ETSI de Topografía, Geodesia y Cartografía

Transcripción

1 Temas y : Continuidad, derivabilidad y Fórmula de Taylor GRUPO B: Prueba de Evaluación Continua 4-noviembre-7 SIN DERIVE.- Hallar las derivadas primeras de las funciones: a) f () = tg ( ). b) g () = ln.- Calcular: lím.- a) Enunciar el teorema del VALOR MEDIO o de Lagrange. b) Un vehículo circula a 90 km/h por el km 00 de una autopista, diez minutos después en el km 5 su velocidad es de 00 km/h, donde le para la policía y le multa. por qué? 4.- a) Escribir la fórmula de Maclaurin de la función f () = arctg para n=. b) Calcular de forma aproimada el valor del número utilizando el polinomio de Maclaurin de f de grado. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO I

2 Temas y : Continuidad, derivabilidad y Fórmula de Taylor GRUPO B: Prueba de Evaluación Continua 4-noviembre-7 CON DERIVE 5.- Dada la función f, se pide: a) Dominio de f. b) Polinomio de Maclaurin de f de grado. c) Calcular de forma aproimada f(-) utilizando el polinomio anterior. d) Dar una acotación del error cometido en el apartado anterior y epresar f(-) sólo con cifras decimales eactas. e) Eiste la fórmula de Taylor de f de algún orden en a =? ( puntos) 6.- La medida del radio R de una esfera ha dado 6 cm con una cota de error de 0.0cm. a) Usar diferenciales para aproimar el máimo error porcentual posible cometido al calcular el volumen de la esfera. b) Estimar el máimo error porcentual posible en la medida de R para que el error cometido al calcular el volumen no supere el 0.6%. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO I

3 Temas y : Continuidad, derivabilidad y Fórmula de Taylor GRUPO B: Prueba de Evaluación Continua 4-noviembre-7 SIN DERIVE.- Hallar las derivadas primeras de las funciones: a) f () = tg ( ). b) g () = ln a) f() tg f '() tg tg b) g () = ln.- Calcular: ln( ) ln( ) g '() lím y lím ln ln y ln lím lím ln lím lím / L'Hópital lím y e.- a) Enunciar el teorema del VALOR MEDIO o de Lagrange. b) Un vehículo circula a 90 km/h por el km 00 de una autopista, diez minutos después en el km 5 su velocidad es de 00 km/h, donde le para la policía y le multa. por qué? a) Sea f una función continua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces, eiste al menos un punto c(a, b) tal que f (c) = (f(b)-f(a))/(b-a). b) Sea f(t) la función que epresa el recorrido en el instante t, siendo una función continua y derivable por ejemplo en (0,/6), ya que 0 minutos es /6 horas. f (/ 6) f (0) 5 00 f'(c) 5 km/h /6 /6 El teorema del valor medio estable que en algún momento c 0,/6 la velocidad media es 5 km/h superando el límite de 0 km/h. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO I

4 4.- a) Escribir la fórmula de Maclaurin de la función f () = arctg para n=. b) Calcular de forma aproimada el valor del número utilizando el polinomio de Maclaurin de f de grado. a) Calculando las sucesivas derivadas, se puede escribir el polinomio de Maclaurin y a continuación la fórmula: n f n) () f n) (0) 0 arctg() 0 0 f '(0) f ''(0) f '''(c) arctg Tn4arctg(), a 0 R n() f (0)!!! c con 0<c<, 0 bien, <c<0 c! b) Sabiendo que 4arctg y sustituyendo =, nos da el valor aproimado de 4f() Dada la función f, se pide: a) Dominio de f. b) Polinomio de Maclaurin de f de grado. c) Calcular de forma aproimada f(-) utilizando el polinomio anterior. d) Dar una acotación del error cometido en el apartado anterior y epresar f(-) sólo con cifras decimales eactas. e) Eiste la fórmula de Taylor de f de algún orden en a =? a) Dominio: (-, ] b) Calculando las sucesivas derivadas, se puede escribir el polinomio de Maclaurin: n f n) () f n) (0) ) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO I 4

5 f '(0) f ''(0) f '''(0) Tn f(),a 0f(0)!!! ! 5! c) Sustituyendo por -: 5 f () ( ) ( ) ( ) d) Acotación del error: 4 4) 4) E() R 4() f (c) f (c), con - <c <0. Luego, 4! 4! 4) cota de f (), en (-, 0): E( ) M 4!, siendo M una Luego, una cota de la derivada cuarta de f en (-, 0) es /. Una cota superior del error es: E( ) M = 4! 4! <f(-)< <f(-)< Por tanto, sólo pueden garantizarse las décimas y f(-) es apro..5, con las cifras decimales eactas. e) No eiste la fórmula de Taylor de f de grado en a = puesto que no eiste la derivada primera de f en : 6.- La medida del radio R de una esfera ha dado 6 cm con una cota de error de 0.0cm. a) Usar diferenciales para aproimar el máimo error porcentual posible cometido al calcular el volumen de la esfera. b) Estimar el máimo error porcentual posible en la medida de R para que el error cometido al calcular el volumen no supere el 0.6%. a) El volumen de una esfera es V= 4/ R 4 e R dr p dv dr 0.0 Eporcentual % V V 4 R R 6 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO I 5

6 b) Eporc < 0,6%, luego procediendo de manera inversa que en el apartado a) 4 e R dr p dv dr dr dr Eporcentual ,% V V 4 R R R R U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO I 6