Energía electrostática.

Transcripción

1 Eergía electrostátca. Campos y Odas FACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA ARGENTINA

2 Eergía electrostátca.. Trabajo de agrupacó de cargas putuales q. V q. V qv q r r3 r3 q3 q V q qq. qq. V q 4 r 4 r qv qv m m m.... q V q V q V q V qv qv = q V V + q V V + q V V J

3 V', V' y V' 3 so los potecales e los putos, y 3 respectamete, debdos a todas las cargas excepto la carga ubcada e el puto cosderado. = q V + q V + q V ' ' ' 3 3 J = q V ' J V ' Vj r j( j) = q V r j j j ( )

4 Eergía total de u sstema de cargas putuales = q V ' J La fórmula da la eergía potecal de agrupameto de cargas eléctrcas putuales desde el puto de sta de la accó a dstaca etre las cargas. Naturalmete, també puede adoptarse el puto de sta del campo de fuerza creado por las cargas. Ecotraremos la expresó de e ese caso. Cosderemos el teorema de la dergeca y la Ley de Gauss, aplcados al caso de ua carga putforme geérca q e el acío; se tedrá: q E () r d E () r d s es u olume cualquera que ecerra (cotee) el puto e el que está stuada la carga q. S es la superfce (cerrada) S = () d V j E r r j ( j ) límte del olume. E(r) es el campo eléctrco asocado a q. r es el ector de poscó de u puto geérco teror a.

5 = q V ( r) j j j = () d V () r E r j j j La expresó es ua suma de (-) térmos de la forma geérca: V d V d r E r r E () r j j La dergeca de E bajo el sgo tegral es ula e cas todo el olume, excepto justo e el puto, dode está q, la úca carga cosderada. Así també el producto será ulo e cas todo el olume, excepto e, dode r = r y Vj = Vj(r). Por eso resulta e este caso que Vj se troduce detro de la tegral, trasformadose e Vj(r)

6 Utlzado la sguete detdad del aálss ectoral: V jr E() r Vjr E () r Vj r E () r V r E () r V r E () r V r E () r j j j V r E r () d V r E () r d E r E () r d j j j Teorema Gauss V () j r E d V r j r E() r d s S

7 V () () j d S j d r E r s E r E r S Se aula puede ser cualquer olume co la codcó de coteer la carga q se elge u úco olume = tal que para todo el olume cotega todas las cargas q. Además puede hacerse ta grade como sea ecesaro (r-> fto) de modo que las tegrales de superfce se aule. Cuado crece defdamete, la superfce límte S aría co r, metras que aría co r - y E lo hace co r -

8 Eergía expresada e fucó del campo = E () r V (). r d V r E () r d E r E () r d j j j j j j j () d E r E r j j j = () () Ej r E r d j( j)

9 Eergía expresada e fucó del campo Teedo e cueta que el campo eléctrco total E(r) creado por las cargas es: Er ( ) E( r) = E r = E () r E () r E () r E () r E () r ( ) j j j j( j) = E ( r) Ej() r E() r E () r j( j) () () Ej r E r j( j) d Us:autoeergía, o eergía de codesacó, de la -ésma carga. Las cargas q ya Us: eergía total exstía ates de del campo eléctrco reurlas = E () d- E () r d r

10 Eergía de ua dstrbucó cotua de cargas. V k d dk kv Se trata de ecotrar ua expresó de la eergía electrostátca para ua dstrbucó cualquera de carga e el cotuo, caracterzada por ua desdad (x, y, z), co la saledad de que es fta e todo puto. Supogamos que se desplaza pequeños elemetos de carga desde el fto a su ubcacó fal de modo de r cremetado su desdad de carga e cada puto hasta alcazar el alor fal (x, y, z). Dado que el trabajo ecesaro para costrur la dstrbucó es depedete de la modaldad co que se costruya, puede cosderarse que el trasporte de los pequeños elemetos de carga se realza de forma de que e cada state la desdad de carga q e cada puto es la msma fraccó k de la desdad fal de ese puto

11 Eergía de ua dstrbucó cotua de cargas Todas las partes del sstema so traídas a su estado fal de carga al msmo tempo, es decr que e cualquer etapa del proceso todas las desdades de carga (e cada puto del espaco) está a la msma fraccó de sus alores fales. fraccó de sus alores fales. k V kv. q ( x, y, z). j ( xyz,, ). Vxyz. (,, ) j j ( x, y, z). V( x, y, z). j j ( xyz,, ) k( xyz,, ) : state ( xyz,, ). dk. ( xyzd,, ). j : elemeto de olume V ( x, y, z ) kv. ( x, y, z ) k= d k. dk V ( x, y, z). ( x, y, z). d k t k. dk. V( x, y, z). ( x, y, z). d. V ( x, y, z ). ( x, y, z ). d

12 Eergía de ua dstrbucó cotua de cargas V d () = q V ' () () Expresa la eergía potecal para el caso de ua dstrbucó de carga arbtrara (co fto e todo puto del espaco), y es equalete a la expresó para cargas putuales (). S embargo, debe otarse que e () el alor del potecal es el geerado por toda la dstrbucó de carga, metras que e () el potecal es el debdo a todas las cargas excepto la del puto. La () cluye la autoeergía. Para los casos de dstrbucoes de cargas superfcales y leales se expresa como: S V ds L V dl

13 Eergía de ua dstrbucó de coductores cargados E coductores: Vk ds V. q Sk k k k k k V. q k k V q k. q k kj j j. V k kj j j kj. Vk. Vj k j k j. q. q kj k j E fucó del potecal E fucó de la carga

14 Eergía electrostátca e materales deléctrcos Las expresoes ecotradas de la eergía descrbe la eergía de u grupo de cargas e el acío. S se trata co materales polarzables (deléctrcos) se puede teer e cueta de dos maeras. Cosderado a todas las cargas lbres y lgadas e el acó y E es el campo total y la desdad de carga total. Cosderar a E como el campo eléctrco total pero solo ealuar la eergía de agrupameto de las cargas lbres e preseca del materal deléctrco ( dpolos de polarzacó) total V d () lbre V d ()

15 Eergía ealuada e preseca de u deléctrco Capactor de placas plaas co deléctrco, homogeeo, leal e sotrópco lbre D= + - E+ D= r E + - P r - + lbre= total + lgada lbre= r total lgada - + lbr e total V r V Eergía de las cargas lbres Eergía de las cargas totales V V lbre ds lbre ds V S V S tt total ds S total ds S lbre lbre ;... S S S total total t;... S S S V V V V ds ds t tt S S t ds S t ds S V V r V V t t S El S E ls E. ol ED. ol r r E S El S E ls E. ol E. ol

16 Eergía electrostátca e materales deléctrcos S mateemos a E como campo total y cosderamos las cargas lbres: D C m 3 V D d Utlzado la gualdad del aálss ectoral c F cf Fc V D d D V d aplcado el teorema de la dergeca al prmer térmo del membro derecho de la ateror ecuacó, se tee: V D d s S D V d S puede elegrse arbtraramete. S se elge S como ua superfce cerrada e el fto, debe calcularse la tegral para r muy grade. E V DE d

17 Eergía electrostátca e materales deléctrcos El factor ½ solo es certo s el potecal es proporcoal a la carga, o sea s r es depedete del campo aplcado S r depede del campo o hay relacó líeal etre el campo (o el potecal) y la carga lbre. El trabajo de agrupameto se debe ealuar como: j ( x, y, z). V( x, y, z). ( xyz,, ) ( D ) ( D ) D D d V ( x, y, z). ( D). d d d ( V. D). d V. D). d j ( dd) ( dd) d V. D. ds V. D. d d S E. D. d D EdD. [ ( EdD. )]. d Dx Dy Dz x y z D x D y D z x y z D x Dx D y Dy D z Dz ( d) x x y y z z ( D xdx ) ( D ydy) ( D zdz ) d( D) x y z V D V DDV

18 Eergía electrostátca e materales deléctrcos E cada puto del espaco hay que ealuar como crece el campo eléctrco y el desplazameto para obteer la tegral D f D D EdD f. [ ( EdD. )]. d E f E S D= r..e caso de materal leal D f D. [ ( EdD. )]. d f E f ( EdD. )] d r. [ ( E.dE)] d r. Ef d

19 Desdad de Eergía electrostátca S E es el campo eléctrco e cada puto, la eergía es:. r Y la desdad de eergía por udad de olume es : E d d w r. E E d Tee alor e todo el espaco La desdad d de eergía ada dce de la localzacó l ó de la eergía : Tee alor solo V d w V dode hay carga S las deradas de la eergía respecto del olume formara acerca de la localzacó de la eergía daría resultados cotradctoros Pues ambas expresoes tee alores dferetes e putos détcos

20 Fuerzas y eergías e el campo electrostátco Prcpo de los trabajos rtuales Coocedo la expresó de la eergía almaceada e el campo eléctrco y su aracó durate u desplazameto ftesmal de cuerpos cargados, es posble determar e base a la ley de coseracó de eergía, las fuerzas que actúa e u campo eléctrco. Supogamos u sstema aslado formado por aras partes: fuete, coductores, cargas putuales, deléctrcos. Supogamos que dejamos que ua de las partes realce u pequeño desplazameto, dr, bajo la flueca de las fuerzas eléctrcas que actúa sobre el sstema eléctrco. Etoces hay u trabajo mecáco cosecueca de u tercambo de dsttas formas de eergía Las arables que descrbrá el estado del sstema y su coecó de sgos: m el trabajo mecáco realzado por las fuerzas eléctrcas del sstema, la eergía almaceada e el campo electrostátco y sea b la eergía sumstrada por la fuete. Debdo a que el sstema está aslado o hay otro tpo de tercambo, d d d b m exste ua fuerza extera opuesta al campo para que el mometo sea a elocdad costate

21 Fuerzas y eergías e el campo electrostátco d d d b m d b d d c m La fuete etrega eergía El campo cremeta su eergía La Fuerza del campo realza u trabajo posto m m m dm dx dy dz F.dr Fxdx Fydy Fzdz x y z dm =. d dode es el mometo eléctrco y d el desplazameto agular e fucó de sus compoetes (,,3) y (d, d, d3).

22 Fuerzas y eergías e el campo electrostátco Supogamos u sstema aslado formado por aras partes tal que o se ecuetra coectado a gua fuete, es decr es u sstema a carga costate. d d m dm d dm dx dy dz F.dr Fxdx Fydy Fzdz x y z F x x Q ; F y y Q ; F z z Q ; ; 3 3 Q Q Q

23 Fuerzas y eergías e el campo electrostátco f Caso de u sstema coectado a ua fuete la cual matee a potecal costate las superfces coductoras. U sstema de coductores cargados, co eergía electrostátca, parte del sstema se desplaza metras los potecales de los coductores del sstema se desplaza metras los potecales de los coductores permaece fjos, la eergía electrostátca sufre u cremeto ftesmal debdo a ua aracó dferecal de la carga dq. La eergía sumstrada por la fuete, db, es el trabajo ecesaro para La eergía sumstrada por la fuete, db, es el trabajo ecesaro para moer cada uo de los dferecales de carga, dq, desde el potecal cero hasta el potecal del coductor adecuado qv d = d qv b d = d b m d d d d d d m m x y z d dx dy dz F dx F dy Fdz x y z V z V y V x z F y F x F ; ; V V V 3 ; ; 3

24 Ejemplo de cálculo de la fuerza sobre la placa de u capactor La separacó etre las placas del codesador es x, y el área de las msmas es A. Supogamos que el codesador ha sdo cargado carga Q y descoectado de la fuete, después de ello la desdad de carga de sus placas será = Q/A y la msma o arará la fuerza que ejerce la placa cargada co carga +Q sobre la placa cargada co -Q. cosderemos u trabajo rtual debdo a u desplazameto ftesmal dx tedete a alejar las placas F. x dx d F x x Q d dx E A F +Q -Q.. E d Ax A a x F x dx Sgo egato dca que la fuerza es e setdo cotraro al desplazameto

25 Ejemplo de cálculo de la fuerza sobre u deléctrco que peetra detro de las placas de u capacto La fuerza que sufre u materal deléctrco al ser troducdo e Fx el espaco etre las placas plaas = r. d = V Las placas se matee a ua dfereca de potecal costate V. El deléctrco se desplaza e el setdo de troducrse detro del espaco etre placas d d d m b dm d dx Fxdx x x dx logtud b, acho w, y separacó d DE S V ds Desprecado los efectos de borde, y teedo e cueta que la desdad olumétrca de eergía e el espaco ocupado por el deléctrco es dferete a la que exste e la regó co are V E d E ( b x ) wd re xwd d E ( b x) x b V d w r d dx V w ( r ) Fx e el cálculo de la eergía so los d Los efectos de borde que fuero desprecados resposables de que exsta esta fuerza?????

26 x dx = r. x Fx d = V x b x dx x V w ( bx) r x d Fx = r. x d = V r x b d dx V w ( r ) d F x