Sucesiones y Series Sucesiones

Transcripción

1 Capítulo 3 Sucesioes y Series 3.1. Sucesioes E esta primera parte del capítulo os vamos a ocupar de las sucesioes, que so u objeto muy atural e ituitivo, pero que de todas maeras preseta particularidades iteresates y delicadas. Las sucesioes tiee uso e sí mismo para modelar aplicacioes de todo tipo, pero además sirve como herramieta detro de la matemática, para caracterizar objetos (cotiuidad o cojutos por ejemplo) y para demostrar resultados. Ituitivamete, ua sucesió es ua lista ordeada e ifiita de úmeros reales, que se puede repetir: Defiició 3.1. Ua sucesió es ua fució de los aturales e los reales, a : N R. Al elemeto eésimo de la sucesió (es decir, a()) se lo deota a, y a la sucesió etera (a ) N. Muchas veces hacemos u abuso de otació y os referimos a la sucesió como a simplemete. Quedará claro por el cotexto cuádo os referimos a la sucesió como objeto, y cuádo a u térmio específico de la misma. De la defiició como fució a : N R, lo realmete importate es que el domiio sea los aturales. Si cambiamos a los reales por otro cojuto, tedremos otros tipos de sucesioes, por ejemplo, de úmeros complejos, o de putos e R, como estudiaremos e los capítulos siguietes. Pero lo que captura la idea de lista ordeada es justamete la asigació de u elemeto para cada lugar de la lista ifiita. Si bie la defiició de sucesió es como ua fució, la aturaleza de las mismas hace que sea muy distitas a las fucioes que fuero objeto de estudio del primer curso. Es decir, la mayoría de los coceptos importates que fuero estudiados para fucioes defiidas e 1

2 3.1. SUCESIONES 2 los reales (límite de ua fució cuado x tiede a u puto a, cotiuidad, derivabilidad), se basa fuertemete e que uo se puede acercar tato como quiera a u puto a. Esto carece de setido cuado el domiio so los úmeros aturales, dode el úico límite que podemos tomar, como ya veremos, es cuado el ídice tiede a ifiito. Ejemplos a = 1, sus elemetos so: ( 1, 1 2, 1 3, 1 4,... ). 2. a = 1,. 3. a = ( 1). 4. a =. Vale la pea tambié advertir que o se debe cofudir a la sucesió e sí, co el recorrido de la misma, que es simplemete la image como fució. Por ejemplo, la seguda sucesió de los ejemplos es (1,1,1,...), y la image de la sucesió es el cojuto {1}, formado por u solo elemeto. E el siguiete ejemplo, el recorrido de a = ( 1) es el cojuto { 1,1}, y la sucesió es ( 1,1, 1,1,...). E geeral, el comportamieto que más os va a iteresar es lo que pase co la sucesió e el ifiito 1. Vamos a decir que ua sucesió tiee límite L (o tambié que coverge a L o tiede a L) cuado, para cualquier etoro de L (o sea, ta cerca como queramos estar de L), existe u mometo a partir del cual la sucesió se ecuetra completamete e ese etoro. Formalmete: Defiició 3.2. Decimos que la sucesió a tiee límite L R, y lo deotamos lím a = L sii ε > 0, 0 N tal que 0 se tiee que a E(L,ε) 2. Es u juego de ε 0 similar al de cotiuidad co ε δ. Es decir, u jugador va eligiedo valores de ε para que el segudo jugador coteste co u mometo 0 a partir del cual a E(L,ε). Cuado vayamos a demostrar que ua sucesió a tiee límite, usado la defiició, os podremos e el papel del segudo jugador, y tedremos que ecotrar el 0 para u ε dado. Si, e otro caso, sabemos que determiada sucesió tiee límite, y pretedemos usar la defiició, etoces estaremos e el papel del primer jugador. Más adelate cometaremos sobre esta dualidad co casos específicos. E el ejemplo a = 1, a medida que crece, su iverso es cada vez más chico. Demostremos que efectivamete teemos lím 1 = 0. Para esto, segú la defiició, debemos probar que para 1 Ejercicio avazado: demostrar que la defiició de límite o depede del orde de los elemetos de la sucesió. Es decir, si ϕ : N N es ua biyecció, etoces lím a = lím a ϕ(), si existe. 2 Recordamos que el etoro de cetro L y radio ε es el cojuto de putos x R tales que x L < ε.

3 3.1. SUCESIONES 3 todo ε existe u atural 0 a partir del cual la sucesió está a meos de ε de cero. La maera de demostrar que para todo ε se cumple ua codició, es tomar u ε geérico, y, e este caso, ecotrar u 0 que sirva. Tomemos etoces u ε > 0 geérico. Lo que queremos es que a 0 < ε, o sea, que 1 < ε. Esto úlimo se cumplirá siempre que sea mayor que 1, por lo ε que alcaza co tomar como 0 cualquier atural mayor que 1 ε. Para el ejemplo de la sucesió costate a = 1, resulta claro que el límite debe ser uo. Dado etoces u ε cualquiera, cuál es el 0 que sirve? Qué pasa co la sucesió a =? Proposició 3.1. Si existe el límite de a, etoces es úico. Demostració. Supogamos que a tiee dos límites, L L, y tomemos ε = L L, de 2 maera que E(L,ε) E(L,ε) = /0. A partir de la defiició de límite para L, teemos que existe u 1 N tal que a E(L,ε) para todo 1. Como supusimos que L tambié es límite, de la misma forma teemos que existe u 2 tal que a E(L,ε) para todo 2. Pero etoces a partir de 3 = máx{ 1, 2 }, la sucesió debe estar e los dos etoros al mismo tiempo, cosa que es imposible ya que los etoros so disjutos. Por lo tato llegamos a u absurdo, de dode L = L. Defiició 3.3. Decimos que la sucesió a está acotada sii K R tal que a K, N. Tambié decimos que la sucesió está acotada superiormete cuado existe u K R tal que a < K para todo N, y de maera similar se defie la acotació iferior. Veamos que las sucesioes covergetes está acotadas. Proposició 3.2. Si a tiee limite, etoces está acotada. Demostració. Tomemos u ε cualquiera, por ejemplo ε = 1. Como a es covergete, a partir de u 0 N, la sucesió está completamete compredida detro de E(L,1). Teemos etoces que a < L +1 para 0. Los primeros térmios (ates del 0 ), o sabemos dóde está, pero so ua catidad fiita, por lo que hay alguo que será el más grade de todos (e realidad, os iteresa el valor absoluto). Si tomamos K = máx{ a 1, a 2,..., a 0 1, L + 1}, etoces teemos que a < K para todo N.

4 3.1. SUCESIONES 4 El recíproco de este resultado o es cierto, y la sucesió a = ( 1) sirve como cotraejemplo. Está acotada (se puede tomar cualquier K 1), pero o tiee límite ( qué ε tomaría para demostrar que o coverge a 1 por ejemplo?). Por otro lado, la sucesió del ejemplo a =, claramete o está acotada, i tiee límite fiito. Por el cotrario, a es cada vez más grade, y de algua maera se acerca a ifiito. Defiició 3.4. Decimos que el límite de a es ifiito, lím a =, sii K > 0, o N tal que a > K para todo 0. Así, teemos que para a =, líma = (dado u K, cuál es el 0 que sirve para la defiició?). De maera similar, que queda como ejercicio, se defie lím a =. Cuado ua sucesió o tiee límite fiito i ifiito, decimos que oscila. Teemos etoces que las sucesioes acotadas puede ser covergetes o o. Qué pasa co las sucesioes o acotadas? Necesariamete tiee límite más o meos ifiito? Estudiar acotació y covergecia de a = ( 1). Defiició 3.5. Decimos que ua sucesió a es móotoa creciete sii a +1 a, N, y que es moótoa decreciete sii a +1 a, N. Cuado la desigualdad es estricta, decimos que la sucesió es estrictamete moótoa. Teorema 3.3. Si a es ua sucesió moótoa creciete y acotada superiormete, etoces tiee límite. Demostració. Sea L = sup{a : N}, es decir, el supremo del cojuto image de la sucesió. Como este cojuto es acotado, por el axioma de completitud, este supremo existe. Ahora, dado cualquier ε > 0, tiee que haber algú elemeto de la sucesió e (L ε,l], pues de otra maera L ε sería cota superior. Llamemos a 0 a ese elemeto. Luego, como a es creciete, todos los elemetos posteriores so mayores que a 0. Por lo tato, a partir de ese 0, a (L ε,l], como queríamos probar. De forma aáloga teemos que toda sucesió moótoa decreciete y acotada iferiormete, tiee límite. Los siguietes ejercicios, además de ser resultados ecesarios, poe e práctica las técicas de demostració que veimos desarrollado e este capítulo. Ejercicio Demostrar que si a b, N y ambas tiee límite, etoces líma límb. 2. Si a es acotada, y límb = 0, demostrar que líma b = 0. Veamos ahora alguas propiedades algebraicas de los límites de sucesioes, muy similares a los vistos para límites de fucioes.

5 3.1. SUCESIONES 5 Teorema 3.4. Sea a y b dos sucesioes co lím a = A y lím b = B. Etoces: 1. lím a + b = A + B. 2. lím a b = A B. 3. lím a b = AB. 4. Si B 0, etoces lím a b = A B. Demostració. 1. Buscamos acotar a +b A B. Por la desigualdad triagular, teemos que a +b A B a A + b B, y cada uo de esos térmios lo podemos hacer ta chico como queramos. Específicamete, sea ε > 0. Etoces, como líma = A, existe u 1 N a partir del cual a A < ε/2.aálogamete, teemos que existe u 2 N a partir del cual b B < ε/2. Teemos por lo tato que a partir de 0 = máx{ 1, 2 }, se cumple a + b A B < ε como queríamos probar. 2. Aálogo al caso aterior. 3. Se basa e lo siguiete (sumado y restado u térmio adecuado): AB a b = AB Ab + Ab a b A B b + b A a. 4. Basta demostrar que lím 1 = 1, y utilizar la propiedad del producto. Para esto, observar b B que 1 B 1 b = B b B b, y acotar iferiormete b por B /2 (por ejemplo). Ejercicio 3.2. Completar las demostracioes del teorema aterior. Detegámoos a ver cómo usamos la defiició de límite, e térmios de los dos jugadores que mecioamos más arriba. E la uicidad del límite (Prop. 3.1), jugamos (dos veces) e el papel del segudo jugador: elegimos u ε coveiete para osotros, y la defiició os devuelve u mometo 1 o 2. Algo similar hicimos e la Proposició 3.2. Cuado demostramos que las sucesioes moótoas y acotadas tiee límite (Teorema 3.3), os pusimos del otro lado: dado u ε geérico, osotros ecotramos el 0. Quizás la primera de las propiedades que vimos recié, la del límite de la suma, es la que mejor muestra esta dualidad. Teemos dos sucesioes (a y b ) que sabemos que tiee límite, y ua tercera (la suma a + b ) que queremos demostrar que lo tiee. Para esta sucesió suma etoces, debemos tomar el ε dado y ecotrar u 0. Tomamos este ε, lo dividimos coveietemete etre dos, y, desde el papel del jugador dos, para ese valor ε 2 que ahora

6 3.1. SUCESIONES 6 osotros damos, recibimos u atural para cada sucesió, a y b. Co estos, ahora, devolvemos u atural 0 que cumple lo pedido. Observar que las propiedades recié euciadas so ciertas para límites fiitos. Alguas de ellas se puede exteder tambié cuado los límites so ifiitos, o cuado uo es fiito y el otro ifiito. Si embargo, hay que teer más cuidado e estos casos. Por ejemplo, si a y b, o podemos afirmar ada de la suma a + b. Se puede ecotrar ejemplos (búsquelos) dode la suma tiede a +, a, a cualquier real, o que o tega límite. Estos casos se deomia idetermiados, y tambié sucede co productos y potecias, como por ejemplo 0, 0/0, /, 0, 1, y 0 0. E defiitiva, teemos el mismo comportamieto que se explica e las proposicioes 56 y 59 del capítulo Límites y cotiuidad de las otas del curso [?miquel]. Ejercicio 3.3. Decimos que u par de sucesioes a y b forma u Par de Sucesioes Moótoas Covergetes (PSMC) sii (i) a es creciete y b es decreciete. (ii) a b para todo N. (iii) Dado ε > 0, existe 0 N tal que b 0 a 0 < ε. Etoces: 1. Demostrar que a b m para todo,m N. 2. Deducir que ambas sucesioes tiee límite, que llamaremos líma = L y límb = L. 3. Deducir que L L. 4. Demostrar que L = L (y observar que recié ahora es ecesaria la propiedad (iii)). Ejercicio 3.4. Sea I = [a,b ] ua sucesió de itervalos tales que I 0 I 1 I 2 I, y además la logitud del itervalo tiede a cero co. Demostrar que las sucesioes de extremos de los itervalos a y b forma u PSMC, y que si L es su límite, etoes =1 I = L. Ejemplo 3.2. E 1683, el matemático suizo Jacob Beroulli estaba estudiado ciertas cuestioes de iterés compuesto 3. Supogamos que depositamos u peso e ua cueta co u 100% de iterés aual. Si el iterés se acredita ua úica vez, etoces 3 E el iterés compuesto, las gaacias por el iterés se va agregado al moto sobre el cual se va calculado el iterés.

7 3.1. SUCESIONES 7 al fial del año la cueta tedrá dos pesos. Si se acredita dos veces, etoces al pasar los primeros seis meses, se acreditará el 50% (se multiplica por 1,5), y luego sobre esos $1,50 se calcula uevamete el 50%, lo que da u total de 1,00 (1,5) 2 = 2,25. Si dividimos el 100% de iterés e cuatro, acreditado el 25% cada cuatro meses, tedremos al fial del año 1,00 (1,25) 4 = 2, Es ituitivo, que cuato más frecuete se hace las acreditacioes, mayor será el saldo a fial del año. E geeral, si dividimos e itervalos, el saldo fial será 1,00 ( ). Qué pasa cuado crece? Si desarrollamos la expresió segú el deomiado biomio de Newto, obteemos sumados, y cada uo crece co, por lo tato la sucesió a = ( ) es creciete. Del mismo desarrollo se puede observar tambié que es acotada, y por lo tato tiee límite. El límite es exactamete el úmero e (de hecho es ua de las defiicioes más usadas para e). Calcular límites es ua de las tareas más importates, pero recurrir a la defiició cada vez, puede resultar tedioso, sobre todo para sucesioes complicadas. Por lo tato muchas veces lo que hacemos es estudiar sucesioes que se comporta igual e el ifiito, pero que so mucho más fáciles de estudiar. El cocepto de sucesioes equivaletes formaliza esto: Defiició 3.6. Decimos que dos sucesioes a y b, ambas co límite 0 o, so equivaletes sii lím a b = 1. Como ya es sabido por el lector, hay que teer cuidado co la sustitució por sucesioes equivaletes, cuado resulta e la resta de dos equivaletes que se aula. Ejemplos dode la cacelació idiscrimiada de térmios equivaletes resulta e errores, ya se ha visto co desarrollos de Taylor de fucioes. Co sucesioes pasa lo mismo. Cuado dos sucesioes so equivaletes, se deota a b. Ejemplo 3.3. Las sucesioes a = y b = 4 3 so equivaletes. E efecto, lím 4 3 = lím = 1. Cuado teemos u poliomio e, es equivalete a su térmio de mayor grado. E geeral, teemos las mismas equivalecias que teíamos para fucioes, y que fuero refiadas co el desarrollo de Taylor. Hay que teer cuidado co lo siguiete: cuado calculamos límites de sucesioes, siempre lo hacemos co tediedo a ifiito. Si embargo, podemos teer por ( 1 ) ejemplo si. E este caso, cuado tiede a ifiito, 1 tiede a cero, y etoces debemos ( ) 1 utilizar el equivalete del seo e cero. Es decir, si 1 cuado tiede a ifiito. Ejercicio 3.5. Corroborar los siguietes límites

8 3.1. SUCESIONES 8 1. lím [log( + 1) log()] = 1 ( ) 1 2. lím 2 si = [ 3. lím ] 2 1 = 1/2 Volvamos a la sucesió a = ( 1). Ya vimos que o tiee límite, pero está acotada, y de hecho pasa ifiitas veces por el 1 y por el 1. Más aú, si miramos solamete los térmios pares (o impares), obteemos ua sucesió costate, y por lo tato covergete. Las subsucesioes permite geeralizar este ejemplo, y obteer resultados importates e geeral. Ituitivamete, ua subsucesió cosiste e tomar alguos (ifiitos) térmios de la sucesió. Por ejemplo, los térmios pares. La defiició formal de este cocepto ta simple es complicada de apariecia, pero la idea es esa: elegir ifiitos elemetos de la sucesió origial. Defiició 3.7. Sea a ua sucesió real, y k ua sucesió estrictamete creciete de úmeros aturales. Etoces la sucesió a k es ua subsucesió de a. La sucesió k es la que juega el papel de elegir los ídices co los que os vamos a quedar, y al ser ua sucesió creciete de aturales, teemos asegurado que k tiede a ifiito (y por lo tato vamos a elegir ifiitos térmios de a ). Ejemplos Para la sucesió a = ( 1), podemos tomar la subsucesió de los pares a 2 = 1, y de los impares a 2+1 = 1. Qué pasa co a 3? Cuátas subsucesioes covergetes tiee a? 2. Para la sucesió a = + ( 1), teemos por ejemplo a 2+1 = 0. Qué pasa co a 2? E los ejemplos de arriba, ecotramos subsucesioes covergetes, pero este o es siempre el caso. Itete ecotrar ua sucesió que o tega igua subsucesió covergete. Cuado la sucesió origial es covergete, todas sus subsucesioes hereda el mismo límite: Teorema 3.5. Si líma = L, etoces toda subsucesió de a coverge a L. Demostració. Sea a k ua subsucesió, y sea ε > 0. Como a L, existe u 0 N a partir del cual a E(L,ε). Pero como k tiede a ifiito, existe k 0 tal que k > 0 para todo k > k 0, de dode a k E(L,ε) a partir de k0. Daremos ahora ua defiició topológica, que ivolucra putos y cojutos pero o sucesioes, para luego sí, volver sobre las sucesioes. Ahodaremos mucho más sobre este tipo de defiicioes y propiedades e el capítulo??.

9 3.1. SUCESIONES 9 Defiició 3.8. Decimos que u puto a R es u puto de acumulació de u cojuto A R sii todo etoro reducido de a cotiee algú puto de A. Es decir, si ε > 0 se tiee E (a,ε) A /0. Observar que ada se dice sobre la perteecia de a al cojuto. Es decir, puede haber putos de acumulació que sea elemetos de A, y puede haber putos de acumulació de A que o esté e el cojuto. Ejemplos Para el cojuto A = [0,1), todos los putos de [0,1] so putos de acumulació de A. Observar que el 1 es de acumulació (efectivamete cualquier etoro de 1 iterseca al cojuto), pero o perteece a A. 2. Para el cojuto A = [0,1] {2}, los putos de acumulació so los de [0,1]. Observar que 2, a pesar de estar e el cojuto, o es u puto de acumulació. E efecto, para serlo, debería haber putos de A e cualquier etoro reducido de 2. Pero si tomamos por ejemplo E (2,1/2), o hay igú elemeto de A e dicho etoro reducido. { 1 } 3. Si A = : N, etoces el úico puto de acumulació es el 0 (que además o está e el cojuto). 4. Si A = Q, etoces, debido a la desidad de los racioales, todos los reales so putos de acumulació de Q. 5. Si A = N, cuáles so sus putos de acumulació? Teorema 3.6 (Bolzao-Weierstrass). Todo cojuto ifiito y acotado tiee (al meos) u puto de acumulació. Demostració. Llamemos A al cojuto. Como está acotado, lo podemos icluir e u itervalo, al que [ llamaremos I 0 : A I 0 = [a 0,b 0 ]. Ahora, si dividimos a este itervalo e dos partes iguales, a 0, a ] [ 0 + b 0 a0 + b 0 y,b 0 ], como el cojuto A es ifiito, etoces (al meos) uo 2 2 de las dos mitades debe coteer ifiitos putos de A. Llamemos I 1 = [a 1,b 1 ] a ese itervalo. Repitiedo el argumeto, si dividimos I 1 e dos mitades, debe haber ua de ellas co ifiitos elemetos de A, al que llamaremos I 2. Así, geeramos ua sucesió de itervalos ecajados I +1 I, todos ellos co ifiitos elemetos de A, y la logitud de I es b 0 a 0 2.

10 3.1. SUCESIONES 10 Por el ejercicio 3.3, la itersecció de estos itervalos defie u puto L = N I. Veamos que L es u puto de acumulació de A. Para esto, tomemos u ε > 0, y sea N atural tal que b 0 a 0 2 N < ε. Etoces, como L I N y el tamaño de este itervalo es meor que el radio del etoro, teemos que I E(L,ε). Luego, como e I N hay ifiitos putos de A, hay al meos u puto de A e E (L,ε) (es más, hay ifiitos). Volvamos a las sucesioes, aplicado el teorema recié demostrado para probar otro resultado sobre sucesioes, que tambié se cooce co el ombre de Bolzao-Weierstrass. Teorema 3.7. Toda sucesió a acotada tiee ua subsucesió covergete. Demostració. Llamemos A al cojuto recorrido de la sucesió: A = {a : N}. Como la sucesió es acotada, el cojuto A es acotado. Puede ocurrir que A sea fiito o ifiito. Si A es fiito, etoces la sucesió pasa ifiitas veces por alguo de sus elemetos. Tomado esos ídices, costruimos ua subsucesió que coverge a ese elemeto. Si A es ifiito, podemos aplicar el Teorema 3.6, y por lo tato A tiee u puto de acumulació L. Costruiremos ua subsucesió de a covergete a L. Como L es de acumulació, e cualquier etoro habrá putos de a. Tomemos etoces valores sucesivos de radios de los etoros: ε k = 1 k. E cada etoro E (L,ε k ) hay u elemeto de la sucesió, al que llamaremos a k. Por costrucció, a k L < 1 k, por lo que a k L. E el ejemplo que veimos repitiedo, a = ( 1), el recorrido es el cojuto { 1,1}, por lo que estamos e el primer caso (A fiito) de la demostració aterior. La sucesió pasa ifiitas veces por cada valor. Queda como ejercicio ecotrar ua sucesió acotada que o sea covergete, y que caiga e el segudo caso de la demostració.

11 3.1. SUCESIONES Sucesioes y completitud Hasta ahora, trabajamos durate todo el capítulo co sucesioes reales, auque cometamos que puede haber sucesioes e otros cojutos. Cabe pregutarse cuáles de los resultados que vimos sigue siedo ciertos cuado, por ejemplo, cosideramos las sucesioes defiidas e Q. Es decir, tomemos ua sucesió a : N Q, y olvidemos que hay otros úmeros reales que o so racioales. Sigue siedo cierto que toda sucesió moótoa y acotada es covergete? Que toda sucesió acotada tiee ua subsucesió covergete? Tomemos por ejemplo la sucesió a : N Q dada por a = ( ). Claramete, para cualquier atural, es racioal, y por lo tato tabié lo es a. Si embargo, esta sucesió o tiee límite e Q. Cuado costruimos los úmeros reales axiomáticamete, observamos que lo úico que diferecia (desde el puto de vista de los axiomas) a R de Q es el Axioma de completitud. Etoces, si estos resultados o so ciertos para Q, quiere decir que utilizamos el Axioma de completitud para su demostració. E la demostració del Teorema 3.3 lo hicimos explícitamete. Es u lido ejercicio aalizar qué resultados vale para sucesioes e Q, y para los que o so ciertos, idetificar dóde fue utilizado el Axioma de completitud. Esta diferecia sustacial etre Q y R, se deomia justamete completitud. Básicamete el cojuto de los racioales tiee agujeros, es decir, sucesioes que se va apretado alrededor de algo que o está e el cojuto. Cabe pregutarse si por ejemplo el cojuto de úmeros complejos es completo o o, pero lametablemete el Axioma de completitud depede fuertemete de teer u cuerpo ordeado, cosa que o teemos e C. Lo que adelataremos ahora, y profudizaremos e el capítulo??, es ua defiició de completitud que vamos a poder aplicar e cualquier cojuto dode podamos defiir sucesioes. Defiició 3.9. Decimos que ua sucesió a es de Cauchy sii ε > 0, existe u 0 N tal que a a m < ε para todo,m > 0. Observar que la defiició es muy similar a la defiició de límite, pero e lugar de pedir que la sucesió esté cerca de L a partir de u mometo, pedimos que se aprete etre sí. Es más, e la defiició de sucesió de Cauchy solamete aparece elemetos de la sucesió, y o putos exteros como u cadidato a límite L. Los siguietes resultados relacioa la codició de Cauchy co la covergecia. Teorema 3.8. Si a es ua sucesió covergete, etoes es de Cauchy. Demostració. Llamemos L al límite de a, y sea ε > 0. Como a L, etoces existe u 0 N, tal que a E(L,ε/2) para todo 0. Etoces si y m so mayores a 0, teemos que a L < ε/2 y a m L < ε/2, de dode a a m < ε, como queríamos probar.

12 3.1. SUCESIONES 12 Observar que e esta demostració solamete se utilizaro las defiicioes de covergecia y de sucesió de Cauchy, por lo que el resultado es válido e cualquier cojuto dode se pueda defiir estas ocioes. Teorema 3.9. Si a es ua sucesió de Cauchy e R, etoes es covergete. Demostració. Veamos primero que a es acotada. Para esto, tomemos u ε cualquiera, por ejemplo ε = 1. Etoces a partir de u 0, teemos e particular que a a 0 < 1, y por lo tato a E(a 0,1), por lo que está acotada. Como está acotada, e virtud del Teorema 3.6, posee ua subsucesió covergete, a la que llamaremos a k L. Veamos que toda la sucesió tambié tiede a L: Sea ε > 0, y como a es de Cauchy, existe u 0 N tal que a m a < ε/2 para todo,m 0. Ahora, como a k L, existe k0 tal que a k L < ε/2 para todo k k0. Pero podemos elegir este k0 de maera que además se cumpla k0 0. Tomemos u 0 y veamos que a está a meos de ε de L. E efecto, como y k0 so mayores a 0, por la codició de Cauchy, teemos que a a k0 < ε/2. Etoces: a L = a a k0 + a k0 L a a k0 + a k0 L ε/2 + ε/2 = ε E esta demostració sí hicimos uso del Axioma de completitud ( dóde?), por lo que este resultado o es cierto para sucesioes e Q por ejemplo. Ejercicio 3.6. Ecotrar ua sucesió de úmeros racioales, que sea de Cauchy pero o covergete (a u úmero de Q). Puede ser útil volver a mirar algua sucesió estudiada e los ejemplos de este capítulo Sucesioes y cotiuidad Dijimos que las sucesioes servía tambié para caracterizar objetos matemáticos, pero, salvo esta última discusió, o ha aparecido e este papel. E este cotexto, caracterizar quiere decir describir completamete ua clase de objetos e fució de las sucesioes. Es como ua defiició alterativa, ua propiedad que podría perfectamete ser la defiició. Por ejemplo, e el próximo resultado, que vamos a demostrar e u cotexto más amplio e el Capítulo??, damos ua caracterizació de las fucioes cotiuas. Específicamete, las fucioes cotiuas e u puto a so aquellas e las que, cuado os acercamos por cualquier sucesió al puto a, las imágees de la sucesió por f se acerca a f (a). Teorema Ua fució f : R R es cotiua e u puto a sii para toda sucesió a a, teemos que f (a ) f (a).

13 3.1. SUCESIONES 13 Ejemplo 3.6. Tomemos ua fució discotiua e u puto: { 1 si x 1 f (x) = 0 si x < 0 Para ver, mediate la caracterizació por sucesioes, que la fució o es cotiua e x = 1, tomemos dos sucesioes que tieda a 1, pero ua por la izquierda y otra por la derecha. Por ejemplo, a = y b = 1 1. Claramete líma = límb = 1, pero si embargo f (a ) = 1 para todo, es decir, es ua sucesió costate. Aálogamete teemos que f (b ) = 0 para todo, y por lo tato teemos que 0 = lím f (b ) lím f (a ) = 1. f(x) 1 1 x Figura 3.1: E rojo, alguos putos de la forma (a, f (a )), y e azul alguos putos de la forma (b, f (b )). E el siguiete ejercicio utilizamos esta caracterizació de las fucioes cotiuas para demostrar ua parte del Teorema de Weierstrass. Se puede repetir argumetos similares para demostrar la seguda mitad. Ejercicio Escribir la egació de acotació de ua fució. 2. Demostrar que si ua fució f o está acotada, se puede ecotrar ua sucesió a e el domiio de f tal que f (a ). 3. Si ahora el domiio de la fució es [a,b], qué se puede decir sobre la sucesió a costruida e el item aterior? 4. Si ahora además la fució es cotiua, estudiar qué sucede co las imágees de algua subsucesió coveiete, y cocluir que la fució o puede ser o acotada.

14 3.2. SERIES 14 Estudiaremos más la relació etre cotiuidad y sucesioes, e u marco más geeral, e el capítulo?? Series Supogamos que queremos camiar hasta u árbol que se ecuetra a u kilómetro de distacia desde dode estamos. Etoes, para llegar hasta el árbol, primero debemos camiar medio kilómetro y llegar hasta la mitad del camio. Ua vez allí, os resta camiar 1/2km. Ahora uevamete, para camiar ese tramo, primero hay que camiar la mitad del mismo, es decir, 250m, y ua vez allí, os restará camiar 125m. Si repetimos este argumeto sucesivamete, siempre os quedará la mitad del camio por recorrer, y debemos recorrer ifiitos tramos (de logitud cada vez meor), ates de llegar al árbol. Pero está claro que podemos llegar al árbol. Etoces, cómo ua suma de ifiitos trayectos puede dar lugar a u camio que podemos recorrer?. Esta es ua versió de la paradoja de Zeó, e cuya época todavía o se coocía el cálculo ifiitesimal por supuesto. Otra iterpretació geométrica de esta serie surge de itetar pitar u cuadrado de lado 1, pitado cada vez u rectágulo de la mitad del área por pitar, como se ve e la figura /4 1/4 1/16 1/64 1/32 1/8 1/2 1/2 Figura 3.2: Cuadrado de lado 1 pitado e sucesivos rectágulos. A la izquierda, los dos primeros pasos. A la derecha, alguas iteracioes más tarde.

15 3.2. SERIES 15 Quizás la versió más coocida de la paradoja de Zeó es la de Aquiles y la tortuga. E este plateo, Aquiles, u héroe de la Guerra de Troya que era apodado el de los pies ligeros por ser cosiderado el más veloz etre los hombres, juega ua carrera cotra ua tortuga. Aquiles, sabiédose más rápido que su cotricate, le da ua vetaja iicial de alguos metros, digamos d 1. Etoces, para que Aquiles pase a la tortuga, primero la tiee que alcazar. Y para alcazarla, primero tiee que llegar a la posició d 1 desde dode partió la tortuga. Esto le llevará a Aquiles cierto tiempo, pero cuado llegue allí, la tortuga habrá avazado u tramo y estará ahora e la posició d 2. Etoces, ahora Aquiles para alcazar a la tortuga, deberá llegar primero hasta la posició d 2. Para cuado Aquiles logre llegar hasta allí, uevamete la tortuga habrá avazado algú tramo. Así, siempre Aquiles estará itetado alcazar a la tortuga. Largada Largada Largada d 1 d 2 d 3 Volviedo a la versió del árbol, e defiitiva, primero se camia ua distacia de 1 2, luego ua de 1 4, luego de 1, y así sucesivamete. Siguiedo co los ifiitos tramos, la distacia total 8 recorrida es =1 1 2 = Sabemos sumar ua catidad arbitraria (pero fiita) de úmeros. Pero, qué quiere decir sumar ifiitos úmeros? Qué propiedades tiee esa ueva suma que teemos que defiir?

16 3.2. SERIES 16 Será asociativa? comutativa?. Adetrémoos e las series, y veamos que la suma ifiita de arriba es uo, es decir, la distacia origial al árbol. La idea para defiir ua suma ifiita será cortar la suma, mirar el acumulado de los primeros sumados, y hacer teder a ifiito: Defiició Dada ua sucesió real a, se llama suma parcial o reducida eésima a la sucesió s = i=1 a i, y se deomia serie de térmio geeral a a la suma ifiita a. Se dice que la serie coverge, diverge, u oscila, cuado lo hace la sucesió s. Además, cuado la serie es covergete, al límite S R de s se lo deomia la suma de la serie, y se escribe S = a. Tambié utilizaremos la otació a < para referiros a que la serie es covergete. Es importate o cofudir la serie co el térmio geeral de la misma. Si a es ua sucesió, la ueva sucesió s de sumas parciales básicamete acumula todos los térmios de a hasta el ídice. Si la sucesió a tiee límite, la serie puede teer u comportamieto muy distito. El siguiete ejemplo puede ser muy básico para los que ya ha trabajado co series, pero puede ser muy ilustrativo para aquellos que se efreta a las sumas ifiitas y reducidad eésimas por primera vez. Cosideremos la serie de térmio geeral a = 1/, y pogamos e ua tabla, e paralelo, cada térmio de la sucesió a (los primeros 5), y a su lado cada térmio de la reducida eésima s (el total acumulado hasta el mometo): a s s / /2 = 3/2 1,5 3 1/ /2 + 1/3 = 11/6 1, / /2 + 1/3 + 1/4 = 25/12 2, / /2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 = 137/60 2,2833 Observar, e particular, que a tiede a cero como ya sabíamos (la seguda columa), mietras que s es creciete. A priori o sabemos si s puede coverger a u úmero fiito, o si diverge a ifiito. Estudiemos ahora alguas series para las cuales sí podremos calcular el límite de la reducida eésima. Ejemplo La serie =0 q se deomia serie geométrica. Cuado q = 1 2, teemos la serie de la paradoja de Zeó (a meos del primer sumado). Si s es la reducida eésima, etoces s = 1 + q + q 2 + q q. Ahora,

17 3.2. SERIES 17 multiplicado por q, teemos: qs = q + q 2 + q q + q +1, y restado: s = 1 + q + q 2 + q q qs = q + q 2 + q q + q +1 s (1 q) = 1 q +1 De dode podemos despejar ua expresió explícita para la reducida eésima: s = 1 q+1 1 q. Ahora teemos que calcular el límite de s. Cuado q < 1, teemos que líms = 1 1 q. Cuado q > 1, la serie o es covergete. Qué pasa cuado q = 1 o q = 1? 2. Cosideremos ahora la serie =1 ( 1)+1. La reducida eésima oscila etre 1 y 0, depediedo de la paridad de, por lo que la serie o es covergete. Proposició 3.11 (Codició ecesaria de covergecia). Si a es covergete, etoces líma = 0. Demostració. Si s es la reducida eésima, etoces teemos que a = s s 1. Pero si a = S, etoces líma = líms lims 1 = S S = 0. Es decir, para que ua serie sea covergete, lo míimo que teemos que pedir es que su térmio geeral tieda a cero. Por lo tato esto es lo primero que teemos que chequear cuado estudiamos la covergecia de ua serie. Pero cuidado que es ua codició ecesaria pero o suficiete. Cocluir la covergecia de la serie a partir de que líma = 0 es u error grave, como veremos e varios ejemplos. Ejemplos 3.8. E alguos casos, cuado escribimos la reducida eésima, los térmios se comieza a cacelar etre sí, sobreviviedo solamete ua catidad fiita de ellos, y por lo tato haciedo posible el cálculo del límite de s. Recibe el ombre de series telescópicas, y aquí presetamos dos ejemplos (+1). Observemos primero que podemos re-escribir 1 (+1) = Etoces la reducida eésima es: ( 1 s = 1 1 ) ( ) ( ) ( ). + 1 De dode s = , y por lo tato la serie coverge a uo.

18 3.2. SERIES 18 ( 2. log ) = log ( ) +1 = (log( + 1) log()). De dode la reducida eésima es s = ( log(2) log(1))+( log(3) log(2))+( log(4) log(3))+ +(log( + 1) log()). De dode s = log( + 1), y etoces podemos calcular líms =, por lo que la serie es divergete. E geeral, es muy difícil hallar exactamete la suma de ua serie (es decir, el valor al que coverge la sucesió de sumas parciales), y solamete e cotados casos se puede calcular. E este setido, los ejemplos ateriores o so represetativos de la mayoría de las series, auque de todas maeras resultará muy útiles. Por lo tato, muchas veces os coformamos co poder decidir si ua serie es covergete o o, y evetualmete acotar el valor al que coverge. E lo que sigue, veremos herramietas para clasificar series, basádoos explícita o implícitamete e otras series coocidas Series de térmios positivos Comezaremos co los resultados más fuertes, que so para series de térmios positivos, es decir, cuado el térmio geeral es a 0. Observar que e este caso, la sucesió s de sumas parciales es moótoa creciete, por lo tato la serie a puede ser covergete o divergete, pero o puede oscilar. Proposició 3.12 (Criterio de comparació). Sea a y b series de térmios positivos, tales que a b para todo > 0. Etoces: Si b coverge a coverge. Si a diverge b diverge. Demostració. Llamemos A y B a las reducidas eésimas: A = a 1 + a a, y B = b 1 + b b. Etoces A A 0 B B 0 a partir de 0. Veamos el primer caso: si b coverge, e particular B está acotada. Por lo tato A está acotada, y por ser moótoa creciete, es covergete. Si por otro lado a es divergete, etoes A es o acotada, y por lo tato tambié lo será B. Como además B es creciete, etoces ecesariamete es divergete. Observar que e esta demostració (y esto es geeral e las series), los primeros 0 térmios o importa. Los que importa so los últimos térmios de la serie. Si tomamos por ejemplo la serie 1 2, y cambiamos el primer milló de térmios por 2000, la ueva serie igual tedrá suma fiita. La covergecia de la serie se juega e el ifiito.

19 3.2. SERIES 19 Los siguietes resultados va e el mismo setido, especialmete el próximo, pero ates veamos alguos ejemplos del criterio de comparació. Ejemplos Estudiemos la serie 1, que se deomia serie armóica. Sabemos (ver por ejemplo el ejercicio 97 e el capítulo de Itegrales de las otas del curso [?miquel] ) que log(1 + x) x, de dode teemos log ( ) 1, y como ambas sucesioes so o egativas, podemos usar el criterio de comparació. Como la serie de térmio geeral log ( 1 + ) 1 diverge (ver ejemplo 3.8), cocluimos que 1 diverge. Observar que el térmio geeral 1 tiede a cero, pero la serie o es covergete. 2. Si α < 1, etoces 1 α > 1, y como 1 series 1 α co α < 1. diverge, por comparació, tambié lo hace las Veamos ahora que si teemos dos sucesioes que se comporta igual e el ifiito, etoces las series asociadas so de la misma clase. Esto quiere decir que ambas so covergetes, o ambas so divergetes (como estamos trabajado co series de térmios positivos, o hay otra posibilidad, pues o puede oscilar). Proposició 3.13 (Criterio de equivaletes). Sea a y b dos series de térmios positivos. Si lím a b = L > 0, etoces las dos series so de la misma clase. Si lím a b = 0, etoces si b coverge, a tambié lo hace. Demostració. Supogamos primero que lím a = L > 0. Etoces (tomado ε = L/2 e la b defiició) a partir de u 0, teemos L 2 a 3L b 2, y por lo tato podemos acotar: b L 2 a 3L b. Ahora podemos utilizar el criterio de comparació dos veces, co las dos desigualdades. 2 Específicamete: 3L Si b <, como a b 2, el criterio de comparació afirma que a <. L Si por el cotrario b diverge, como b 2 a, el criterio de comparació afirma que a diverge. El caso lím a b = 0 es similar, y queda como ejercicio. Co este resultado etoces, para estudiar la covergecia de ua serie, basta estudiar ua serie cuyo térmio geeral sea equivalete. Así, cualquier serie cuyo térmio a sea u cociete de poliomios, por ejemplo será muy secillo de clasificar.

20 3.2. SERIES 20 Ejemplos Como (+1), y la serie (+1) < (ver ejemplo 3.8), teemos que la serie 1 es covergete Si α > 2, etoces 1 α 1, y como vimos que 2 1 <, teemos que la serie 2 1 α es covergete para α > 2. De esta maera, teemos clasificadas las series de la forma 1 α, salvo para valores de α (1,2). Volveremos a esto más adelate. 3. La serie si ( 1 ) es divergete, pues el térmio geeral es equivalete a es divergete, pues el térmio geeral es equivalete a 1 (+2). 1 es covergete, pues el térmio geeral es equivalete a 1 (+1)(+2)(+3) 2 Proposició 3.14 (Criterio del cociete o criterio de D Alambert). Sea a ua serie a +1 de térmios positivos, tal que existe lím = L. Etoces: a Si L < 1 a <. Si L > 1 a diverge. Demostració. Si L < 1, etoces a partir de cierto 0, teemos que a +1 k < 1, 4 y por lo tato a +1 ka. Podemos utilizar la desigualdad recursivamete para ir desde hasta 0 : a ka 1 k 2 a 2 k 0 a 0 = a 0 k 0 k. Luego, como 0 k < 1, etoces la serie geométrica k coverge, y por comparació tambié lo hace a. Si L > 1, etoces a partir de cierto 0 N, teemos a +1 a. 5 E particular, a a 0 > 0 para todo > 0, por lo que la sucesió o puede teder a cero, y etoces a diverge. Observar que cuado el límite es 1, el criterio o decide: la serie podría ser covergete o divergete, y tedremos que usar otro método para clasificarla. Ejemplos Estudiemos la serie!. El cociete a +1 a ) = a +1 a = ( ( + 1)! ( + 1) +1! = + 1 es: a 1 ( ). Del ejemplo 3.2, cocluimos que lím a +1 a = 1 e, y por lo tato la serie es covergete. 4 Podemos tomar u ε tal que L + ε < 1, y por lo tato a partir de cierto 0 la sucesió a +1 a estará etre L ε y L + ε. Llamado k = L + ε, teemos lo buscado. 5 Nuevamete, podemos tomar ε tal que L ε > 1, y etoces a partir de cierto 0 teemos que a +1 a > L ε > 1.

21 3.2. SERIES Para la serie 2!, teemos: a +1 a = 2+1 ( + 1)!! 2 = 2 ( + 1). De dode a +1 a 0, y por lo tato la serie es covergete. 3. Ya hemos clasificado las series 1 y 1. Veamos qué dice el criterio del cociete e 2 estos casos. Para a = 1, teemos: lím a +1 = lím a + 1 = 1. Y para a = 1 2 : lím a +1 = lím 2 a ( + 1) 2 = 1. Es decir, el criterio o decide e iguo de los dos casos, pero sabemos (porque las clasificamos mediate otros mecaismos) que ua de las series que es covergete, y la otra divergete. Veamos ahora u criterio similar, tambié para series de térmios positivos. Proposició 3.15 (Criterio de la raíz eésima o criterio de Cauchy). Sea a ua serie de térmios positivos, tal que existe lím a = L. Etoces: Si L < 1 a <. Si L > 1 a diverge. Demostració. Si L < 1, etoces a partir de cierto 0 N, teemos que a k < 1, 6 y por lo tato a k. Como k < 1, la serie geométrica k es covergete, y por comparació, tambié lo es a. Si L > 1, etoces a 1 a partir de cierto 0, lo que implica que a 1, y etoces la serie a es divergete porque el térmio geeral o tiede a cero. Se puede ver que el criterio de Cauchy es más fuerte que el criterio de D Alambert, e el setido que si ua serie se puede clasificar mediate el criterio del cociete, etoces tambié se puede clasificar por el criterio de la raíz eésima. Si embargo, e geeral el criterio del cociete es más fácil de chequear. Ejemplos ( log ) es covergete pues lím a = lím ( log ) = lím log = es covergete pues lím a = lím 5 2 = Aquí utilizamos el mismo argumeto que e la prueba de 3.14 para ecotrar u k que cumpla lo euciado.

22 3.2. SERIES Series alteradas Vamos a estudiar ahora series de térmios que o ecesariamete so de sigo costate. Defiició Decimos que ua serie a es absolutamete covergete sii a es covergete. Por ejemplo, si tomamos 1 < a < 1, etoces la serie geométrica a es absolutamete covergete, pues a = a, y como a < 1, etoces a <. Ituitivamete, si ua serie es absolutamete covergete, debería ser covergete tambié a, pues sumar el valor absoluto de los térmios es el peor caso de algua maera. Si hay térmios positivos y egativos, alguos se podrá compesar co otros. Si todos los térmios tiee el mismo sigo, está todos aportado hacia el mismo lado. Formalicemos este resultado: Teorema Toda serie absolutamete covergete es covergete. Demostració. Sea a la serie absolutamete covergete, y separemos los térmios a e los positivos y egativos, y formemos dos uevas sucesioes: { { a + a si a 0 = a 0 si a 0 = 0 si a < 0 a si a < 0 Es decir, e a + poemos los térmios positivos de a, y los egativos los poemos a cero, mietras que e a poemos los térmios positivos a cero, y copiamos los egativos pero cambiádole el sigo. De esta maera, las dos uevas sucesioes so de térmios positivos. Observar que teemos: a = a + a, y a = a + + a. Como a coverge, y teemos 0 a + a, por el criterio de comparació, a + coverge. De la misma maera se obtiee que a coverge, y por lo tato tambié coverge (a + a ) = a. El recíproco de este resultado o es cierto. Vamos a ver luego que hay series que so covergetes, pero que la serie de valores absolutos de a o lo es. A estas series que so covergetes pero o absolutamete covergetes, se les deomia codicioalmete covergetes. Cuado teemos ua serie de térmios positivos, la covergecia absoluta o agrega ada. Por lo tato este resultado lo vamos a usar cuado teemos ua serie co térmios que cambia de sigo, pero podemos clasifica la serie de valores absolutos, utilizado alguas de las herramietas que vimos para series de térmios positivos. Ejemplo si() o es de térmios positivos (pues si() cambia de sigo), 2 pero cuado miramos la serie de los valores absolutos, podemos acotarla por ua

23 3.3. REORDENACIÓN DE SERIES 23 covergete: si() 2 1 si(). Por lo tato, 2 2 es covergete por comparació, y si() 2 es covergete por el Teorema El siguiete resultado, que o demostraremos aquí, es el úico criterio que veremos para clasificar series que o so de sigo costate (co excepció de la codició ecesaria de covergecia). Proposició 3.17 (Criterio de Leibitz). Si a es ua sucesió moótoa decreciete que tiede a cero, etoces la serie alterada ( 1) a es covergete. Observar que co este criterio teemos clasificadas muchísimas series de térmio geeral ( 1) a, porque si esta sucesió a tiede a cero de forma moótoa, podemos aplicar el criterio de Leibitz para cocluir su covergecia. Y si o tiede a cero, etoces o cumple la codició ecesaria de covergecia (pues ( 1) a 0), y por lo tato es divergete. Ejemplos ( 1) 1 es covergete por el criterio de Leibitz, pero o es absolutamete covergete, pues 1 ( 1) = 1, que es divergete como ya vimos. 2. ( 1) log ( ) es covergete por el criterio de Leibitz Reordeació de series Cuado geeralizamos coceptos, como e este caso la suma de ua catidad fiita a ua catidad ifiita de térmios, se puede perder alguas de las propiedades que teíamos. E este caso, veremos qué sucede co la comutatividad de la suma. Por supuesto que la suma de ua catidad fiita de térmios es comutativa. Qué sucede co las series? Si la serie es absolutamete covergete, etoces cualquier reordeació de lol térmios da el mismo resultado. Es decir, e este caso coservamos la comutatividad: o importa el orde de los sumados. Si embargo, si la serie es codicioalmete covergete, el resultado sí depede del orde de los térmios. Más aú, el siguiete resultado os dice que podemos reordear los térmios de la serie para que sea covergete a cualquier úmero real que elijamos. Teorema 3.18 (Riema). Si a es ua serie codicioalmete covergete, y L es u úmero real cualquiera, etoces existe ua reordeació de a que coverge a L. La demostració de este teorema o es difícil. Básicamete cosiste e tomar e orde

24 3.3. REORDENACIÓN DE SERIES 24 los térmios positivos, hasta que su suma sobrepase el valor L. Luego, se cotiúa co los térmios egativos (tambié e orde) hasta que la suma total (cosiderado los positivos ya agregados) sea meor que L. Esto se puede hacer ya que tato la serie de térmios positivos como la de térmios egativos so divergetes. El argumeto se repite: volvemos a tomar térmios positivos (retomado dode habíamos quedado) hasta sobrepasar L. Luego térmios egativos, y así sucesivamete. La serie reordeada coverge a L por costrucció.