2. Pricipio de Coteo Prtició de u Cojuto Defiició Ddo u cojuto A, diremos que los sucojutos de A, A 1,A 2,...,A, costituye u prtició del mismo si se cumple ls siguietes codicioes: 1. A ; i 1,2,3,..., i 2 A A ; i j, i, j 1,2,3,..., i j 3. A A A A A 1 2 3 Recurimieto Si los sucojutos B 1,B 2,......,B de u cojuto A cumple ls codicioes 1. y 3. de l defiici o terior, diremos que B 1,B 2,......,B costituye u recurimieto de A. Crdil de u cojuto Si A es u cojuto fiito o vcío, desigremos por crdil de A l úmero de elemetos que tiee A. Si A es el cojuto vcío, etoces su crdil es cero. Lo otremos A. 2.1.Pricipio de Adició Estudimos el ms ásico y simple de los pricipios pr cotr elemetos de u cojuto. Teorem Si A1,A2,...,A es u colecció de cojutos fiitos o vcíos, disjutos dos dos, etoces A A A A A A A 1 2 3 1 2 3 A Demostrció Procederemos por iducció sore el umero de cojutos. Pso ásico Vemos que el teorem es cierto pr = 2. E efecto, se A1 y A2 dos cojutos fiitos tles que A1 A2 =0 ;. Pues ie, si l ser disjutos o tedrá elemetos comues, de quí que Luego pág. 1
y el teorem es cierto pr = 2. Pso iductivo. Supogmos que el teorem es cierto pr = p, es decir, si A1,A2,...,Ap so u fmili de cojutos fiitos y disjutos dos dos, etoces Vemos que el teorem es cierto pr = p + 1. E efecto, se A1,A2,...,Ap,Ap+1 u fmili de cojutos fiitos y dos dos disjutos, etoces por l socitividd de l uió de cojutos, Siedo Luego Cosecuetemete, por el primer pricipio de iducció, l propiedd es ciert pr todo etero positivo y, Osérvese que e este tipo de prolems, l plr o prece o se soretiede implícitmete. E culquier cso e el que tegmos u cció simple relizr y que dee stisfcer u codició u otr siedo ls codicioes mutumete excluyetes, utilizremos ormlmete el pricipio de dició. Este primer pricipio del coteo puede expresrse como sigue: pág. 2
Regl de l Sum Si u primer tre puede relizrse de m forms distits, mietrs que u segud tre puede relizrse de forms distits, y o es posile relizr ms tres de mer simulte, etoces, pr llevr co culquier de ells puede utilizrse culquier de m + forms. Ejemplo 3.3 Se lz l ire u moed cutro veces. De cuts forms distits puede oteerse u, dos, tres o cutro crs? Solució Se Ai el cojuto formdo por todos los resultdos posiles e los que prezc, exctmete, i crs l lzr cutro veces l moed. Etoces, y el cojuto A1 A2 A3 A4 estrá formdo por todos los resultdos e los que prece u, dos, tres o cutro crs, por tto el úmero pedido es el crdil de dicho cojuto. Al ser los Ai dos dos disjutos, por el pricipio de dició, tedremos que hrá forms distits de oteer u, dos, tres o cutro crs. Pricipio de Multiplicció Este pricipio os v permitir resolver co más comodidd situcioes que ivolucre procesos que cosist e ccioes sucesivs. Supogmos u cció que cosist e u secueci de psos. Por ejemplo tirr u ddo, luego otro y cotiució u tercero. Diremos que los psos so idepedietes si el úmero de forms e que puede hcerse cd uo de ellos o depede del úmero de forms e que puede relizrse cd uo de los otros. Teorem Si A1,A2,...,A es u colecció de cojutos fiitos o vcíos, etoces Demostrció Procederemos por iducció sore el úmero de cojutos,. Pso ásico. Vemos si el teorem es cierto pr = 2. E efecto, se A1 y A2 dos cojutos fiitos o vcíos, pág. 3
Por defiició de producto crtesio, pr cd uo de los i, i q, tedremos los pres distitos, es decir, r pres o r elemetos de A1 A2. Hciedo lo mismo pr cd uo de los i Ai,, 1 i q, tedremos o se, u totl de q r pres distitos e A1 A2, luego por tto, l proposició es ciert pr = 2. Pso iductivo. Supogmos que es ciert pr = p, es decir si A1,A2,...,Ap es u colecció de cojutos fiitos o vcíos. Etoces, Vemos si l proposició es ciert pr = p + 1. E efecto, si A 1,A 2,...,A p,a p+1 es u colecció de cojutos fiitos o vcíos, etoces Cosecuetemete, por el Pricipio de iducció mtemátic, el teorem es cierto pr todo etero positivo,, es decir, Ejemplo pág. 4
Cuátos resultdos distitos so posiles l tirr tres ddos diferetes? Solució Se A 1,A 2 y A 3 los cojutos formdos por los posiles resultdos que podmos oteer l tirr cd uo de los tres ddos, etoces A i = 6, i = 1, 2, 3 y cd resultdo es u elemeto del producto crtesio A 1 A 2 A 3, luego por el pricipio de multiplicció, hrá. resultdos distitos. Osérvese que l ser diferetes los ddos, podemos etiquetrlos como primero, segudo y tercero y trtr l tird como u cció co tres psos sucesivos, cd uo de ls cules tiee seis resultdos posiles. El úmero de posiiliddes será, por tto, 6 6 6 = 216 Osérvese tmié que si los ddos o fuer diferetes, l respuest serí distit. Por ejemplo serí imposile distiguir etre el resultdo 152 y el 251. Regl del Producto Si u procedimieto puede descompoerse e ls etps primer y segud, y si existe m resultdos posiles de l primer etp y si, pr cd uo de estos resultdos, existe resultdos posiles pr l segud etp, etoces el procedimieto etero puede relizrse, e el orde ddo, de m forms. Ejemplo Se dispoe de u rj de 40 crts de l cul extremos cutro de dos forms diferetes: () Si devolució de cd crt extríd. () Co devolució de l crt e cd extrcció. Clculr el úmero de forms diferetes de oteer cutro crts e cd cso. Solució Cosiderremos el experimeto como u cció co cutro psos idepedietes. pág. 5
Pr el primer pso teemos 40 opcioes posiles y como l crt extríd o se devuelve quedrá 39 opcioes pr el segudo pso y, por l mism rzó, 38 y 37 opcioes pr el tercero y el curto, respectivmete. Así pues el experimeto podrá hcerse de 40 39 38 37 = 2193360 forms distits. () Cd crt extríd se devuelve l rj. Por tto, pr cd u de ls cutro extrccioes. Dispodremos de ls curet. Así pues, el úmero de forms diferetes de oteer ls cutro crts es 40 40 40 40 = 2560000 2.2. Permutcioes y comicioes Hy cutro cdidtos, Smuel, Igcio Héctor y Vilm, postuldos pr el mismo puesto. Pr que l posició de los omres e ls olets de votció o ifluy e los vottes, es ecesrio imprimir olets co los omres e todos los órdees posiles. Cuáts olets diferetes hrá?. Se puede usr el pricipio de l multiplicció.u olet se elor e cutro psos sucesivos: y se seleccio el curto omre de l list. El primer omre se puede elegir de cutro mers. Cudo se tiee el segudo omre, el tercero se puede elegir de dos mers y el curto solo de u mer, el úmero de olets diferetes es 4*3*2*1=24 U ordemieto de los ojetos, como los omres e ls olets, se llm permutció. Defiició U permutció de elemetos diferetes x 1,x es u ordemieto de los elemetos x 1,x Ejemplo Existe seis permutcioes de tres elemetos.si se deot los elemetos por A,B,C ls seis permutcioes so: ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA Se ecotró que existe 24 mers de order cutro cdidtos e u olet, sí hy 24 permutcioes de cutro ojetos. El método que se usó pr cotr el pág. 6
úmero de olets diferetes co cutro omres se puede usr pr derivr u fórmul pr el úmero de permutcioes. L demostrció del siguiete teorem pr =4 se ilustr e el siguiete cudro. B A D C Elegir 1 Elegir el 2 Elegir el 3 Elegir el 4 elemeto elemeto elemeto elemeto Teorem Existe! permutcioes de elemetos El primer elemeto se puede seleccior de mers u vez elegido el segudo elemeto se puede elegir de -1 mers. U vez elegido, el tercer elemeto se puede seleccior de -2 mers, y sí sucesivmete. Por el pricipio de multiplicció, existe (-1)(-2) 2*1=! permutcioes de elemetos. Teorem El úmero de permutcioes r de u cojuto de ojetos diferetes es P(, r) ( 1)( 2) ( r 1), pr r. Dee de cotrse el úmero de mers de order r elemetos selecciodos de u cojuto de elemetos. El primer elemeto se puede elegir de mers. U vez que se elige el primer elemeto, el segudo se puede seleccior de -1 mers. Cotiuremos eligiedo elemetos hst que, hiedo elegido el elemeto r-1, psmos l elemeto r que se puede seleccior de -r+1 mers. Por el pricipio de l multiplicció, el úmero de permutcioes r de u cojuto de ojetos distitos es ( 1)( 2) ( r 1), Ejemplo De cuerdo co el teorem el umero de permutcioes de 2 e X=,, c P ( 3,2) (3 2) 6 ests seis permutcioes so: A,c,, c, c, c. es pág. 7
Comicioes Ddo u cojuto de X x,, 1 x que cotiee elemetos (diferetes),. U comició de r de X es u selecció o orded de r elemetos de X( es decir, u sucojuto de X de r elemetos).. El úmero de comicioes de r de u cojuto de elemetos distitos se deot por C(,r) ó. r El úmero de comicioes de r de u cojuto de de ojetos distitos es C, r P(, r r! ( 1) ( r 1) r!! ( r)! r! pr r Ejemplo De cuts mers se puede seleccior u comité de dos mujeres y tres homres de u grupo de cico mujeres de y de seis homres? Deotmos que C(5,2)= 10 Dode tmié teemos que C(6,3)=20 Mers.El comité se costruye e dos psos sucesivos: se elige ls mujeres ;se elige los homres. Por el pricipio de l multiplicció, el úmero totl del comité es 10*20=200 2.3 Idetiddes Básics Puesto que y que - ( - r ) = r se tiee l siguiete idetidd Otr idetidd importtes es: pág. 8
Otr idetidd muy útil es Utilizdo l idetidd terior pr oter l sum 1 + 2 +... + Es posile expresr Teorem del Biomio Los úmeros se llm coeficietes iomiles, pues prece e el desrrollo del iomio ( + ) elevdo lgu poteci. Este teorem proporcio u fórmul pr los coeficietes del desrrollo ( + ). Y que: Si = 2 ( + ) 2 = ( + )( + ) = + + + = 2 + 2 + 2. U térmio de l form proviee de tomr de - k fctores, y de k fctores. Pero puede hcerse de forms, pues cuet el úmero de forms de seleccior k los ojetos ddos. Por lo tto prece veces. Luego pág. 9
Ahor euciemos el Teorem del iomio. Si y so úmeros reles y +, etoces Ejemplo: Tomdo = 3 teemos que: Triágulo de Pscl Tmié puede expresrse los coeficietes iomiles medite u rreglo trigulr coocido como Triágulo de Pscl. Los dos ldos superiores está formdos por úmeros 1, y culquier vlor iterior es l sum de los dos úmeros que está por ecim y los ldos del él, es decir: o ie, espresdo e form de coeficietes iomiles teemos que: pág. 10
2.4 Coeficietes iomiles e Idetiddes comitoris. A primer vist, l expresió (+) o tiee mucho que ver co comicioes ; pero como se verá e est secció, es posile oteer u fórmul pr l expsió de (+) usdo l fórmul pr el úmero de comicioes r de ojetos. Co frecueci, u expresió lgeric se relcio co lgú proceso de coteo. Vris técics de coteo vzds us este tipo de métodos. El teorem iomil proporcio u formul pr los coeficietes e l expsió de (+).Como ( )( ) ( N fctores ) (2.4.1) pág. 11
L expresió es el resultdo de seleccior ó e cd uo de los fctores, multiplicdo. Tl 2.4.1. Cálculo de (+) Selecció e el primer fctor (+) Selecció e el segudo fctor (+) Selecció e el tercer fctor (+) Producto de seleccioes = 3 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 3 Ls seleccioes y después sumdo todos los productos oteidos. Por ejemplo, e l expsió de (+)3, se elige y se ó e el primer fctor (+);y se ó e el segudo fctor (+); y y se ó e el tercer fctor (+); se multiplic ls seleccioes y luego se sum los productos oteidos. Si se elige e todos los fctores y se multiplic, el resultdo es el termio. Si se elige e el primer fctor e el segudo y e el tercero y se multiplic, se otiee el térmio. L tl muestr tods ls posiiliddes, se otiee 3 ( )( )( ) 3 3 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 E l tl, u térmio de l form -k k surge l elegir e k fctores y e los otros -k fctores. Pero esto se puede hcer de C(,k) mers, y que C(,k) cuet el úmero de mers de seleccior k ojetos etre pjetos.etoces -k k prece C(,k) veces. Se cocluye que 2 3 pág. 12
pág. 13 o C C C C C 0 1 1 2 2 1 1 ), ( 1), (,2) (,1) (,0) ( A este resultdo se cooce como el teorem iomil. Si y so úmeros reles y etero positivo, etoces k k k k C ), ( 0 BIBLIOGRAFIA Mtemátics Discrets y Comitori ;Rlph P. Grimldi 3 edició Pretice Hll. Mtemtic Discrets Sext edició Richrd Johsough; Pretice Hll. Mtemtics Discrets edurd R. Sheierm; thomso Lerig.
Actividdes Complemetris 1- Si ls plcs de los utomóviles cost de 2 letrs seguids de 4 dígitos, y igu letr o dígito se puede repetir, cuáts plcs diferetes so posiles? 2- u grupo de 5 persos v setrse e fil pr u foto. Cuáts disposicioes lieles so posiles? 3- Use el teorem C(+1,K)=C(,k-1)+C(,k) pr 1 k pr demostrr que i k C ( i, k) C( 1, k 1) pág. 14