Cálculo integrl. Introducción. Los ntecedentes del Cálculo Integrl se remontn los ños 6 A.C. y se deen l mtemático griego Eudoxo, quien invento un método llmdo Método de exhución. Este procedimiento fue posteriormente perfecciondo por Arquímedes y serví pr encontrr áres de figurs plns, o de regiones concrets, como círculos y elipses. El método consistí en encerrr un polígono en el áre clculr. A medid que se umentn los ldos del polígono se delimit más clrmente el áre de interés. Por ejemplo pr clculr el áre de un círculo, Pr encontrr el áre, se vn ir inscriiendo polígonos de n ldos, inicimos con n =,,.. En l imgen de l izquierd, cundo n =, se form un rectángulo que nos d l primer proximción del áre totl.. Como segundo pso, ñdimos un polígono de 8 ldos, trzndo triángulos rectángulos en cd ldo del cudrdo. De est mner l áre del cudrdo le summos los 8 triángulos. Finlmente en l últim imgen, repetimos el proceso, inscriimos un polígono de = 6 ldos y hor summos el áre de 6 triángulos. Como podemos oservr mientrs más ldos consideremos en el polígono más excto es el cálculo del áre y en cd pso provechmos el resultdo del cálculo nterior. El desrrollo del cálculo integrl en su versión modern, inici en el siglo XVII, con los portes de Newton y Leiniz. Ellos introdujeron el concepto de integrción que está estrechmente relciondo con el cálculo diferencil. Si ien cienci ciert no se se quién fue el que hizo los primeros desrrollos. Incluso hoy en dí hy controversi sore quién tiene l pternidd Leiniz o Newton. L verdd prolemente nunc se srá y de Miguel Díz Cárdens, El método de exhución, Revist Alterntiv. Número 9. (Enerojunio 9), Unidd Acdémic de Mtemátics Universidd Autónom de Guerrero. México. http://www.revistlterntiv.org/numeros/no9/mdiz9.pdf
todos modos no creo que importe. Sin emrgo; un cos es ciert, l notción que se us hst nuestros dís, es l que propuso Leiniz, eso dee tener lgún peso. Definiciones y notción. El cálculo diferencil es útil pr medir y estudir tss de cmio en términos de ls pendientes de l función, mientrs que el cálculo integrl se ocup de determinr ls áres que se encuentrn entre curvs y otrs fronters delimitds. Amos conceptos, pendiente y áre se pueden clculr por principios geométricos. Y hemos visto que desde griegos estudiron y resolvieron estos prolems en csos especiles; sin emrgo, fue hst el siglo XVII que se encontró un conexión entre l derivción y l integrción. Y hemos visto técnics pr encontrr l derivd F (x) de un función f(x). En muchs ocsiones es necesrio proceder l revés. Se trt de encontrr f(x) prtir de l derivd F (x). Este procedimiento se llm ntiderivción. Por otro ldo, el proceso de innovción puede ser definido como el límite de l sum de términos, cd uno correspondiente l superficie de un tir delgd sutendido por l gráfic de l función. Definido de est mner, l integrción ofrece un medio eficz pr clculr el áre jo un curv y el áre y volumen de sólidos, tles como l esfer o un cono. De cuerdo lo nterior, l integrción podemos estudirl desde dos puntos de vist, que son complementrios. ) L ntiderivd, pr encontrr l función primitiv de l derivd de un función. (Integrl indefinid) ) Como el procedimiento pr encontrr el áre jo l curv. (integrl definid) Relciones entre integrles y primitivs. El teorem fundmentl del cálculo estlece que l integrción y l derivción son operciones inverss. Es decir, l integrr un función f (x) otenemos l función originl, o primitiv, F(x). Si lo vemos desde el punto de vist de l Economí, l integrl de un función mrginl es igul l función originl. Como veremos más delnte; por ejemplo, l integrl de l función de ingreso mrginl es igul l función de ingreso. Supongmos que f(x) es un función culquier y que F(x) es un función cuy derivd es f(x), esto es, F (x) = f(x). Llmmos F(x) como l ntiderivd de f(x). Ejemplos: Encuentre l ntiderivd de ls siguientes funciones. ) f (x) = x, l ntiderivd es F(x) = x, entonces F es un función primitiv de f
) f (x) = x 5 + x Primero rescriimos f (x) = x 5 + x, l función primitiv F(x) = x + x Existen diferentes funciones que resultn de l mism derivd. Si modificmos un poco l función primitiv del ejercicio nterior. F(x) = x + 5, o ien F(x) = x 8, o en form generl culquier de l form F(x) = x + c, L derivd sigue siendo l mism. El vlor de c es un constnte llmd, constnte de integrción. Ejemplos: Encuentre l ntiderivd y determine l función primitiv. ) Si f (x) = x, supong que un punto de l función F(x) es (,). Solución, L ntiderivd por tnteo es F(x) = x + c, pr encontrr l función primitiv deemos encontrr el vlor de l constnte c. Sustituimos en punto (,) en l función primitiv. Y tenemos. F(x) = x + c Pr (x =, F(x) = ) es = + c de donde y c = 6 Por lo tnto l función primitiv específic es F(x) = x + 6 ) L función de ingreso mrginl de un empres es r (x) = 5.x. Si el ingreso totl es de cero cundo no se vende ningun unidd cuál es l función de ingreso totl del producto? Solución, L función de ingreso totl es R(x) = 5x. x + c Por otro ldo, si no hy vents el ingreso es cero; si x =, R(x) =, sustituimos en l ecución nterior, nos qued = 5().() + c c = Finlmente R(x) = 5x.x c) Si se se que l función de costo mrginl pr l elorción de un producto es c (x) = x +. y el costo totl cundo se fricn 5 uniddes es de $5, pesos. Determine l función de costo totl. L ntiderivd, por tnteo es C(x) = x +.x + c Si x = 5 y C(5) = 5,, sustituimos estos vlores en l ecución nterior 5, = 5 +.(5) + c c = 5 5 55 =,5 L función de costo totl será entonces, C(x) = x +.x +,5
Integrl indefinid o Cálculo de primitivs. L simologí utilizd pr expresr el cálculo de primitivs se denot por l siguiente expresión: f(x)dx = F(x) + c El símolo se llm signo de integrl. L notción complet f(x) dx se lm Integrl indefinid. L expresión dx estlece l vrile de integrción y se lee diferencil de x. Siempre se escrie l vrile de interés en est expresión, si l vrile de interés es t, en lugr de x, tendrímos que escriir f(t) dt. Est simologí fue introducid por Leiniz (66-76). Pr los dos tipos de integrción, integrción indefinid y definid, l notción que se utiliz es similr. Finlmente, llmmos integrl indefinid de un función f (x) l fmili de ntiderivds, o de primitivs, de l función F(x). Por otro ldo, l integrl definid está relciond con encontrr el áre jo un curv, en esenci como lo hce el método de exhución, unque expresdo en notción de Leiniz. Es decir, dd un función f(x) uscmos encontrr el áre jo l curv en un intervlo ddo [, ], en form gráfic equivle, L integrl definid relcion entonces dos conceptos; el áre jo l curv de un función f(x) y l ntiderivd, su estudio lo veremos más delnte. De cuerdo con los cudernos de Leiniz, el de noviemre de 675 tuvo lugr un contecimiento fundmentl, ese dí empleó por primer vez el cálculo integrl pr encontrr el áre jo l curv de un función y = f(x). Leiniz introdujo vris notciones usds en l ctulidd, tl como, por ejemplo, el signo "integrl", que represent un S lrgd, derivdo del ltín "summ", y l letr "d" pr referirse los "diferenciles", del ltín "differenti". Est ingenios y sugerente notción pr el cálculo es prolemente su legdo mtemático más perdurle. Leiniz pso grn prte de su vid en disput con newton y otros por l pternidd del cálculo; hoy en dí se emple l notción de Leiniz y no l de Newton. Tomdo de http://es.wikipedi.org/wiki/gottfried_leiniz
Utilizndo l notción decud de integrción, los ejercicios nteriores, los rescriimos de l siguiente mner. x dx = x + c de l mism mner ( x 5 + x ) dx = x + x + c Ejemplo. L función de costo mrginl de un orgnizción de productores rtesnles es.5x x +, donde x es el número de rtículos producidos en un dí. Los costos fijos son de $ 5 pesos por dí. ) Encontrr el costo totl de producción por dí. ) Si el nivel de producción es de x =. Determine el costo si l producción ument x = uniddes. Solución, ) Se C(x) el costo de producir x uniddes por dí. L derivd es el costo mrginl c (x), sí pr encontrr l función primitiv de costo totl. C(x) = (.5x x + )dx =.5x x + x + c Los costos fijos de $5 pesos se relizn incluso si se producen cero rtículos, x =, esto es C() = 5. Así, pr encontrr l constnte de integrción c. 5 =.5() () + () + c c = 5 ) El costo cundo x = es C(), y cundo x =, el costo es de C(), el incremento en el costo será entonces l diferenci entre C() C() C() =.5() () + () + 5 = 955 C() =.5() () + () + 5 = 75 El incremento en el costo es C() C() = $7,8 Regls ásics de integrción. En un grn cntidd de csos no es necesrio encontrr l ntiderivd por tnteo. Similr l diferencición, tenemos un grupo de regls ásics que permiten clculr l integrl de un función. Como en ls derivds existen lguns regls de integrción que nos permiten clculr un integrl elementl de mner direct. Por supuesto que en muchos csos se requiere plicr técnics otrs técnics, que veremos más delnte, y en otros csos simplemente no es posile su solución. Ests últims se resuelven por medio 5
de métodos numéricos y si es posile con el poyo de computdors, ests técnics no se incluyen en este liro. Ls regls más usules pr clculr l integrl de funciones elementles son ls siguientes. Sen ls funciones f(x) y g(x) y k un constnte ) Regl de l función constnte k dx = kx + c Ejemplos: ) dx = x + c ) 5 dx = 5x + c c) dx = x + c ) Regl de l potenci x n dx = xn+ n + + c pr n ) L integrl del producto de un constnte por un función es el producto de l constnte por l integrl de l función. Si k es un constnte kx n dx = k x n dx = kxn+ n + + c pr n Ejemplos: ) x dx = x dx = x + c ) 5 x dx = 5 x dx = x x + c = + c 5 () c) x dx = x + x x + c = + + c = + c d) x dx = x dx = x + c e) 5 x dx = 5 x + dx = 5 x x + + c = 5 + c = x +c ) Linelidd. L integrl de l sum o diferenci de funciones es l sum o diferenci de ls integrles de ls funciones. Sen f(x) y g(x) funciones integrles. [ f(x) ± g(x)]dx = f(x) dx ± g(x) dx Ejemplos: ) ( x x )dx = x dx x dx dx = x x x x + c = x x + c 6
x + x ) ( x + )dx = x dx + dx = c) ( x )dx = dx x dx = x x x dx x dx = = x x + c = x( x) + c x + c = + x + c = x(x + ) + c 6 6 5) Regl del logritmo. Excepción de l regl de l potenci. 6) Función exponencil. dx = ln x + c x x e x dx = e x + c 7) [f(x)] n f (x)dx = [f(x)]n+ + c n+ Ejemplos: ) (5x ) dx En este cso f(x) = 5x y f (x) = 5, pr plicr l regl 7 modificmos l integrl, 5 (5x ) 5dx = (5x ) (5x ) + c = + c 5 ) x + 6 dx Hcemos f(x) = x + 6 y f (x) =, modificmos l integrl (x + 6) dx = (x + 6) + c = (x + 6) + c c) dx (6x+5) Hcemos l trnsformción, (6x + 5) dx y f(x) = 6x + 5), f (x) = 6 efectumos l modificción y, 6 (6x + 5) 6dx = (6x + 5) + + c = 6 6(6x + 5) + c 8) f (x)e f(x) dx = e f(x) + c Ejemplos: ) e5dt t Hcemos f(t) = t y su derivd 5 f (t) =, pr plicr regl 8, modificmos l 5 integrl, (5) e t 5 5 dt = 5e t 5 + c 7
) x e x dx L derivd de l función f(x) = x y f (x) = x, se modific l integrl, x ex dx = ex + c c) 6x e x + dx Clculmos l derivd de f(x)x + y f (x) = 6x, entonces d) (5 e 5t + et ) dt Aplicmos l regl y l regl 8. 6x e x + dx = e x + + c (5 e 5t + et ) dt = 5 dx e 5t dt + et dt = 5t e 5t dt + et dt = 5x + 5 e 5t ( 5) dt + 8 et () dt = 5t + 5 e 5t + 8 et + c e) dx ex+ Si modificmos e x dx entonces f(x) = x y f (x) =, sí ( ) e x dx = e x + c 9) f (x) dx = ln f(x) + c f(x) Ejemplos: ) dx x+ L función f(x) = x + y f (x) =, entonces dx = ln(x + ) + c x + ) 6x dx x +5 Si tommos f(x) = x + 5, f (x) = 6x, plicmos regl 9 6x x + 5 dx = ln(x + 5) + c c) x+ dx x +9x 5 Otenemos l derivd de f(x) = x + 9x 5, f (x) = 6x + 9, de tl mner que, (x + ) x + 9x 5 dx = ln(x + 9x 5) + c 8
Ejercicios. ) (x + 5) 6 x dx ) x + 6 x dx ) dx ( t) ) 6e 6x dx 5) 6x e x dx 6) El vlor de los ctivos de un productor grícol es de $,5, pesos y l ts de cmio que le corresponde es de dv dt = 8e.5t, donde t es el tiempo en ños que tienen los ctivos y V es el vlor totl.. Encuentre V(t). Determine el vlor de los ctivos ños después. 7) Supong que el costo mrginl pr un producto está ddo por c (x) = x+, donde x es el número de uniddes producids.. Encuentre l función costo. Si producir 5 uniddes cuest $98 pesos cuál será el costo de producir 5 uniddes? Integrl definid L integrl definid es un concepto utilizdo pr determinr áres limitds por curvs y rects. Se f(x) un función derivle y continu en el intervlo [, ]; y se F(x) un función primitiv de f(x) sore el intervlo [, ], se llm integrl definid de l función entre los puntos y l áre de l porción del plno que está limitd por l función, l número rel A, que result de clculr. A = f(x) dx = F(x) = F() F() En form gráfic si f(x) es un función en el intervlo [, ] El áre comprendid entre l gráfic de un función continu positiv f(x), el eje de ls siss y ls rects x = y x = es igul, A = f(x) dx límite superior, usulmente < Los números y se llmn límites de integrción, es el límite inferior y el 9
Pr evlur ests integrles relizmos dos psos, ) Otenemos l integrl utilizndo ls técnics pr evlur integrles indefinids y determinr ntiderivds, integrles infinits. Estos métodos siguen siendo válidos pr evlur ls integrles definids ) Se evlú l integrl indefinid pr el límite superior de l integrl y el resultdo se rest del vlor que resulte de l evlución en el límite inferior. El resultdo es un número que es el áre jo l curv. L constnte de integrción desprece pr este cálculo. Ejemplos. Evlur ls siguientes integrles definids. ) (x x + 5)dx En primer lugr resolvemos l integrl indefinid, de cuerdo l regl, (x x + 5)dx = x dx x dx + 5dx = (x x + 5x) Evlumos l integrl definid de cuerdo los límites de integrción. = [ + 5()] [ + 5()] = 8 = 9 El áre jo l curv es 9. ) (x + x) dx 5 Aplicmos regl, (x + x) dx = 5 5 ( ) (x + x) 5 (x + x) dx + dx = x + x 5 = + ( ) ( 5) + ( 5) = 5 5 = Áre jo l curv es 5 c) e x x dx.5 Completmos l diferencil y plicmos l regl 8. e x x dx = e x.5 x dx =.5.5 ex x dx = ex.5 = e() =.96.77.58
d) x dx x + Completmos l diferencil y plicmos l regl 9. xdx = xdx = Ln(x + ) = x + x + Ln( + ) Ln( + ) =.5.69.55 Propieddes de l integrl definid Sen f(x) y g(x) dos funciones integrles en el intervlo [, ], y k un número rel. L integrl definid cumple ls siguientes propieddes: L integrl extendid en un punto, [, ], es igul cero. No hy áre. f(x) dx = L integrl del producto de un constnte por un función es igul l constnte por l integrl de l función. kf(x) dx = k f(x) dx L integrl de l sum de funciones es igul l sum de sus integrles individules. Si f(x) dx y g(x) dx existen, entonces, [f(x) ± g(x)] dx = f(x) dx ± g(x) dx Si f(x) es continu en el intervlo [, ], l permutr los límites de un integrl, ést cmi de signo. f(x) dx = f(x) dx Si f(x) es continu en el intervlo [, c], y sen tres puntos tles que < < c, entonces se cumple c f(x) dx = f(x) c dx + f(x) dx
Cálculo de áres Porqué utilizr el cálculo integrl y no l geometrí pr encontrr áres, l rzón quizá es que l geometrí solo nos permite encontrr áres de figurs conocids como rectángulos, círculos, etc. Anteriormente clculmos áre jo l curv de un función continu delimitdo por un intervlo [, ] y ls dos rects que delimitn los intervlos, de ecuciones x = y x =. Este principio puede servir tmién pr clculr ls áres comprendids entre curvs, por simples operciones ritmétics de dición y sustrcción. Semos que pr encontrr est áre jo l curv utilizmos l integrl definid f(x) dx en el cso de que f(x) en x. Es clro que en este cso hlmos de áres positivs, que se encuentrn superiores l eje de ls x`s. Por lo contrrio, en el cso en que y = f(x) y ls línes x = y x = y el eje x`s cundo f(x), el áre está situd dejo del eje x. El áre totl de un función estrá dd por l expresión, Áre totl = (áres superiores l eje x) (áres inferiores l eje x) Ejemplos. ) Hllr el áre limitd por l función f(x) = 5x + 6 x x, el eje horizontl y ls rects x = y x = Solución: El gráfico n os dice que se trt de dos áres un superior y otr inferior l eje horizontl, de est mner l solución es (5x + 6 x x ) dx (5x + 6 x x ) dx = = 5 x + 6x x x 5 x + 6x x x = = 5 + 6() ( ) 5 ( ) + 6( ) ( ) ( )
5 ( ) + 6( ) ( ) 9 + 7 7 9 = + 6 ( ) 5 ( ) + 6( ) ( ) ( ) = = 6 ) Encontrr el áre entre ls curvs y = x, y = x y ls rects, x = y x = Solución: Recordemos que l integrl definid nos d el áre jo l curv de un función. Pr encontrr el áre que nos piden deemos encontrr el áre jo l curv de l función y = x y restr el áre de l función y = x y delimitd por ls rects. Así, el áre totl será, x dx x dx = x x dx = x x = () () = En el cso de áres formds por dos curvs, como en este ejemplo, por considerciones geométrics, el áre de l intersección se clcul restndo l integrl de f(x) en el intervlo [, ] el vlor de l integrl de g(x) pr ese mismo intervlo. Ejercicios ) Clculr el áre limitd por l práol y = x l rect x = y los ejes coordendos. Aplicciones de l integrción l economí. Hst hor hemos visto plicciones importntes del cálculo integrl pr otener primitivs y el áre jo l curv de un función, de igul mner es útil en l Economí pr resolver un grn vriedd de situciones, lguns de ls cules vmos trtr en lo que sigue. Excedente del consumidor. Un prolem relevnte de l economí plicd es desrrollr un medid de ls gnncis o pérdids que experimentn los individuos como consecuenci de ls vriciones de los precios. Un mner de signr un costo monetrio est vrición es trvés del Excedente del
Consumidor que permite estimr ls gnncis o ls pérdids de ienestr prtir de l informción sore l curv de demnd de mercdo del ien. Se puede definir este excedente del consumidor como l diferenci entre el precio máximo que estrí dispuesto pgr y el precio que relmente pg. Si el precio del mercdo es y y l demnd es x, quellos consumidores que estén dispuestos pgr un precio superior l del mercdo, gnn. El consumidor estrí dispuesto pgr y por un cntidd incicil x, un precio de y, por un cntiddx y sí hst l cntidd x en donde coincide el precio que pg y el que está dispuesto pgr y. En l gráfic es l región que muestr l diferenci entre l disposición mrginl pgr y el precio del mercdo. Al umentr el precio, el consumidor tiene que gstr (x x )x más uniddes monetris pr dquirir x productos, lo mismo tendrí que gstr pr dquirir x uniddes, x x )x Pero su vez el umento del precio hce que los consumidores reduzcn l demnd, de x o x. El áre somred es l vrición del excedente del consumidor y se evlú como, Excedente del consumidor = f(x)dx x y x Excedente del productor El excedente del productor es l diferenci entre el precio mínimo que percie el productor y el precio l que estrí dispuesto vender sus productos. El productor otiene el excedente del productor cundo los consumidores están dispuestos pgr más que el precio mínimo del productor. Son ls gnncis dicionles de los productores, deido l competenci del mercdo. Es l diferenci entre el precio que relmente recie el productor y el mínimo que está dispuesto reciir. L gnnci totl de los productores o Excedente del productor, está ddo por el áre entre l curv de ofert y l rect horizontl y. Y se evlú entonces sí, x Excedente del productor = x y f(x)dx
Ejemplos: ) Encontrr el excedente del productor pr ls siguientes ecuciones de ofert y el nivel de precios x i. y =.x + ; x = Primero clculmos el vlor de y = y =.() + = 5 El Excedente de productor (EP) EP = ()(5) (.x + ) dx = =. x + x = 5x + x = = 8 = $ ii. y = x 9 + ; x = De l mism mner que en el ejercicio nterior, inicimos por clculr del vlor de y y = + = 9 El excedente del productor es, EP = ()() x + dx = = 6 x 7 + x = 6 = $ 9 ) Ls ecuciones de demnd y de ofert de un cierto producto grícol son; y d y y s. i) Encontrr los vlores de equilirio. ii) Diujr y encontrr el excedente del productor de los siguientes modelos, i. y d = x y y 5 s = x + 5 En primer igulmos ls ecuciones pr encontrr el punto de equilirio. x = x + 5 5 5 = x + x 7 = 5x+x 5 Despejndo tenemos, 7 = 7x x = Entonces y = El punto de equilirio es (,). Con estos vlores encontrmos el excedente del productor. 5
Beneficio máximo. EP = ()() x = 75 = $ 5 ii. y d = 8.5x y y s = 8 + 8x Encontrmos el punto de equilirio. 8.5x = 8 + 8x 8 8 =.5x + 8x =.5x + 8x 7 Resolvemos l ecución de º grdo, x, = 8± 6 (.5)( 7) (.5 x, = 8±8 5 =, 5 + 5 dx = x + 5x = Evidentemente tommos el vlor positivo y entonces x = con este vlor uscmos el vlor correspondiente de y = 8 + 8() =. El punto de equilirio se encuentr en (, ). Así, el excedente del productor que result es, EP = ()() (8 + 8x) dx = 6 [8x + x ] = = 6 96 = 6 En generl, el eneficio en un empres y lo que determin su nivel de producción en l diferenci entre, eneficio = Ingresos totles costo totl Un decisión importnte tomr es cuánto producir? Y l respuest tendrí que ser cundo el eneficio es máximo. En condiciones de competenci perfect, el eneficio máximo se lcnz cundo el ingreso mrginl es igul l costo mrginl. En un gráfico tendrímos lo siguiente, 6
De est mner, el eneficio máximo lo otenemos, Ejemplo. Beneficio máximo(π mx ) = [r (q) c (q)] dq Si el precio y l cntidd vendid en un orgnizción, en situción de competenci perfect, se determinn por l funciones de demnd y(x) = 9 7x y de costos c(x) = x x + 5x. Determinr el eneficio máximo en este punto. Determinmos ls funciones mrginles de ingreso y de costos. En el cso del ingreso tendrímos, Ingreso totl= (9 7x )x = 9x 7x y el ingreso mrginl r (x) = 9 x El costo mrginl c (x) = x x + 5 Ests funciones se representn en l siguiente gráfic, Pr mximizr el eneficio, igulmos ls funciones de ingreso y de costo mrginl, 9 x = x x + 5 9 x + x + x 5 = x + x + = Est ecución tiene como solución, x = y x = 5 Solo x tiene sentido económico, de est mner, Beneficio máximo = ( x + x + )dx = x + x + x = Curv de Lorenz. = 7 En economí se utiliz l curv de Lorenz pr descriir l distriución del ingreso entre ls fmilis en un pís. L curv de Lorenz tom vlores reles entre [,] con puntos extremos (,) y (,) y es continu, creciente y cóncv hci rri. En est curv se relcionn los porcentjes cumuldos de polción, generlmente divididos en porcentjes cumuldos de ingreso que est polción recie. En el eje de sciss se represent l polción "ordend" de form que los percentiles de ingresos más jos quedn l izquierd y los más ltos l derech. Los puntos en l curv se determinn ordenndo tods ls fmilis según sus ingresos y se clculn los porcentjes de ells con respecto l totl. No hy fmilis con ingreso cero y l sum del ingreso de tods ls fmilis es uno. Si l curv coincide con l rect de 7
equidistriución, tendrímos un condición de ingreso equittivo. El áre entre l curv de Lorenz y l rect y = x mide en cuánto difiere l distriución del ingreso del ingreso equittivo. En otrs plrs, mientrs más se cerque l curv de Lorenz l rect de equidistriución es más equittiv; por lo contrrio, si se lej será menos equittiv. Se llm coeficiente de desiguldd l relción, L = Are entre l curv de Lorez y l rect de equidistriución áre jo l rect de equidistriución. El áre jo l líne de equidistriución es un rectángulo de se y ltur l unidd, entonces el coeficiente es, L = x dx l(x)dx = x l(x) dx Cundo este coeficientes cero, l distriución del ingreso es equittiv y mientrs se cerque l vlor de uno, l distriución será más inequittiv. Ejemplo: Encontrr el coeficiente de desiguldd si l curv de Lorenz es y = f(x) = 5 6 x + 6 x, L = x 5 6 x + x dx = 5 6 6 x + 5 x dx = 5 6 6 (x x )dx = 5 8 x x = 5 8 = 5 6. Qué proporción del ingreso recie el % de ls fmilis? f(. ) = 5 6 (.) + (. ) =.5 6 El % de ls fmilis recie el 5% del ingreso totl. 8
Ejercicios. ) Si l función de demnd está dd por l función p d = /(x + 5). Encuentre el excedente del consumidor si el precio de vent es de pesos. ) Encuentre el excedente del productor si l ofert está determind por l función p s = 5 +.(x ) un nivel de vent de 5 pesos. ) En un mercdo de competenci perfect, pr un producto ddo, si ls funciones de demnd y de ofert están determinds por ls funciones p d = /(x + 5) y p s = 5 +.(x ) respectivmente. Clculr los excedentes del consumidor y del productor. ) L distriución del ingreso de un pís sigue l curv de Lorenz y = 9 x + x. Qué proporción del ingreso recie el % de ls fmilis? Técnics de Integrción. Recordemos que l integrción es el proceso inverso de l derivción. Sin emrgo, l integrción es más complicd de llevr co. Si en un función se incluyen funciones elementles, como f(x) = e x o g(x) = x n, encontrr su derivd es simple. Por otr prte, hemos visto métodos de cálculo que nos permiten diferencir, csi culquier función que pued escriir. Si ien, pr muchos de los prolems de integrción se tienen fórmuls que permiten su solución direct, en lgunos no tenemos un procedimiento simple. Por ejemplo, pr encontrr l ntiderivd de un función elementl como f(x) = e x no es tn simple. Incluso en csos donde l ntiderivd existe, l técnic pr encontrrl es difícil. Por est rzón presentmos ests tres técnics de integrción pr hcer frente este tipo de prolems. Integrción por sustitución Este método de integrción por sustitución tmién se le conoce como método de cmio de vrile. Se s en relizr un reemplzo de vriles decudo que permit convertir el integrndo en lgo sencillo con un integrl o ntiderivd simple. Este método del cmio de vrile es l versión integrl l regl de l cden en l derivción. Por l regl de l cden semos que, dds dos funciones f(x) y g(x) y F(x) es l ntiderivd pr f(x), l regl de l cden estlece que, Sustituimos F (x) por f(x) d dx [F(g(x))] = F (g(x))g (x) d dx [F(g(x))] = f(g(x))g (x) 9
Si integrmos est función tenemos, d dx [F(g(x))] = f (g(x))g (x)dx Finlmente f g(x) g (x)dx = F g(x) + c Pr l integrl definid tendremos, Ejemplos: f g(x) g (x)dx = F(g(x)) ) Sen (x + x + )(6x + 6x) dx Hcemos u = (x + x + ) y su diferencil du = 6x + 6x Despejmos y tenemos du = (6x + 6x )dx sustituimos los vlores de u y du en l integrl originl y nos qued u du = u solución. + c Finlmente remplzmos los vlores originles y tenemos l (x + x + )(6x + 6x) dx = x +x + + c Un form lterntiv de resolver este prolem serí multiplicr los polinomios y después relizr l integrción; sin emrgo, el método de cmio de vrile es más rápido. dx ) (x ) dx En este ejercicio hcemos u = x l diferencil es du = dx y du sustituimos en l integrl originl y nos qued, u du = u du = u + c si sustituimos el resultdo es, (x ) dx = (x ) + c 9 = dx c) x x + dx x x + dx, efectumos el cmio de vrile de mner que u = x +, du dx = despejmos x = u y elevmos l cudrdo x = (u ) sustituimos y nos qued l integrl
(u ) u dx = (u u + ) u du = ( u u + u 5 )du = u 5 u5 + 7 u7 + c Sustituimos nuevmente y tenemos x x + dx = (x + ) 5 (x + )5 + 7 (x + )7 + c = 7(x + ) 8(x + ) 5 + (x + ) 7 5 + c = (x + ) 5 [5 8(x + ) + (x + ) ] + c = (x + ) [8 x + 5x ] + c 5 d) x dx pr eliminr el término x x, relizmos l siguiente sustitución u = x de donde x = u + y por lo tnto u = x. L derivd es udu = xdx, despejndo x y sustituyendo tenemos finlmente dx = Ahor sustituimos en l integrl originl, (u + ) udu u u + udu u + = (u + ) (u + ) du = (u + ) du = u + u + c Sustituimos hci trás u = x = (x ) + x + c = (x ) e) ex +5 dx Hcemos l siguiente sustitución. e x u = e x y du = e x dx sustituimos y despejmos dx = du u ex + 5 e x dx = u + 5 Sustituimos hci trás y x+5 f) e x+5 dx u. u du = u + 5 u du + 5 du u = u 5 u + c ex + 5 e x dx = e x 5 + c ex (x + ) + c du = u u du + 5 u du Relizmos el cmio de vrile siguiente, u = x + 5 y su derivd u du = dx, sustituimos en l integrl originl, nos qued eu u (u)du = e u du = e u.
Rescriimos l solución, e x+5 dx = e x+5 x + 5 = e e 7.98 5 g) x + x dx Proponemos el siguiente cmio u = + x l derivd u du = dx, despejndo tenemos x = u y u = + x, sí, 5 5 (u ) u(u)du = (u u ) du = u5 5 8 u 5 = 6u5 u 5 5 = 5 u (u ) 5 = 5 ( + x) (x 8) 5 = 6 8 56 = 5 5 5 De los ejemplos nteriores podemos deducir un metodologí pr l integrción de funciones por sustitución o cmio de vrile. ) Definir un nuev vrile, u = g(x) de mner que el cmio nos permit simplificr l función integrr. ) Despejr l nuev vrile y otener su derivd, ) Modificr l integrl y dejrl en términos de l nuev vrile. ) Integrr l función en términos de u y rescriir l solución en términos de x remplzndo u por l función equivlente g(x) Ejercicios.. (x ) dx = 8x(x ) + c. ( + x)(x + x)dx = x 6 (x + x + 9) + c. x x dx = x x + c. x dx = ln ( x ) x + c 5. x(x + ) dx = 5 8 x 6. dx = x + 7 7. x x dx = 5
Integrción por prtes En lguns funciones plicr l integrción directmente no es posile. De cuerdo l nturlez de l función, podemos pror su solución por el método de integrción por prtes pr encontrr l función primitiv. Este método se utiliz cundo tenemos un producto de funciones. Pr deducir el método de integrción prtimos de l derivd de un producto. Más precismente, pr dos funciones u(x) y v(x) derivles, tenemos d dx u(x)v(x) = u (x). v(x) + u(x). v (x) Pr deducir l fórmul de integrción por prtes, integrmos est últim, recordemos que l integrción es proceso inverso de l derivción. d dx u(x)v(x)dx = u (x). v(x)dx + u(x). v (x)dx Nos qued, u(x)v(x) = u (x). v(x)dx + u(x). v (x)dx Despejmos y tenemos finlmente l fórmul de integrción por prtes Pr l integrl definid será, Ejemplos. u (x). v(x)dx = u(x)v(x) u(x). v (x)dx u (x). v(x)dx = u(x)v(x) u(x). v (x)dx ) x e x dx Pr plicr integrción por prtes tommos u = x su diferencil es du = dx, por el otro ldo hcemos dv = e x dx integrmos mos ldos de l ecución y nos qued, v = ex ) ln (x) dx con estos vlores relizmos el cálculo, x e x dx = x ex ex dx = x ex ex dx = x ex ex + c = ex (x ) + c
Hcemos u = ln (x) entonces du = x dx dv = dx y v = x Aplicmos l formul y tenemos, ln (x) dx = x ln(x) x dx = xln(x) x + c = x(ln(x) ) + c x c) e x ( + x) dx Hcemos u = ( + x) entonces du = ( + x)dx dv = e x dx y v = e x Aplicmos l formul y tenemos, e x ( + x) dx = ( + x) e x ( + x)e x dx Necesitmos plicr nuevmente integrción por prtes pr resolver l nuev integrl, hor hcemos u = ( + x) y du = dx dv = e x dx v = e x Aplicmos l formul y tenemos, e x ( + x) dx = ( + x) e x ( + x)e x e x dx = ( + x) e x [( + x)e x e x ] + c = e x ( + x + x x + ) + c = e x (x + ) + c d) x x + dx Hcemos u = x entonces du = dx dv = x + dx y v = ( + x) Aplicmos l formul y tenemos, x x + dx = (x) = x ( + x) ( + x) ( + x) dx= (+x)5 5 = () (7) () () = 5 5 (+x) e) xex dx 5 = ( + x) (x ) 5 5 = 7.89 Hcemos u = xe x entonces du = xe x + e x = e x (x + ) dv = dx y v = (+x) +x Aplicmos el procedimiento xex ( + x) dx = xe x + x + x ex (x + )dx
f) x x dx = xex + x + ex dx xex = + x + ex = ( + x) xe x ex + x = ex + x = e e.66 Inicimos hciendo el siguiente cmio Hcemos u = x entonces du = xdx dv = x x x dx y v = ( x x ) x dx = x x x dx x dx = x ( x ) x( x ) dx = x ( x ) ( x ) + c = ( x ) = ( x ) (x + ) + c (x + ( x ) + c Ejercicios.. (ln x) dx = x(ln x lnx + ) + c. x e 5x dx = 5 e5x (5x ) + c. (x + 5)(x + ) dx = (x + 7(x + ) + c 5. (7 x )e x dx = e x (x + 6x ) 5. x dx x+ = 5 x + (x 6x + 8) =. 6. x e x dx = 9 e x (x + ) =. 7. ln x dx =.5 x Integrción por frcciones prciles Si l función integrr f(x) es un frcción rcionl, es posile reducir est frcción en frcciones simples que nos permitn encontrr primitivs. Este método es útil pr frcciones propis ; es decir, cundo el grdo del polinomio del numerdor es menor l grdo del polinomio del denomindor. Si A(x) y B(x) son dos polinomios, ls frcciones que podemos resolver con este proceso tienen l form, Si l frcción es impropi se puede hcer propi l efectur l división y después integrr. Por ejemplo, si tenemos x x x, efectumos l división y nos qued x x x = x + x x 5
f(x) = A(x) B(x) = + x + x + + m x m + x + x + + n x n m < n Pr reducir est frcción, tenemos que fctorizr el denomindor pr efectur l descomposición en frcciones prciles equivlentes, de cuerdo los criterios que se indicn en l siguiente tl. Form del Fctor Fctor linel simple x + Fctor linel repetido (x + ) n Fctor cudrático simple x + x + c Fctor cudrático repetido (x + x + c) n Form de frcción prcil correspondiente A donde A es un constnte x+ A x + + A (x + ) + + A n (x + ) n Donde A, A,., A n son constntes Ax + B x + x + c A y B son constntes A x + B x + x + c + A x + B (x + x + c) + + A nx + B (x + x + c) n Donde A, A, A n B, B, B n son constntes determinr Ejemplos. ) dx x(x ) Relizmos un primer corrección. x(x ) = x(x + )(x ) Expresmos l función en ls siguientes frcciones simples, x(x + )(x ) = A x + B (x + ) + C (x ) Pr encontrr los vlores de A, B y C estlecemos el siguiente sistem de ecuciones = A(x + )(x ) + Bx(x ) + Cx(x + ) = A(x ) + B(x x) + C(x + x) = x (A + B + C) + x(c B) A Igulmos los fctores de ldo izquierdo y derecho de l iguldd y deducimos ls siguientes ecuciones A = C = A + B + C = C B = A = A = C = B B + C = C = 6
Sustituimos estos vlores y nos qued dx x(x = dx + dx + ) x (x + ) (x ) dx = ln(x) + ln(x + ) + ln(x ) + c ) x x +5x dx Primero promos que se un frcción propi, en nuestro cso lo es, porque el grdo del polinomio del denomindor es myor. Expresmos l función como un sum de frcciones simples x x(x + 5) = A x + B x + 5 Agrupmos de cuerdo l vrile x x = A(x + 5) + Bx A + B = y 5A = A = 5 ; B = + 5 = 5 Finlmente sustituimos los vlores de A y B y resolvemos l integrl que result. x x + 5x dx = 5 x dx + 5 x + 5 dx = 5 ln(x) + ln(x + 5) + c 5 c) x x +x +x dx x +x Es un frcción impropi, tenemos que resolver primero l división polinómic, De est mner l integrl resolver nos qued, x x +x +x dx = x +x = x x + 5 6x 8 dx x +x = x dx x dx + 5 dx 6x 8 dx x +x Nos vmos ocupr por el momento en l últim integrl, y que ls tres primers se resuelven por medio de ls regls de integrción direct. Así, uscmos ls ríces del polinomio, x + x = (x )(x + ) Ls frcciones prciles correspondientes l frcción son, 6x 8 (x + )(x ) = A (x + ) + B (x ) Es sistem de ecuciones correspondiente es, A + B = 6 Despejmos en l segund ecución y nos d A = B + 8, A + B = 8 Sustituimos. B = B = y por consiguiente A = 7
d) Finlmente sustituimos ls constntes y nos qued, x dx x dx + 5 dx (x + ) dx + (x ) dx x dx x +8x+6 = x x x x + 5x ln(x + ) + ln(x ) + c En primer lugr, es un frcción propi. Buscmos ls ríces del polinomio x + 8x + 6, como es un ecución de º grdo 8 ± 6 (6) x, = = 8 = riz dole Expresmos l función como un sum de frcciones simples x (x + ) = A x + + A (x + ) x = A (x + ) + A Pr encontrr los vlores A y A prtimos de ls ecuciones, A x = y A + A = A = = 7 Así, sustituyendo ls constntes en ls frcciones simples, nos qued l integrl e) 6x 5 x +x dx x x dx = + x x + dx 7 (x + ) dx 7 = ln(x + ) + (x + ) + c En primer lugr, es un frcción propi. Segundo, Encontrmos ls ríces del polinomio x + x, como es un ecución de º grdo ± ( ) x, = = ± 9 =, 5 Expresmos l función como un sum de frcciones simples 6x 5 (x )(x + 5) = A x + B 6x 5 = A(x + 5) + B(x ) x + 5 Agrupmos de cuerdo l vrile x 6x 5 = x(a + B) + (5A B) Tercero, uscmos los vlores de A y B, l desrrollr ls siguientes ecuciones A + B = 6 5A B = 5 Resolvemos el sistem de ecuciones, multiplicmos por l primer ecución A + B = 6 () 5A B = 5 Sustituimos el vlor de A en l primer ecución y nos qued 9A = 9 A = 9 9 9 9 + B = 6 B = 5 9 8
Finlmente sustituimos los vlores de A y B y resolvemos l integrl que result. 6x 5 9 5 x dx = dx + + x 9 x 9 x + 5 dx = 9 5 ln(x ) + ln(x + 5) + c 9 9 8 f) x +x dx x x x Es un frcción propi. Ls ríces del polinomio son, x x x = x(x x ) Son tres ríces, l primer es cero, x = ls otrs ls uscmos por l ecución de segundo grdo y son ± ( ) x, = = ± =, Expresmos l frcción como sum de frcciones simples sí, x + x x(x + )(x ) = A x + B x + + C x Agrupmos y encontrmos los vlores de A, B y C x + x = A(x )(x + ) + B(x)(x ) + C(x)(x + ) = A(x x ) + B(x x) + C(x + x) = x (A + B + C) + x( A B + C) A Resolvemos el sistem de ecuciones, A = A + B + C = A B + C = A = B = 5 C ( 5 C) + C = y C = A = B = C = 6 Sustituimos estos vlores de A =, B = y resolvemos l integrl 6 8 x + x x x dx = 8 x x dx 8 dx + 8 x + 6 dx = x = ln(x) ln(x + ) + 6 ln(x ) 8 = ln 8 ln 9 + 6 ln 5 ln ln 5 = 5.6. =.7 g) x x x +5x +x 9 dx Es un frcción propi. Pr encontrr ls ríces del polinomio usmos división sintétic, Ddo el polinomio p(x) = x + 5x + x 9, uscmos ríces enters; por lo que inicimos con divisores de -9 (±, ±, ±9). Un primer ríz es (x + ) el polinomio nos qued, 9
p(x) = x + 5x + x 9 = (x + )(x + x ) Son tres ríces, l primer es cero, x = ls otrs ls uscmos por l ecución de segundo grdo y son ± ( ) x, = = ± =, Tenemos un ríz dole (x + ) y (x ). Expresmos l frcción como sum de frcciones simples sí, x x (x + ) (x ) = A x + + A (x + ) + B x Agrupmos y encontrmos los vlores de A, B y C x x = A (x + )(x ) + A (x ) + B(x + ) = A (x + x ) + A x A + B(x + 6x + 9) = (A + B)x + (A +A + 6B)x + ( A A + 9B) A + B = A +A + 6B = A A + 9B = Summos ls tres ecuciones y B = Sustituimos y A = +A = A = 5 Sustituimos estos vlores x x x + 5x dx = 5 dx + + x 9 x + (x + ) dx = ln(x + ) + 5 x + = ln 6 + 5 6 ln + 5 =.7.6 =.9 De l solución de estos ejercicios, deducimos l siguiente metodologí pr l solución de integrles por el método de frcciones prciles. ) Verificmos que sen un frcción propi. Si es impropi efectumos l división y después integrmos ) Encontrmos ls ríces del polinomio del denomindor. ) Expresmos l frcción en frcciones prciles simples, de cuerdo l tl que se definió rri. ) Buscmos los vlores de ls Constntes A, B, etc 5) Sustituimos los vlores de ls constnte en ls frcciones prciles e integrmos Ejercicios ) x dx = 5 lnx 5 ln(x + ) + + c x +x x ) 7+x dx = ln(x ) 5 ln(x + ) + c x x x ) x dx = (xln(x ) ln(x ) + ) + c x x+ x x 9 ) dx = ln(x + 5) ln(x ) + c 5) (x+5)(x ) x x dx = ln (x ) =.9
6) x+5 (x+5) (x ) dx = 6 ln(x ) 6 ln (x + 5) =. Biliogrfí. Goldstein, L. J, Ly D. C., Schneider, D. I. CALCULUS AND ITS APPLICATIONS, Prentice Hll, Englewood Cliffs, New Jersey USA, 99. Lrson R.E., Hostetler R. P. y Edwrds B. H. CÁLCULO Y GEOMETRIA ANALÍTICA. Sext edición, Editoril Mc Grw Hill, Mdrid Apostol T. M CALCULUS, Cálculo con funciones de un vrile, con un introducción l lger linel. Editoril Reverté Ediciones, Volumen I, México, 999.