Uidad 1: Números Complejos 11 Itroducció Además de los cojutos de úmeros aturales, eteros, racioales y reales existe el cojuto de úmeros complejos que juega u rol importate o solo e matemáticas sio e las ciecias e geeral La primera aplicació matemática que tiee estos úmeros es que sirve para resolver la siguiete ecuació 1 x 2 = 1 (1) Babiloios, Griegos y Árabes cosideraba imposible la solució de éste problema El primer idicio de solució surgió co Girolamo Cardao (1501-1576) y Tartaglia (199-1557) A partir de etoces y durate varios siglos, los matemáticos trabajaro co úmeros complejos si cofirmar su existecia Actualmete so muy utilizados e las aplicacioes prácticas como e las corrietes eléctricas y e la física subatómica Sabemos que esta ecuació o tiee solució real, ya que cualquier úmero real elevado al cuadrado es o egativo Para resolver la ecuació (1) itroduciremos la uidad imagiaria, deotada por i, co la siguiete propiedad i 2 = 1, como su cuadrado es egativo, la letra i o represeta u úmero real El sistema umérico que resultó al itroducir la uidad imagiaria, se llama cojuto de úmeros complejos 12 Forma biómica o caóica Defiició 1 Sea a y b úmeros reales, defiimos el úmero complejo z como z = a + b i, dode i 2 = 1 Ésta es la forma biómica o caóica del úmero complejo z El cojuto de úmeros complejos se lo deota por C Notamos que si z = a + b i y b = 0 etoces el úmero complejo es simplemete u úmero real Es decir, que cualquier úmero real x, se lo puede ver o mirar como u úmero complejo de la forma z = x + 0 i Esto os dice que el cojuto de úmero complejos cotiee al cojuto de úmeros reales Por esto decimos que a es la parte real y b la parte imagiaria del úmero complejo a + b i La igualdad, suma, resta y multiplicació de úmeros complejos, está defiidas de modo que se coserva las reglas del álgebra de úmeros reales Esto es: Defiició 2 Dos úmeros complejos z = a + b i y w = c + d i so iguales cuado tiee la misma parte real e imagiaria, es decir z = w cuado a = c y b = d 121 Operacioes etre úmeros complejos Producto por u real k : Defiició 3 Dado u úmero complejo a + b i y u úmero real k etoces Ejemplo 1 Dado z = 2 3 i, calcular 1 ( 2) z = ( 2) 2 + (( 2) ( 3)) i = + 6 i 2 1 2 z = 1 2 (2 3 i) = 1 2 2 + 1 2 ( 3) i = 1 3 2 i 1 Ver la solució e Ejemplo 18, al fial de la uidad k (a + b i) = ka + (kb) i 1 Álgebra 2013, segudo cuatrimestre
Suma: Defiició Si z = a + b i y w = c + d i so dos úmeros complejos etoces Resta: z + w = (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i Defiició 5 Si z = a + b i y w = c + d i so dos úmeros complejos etoces z w = (a c) + (b d) i Observació La resta de dos úmeros complejos se puede defiir e forma similar al de úmeros reales, es decir z w = z + ( 1)w ( 1) w se lo deomia el opuesto de w Observació Todas las operacioes (suma, producto, producto y cociete) de úmeros complejos cumple propiedades aálogas a las correspodietes e úmeros reales, por ejemplo: asociativa, comutativa, distributiva, etc Ejemplo 2 Calcular: 1 (2 3i) + ( 1 + i) = (2 1) + ( 3 + ) i = 1 + 1i = 1 + i 2 (2 3i) ( 1 + i) = (2 ( 1)) + ( 3 ) i = (2 + 1) + ( 7) i = 3 7i Multiplicació o producto: Defiició 6 Si z = a + b i y w = c + d i so dos úmeros complejos etoces el producto es: z w = (a + b i) (c + d i) = (ac bd) + (ad + bc) i Observació Para multiplicar dos úmeros complejos podemos usar la defiició aterior o la propiedad distributiva y que i 2 = 1, como lo muestra los ejemplos siguietes Ejemplo 3 1 Resolver usado la defiició del producto de complejos: (2 3i) ( 1 + i) = (2 ( 1) ( 3) ) + ((2) + ( 3) ( 1)) i = ( 2 ( 12)) + (8 + 3) i = ( 2 + 12) + (11) i = 10 + 11i 2 Resolver usado la propiedad distributiva y que i 2 = 1: (2 3i) ( 1 + i) = 2 ( 1) + 2 (i) + ( 3i) ( 1) + ( 3i) (i) = 2 + 8i + 3i + ( 12i 2) = 2 + 11i 12 ( 1) = ( 2 + 12) + (11) i = 10 + 11i Las propiedades comutativa, asociativa y distributiva, so verdaderas para los úmeros complejos Para aalizar la existecia del iverso multiplicativo de u úmero distito de cero se debe hacer alguas cosideracioes previas: Cojugado de u úmero complejo: Defiició 7 El cojugado del úmero complejo z = a + b i es z = a b i Ejemplo Calcular el cojugado de los siguietes úmeros complejos 1 2 + 3i = 2 3i = 2 3i 1 2 i = 2 + i 2 2 = 2 + 0i = 2 2 Álgebra 2013, segudo cuatrimestre
Propiedades del cojugado de u úmero complejo: Las propiedades 1 a se demuestra usado directamete las defiicioes correspodietes 1 El cojugado de u úmero real es el mismo úmero 2 El cojugado del cojugado de u úmero complejo es el mismo úmero z = z 3 El cojugado de la suma de dos úmeros complejos es igual a la suma de los cojugados: z + w = z + w El cojugado del producto de dos úmeros complejos es igual al producto de los cojugados: z w = z w 5 El producto de u úmero complejo por su cojugado es u úmero real o egativo Es decir, si z = a + b i, etoces z z = a 2 + b 2 Demostració de 5 Si z = a + b i teemos que z = a b i por lo tato z z = (a + b i) (a b i) = a 2 ab i + ba i b 2 i 2 = a 2 + b 2 Defiició 8 Sea el úmero complejo z 0, el iverso multiplicativo o simplemete el iverso de z es el úmero complejo w tal que z w = 1, a w se lo deota por z 1 Ejemplo 5 Calcular el iverso de los siguietes úmeros complejos: 1 z = 1 2 i Debemos ecotrar el úmero complejo w = c + d i tal que z w = 1 Teemos que 1 = z w = (1 2 i) (c + d i) = (c + 2d) + (d 2c) i Etoces por la igualdad de úmeros complejos teemos que c + 2d = 1 y d 2c = 0, resolviedo para c y d teemos que c = 1 5 y d = 2 5, por lo tato el iverso de z es w = z 1 = 1 5 + 2 5 i 2 z = a + b i, dode z 0 Similarmete a la parte aterior, debemos ecotrar el úmero complejo w = c + d i tal que z w = 1 Teemos que 1 = z w = (a + b i) (c + d i) = (ac bd) + (ad + bc) i Etoces por la igualdad de úmeros complejos teemos que resolviedo para c y d teemos que ac bd = 1 y ad + bc = 0, c = a a 2 + b 2 y d = b a 2 + b 2, por lo tato el iverso de z es w = z 1 a = a 2 + b 2 b a 2 i (2) + b2 Como z es u úmero arbitrario esta última igualdad os sirve para ecotrar el iverso de cualquier úmero complejo distito de cero 3 Álgebra 2013, segudo cuatrimestre
Observació E la fórmula (2) observamos que el deomiador de la parte real e imagiaria del iverso de z es u úmero real ( a 2 + b 2), si usamos la propiedad 5 de cojugado de u úmero complejo, que es multiplicar e el deomiador y umerador por el cojugado de z teemos otra forma de calcular el iverso de z : z 1 = 1 z = 1 ( ) ( ) ( ) z 1 a b i (a b i) = = z z a + bi a b i (a + b i) (a b i) = a a 2 + b 2 b a 2 + b 2 i Cociete: Defiició 9 El cociete de dos úmeros complejos z = a + bi y w = c + di, dode w 0, es z w = (ac + bd) c 2 + d 2 + (bc ad) c 2 + d 2 i Observacioes 1 El cociete se puede calcular multiplicado el umerador por el iverso del deomiador, es decir z w = z w 1 2 Otra forma de calcular el cociete es usado el cojugado del deomiador, así : z w = z w 1 = a + b i c + d i = a + b i ( ) c d i (a + b i) (c d i) (ac + bd) + (bc ad) i = = c + d i c d i (c + d i) (c d i) c 2 + d 2 = Ejemplo 6 Resolver los siguietes cocietes de úmeros complejos: 1 2 1 2 3i = (2 + 3i) (2 3i) (2 + 3i) (2 + 3i) (2 + 3i) = 2 2 2 = = 2 + ( 3) 13 13 + 3 13 i (ac + bd) c 2 + d 2 ad) +(bc c 2 + d 2 i 3 i (3 i) ( 1 i) (3 ( 1) ( 1) ( )) + (3 ( ) + ( 1) ( 1)) i ( 3 ) + ( 12 + 1) = = 1 + i ( 1 + i) ( 1 i) ( 1) 2 = = + 2 1 + 16 7 17 11 17 i La siguiete tabla proporcioa u resume de alguas defiicioes que usaremos, dode z = a + b i y w = c + d i Termiología Defiició Número complejo a + b i dode a y b so reales e i 2 = 1 Nro imagiario puro a + b i cuado a = 0 Igualdad, z = w a + b i = c + d i si y solo si a = c y b = d Suma, z + w (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i Producto, zw (a + b i) (c + d i) = (ac bd) + (ad + bc) i Producto por u real k, kz k (a + b i) = ka + (kb) i Resta, z w (a + b i) (c + d i) = (a c) + (b d) i Cojugado de z, z Iverso de z, z 1 = 1 z a + b i = a b i 1 a + b i = a a 2 + b 2 b a 2 + b 2 i Cociete, zw 1 = z w a + b i (ac + bd) (bc ad) = c + d i c 2 + d 2 + c 2 + d 2 i Álgebra 2013, segudo cuatrimestre
13 Forma polar o trigoométrica de u úmero complejo Así como los úmeros reales se puede represetar geométricamete e la recta, los úmeros complejos se puede represetar e el plao 2 Sea z = a + bi, lo represetamos como el puto (a, b) del plao coordeado o plao complejo, el eje horizotal se lo deomia eje real y al vertical eje imagiario Ejemplo 7 Represetar e el plao los siguiete úmeros complejos: Eje imagiario z 2 = 2 + 3i 3 z = 0 + 3i z 1 = 3 + 2i 2 1 0 1 2 3 z 3 = 2 1i 2 1 1 2 z 5 = 2 + 0i z 1 = 3 2i Eje real Notemos que para represetar el cojugado z = a bi de u úmero complejo z = a + bi solo hay que reflejarlo e el eje real Recordemos que el valor absoluto de u úmero real a, que se deota por a es la distacia que hay al orige E forma similar podemos decir que el valor absoluto de u úmero complejo z = a+b i, es la distacia del puto (a, b) al orige (0, 0) del plao coordeado, es decir que Defiició 10 El módulo o valor absoluto de z = a + b i, es a + bi = a 2 + b 2 Ejemplo 8 Calcular el módulo de 1 z 1 = 3 + 2i = 3 2 + 2 2 = + 9 = 13, 2 z 1 = 3 2i = 3 2 + ( 2) 2 = + 9 = 13, (ote que z 1 = z 1 ) 3 3i = 0 + 3i = 0 2 + 3 2 = 9 = 3, 2 = 2 + 0i = 2 2 + 0 2 = = 2, (ote que ésta forma de calcular el módulo coicide co el cálculo del valor absoluto como úmero real) Cosideremos el úmero complejo z = a + bi distito de cero Sea θ el águlo medido e setido cotrario al de giro de las agujas de u reloj, etre el eje horizotal x y el segmeto que ue el puto (a, b) co el orige, 2 Fue Joh Wallis (1673) el primero e sugerir la represetació gráfica de u úmero complejo, la cual o fue usada hasta 1800 por Karl F Gauss 5 Álgebra 2013, segudo cuatrimestre
y z = a + bi θ r a b x Teemos que se satisface las siguietes relacioes trigoométricas: cos θ = a r se θ = b co r = a 2 + b 2 r vemos que a = r cos θ y b = r se θ, por lo tato teemos que z = a + b i = (r cos θ) + (r se θ) i = r (cos θ + i se θ) otemos que r = a 2 + b 2, es el módulo de z, y θ se deomia argumeto de z De las ifiitas posibilidades de elegir el águlo θ, se restrige al itervalo 0 θ < 2π o 0 θ < 360 Formalmete teemos que: Defiició 11 El argumeto de z = a + b i, es el úmero real θ 3 que satisface: dode r = z = a 2 + b 2 0 θ < 2π, cos θ = a r, se θ = b r, Usado el módulo y el argumeto de u úmero teemos otra forma de represetar u úmero complejo que se la deomia forma polar, esta represetació juega u rol fudametal ya que simplifica ciertas operacioes etre estos úmeros Formalmete Defiició 12 La forma polar o trigoométrica de u úmero complejo z = a + b i es dode r es el módulo y θ el argumeto de z z = r (cos θ + i se θ) = r cis θ, Observació Muchas veces teemos que el úmero complejo os queda z = r (cos θ + i se θ) dode θ o se ecuetra etre 0 y 2π, e este caso θ o es el argumeto de z, por lo tato diremos que o es la forma polar o trigoomética de z Para ecotrar la forma polar o trigroomética hay que ecotrar el argumeto z reduciedo θ para que satisfaga que 0 θ < 2π Ejemplo 9 Ecotrar la forma polar o trigoométrica de la siguiete úmeros complejos: 1 z = 3 cis 05 Reducimos el águlo: 3 cis 05 = 3 cis (360 + 5 ) = 3 cis 5 2 w = 2 cis ( 30 ) Reducimos el águlo: 2 cis ( 30 ) = 2 cis (360 30 ) = 2 cis 300 3 El úmero real θ represeta la medida e radiaes del águlo etre el eje real positivo y la semirecta que ue el orige del plao co el úmero z Tambié usaremos la medida sexagesimal para medir el águlo usado la relació que 2π = 360 6 Álgebra 2013, segudo cuatrimestre
El argumeto de u úmero complejo distito de cero z = a + b i, se puede calcular usado las relacioes trigoométricas etre el seo, coseo y tagete arctg b si a > 0 y b > 0 a θ = arctg b + 2π si a > 0 y b < 0 a arctg b a + π si a < 0 π 2 o 90 si a = 0 y b > 0 (3) Ejemplo 10 Calcular la forma polar o trigoométrica de Comezamos por hacer la represetació gráfica 3π 2 o 270 si a = 0 y b < 0 z = 2 + 2 3 i z = 2 + 2 3i z 3 2 1 y 2 3 θ 3 2 1 1 1 x Calculemos el módulo y el argumeto del úmero Así, teemos que el módulo es ( z = ( 2) 2 + 2 2 3) = + 3 = 16 = Para calcular θ, teemos que como a < 0 por (3) θ = π 3 + π = 2π 3 tg θ = 2 3 2 = 3 (segudo cuadrate) Por lo tato la forma polar de z es ( z = cos 2π 3 + i se 2π 3 ) Igualdad e forma polar: Defiició 13 Dos úmeros complejos z = z (cos θ 1 + i se θ 1 ) y w = w (cos θ 2 + i se θ 2 ) so iguales cuado tiee igual módulo ( z = w ) y existe k Z, tal que θ 2 = θ 1 +2kπ (o θ 2 = θ 1 +k360 ) E el caso que ambos úmeros complejos esté e forma polar (0 θ 1 < 2π (o 0 θ 1 < 360 ) y 0 θ 2 < 2π (o 0 θ 2 < 360 ) ) será iguales cuado tiee igual módulo ( z = w ) y argumeto (θ 1 = θ 2 ) Ejemplo 11 Teemos que los siguietes úmeros complejos so iguales: 3 cis 05 = 3 cis 765 = 3 cis 005 = 3 cis 5 7 Álgebra 2013, segudo cuatrimestre
131 Operacioes e forma polar o trigoométrica Multiplicació y cociete e forma polar: Cuado los úmeros complejos se expresa e forma polar, la multiplicació y la divisió se puede efectuar segú lo idica el siguiete teorema: Teorema 1 (Producto y cociete de úmeros complejos) Sea z 1 = r 1 (cos θ 1 + i se θ 1 ) y z 2 = r 2 (cos θ 2 + i se θ 2 ) etoces a) z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos (θ 1 + θ 2 ) + i se (θ 1 + θ 2 )) = r 1 r 2 cis (θ 1 + θ 2 ) b) Si z 2 0, etoces z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos (θ 1 θ 2 ) + i se (θ 1 θ 2 )) = r 1 r 2 cis (θ 1 θ 2 ) Demostració Para realizar la demostració se usa las siguietes fórmulas trigoométricas: los detalles queda como ejercicio de práctico cos (θ 1 ± θ 2 ) = cos θ 1 cos θ 2 se θ 1 se θ 2 se (θ 1 ± θ 2 ) = se θ 1 cosθ 2 ± se θ 2 cos θ 1 Nota Usualmete se pide que el resultado del producto y/o cociete se dé e forma polar, para esto luego de aplicar el teorema aterior hay que reducir el águlo resultate a u águlo etre 0 y 2π Ejemplo 12 Sea z 1 = 2 cis π, y z 2 = 3 cis 11π Calcular e forma polar z 1z 2, y z 1 z 2 ( π a) z 1 z 2 = 2 (3) cis + 11π ) = 6 cis (3π) = 6 (cos π + se π) b) z 1 = 2 ( π z 2 3 cis 11π ) = 23 ( cis 10π ) = 2 2 3 cis ( 5π) = 2 (cos π + se π) 3 1 Potecias de úmeros complejos Usado la forma polar de u úmero complejo teemos que para elevar a ua potecia basta efectuar productos sucesivos z = r (cos θ + i se θ) z 2 = r 2 (cos 2θ + i se 2θ) z 3 = r 3 (cos 3θ + i se 3θ) z = r (cos θ + i se θ) La última igualdad se lo cooce como Teorema de De Moivre, formalmete Teorema 2 (De Moivre) Si z = r (cos θ + i se θ) y u etero positivo etoces z = (r (cos θ + i se θ)) = r (cos θ + i se θ) Demostració Se usa el método de Iducció Matemática, que se verá más adelate Nota Esta fórmula es tambié válida para expoetes eteros egativos, siempre que z 0 E particular, teemos ua expresió para el iverso multiplicativo Ejemplo 13 Calcular ( 1 + 3 i ) 12 z 1 = z 1 (cos θ i se θ) Primero escribimos el úmero complejo e forma polar y obteemos que z = 1+ 3i = 2 Luego cálculamos z 12 = 2 12 ( cos 12 2π 3 + i se 12 2π 3 ) = 096 (cos 8π + i se 8π) = 096 ( cos 2π 3 + i se 2π 3 ) 8 Álgebra 2013, segudo cuatrimestre
Las potecias de i sigue u patró que es útil coocer i 1 = i i 5 = i i = 1 i = i i 2 = 1 i 6 = i i 2 = 1 ( 1) = 1 i 3 = i 2 i = i i 7 = i i 3 = 1 ( i) = i i = i 2 i 2 = ( 1) ( 1) = 1 i 8 = i i = 1, y así sucesivamete Por tato, las potecias de i se repite cada cuarta potecia Ésto da u método práctico para calcular cualquier potecia de i, se obtiee dividiedo por y queda que i = i r dode r es el resto de la divisió Ejemplo 1 Evaluar: 1 i 25 = i 2 i = ( i ) 6 (i) = 1 i = i 2 i 103 = i 100 i 3 = ( i ) 25 ( i) = 1 ( i) = i 3 i = i c+r = ( i ) c i r = 1 i r = i r 15 Forma expoecial de u úmero complejo Ua variate de la forma polar o trigoométrica se obtiee usado la fórmula de Euler e iθ = cos θ + i se θ Esto os permite escribir u úmero complejo de la forma siguiete, deomiada forma expoecial z = z e iθ Esta fórmula es especialmete cómoda para expresar productos y cocietes ya que sólo hay que teer e cueta las propiedades de la fucioes expoeciales Observació Si z 1 = r 1 e iθ 1 y z 2 = r 2 e iθ 2 etoces 1 z 1 z 2 = r 1 r 2 e i(θ 1+θ 2 ) 2 Si z 2 0, etoces z 1 z 2 = r 1 r 2 e i(θ 1 θ 2 ) E particular si z 1 = 1, teemos que el iverso de z 2 es: z 1 2 = 1 r 2 e i(2π θ 2) = r 1 2 ei(2π θ 2) 3 Para potecias co expoetes eteros teemos z = z e iθ Ejemplo 15 Sea z 1 = 2e iπ y z 2 = 3e iπ/3, calcular 1 z 1 z 2 = 2e iπ 3e iπ/3 = 6e iπ/3 2 z 1 2 = 2 1 e iπ/3 = 1 2 ei5π/3 16 Raíces de u úmeros complejos Recordemos que e los úmeros reales, la raíz ésima es la operació iversa de la potecia, para los úmeros complejos se da ua situació similar, formalmete: Defiició 1 U úmero complejo w es ua raíz ésima del úmero complejo z si z = w () 9 Álgebra 2013, segudo cuatrimestre
Observació Daremos u método para calcular las raíces de z Dado z = r (cos θ + i se θ), deotamos co w = s (cos β + i se β) ua de las raíces ésimas de z, etoces la ecuació () queda r (cos θ + i se θ) = (s (cos β + i se β)) por z = w = s (cos β + i se β) por Teorema de De Moivre por lo tato usado la Defiició 13, de igualdad e forma polar, teemos que { s = r β = θ + 2kπ, k Z es decir que s = r Así teemos para cada k Z w = r β = θ + 2πk ( ( θ cos + 2πk ) + i se ( θ + 2πk )) Observació Si sustituimos k = 0, 1, 1, obteemos valores distitos de w, e la igualdad aterior, que se deomia raíces ésimas de z Nigú otro valor de k, producirá ua ueva raíz Por lo tato teemos demostrado el siguiete resultado: Teorema 3 (Raíces ésimas de u úmero complejo) Sea z = r (cos θ + i se θ) u úmero complejo Si z 0, existe raíces eésimas complejas distitas de z dadas por la fórmula ( ( w k = θ r cos + 2πk ) ( θ + i se + 2πk )) dode k = 0, 1,, 1 Usado que 2π = 360 teemos equivaletemete que ( ( ) ( )) w k = θ r cos + 360 k θ + i se + 360 k dode k = 0, 1,, 1 Observació Todas las raíces ésimas de z tiee el mismo módulo r, de aquí que si hacemos su repesetació geométrica de la raíces, éstas se ecuetra e ua circuferecia de radio r co cetro e 0, e igualmete espaciadas ya que la diferecia e los argumetos de las raíces sucesivas es de 2π o 360 Es decir, las raíces ésimas de z, so los vértices de u polígoo regular iscripto e la circuferecia de radio 2π r y co águlo cetral o 360 Ejemplo 16 Hallar las raíces terceras de z = 1 + 3 i y represetar gráficamete las raíces Primero represetamos a z = 1 + 3i e forma polar co grados E este caso = 3, por lo tato teemos w k = 3 ( ( ) ( 120 2 cos + 360 k 120 + i se 3 3 3 dode k = 0, 1, 2 Es decir que z = 1 + 3i = 2 (cos 120 + i se 120 ) )) + 360 k = 3 2 (cos (0 + 120 k) + i se (0 + 120 k)) 3 w 0 = 3 2 (cos (0 + 120 0) + i se (0 + 120 k)) = 3 2 (cos 0 + i se 0 ) w 1 = 3 2 (cos (0 + 120 1) + i se (0 + 120 1)) = 3 2 (cos 160 + i se 160 ) w 2 = 3 2 (cos (0 + 120 2) + i se (0 + 120 2)) = 3 2 (cos 280 + i se 280 ) 10 Álgebra 2013, segudo cuatrimestre
2 1 w 0 = 3 2(cos0 + ise0 ) w 1 = 3 2(cos160 + ise160 ) 160 0 2 1 1 2 3 280 2 1 w 2 = 3 2(cos280 + ise280 ) 2 Ejemplo 17 Resolver la ecuació z 1 = 0 Si escribimos la ecuació equivalete z = 1, vemos que las solucioes de la primera ecuació so las cuatro raíces cuartas del úmero complejo 1 Escribiedo 1, e forma polar, teemos que z = 1 = 1 (cos 0 + i se 0 ) y =, por lo tato w k = 1 ( cos 0 + 360 k + i se 0 + 360 ) k dode k = 0, 1, 2, 3 Es decir que las cuatro solucioes de la ecuació so = 1 w 0 = 1 (cos 0 + i se 0 ) = 1 + 0i = 1 w 1 = 1 (cos 90 + i se 90 ) = 0 + 1i w 2 = 1 (cos 180 + i se 180 ) = 1 0i w 3 = 1 (cos 270 + i se 270 ) = 0 1i ( ) cos 360 k + i se 360 k w 1 1 w 2 90 w 0 1 180 0 1 270 w 3 1 Ahora resolvemos la ecuació 1 dada al comiezo de la uidad Ejemplo 18 Resolver la ecuació x 2 = 1 11 Álgebra 2013, segudo cuatrimestre
Escribiedo 1, e forma polar, teemos que z = 1 = 1 (cos 180 + i se180 ) y = 2, por lo tato w k = 2 ( 1 cos 180 + 360 k + i se 180 + 360 ) k = 1 (cos 90 + 180 k + i se 90 + 180 k) 2 2 dode k = 0, 1 Es decir, que las dos solucioes de la ecuació so w 0 = 1 (cos 90 + i se 90 ) = 0 + 1 i = i w 1 = 1 (cos 270 + i se 270 ) = 0 1 i = i Ejemplo 19 Sea p u úmero real positivo, resolver la ecuació x 2 = p Este ejemplo se puede resolver e forma similar al aterior, se deja como ejercicio Lo hacemos usado la fórmula para resolver ua ecuació de segudo grado Haciedo pasaje de térmios teemos que x 2 = p, se puede escribir como x 2 + 0x + p = 0, (5) x 1,2 = 0 ± 0 2 1 p = ± 1p = ±2 p 1 2 1 2 2 Así teemos que las solucioes so: x 1 = pi y x 2 = pi Verifiquemos que x 1 es solució de la ecuació (5) = ± p 1 x 2 1 + p = ( pi) 2 + p = ( p) 2 i 2 + p = p ( 1) + p = p + p = 0 E forma similar teemos que x 2 tambié es solució de la ecuació (5) x 2 2 + p = ( pi) 2 + p = ( 1) 2 ( p) 2 i 2 + p = p ( 1) + p = p + p = 0 Observació Otra aplicació de los úmeros complejos es que se puede resolver ecuacioes del tipo x +p = 0, para todo p Z y N Ejemplo 20 Resolver la ecuació de segudo grado 3x 2 + x + 5 = 0 Usado la fórmula para resolver ua ecuació de segudo grado teemos que x 1,2 = ± 2 3 5 2 3 = ± 2 60 6 Por Teorema 3 las raíces cuadradas del úmero complejo z = so: Luego x 1 = + 6 x 2 = 6 z 1 = i y z 2 = i = 6 + i 6 = 6 i 6 = ± 6 = 2 3 + 1 3 11 i = 2 3 1 3 11 i Observació A diferecia de los úmeros reales, co los úmeros complejos se puede resolver cualquier ecuació póliómicae particular, los úmeros complejos resuelve cualquier ecuació de segudo grado mietras que co los úmeros reales solo se resuelve, aquellas e la que el discrimiate es o egativo 12 Álgebra 2013, segudo cuatrimestre