Cálculo integrl Betriz Cmpos Sncho Cristin Chirlt Monleon Deprtment de mtemàtiques Codi d ssigntur 35 Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64-
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Índice generl. INTEGRACIÓN EN R 5.. LA INTEGRAL DE RIEMANN.................. 5... Teorí básic........................ 7... Propieddes de l integrl de Riemnn............3. El teorem fundmentl del cálculo..............4. Ejercicios de l sección.................. 7.. APLICACIONES DE LA INTEGRAL.............. 7... Cálculo de áres de figurs plns............. 7... Cálculo de volúmenes......................3. Aplicciones físics de l integrl............. 7..4. Ejercicios de l sección.................. 33.3. INTEGRALES IMPROPIAS................... 34.3.. Integrles sobre intervlos no cotdos.......... 35.3.. Integrles sobre intervlos no cerrdos.......... 38.3.3. Integrles de funciones no cotds en intervlos compctos............................ 4.3.4. Propieddes de ls integrles impropis.......... 4.3.5. Criterios de convergenci.................. 43.3.6. Convergenci bsolut................... 46.3.7. Ejercicios de l sección.3................. 47. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE 49.. LA INTEGRAL DOBLE...................... 49... L integrl doble como límite de sums de Riemnn... 5... Propieddes de ls integrles dobles............ 5..3. Cálculo de integrles dobles................ 53..4. L integrl doble sobre regiones más generles...... 56..5. Integrles dobles en coordends polres......... 66..6. Cmbios de vribles en integrles dobles......... 7..7. Aplicciones de l integrl doble.............. 77..8. Ejercicios de l sección.................. 83.. LA INTEGRAL TRIPLE..................... 85... L integrl triple como límite de sums de Riemnn... 85... Cálculo de integrles triples................ 86..3. Propieddes de ls integrles triples............ 9..4. Cmbio de vribles en integrles triples......... 96..5. Aplicciones de l integrl triple.............. 3 Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- c UJI
..6. Ejercicios de l sección................. 8 3. INTEGRACIÓN SOBRE CURVAS Y SUPERFICIES 3.. INTEGRALES DE CAMINO................... 3... Definiciones y ejemplos................... 3... Integrles de cmino.................... 7 3..3. Propieddes de ls integrles de cmino.......... 3..4. Aplicciones de ls integrles de cmino......... 3..5. Ejercicios de l sección 3.................. 3 3.. INTEGRALES DE LÍNEA..................... 4 3... Independenci del cmino. Cmpos conservtivos.... 3 3... Ejercicios de l sección 3.................. 38 3.3. EL TEOREMA DE GREEN.................... 39 3.3.. Ejercicios de l sección 3.3................. 43 3.4. LA INTEGRAL DE SUPERFICIE................ 44 3.4.. Superficies en R 3...................... 44 3.4.. Áre de un superficie................... 5 3.4.3. Integrles de superficie de funciones esclres....... 54 3.4.4. Aplicciones de ls integrles de superficie de funciones esclres........................... 56 3.4.5. Integrles de superficie de funciones vectoriles...... 57 3.4.6. Ejercicios de l sección 3.4................. 63 3.5. TEOREMA DE STOKES Y TEOREMA DE LA DIVERGENCIA64 3.5.. Teorem de Stokes..................... 64 3.5.. Teorem de l divergenci................. 68 3.5.3. Ejercicios de l sección 3.5................. 7 A. GRÁFICAS EN COORDENADAS POLARES 73 B. SUPERFICIES EN R 3 79 Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 3 c UJI
Prólogo El mteril que continución presentmos brc un curso completo de Cálculo Integrl. Está bsdo en los contenidos de l signtur Fundmentos Mtemáticos II de l titulción de Ingenierí Industril; por ello, v dirigido principlmente lumnos de Ingenierí, tnto de ls ntigus titulciones como de los nuevos grdos. L intención de ls utors h sido elborr un mteril didáctico de fácil comprensión. Pr ello, hemos incluido tod l teorí necesri, prescindiendo de ls demostrciones de los resultdos, junto con un colección de ejemplos resueltos, explicdos pso pso y compñdos de gráfics y dibujos, tn necesrios pr l visulizción y comprensión de los problems plntedos. Los contenidos están estructurdos en tres tems: integrción en un vrible, integrción múltiple e integrción sobre curvs y superficies. Como complemento, se incluyen dos péndices; en el primero de ellos se recuerd cómo dibujr gráfics en coordends polres y en el segundo se ofrece un recopilción de ls ecuciones y gráfics de ls superficies de R 3 más hbitules. En cd tem encontrmos l teorí básic y resultdos necesrios correspondientes, sí como un serie de ejemplos resueltos, que espermos se de grn yud l lumno en su prendizje. A lo lrgo del texto, se hn utilizdo motivciones bsds en ejemplos físicos de modo que los conceptos mtemáticos introducidos resulten identificbles y fmilires. Al finl de cd sección, se plnte un colección de ejercicios, compñdos de l solución, pr ser resueltos por el lumno. Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 4 4 c UJI
TEMA INTEGRACIÓN EN R INTRODUCCIÓN En este tem comenzmos estudindo el concepto de integrl de Riemnn en un vrible de un modo constructivo. Entender bien l integrl de Riemnn como un sum infinit nos permitirá generlizrl y definir en los siguientes tems l integrl pr vris vribles y ls integrles de líne y de superficie. Los objetivos de este tem son: Entender el concepto de integrl de Riemnn. Deducir fórmuls pr resolver determindos problems plicndo este concepto, como cálculo de áres, volúmenes de revolución, plicciones físics. Extender l definición de integrl pr poder llevr cbo el estudio de integrles impropis... LA INTEGRAL DE RIEMANN Ide intuitiv del concepto de integrl. El concepto de integrl surge l formlizr un concepto sencillo e intuitivo, el de medid, como por ejemplo longitud, áre o volumen. Consideremos el problem consistente en clculr el áre de un región pln. Pr resolverlo, vmos utilizr un técnic similr l que usron los ntiguos griegos bsándose en que dich áre qued encjd entre dos polígonos de áre conocid, uno inscrito y otro circunscrito. De este modo, el áre del polígono inscrito nos d un vlor proximdo del áre por defecto y l del polígono circunscrito nos d un vlor proximdo del áre por exceso. El vlor excto del áre buscd qued entre mbos. Tomndo polígonos inscritos y circunscritos cd vez más próximos dich región, ls proximciones de ls áres se cercn cd vez más l áre. Un proceso de límite nos permite llegr l vlor excto. Est técnic se conoce como principio de exhución de Arquímedes. Ocurre que no tods ls figurs plns tienen áre, y que el principio de exhución no permite determinr un número único, que esté comprendido entre ls proximciones por exceso y por defecto y por ello se introduce el concepto de integrl. B. Cmpos/C. Betriz Cmpos Chirlt / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 5 Cálculo integrl - c UJI UJI
y f x Áre b x y y Sums por exceso Sums por defecto x x y x Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 6
y Sums de Riemnn y x x Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 7
que l función considerd f(x) >. Más delnte veremos l generlizción pr el cso en que f(x) < o cmbie de signo en el intervlo que consideremos. Definición.. Ddo un intervlo compcto (es decir, cerrdo y cotdo) [, b] R, se llm prtición de [, b] culquier conjunto finito de números reles P = {x, x,, x i, x i,, x n } que verifique = x < x < < x i < x i < < x n = b. = x X X.. X i- X i X i+.. b = x n Figur.5: Prtición de un intervlo. De est form [, b] qued dividido en n subintervlos que corresponderín ls bses de los rectángulos. [x i, x i ] es el intervlo i-ésimo de l prtición. Llmmos mplitud del intervlo i-ésimo x i = x i x i. Se denomin diámetro P de l prtición P l myor de ls mplitudes x i, P = mx { x, x,, x n }. Si tods ls mplitudes son igules, se dice que P es un prtición regulr y en este cso el diámetro de l prtición es P = b. Se verific demás n que P implic que n. Ejemplo.. Ddo el intervlo [, ] tommos un prtición regulr en 5 subintervlos definid por, P = {, 6 5, 7 5, 8 5, 9 5, }. Como l prtición es regulr todos los intervlos tienen l mism mplitud y su diámetro es P = ( )/5 = /5. Definición.. Dd un prtición P = { = x, x,, x i, x i,, x n = b}, se llm fmili de puntos intermedios T un conjunto de puntos tles que t i [x i, x i ]. T = {t, t,, t i,, t n } Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 8 8 c UJI
y f t 4 f t f t f t 3 t t t 3 t 4 x Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 9
y y x 3 x 8 6 4 3 Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64-
... Propieddes de l integrl de Riemnn () Linelidd. Si f y g son dos funciones reles, integrbles en [, b], entonces tmbién es integrble l función hf + kg pr culesquier h, k R y demás b (hf + kg) = h b f + k () Integrbilidd del producto y del cociente. Sen f y g reles e integrbles en [, b]. Entonces: () f g es integrble en [, b]. b g. (b) f g es integrble en [, b] si g(x) =, x [, b]. (3) Monotoní. Si f y g son integrbles en [, b] y si se cumple f(x) g(x) cundo x b entonces b f b g. En prticulr, si f(x), entonces b f. (4) Integrbilidd del vlor bsoluto. Si f es integrble en [, b], entones f es integrble en [, b] y se verific: b b f f. Not.. Entendemos por f l función vlor bsoluto definid como f(x) si f(x) f(x) = f(x) si f(x) <. (5) Aditividd respecto del intervlo de integrción. Se f cotd en [, b] y c ], b [. Entonces f es integrble en [, b] si y sólo si lo es en [, c] y en [c, b]. En este cso se cumple: b f = c f + Est propiedd constituye l bse pr lguns convenciones de notción; sí, si cmbimos los límites de integrción cmbi el signo de l integrl, es decir, f = b f. Cundo los límites de integrción son igules l b integrl vle, esto es, f =. (6) Composición de funciones. Se f : [, b] R y ϕ : [α, β] R, tles que f es integrble en [, b] y ϕ es de clse C en [α, β]. Si demás ϕ([α, β]) [, b], entonces l función compuest f ϕ : [α, β] R es integrble en [α, β]. Not.. Un función se dice que es de clse C en el intervlo [, b] si es continu y demás existe su derivd primer y tmbién es continu en [, b]. b c f. c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64-
y y M m b x f c b x Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64-
y F x x x Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 3
Est función F tiene lguns propieddes importntes que dependen de l función que se integr: Teorem.. Si f es integrble sobre un intervlo compcto, entonces F es continu sobre dicho intervlo. Teorem.3 (Primer teorem fundmentl del cálculo). Si f es continu en [, b], entonces F es derivble en [, b] y su derivd es F (x) = f(x) pr culquier x [, b]. Notemos que F (x) = d x f(t)dt = f(x), independientemente del vlor dx que tome. Además cundo f es continu (condición que exige el teorem fundmentl del cálculo) los conceptos de primitiv e integrl indefinid coinciden, unque se hyn definido de form distint. Luego, si f es continu, dmite primitivs pero si dej de ser continu en lgún punto del intervlo, unque sig siendo integrble (y por tnto dmite integrl indefinid) puede no dmitir primitiv. Ejemplo.6. Se l función signo de x : si x > f(x) = sg(x) = si x = si x <. (.) Comprobemos que f dmite integrl indefinid en R pero no primitiv. Solución. L función signo de x dmite integrl indefinid dd por: F (x) = x sg(t)dt pr integrr est función integrremos cd trozo de l función sg(x) definid en (.), esto es: x si x > si x = x si x < que corresponde l función vlor bsoluto x, x R. f x 3..5. 6 4 4 6.5..5 F x 3 3 Gráfics de f(x) = sg(x) y de F (x) = x. Pero F (x) = x no es primitiv de f(x) en R, y que no es derivble en x =. Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 4 4 c UJI
Un consecuenci inmedit del primer teorem fundmentl del cálculo es que nos proporcion un método práctico pr clculr integrles, es decir, pr hllr primitivs. Vemos un corolrio pr el que se supone conocid l existenci de primitivs. Corolrio. (Regl de Brrow). Si f : [, b] R es continu en el intervlo de definición y si G : [, b] R es un primitiv de f en dicho intervlo, entonces se verific que: b f(x)dx = G(b) G() que denotremos por [G(x)] x=b x=. Est dificultd esencil referente l existenci de funciones primitivs no impide estblecer que, bjo determinds condiciones, l regl de Brrow se sig cumpliendo unque f no se continu. Teorem.4 (Segundo teorem fundmentl del cálculo). Se l función f : [, b] R integrble en el intervlo compcto [, b] y se G : [, b] R un primitiv de f en [, b], entonces se verific: b f(x)dx = G(b) G(). Ejemplo.7. Resolvmos ls siguientes integrles:. π sin x dx = [ cos x]x=π x= = cos π + cos = + =.. xn dx siendo n =. x n+ x= xn dx = = n + n + = n +. 3. dx x 4. x ex dx = 5. π x= = [ln x]x= x= = ln ln = ln. x sin x dx. x= ex = (e e ) = (e ). x= L primitiv de f(x) = x sin x es, plicndo integrción por prtes, F (x) = x cos x + sin x, por tnto 6. 9 π x( + x) dx. x sin x dx = [ x cos x + sin x] x=π x= = π. Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 5 5 c UJI
L primitiv de f(x) = es, plicndo el cmbio x = x( + x) t y volviendo deshcerlo, F (x) = +, por tnto: x 9 dx = x( + x) + x 9 =. L integrción por prtes y por cmbio de vrible se puede plicr directmente pr ls integrles definids utilizndo ls proposiciones siguientes: Proposición. (Integrción por prtes). Sen u y v funciones reles de clse C en el intervlo compcto [, b], entonces se verific: b Ejemplo.8. Clculemos π b u(x)v (x)dx = [u(x)v(x)] x=b x= u (x)v(x)dx. x sin x dx. Solución. Tommos u(x) = x y v (x) = sin x, por tnto u (x) = y v(x) = cos x. Aplicndo l fórmul de integrción por prtes tenemos: π π x sin x dx = [ x cos x] x=π x= + cos x dx = π + [sin x] x=π x= = π. Proposición.3 (Integrción por cmbio de vrible). Se f un función integrble en [, b] y se ϕ un función de clse C en [α, β] con α = ϕ (), β = ϕ (b) y ϕ([α, β]) = [, b]. Entonces se verific: b f(x)dx = β α f(ϕ(t))ϕ (t)dt. Not.4. Al hcer un cmbio de vrible x = ϕ(t) implic que t = ϕ (x). De ello se deriv que tenemos que cmbir tmbién los límites de integrción pr l nuev vrible t. Ejemplo.9. Clculemos 9 x( + x) dx. Solución. Consideremos el cmbio x = ϕ(t) = t, luego t = ϕ (x) = x. Entonces x = le corresponde un vlor t = = y x = 9 le corresponde t = 9 = 3, luego: 9 x( + x) dx = 3 t=3 = = + t t=. t( + t) t dt = 3 ( + t) dt c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 6 6
..4. Ejercicios de l sección.. Cómo explicrís que un función continu trozos en un intervlo [, b] se integrble en dicho intervlo?. Cómo clculrís el áre encerrd entre un función f, el eje X y ls rects x = y x = b si f tom vlores negtivos en el intervlo [, b]? 3. Clcul ls siguientes integrles definids: () ex (x + x) dx. (Solución: e) (b) π 8 cos3 x dx. (Solución: 6). 3 (c) 3 x + x + x + dx. (Solución: + ln ). 4 (d) x 3 x dx. (Solución: 3 3 ). (e) e x ln x dx. (Solución: ( + 9 e3 )). (f) 4 x dx. (Solución: +π )... APLICACIONES DE LA INTEGRAL Al principio del tem se introdujo l integrl con el fin de obtener el áre de un figur pln. Como veremos continución no sólo se puede usr l integrl en el cálculo de áres de figurs plns, sino que tmbién nos permite clculr volúmenes de sólidos de revolución l menos en determindos csos de prticulr interés. Además de ls plicciones geométrics tmbién result interesnte mostrr lguns plicciones físics utilizds en el ámbito de l ingenierí.... Cálculo de áres de figurs plns Vemos cómo poner en práctic el cálculo de áres de figurs plns siguiendo cierts norms dds en l introducción del tem.. Áre entre un curv y el eje de bciss. Dd un función f : [, b] R continu en [, b], el conjunto C R limitdo por l curv y = f(x), el eje de bciss y ls rects x = y x = b tiene áre y ést vle: A(C) = b f(x)dx si f(x), x [, b] b f(x) dx si f(x) < o si el signo de f(x) cmbi un número finito de veces en [, b]. El método pr integrr l función f(x) se reduce : () Integrr l función f(x) en el intervlo [, b] si f(x) < pr todo x R. c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 7 7
3 3 4 6 8 Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 8
. Áre encerrd entre dos curvs. Consideremos f y g dos funciones continus en el intervlo compcto [, b]. El conjunto C limitdo por l curv y = f(x), l curv y = g(x) y ls rects x = y x = b, tiene áre dd por l integrl, A(C) = b f(x) g(x) dx. El método pr integrr f(x) g(x) se reduce : () Integrr l función f(x) g(x) si f(x) g(x) > en todo el intervlo [, b]. () Integrr l función g(x) f(x) si f(x) g(x) < en todo el intervlo [, b]. (3) Si el signo de f(x) g(x) cmbi en el intervlo [, b] un número finito de veces, resolvemos l ecución f(x) g(x) =. Integrmos f g en los intervlos donde f g >, es decir, l gráfic de f está por encim de l gráfic de g, e integrmos g f en los intervlos en los que f g <, es decir, l gráfic de f está por debjo de l gráfic de g, independientemente de l situción de mbs gráfics respecto del eje de bciss. Finlmente summos los vlores positivos obtenidos en cd integrl. Not.6. Igul que ntes plntemos un lterntiv estos csos que es usd en l práctic consiste en clculr b (f g) en los csos () y (). En el cso (3) clculmos x x (f g) + b (f g) + + (f g) x x n siendo x, x,, x n los puntos de corte de f y g en el intervlo [, b]. Not.7. En lgunos de estos csos l resolución de l integrl se simplific si considermos ls funciones x = h(y), x = k(y) recíprocs de y = f(x) e y = g(x) respectivmente, e integrmos respecto de y. A continución vemos un ejemplo que ilustr este cso. Ejemplo.. Hllemos el áre comprendid entre ls gráfics de ls funciones f(x) = 3x 3 x x y g(x) = x + x. Solución. En primer lugr obtenemos los puntos de corte de mbs curvs: 3x 3 x x = ( x + x), es decir, 3x 3 x =, por tnto, x =, x =, x =. c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 9 9
6 f x 4 g x 4 6 8 Áre comprendid entre f(x) y g(x). En el intervlo [, ] se tiene que f > g y en el intervlo [, ] se tiene que f < g; por tnto, A = f(x) g(x) dx = (f(x) g(x))dx + (g(x) f(x))dx = (3x3 x)dx + ( 3x3 + x)dx = + = 4 u.. Ejemplo.. Clculemos el áre de l región limitd por l gráfic de y = x y l de x = 3 y. Solución. En este cso, considermos los rectángulos representtivos horizontles, es decir, considermos ls funciones x = f(y) = y + y x = g(y) = 3 y que se cortn pr y = e y =, es decir, en los puntos (, ) y (,.). 3 g y 3 4 f y Áre comprendid entre l rect y l prábol. Entonces, el áre vendrá dd por: A = (3 y ) (y + ) dy = ( y y + )dy = 9 u.. Ejercicio.. Hll el áre comprendid entre ls curvs y = sin x y y = cos x en, π. (Solución: ( ) u..). Ejercicio.3. () Clcul el áre encerrd por l elipse x 9 + y 4 =. (Solución: 6π u..). Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- c UJI
(b) Clcul el áre encerrd por l elipse x + y b =. (Solución: π b u..).... Cálculo de volúmenes Pr el cálculo de volúmenes se suelen utilizr ls integrles dobles y triples. Sin embrgo, existen determindos sólidos, los cuerpos de revolución, cuyo volumen se puede clculr de un modo sencillo utilizndo integrles simples. Los sólidos de revolución precen frecuentemente en ingenierí y en procesos de producción (ejes, embudos, pilres, botells, émbolos y otros). Estos cuerpos se obtienen l girr un región del plno lrededor de un eje llmdo eje de revolución. Estudimos dos métodos pr clculr este tipo de volúmenes, l integrción por discos y l integrción por cps, utilizndo cd uno de ellos según se más conveniente pr el desrrollo del problem.. Método de los discos. Consideremos un región pln sencill: un rectángulo poydo sobre el eje de giro. Al girr lrededor del eje de revolución d lugr un cilindro circulr recto o disco, tl y como prece en l Figur.. R Figur.: Disco generdo por l revolución de un rectángulo. Si R es el rdio y w l nchur del disco, entonces el volumen del disco viene ddo por: V = πr w. L expresión nterior nos será útil pr hllr el volumen de un sólido de revolución más generl. Consideremos l región pln limitd por l gráfic de y = f(x), el eje de revolución y ls rects x = y x = b y supongmos que queremos clculr el volumen del sólido de revolución engendrdo l girr dich región lrededor del eje de revolución (Figur.). c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64-
R x b Figur.: Sólido generdo por l revolución del áre bjo un curv. Podemos llegr l integrl medinte sums de Riemnn. Pr ello: Tommos un prtición del intervlo [, b] que lo divid en n subintervlos igules [x i, x i ]. Pr cd uno de estos subintervlos, considermos un rectángulo de bse: x i = x i x i y ltur R(c i ) con c i [x i, x i ]. Al girr lrededor del eje de revolución d lugr un disco cuyo volumen es: V i = π(r(c i )) x i. Sumndo los volúmenes de estos discos obtenemos un vlor proximdo del volumen del sólido de revolución (Figur.), V n π(r(c i )) x i, (sums de Riemnn). i= Figur.: Aproximción del volumen medinte discos. Tomndo límite cundo n, tendremos el vlor excto, si existe, obteniéndose l siguiente integrl: V = lím n n π(r(c i )) x i = π i= b (R(x)) dx. Si el eje de revolución es el eje X, entonces R(x) viene ddo por f(x) y se tiene: V = π b (f(x)) dx. Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- c UJI
Un expresión similr se obtiene cundo girmos lrededor de un eje verticl en el intervlo [c, d], en cuyo cso ls funciones considerds dependen de y: V = π d c (R(y)) dy y R(y) Cundo l región que gir no poy sobre el eje de revolución se gener un sólido con gujero. En este cso, dich región está comprendid entre dos curvs continus y = f(x) e y = g(x) donde f(x) g(x), x [, b]. Entonces, l volumen del sólido generdo por l región limitd por l curv más lejn l eje de revolución le restremos el volumen del gujero, generdo por l curv más cercn: V = V g V f = π b (R(x)) (r(x)) dx r(x) R(x) En el cso en que el eje de revolución se el eje X, se tendrá: y g(x) V = π b (g(x)) (f(x)) dx f(x) x Ejemplo.3. Clculemos el volumen del sólido de revolución generdo l girr l región pln limitd por l gráfic de f(x) = 3x x y el eje X, pr x 3, lrededor del eje X..4...8.6.4..5..5..5 3. Región pln bjo l gráfic de f(x) = 3x x. Solución. Puesto que el eje de revolución es el eje de bciss, el sólido generdo Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 3 3 c UJI
es un bol de dimensión 3 y su volumen viene ddo por: V = π 3 (f(x)) dx = π 3 ( 3x x ) dx = π 3 3x 3 (3x x )dx = π x3 = 9π 3 u.v. Ejemplo.4. Clculemos el volumen del sólido de revolución generdo l girr l región pln comprendid entre ls gráfics de f(x) = x y g(x) = en torno l rect y =...5..5 eje de revolución.5 Región pln entre ls gráfics de f(x) y g(x). Solución. En este cso, como el eje de revolución es l rect y =, el rdio de cd rectángulo representtivo vendrá ddo por R(x) = f(x). Además, dichs gráfics cortn en los puntos de bcis x = y x =. Luego, V = π ( x ) dx = π (x4 x + )dx x 5 = π 5 x3 3 + x = 6π u.v. 5 Ejemplo.5. L región R cotd por ls curvs y = x e y = x gir lrededor del eje X. Clculemos el volumen del cuerpo resultnte. Solución. Se trt de un sólido de revolución con gujero..5..5 eje de revolución.5..5.5..5..5 Región cotd por ls curvs y = x e y = x. Ambs curvs se cortn en los puntos de bciss x = y x =, por tnto: V = π [(R(x)) (r(x)) ] dx = π (x x4 ) dx x = π x5 = 3π 5 u.v. Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 4 4 c UJI
Ejercicio.4. Un mecánico perfor un gujero trvés del centro de un esfer de metl de 5 cm de rdio. El gujero tiene 3 cm de rdio, cuál es el volumen del nillo resultnte? (Solución: 56π 3 cm 3 ).. Método de ls cps o tubos. Un método lterntivo pr clculr volúmenes de sólidos de revolución es el que emple cps cilíndrics. Pr introducir este método considermos el rectángulo representtivo como el de l Figur.3, es decir prlelo l eje de revolución, siendo w l nchur del rectángulo, h su ltur y p l distnci del centro del rectángulo l eje de revolución, que llmremos rdio medio. Cundo el rectángulo gir lrededor del eje de revolución engendr un cp cilíndric de nchur w cuyo volumen será el volumen del cilindro exterior menos el volumen del cilindro interior, esto es, V (cp cilíndric) = π p + w h π p w h = π p h w. h p Figur.3: Cp cilíndric o tubo generdo por l revolución de un rectángulo. Est fórmul nos permite clculr el volumen del sólido de revolución del siguiente modo: supongmos un región pln cotd superior e inferiormente por ls rects y = c e y = d, que gir lrededor de un eje horizontl engendrndo un sólido (Figur.4). Procedemos de modo nálogo l cso de los discos construyendo l integrl medinte sums de Riemnn. Tommos un prtición del intervlo [c, d] en n subintervlos igules [y i, y i ]. d g(y) c p(y) L(y) y Figur.4: Aproximción de un volumen medinte cps cilíndrics. c UJI 5 Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 5
Aproximmos l región medinte rectángulos de modo que cd rectángulo, de nchur y i = y i y i, se prlelo l eje de revolución. Al girr l región, cd rectángulo gener un cp de volumen: con c i [y i, y i ]. V i = πp(c i )h(c i ) y i Podemos proximr el volumen totl medinte l sum de ls cps (ver Figur.4): n V πp(c i )h(c i ) y i. i= Tomndo límite cundo n +, tenemos V = lím n + n π p(c i )h(c i ) y i = π i= Si el eje de revolución es verticl l fórmul será, V = π b p(x)h(x)dx. d c p(y)h(y)dy. Si el eje de revolución es el eje Y, entonces p(x) = x y si demás l región se encuentr sobre el eje x entonces h(x) = f(x), por tnto: y x V = π b xf(x)dx. p(x) = x h(x) = f (x) x Ejemplo.6. Clculemos el volumen del sólido generdo l girr l región cotd por ls gráfics de y = x +, y =, x = y x =, lrededor del eje Y. Solución. Considerndo el método de ls cps, tenemos que pr cd rectángulo representtivo l distnci de éste l eje Y viene dd por p(x) = x y su ltur viene dd por h(x) = f(x) = x +, 3 eje de revolución 3 Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 6 6 c UJI
por tnto: V = π x x(x 4 + )dx = π 4 + x = π 4 + = 3π u.v. Notemos que este volumen tmbién se puede clculr medinte el método de los discos, pero en este cso hbrí que hcer dos integrles. Ejemplo.7. Clculemos el volumen del sólido generdo l girr l región limitd por ls gráfics y = x 3 + x +, x = e y = lrededor de l rect x =. Solución. En este cso recurrimos l método de ls cps debido l dificultd que plnte despejr x en l ecución y = x 3 + x + pr plicr el método de los discos. Dibujndo l gráfics, observmos que l distnci de cd rectángulo representtivo l eje x = viene dd por p(x) = x y su ltur viene dd por h(x) = f(x) = x 3 + x, 5 4 Eje de revolución 3 3 por tnto: V = π ( x)(x3 + x) dx = π (x3 + x x 4 x ) dx = π x5 5 + x4 x3 3 + x = 9π 5 u.v. Ejercicio.5. Se diseñ un flotdor cuy form se obtiene rotndo l gráfic de y = x, 4 x 4, lrededor del eje X, donde se mide x e y 6 en dm. Clcul el volumen del flotdor. (Solución: 64π 5 dm3 )...3. Aplicciones físics de l integrl. Trbjo relizdo por un fuerz vrible. El concepto de trbjo es importnte pr los científicos e ingenieros l hor de determinr l energí necesri pr relizr diferentes tres físics; por ejemplo, es útil conocer l cntidd de trbjo relizdo cundo un grú Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 7 7 c UJI
elev un vig de cero, cundo se comprime un muelle, cundo se lnz un cohete o cundo un cmión trnsport un crg por un crreter. En primer lugr, consideremos un fuerz constnte en cd punto, que mueve un cuerpo en su mism dirección rectilíne un distnci d, entonces el trbjo relizdo por dich fuerz viene ddo por W = F d (Figur.5). F d Figur.5: Fuerz constnte y en l mism dirección que el desplzmiento. Pero l fuerz F puede vrir conforme el objeto cmbi de posición (por ejemplo, l comprimir o estirr un muelle). Supongmos que queremos clculr el trbjo necesrio pr mover un cuerpo lo lrgo de un líne rect desde x = hst x = b debido un fuerz F (x) que vrí continumente. Rzonmos de form nálog los csos nteriores de cálculo de áres y de volúmenes pr llegr l concepto de integrl. Pr ello utilizmos ls sums de Riemnn y los correspondientes principios físicos. Tommos un prtición regulr del intervlo [, b]. Pr cd uno de los n subintervlos [x i, x i ] considermos c i un punto culquier de dicho subintervlo y clculmos F (c i ). Pr pequeños vlores de x i l fuerz se consider con vriciones mínims y es prácticmente constnte, sí pues el trbjo pr mover dicho cuerpo desde x i hst x i viene ddo por W i = F (c i ) x i. Podemos proximr el trbjo totl desde x = hst x = b medinte l sum: n W F (c i ) x i. i= Tomndo límite cundo n +, obtenemos, si existe el vlor buscdo, W = lím n + n F (c i ) x i = i= b F (x)dx. Ejemplo.8. Pr estirr un muelle desde su posición nturl 3 hemos relizdo un fuerz de N, clculemos qué trbjo debemos relizr pr estirrlo 3 más. Solución. Por l ley de Hooke, el muelle ejerce un fuerz contrri l sentido de l deformción, dd por F (x) = k x, donde k es un constnte positiv crcterístic del muelle. Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 8 8 c UJI
Podemos determinr k con los dtos del problem plicndo l ley nterior: = k, por tnto, k = 3 N/m. 3 Así, el trbjo pr estirr el muelle desde l posición hst l posición 3 será: 3 3 x /3 W = 3 x dx = 3 = 5 N m. 3 /3 Ejercicio.6. Si un módulo espcil pes 5 tonelds (T ) en l superficie terrestre, Cuánto trbjo exige elevrlo un ltur de 8 mills?. No se tendrá en cuent l resistenci del ire ni el peso del combustible (Rdio Tierr 4 mills). (Solución:, T -mill).. Vcido de depósitos. Consideremos un depósito lleno hst d m por debjo del borde, de un líquido homogéneo que pes w N/m 3 (Figur.6). Supongmos que se bombe líquido desde l prte superior hst que el nivel del líquido desciende c m por debjo del borde. Queremos clculr cuál es el trbjo relizdo. d h(y) d A(y) c Figur.6: Vcido de un depósito. En l resolución del problem utilizmos l siguiente notción: A(y): áre de un sección trnsversl, h(y): ltur l que hy que elevr el líquido, pr cd y [c, d]. Construimos ls sums de Riemnn que dn lugr l integrl correspondiente l vcido de depósitos. Tommos un prtición regulr de [c, d]. Pr cd subintervlo [y i, y i ] se c i un punto intermedio de dicho subintervlo. El volumen del estrto correspondiente es: V i = A(c i ) y i. El peso de dicho estrto es: w V i. Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 9 9 c UJI
El trbjo que hy que relizr pr bomber este estrto es: W i = w A(c i ) h(c i ) y i. Un vlor proximdo del trbjo totl viene ddo por l sum de los trbjos relizdos pr bomber todos los estrtos del líquido y el vlor excto se obtiene medinte el límite, si existe, cundo n + de dich sum, es decir: W = lím n n wa(c i )h(c i ) y i = i= d c w A(y) h(y) dy. Ejemplo.9. El tnque cónico de l Figur.7 se llen hst m del tope con un ceite que pes w N/m 3, hllemos el trbjo que se requiere pr bomber todo el ceite hst el borde del tnque. x= y= x Figur.7: Tnque cónico. Solución. Considerndo los ejes de coordends como en l Figur.7, se tiene que A(y) = π( y ) y h(y) = y. Puesto que el tnque está lleno hst m del borde superior, hy que bomber el ceite que ocup l región desde y = hst y = 8, por tnto: W = 8 w π ( y ) ( y) dy = w π 4 8 (y y 3 ) dy = w π 4 y 3 3 8 y4 = w π 4 4 (48 3 ) = 5 wπ N m. 3 Ejercicio.7. Un depósito de gu semiesférico de m de rdio se vcí medinte bombeo. Hll el trbjo relizdo cundo el nivel del gu desciende de 4 m por debjo de l prte superior del depósito (densidd del gu: ω = 4 N/m 3 ). (Solución: 54π KN m). Ejercicio.8. Un tnque cónico lleno de gu repos sobre su bse que está nivel del suelo siendo su eje verticl. El tnque tiene un rdio de 5 m y un ltur de m. Clcul el trbjo relizdo pr vcir el gu del depósito hst el borde superior, si l densidd del gu es de 4 N/m 3. (Solución: 65π 4 KN m). 3 c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 3
3. Fuerz ejercid por un fluido. Un de ls plicciones de este prtdo es l presión que se ejerce sobre un pred sumergid verticlmente, por ejemplo l fuerz que se ejerce sobre un pres. L Ley de Pscl es l que rige este principio: si se sumerge un objeto en un líquido, éste experiment un fuerz del líquido que le rode. Si l superficie está sumergid horizontlmente l fuerz es F = P A, siendo l presión P proporcionl l profundidd del objeto en el fluido, es decir, P = w h, donde w l densidd del líquido y h l profundidd del objeto. Por tnto, F = w h A, siendo A el áre de dicho objeto. Est ley es muy utilizd en hidráulic y neumátic. Fue uno de los principios que se utilizó pr diseñr l prens hidráulic. Pero si l superficie está sumergid verticlmente en el fluido como en l Figur.8, entonces l presión ejercid sobre l superficie no es constnte, vrí con l profundidd y tenemos que recurrir l concepto de integrl pr resolver el problem. d h(c i ) c i c L(c i ) y i Figur.8: Pred verticl sumergid. Tommos un prtición regulr del intervlo [c, d] en n subintervlos. Considermos su mplitud lo suficientemente pequeñ de mner que F i = w h(c i ) L(c i ) y i, con c i [y i, y i ], L fuerz totl tendrá un vlor proximdo que result de l sum de ests fuerzs n F w h(c i ) L(c i ) y i. i= Tomndo límite, si existe, obtenemos: F = lím n n i= d w h(c i ) L(c i ) y i = w h(y) L(y) dy. c Ejemplo.. Clculemos l fuerz que ejerce el gu sobre un pred verticl que tiene form de triángulo rectángulo cuyos ctetos miden 4 m cd uno, siendo uno de ellos l bse del triángulo situd 4 m de profundidd. (Densidd del gu: N/m 3 ). c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 3 3
4 y 3 3 4 x Pred verticl tringulr. Solución. Hciendo coincidir el eje X con l bse del triángulo (uno de los ctetos) y el eje Y con l ltur del triángulo (el otro cteto) y situndo el nivel del gu sobre l rect y = 4, tenemos que h(y) = 4 y y puesto que l hipotenus del triángulo form prte de l rect y = 4 x, despejndo tenemos que L(y) = 4 y. Por tnto: F = w 4 h(y) L(y) dy = w 4 (4 y) dy (4 y) 3 w 3 4 = w( 64 3 ) = 64,4 3 N. Ejemplo.. Un conducto circulr de gu de 6 m de diámetro se encuentr semilleno. Hllemos l fuerz que ejerce el gu sobre l compuert que cierr el conducto. y 3 3 3 x 3 Pred verticl circulr. Solución. Consideremos l compuert (circulr) que cierr el conducto y tomemos el origen de coordends en el centro de dicho círculo, de este modo h(y) = y y L(y) = 9 y. Puesto que sólo está sumergid l mitd inferior, se tiene que: F = w 3 9 y ( y) dy = w (9 y) 3/ 3/ 3 = w 3 7 = 8,4 N. Ejercicio.9. L compuert verticl de un pres tiene form de trpecio isósceles de 8 m de bse superior y 6 m de bse inferior, con un ltur de 5 m. Cuál es l fuerz ejercid por el fluido sobre l compuert si el borde superior está 4 m por debjo de l superficie del gu? (Solución: 67 3 ω N). Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 3 3 c UJI
Ejercicio.. Los extremos de un rtes de gu tienen l form de regiones prbólics limitds por y = x 4 e y =, donde ls uniddes son en metros. Suponiendo que l rtes está llen de gu, clcul l fuerz que ejerce el gu sobre uno de los extremos de l rtes. (Solución: 56 5 ω N)...4. Ejercicios de l sección.. Hll el áre encerrd de l región del primer cudrnte limitd por ls curvs x + y = 3, y = x, x = y. (Solución: π 4 u..).. Hll el áre encerrd de l región comprendid entre ls circunferencis x + y = 4 y (x ) + (y ) = 4. (Solución:.9736 u..). 3. Clcul el volumen del cuerpo generdo l girr l región limitd por y = x 3, y = 8 y x = lrededor del eje Y. (Solución: 96π 5 u.v.). 4. L rect x = divide l círculo (x ) + y 4 en dos prtes. () Clcul el volumen generdo l girr lrededor de l rect y = l prte de myor áre. (Solución: 9π u.v.). (b) Clcul el volumen generdo l girr lrededor de l rect x = l prte de menor áre. (Solución: 8π 3 + 3π u.v.). 5. Clcul l cpcidd en m 3 de un depósito de ceite que tiene l form del sólido de revolución obtenido l girr lrededor de l rect x =, l región cotd por y = x y y =. (Solución: 6π 3 m 3 ). 6. Se R l región del plno encerrd entre l prábol y = x x + 3 y l rect y = 3. Clcul el volumen del sólido de revolución generdo l girr dich región lrededor de l rect x =. (Solución: 8π u.v.). 7. (Trbjo relizdo pr elevr un cden). Un cden de m que pes 5 kg por m yce en el suelo. Cuánto trbjo se requiere pr elevr uno de sus extremos hst m de ltur de mner que quede tod extendid?. (Solución: mkg ). 8. (Trbjo relizdo por un gs) Un cntidd de gs con un volumen inicil de pie cúbico y un presión de 5 librs por pie cúbico se expnde hst ocupr un volumen de pies cúbicos. Clcul el trbjo relizdo por gs l expndirse. (Se supone que l presión es inversmente proporcionl l volumen). (Solución: 5 ln pies libr ). 9. Un depósito de retención es un lterntiv l rehbilitción de ls redes de lcntrilldo de un municipio por ls muchs molestis que se pueden ocsionr (problems de tráfico, molestis los ciuddnos, etc.). Supongmos que uno de estos depósitos tiene form de prboloide de revolución obtenido l girr l curv y = x + ( x 5) lrededor del eje Y. Si el depósito está lleno, qué trbjo se requiere pr vcir su contenido por encim del borde del depósito? (Solución: 5 πω u.t.). 3 Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 33 33 c UJI
. Supongmos que un depósito de queroseno de clefcción de un cs tiene un fug y hy que vcir su contenido pr reprrlo. Clcul el trbjo que se requiere pr vcirlo bombendo el keroseno hst un slid que está m por encim de l prte superior del tnque si está lleno hst l mitd. El tnque es cilíndrico de rdio m y ltur 4 m. (Densidd del keroseno ω N/m 3 ) (Solución: 3πω N).. Clcul el trbjo necesrio pr vcir todo el combustible de un tnque cilíndrico de m de rdio y 5 m de longitud, si éste se encuentr enterrdo horizontlmente m de l superficie y l ltur del surtidor es de m. (Densidd del combustible ω N/m 3 ). (Solución: πω N).. Un cmión trnsport combustible en un depósito cuy sección trnsversl tiene form de semicírculo de rdio dm. Si el peso del combustible es de 3 g/dm 3 y suponemos que el depósito está lleno, clcul l fuerz totl ejercid por el líquido sobre uno de sus extremos. (Solución: 6 N). 3. Un ljibe (depósito que recoge el gu de lluvi) tiene form tringulr (su sección trnsversl es un triángulo equilátero de 8 m de ldo y vértice hci bjo). Clcul l fuerz que ejerce el gu sobre uno de los extremos del ljibe cundo está lleno. Considermos que l densidd del gu es 4 N/m 3. (Solución: 64 4 N)..3. INTEGRALES IMPROPIAS Pr definir l integrl definid, se h exigido que el integrndo fuese un función cotd en un intervlo compcto, es decir, un intervlo cerrdo y cotdo. Si el intervlo sobre el que queremos integrr no es compcto o l función no está cotd se mplí el concepto de integrl dndo lugr ls integrles impropis o generlizds. Vemos lgunos ejemplos en los que prece este tipo de integrles: Ejemplo.. En un yuntmiento se propone un pln de recudción de impuestos plntedo de l form siguiente. Después de x semns, se prevé que se recuden f(x) = xe 3 x miles de euros por mes. Cuánto será lo recuddo en los tres primeros meses?. Cuánto se recudrí si el tiempo fuese ilimitdo?. Ejemplo.3. Si un módulo espcil pes 5 tonelds en l superficie terrestre, cuánto trbjo exige elevrlo un ltur de 8 mills?. Cuánto trbjo es necesrio pr propulsr este módulo un distnci infinit de l Tierr?. No se tendrá en cuent l resistenci del ire ni el peso del combustible. (Rdio Tierr 4 mills) Distinguiremos entre: Integrles impropis de primer especie: quélls en ls que el intervlo de integrción no está cotdo (y por tnto, no es compcto). Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 34 34 c UJI
y.6.5.4.3... 4 6 8 x y.6.5.4.3.. 6 5 4 3 x Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 35
.5 y.4.3.. 5 5 x Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 36
. + e 3x dx.. 4 cos x dx. 3. + dx e x + e x. 4. 4x + x 3x + Solución... 3. + e 3x dx = lím t + t Est integrl es convergente. 4 cos x dx = 4 lím r e e 3x 3x dx = lím t + 3 r t e 3t = lím t + 3 + 3 = 3. cos x dx = 4 lím [ sin x r ] r = 4 lím sin r. r Est integrl es oscilnte y que este límite no existe. + e x + e dx = + x = = lím r r e x + dx = + e x e x + e dx + + x e x dx + ex e x dx + ex e x t dx + lím + ex t + e x dx + ex = lím r [rctn ex ] r + lím t + [rctn ex ] t = lím r (rctn rctn er ) + lím t + (rctn et rctn ) 4. Est integrl es convergente. = π 4 + π π 4 = π. 4x + x 3x + dx = lím r 5 r x + 9 dx x = lím r ( 5 ln x + 9 ln x ) r = 9 ln + lím r x 5 x 5 ln = 9 ln ln lím x 9 r x 9 = 9 ln + ln () =. Est integrl es divergente. c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 37 37
y y f x b x f x b x Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 38
. dx ( x) 3 3. ln x dx 4. dx 4 x Solución.. Vemos que est integrl es divergente. En efecto: + x dx = lím t + t dx = lím x t +[ln x] t = lím t +( ln t) = lím t +( ln t) = lím t +(ln t) = +.. Vemos que est integrl es convergente. En efecto: dx = ( x) 3 lím t t ( x) 3 dx = lím t [ 3( x)/3 ] t = lím t ( 3( t)/3 + 3) = 3. 3. Vemos que est integrl es convergente. En efecto: ln x dx = lím r + r ln x dx = lím r + [x ln x x] r = lím (ln r log r + r) = lím ( r ln r + r) r + r + = + lím r lím ln r r ln r = (plicndo l Hôpitl) = + lím r + r + r + = + lím r + r r r = + lím r + r = + =. 4. Vemos que est integrl es convergente. En efecto: π dx = (cmbio: x = sin t) = 4 x π 6 π cos t 4 4 sin t dt = π 6 dt = r = [t] π π 6 = π π 6 = π 3. Observemos que l hcer el cmbio de vrible l integrl dej de ser impropi y se convierte en un integrl definid sencill. c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 39 39
.3.3. Integrles de funciones no cotds en intervlos compctos Se f un función cotd y continu en un intervlo compcto [, b] excepto en lgún punto c ], b[ donde lím f(x) = x c entonces l integrl impropi b f es convergente si y sólo si c tmbién son convergentes. Ejemplo.6. Clculemos 4 (x ) dx. f y b c + f y c b x Figur.: Gráfic de l función f(x) = (x ). Solución. En este cso l función f(x) = present un discontinuidd (x ) infinit en x = (ver Figur.). Luego se tiene: 4 dx (x ) = dx 4 (x ) + dx (x ) + t = lím t Est integrl es divergente. Ejercicio.. Clcul 3 dx 4 (x ) + lím t + t t 4 = lím + lím t x t + x t dx (x ) = lím t t lím = +. t + t dx (x ). (Solución: divergente). x c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 4 4
.3.4. Propieddes de ls integrles impropis Ls propieddes de ls integrles propis se extienden, medinte procesos de pso l límite, ls integrles impropis. En delnte, unificmos l notción de ls integrles de primer y segund especie: se [, b [ un intervlo no compcto tl que < < b +, escribiremos b f pr denotr conjuntmente los dos tipos de integrles. Si considermos el intervlo ], b ] siendo < b < +, ls denotmos b f. Por último ls impropis en ], b [ donde < b + ls escribiremos b f. Enuncimos ls propieddes más destcbles pr el primer cso, siendo nálogs ls propieddes pr los otros dos. () Linelidd. Si f y g son dos funciones reles, integrbles en [, b [, entonces tmbién es integrble l función hf + kg pr culesquier h, k R y demás: b (hf + kg) = h b f + k b () Monotoní. Si f y g son integrbles en [, b [ y si se cumple f(x) g(x), x [, b [, entonces: b f b (3) Regl de Brrow. Se f : [, b [ R un función continu en [, b [ y se G : [, b [ R un primitiv de f en [, b [. Si existe el límite siguiente, entonces: b g. f = límg(t) G() = [G(x)] b t b g. (4) Integrción por prtes. Si u y v son funciones de clse C en [, b [ y son convergentes dos de los tres términos siguientes, tmbién lo es el tercer término y se verific: b u(x)v (x)dx = [u(x)v(x)] b b u (x)v(x)dx. (5) Cmbio de vrible. Se f : [, b [ R un función continu en [, b [ y se ϕ : [ α, β [ R de clse C ([ α, β [), siendo < α < β +. Si ϕ(α) = y ϕ(t) b cundo t β y demás ϕ([ α, β [) [, b [, entonces: b f(x)dx = β α f(ϕ(t))ϕ (t)dt. Si un de ells es convergente (divergente), l otr tmbién. Ejemplo.7. Clculemos: c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 4 4
() dx x. Solución. Hcemos el cmbio x = sin t. π dx = x π cos t sin t dt = dt = [t] π = π. Observmos que l relizr este cmbio de vrible l integrl dej de ser impropi (b) x ln xdx. Solución. Aplicmos integrción por prtes: u(x) = ln x, v (x) = x u (x) = x3, v(x) = x 3, entonces: x x 3 ln xdx = 3 ln x x 3 x 3 ln x x dx = lím 3 x x + 3 3 dx puesto que lím x + x 3 ln x 3 x 3 ln x = lím x + 3 Ejercicio.. Clcul =. x 3 9 = 9, dx x( x) = x x x dx. (Solución: π). Ejemplo.8. Estudiemos, según los vlores de α, l convergenci de ls integrles impropis siguientes: () I = x dx. α Solución. Si α =, entonces: I = Si α =, entonces: x dx = [ln x] = lím ln x = +. + x + I = x α x dx = = α α α lím x α + x + α = α si α < + si α > Por tnto, es convergente pr α < y divergente pr α. c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 4 4
(b) I = + x α dx. Solución. Si α =, entonces: I = + dx = [ln x]+ = lím ln x ln = +. x x + Si α =, entonces: I = + x α + x dx = = lím α α x + = x α α α + si α < α si α > Por tnto, es convergente pr α > y divergente pr α. Ejercicio.3. Estudi, según los vlores de α, l convergenci de l siguiente integrl: dx. (Solución: convergente pr α < y divergente ( x) α pr α.).3.5. Criterios de convergenci En el estudio de l convergenci precen cierts integrles impropis como l integrl de Dirichlet + sin xdx, que no tiene primitiv y comprobr l x convergenci prtir de l definición puede ser bstnte complejo; esto motiv que introduzcmos ciertos criterios de convergenci. Los criterios que vmos estudir simplificn en l práctic el mnejo de ests integrles y están bsdos en métodos de comprción; entre ellos, destcmos el criterio del myornte y el el criterio de comprción en el límite. Antes de enuncirlos tendremos en cuent lguns considerciones. En primer lugr, enunciremos los criterios pr ls integrles impropis de l form b f; nálogmente, se tienen criterios pr ls integrles b f y b f. Por otr prte, los criterios que dmos se plicn integrndos positivos, unque por l ditividd de l integrl bstrá con exigir que exist x > tl que f(x), pr todo x x (Figur.3). c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 43 43
x Figur.3: Función f(x) con prte negtiv. Si se tiene que f(x), pr todo x x, entonces, pr lgún x, podemos plicr los criterios vistos l función positiv g(x) = f(x). L convergenci o divergenci de f será l obtenid pr g (Figur.4). g(x) = - f(x) f(x) Figur.4: Gráfics de f(x) y de f(x). Sen f, g : [, b [ R con < < b +, y supongmos que existe un vlor x > tl que f(x) y g(x), pr todo x x. Teniendo en cuent ests considerciones enuncimos los criterios de convergenci siguientes: (I) Criterio del myornte. Sen f y g tles que f(x) g(x), x x, entonces: (i) Si b (ii) Si b g es convergente, entonces b f es convergente. f es divergente, entonces b g es divergente. (II) Criterio de comprción en el límite. Se L = f(x) lím x +,b g(x), entonces: (i) Si L R {}, entonces b (ii) Si L = y b (iii) Si L = y b f y b g tienen el mismo crácter. g es convergente, entonces b f es convergente. g es divergente, entonces b f es divergente. Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 44 44 c UJI
Pr poner en práctic los criterios de comprción es interesnte disponer de lguns integrles de crácter conocido; se suelen tomr funciones de tipo potencil (ver Ejemplo.8b). Pr ls de primer especie podemos tomr g(x) = x α : + b dx C si α > x = α dx x α = D si α, >. C si α > D si α, b <. Pr ls de segund especie tenemos: b dx C si α < (b x) = α D si α. b + dx (x ) α = C si α < D si α Ejemplo.9. Estudiemos l convergenci de ls siguientes integrles.. + e x dx. Solución. En primer lugr comprobmos que el integrndo es positivo: e x > pr x. Como e x e x pr x y l integrl + e x dx = [ e x ] + = lím x + ( e x ) + e = e es convergente, entonces por el criterio del myornte tenemos que l integrl + e x dx tmbién es convergente.. + + x 3 + x 6 dx. Solución. El integrndo es positivo x. Aplicmos el criterio de comprción en el límite. Puesto que lím x + +x 3 +x ( + x 3 )x 3 6 = lím =, x 3 x + + x 6 l integrl dd tiene el mismo crácter que l integrl + sbemos que es convergente. 3. 3 sin x + 5 cos x dx. x( x) dx que x3 Solución. El integrndo es positivo x y sbemos (medinte integrción direct) que dx es convergente. Acotemos el integrndo: x( x) < 3 sin x + 5 cos x x( x) < 8 x( x), x Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 45 45 c UJI
en prticulr pr < x <. Puesto que l integrl es convergente, tmbién lo es l integrl dd. 8 x( x) dx Ejercicio.4. Estudi l convergenci de ls siguientes integrles. () + (b) + (c) 3 (d) 3 dx x + + ln x. 3x 3 + 4x + 4 3 8x + 7 dx. x4 dx. dx (3 x)(x ) dx. (Solución: ()convergente, (b)divergente,(c) convergente, (d) convergente)..3.6. Convergenci bsolut Si el integrndo no tiene signo constnte se intent reducir éste l cso y conocido de integrndo positivo y pr ello se introduce el concepto de convergenci bsolut. Se nliz l convergenci de f(x) y prtir de ell se obtiene informción de l integrl dd. Definición.3. Se f : [, b [ R, < < b +, integrble en [, b[ (esto implic que f tmbién es integrble en dicho intervlo). Decimos que l integrl impropi b f es bsolutmente convergente (bsolutmente divergente) si b f es convergente (divergente). Un definición nálog se tiene cundo f está definid en ], b ] siendo < b < +. El teorem siguiente nos dice que tod integrl impropi bsolutmente convergente es convergente. El recíproco es, en generl, flso. Teorem.5. Si b f es bsolutmente convergente, entonces b f es convergente, y demás se verific: b b f(x)dx f(x) dx. Ejemplo.3. Estudiemos el crácter de l integrl sin x dx. x Solución. Estudiemos l integrl Como sin x x sin x dx cuyo integrndo es positivo. x ( x) / c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 46 46
y sbemos que dx es convergente, por el criterio del myornte ( x) / sbemos que sin x dx es convergente, por tnto, l integrl dd es x bsolutmente convergente y, por el teorem nterior se tiene que dich integrl es convergente. Observemos que este ejemplo se podrí resolver tmbién descomponiendo l integrl como sum de dos integrles, y que el integrndo es positivo pr x <. Ejercicio.5. Estudi el crácter de ls siguientes integrles: () + (b) + cos 3 x dx. x cos 3 x sin x sin x + e x dx. (Solución: () convergente (b) convergente)..3.7. Ejercicios de l sección.3. Estudi el crácter de ls siguientes integrles. () + e 3x dx. (b) 4 dx. (4 x)(x ) 3 (c) + (d) + π dx log x. + cos x dx. x (e) sin x dx. x (f) + 3 dx 4 x4 8 dx. (g) x + x 4 + dx. (h) + 5 sin 3x x + 5x + 3 dx. (Soluciones: () convergente, (b) convergente, (c) divergente, (d) divergente, (e) convergente, (f) convergente, (g) convergente, (h) convergente).. Clcul el áre de l región comprendid entre ls gráfics de ls funciones f(x) = e x, g(x) = e x y el eje de bciss. (Solución: u..). c UJI Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- 47 47