Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM El cmpo de los úmeros reles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios EL CAMPO DE LOS NÚMEOS EALES UNIDAD III III. NÚMEOS NATUALES Los úmeros turles so quellos que sirve pr desigr l ctidd de elemetos que posee u cierto cojuto. Se represet como N. N { 0,,,,,,, 7, } Los úmeros turles so ifiitos, pues pr cd uo de ellos hy otro distito que le sucede y que o le precede. Se hl del orde e estos úmeros trvés de su propiedd de tricotomí firmdo que ddos y m dos úmeros turles, etoces se tiee ectmete u de ls tres posiiliddes: < m m > m Gráficmete, este cojuto se puede represetr medite u rect uméric e dode los úmeros so los putos: 0 7 8 9 0 N U operció e N es u mer de socir cd pr de úmeros turles, otro úmero turl ie determido. Ls opercioes que se defie e este cojuto so l sum y l multiplicció. Se, y c tres úmeros turles culesquier. Ls propieddes ásics de ls opercioes defiids e N so:. Cerrdur: + N N. Asocitividd: + + c + + ( ) ( ) c ( c) ( ) c Eiste utores que defie l cojuto de los úmeros turles como quellos que sirve pr cotr, por lo que iici e el uo. Si icluye l cero lo defie como cojuto de úmeros turles mplidos o como úmeros completos.
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM El cmpo de los úmeros reles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios. Comuttividd: + +. Elemetos eutros Pr l sum es el cero y que: + 0 Pr el producto es el uo y que:. Distriutividd L propiedd distriutiv del producto sore l sum es: ( + c) + c Ddos los úmeros, y, compror ls propieddes de l sum y del producto. Solució. Cerrdur: + N 0 N Asocitividd: + + + + ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 Comuttividd: + + Los elemetos eutros: Pr l sum es el cero y que: + 0 Pr el producto es el uo y que: Distriutividd + + del producto sore l sum es: ( ) U úmero es múltiplo de otro si se otiee multiplicdo este último por u úmero turl. Por ejemplo 0. el úmero 0 es múltiplo del y que ( )( ) Ls propieddes de los múltiplos so: El cero es múltiplo de culquier úmero U úmero siempre es múltiplo de si mismo L sum de múltiplos de u úmero tmié es u múltiplo de este úmero El producto de múltiplos de u úmero tmié es múltiplo de este úmero Si u úmero es múltiplo de otro y este lo es de u tercero, el primero es múltiplo del tercero. El úmero 0 es múltiplo del y que 0 ( 0)( ) El úmero 7 es múltiplo del 7 y que 7 ( )( 7) El úmero 8 es múltiplo del y que ( )( ) ( )( ), por lo tto, el úmero 0 8 + es múltiplo del y que 0 ( )( 0) El úmero es múltiplo del y que ( )( ) 8 ( )( ), por lo tto, el úmero 8 ( )( 8) es múltiplo del y que 8 ( )( ) 8 y el úmero tmié es múltiplo del y que y el úmero 8 tmié es múltiplo del y que
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM El cmpo de los úmeros reles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios El úmero 0 es múltiplo del 0 y que ( 0)( ) que 0 ( )( ), por lo tto, el úmero 0 es múltiplo del y que 0 ( )( ) 0, pero su vez el úmero 0 es múltiplo del y U úmero turl es divisor de otro si cudo se divide el primero etre el segudo el residuo es cero, es decir, si l divisió es ect. Por ejemplo el úmero es divisor del y que. Ls propieddes de los divisores so: El úmero uo es divisor de culquier úmero U úmero siempre es divisor de si mismo Si u úmero es divisor de otro, y éste lo es de u tercero, el primero es divisor del tercero. El úmero es divisor del y que El úmero es divisor del y que El úmero es divisor del y que y el úmero es divisor del y que, por lo tto, el úmero es divisor del y que Cudo los úmeros so grdes hy regls que permite recoocer directmete que u úmero es divisile por otro. Ests regls se cooce como criterios de divisiilidd y los más comues so: U úmero es divisile por si termi e cero o e cifr pr. U úmero es divisile por si l sum de sus cifrs soluts es múltiplo de tres. U úmero es divisile por si e ls dos últims cifrs, hy dos ceros o u úmero múltiplo de cutro. U úmero es divisile por cudo c e cero o e cico. U úmero es divisile por si es divisile por dos y por tres. U úmero es divisile por 7 si su cifr más sigifictiv meos dos veces su siguiete cifr más cutro veces su siguiete cifr y sí sucesivmete es cero o múltiplo de siete. U úmero es divisile por 8 cudo sus tres últims cifrs so ceros o so múltiplo de ocho. U úmero es divisile por 9 cudo l sum de sus cifrs es múltiplo de ueve. U úmero es divisile por 0 si termi e cero. U úmero es divisile por cudo l difereci etre l sum de ls cifrs pres y ls impres es múltiplo de oce o cero. U úmero es divisile por cudo divisile por tres y por cutro. Aplicdo los criterios teriores, determir l divisiilidd del úmero 70 Solució: ) Al termir e cifr pr, 70 es divisile por ) 7 + + 0 9 que es múltiplo de, sí que es divisile por c) ls dos últims cifrs so 0 que es múltiplo de, sí que es divisile por d) l termir e cero, 70 es divisile por e) l ser divisile por y por, es divisile por
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM El cmpo de los úmeros reles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios f) 7 + + 0 9 que es múltiplo de 9, sí que es divisile por 9 g) l termir e cero, 70 es divisile por 0 Los criterios de divisiilidd permite ecotrr co rpidez divisores de u úmero. Alguos úmeros como el siete, trece o el dieciueve solo tiee dos divisores: l uidd y el mismo. Estos úmeros se llm úmeros primos y se deot como P. P {,,, 7,,, 7, 9,, 9,, 7,,, } Los úmeros que o so primos se llm úmeros compuestos. Descompoer u úmero e fctores primos es epresrlo como producto de úmeros primos. E l práctic, pr descompoer u úmero e fctores primos se divide sucesivmete por los úmeros primos comezdo por el primer úmero primo hst que se ecuetre u cociete que se igul uo. Descompoer el úmero 80 e fctores primos. Solució. 80 90 90 Por lo que 80 ( )( )( )( )( ) ( )( )( ) Pr clculr todos los divisores de u úmero, se reliz l descomposició fctoril del úmero, después se determi los divisores de cd uo de los fctores y filmete se costruye u esquem co todos los productos posiles. Clculr todos los divisores del úmero 0. Solució. 0 0 0 Por lo que 0 ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) Los divisores del so:, Los divisores del so:,, Los divisores del so:, Efectudo tods ls comicioes posiles de productos, se tiee: ( )( )( ) ( )( )( )
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM El cmpo de los úmeros reles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios ( )( )( ) ( )( )( ) 0 ( )( )( ) ( )( )( ) 0 ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 0 ( )( )( ) ( )( )( ) 0 Por lo tto, los divisores del 0, puestos e orde, so:,,,,,, 0,,, 0, 0, 0 El míimo comú múltiplo de dos o más úmeros, es el úmero más pequeño posile, que es múltiplo de esos úmeros. Por ejemplo, el míimo comú múltiplo de los úmeros 00, 00, 00, es 00, puesto que es el úmero más pequeño que es múltiplo de 00, 00 y 00. Pr clculr el míimo comú múltiplo de dos o más úmeros se descompoe los úmeros e fctores primos: 00 00 00 ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) y se tom los fctores comues y o comues co su myor epoete, e este cso: ( )( )( ) 00 L sustrcció es u operció que o es cerrd e N, pues l difereci de dos úmeros turles puede o ser u úmero turl (o lo es cudo el sustredo es myor que el miuedo). Por eso se ecesit defiir otro cojuto de úmeros e el que se puede restr u úmero de otro, culesquier que se éstos. III. NÚMEOS ENTEOS Los úmeros eteros, represetdos por Z so quellos que surge de l rest de dos úmeros turles. Z {,, N } Este cojuto es u etesió de los úmeros turles y que icluye sus opuestos, es decir prece los úmeros egtivos. Z {,,,,,, 0,,,,,, } Se utiliz est letr porque es l letr iicil de l plr de orige lemá Zhle, que sigific úmero.
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM El cmpo de los úmeros reles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios Cudo e épocs muy frís l tempertur está por dejo de cero, implícitmete se hl de u úmero etero, tl es el cso de - C. L rzó pricipl pr itroducir los úmeros egtivos sore los úmeros turles es l posiilidd de resolver ecucioes del tipo: +, pr l icógit. Se hl del orde e estos úmeros trvés de su propiedd de tricotomí firmdo que ddos y m dos úmeros eteros, etoces se tiee ectmete u de ls tres posiiliddes: < m m > m Esto sigific que es u cojuto completmete ordedo si cot superior o iferior y gráficmete, tmié se puede represetr medite u rect uméric e dode los úmeros so los putos: - - - - - 0 Z U operció e Z es u mer de socir cd pr de úmeros eteros, otro úmero etero ie determido. Ls opercioes que se defie e este cojuto so l sum y l multiplicció (l rest se cosider como l sum de úmeros de diferete sigo). Se, y c tres úmeros eteros culesquier. Ls propieddes ásics pr l sum y el producto e Z so:. Cerrdur: + Z Z. Asocitividd: + + c + + ( ) ( ) c ( c) ( ) c. Comuttividd: + +. Elemetos eutros Pr l sum es el cero y que: + 0 Pr el producto es el uo y que:. Iverso ditivo: Pr l sum eiste +. Distriutividd tl que ( ) 0 L propiedd distriutiv del producto sore l sum es: ( + c) + c
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM El cmpo de los úmeros reles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios Nótese como o eiste u iverso multiplictivo. Además, l divisió o es u operció cerrd e Z, pues el cociete de dos úmeros turles puede o ser u úmero etero (o lo es cudo el dividedo o es múltiplo del divisor). Por es rzó, es ecesrio el estlecimieto de otro sistem umérico e el que se pued dividir dos úmeros. III. NÚMEOS ACIONALES Número rciol es el que se puede epresr como cociete de dos úmeros eteros co divisor diferete de cero, es decir, e form de frcció. Se represet por Q. Q {,, Z, 0 } Los úmeros rcioles o eteros se llm frcciorios e dode es el umerdor y el deomidor. Nótese como e est defiició, el deomidor uc puede ser cero porque l divisió por cero o está defiid. E el cojuto de los úmeros eteros cd úmero tiee u siguiete (el siguiete l es el, el siguiete l es el, etc.), o ps lo mismo co los rcioles, pues etre cd dos úmeros rcioles eiste l meos otro úmero rciol (propiedd de desidd). Los úmeros rcioles puede ser uicdos tmié e l rect uméric medite putos, idepedietemete de que o preset u secueci determid, por ejemplo: 7 0 7 9 Q 8 Al epresr u úmero rciol, o etero, puede teer lgu de ls siguietes represetcioes: Frccioes Números rcioles Números decimles Ectos Periódicos Si l frcció es irreducile y e l descomposició fctoril del deomidor sólo se ecuetr los fctores y, etoces l frcció es igul u úmero deciml ecto, pero si e el deomidor hy lgú fctor distito de o l epresió deciml es periódic, por ejemplo: Los úmeros eteros so rcioles, pues se puede epresr como cociete de ellos mismos por l uidd y e otros cocietes equivletes como: 8 L 7
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM El cmpo de los úmeros reles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios 9., se otiee u deciml ecto., se otiee u deciml ecto. 7878 78 7, se otiee u epresió deciml periódic. Dos frccioes so equivletes cudo tiee el mismo vlor deciml. Ls frccioes equivletes represet l mism prte de u ctidd. Pr covertir u frcció u úmero deciml periódico, st co efectur l divisió. Covertir el úmero deciml. Solució.. 88L 0 90 0 90. 8888 Pr covertir u úmero deciml periódico frcció, se emple el siguiete procedimieto: Se igul el úmero deciml. Se idetific ls posicioes e dode iici y termi el primer ciclo de periodicidd Se multiplic por 0 l epresió, dode es el úmero de posicioes después del puto deciml e dode termi el ciclo. m Se multiplic por 0 l epresió, dode m es el úmero de posicioes después del puto deciml e dode iici el ciclo. Se rest l segud epresió l primer Se despej y se simplific l frcció de ser posile. ) Covertir el úmero. 7 frcciorio Solució.. 7 L periodicidd termi después de dos cifrs después del puto deciml, sí que se multiplic por 0 00. Por su prte l periodicidd iici después de u cifr l derech del puto, sí que se multiplic por 0 0. Esto es: 00 7. 8
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM El cmpo de los úmeros reles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios 0 7. se rest l segud epresió l primer pr elimir l prte deciml: 00 7. 0 90 7. despejdo y simplificdo se tiee: 7. 7 8 7 90 8 ) Covertir el úmero. frcciorio Solució.. L periodicidd termi después de tres cifrs l derech del puto deciml, sí que se multiplic por 0, 000. Por su prte l periodicidd iici imeditmete después del puto, sí que se multiplic por 0 0. Esto es:, 000,.. se rest l segud epresió l primer pr elimir l prte deciml:, 000 999,.,., despejdo se tiee: 999,. 999 Simplificr u frcció es sustituirl por l frcció equivlete cuyo deomidor es el meor posile. 8 Simplificr 90 Solució. 8 8 ( )( )( )( )( ) 9
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM El cmpo de los úmeros reles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios 90 90 8 90 ( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( ) 8 ( )( ) E ls frccioes se cumple que:, uque por coveció se utiliz El orde e Q estlece que u úmero es meor que otro, si está colocdo l izquierd de él e l rect uméric; y es myor, cudo está su derech. Pr comprr dos frccioes se cosider que: > c d d > c Dds ls frccioes Solució. 8 y ( 8)( ) y ( )( 9) 9, determir cuál es más grde., como >, se cumple que 8 > U operció e Q es u mer de socir cd pr de úmeros rcioles, otro úmero rciol ie determido. Ls opercioes que se defie e este cojuto so l sum y l multiplicció (l rest se cosider como l sum de úmeros de diferete sigo y l divisió como l multiplicció de u úmero por el recíproco de otro, siempre cudo el segudo o se cero). c d ± c d c ± ±, dode d es el míimo comú múltiplo de y d d d d d c c ls frccioes tes de multiplicrse dee simplificrse d d c d d c 7 + + 9 9 + 8 7 9 0 8 + 0 7 8 0 7 8 9 0
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM El cmpo de los úmeros reles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios 9 7 9 7 7 7 ( 9) Se, y c tres úmeros rcioles culesquier. Ls propieddes ásics pr l sum y el producto e Q so:. Cerrdur: + Q Q. Asocitividd: + + c + + ( ) ( ) c ( c) ( ) c. Comuttividd: + +. Elemetos eutros Pr l sum es el cero y que: + 0 Pr el producto es el uo y que:. Iversos: Pr l sum eiste, llmdo opuesto o simétrico tl que + ( ) 0 Pr el producto eiste, 0, llmdo iverso multiplictivo o recíproco tl que. Distriutividd L propiedd distriutiv del producto sore l sum es: ( + c) + c 9 Ddos los úmeros, y, compror ls propieddes de ls opercioes de l sum y el 7 producto e Q. Solució. Cerrdur: 7 8 + 7 Q 7 7 Q Asocitividd: + + + 7 + 7 + + 7 7 70 0 7 8 + + + + 7 7 + + 70 70 70 70 70 70 70
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM El cmpo de los úmeros reles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios Comuttividd: 7 8 8 7 + + + + 7 7 7 7 7 7 Elemetos eutros: Pr l sum es el cero y que: + 0 Pr el producto es el uo y que: Iversos: Pr el su opuesto o simétrico es y que + 0 Pr el su iverso multiplictivo o recíproco es y que ( ) Distriutividd del producto sore l sum es: 0 + + + + 7 7 0 0 + + 7 0 70 70 70 70 E geerl, ddo u úmero rciol de l form, su recíproco viee ddo por. El recíproco de es El recíproco de es El recíproco de 8 es 8 U rzó es el resultdo de comprr dos ctiddes del mismo tipo, l primer de ells llmd. Ests ctiddes se preset e form tecedete ( ) y l segud llmd cosecuete ( ) frcciori, de l siguiete mer: o o : co 0 Por ejemplo, u recipiete A tiee u cpcidd de litros y otro B tiee u cpcidd de litros. Si se compr l cpcidd de A co l de B, l rzó es de, es decir, esto sigific que A tiee el dole de cpcidd de B. Gráficmete esto se puede ver e l siguiete figur:
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM El cmpo de los úmeros reles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios ecipiete A ecipiete B litros Cpcidd de A litros Veces l Cpcidd de B U proporció es u proposició que estlece que dos rzoes so igules. Esto es: y se lee: lo es como c lo es d. c d c co 0, d 0 d Por ejemplo, ls rzoes y so equivletes y que se cumple que ( 9) ( ) 8 9 form u proporció. Gráficmete esto es:, por lo tto, prtes de prtes de 9 9 Ls mgitudes proporcioles puede ser de dos clses: ) Mgitudes Directmete Proporcioles: Dds dos ctiddes el umeto de u correspode l umeto de l otr o l dismiució de u correspode l dismiució de l otr.
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM El cmpo de los úmeros reles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios Propiedd: si y so dos ctiddes etoces: costte y so directmete proporcioles ) Si se tiee l rzó y se quiere formr u proporció direct se puede multiplicr por u mismo úmero tto l tecedete como l cosecuete, si ese úmero es se otiee. Nótese como ms ctiddes umet. 0 ) Dd l rzó y se quiere formr u proporció direct se puede dividir por u mismo úmero tto l tecedete como l cosecuete, si ese úmero es se otiee. Nótese como ms ctiddes dismiuye. ) Mgitudes Iversmete Proporcioles: Dds dos ctiddes el umeto de u correspode l dismiució de l otr o l dismiució de u correspode l umeto de l otr. Propiedd: si y so dos ctiddes etoces: costte y so iversmete proporcioles ) Si se tiee l rzó y se quiere formr u proporció ivers se puede multiplicr por u úmero l tecedete y dividir por ese mismo úmero l cosecuete, si ese úmero es se otiee Nótese como u ctidd umet y l otr dismiuye. 0. ) Dd l rzó y se quiere formr u proporció ivers se puede dividir por u úmero l tecedete y multiplicr por ese mismo úmero l cosecuete, si ese úmero es se otiee. Nótese como u ctidd dismiuye y otr umet. U regl de tres direct se form co l iguldd de dos rzoes directmete proporcioles, e dode se cooce ls dos ctiddes de u rzó y sólo u ctidd de otr rzó. Si lo es, como c lo es u ctidd descoocid, se represet como: dode viee ddo por: c c
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM El cmpo de los úmeros reles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios Si tres discos cuest 0 pesos, cuáto costrá siete discos? Solució. El prolem epresdo e form de regl de tres direct es: costrí ( ) 7 0 0 pesos. 7 0, etoces, los siete discos U regl de tres ivers se form co l iguldd de dos rzoes iversmete proporcioles, e dode se cooce ls dos ctiddes de u rzó y sólo u ctidd de otr rzó. Si lo es, como c lo es u ctidd descoocid, se represet como: dode viee ddo por: c c Si cutro lñiles hce u cs e ovet dís, cuáto tiempo trdrí seis lñiles? Solució. El prolem epresdo e form de regl de tres ivers es: trjdores trdrí ( 90) 0 dís. 90, etoces, los seis Como se h dicho, e el cojuto de los úmeros rcioles se puede efectur ls cutro opercioes ásics, o ostte, o se puede resolver de form geerl u prolem dode iterveg l rdicció de u úmero etero, por lo tto, es ecesrio defiir u uevo sistem umérico. III. NÚMEOS IACIONALES Co los úmeros rcioles se puede represetr csi tods ls ctiddes que se ecuetr e l vid cotidi. Si emrgo, hy otr clse de úmeros, que se escrie co u ifiidd de decimles pero que o tiee u período, es decir, o tiee cifrs que se repit e el mismo orde. Los úmeros de est clse recie el omre de irrcioles y, difereci de los rcioles, o puede epresrse e form de frcció, sio sólo e form deciml. Se deot por Q. E geerl, culquier ríz iect de u úmero rciol o lgu comició lgeric que l ivolucre (y que eist) es u úmero irrciol. Esto sigific que este cojuto tmié es ifiito. Ejemplos de úmeros irrcioles.. 700807. 79 077
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM El cmpo de los úmeros reles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios +. 809887 (este úmero es llmdo áureo ) Nótese como estos úmeros tiee u ifiidd de cifrs y o tiee periodicidd. Pr todo fi práctico, cudo se trj co úmeros irrcioles se efectú proimcioes, o ie, se utiliz lguos símolos especiles. El úmero π es u irrciol que represet ls veces que ce el diámetro de u circufereci e su perímetro P. Es decir, si se tuvier ls medids ects del perímetro P de u circufereci y de su diámetro, D, π viee ddo por D P. Si se quisier efectur l divisió uc se termirí y que se podrí oteer tts cifrs decimles como se quisier, pero uc se llegrí u residuo igul cero, i se ecotrrí cifrs que forme u período. Por lo tto, o se puede escriir ectmete π e cifrs decimles: π. 9 8979 Los putos suspesivos idic que ls cifrs so ifiits. E l práctic, si emrgo, cudo se requiere clculr perímetros o áres de circuferecis, volúmees de esfers o pr hcer culquier otro cálculo, e el que prezc π, se us l proimció π.. es otro úmero irrciol, y que es l medid de l hipoteus de u triágulo rectágulo cuyos ctetos mide u uidd de logitud. Normlmete se proim., uque su vlor es de:. U úmero irrciol tiee u úmero ilimitdo de cifrs, por tto, es imposile escriir su vlor ecto. Pr mejr estos úmeros se utiliz proimcioes de los mismos. Aumetdo el úmero de cifrs, el error v dismiuyedo, de modo que puede ser t pequeño como se quier. Alguos úmeros irrcioles se puede represetr e l rect uméric medite procedimietos geométricos utilizdo regl y compás (por ejemplo ls ríces cudrds o ects, como el cso de y epuesto). Pr muchos úmeros irrcioles o se puede plicr este método, l represetció de estos úmeros se hce por proimció. Por ejemplo, lguos úmeros irrcioles e l rect serí: 8 0 0 Q π U operció e Q es u mer de socir cd pr de úmeros irrcioles, otro úmero irrciol ie determido. Ls opercioes que se defie e este cojuto so l sum, l rest, l multiplicció, el cociete y l etrcció de ríces (eceptudo l rdicció de úmeros egtivos de ídice pr). L secció áure es l divisió rmóic de u segmeto e medi y etrem rzó. Es decir, que el segmeto meor es l segmeto myor, como este es l totlidd. De est mer se estlece u relció de tmños co l mism proporciolidd etre el todo dividido e myor y meor. Mtemáticmete es el resultdo de l epresió:.
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM El cmpo de los úmeros reles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios Se, y c tres úmeros irrcioles culesquier. Ls propieddes ásics pr l sum e Q so:. Asocitividd: + + c + + ( ) ( ) c. Comuttividd: + +. Iverso: Pr l sum eiste, llmdo opuesto o simétrico tl que + ( ) 0 Ls opercioes de sum y producto o so cerrds e Q y o tiee elemeto eutro. III. NÚMEOS EALES El cojuto de los úmeros reles surge de l uió de los úmeros rcioles y de los irrcioles. Se deot como. Este cojuto comprede todos los sistems uméricos teriores. QUQ Se hl del orde e los úmeros reles trvés de l propiedd de tricotomí firmdo que ddos y m dos úmeros reles, etoces se tiee ectmete u de ls tres posiiliddes: < m m > m Al igul que e los cojutos N, Z, Q y Q, los úmeros reles se puede represetr e u rect, sólo que e este cso o hy putos discretos, sio se trt de u rect cotiu: - - - - - - 0 L rect sore l cul se represet los úmeros rcioles e irrcioles se llm rect rel. A cd puto de est rect se le soci u úico úmero rel llmdo coorded o scis del puto y, recíprocmete, cd puto de es rect se le soci u úico úmero pr que se su coorded. Si est dole sigció se hce de mer que putos distitos teg coordeds distits y cd úmero se coorded de lgú puto, se h oteido u correspodeci iuívoc etre l rect y el cojuto de los úmeros reles. Est sigció se deomi sistem de coordeds uidimesiol. E geerl, ddo u puto P culquier e l rect, l úmero rel se le llm coorded o scis P, que se lee: puto P de coorded. de P y se deot por ( ) Uicr de form proimd los siguietes úmeros e l rect rel:,, 0, π,,. 7 Solució. 7
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM El cmpo de los úmeros reles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios E form de coordeds, los úmeros tom l form: ( ) ( 7) P. que e l rect rel está loclizdos sí : P, P, P ( 0), ( π) P, ( ) P, P P P ( 0 ) ( ) ( π ) P (. 7 ) ( ) P P - - - - - - 0 U operció e es u mer de socir cd pr de úmeros reles, otro úmero rel ie determido. Ls opercioes que se defie e este cojuto so l sum, l multiplicció (l rest se cosider como l sum de úmeros de diferete sigo y l divisió como l multiplicció de u úmero por el recíproco de otro, siempre cudo el segudo o se cero), l rdicció de úmeros positivos y l rdicció de ídice impr de úmeros egtivos. Es decir, ls opercioes que se defie e este cojuto so tods ecepto dos: L divisió por cero L etrcció de ríces de ídice pr de úmeros egtivos. Se, y c tres úmeros reles culesquier. Ls propieddes ásics pr l sum y el producto e so:. Cerrdur: +. Asocitividd: + + c + + ( ) ( ) c ( c) ( ) c. Comuttividd: + +. Elemetos eutros Pr l sum es el cero y que: + 0 Pr el producto es el uo y que:. Iversos: Pr l sum eiste, llmdo opuesto o simétrico tl que + ( ) 0 Pr el producto eiste, 0, llmdo iverso multiplictivo o recíproco tl que. Distriutividd L propiedd distriutiv del producto sore l sum es: ( + c) + c El puto ( ) P se uicó de form proimd su vlor de.. Si emrgo, tmié se puede oteer plicdo el Teorem de Pitágors trzdo u triágulo cuy se o cteto dycete es y cuy ltur o cteto opuesto es y desde el orige se trzó co u compás u rco de circufereci e setido iverso ls mecills del reloj (por ser egtivo). El puto e que cruz l rect es su represetció e l rect uméric. 8
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM El cmpo de los úmeros reles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios + Se l sum de dos úmeros reles: +, l dividir por, se otiee + + Se el producto de dos úmeros reles:, l dividir por, se otiee Nótese l difereci de los resultdos, esto oedece que l dividir implícitmete se plicó el iverso multiplictivo de. E el segudo cso, l frcció se covierte e u úmero etero y e el primer cso + l frcció persiste. Esto sigific que. + Ddos los úmeros y, compror que Solució. + + 0. 8 +. 8 Los úmeros reles so el cojuto co el que se trjrá e este liro, si emrgo o so los más completos, porque si se ecesit etrer l ríz de u úmero egtivo co ídice pr, los úmeros reles o so suficietes, por lo que es ecesrio defiir otro sistem umérico que permit tl operció. Este uevo sistem se defiirá e el sutem VI.. III. VALO ABSOLUTO El vlor soluto de u úmero rel represet l mgitud de dicho úmero. Est mgitud es l distci que eiste, sore l rect uméric, del úmero ddo l cero. El vlor soluto se idic escriiedo el úmero etre rrs verticles. L defiició forml del vlor soluto es: si si 0 < 0 Por ejemplo, l mgitud de es y l mgitud de es preci e l siguiete figur:. Esto se uiddes de mgitud uiddes de mgitud - - - - - - 0 - y 9
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM El cmpo de los úmeros reles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios L mgitud de es, L mgitud de 7 es, 7 7 7. L mgitud de 0 es 0, 0 0 L mgitud de es,. Lo terior sigific que si es positivo o cero, es su propio vlor soluto. Si es egtivo, etoces su opuesto es el vlor soluto. III.7 INTEVALOS A u segmeto de l rect uméric que represet l sucojuto de los úmeros reles se le deomi itervlo. Si y so dos úmeros reles tles que formlmete se defie como: <, etoces los itervlos so sucojutos de que Cerrdos. Cudo sus etremos sí perteece l sucojuto. Se represet como [,] y comprede todos los úmeros reles que cumple co: [,] {, }. Aiertos. Cudo sus etremos o perteece l sucojuto. Se represet como (,) y comprede todos los úmeros reles que cumple co: (,) { < <, }. < < Semiiertos por l izquierd. Cudo el primer etremo o perteece l sucojuto y el segudo, y comprede todos los úmeros reles que cumple co: etremo si. Se represet como ( ] (,] { <, }. 0
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM El cmpo de los úmeros reles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios < Semiiertos por l derech. Cudo el primer etremo perteece l sucojuto y el segudo, y comprede todos los úmeros reles que cumple co: etremo o. Se represet como [ ) [,) { <, }. < Ifiitos. El ifiito, y se positivo o egtivo, o es u etremo determido, sí que siempre será ierto. Eiste cico csos: Cerrdos l izquierd: [, ) {, }. Cerrdos l derech: ( ] {,, }. Aiertos l izquierd: (, ) { >, }. >
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM El cmpo de los úmeros reles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios Aiertos l derech: ( ) { <,, }. < Aierto completmete: es quel que cotiee todos los úmeros reles:, <, }. ( ) { < < Grficr los siguietes itervlos: ) [, ] - - - - - - 0 ) (, ) < < - - - - - - 0 ) [ 0, ) 0 - - - - - - 0 ) (, ) < - - - - - - 0
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM El cmpo de los úmeros reles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios III.8 LEYES DE EXPONENTES Se u úmero rel. Si se multiplic por sí mismo se otiee. Si este resultdo se multiplic uevmete por result. De mer sucesiv, si se multiplic por si mism veces, se otiee: veces Pr simplificr este tipo de epresioes se costumr utilizr u otció revid, tl que: y e geerl: veces Dode es llmd se y el úmero escrito rri y su derech, es llmdo epoete. El epoete idic el úmero de veces que l se se tom como fctor. Primer ley de los epoetes Se u úmero rel diferete de cero y dos úmeros turles y m tmié diferetes de cero. Etoces, se cumple que: m + m Al multiplicr potecis co l mism se, se mtiee l se y se sum los epoetes. + ) ( )( ) 8 ) ( )( ) 0 7 ) ( k )( k )( k ) 0k ) ( 8 ) ) 8 p q p q q 8 0 p 9 q 0 p 9 q 0 Segud ley de los epoetes Se u úmero rel diferete de cero y dos úmeros turles y m tmié diferetes de cero. Etoces, se cumple que:
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM El cmpo de los úmeros reles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios m m Al dividir potecis co l mism se, se mtiee l se y se rest los epoetes. ) ) ) ) ) 7 0 8 7 7 8k m k m 7k m 8 8 y y z z 7 y z Tercer ley de los epoetes Se u úmero rel diferete de cero. Si e l ley terior, se hce que 0. m, se tiee que: Pero l dividir u epresió por si mism el resultdo es l uidd, sí que se cumple que: 0 Culquier se diferete de cero elevd l poteci cero es uo. 0 ) 0 ) ( ) ) ( yz ) 0 7 ) 9 0 ) 7
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM El cmpo de los úmeros reles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios Curt ley de los epoetes Se u úmero rel diferete de cero y dos úmeros turles y m tmié diferetes de cero. Etoces, se cumple que: m m ( ) Al elevr u poteci otr poteci, se mtiee l se y se multiplic los epoetes. ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) e e e ( ) ) ( ) Quit ley de los epoetes Se dos úmeros reles y y diferetes de cero y u úmero turl tmié diferete de cero. Etoces, se cumple que: ( y ) y El producto de uo o más fctores que se elev todos l vez u epoete es igul u producto de cd fctor elevdo l epoete. 0 0 ) ( ) ) ( k ) ( ) k 7k ) ( ) y y y ) ( ) 0m p 0 m p ' 000, 000m p 0 8 0 8 ) ( ) Set ley de los epoetes Se dos úmeros reles y y diferetes de cero y u úmero turl tmié diferete de cero. Etoces, se cumple que: y y, y 0 El cociete de uo o más fctores que se elev todos l vez u epoete es igul l cociete de cd fctor elevdo l epoete.
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM El cmpo de los úmeros reles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios ) y y ) ( ) ( ) d c cd cd ) ( ) ( ) 8 p p p p ) ( ) ( ) 8 8 m k m k m k m k ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 8 79 09 z w y, z w y z w y Séptim ley de los epoetes Se u úmero rel diferete de cero. Si es u úmero etero diferete de cero, por ls leyes teriores se cumple que: 0 Pero el recíproco del úmero rel se defiió como, y que cumple co. Comprdo ls epresioes, se lleg : Elevr u epresió u poteci eter egtiv, equivle formr u frcció co umerdor uo y cuyo deomidor es l mism epresió pero co l poteci positiv. ) ) ) 0 7 8 8 q p q p q p q p ) c c c c 8 7 ) ( )
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM El cmpo de los úmeros reles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios III.9 NOTACIÓN CIENTÍFICA E ls ciecis es frecuete ecotrr ctiddes muy grdes o muy pequeñs que cotiee u gr ctidd de ceros. ) L distci medi de l Tierr l Sol es de 900000000 metros. ) U mililitro es l milésim prte de u milloésim de metro cúico, es decir: ml 0. 00000000 m. A fi de evitr escriir tt cifr, estos úmeros se puede compctr medite l otció cietífic. L otció cietífic es u úmero escrito jo l form Pr trsformr u úmero otció cietífic, eiste dos csos: A 0, dode A < 0 y es u etero. Cudo el úmero es myor o igul diez, el puto deciml se recorre posicioes l izquierd y el epoete es positivo Cudo el úmero es meor de uo, el puto deciml se recorre posicioes l derech y el epoete es egtivo E los ejemplos pltedos, l distci que sepr l Tierr del Sol se puede epresr como 9. 9 0 metros, por su prte, u mililitro equivle 0 metros cúicos. Epresr los siguietes úmeros e otció cietífic: ) 70000000 Solució. Se recorre el puto deciml ueve posicioes l izquierd: 70000000 7. 0 9 ) 0. 000000000079 Solució. Moviedo el puto deciml oce posicioes l derech: 0. 000000000079 7. 9 0 Pr trsformr u úmero epresdo e otció cietífic otció orml, eiste dos csos: Cudo >, se le greg ceros hst que el puto deciml recorr posicioes l derech. Cudo <, se le greg ceros hst que el puto deciml recorr posicioes l izquierd. Covertir los siguietes úmeros epresdos e otció cietífic otció orml: ). 7 0 Solució. Se recorre el puto deciml seis posicioes l derech y se greg ceros:. 7 0 700000. 8 0 ) Solució. 9 7
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM El cmpo de los úmeros reles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios Moviedo el puto deciml ueve posicioes l izquierd y gregdo ceros: 9. 8 0 0. 000000008 III.0 LOGAITMOS Se l epresió:, co > 0 y. Se deomi logritmo se del úmero l epoete l que hy que elevr l se pr oteer dicho úmero. Es decir: que se lee como "el logritmo se del úmero es y como se puede precir, u logritmo represet u epoete. L costte es u úmero rel positivo distito de uo, y se deomi se del logritmo. L poteci pr culquier vlor rel de solo tiee setido si > 0. ) log ) 8 log 8 ) 8 log ) ) 0 Logritmos Decimles: 8 log log 0 log Se llm logritmos decimles los logritmos que tiee por se el úmero diez. Al ser muy hitules es frecuete o escriir l se: log 0 log Logritmos Nturles: Se llm logritmos turles (tmié llmdos eperios) los logritmos que tiee por se el úmero irrciol e.788889, y se deot como l o por L : log e l L log log 0. log e 8 l 8. 9 8
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM El cmpo de los úmeros reles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios Pr potecis eters de diez, los logritmos decimles cumple co: 0 0. 0 log 0. 0 0 0. log 0. 0 0 log 0 0 0 log 0 0 00 log 00 0, 000 log, 000 0 0, 000 log 0, 000 Los logritmos decimles de los úmeros compredidos etre otros dos, cuyos logritmos decimles so úmeros eteros, so úmeros decimles. Todo úmero deciml se compoe de prte eter y prte deciml. L prte eter recie el omre de crcterístic y l prte deciml, mtis. L prte eter del logritmo o crcterístic depede del itervlo e el que se defi el úmero y l prte deciml o mtis del vlor de ls cifrs sigifictivs del úmero. Por ejemplo, pr log., l crcterístic es y l mtis es 0.. L mtis siempre es positiv, pero l crcterístic puede ser cero si el úmero está compredido etre y 0, es positiv, sí el úmero es myor que 0 o egtiv si el úmero es meor que. Ls potecis de 0 sólo tiee crcterístic, su mtis es 0. E el logritmo de u úmero meor que l crcterístic es egtiv, pero l mtis es positiv. Por ejemplo log 0. + 0. 98970 y o puede escriirse como 98970, pues esto idic que tto l crcterístic como l mtis. so egtivs. El modo correcto de escriirlo, idicdo que sólo l crcterístic es egtiv, es. 98970. ) Pr. 798 ) Pr log 7 0. 8098, l crcterístic es 0 log, l crcterístic es ) Pr log 0. 09. 98, l crcterístic es Ls propieddes de los logritmos so ls siguietes: ) log 0 ) log log + u ) log log u log v v ) log u log u ) log u log u ) ( u v) log u log v 9
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM El cmpo de los úmeros reles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios Compror ls propieddes de los logritmos. ) log 0 0 log 0 ) log 0 ) log ( 00, 000) log 00, 000 que equivle clculr: log 00 + log, 000 + ' 000, 000 ) log log 0, 000 00 que equivle clculr: log ' 000, 000 log 00 ) log 0 log 00 que equivle clculr: log 0 ( ) ) log 0, 000 log 00 que equivle clculr: log 0, 000 ( ) Aplicdo ls propieddes de los logritmos, simplificr l siguiete epresió: log ( )( ) c Solució. ( )( ) ( )( ) log log c c Siedo que 00 [ log ( )( c) log c] ( log + log log c) log y que log 0. 00, plicdo ls propieddes de los logritmos y si log, log, log, log. usr l clculdor, determir los vlores proimdos de: 00 Solució. log 00 log 00 log 00+ log + 0. 00. ( )( ) 00 00 log log log00log 0. 00. 98 log log log ( 0. 00). 0 0. 00 log log log 0. 00 U tilogritmo es el úmero que correspode u logritmo ddo. Cosiste e el prolem iverso l cálculo del logritmo de u úmero. Esto es: log y tilog y es decir, cosiste e elevr l se l úmero que result. y 0
Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM El cmpo de los úmeros reles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios log, 7. 80 0 ti log 0. 80, 7 0. 80, 7 Cmio de Bse: Dd u se coocid, pr clculr u logritmo de u úmero e culquier se, se plic log l siguiete epresió: log. log Por coveieci, l se elegid pr geerlmete es l diez, sí que l epresió qued como: Clculr: log 70 log log log 0 Solució: se idetific ls vriles:, 70, 0 log 70. 787 log 70. 7708 log 0. 77 Comproció:. 7708 70 0