responde con la epresón: total nños las tres Probabldad de nño las tres total personas las tres , ,96% j). Este nterrogante se responde con la epresón: 17

18 Marcosapb Matemátca Estadístca 904 y Probabldad Probabldad adulto mayor vdeo adulto mayor vdeo juego juego total adultos mayores vdeo juego total personas las tres ,78% EJEMPLO. Las tablas muestran los puntajes obtendos por los estudantes de dos colegos entres asgnaturas. Tabla colego A Área Prueba 1 Prueba Tabla colego B Área Prueba 1 Prueba Matemátca Bología Químca Matemátca Bología Químca 60 0 Hallemos: a). El promedo de cada colego en las tres pruebas e dentfque el mejor. b). La dferenca de puntaje entre las pruebas 1 de los colegos. c). La prueba donde los colegos obtuveron el msmo puntaje. d). El puntaje total de la prueba de bología de los colegos. e). Elaboremos una tabla que sea la suma de las dos anterores. Solucón a). Promedo colego A en las tres pruebas: Comparando los promedos, A 59, el colego A es mejor que el Promedo colego B en las tres pruebas: colego B B b). Puntaje total prueba 1 colego A: Puntaje total prueba 1 colego B: Dferenca: colegob colegoa Esto quere decr, que los estudantes del colego B superan a los del A en 8 puntos en la prmera prueba. c). El msmo puntaje en los dos colegos se presentó en: La prueba 1 de matemátca y prueba 1 de químca con 60 puntos. En la prueba de químca y en la prueba 1 de bología con 70 puntos. d). Puntaje total prueba de bología en los colegos: =

19 Marcosapb Matemátca Estadístca 904 y e). Elaborando la tabla suma de las anterores: Área Prueba 1 A y B Prueba A y B Matemátca = = 110 Bología = = 130 Químca = = 90 Área Prueba 1 A y B Prueba A y B Matemátca Bología Químca NOTA: en las tablas ncales las flechtas dscontnuas muestran el procedmento. EJERCICIO 1. La tabla muestra el conocmento y el uso de un producto Grupo Total personas encuestadas Personas que conocen el producto pero no lo usan Personas que conocen y usan el producto De la tabla: a). Halle el total de personas que conocen y usan el producto. b). El total de personas que no conoce n usa el producto. c). Halle el porcentaje de personas que usa el producto. d). El porcentaje de personas que no usa el producto en el grupo. e). Halle la relacón de los que no usan el producto en el grupo y los que lo usan en el grupo. f). Halle la probabldad de que al escoger una personas use el producto. g). Halle la probabldad que al escoger una persona no use el producto en el grupo.. Las tablas muestran el peso por estatura de los habtantes de dos cudades. Tabla cudad A Estatura (cm) Peso 1(kg) Peso (kg) Tabla cudad B Estatura (cm) Peso 1(kg) Peso (kg) De la tabla: a). El peso promedo de cada cudad e dentfque la más obesa (gorda). b). La dferenca de peso entre las estaturas de 180 en el peso 1 de las cudades. c). La estatura donde las cudades concden en pesos. d). El peso de la estatura 165 en la cudad B. e). Elabore una tabla que sea la suma de los pesos de las cudades. 19

20 Marcosapb Matemátca Estadístca 904 y ANÁLISIS DE GRÁFICOS No este una fórmula mágca que permta analzar las gráfcas estadístcas, ya que cada una presenta su propo comportamento. De ahí, que la capacdad del nteresado es vtal para abordar el análss de los gráfcos El estudo jucoso y pacente de este materal es de gran ayuda Cuando se habla de gráfcas estadístcas, nos refermos a aquellas gráfcas relaconadas con la representacón de datos estadístcos. Dentro de estas gráfcas podemos destacar: los gráfcos de barras o hstogramas, los polígonos de frecuencas absolutas, frecuencas relatvas y frecuencas acumuladas, gráfcas de sectores crculares y pctogramas entre otras. Para que la nterpretacón de la gráfca se aprome lo más que se pueda a la nformacón representada, es necesaro tener muy en cuenta los sguentes parámetros: Se verfcan las escalas (ejes) horzontal y vertcal, para tener una dea clara de las varables nvolucradas y lo que se está mdendo. Se eamna la ubcacón de la dstrbucón de los datos. Dónde está el centro de la nformacón en eje horzontal? S se están comparando dos dstrbucones, están ambos centros en el msmo lugar? Se eamna la forma de la dstrbucón. La dstrbucón tene un mámo, en un punto que está más alto que cualquer otro? S es así, está es la medcón o categoría que ocurre con más frecuenca (moda). Hay más de un mámo? Hay un número apromadamente gual de datos específcos a la zquerda y a la derecha del mámo? Se busca cualquer medcón nusual o valor atípco. Es decr, es alguna medcón más grande o pequeña que las demás? Estos valores atípcos podrían ser no representatvos de los otros valores del conjunto. CLASES DE DISRIBUCIONES DISTRIBUCIÓN SIMÉTRICA: S sus lados zquerdo y derecho forman mágenes déntcas, cuando se dvden por su valor medo. PM = Punto PM 0

21 Marcosapb Matemátca Estadístca 904 y DISTRIBUCIÓN SESGADA A LA DERECHA: S una proporcón mayor de los datos específcos se localza a la derecha del valor mámo. Estas dstrbucones contenen algunas meddas etraordnaras grandes. O sea, que lo más probable es que la medana y el promedo se encuentran a la derecha de la moda 1 Estas dstrbucones son asmétrcas, de sesgo DISTRIBUCIÓN SESGADA A LA IZQUIERDA: S una proporcón mayor de los datos específcos se localza a la zquerda del valor mámo. Estas dstrbucones contenen algunos datos específcos etraordnaramente pequeños. O sea, que lo más probable es que la medana y el promedo se encuentran a la zquerda de la moda Estas dstrbucones son asmétrcas, de sesgo DISTRIBUCIONES UNIMODAL: Tenen una sólo valor mámo. Ver dstrbucones 1 y. DISTRIBUCIONES BIMODAL : Tenen dos valores mámos. DISTRIBUCIÓN MULTIMODAL Tene más de dos puntos mámos. 1

22 Marcosapb Matemátca Estadístca 904 y DISTRIBUCIÓN EN FORMA DE J Los datos de esta dstrbucón tenen frecuencas ascendentes o descendentes, es decr, la frecuenca de cada dato es mayor o menor que la del dato anteror. RELACIÓN EMPÍRICA ENTRE MEDIA MEDIANA Y MODA Para curvas unmodales. Las sguentes fguras muestran las poscones relatvas de estas meddas. Para dstrbucones sesgadas Para dstrbucones sesgadas a la derecha(asmétrcas) Moda Medan Meda Meda Medan Moda En Esta dstrbucón, la Moda, la Meda y la Medana están representada por el msmo dato Para dstrbucones smétrcas Med Se entre lazan a través de la sguente epresón: Moda Medana De donde:

23 Marcosapb Matemátca Estadístca 904 y EJEMPLO 1. El sguente gráfco muestra las preferencas profesonales de 10 mujeres de una comundad. 70 Admnstracó Solucón: 30 Ingenería 0 Medcna a) Hallemos el porcentaje de mujeres que preferen las ngenerías b) Hallemos el ángulo en grados que le corresponde a las que preferen admnstracón de empresas a) Establezcamos la relacón (razón) entre las que preferen ngenería y, admnstracón de empresas b) S la relacón entre admnstracón de empresas e ngenería se mantene, y 10 personas escogen las ngenerías, cuántas escogerán admnstracón de empresas? a) De las 10 mujeres, 30 preferen las ngenerías, entonces el porcentaje es: % este es el porcentaje egdo. 10 b) Como las 10 mujeres están dstrbudas en todo el círculo y este mde 360, entonces, aplcando una regla de tres smple drecta, tenemos: mujeres grados este es el ángulo peddo c) La relacón (razón) se establece, ndcando el cocente de los dos elementos en Ingenerías 30 3 cuestón, en este caso: 3 : 7 Sgnfca que por cada 3 Ad. empresas 70 7 mujeres que se nclnan por las ngenerías, hay 7 que preferen admnstracón de empresas y vceversa. Ingenerías 3 d) Como la relacón se mantene, es decr:, entonces, para 10 Ad. empresas 7 personas que escogen ngenerías, debemos hallar las personas que preferen admnstracón de empresas, susttuyendo 10 en la epresón anteror, esto es: Ad. empresas 80 Ad. empresas

24 Marcosapb Matemátca Estadístca 904 y EJEMPLO. El sguente gráfco muestra la aprobacón de algunas asgnaturas por los estudantes de dos colegos. Colego A Colego B 00 Españo 150 Bología Matemátc 50 Españo a) Hallemos el número de estudante que tene cada colego. b) Establezcamos la dferenca de porcentaje entre los estudante de los colegos A y B que aprobaron matemátca. c) Determnemos la relacón entre los estudantes de los colegos A y B que aprobaron geografía, y los que aprobaron español y bología Solucón: a) El colego A tene: = 770 estudantes El colego B tene: = 500 estudantes. b) Porcentaje de estudantes del colego A que aprobaron matemátca: ,58% 770 Porcentaje de estudantes del colego B que aprobaron matemátca: %. Dferenca de porcentaje :15,58% 18%.4% 500 Esto sgnfca que en el colego B un,4% más de estudantes aprobaron matemátca. c) Relacón entre los estudantes de los colegos A y B que aprobaron geografía: geografía geografía A B :1 Esto sgnfca que por cada 3 estudantes del colego A que aprobó geografía, hay 1 del colego B que tambén aprobó geografía 4

25 Marcosapb Matemátca Estadístca 904 y español A Relacón entre español A y bología B : 10 : 3 bo log ía B 60 3 Por cada 3 estudantes del colego B que aprobó bología hay 10 estudantes del A que aprobó español. EJEMPLO 3. El gráfco muestra la dstrbucón de los 00000Km del área de una regón. Maderabl 10 % 5% 15 % 0 % 30 % 0 % c) Hallemos los Km destnado a cada zona d) Establezcamos la relacón entre la zona urbana y las cuencas Solucón: Área para cuencas: 60000Km. Área para depóstos: 40000Km Área para urbana: 40000Km. Área para granjas: 30000Km Área para verde : 0000Km. Área para maderable: 10000Km Urbana 40000Km b ).. Cuencas 60000Km 3 Por cada para las cuencas. destnado para la zona urbana, hay 5

26 Marcosapb Matemátca Estadístca 904 y EJEMPLO 4. Un estudo sobre las estaturas que tenen los nños de 10 y 11 años de una nsttucón educatva, arrojó el sguente gráfco: Solucón: Estudante Del gráfco, hallemos: a) El número de estudantes que partcparon en el estudo b) La estatura más común c) La estatura promedo d) Las desvacones, la medana, la desvacón meda y la desvacón estándar o típca Estaturas El gráfco representa un polígono de frecuencas absolutas. Además la dstrbucón es asmétrca. a) El número de estudantes (tamaño de la muestra), se halla sumando las frecuencas absolutas de cada dato: n b) La estatura más común (la moda), es el dato que alcanza el mayor pco o altura. En este caso es 156cm con 35 estudantes. c) La estatura promedo(promedo o meda artmétca), se calcula con: f X n X 155,05cm 95 Este valor queda ubcado en un 99,999% en el centro del nt ervalo(154,156) d) Para responder a este ncso, elaboremos el sguente cuadro f f f ,05 50,5 55, ,05 45,75 139,53 6

27 Marcosapb Matemátca Estadístca 904 y S ,05 10,5 11, ,95 33,5 31, ,95 73,75 17,56 Total 95 13,75 654,71 DM ( n ) n f f 13,75,5cm ,71 6,89cm 95 6,89,6cm 3 Mo 3(155,05) 156 Me 155,8cm centro de la nf ormacón 4 4 Desvacone EJEMPLO 5. Consumo de energía de unas vvendas Kwatts 30 Del gráfco, determnemos: a) El total de Kwatts consumdos por las vvendas b) El promedo de Kwatts consumdos por las vvendas c) Las vvendas de mayor y menor consumo d) S el Kwatts de energía cuesta $94,7. Cuánto dnero nverten las vvendas de menor consumo? Vvenda Solucón: a) Total Kwatts : b) Promedo : 140K watts vvenda c) Vvendas de mayor consumo: 3 cada una con 300Kwatts. Vvendas de menor consumo: 6 cada un con 50Kwatts d) Las 6 vvendas consumen 6 50Kwatts = 300Kwatts. Como el Kwatts cuesta $94,7; las vvendas nverten: 300 $94,7 = $

28 Marcosapb Matemátca Estadístca 904 y EJEMPLO 6. 0 Frecuenca absoluta Mo Me Hallemos: a) La moda b) El tamaño de la muestra c) La meda o promedo d) La moda, la medana, la desvacón estándar o típca y la desvacón meda Peso(Kg) Solucón: a) Mo 155Kg. b) n c) X 155Kg d) 3X Mo 3(155) 155 Me 155Kg. 4 4 Obsérvese que:. Esto muestra que la dstrbucón es smétrca, por ende, la moda, el promedo y la medana son guales Para la desvacón estándar y, la meda elaboremos el sguente gráfco: f f f Total

29 Marcosapb Matemátca Estadístca 904 y DM S ( f n ) n f 500 6, ,5 80 6,5 7,9 EJEMPLO 7. El análss sobre el rendmento académco de los estudantes de los colegos A y B es representado en el sguente gráfco: Calfcacón Colego A Calfcacón Colego B Estudantes Estudantes a) En cuál de los dos colegos hay mejor rendmento académco? b) En cuál de los dos colegos los estudantes son más homogéneos? Solucón: a) Para responder a este nterrogante, debemos comparar los promedos X A 56, X B Los estudantes del colego B tenen mejor promedo que los del colego A, por ende, en el colego B hay mejor rendmento académco b) En este caso, compararemos los rangos o recorrdos de cada dstrbucón. Para el colego A: 80 0 = 60 9

30 Marcosapb Matemátca Estadístca 904 y Para el colego B: = 40 Como el rango o recorrdo del colego B es menor que el rango del colego A, los estudantes del colego B son más homogéneos; esto sgnfca, que hay menos dferenca entre los estudantes EJEMPLO 8. El gráfco muestra la proyeccón del comportamento del dólar frente al peso colombano durante los 6 prmeros meses del año 008. Pesos/dólar Ene Fe Mar Ab May S esta proyeccón se comprueba en el tempo, cuáles son los meses más apropados para que un nversonsta compre y venda dólares? Análss: Para un nversonsta y para todo comercante en general, lo más mportante es comprar barato y vender caro, ya que esta relacón deja el mayor margen de utldad (gananca). Los meses propcos para vender dólares son Enero, Marzo y Mayo; meses en los cuales el dólar alcanza mayor valor. En cambo, lo más probable es que compre dólares en los meses de Febrero, Abrl y Juno; cuanto éste alcanza su menor valor. Jun 30

31 Marcosapb Matemátca Estadístca 904 y EJEMPLO DEPREDADOR VS. PRESA En qué mes hay gualdad entre depredador y presa? Cuál es la relacón entre depredador y presa de marzo? Presa Depredador Análss: En Fe Mar Ab May Jun a) La gualdad entre depredador y presa, se presenta en el mes de abrl, porque en este mes hay un punto de nterseccón de las dos curvas b) En el mes de marzo hay 100 presas y 150 depredadores. Depredador La relacón es: Presa 100 3:, o sea, por cada 3 depredadores hay presas. EJEMPLO 10. El gráfco muestra la fabrcacón de pantallas de computadoras de una empresa japonesa durante los cnco prmeros meses del año 009. = 50 pantallas Enero Febrer Marz Abrl Mayo a). En qué mes hubo más produccón de pantallas? b). En qué meses hubo gual produccón de pantallas? c). Cuántas pantallas se fabrcaron en las cnco meses? d). Establezcamos la relacón entre la produccón de abrl y la de febrero. e). Hallemos el porcentaje de pantallas fabrcadas en enero. 31

32 Marcosapb Matemátca Estadístca 904 y Solucón: Como se puede observar, un rectángulo representa 100 pantallas y el rectángulo que es la mtad del rectángulo mayor representa 50 pantallas. Entonces, la produccón en cada mes es: Enero = 300 pantallas, Febrero = 150 pantallas, Marzo = 450 pantallas, Abrl = 300 pantallas y mayo = 550 pantallas. a). Mayo es el mes de mayor produccón con 550 pantallas. b). En Abrl y en Enero la produccón fue gual con 300 pantallas. c). En los cnco meses se fabrcaron 1750 pantallas. d). Relacón entre la produccón de abrl y la de febrero: abrl febrero en abrl, se fabrcó 1 en febrero. :1. La relacón es de a 1, por cada pantallas fabrcadas S esta relacón se mantene en el año 010, s en abrl se fabrcan 4568 pantallas, cuántas pantallas se fabrcaran en febrero? e). Porcentaje de pantallas fabrcadas en enero: Pantallas fabrcadas en enero = 300. Total de pantallas fabrcadas = Entonces: 300 7,14% este es el porcentaje egdo