I) De nición de derivd ) Use l de nición de derivd Universidd del Norte División de Ciencis Básics Deprtmento de Mtemátics y Estdístic Tller de Cálculo I Preprción pr el Tercer Prcil 0-0 f 0 () = lim h!0 f( + h) f() h pr encontrr l derivd de l función dd. ) f() = + ) f() = p ) f() = 4) f() = p + 5) f() = + 6) f() = p b) Use l de nición ltern de l derivd de un función f en dd por pr clculr f 0 () siempre y cundo eist. f 0 f() () = lim! c) Use ls derivds lterles ) f() = + ; = ) f() = j j ; = ) f() = + + ; = 4) f() = = ; = 0 5) f() = cos ; = 6) f() = 0 ; = f 0 () = lim! f() y f+() 0 f() = lim! + pr determinr si l función dd es o no derivble en el o los puntos indicdos. ) f() = < + si 4 ; =, = ) f() = 4 si > < si 0 ) f() = si > 0 () p < si < ; = 0 4) f() = ( ) si ; = ; = 5) Usndo ls derivds lterles determine los vlores de y b pr que l función f se derivble en = < si < f() = + b si d) Usndo el signi cdo de l derivd como l pendiente de l rect tngente f( + h) f() m tn = lim h!0 h Determinr un ecución de l rect tngente en el punto indicdo. ) f() = 4 ; = ) f() = sin ; = ) f() = + ; = 4) f() = p ; = 4
II) Derivción grá c i) En los ejercicios del l 6 relcione l grá c de f con un grá c de f 0 de ) - f). ) b) c) d) e) f) ) ) ) ii) Bosqueje l grá c de f 0 prtir de l grá c de f. 4) 5) 6) ) ) ) 4) 5) 6)
7) ) 9) III) Clculr l derivd usndo ls regls de derivción. Encontrr f 0 () (o dy d ) y simpli que ) y = ( 7)( + 4 + ) ) y = (4 p + )( 6 p ) ) y = ( )( + ) 4) y = 0 + 5) y = + 5 6) y = ++ 7) y = cos ) y = sin 9) y = csc cot 0) y = cos sin ) y = cos sin ) f() = (csc ) ) f() = sin +cos 4) f() = sin n 5) f() = cos n 6) y = ( +7) 4 7) y = ( ) 4 ( + 9) 5 ) y = sin( p ) 9) y = sec( ) 0) y = q ) y = tn + ) f() = sin () cos () ) f() = (sec(4) + tn()) 5 4) f() = sin (4 + ) 5) f() = 4 cos ( p ) 6) f() = h + 4 i 7) y = p + e 5 ) y = 0 9) y = e +e 0) y = e +e e e ) y = e e ) y = e e e 4 ) y = e = +e = 4) y = e 00 5) f() = ln( 4 + + ) 6) f() = ln = 7) f() = ln ) f() = ln + 9) f() = (ln ) 40) f() = ln(4) ln() 4) f() = ln( p 5 + + 6 6 ) 4) f() = ln (+)(+) + 4) f() = ln q (+) 5 4 +7 44) f() = p ln ( p ) 45) f() = ln ( ln ) Del 46 l 54 use derivción logrítmic 46) y = p (+)(+) (+)( 5) 4+ 47) y = + 4) y = ( + )( + )( + ) 49) y = 0p +5 p + 50) y = p + p + 5) y = sin 5) y = ( ) 5) y = (ln jj) 54) y = (sin ) cos
Del 55 l 60 clcul l derivd de ls siguientes funciones trigonométrics inverss 55) f() = rcsin(5 ) 56) f() = rccos + 5) f() = rctn + p + Del 6 l 75 use derivción implicit pr hllr dy d 59) f() = rctn + 57) f() = rcsin + 60) f() = ln rccos p 6) y + 4 = 0 6) y + cos y = 6) ( + y ) 6 = y 64) y = sin( + y) 65) + y = cos(y) 66) rctn y = + y p 67) rcsin y rcsin = 6) ln + y = rctn y 69) y = e +y 70) y = cos (e y ) 7) e + e y = y 7) y = ln(y) 7) + y = ln y 74) +y y = 75) y + y = 5 Del 76 l hllr d y d 76) 4y = 6 + 77) y = 5 7) + y = sin y 79) 4 + 4y = 6 0) + y = 7 ) y 4 = 5 IV) Aplicciones geométrics de l derivd A) Encuentre un ecución de l rect tngente en el vlor indicdo ) f() = + ; = ) f() = ( + cos(4)) ; = ) 4 + y = 4; ( ; ) 4) + y = ; = 5) f() = rctn ; = 6) f() = rcsin( ); = 7) f() = (e + ) ; = 0 ) f() = + ; = 9) f() = ln e ; = 0) f() = (ln ) ; = e B) Encuentre el o los puntos de l grá c donde l rect tngente es horizontl ) y = 4 + ) y = + cos ) y + y = 4) f() = ln 5) f() = ln 6) f() = 4 4 5 + C) Encuentre el o los puntos sobre l grá c de l función dd, donde l rect tngente teng l pendiente indicd o l propiedd indicd. ) y = ( + )( + 5); m = ) y = +4 +5 ; perpendiculr y = ) y = e ; prlel y = 7 4) f() = 5 sin ; 0 ; prlel y = p + 5) y = ; perpendiculr y + 5 = 0 6) y = + + ; m = D) Ejercicios vridos de plicción de l derivd. ) Encuentre l función cudrátic f() = + b + c tl que f( ) =, f 0 ( ) = 7 y f 00 ( ) = 4. ) Encuentre los vlores de b y c de modo que l grá c de f() = + b teng l rect tngente y = + c en =. 4
) Determine los intervlos donde f 0 () > 0 y los intervlos donde f 0 () < 0 ) f() = + 4 b) f() = + 9 4) Determine los intervlos donde f 00 () > 0 e intervlos donde f 00 () < 0 ) f() = ( ) b) f() = + 5) Encuentre el punto o los puntos sobre l grá c de f donde f 00 () = 0 ) f() = + + 0 b) f() = 4 6) Encuentre un ecución de l(s) rect(s) que ps(n) por ; y es (son) tngente(s) l grá c de f() = ++ 7) Encuentre el vlor de k tl que l rect tngente l grá c de f() = k+ tiene pendiente 5 en =. V) L derivd como rzón de cmbio ) L función de posición de un objeto, que se dej cer desde un ltur de 5 m, respecto l suelo es s(t) = 4; 9t + 5 donde s se mide en metros y t en segundos. ) Cuál es l velocidd instntáne en t =? b) En qué instnte l pelot golpe l suelo? c) Cuál es l velocidd de impcto? ) Al ignorr l resistenci del ire, si un objeto se dej cer desde un ltur inicil h, entonces su ltur por rrib del nivel del suelo en el instnte t > 0 está dd por s(t) = gt + h, donde g es l celerción de l grvedd. ) En qué instnte el objeto choc contr el suelo? b) Si h = 00 pies, compre los instntes de impcto pr l Tierr (g = pies=s ), Mrte (g = pies=s ) y l Lun (g = 55 pies=s ). c) Hllr l velocidd instntáne v en el instnte generl t. d) Use los instntes encontrdos en el inciso b) y l fórmul encontrd en el inciso c) pr clculr ls velociddes de impcto correspondientes pr l Tierr, Mrte y l Lun. ) El volumen V de un esfer de rdio r es V = 4 r. Encuentre el áre super cil S de l esfer, si S es l rzón de cmbio instntneo del volumen respecto l rdio. 4) Según el físico frncés Jen Louis Poiseuille (799 69), l velocidd v del ujo snguíneo en un rteri cuy sección trnsversl circulr es constnte de rdio R es v(r) = P 4l (R r ), donde P, y l son constntes. Cuál es l velocidd de ujo snguíneo en el vlor r pr el cul v 0 (r) = 0? 5) L ley de grvitción universl estblece que l fuerz F entre dos mss m y m seprd por un distnci r es F = Km m donde K es un constnte. Cuál es l rzón de cmbio instntáneo de F respecto r cundo r = r km? 5