CENTRO DE RESISTENCIA EN EDIFICIOS DE HORMIGÓN ARMADO

II Congreso de CIENCIA Y TECNOLOGÍA CENTRO DE RESISTENCIA EN EDIFICIOS DE HORMIGÓN ARMADO Roberto Aguar (1), Slva Vallejo (2), Gabrela Salazar (2), Wllam Herrera (2), Raúl Toscano (2), César Chluza (2), Galo Rodríguez (2) y Myram Carrera (2) (1) Centro de Investgacones Centífcas Escuela Poltécnca del Ejércto raguar@espe.edu.ec (2) Carrera de ngenería Cvl Escuela Poltécnca del Ejércto RESUMEN Se presenta el cálculo del Centro de Resstenca en 72 edfcos rregulares de hormgón armado de 3, 6 y 9 psos. La ubcacón del Centro de Resstenca se compara con la ubcacón del Centro de Masa y con la ubcacón del Centro de Rgdez. Se nca el artículo presentando el Método Estátco Equvalente, el Método Estátco de Torsón y una síntess de la forma como se obtene la excentrcdad de dseño en funcón de la excentrcdad estátca y de la excentrcdad accdental. Todo esto con el propósto de ndcar que exsten dos metodologías para resolver el problema de torsón en edfcos rregulares, la una en base al Centro de Rgdez y la otra en base al Centro de Resstenca. Con este artículo se nca la segunda metodología. 1. ANTECEDENTES Uno de los métodos de análss sísmco para edfcos de medana y baja altura es el Método Estátco Equvalente. En efecto, la norma COVENIN 1756-98 (2001) permte su utlzacón hasta en edfcos que no pasen los 10 psos o los 30 m., de altura. Lo que no toman en cuenta, algunos proyectstas, es la ncorporacón de los efectos torsonales talvez porque en determnadas normas sísmcas no está especfcado en forma clara por este motvo se descrbe brevemente el Método Estátco Equvalente, ncluyendo los efectos torsonales y después se plantea la problemátca del método, ya que está bastante ben formulado para cuando la estructura trabaja en el rango elástco pero no está ben formulado cuando la estructura trabaja en el rango nelástco y la mayor parte de códgos establecen un ssmo de dseño para que la estructura trabaje en el rango nelástco. El procedmento a segur, es el sguente: 1. Se establece el factor de reduccón de las fuerzas sísmcas R, este es un tema muy complejo que ha sdo estudado por una gran cantdad de nvestgadores, a nvel mundal, desde Newmark (1962) hasta Chopra (2005). En el Centro de Investgacones

88 Aguar, Vallejo, Salazar, Herrera, Toscazo, Chluza, Rodríguez y Carrera Centífcas, CEINCI, de la ESPE se han realzado varas publcacones al respecto y varas de ellas están recopladas en Aguar (2006). No nteresa por ahora entrar en este campo, lo certo es que con bastante cudado el proyectsta debe determnar el factor R de acuerdo a la tpología de su estructura. 2. Se encuentra el cortante basal de dseño V para una determnada dreccón de análss. Para el Códgo Ecuatorano de la Construccón, CEC-2000 se tene: Z I C V = W R φ φ p 1.25 S C = T e S ( 1 ) Donde Z es el factor de zonfcacón sísmca; I es el coefcente de mportanca, φ p, φ e factores que toman en cuenta las rregulardades en planta y elevacón; W es la carga reactva; R es el factor de reduccón de las fuerzas sísmcas por comportamento nelástco de la estructura; S factor de amplfcacón por efecto del suelo; T es el período fundamental de la estructura. 3. Se encuentran las fuerzas horzontales en cada pso F x, medante la sguente expresón: F x ( V F ) w F = 0.07 T V t = n = 1 t w h x h x ( 2 ) Sendo w el peso del nvel ; h es la altura desde la base hasta el nvel, F t es la fuerza en el tope que no debe ser mayor a 0.25V y puede ser nula cuando T 0.7 s. 4. Se determna el Centro de Masa C.M. y el Centro de Rgdez C.R. de cada una de las plantas. Se defne el C.M., como el lugar geométrco en el cual se supone que está concentrada la masa y para el C.R., exsten algunas defncones, la formulada por la norma COVENIN 1756-98 (2001) es como sgue. El C.R. de un nvel es el punto del nvel donde al aplcar una fuerza cortante horzontal, el nvel se traslada sn rotar respecto al nvel nferor. Para una estructura de un pso es bastante sencllo, calcular el C.R. en base a la rgdez de sus elementos, pero para un edfco de varos psos ya no es tan sencllo, exsten métodos generales para calcular C.R. Vllafañe y Crsafull (1986). La dstanca entre el C.M. y el C.R. se denomna excentrcdad estátca. Para lustrar lo expuesto en la fgura 1, se ndca el C.M. y el C.R., en un determnado pso de una estructura. La excentrcdad estátca se ha defndo por e x, e y. En la fgura 1 se ha ndcado además las fuerzas estátcas F x que actúa en la dreccón X, y la fuerza F y que actúa en la dreccón Y. Son estas fuerzas las que provocan la torsón con respecto al C.R.

II Congreso de Cenca y Tecnología. 89 Fgura 1 Ubcacón del Centro de Masa y Centro de Rgdez en un pso de una estructura. 5. Se halla la excentrcdad de dseño e d que es gual a la excentrcdad estátca e s, mayorada por un factor de amplfcacón dnámca más la excentrcdad accdental que es funcón de un porcentaje de la dstanca de la planta en la dreccón perpendcular a la del análss sísmco. e e d d = α e = δ e s s + β L β L ( 3 ) Donde α es el factor de amplfcacón dnámca torsonal para la dreccón consderada; δ factor de control de dseño de la zona más rígda de la planta para la dreccón consderada. Los valores de α, δ varían entre 1.0 y 1.5; β es el porcentaje que varía entre el 5% y 15%, L es la dstanca perpendcular a la dreccón del análss sísmco. 6. En cada nvel y se hallan los momentos de torsón M t medante las sguentes ecuacones. M M t t = V = V ( α es + β L ) ( δ e β L ) Donde V es el cortante del pso ; e s es la excentrcdad estátca del pso ; dstanca perpendcular a la dreccón del análss sísmco en el pso. s ( 4 ) L es la 7. Se resuelve un problema estátco en el cual solo actúan los momentos de torsón M t en cada pso y se hallan las fuerzas laterales que se generan en cada pórtco. Estas fuerzas se obtendrán en valor absoluto. 8. Las fuerzas laterales fnales en cada pórtco es gual a las fuerzas debdas al efecto de traslacón, obtendas con la ecuacón ( 2 ) más las fuerzas debdas a la torsón.

90 Aguar, Vallejo, Salazar, Herrera, Toscazo, Chluza, Rodríguez y Carrera 2. SIMPLIFICACIÓN DEL ANÁLISIS El análss estátco se smplfca notablemente cuando los factores de amplfcacón dnámca por torsón son guales a la undad α = δ = 1. En este caso no es necesaro calcular el centro de rgdez y la excentrcdad estátca, basta con consderar que las fuerzas halladas con la ecuacón (2) actúan en el centro de masa, más un momento torsor adconal debdo a la torsón accdental. El CEC-2000 consdera que α = δ = 1 La excentrcdad accdental se debe a una sere de hpótess que se consderan en el análss sísmco, para smplfcar el análss y que puede llevar a que el C.M., por ejemplo, no esté en el lugar que se ha calculado s no que esté desfasado. Que la longtud de la onda sísmca varíe a lo largo del edfco, que la componente rotaconal del ssmo sea mportante y no se tomó en cuenta. Todas estas omsones y otras más, conducen a que se mayoren las fuerzas sísmcas halladas con la ecuacón ( 2 ) por lo que se ha denomnado torsón accdental. Lo mportante es tener presente es que las fuerzas laterales que se generan en los pórtcos debdo a la torsón accdental se deben ncrementar a las fuerzas estátcas equvalentes por traslacón y que por nngún caso estás fuerzas van a dsmnur. El Unform Buldng Code, UBC(1997) y el CEC-2000, ncorporan un factor adconal, denomnado A x para mayoral la torsón accdental en edfcos con rregulardades torsonales. De tal manera que el momento de torsón accdental, para estos códgos es: M t = V 1.0 A x ( 0.05 A L ) x δ max = 1.2 δ avg 2 3.0 Donde δ max es el desplazamento lateral máxmo del pso consderado y δ avg es el desplazamento promedo en los puntos extremos (pórtcos extremos) de la estructura, para el pso consderado. El valor de A tene que ser mayor a la undad y menor que 3. x ( 5 ) Para encontrar los desplazamentos laterales y poder calcular δ max y δ avg se necesta conocer las fuerzas laterales pero estas se conocen úncamente del efecto de traslacón. Por lo tanto Ax se debe calcular en forma sucesva empezando con un valor A x = 1, para este valor se hallan las fuerzas laterales debdas a torsón accdental y las fuerzas laterales que estás generan. Con las fuerzas laterales de traslacón y de torsón se halla un nuevo A x y se repte el cálculo hasta lograr una convergenca entre dos valores consecutvos de A x. 3. PROBLEMÁTICA DEL PROCEDIMIENTO INDICADO El centro de rgdez, es un parámetro mportante que controla los efectos de torsón pero por la forma de cálculo está orentado a estructuras que trabajan en el rango elástco. En efecto se obtene el barcentro de las rgdeces de los pórtcos resstentes en base a una sola rgdez de sus elementos pero ante la accón de un ssmo severo como el especfcado en las normatvas sísmcas por su espectro de dseño, se espera que la estructura ngrese al rango no lneal y en este caso se camba la rgdez de sus elementos y consecuentemente la ubcacón del C.R.

II Congreso de Cenca y Tecnología. 91 El problema de torsón no se está resolvendo con el enfoque ndcado en el apartado anteror. Lo que se está hacendo es ncrementar la fuerza lateral de los pórtcos, lo que conduce a ncrementar la resstenca de los pórtcos pero el problema de torsón subsste. Paulay (1996, 1997). Por este motvo es que Paulay (1997) propone otro enfoque para mnmzar los problemas de torsón en edfcos basado en controlar la demanda de ductldad por desplazamentos laterales, en los dferentes pórtcos o planos resstentes, dsmnuyendo la ductldad global del sstema. Crsafull (2000). Este nuevo enfoque se basa en la determnacón del Centro de Resstenca, C.Re. que se defne como el barcentro de la resstenca lateral de los pórtcos. En este artículo no se profundza en el control de la demanda de ductldad, úncamente se lustra como se obtene el C.Res. 4. CENTRO DE RESISTENCIA El C.Res., tene valdez no solo cuando la estructura trabaja en el rango elástco sno tambén cuando la estructura trabaja en el rango no lneal. Se propone el sguente procedmento para hallar el C.Res. 1. Encontrar la curva de capacdad sísmca resstente, que relacona el desplazamento lateral máxmo en el tope del edfco D t con el cortante basal V, aplcando la técnca del pushover, descrta en Aguar (2002, 2003). En la fgura 2 se ndca está curva para un determnado pórtco. Fgura 2 Capacdad Sísmca resstente de un pórtco. 2. Se halla un modelo blneal de la curva de capacdad sísmca y se determna el punto de fluenca de la estructura, defndo por el D ty, V y y el punto de colapso D tu, V u, como se apreca en la fgura 3. Se destaca que exsten varos crteros para hallar el punto de fluenca, uno de los más utlzados es el de guales áreas. Aguar (2002). 3. Se determna un modelo elasto perfectamente plástco del modelo blneal, para lo cual se defne V como la semsuma de los cortantes a nvel de fluenca y de colapso. En la fgura 4 se ndca el respectvo modelo.

92 Aguar, Vallejo, Salazar, Herrera, Toscazo, Chluza, Rodríguez y Carrera V V y + V u = 2 ( 6 ) Fgura 3 Modelo Blneal de la curva de capacdad sísmca. Fgura 4 Modelo Elasto perfectamente plástco de la curva de capacdad sísmca. 4. En base a V se determna las coordenadas C. Res., por equlbro de fuerzas y momentos. El cortante V se aplca como una fuerza estátca en el pórtco. En la fgura 5 se lustra con un ejemplo el cálculo del C.Res, que está defndo por las coordenadas X,. R Y R Se ha colocado todas las capacdades al corte de los pórtcos, pero el cálculo se realza por etapas, en prmer lugar se colocan todos los cortantes en sentdo X, se efectúa el equlbro de fuerzas en ese sentdo y se encuentra la resultante de 159.022 T. Luego por equlbro de momentos se halla la dstanca Y R. Después se colocan los cortantes en el otro sentdo, se realza el equlbro de fuerzas y se obtene 156.876 T. Del equlbro de momentos se determna X. R

II Congreso de Cenca y Tecnología. 93 Fgura 5 Determnacón de las coordenadas del Centro de Resstenca. 5. ESTRUCTURAS DE ANÁLISIS Se analzan 2 edfcos de tres psos, las dmensones de las columnas y vgas de uno de ellos, son pequeñas, razón por la cual se le denomna edfco flexble y al otro que tene dmensones mayores se le llama edfco rígdo. De gual manera se analzan 2 edfcos de 6 psos y 2 de 9 psos. En total 6 edfcos, para cada uno de estos edfcos se consdera 12 casos de armadura longtudnal, en todos los casos los estrbos de vgas y columnas son de 8 mm., de dámetro y están espacados cada 10 y 20 cm. En las tablas 1 y 2 se ndcan las dmensones de las columnas de los edfcos flexbles y rígdos; en la 3 y 4 de las vgas, en el msmo orden; en la 5 y 6 las cargas consderadas para el análss, y en la tabla 7 los casos de la armadura longtudnal de vgas y columnas. En total se tenen 72 edfcos analzados. Tabla 1 Dmensones de columnas en edfcos flexbles. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 40/40 40/40 35/35 6 50/50 50/50 45/45 45/45 40/40 40/40 9 70/70 70/70 65/65 65/65 60/60 60/60 55/55 55/55 50/50 Edfco- Psos Edfco- Psos Tabla 2 Dmensones de columnas en edfcos rígdos. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 60/60 60/60 55/55 6 80/80 80/80 75/75 75/75 70/70 70/70 9 100/100 100/100 95/95 95/95 90/90 90/90 85/85 85/85 80/80

94 Aguar, Vallejo, Salazar, Herrera, Toscazo, Chluza, Rodríguez y Carrera Tabla 3 Dmensones de vgas en edfcos flexbles. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 40/35 40/35 40/30 6 45/35 45/35 40/35 40/35 40/30 40/30 9 60/40 60/40 60/35 60/35 60/35 60/35 55/35 55/35 50/30 Tabla 4 Dmensones de vgas en edfcos rígdos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 40/60 40/60 40/50 6 60/60 60/60 60/55 60/55 60/50 60/50 9 80/70 80/70 80/65 80/65 70/65 70/65 70/60 70/60 70/60 Tabla 5 Cargas consderadas en edfcos flexbles. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 700 650 600 6 900 850 800 750 700 650 9 1200 1150 1100 1050 1000 950 900 850 800 Edfco- Psos Edfco- Psos Edfco- Psos Edfco- Psos Tabla 6 Cargas consderadas en edfcos rígdos. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 800 750 700 6 1200 1150 1100 1050 1000 950 9 1500 1450 1400 1350 1300 1250 1200 1150 1100 Caso Tabla 7 Armadura longtudnal consderada en el estudo. Cuantía de armadura nferor de vga ρ en % Cuantía de columna ρ en % Cuantía de la armadura superor de vga ρ en % 1 1.0 0.50 0.75 2 1.0 0.75 1.00 3 1.0 1.00 1.25 4 1.0 1.25 1.50 5 1.5 0.50 0.75 6 1.5 0.75 1.00 7 1.5 1.00 1.25 8 1.5 1.25 1.50 9 2.0 0.50 0.75 10 2.0 0.75 1.00 11 2.0 1.00 1.25 12 2.0 1.25 1.50 La altura de pso de los edfcos consderados flexbles es de 3.0 m., y la de los edfcos rígdos 3.5 m. En la fgura 6 se ndca las áreas trbutaras con las cuales se obtuvo la masa de cada uno de los pórtcos, para hallar la capacdad sísmca resstente.

II Congreso de Cenca y Tecnología. 95 Fgura 6 Áreas cooperantes para hallar la capacdad sísmca resstente de los pórtcos. 6. RESULTADOS DEL CENTRO DE RESISTENCIA 6.1 Edfcos Flexbles En el edfco de 9 psos, el Centro de Masas tene las sguentes coordenadas, meddas con relacón al eje A-4. Todos los edfcos analzados tenen el msmo C.M., debdo a que la confguracón en planta es la msma. X = 6.73 m. Y 6.80 m. CM CM = Las coordenadas del Centro de Rgdez, del edfco de 9 psos, se consdera gual en todos los psos y es la sguente. X = 6.786 m. Y 7.286 m. CR CR = En la tabla 8 se ndcan las coordenadas del Centro de Resstenca del edfco de nuevo psos, para cada uno de los 12 casos de armadura longtudnal de vgas y columnas. Nótese que la ubcacón del C.Res., varía muy poco. En forma general se puede decr que varía en el segundo dígto. Pero lo que s varía en forma más sgnfcatva es la ubcacón del C.R. En efecto este centro se halla más alejado del C.Res. con relacón al C.M. No se cuestona la ubcacón del C.R. o del C. Res. Lo que se plantea es que no todos los pórtcos van a desarrollar la msma demanda de ductldad, habrá pórtcos que desarrollen menores demandas de ductldad lo que mplca dsmnur la demanda global del edfco. Este cálculo se lo obtene sguendo la metodología de Park (1996, 1997). En este artículo úncamente se perseguía es presentar un procedmento para hallar el C.Res.

96 Aguar, Vallejo, Salazar, Herrera, Toscazo, Chluza, Rodríguez y Carrera Tabla 8 Coordenadas del Centro de Resstenca del edfco de 9 psos. CASO X CRESIS Y CRESIS e x e y 1 6.6126 6.9796 0.1182 0.1719 2 6.6268 6.9345 0.1039 0.1268 3 6.6020 6.9526 0.1287 0.1449 4 6.5894 6.9399 0.1414 0.1322 5 6.6073 6.9987 0.1234 0.1910 6 6.6439 6.9528 0.0868 0.1451 7 6.6049 6.9531 0.1259 0.1454 8 6.6001 6.9395 0.1307 0.1318 9 6.6285 6.9881 0.1023 0.1804 10 6.6202 6.9610 0.1106 0.1533 11 6.6007 6.9714 0.1301 0.1637 12 6.6106 6.9640 0.1201 0.1563 En la fgura 7 se presenta la ubcacón del C.M., C.R., y del C. Res. En el edfco de 6 psos, con un comportamento smlar al obtendo en el edfco de 9 psos. Fgura 7 Centro de Masa, Centro de Rgdez y Centro de Resstenca en edfco de 6 psos En la tabla 9 se presentan la ubcacón del Centro de Resstenca en los edfcos flexbles de 3 y 6 psos. En la tabla 10 se presentan los resultados hallados en los edfcos flexbles de 3, 6 y 9 psos. En todos los casos se apreca que el C.Res., varía lgeramente en funcón de la armadura longtudnal.

II Congreso de Cenca y Tecnología. 97 Tabla 9 Centro de Resstenca en edfcos flexbles de 6 psos y de 3 psos Caso 6 Psos 3 Psos X CRES Y CRES X CRES Y CRES 1 6.617 6.693 6.764 7.139 2 6.627 6.714 6.889 7.133 3 6.603 6.682 6.880 7.139 4 6.525 6.646 7.001 7.137 5 6.638 6.695 6.785 7.278 6 6.641 6.671 6.779 7.265 7 6.615 6.657 6.812 7.178 8 6.568 6.684 6.779 7.299 9 6.615 6.675 6.779 7.273 10 6.633 6.674 6.762 7.285 11 6.615 6.660 6.790 7.215 12 6.607 6.676 6.812 7.307 Tabla 10 Centro de Resstenca en edfcos rígdos de 3, 6 y 9 Psos. Caso 3 Psos 6 Psos 9 Psos X CRES Y CRES X CRES Y CRES X CRES Y CRES 1 6,98 6,99 6,557 6,932 6,703 6,788 2 6,99 7,00 6,573 6,939 6,712 6,836 3 6,96 6,97 6,550 6,941 6,729 6,874 4 7,03 7,04 6,663 7,025 6,72 6,835 5 6,97 6,97 6,571 6,959 6,735 6,797 6 6,98 6,98 6,553 6,936 6,742 6,811 7 6,98 6,98 6,554 6,915 6,729 6,794 8 6,97 6,98 6,574 6,947 6,724 6,771 9 6,95 6,95 6,590 6,982 6,725 6,892 10 6,98 6,98 6,564 6,956 6,762 6,799 11 6,98 6,98 6,614 6,950 6,723 6,801 12 6,92 6,92 6,639 6,953 6,724 6,791 7. CONCLUSIONES Exsten dos formas de tratar el problema de la torsón en edfcos rregulares, el prmero en funcón del centro de rgdez y el segundo en funcón del centro de resstenca. La prmera forma es la que se ha vendo trabajando y consste en ncrementar la resstenca lateral de los pórtcos. La segunda forma a través del centro de resstenca tene como objetvo encontrar la verdadera demanda de ductldad de los pórtcos y consecuentemente encontrar la demanda de ductldad global. En este artículo se propone una forma de hallar el centro de resstenca y se han resuelto 72 edfcos con la msma dstrbucón en planta. Del estudo realzado se desprenden las sguentes conclusones: La ubcacón del centro de resstenca varía muy poco en relacón al armado que tene la estructura. Se destaca que la armadura de todos los elementos se ncrementó en forma proporconal.

98 Aguar, Vallejo, Salazar, Herrera, Toscazo, Chluza, Rodríguez y Carrera En la ubcacón del Centro de Resstenca se toma en cuenta el comportamento no lneal de la estructura. Lo que no sucede con la ubcacón del Centro de Rgdez que tene su valdez en el rango elástco. Se ha propuesto una metodología para el cálculo del centro de resstenca en base a la curva de capacdad sísmca resstente de los pórtcos. Se espera haber aportado al estudo de la Torsón en edfcos rregulares. REFERENCIAS 1. Aguar R., (2006), Derva máxma de pso y curvas de fragldad en edfcos de hormgón armado, Centro de Investgacones Centífcas. Escuela Poltécnca del Ejércto, 188 p., Quto. 2. Chopra A., (2005) Estmatng sesmc demands for performance-based engneerng of buldngs, Congreso Chleno de Ssmología e Ingenería Antsísmca. IX Jornadas, 34 p Concepcón, Chle. 3. Crsafull F., y Fornca R., (2000), Efectos de torsón en el dseño ssmo resstente de estructuras. Una revsón crítca, Segundo congreso Iberoamercano de Ingenería Sísmca, 10 p, Madrd, España. 4. Newmark N. (1962), An evaluaton of scalng methods for earthquake response spectra, Cvl Engneerng Studes, Structural Research Seres, Department of Cvl Engneerng, Unversty of Illnos, 449, Urbana, Illnos. 5. Paulay T., (1996), Sesmc desgn for torsonal response of ductle buldngs, Bulletn of the New Zealand Natonal Socety for Earthquake Engneerng, 29 (3), 178-198. 6. Paulay T., (1997), Sesmc torsonal effects on ductle structural wall systems. Journal of the Earthquake Engneerng, 1 (4). 7. Vllafañe E., Crsafull F., (1986), Sobre la ntroduccón de las normas antsísmcas para el análss de la torsón en modelos trdmensonales de edfcos, VI Jornadas Argentnas de Ingenería Estructural, Tomo II, 421-433, Buenos Ares.