Universidad acional de La Plata

Transcripción

1 Uversdd col de L Plt Fcultd de Cecs turles y Museo Cátedr de Mtemátc y Elemetos de Mtemátc Asgtur: Mtemátc Cotedos de l Udd Temátc º A ÁLISIS COMBI ATORIO Coceptos prelmres. Prcpo fudmetl del Aálss Comtoro. L fucó fctorl. Fórmul de Strlg. Comtor smple: Vrcoes, Permutcoes y comcoes. ) Potec de u omo: Itroduccó. Estructur de los térmos y de los coefcetes. Tl de cálculo drecto de los coefcetes. El coefcete oml o úmero comtoro: propeddes Aplccó de ls propeddes l cálculo de los coefcetes del desrrollo de l potec -ésm de u omo. Trágulo de Trtgl. ) Comtor co repetcó: Vrcoes. Permutcoes de elemetos y Permutcoes co elemetos dstgules. Permutcoes co repetcó Ig. Crlos Alfredo López Profesor Ttulr

2 Fcultd de Cecs turles y Museo Cátedr de Mtemátc y Elemetos de Mtemátc Asgtur: Mtemátc Aálss Comtoro Ig. Crlos Alfredo López CONCEPTOS PRELIMINARES: El terés del homre por los juegos de zr vee dudlemete desde los tempos hstórcos, pero o fue hst prcpos de 65 que se hzo u fudmeto mtemátco pr l solucó de dversos prolems sugerdos por esos juegos. El Chevler de Meré, llmdo el flósofo jugdor del sglo XVII, teresdo e oteer formcó sore los resgos que corrí e los juegos de ddos cosultó uo de los mtemátcos más fmosos de todos los tempos: Blse Pscl, que su vez escró u mtemátco ú más célere, el cosejero prlmetro de l cudd de Toulouse, Perre de Fermt y e l correspodec que tercmro se plteó por prmer vez l Teorí de l Proldd. Co el correr de los ños, l Teorí de l Proldd ecotró su cuce durte el sglo XIX de l mo de Lplce e muchs plccoes, o sólo e Igeerí y Mtemátc, so tmé e cmpos como l Agrcultur, l Admstrcó de Empress, l Medc y l Socologí. L Teorí de l Proldd represet el teto de l mete hum de frotr cutttvmete l complejdd de feómeos e los que tervee u gr úmero de cuss, cd u de ls cules result mposle de cotrolr. Tles feómeos decmos, está regdos por el zr. El zr es u omre que dmos uestr gorc: que u ddo l cer muestre e su cr superor el o e el, el, el, el 5 o el 6 está determdo por su poscó cl, por el mpulso co el cul es rrojdo, por el mterl co el que está costrudo, como sí tmé por l turlez de l superfce sore l cul reot, por l evetul velocdd del veto, etc... Como hy tts cuss que tervee e el feómeo, o semos poderr clculr su efecto y etoces, decmos que es el zr el que determ el resultdo. Pero pesr del zr, segurmete dremos que u ddo está crgdo s l rrojrlo veces, solo oteemos vete veces el úmero uo, porque ls umerles complejddes que goer u feómeo tl como el lzmeto de u ddo, se equlr cudo lo repetmos u gr úmero de veces. Result etoces, que l complejdd del resultdo de u feómeo smple que os lo hce mpredecle o zroso, se coverte e ley mtemátc smple e exorle cudo e lugr de cosderr u solo feómeo tommos e cuet los resultdos de cetos o mles de feómeos semejtes.

3 U dscpl estrechmete vculd co l Teorí de l Proldd es l Estdístc: cd co terordd dch Teorí, trt prcplmete el prolem de l recoleccó, orgzcó y presetcó de dtos e tls y gráfcos. L plr Estdístc os tre frecuetemete mágees de úmeros orgzdos e grdes rreglos, tls de cfrs reltvs cmetos, muertes, mpuestos, gresos, deuds, crédtos, etc... Ello es dedo que el uso de l plr Estdístc por prte del cuddo comú se hce como sómo de recoleccó y grupmeto de dtos; por. ejemplo, cudo se hl de ls estdístcs e el cmpeoto de fútol, o ls estdístcs de los ccdetes de utomovlsmo. Co el dvemeto de l Teorí de l Proldd se puso de mfesto que l Estdístc puede emplerse e l extrccó de coclusoes válds y e l tom de decsoes rzoles. El lzmeto de u ddo o de u moed, l extrccó de u pe de u rj o de los úmeros de l loterí so experecs deomds letors pues sus resultdos depede del zr. Tmé so letoros el stte e que llegrá u ómus su prd, el úmero de hjos que tedrá u mtrmoo, l esttur que tedrá uo culquer de ellos o el úmero de ños que vvrá. Los prmeros ejemplos so secllos de segur y que co comoddd y rpdez los evetos correspodetes puede repetrse muchs veces. Es por est rzó que el estudo de ls prolddes comez co los juegos de zr. A prtr de ellos, se otee leyes que rge los feómeos letoros y que se plc, co éxto smlr los prolems de l vd rel, que so e reldd muchísmo más terestes. E muchos csos el úmero de poslddes que puede drse e u determdo suceso o es muy grde y e cosecuec l eumercó de ls msms o result dfícl. S emrgo, prece dfcultdes s l cuet drect (por correspoder grdes úmeros) se coverte e u mposldd desde el puto de vst práctco. Pr estos csos se utlz el Aálss Comtoro que, e u prmer proxmcó podrí defrse como u mer sofstcd de cotr. Prcpo fudmetl del Aálss Comtoro: (tmé llmdo prcpo fudmetl del coteo o de cotr) S u determdo suceso, opercó o ccó puede ocurrr de mers dstts y s, sguedo ese suceso otro puede ocurrr de mers dferetes y sguedo este suceso u tercer suceso puede ocurrr de mers y sí sucesvmete..., el úmero totl de forms dferetes e que puede relzse estos sucesos será gul :... L plr letoro provee del ltí le que sgfc suerte y tmé ddos. L plr zr vee del áre, dom e el cul el zr sgfc tmé ddos.

4 S c S C Ejemplo: S u homre tee tres scos y dos corts, podrá elegr (prcpo fudmetl de cotr) de 6 mers dstts prmero u sco y después u cort. Pr dr u solucó gráfc l prolem teror se emple u estructur llmd dgrm rorescete o smplemete dgrm de árol. c S C c S C S c S C S c S C c S C L estructur de dgrm de árol permte o sólo oteer el úmero de sucesos posles, so tmé dvdulzr cd uo de los msmos. Ejemplo : Supogmos que desemos vjr de l cudd A hst l cudd C, psdo por l cudd B, cotdo pr ello co cutro ruts que ue ls cuddes A y B y tres ruts etre B y C. Nos teres ser cuáts ruts dferetes puede trstrse desde A hst C. A B C Por cd rut etre A y B hy tres eleccoes posles tes de empreder l rut etre B y C. Puesto que hy cutro mers dstts de llegr desde A hst B, hrá e totl forms de llegr desde A hst C. Este prolem, como todos quellos que correspode l Aálss Comtoro puede formulrse e el leguje de l Teorí de Cojutos- E efecto, ls ruts etre A y C puede expresrse medte u cojuto de pres ordedos e los cules l prmer compoete es u de ls posles ruts etre A y B y l segud compoete correspode u de ls ruts etre B y C: {(,);(,);(,);(,);(,);(,.);(,);(,);(,);(,);(,);(,)}

5 Ejemplo :Supoemos que el Drector de u películ dee coformr u fml compuest por u mrdo, u espos y u hjo, elgedo etre ctores, 5 ctrces y tres ños. El mrdo puede elegrse de cutro mers dstts y por cd eleccó exstrá l posldd de elegr 5 esposs, resultdo u totl de 5 mtrmoos posles. Por cd eleccó de los pdres es decr, por cd mtrmoo elegdo, se podrá efectur tres eleccoes pr el hjo. E cosecuec, el úmero de fmls posles resultrá 5 6. Actvdd: De cuáts mers dferetes podrá vestrse u perso que tee dos cmss, tres ptloes y cutro pres de zptos? El Aálss Comtoro trt de ls dstts mers e que se puede orgzr sucojutos de u cojuto ddo, sguedo determds restrccoes prtculres pr cd prolem. S e los sucojutos estructurr los elemetos que tervee o puede repetrse se trtrá de l llmd Comtor Smple metrs que, cudo puede hcerlo, os estremos ocupdo de l Comtor co Repetcó. Notcó de Fctorl: Ddo u úmero turl, rece el omre de fctorl de (), el producto decrecete de l sucesó de los úmeros turles etre y : (-)(-) Ejemplo: Cudo el úmero es muy grde o result secllo el cálculo de Ls máqus de clculr electrócs de uso correte permte clculr hst 69, lo que sgfc que l expresó e l que tervee fctorl, s o puede smplfcrse, será dfcultos de clculr. Pr tles csos suele utlzrse l fórmul proxmd ded Strlg: π e e l cul e, es l se de los logrtmos turles. Ejemplo: ) co l máqu de clculr: 69, ) co l fórmul de Strlg: 69, (,8...) Aplcdo logrtmos decmles: log 69 ½(log log, log 69) 69 log 69-69log, , , 98 5 COMBINATORIA SIMPLE: Puede dstgurse tres prolems dsttos estuddos e el cojuto A { ; ;...; (-) ; }: 5

6 ) Vrcoes o Permutcoes de elemetos tomdos de r. (r<) Defcó: Llmmos vrcoes, permutcoes o rreglos de elemetos tomdos de r los dsttos ordemetos que puede relzrse de cuerdo co ls sguetes codcoes: ) E cd uo de los sucojutos tervee r de los elemetos costtutvos del cojuto A que se estud. ) Dos sucojutos se cosderrá dsttos s dfere e lgú elemeto o e, s cotdo co los msmos elemetos es dstto el ordemeto. Se trt e cosecuec, de l estructurcó de sucojutos ordedos de A (dee cosderrse como elemeto dsttvo de dos sucojutos el hecho de que pesr de cotr co los msmos elemetos, se dstto el ordemeto). Por tl rzó y los efectos de dferecrlos de los cojutos o ordedos se los ecerrrá etre prétess (sguedo l otcó de los pres ordedos de úmeros reles, de ls ters ordeds, etc.) Teedo e cuet que e los prolems del Aálss Comtoro teres coocer el úmero de rreglos que se puede relzr, s que se ecesro descrr cd uo de los sucojutos posles, utlzremos pr oteer u fórmul de recurrec l estructur de dgrm de árol que permte, escredo prclmete el msmo, oteer fórmuls de plccó pr el prolem geerl. Pr ejemplfcr el proceso, cosderemos el prolem de oteer el úmero de ls V, (vrcoes de cutro elemetos tomdos de tres), prtr del cojuto A { ; ; ; }. Se dee etoces, costrur sucojutos del cojuto A e cd uo de los cules terveg tres elemetos, recorddo que dos sucojutos se cosderrá dsttos s dfere e lgú elemeto o s, estdo coformdos por los msmos elemetos, es dstto el ordemeto. Pr comezr, costrumos ls Vrcoes de cutro elemetos tomdos de u elemeto. A prtr de u ríz, rmos cutro rms: ( ) ( ) ( ) ( ) 6 Hemos otedo ls V,. Co álogo rzometo podemos ferr que ls V, (vrcoes de elemetos tomdos de uo) resultrá e u úmero gul. (V, ) A prtr de cd u de ls V, trtremos de costrur ls V,. Teedo e cuet que ls Vrcoes que estmos costruyedo so smples, es decr s repetcó, cd u de ls V, drá orge cojutos ros (pres 6

7 ordedos) que se otedrá yuxtpoedo ls msms uo de los tres elemetos de A que o hy sdo utlzdo, resultdo: (, ) ( ) (, ) ( ) (, ) ( ) ( ) Como puede oservrse fáclmete, o result ecesro escrr l totldd de ls rmfccoes del árol, y que puede ferrse que el úmero de ls V, resultrá de multplcr el úmero de ls V, por tres (). V, V, A prtr de ls V, sguedo u rzometo smlr, costrumos ls V, teedo e cuet que cd u de ls V, costtuds por dos elemetos, drá lugr dos V, ; cd u de ells por yuxtposcó de u elemeto tomdo del cojuto A que o fgure e l correspodete V,. Así se otee (rmos el árol úcmete pr el sucojuto (, ): (, ) (,, ) ( ) (, ) ( ) (, ) (,, ) ( ) ( ) resultdo por cd u de ls V, dos V, ; lo que sgfc: V, V, Co álogo rzometo, l estructurcó del dgrm de árol os permte ferr: V 5, V 5, 5 V 6, V 6, 65 V, (-)V, (-)(-) V, (-)V, (-)(-)(-) Puede oservrse pr cd cso que el resultdo es el producto de u sucesó decrecete de úmeros turles que comez co el prmero de los suídces y tee ttos térmos como dc el segudo suídce; sí, s queremos clculr V,, el resultdo será ; y s queremos clculr V,r otedremos: V,r (-)(-)(-)...[-(r-)] ; que equvle :

8 8 V,r (-)(-)(-)...( r ) Utlzdo l otcó de fctorl, s multplcmos y dvdmos el segudo memro de l expresó teror por ( - r), result: ( )( )( ) ( r )( r) V, r ( r) el umerdor del segudo memro equvle l desrrollo de por ser: resultdo etoces: (-r) (-r)(-r-)(-r-) V, r ( r) Ejemplo: Utlzremos l últm expresó deducd pr clculr V, V, ( ) ) Permutcoes de elemetos: Se trt hor de estructurr sucojutos de u cojuto ddo e los cules tervee todos los elemetos del cojuto que se estud, dferecádose uos de otros solmete por el ordemeto. S tommos como puto de prtd pr l estructurcó de u fórmul de recurrec el cojuto de ls V, que costrumos como modelo pr oteer el úmero de ls V,r (, ) ( ) (, ) (,, ) ( ) (, ) (,, ) ( ) ( ) vemos que cd u de ls V, orgds por l dupl (, ) que está represetds e l últm colum, sólo puede dr orge u V, oted medte l yuxtposcó del úco elemeto fltte tomdo del cojuto A que se estud; es decr que l ter (,, ), por ejemplo, drá orge úcmete l cuter (,,, ) 8

9 9 (, ) ( ) (, ) (,, ) (,,, ) ( ) (, ) ( ) ( ) (,, ) lo que sgfc que el úmero de ls V, P ; podemos etoces escrr: P ) Comcoes de elemetos tomdos de r. Se trt e este cso de coformr sucojutos de u cojuto ddo, tles que e cd uo de ellos terveg r de los elemetos del cojuto A que se estud, (sedo r ) co l codcó de que dos sucojutos dee cosderrse dsttos sólo e el cso e que dfer l meos e u elemeto. A los efectos de oteer l correspodete expresó de recurrec, tomemos como ejemplo l costruccó de ls Comcoes de cutro elemetos tomdos de, es decr l costruccó de ls C, tomds del cojuto A{,,, }. Co l codcó mpuest, los sucojutos costrur será o ordedos, rzó por l cul ecerrmos sus elemetos etre llves. Se otee medte smple álss ls sguetes ters: {,, } ; {,, } ; {,, } ; {,, } S prtr de estos sucojutos, escrmos ls permutcoes de los elemetos de cd uo de ellos, otedremos: (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) Como ls ters ordeds de l tl teror h sdo oteds sguedo el mecsmo de estructurr todos los sucojutos posles de tres elemetos de A: prmero quellos que se dferec e lgú elemeto, (los que correspode culquer colum) y luego todos quellos que, mteedo los elemetos, se otee permutdo el orde de los msmos (ver u culquer de ls fls), e dch tl hremos escrto (recordr l defcó) l totldd de ls vrcoes de cutro elemetos tomdos de tres. Result etoces que s culquer colum represet l descrpcó de ls C, y cd fl l descrpcó de ls P, podremos segurr que: V, C, P 9

10 V, o e: C, P V, r que puede geerlzrse: C, r Pr utlzdo l expresó: V, r ( - r) llegmos C, r r (- r)

11 Potec de u omo. Itroduccó. Estructur de los térmos. Estructur de los coefcetes. Tl de cálculo drecto de los coefcetes pr u potec culquer. El coefcete oml o úmero comtoro: propeddes Aplccó de ls propeddes l cálculo de los coefcetes del desrrollo de l potec -ésm de u omo. Trágulo de Trtgl. Potec de u omo.(el omo de Newto). Pr ecotrr u expresó de recurrec que os permt oteer el desrrollo de () culquer se perteecete l cojuto N o (turles cludo el cero) s teer que multplcr sucesvmete l se () por sí msm, os sremos e lguos desrrollos relzdos pr potecs pequeñs, que coocemos desde l escuel med. () o () () () () 6 E los desrrollos precedetes puede relzrse ls sguetes oservcoes; ) respecto de l estructur de los desrrollos: ) el úmero de térmos es gul l potec ms uo (). ) e todos los csos se efectú e potecs crecetes de (desde hst ) y e potecs decrecetes de (desde hst ). ) todos los térmos so homogéeos, es decr, del msmo grdo, lo que sgfc que s e u térmo culquer el grdo de es, el grdo de deerá ser -, resultdo que el térmo geérco o térmo geerl del desrrollo será de l form -,.preceddo de u coefcete cuy form de geercó descrmos:. ) respecto de l formcó de los coefcetes: () o () () () () 6 co los coefcetes de los segudos memros de ls gulddes se h formdo u trágulo umérco e el cul: ) pr culquer potec el prmero y el últmo coefcetes so gules l udd; el segudo y el teúltmo so gules l vlor de l potec. ) exste smetrí e el vlor de los coefcetes, co uo cetrl s es pr y dos cetrles gules s es mpr. Por est rzó solo es ecesro

12 ecotrr el vlor de u úmero de coefcetes equvlete l prte eter del cocete, teedo e cuet que, pr todo, el vlor del prmer coefcete es l udd.. ) e el trágulo umérco cd uo de los coefcetes, exceptudo el prmero de cd desrrollo, es gul l sum del que tee ecm más el de l zquerd de este últmo o e, puede oteerse como l dferec etre el que tee dejo y el que tee su zquerd. ) Pr culquer potec, todos los coefcetes, prtr del segudo puede clculrse multplcdo el coefcete del térmo teror por l potec de e su térmo y dvdédolo por l potec de e el térmo cuyo coefcete se quere clculr. Como veremos y justfcremos posterormete, est últm oservcó result de sum utldd, y que poslt clculr drectmete los coefcetes pr culquer potec, por grde que ell se, s teer que pelr l prevo coocmeto de los coefcetes de potecs meores oteds del trágulo umérco. Dee destcrse que, cudo umet, el cálculo de los coefcetes utlzdo el trágulo umérco result egorroso y muchs veces vle.. Pr ejemplfcrl oservcó efectud e ) volvmos l desrrollo del omo pr l potec () 6 el cálculo de los coefcetes puede relzrse como sgue: coef. (como se djo e ), pr culquer potec es gul l udd). coef. coef. 6 coef. 6 coef. El cálculo puede geerlzrse utlzdo l expresó: coef. coef. - váld pr todo myor o gul que uo. Ejemplfcmos pr 6 coef. 6 6 coef coef coef. 5 5

13 6 coef coef coef resultdo los coefcetes de () 6 gules utlzdo l oservcó ), podemos escrr los vlores de los coefcetes pr 5 y () () () 5 5 Ahor uestro trágulo umérco puede mplrse : () o () () () () 6 () () () 5 5 El cálculo que hemos relzdo puede tulrse, permtedo u gr smplfccó y umeto de l rpdez e l otecó de los coefcetes. Supogmos que queremos oteer los coefcetes pr l potec ; teedo e cuet l smetrí que hemos hecho referec e ), sólo será ecesro clculr u úmero de coefcetes equvlete l prte eter de /, es decr, tres coefcetes: 6 5 coef. 5 y pr l potec 5 (clculmos sete coefcetes) 5 9 I 5 6 Coef resultdo los coefcetes:

14 Supogmos hor que queremos clculr el sexto coefcete ( 5) del desrrollo del omo pr l potec 5 (ver l zo somred de l tl teror). El vlor requerdo se otee medte l opercó: 5 5 5,5 5 5,5 C P V e l cul el úmero resultte equvle ls comcoes de quce elemetos tomdos de cco, pero o se trt de u rreglo so de u úmero que, por l estructur de su otecó llmmos Número Comtoro. Vmos demostrr que est estructur de cálculo es váld culquer se el vlor de l potec. Geerlzdo; coef. coef coef.... ) )...( )( )( ( ; multplcdo y dvdedo el segudo memro por (-I) coef. ) ( ) (... ) )( )...( )( )( ( que escrmos: coef. ) ( ; l símolo lo deommos dsttmete úmero comtoro o coefcete oml. Al úmero lo llmmos umerdor y l úmero, deomdor, s que ello sgfque que se trt de u cocete etre estos úmeros. Podemos etoces escrr los desrrollos pr dstts potecs, expresdo los coefcetes como úmeros comtoros; por ejemplo, pr l potec resultrá: ( ) y pr l potec : ( ) ) ( expresó e l cul cd uo de los coefcetes puede oteerse prtr del prmero. medte l fórmul ;

15 por ejemplo, pr el desrrollo de () :, lo que es gul ; " " " " " 5 ; " " " " " 5 y sí sguedo... o de mer más rápd como se explcr y desrrollr e l tl coef. 5 form codesd: L potec -ésm de u omo puede escrrse e ( ) expresó que rece el omre de El omo de Newto y e l cul los coefcetes puede oteerse medte los métodos desrrolldos. Pr ceptr l vldez de est últm expresó codesd culquer se, flt geerlzr ls oservcoes ) y ; pr ello relzremos el álss de ls propeddes de los que hemos llmdo Números Comtoros. Propeddes de los Números Comtoros Geerlzcó de l oservcó ). L guldd que correspode l smetrí de los coefcetes se trduce e plrs de l sguete mer: Dos úmeros comtoros de gules umerdores y deomdores tles que su sum es gul l umerdor, se dce de órdees complemetros y so gules. Demostrcó. El desrrollo de los úmeros comtoros pr mos memros puede expresrse como: fctorl de umerdor dvddo el fctorl del deomdor que multplc l fctorl de l dferec etre umerdor y deomdor. Pr 5

16 6 6 uestr guldd: ( ) )[ ] ( ) ( ; elmdo el prétess del segudo fctor del deomdor del segudo memro, result: ) ( ) ( ; lo que sgfc que, culquer se, los coefcetes smétrcos del desrrollo so gules. L oservcó ), se h trsformdo e u propedd). Ejemplo: e el desrrollo de () se verfc ls sguetes gulddes: ; : que se lee: el prmero y el últmo coefcete so gules l udd; el segudo y el teúltmo so gules l potec. Geerlzcó de l oservcó ) Que u coefcete culquer puede oteerse e el trágulo umérco como l sum etre el que tee ecm y el de l zquerd de este últmo se expres, s los cosdermos como úmeros comtoros, de l sguete mer L sum de dos úmeros comtoros de gules umerdores y deomdores sucesvos es u uevo úmero comtoro cuyo umerdor es u udd myor que l de los umerdores de los sumdos y cuyo deomdor es gul l myor de los deomdores de los sumdos, y se smolz: ; Demostrcó: plcdo l defcó, escrmos pr cd úmero comtoro de l guldd, fctorl del umerdor, dvddo el fctorl del deomdor que multplc l fctorl de l dferec: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) que puede smplfcrse elmdo prétess e el segudo fctor del deomdor del prmer térmo del prmer memro y ordedo de mer coveete el segudo fctor del deomdor del segudo térmo del prmer memro: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ; teedo e cuet que: ( ) ( ) ( ) ( ) multplcmos y dvdmos el prmer térmo del prmer memro por y el segudo térmo del prmer memro por ( ), resultdo: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

17 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) por teer el prmer memro deomdor comú: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; vemos hor que el umerdor del prmer memro tee como fctor comú ) ( ; operdo coveetemete: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sedo el umerdor del prmer memro gul, l oservcó trsformd e propedd qued demostrd pr culquer vlor de, es decr, pr culquer potec. Aplccó de los úmeros comtoros l cálculo de los coefcetes del desrrollo de l potec de orde de u omo. Segú hemos vsto, el desrrollo de l potec -ésm de u omo puede escrrse; ( ) ) ( que pr ls potecs compredds etre y tom el specto; () o () () () () 6 o lo que es gul, expresdos los coefcetes como úmeros comtoros: () o () () () ()

18 8 8 estos desrrollos puede escrrse e form smplfcd, cudo teres solmete los coefcetes: () o () () () () oservádose e todos los desrrollos que: ) El prmero y el últmo coefcete so gules l udd (verfcr que pr culquer potec y so gules l udd. ) El segudo y el teúltmo coefcete so gules l potec. c) Culquer coefcete puede oteerse, de cuerdo co l segud propedd de los úmeros comtoros, sumdo los dos que e el trágulo tee ecm; por ejemplo (recordr que: L sum de dos úmeros comtoros de gules umerdores y deomdores sucesvos es u uevo úmero comtoro cuyo umerdor es u udd myor que l de los umerdores de los sumdos y cuyo deomdor es gul l myor de los deomdores de los sumdos, Ests oservcoes permte trducr el trágulo de los úmeros comtoros u trágulo rtmétco, que rece el omre de Trágulo de Trtgl o de Pscl y que se desrroll: y sí sguedo...

19 9 9 Térmo geerl del desrrollo: Tee l form; T Atecó: el curto térmo de u desrrollo tee y que, recordmos, v desde hst. Ejemplo : Hllr los térmos de () ; ; T T T T Ejemplo : Clculr el térmo cl del desrrollo de ( ) y x ( ) ( ) 8 x x y x T Ejemplo : Clculr el quto térmo pr el omo del ejemplo teror: (pr el 5to. térmo deemos cosderr ) ( ) ( ) y x y x y x T Ejemplo : Clculr el térmo de grdo uo e el desrrollo de x x ( ) ( ) ( ) x x x x x T como el grdo del térmo uscdo dee ser uo; - que os d etoces, x x x T

20 Ejemplo 5: clculr el cutro térmo del desrrollo de Utlzmos l tl T 5 85 x 6 5 coef. 5 ( ) x 5 8x x x x Ejemplo 6: clculr los coefcetes del desrrollo de () : coef ,x 6,x,5x 8 5.6x 8,9x coef. 5,8x 9,5x,x,8x,6x,x,x 6,x 8,x 9,6x,x

21 Comtor co repetcó: Vrcoes co repetcó de elemetos tomdos de r. Permutcoes co repetcó de elemetos. Permutcoes co elemetos dstgules. Comcoes co repetcó. Vrcoes co repetcó: Llmmos Vrcoes co repetcó de elemetos tomdos de r (V*,r ) los dsttos ordemetos que puede efecturse co los elemetos del cojuto que se estud, teedo e cuet que e cd ordemeto puede repetrse culquer elemeto hst r veces. Por tl rzó pr este tpo de comtor r puede ser meor, myor o gul que. Pr ecotrr u fórmul de recurrec que os permt clculr el úmero de ls V*,r comezmos prtr del cojuto A {,,, } costrur ls V*, que o puede ser dstts ls V, resultdo: ( ) ( ) ( ) ( ) Por trtrse de Vrcoes co repetcó, cd uo de los sucojutos que compoe ls V*, podrá orgr cojutos ros, y que, l permtrse l repetcó, todos los elemetos de A, puede ser utlzdos. E efecto: (, ) (, ) ( ) (, ) ( ) (, ) ( ) ( ) resultdo e l últm colum: V*, Como cd vez que hgmos u uev rmfccó podremos estructurr uevos sucojutos fermos, s más trámte, que: V*,r r Ls vrcoes co repetcó puede utlzrse pr resolver u prolem que e Estdístc rece el omre de muestreo co repetcó S teemos

22 u olllero co m ollls umerds de m y se v extryedo u u r ollls co el cuddo de otr el úmero de cd u de ls que sle y prevmete scr l sguete repoerls e el olllero, se otee u cojuto de r úmeros que puede o o ser repetdos. Se otee sí u cojuto ordedo (,,... r ) dode los puede repetrse hst r veces que rece el omre de muestr de tmño r tomd de u cojuto de m elemetos, permtédose l repetcó. El úmero totl de muestrs posles de tmño r correspode ls V*,r r NOTA IMPORTANTE: Cudo el úmero r lcz el vlor de, deerí escrrse V*,. Es prefere, cudo esto sucede y e cd uo de los sucojutos tervee u úmero de elemetos gul, cmr el omre de Vrcoes por el de Permutcoes co repetcó de elemedos, smolzádose P* Permutcoes co elemetos dstgules Se hor u cojuto formdo por elemetos, etre los cules hy lguos que so dsttos pero dstgules etre sí; por ejemplo cosderemos u cojuto formdo por tres tzs lcs, dos verdes y u zul. Se trt de u cojuto de 6 tzs co ls cules result posle efectur 6 permutcoes. S emrgo, como es fácl eteder, cudo prtr de u ordemeto culquer se permute etre sí, por ejemplo, l poscó de dos tzs lcs, l permutcó resultrá dstt pero dstgule de l que le do orge. Cudo se os preset este prolem, l solucó l msmo cosste e hllr el úmero de permutcoes dstgules (ls que se otee sólo l tercmr l poscó de elemetos que resulte dstgules: dos tzs de dstto color) Se etoces el cojuto T {B;B;B;V;V;A}. El úmero totl de permutcoes que puede relzrse co los elemetos del cojuto T es, como y hemos vsto de 6 permutcoes smples. El dgrm rorescete os permtrá ecotrr el úmero de permutcoes dstgules: pr ello comecemos por detfcr ls tzs de gul color medte u suídce: T {B ;B ;B ;V ;V ;A}

23 E u prmer rmfccó colocremos ls permutcoes dstgules, cuyo úmero os es descoocdo: X? (B ;B ;B ;V ;V ;A) (B ;B ;V ;B ;V ;A) (B ;B ;V ;B ;A;V ) (V ;V ;A;B ;B ;B ) (ls líes puteds dc que o se cooce el úmero de ls permutcoes dstgules: o se cooce el úmero de rms e l prmer rmfccó). Llmmos X (cógt) l úmero de elemetos de dch colum. A prtr del cojuto de ls permutcoes dstgules cuyo úmero X descoocemos, comezmos desrrollr ls sguetes rms de l estructur de árol. Cd u de ls permutcoes dstgules drá orge permutcoes como cosecuec del tercmo e l poscó de ls B X? (B ;B ;B ;V ;V ;A) (B ;B ;V ;B ;V ;A) (B ;B ;V ;B ;A;V ) X (V ;V ;A;B ;B ;B ) (V ;V ;A;B ;B ;B ) (V ;V ;A;B ;B ;B ) (V ;V ;A;B ;B ;B ) (V ;V ;A;B ;B ;B ) (V ;V ;A;B ;B ;B ) (V ;V ;A;B ;B ;B ) resultdo que el úmero totl de permutcoes de l segud colum es X. Co smlr rzometo, puede oteerse permutcoes dstts pero dstgules e u tercer colum, cmdo el ordemeto de ls V (tzs verdes), como se desrroll e el esquem de l pág sguete:

24 (B ;B ;B ;V ;V ;A) (B ;B ;V ;B ;V ;A) (B ;B ;V ;B ;A;V ) X (V ;V ;A;B ;B ;B ) (V ;V ;A;B ;B ;B ) (V ;V ;A;B ;B ;B ) (V ;V ;A;B ;B ;B ) X (V ;V ;A;B ;B ;B ) (V ;V ;A;B ;B ;B ) (V ;V ;A;B ;B ;B ) (V ;V ;A;B ;B ;B ) (V ;V ;A;B ;B ;B ) Como e l últm colum hrá por cd uo de los sucojutos de l teúltm colum permutcoes, el úmero totl de ls permutcoes, dstgules e dstgules, cuyo úmero es gul, resultrá: X 6 de dode: 6 X S e u cojuto de elemetos exste dsttos etre sí pero dstgules; otros elemetos dsttos etre sí pero tmé dstgules etre ellos, y sí sguedo..., el úmero de ls permutcoes dstgules que podrá oteerse será: P ;;... Ejemplo: Clculr el úmero de permutcoes dstgules que puede oteerse co ls letrs de l plr NEUQUEN. Solucó: ;; 6 5 P 6

25 NOTA IMPORTANTE: L dferec coceptul etre ls Permutcoes co repetcó y ls Permutcoes co elemetos dstgules es que metrs e ls prmers los elemetos del cojuto que se estud so todos dsttos y e los sucojutos que se coform puede repetrse estos elemetos hst r veces, e ls permutcoes co elemetos dstgules el cojuto que se estud tee elemetos que so dsttos pero dstgules etre sí (cso de tres tzs lcs, dos verdes y u zul y, e cd uo de los sucojutos que se estructur tervee todos los elemetos co ls repetcoes que mrc el cojuto estuddo). Comcoes co repetcó: A, co los elemetos del cul os propoemos costrur sucojutos de tres elemetos s que terese el orde e que está ucdos los msmos,, permtédose l repetcó de culquer de ellos hst tres veces. Alguos de los sucojutos resulttes puede ser: Se u cojuto {,, } {,, }; {,, }; {, }, ; decmos que cd grupo es u comcó co repetcó de los cco elemetos del cojuto que se estud tomdos de tres elemetos. El úmero de los sucojutos posles se smolz C*,.. Como o teres el ordemeto tero e cd sucojuto, los grupos {,, } y {,, q}, so l msm comcó co repetcó.. El úmero de ls C*, puede oteerse recurredo u rtfco que efectú u comprcó co ls comcoes smples, es decr, co quells e ls que o se permte l repetcó. El rtfco puede ejemplfcrse estlecedo u correspodec uívoc etre ls comcoes co repetcó de cutro elemetos tomdos de tres y ls comcoes smples de ses elemetos tomdos tmé de tres L correspodec que se estlece tee e cuet ls dstts poscoes de u elemeto repetdo e l comcó co repetcó. Trjemos co los cojutos { r, r r, r } ys { s, s, s, s, s s } R, 5, 6 ; co los elemetos del cojuto R escrremos ls comcoes co repetcó y co los del cojuto S ls comcoes smples, cremetdo e ls comcoes smples el suídce de cd elemeto e tts uddes como elemetos le precede e el respectvo sucojuto, es decr que el suídce del º, º y º elemetos correspodetes l comcó co repetcó de elemetos r se cremet e, y uddes pr coformr l comcó smple de elemetos s). Vlg como ejemplo; { r, r, r } { s, s, s } 5 5

26 6 CORRESPONDENCIA { r, r, r } { s, s, s } { r, r, r } { s, s, s } { r, r, r } { s, s, s 5 } { r, r, r } { s, s, s 6 } { r, r, r } { s, s, s } { r, r, r } { s, s, s 5 } { r, r, r } { s, s, s 6 } { r, r, r } { s, s, s 5 } { r, r, r } { s, s, s 6 } { r, r, r } { s, s 5, s 6 } CORRESPONDENCIA { r, r, r } { s, s, s } { r, r, r } { s, s, s 5 } { r, r, r } { s, s, s 6 } { r, r, r } { s, s, s 5 } { r, r, r } { s, s, s 6 } { r, r, r } { s, s 5, s 6 } { r, r, r } { s, s, s 5 } { r, r, r } { s, s, s 6 } { r, r, r } { s, s 5, s 6 } { r, r, r } { s, s 5, s 6 } Hédose desrrolldo el cudro teror que expres l correspodec uívoc etre ls comcoes co repetcó de cutro elemetos tomdos de tres y ls comcoes smples de ses elemetos tomdos tmé de tres, puede oteerse el úmero de ls prmers, clculdo el úmero de ls seguds. Smólcmete: C*, C 6, Geerlzdo est expresó pr cojutos de elemetos y sucojutos de r elemetos, puede escrrse: C*,r C r-,r 6

27 Cuestoro de Repso. ) Def fctorl de u úmero. ) Euce el prcpo fudmetl del álss comtoro. ) Explque e que csos dee usrse l fórmul de Strlg. ) Dferece los coceptos de comtor smple y co repetcó. 5) Euce los prolems que puede resolver l comtor smple. 6) Explque como es l estructur de los térmos e el desrrollo de l potec.ésm de u omo. ) Explque como es l estructur de los coefcetes de cd térmo e el desrrollo de l potec -ésm de u omo. 8) Escr el térmo -ésmo del desrrollo. 9) Def los coefcetes omles o úmeros comtoros. ) Demuestre ls propeddes de los úmeros comtoros. ) Escr l form codesd del Bomo de Newto. ) Descr los prolems del álss comtoro co repetcó.

28 8 PROBLEMAS DE COMBINATORIA Not: sedo u de ls dfcultdes fudmetles e l resolucó de prolems de Comtor l detfccó del tpo del msmo (comtor smple o co repetcó y detro de ells el tpo de específco del cul se trt), el sguete cojuto de prolems h sdo cofeccodo ex-profeso s ordemeto temátco Ejercco º : Ls mtrículs de los vehículos utomotores de l Repúlc Arget cost de tres letrs seguds de tres dígtos. cuál es el úmero de ptetes dstts que puede costrurse s pr cd cojuto de letrs exste el úmero? Rt: Ejercco º : U orgzcó cost de vetses memros. De cuáts mers dstts se puede elegr u presdete, u secretro y u tesorero, s u msm perso o puede ocupr más de u crgo? Rt: 5.6 Ejercco º : Se v coformr u comté de tres memros pr etrevstr l Drector de u Escuel compuesto por u lumo de 5º ño, uo de º y uo de º. S hy tres cddtos de 5º ño, de º y de º, determr cuátos comtés dsttos puede formrse empledo el prcpo fudmetl de cotr por u ldo y el dgrm rorescete por otro. Rt: Ejercco º : De cuáts mers dferetes puede orderse 5 ols e u fl? Rt: Ejercco º 5: De cuáts mers puede setrse dez persos e u c, s sólo hy cutro lugres dspoles? Rt: 5 Ejercco º 6: Se quere setr 5 homres y mujeres e u fl de mer tl que ls mujeres ocupe los stos pres. De cuáts mers dstts puede setrse? Rt: 88 Ejercco º : Cuátos úmeros de cutro cfrs puede formrse co los dez dígtos (,,,...9) s: el cero o puede ocupr l udd de ml ) Los úmeros puede repetrse. ) Los úmeros o puede repetrse. c) S el últmo dígto h de ser cero y los úmeros o puede repetrse. Rt: ) 9; ) 56; c) 5 Ejercco º 8: 8

29 9 Cutro lros dsttos de mtemátc, ses dferetes de físc y dos dferetes de químc se coloc e u estte. De cuáts forms dstts es posle orderlos s: ) los lros de cd sgtur dee estr todos jutos? ) Solmete los lros de mtemátc dee estr jutos. Rt: ).6; ) 8.9. Ejercco º 9: De cuáts forms puede elegrse u comsó de cco persos etre ueve? Rt: 6 Ejercco º : Cuátos tpos dsttos de esld puede preprrse co lechug, zhor, erro y remolch? Rt: 5 Ejercco º : Co sete cosotes y cco vocles dferetes, cuáts plrs dstts puede formrse, que coste de cutro cosotes y tres vocles? (o es ecesro que ls plrs teg sgfcdo lgüístco) Rt:.6. Ejercco º : Demostrr que r r Ejercco º : Demostrr que r r r Ejercco º : Hllr el térmo costte e el desrrollo de x x Rt: 95 Ejercco º 5: () Escrr el desrrollo de ( ) s el térmo geerl tee el specto Ejercco º 6: Utlzdo l otcó de geerr u expresó de recurrec que permt oteer el desrrollo de l potec -sm de u omo culquer. Ejercco º : Se dee colocr e u úc fl u cojuto de qutllzos, uo de cutrllzs y uo de trllzos, todos vestdos co u uforme. De cuáts mers posles dstgules podrá lerse? Rt:. Ejercco º 8: De cuts mers puede elegrse u cocejo mucpl etre ses homres y cco mujeres, s el cocejo dee estr compuesto por tres homres y dos mujeres? 9

30 Ejercco º 9 Rt: Escrr s efectur el desrrollo el décmo térmo del desrrollo de x y Ejercco º : Teemos 6 persos A, B, C, D, E. F, que prtcp de u competec. Tres de ests persos será flsts ocupdo el prmero, segudo y tercer puesto. No se dmte emptes y cd uo otee medlls dferetes. Nos teres estudr tods ls forms posles e que estos lugres puede ocuprse. ) Clculr l ctdd de forms dferetes e que puede ocuprse los tres puestos. Rt: ) Es ecesro eumerr todos los csos posles pr respoder l pregut teror? Propoer u estrteg pr respoder l pregut ) s recurrr l descrpcó de todos los csos. c) Puede ser A, B,A uo de los resultdos posles? d) S semos que B ocuprá el prmer lugr, de cuts forms dstts puede ocuprse los puestos? Rt: Ejercco º E u clu hy socos e codcoes de sprr los crgos de presdete, vcepresdete, secretro y tesorero. Cuts lsts dstts puede formrse s u perso fj dee ocupr el crgo de tesorero? Rt: 9.9 Ejercco º : E u cjt hy fchs del msmo tmño umerds del l 9. Presetmos el sguete juego : Scr tres fchs, u después de l otr, s repoerls e l cj, colgdo cd fch de u crtel preprdo pr tl f. Pgmos lo msmo que l puest que se relce s el úmero result pr. E cso cotrro os quedmos co l puest. Que tee vetj y porqué? Ejercco º : : U perso ecest hlr por teléfoo pero o recuerd e el úmero que cost de sete cfrs.. Se que demor u muto e mrcr y pregutr s es el lugr dode dese comucrse. Cuto demorrá como máxmo pr hlr co que dese e cd uo de los sguetes csos? : ) S recuerd que l crcterístc tee tres úmeros y comez co y demás todos los úmeros que compoe el teléfoo so dsttos. Rt: dís ) S recuerd que l crcterístc tee tres úmeros y puede comezr col culquer dígto, que todos los dígtos que compoe el teléfoo so dsttos y que demás, prece el segudo del e lgú lugr. Rt: 8 dís Ejercco º : : Queremos poer e fl persos etre ls que se ecuetr Arel y Mrt. ) De cuts forms dferetes podemos hcerlo s Mrt dee estr sempre prmer? Rt:

31 ) De cuts forms dferetes podemos hcerlo s Arel y Mrt uc puede estr jutos? Rt: 6 c) De cuts forms podemos lerls s etre Mrt y Arel sempre dee her exctmete tres persos? Rt: Ejercco º 5: E u polcó d. httes, u perso le rumore lgo otr perso, que lo repte u tercer, etc... E cd pso, se escoge letormete el receptor del rumor. De cuáts forms dstts puede psr u rumor veces s volver l perso que lo orgó? Rt:, x Ejercco º 6: Dscutmos hor el sguete prolem: E u curso de 5 lumos queremos elegr de ellos pr formr u equpo de fútol. S supoemos que todos ellos puede ser jugdores ; cuátos equpos dferetes ;podrí formrse? Ates de comezr resolver este prolem, hremos lgus preguts : ) Exste lgu dferec etre este prolem y el Prolem? ) S exste tl dferec, explcr su cdec e el cálculo. Ecotrr u estrteg pr respoder el cuestoro teror, pr lo cul se propoe smplfcr ls ctddes trjdo co u curso de cutro lumos A {,,, } formdo equpos de lumos elegdos etre ellos. Not: pr resolver u prolem e el que el orde o es mportte, deemos recurrr otros coocdos e los que el orde mport. No ecestmos cofeccor todo u cudro que represete l totldd de poslddes cd vez que se presete u prolem de este tpo, pero es mportte que tegmos sempre presete su estructur. Rt: Ejercco º : S e lugr de teer 5 lumos el curso tee y queremos formr equpos de persos cd uo : cuátos equpos dferetes puede rmrse s prevmete se h elegdo uo de los curet lumos como rquero pr todos los equpos? Rt: Ejercco º 8: E u puelo pequeño hy 5 httes, % homres y 6% mujeres. Se elge grupos de 5 persos. ) cutos grupos dferetes puede formrse pr sstr u progrm de televsó e represetcó del puelo? Rt:,6 x 6 ) Cuátos grupos, pr sstr l progrm podemos rmr s dee her tres mujeres y dos homres? Rt: 8,99 x 5 c) S el grupo es pr ocupr l presdec, vcepresdec y tres secretrís co gul jerrquí de u empres de l locldd : cuátos grupos dsttos podrá rmrse? Rt: 5, x 9 Ejercco º 9: Cuáts plrs dstts, s mportr que teg o o setdo, puede formrse co ls letrs de l plr ÁRIDO y cuáts co ls letrs de l plr ARADA? Rt: y

32 Ejercco º Teemos olts lcs y egrs que desemos order e fl. De cuáts mers dstts puede hcerse l ordecó. Rt: : Ejercco º : Clculr el fctorl del úmero 5 utlzdo l fórmul de Strlg. Verfcrlo por medo de l fucó fctorl. Ejercco º : Verfcr que el úmero de comcoes co repetcó de tres elemetos tomdos de, puede clculrse trsformádolo u prolem de l Comtor Smple. Ejercco º : Dez persos se slud medte u pretó de mos. Cuátos pretoes de mos huo? Rt: 5 Ejercco º : Cuátos odos telefócos puede oteerse s cd úmero tee sete cfrs y e todos los csos el prmer úmero es u cutro? Rt: u mlló de odos. Ejercco º 5: E u cj hy ses tzs, u lc, u mrll, u verde y tres rojs. Clculr el úmero de permutcoes dstgules o o detfcles que puede costrurse co ells. Rt: 6 Ejercco º 6: Hllr el úmero de dgoles de u octógoo. Rt: Ejercco º : Cuts rects se determ uedo putos del plo o ledos de tres? Rt: 5 Ejercco º 8: Escrr u expresó de recurrec que permt clculr el úmero de dgoles que tee u polígoo de ldos. Ejercco º 9: De cuáts mers dstts se puede colocr ses persos lrededor de u mes crculr? Rt: Ejercco º : E u cmpeoto de fútol de dos rueds prtcp 8 equpos. Cuátos prtdos deerá jugrse; Rt: 6

33 BIBLIOGRAFÍA: DI CARO, Héctor: Alger y Geometrí Alítc. ROJO, Armdo: Alger I y II. FERNANDEZ Y SAGASTUME: Alger. KEMENY, SNELL, THOMPSON; Itroduccó ls Mtemátcs Fts.