Cálculo promedl. El cso de l med rtmétc Cálculo promedl. El cso de l med rtmétc Promedl clculus. The verge cse Crlos Rodero Guerrero RESUMEN E este trjo se preset u efoque cerc de cómo es que l ocó de promedcó prece e l costruccó de lo que se deom el cálculo promedl. Se muestr dferetes cotetos e los que lgú tpo de promedo es usdo pr l relzcó de los cálculos correspodetes de áres, sums fts, tegrles defds, vlores esperdos y otros coceptos de l estdístc. El trtmeto gr prcplmete plme e toro de l med rtmétc que es el promedo prototípco o y del cuál se hce u rescte epstemológco que es el eceso y el defecto que devee de ls cosdercoes de Arquímedes. ABSTRACT Ths pper presets pproch o how the promedto oto s show the costructo of wht s termed the promedl clculus. Show dfferet cotets whch some d of verge s used for crryg out the clcultos of res, fte sums, defte tegrls, epected vlues d other cocepts of sttstcs. Tretmet revolves mly roud the rthmetc me s the prototype of the verge, d wht s rescue tht epstemology s the ecess d defect tht stems from cosdertos of Archmedes. RESUMO Este trlho preset um ordgem sore form como o oção promedcó é mostrd costrução dqulo que se desg o cálculo promedl. Mostrr dferetes cotetos em que lgu lgum tpo de méd é utlzd pr relzção dos cálculos cu ho ed de áres, fto mottes, defd tegrs, vlores esperdos e outros cocetos de esttístcs. Trtmeto gr prcplmete em toro de metde do que é méd rtmétc cosderdo como o protótpo do méd, e que é um slvmeto epstemologc del ecesso e defeto e que decorre de cosderções de Arqumedes. ho cuedc ed Arquímedes. PALABRAS CLAVE: - Cálculo promedl - Eceso y defecto - Rescte epstemológco - Artculcó de seres KEY WORDS: - Promedl clculus - Ecess d defect - Epstemologcl rescue - The rtculto of owledge PALAVRAS CHAVE: - Cálculo promedl - Ecesso e defeto - O slvmeto epstemolog - A rtculção de cohecmetos Relme (00) 3 (4-II): 387-408. Recepcó: Juo 3, 009 / Aceptcó: Relme, Vol. Juo 3 (4-II), 3, 00. Dcemre de 00 387
RÉSUMÉ Ce documet présete ue pproche sur l mère dot l oto de promedco est motré ds l costructo de ce que l o ppelle le clcul promedl. Vor les dfférets cotetes ds lesquels ue sorte de moye est utlsé pour effectuer les clculs de res, sommes fes, les tégrles défes, les vleurs ttedues et d utres cocepts de l sttstque. Le trtemet s rtcule essetellemet utour de l moyee rthmétque cosdéré comme le prototype de moyee, et ce qu est ue opérto de suvetge épstémologc est l ecès et défut qu découle de cosdértos d Archmède. Itroduccó Crlos Rodero Guerrero El Cálculo promedl está sustetdo precsmete e l ocó de promedcó, cosderd su vez como u de germl, e el setdo de que de ell se desprede defcoes, teorems y teorís, detfcds tods ells como ctegorís costructvs del coocmeto mtemátco (Rodero, 00). Es posle mostrr detro del corpus del Cálculo l persstete presec mfest del Cálculo promedl, que demás prece su vez e el corpus estructurl de muchs otrs áres de l mtemátc como es el cso de l proldd y l estdístc. stc. Uo de los coceptos ceptos de promedo más coocdo y usdo pr l relzcó de dferetes cálculos, es dudlemete l med rtmétc, l cul tee dferetes cepcoes que l ddáctc trdcol o remrc hce eplícts, como puede ser el cso de ocuprl pr clculr áres de trágulos y trpecos, sums fts de eteros postvos e tegrles defds de fucoes es co epoete etero postvo, vlores esperdos y vrz de vrles letors, tors etre otros. E el Cálculo promedl prece otros tpos de promedo, o sólo l med rtmétc, e tl cso se puede mecor dos teorems del Cálculo, relcodos co el cocepto de promedo, como so el Teorem del vlor medo pr pr l ét dervds, que os dce l form e que se relco l rzó de cmo promedo de u fucó cotu co l rzó de cmo sttáeo, jo codcoes dds y el Teorem del vlor medo pr tegrles, que propc u form de clculr l ltur promedo de u fucó cotu e u tervlo ddo [,], medte l cul es posle ecotrr el áre jo l curv, l multplcr el tmño del tervlo por dch ltur promedo. Es de hcerse otr étc ét Cálc C l o pr MOTS CLÉS: - Clcul promedl - L ecès et défut - Le suvetge épstémologc - De l rtculto de l cossce 388 Relme, Vol. 3 (4-II), Dcemre de 00
Cálculo promedl. El cso de l med rtmétc l desrtculcó ddáctc que se mfest e el setdo de que o se hce eplícts ls relcoes coceptules etre los dferetes tpos de promedo que prece e l mtemátc escolr. Es etoces coveete el poder relzr u rtculcó del ser mtemátco deomdo geércmete como promedo y mostrr de ese modo ls oddes de relcorlo coceptulmete desde l Mtemátc Elemetl hst l Mtemátc Avzd. Por otr prte, los usos socles del promedo so mplos, como método de medcó termed, vlor represettvo de otros, referec olgd como u ídce dcdor de fácl mejo, etre otros. Ce señlr que tles usos socles le d pertec l cocepto msmo de promedo, pero dcolmete propc su desrrollo e múltples áres del coocmeto, ecoomí, geerí, físc y químc, demás de l prop mtemátc. Los usos y ls práctcs socles mpuls y cre codcoes que su vez propc l costruccó socl del coocmeto, s el cul muchos seres quedrí ertes. L perspectv teórc de este trjo tee e dos vertetes prcples, el rescte epstemológco y l rtculcó de los seres mtemátcos. E l prmer se tet después de relzr, u certo m vel de profuddd, u álss epstemológco del ser referdo, e este cso el promedo, medte el cul se hg evdete su potecl costructor de coocmeto o mtemátco, resctrlo precsmete pr llevrlo l ddáctc ctul. E l segud vertete, se trt de resltr el modo e que los seres mtemátcos se rtcul, uscdo hcer eplícts ls relcoes coceptules etre los msmos, ddo que ello puede propcr e quees prede el erquecmeto cogtvo l develrse ls múltples forms que dopt el msmo ser detro de ls dferetes áres o sgturs e que está dvd l mtemátc pr su predzje escolr. L med rtmétc U prmer rescte de crácter epstemológco que se h hecho del promedo, es el que se refere l equprcó del eceso y el defecto. Arquímedes usó e muchos de sus trjos el prcpo de l lz pr el descurmeto de propeddes geométrcs, su susteto epstemológco es el de equlro mecáco etre fgurs geométrcs, como lo hzo l clculr el áre de u sector prólco. su g Este equlro etre el eceso y el defecto, se puede cosderr su vez como el susteto de l med rtmétc. ólc g su Por supuesto es posle hcer l detfccó del método del ecesodefecto, pr dos vlores reles postvos y, co <, pr lo cul _ procedemos _ de l sguete form, el eceso de respecto u vlor termedo, co < <, que tee l crcterístc coceptul de ser el que equpr, Relme, Vol. 3 (4-II), Dcemre de 00 389
y dd rtmétc Crlos Rodero Guerrero es _ -, metrs que el defecto de respecto _, es _ -, e form tl que l equprrse se tee, cosderdo que _ -, es u vlor postvo, metrs que _ -, es egtvo - + - =0 de dode, o se, _ =+ _ + = Desde u puto de vst coceptul, es mucho más erquecedor pr u estudte, prtr de cosderr el eceso y el defecto de los y vlores y, e lugr defrse l med rtmétc de dos vlores, como usulmete se hce e l ddáctc. Ello poslt u espece de mposcó coceptul, de l cul u estudte dfíclmete se puede sustrer, pero l msmo tempo se coverte e u ostáculo ddáctco que le mposlt lt el drle otros sgfcdos sttucoles y persoles l msm. E (Rmos & Fot, 008) se señl respecto los sgfcdos sttucoles de los ojetos mtemátcos el de tpo Referecl, que cocere l sstem de práctcs que se us como referec pr elorr el sgfcdo preteddo; que se determ medte u estudo hstórco-epstemológco co-ep pr mostrr l dversdd de cotetos de su uso. Precsmete e uo de los propóstos de este trjo resde e mostrr cómo puede ser mpldos los sgfcdos sttucoles del Cálculo lo promedl, prtculrmete e referec l ojeto mtemátco de l med rtmétc como u de tts forms de promedo, trvés de ls portcoes coes del estudo epstemológco, lo que se rá mostrdo e el desrrollo del msmo... L med rtmétc de vlores Sguedo edo co el trtmeto terormete dscutdo, podemos psr l cso de vlores,,,...,, jo l cosdercó geerl de que l sum de los ecesos defe y los defectos dee ser ul, respecto precsmete l vlor de l med _ rtmétc, es, decr, _ - + _ - + _ - 3 +Λ+ _ - = 0 _ s de dode, ores e co-ep e,, e s y 390 Relme, Vol. 3 (4-II), Dcemre de 00
Cálculo promedl. El cso de l med rtmétc Es posle trjr co ests dos represetcoes pr s pr l med l medrtmétc, ) L comprcó de dos tpos de totles, ) L cumulcó de ctddes reltvs, te terpr cd u de ls cules tee su correspodete terpretcó uque ms se complemet e su resgfccó. Este l meos otrs dos forms represetds por, ) L sum totl es gul veces l med, v) L sum ul de ls dferecs Tods ls terores se puede cosderr como represetcoes semótcs de u msmo ojeto mtemátco, e este eses cso l med rtmétc, o sólo cumple l fucó de comuccó, so demás co ls fucoes prmordles de trtmeto de l formcó y de ojetvcó o tom de coscec (Duvl, 004)... L med rtmétc poderd Precsmete ete e l úsqued de sgfcdos, l med rtmétc tom otr dmesó ó cudo prece l llmd med rtmétc poderd, e dode cd vlor, se le soc su correspodete podercó p. Esto es, cd vlor se multplc por su respectv podercó, l sum qued epresd como, l dode l sum de tods sus podercoes es, L med poderd es, p + p +... + p = p p p N N p d p p. sderr d ( ) 0 Relme, Vol. 3 (4-II), Dcemre de 00 39
Crlos Rodero Guerrero De tl mer que el proceso es muy smlr, e el cso de l med smple se puede cosderr que cd vlor tee sgdo u msmo peso o podercó que es, o se que l sum correspodete es: + +... + = dode l sum de podercoes es gul, esto es, rtmétc qued epresd como,. Luego l med De dode se desprede que l med rtmétc smple l podemos llevr l cso de l med rtmétc poderd, l hcer u comprcó etre sus dos totles respectvos, e el que cd ctdd peso o podercó gul e l med smple, o p pr poderd. tee socdo u l med Se puede despreder lgus propeddes ls cules se sgue cumpledo, como l tes referd l sum de ls dferecs ul,, d ( ) ) 0,, 0 sólo que hor tom l form sguete pr ctddes: p p p = 0, o e, se puede epresr e térmos de dferecs poderds como: D ( p - ) p 0 lo cul es u vrte del resultdo teror e el que l sum de los ecesos y defectos ul. ul. hor co c cosdermos que el totl de ls podercoes es gul u vlor N m, se tedrá que m N M Esto es,. m M m S se r Otr represetcó pr l med rtmétc poderd es: mm M m N. 39 Relme, Vol. 3 (4-II), Dcemre de 00
Cálculo promedl. El cso de l med rtmétc Nótese que e est represetcó, se puede cosderr que l podercó es m de l form, lo que se puede detfcr como podercó reltv, y que N se epres como rzól rzó etre l podercó de l ctdd dd etre l podercó totl. Ests so ls úcs propeddes que mtee cert semejz respecto ls y mecods pr l med rtmétc smple, s emrgo, es de cosderrse l resgfccó dcol que collev l med poderd, ddo que hy u sgcó que poder o d peso cd vlor que tervee e l msm. Aquí se muestr l ctvdd cogtv de trtmeto y se preset cudo l trsformcó produce otr represetcó etcó e u msmo regstro, e este cso el umérco..3. L med rtmétc e el cálculo de áres que Es posle cosderr que l med rtmétc tc tee l crcterístc de ser u tpo de promedo precsmete por ser quel vlor que represet l cojuto de vlores ddos orglmete. Pero l msmo tempo es el vlor que equlr, e el setdo de equprr los ecesos esos y los defectos, sedo s, est culdd l que permte crer l proceso de cálculo. culo. Precsmete tl crcterístc cterístc v más llá de lo umérco, stládose e lo geométrco, como es el cso del cálculo de áres de fgurs regulres como el trágulo y el trpeco. E este cso se muestr, como dce Duvl (004) u propedd fudmetl de ls represetcoes semótcs: su trsformldd e otrs represetcoes que coserv y se todo el cotedo de l represetcó cl, o e sólo u prte de ese cotedo. Auque vle clrr que e este cso se preset et l coversó y que l trsformcó produce u represetcó de u regstro -el umérco- otro regstro dstto, el geométrco. Vemos e prmer lugr el cso del trágulo de se y ltur h, l ocupr el rgumeto del eceso y el defecto, prece ecesrmete l med rtmétc, e form tl que u resgfccó pr el áre del trágulo puede ser costrud de form tl que, rgu h A águlo de y se terpret como el áre de u rectágulo de se y ltur h/ costru rgume rgu fectos Relme, Vol. 3 (4-II), Dcemre de 00 393
II Fgur. Fgur..3.. El áre del trpeco I h h/ Crlos Rodero Guerrero Este rectágulo tee l msm áre del trágulo orgl porque los trágulos por eceso I y por defecto II, so efectvmete gules, lo cul se puede demostrr geométrcmete. Otr terpretcó se refere l hecho de que h/ es l ltur promedo, cosderdo los vlores 0 y h. Aprece uevmete el costructo teórco ddo por Arquímedes del eceso y el defecto, de mer que cudo se equpr, sempre prece u vlor promedl, e este cso l ltur promedo. Pr el cso del trpeco de se y lturs h y h puede clculr por, el áre se l epresó, h h A l trpeco es co U form de terpretr l áre del trpeco es cosderr como equvlete l áre de u rectágulo co se y y ltur del trpec h h h, uque hor ést es l ltur promedo el etre trpec ls dos lturs que tervee e e el el trpeco. trpeco. h Nuevmete los trágulos I y II, so I gules pues equpr el eceso y el (h +h )/ defecto por el hecho msmo de ser II del trpec h h h, el trpec el promedo de ls lturs. Esto es, II 394 Fgur. Fgur. Relme, Vol. 3 (4-II), Dcemre de 00 h h A l trpeco es co
Cálculo promedl. El cso de l med rtmétc Es de resltrse que el trásto etre l represetcó umérc y l geométrc, sí como e otrs que se trtrá delte, prece como u vrte epstemológco el eceso y el defecto, que prtculrmete e l form de promedo de l med rtmétc, demás de ser u úco vlor, es su vez el vlor que equlr, e el cso umérco todos los vlores que prece y e el cso del áre de trágulos y trpecos ls lturs que tervee, pr poder sí ecotrr l ltur del rectágulo de áre equvlete..3.. Áres de trágulos y trpecos referdos u sstem crteso Cd vez l de germl del eceso y del defecto v desplegdo su potecl costructor de coocmeto, es etoces posle mostrr cómo se puede relzr el cálculo de áres de trágulos y trpecos pero hor vsts como áres jo l curv de fucoes elemetles dds. E el cso de u trágulo rectágulo, éste se geer trvés de l fucó y = f () =, cosderdo el áre jo l rect etre 0 y u vlor ddo, que es el tmño de l se, esto es, f() y= Fgur 3. 3. E l fgur teror se muestr que el trágulo rectágulo e sósceles de se y ltur gules l vlor, tee u áre que es se por ltur sore dos, o se, A =A = (/), ( equvlete l áre de u rectágulo de se y ltur (/), que podemos fg cosderrl como u ltur promedo, rgumeto que hor es mostrdo co u sgfcdo y que posterormete se usrá e el cálculo de tegrles defds. Tmé se puede terpretr el áre del trágulo descrto como equvlete l mtd del cudrdo de áre, esto es, A = /, el cul result ser u rgumeto ásco pr l tegrl defd, / 0 fg fg pode g pode y= Relme, Vol. 3 (4-II), Dcemre de 00 395
d 0 Crlos Rodero Guerrero Ahor co l msm fucó y = f ()=, se puede geerr u trpeco s e lugr de recorrer de 0, se recorre de, co <, f() Fgur 4. E este cso, el áre del trpeco está dd por el tmño de l se que es -, multplcdo por l ltur promedo (+)//,,, es ee decr, A = (-) (+)/. Nótese que los trágulos que qued por eceso y defecto so gules, de tl mer que el trpeco tee u áre gul l rectágulo de áre equvlete. Al relzr los cálculos culos equvletes, se otee l tegrl defd de f () e el tervlo [,],, l tegrl correspodete qued de l form, ( ) d ( ), mlz trvés del cálculo Lo que posterormete se formlz trvés del cálculo de l prmtv y del teorem fudmetl del cálculo como, Por supuesto l ltur promedo qued epresd como, d y= (+)/ d / 396 Relme, Vol. 3 (4-II), Dcemre de 00
ur pro Cálculo promedl. El cso de l med rtmétc l que su vez se puede clculr por medo del teorem del vlor medo pr tegrles, el cul se cumple jo l hpótess de que s f () es u fucó cotu e el tervlo [,], etoces se segur l estec de u vlor c (,), de mer tl que se stsfce, f ( ) d f ( c). O equvletemete, se puede epresr de dos forms dferetes, Dode evdetemete ) f ( c), es el vlor promedo de los vlores de l fucó e el tervlo de tegrcó [,] y (-),, el tmño del msmo.u vez más se puede oservr el modo e que ctú el cálculo promedl, e el setdo de mostrr u sgfcdo prepoderte l ltur promedo de l fucó e el tervlo correspodete y l otecó del áre del rectágulo equvlete l de l fgur dd. A su vez, l msm de germl del eceso y el defecto, e este cso referdo ls áres por ecm y por dejo de l ltur promedo, se llev desde el cso elemetl del trágulo y trpeco, hst el áre jo l curv de u fucó cotu e el tervlo de tegrcó [,], lo cul se ve reflejdo e eces el sgfcdo del Teorem del Vlor Medo pr tegrles. Esto se muestr e l sguete secuec de fgurs: f ( c) f ( ) d d f ( ) d ( ) f (c c) ) e f() f() f (c) Fgur 5. Fgur 6. Fgur 7. Relme, Vol. 3 (4-II), Dcemre de 00 397
Crlos Rodero Guerrero Ce destcr l flcó de crácter epstemológco que este etre prte de lo terormete señldo, co l de de l regl del grdo medo, dd por Glleo y posterormete trjd por Oresme y que fclt l otecó del promedo de u culdd tesv que vrí co relcó u escl fjd de temo (Ferádez & Rodero, 004)..4. L med rtmétc e el cálculo de sums Es posle ocupr el promedo pr clculr l sum de los prmeros úmeros turles, esto es, s = ++3+4+...+. Pr tl f, se clcul l med rtmétc de esos msmos vlores, esto es, ++3+4+...+,, ddo que el umerdor es l sum de térmos de u progresó rtmétc, etoces su med rtmétc es gul su vez l med rtmétc de los vlores etremos, es decr, ++3+4+...+ = + Luego etoces, l sum uscd es, ( ) 3 4 S este msmo resultdo se epres e térmos de u sumtor, se otee, ot ( ) O e l otcó de Beroull pr este tpo de sums (Edwrd, 979),. ot De dóde l med rtmétc de os msmos estos msmos úmeros úmeros se represet como, O e l ot 4 = = ++ 398 Relme, Vol. 3 (4-II), Dcemre de 00 do se quere etrr
Cálculo promedl. El cso de l med rtmétc Este msmo resultdo se ocup cudo se quere etrr clculr l tegrl defd, d 0 cuyo rgumeto cetrl se d e térmos os de u de p u promedo, e este cso el de l med rtmétc. Aquí se h usdo mplíctmete u propedd de l med rtmétc, l que se refere que l sum de vlores es gul veces el vlor de l med, esto es, veces el vlo. Cudo se hce u trtmeto como el que vee relzdo, demás de hcer eplíctos lguos de los cotetos dode l med rtmétc fuco como eje de rtculcó de los seres mtemátcos, tcos, se propc u Idoedd epstémc, como lo meco (Godo, Cotrers d & Fot, 006), que se refere l grdo de represettvdd de los sgfcdos sttucoles respecto los de referec, y que se usc etre otros ojetvos el cdr e los sgfcdos persoles. E el cso de l med rtmétc, es represettvdd vee dd por l dversdd de forms que dquere y sus sgfcdos sttucoles que so mplos e dferetes es ámtos tto to de l mtemátc como de otrs áres del coocmeto..5. L med rtmétc e el cálculo de tegrles defds U coteto más dode prece l med rtmétc es el que se refere l cálculo de tegrles defds pr fucoes de l form y=f ()=, co =,. Se puede ocupr este resultdo pr clculr e form dscret el áre jo l curv de l fucó f () =, e el tervlo [0,], (Rodero, 00). Relzdo u equprtcó del tervlo, : 0/, /, /,, /, como f ( ) = /,, se cosder l tegrl defd como l med rtmétc de ls correspodetes lturs, dds por los vlores de l fucó, es decr, de d 0 0 0, se ot de mer que s se cosder que, se otee que: d 0 e u persp Relme, Vol. 3 (4-II), Dcemre de 00 399 de
Crlos Rodero Guerrero Este últmo resultdo, muestr desde u perspectv dscret que efectvmete l med rtmétc es u eje rtculdor de seres, desde l mtemátc elemetl hst l mtemátc vzd. Reptedo el proceso pr el cso de l fucó, f () =, defd e el tervlo de referec [0,], relzdo l msm equprtcó del tervlo y evludo f ( ) ; hor l tegrl defd, clculd los vlores trvés de de l l med rtmétc de los vlores de l fucó dd, se tee que es: 0 d 0 3 0 De mer que s se tom el límte cudo,, qued, ( ) 3 3 6 3 d. 3 0 6 6 E los cálculos terores se ocupó l med rtmétc de los vlores de l fucó que tervee. Igulmete se puede clculr el promedo de ls áres de los rectágulos de se / y ltur el correspodete vlor de l fucó e el etremo zquerdo de cd sutervlo. Por supuesto, los resultdos de ls tegrles defds que se clcul so gules los y otedos. Este msmo método de cálculo promedl se us pr clculr l tegrl defd de u fucó de l form f ()=, co defd e el tervlo [0,], oteédose el resultdo coocdo, d 0 Que su vez se geerlz cudo pr est msm fucó, se tee el tervlo tegrcó de tegrcó [,], se ge z se se z d ( 3 ) 3 3 6 cu 400 Relme, Vol. 3 (4-II), Dcemre de 00
Cálculo promedl. El cso de l med rtmétc Cuyo vlor promedo es fácl de ver que correspode, d ( dode precsmete prece otro tpo de promedo l que deommos med potecd, (Rodero, 00),.6. L med rtmétc e l Estdístc No es el terés de este trjo profudzr cerc de cómo es que tervee l med rtmétc e l Estdístc, más e de lo que se trt es de mostrr l form e que certos seres s de tpo estdístco se costruye e se l med rtmétc. Algus de sus propeddes pedde relevtes so, Btero (005): E el specto estdístco: ) L med se stú etre los vlores etremos, ) L sum de ls desvcoes es cero, ) L med tom e cuet todos los vlores y o sus promedos prcles. les. opue op E el specto strcto: M (, ) 0 ) L med o tee por qué cocdr co lguo de los vlores que h sdo promeddos, ) med, puede ser u úmero que o teg setdo e el coteto propuesto, )) Cudo se clcul l med, s prece el cero, dee teerse e cuet. prop L op E el specto de l represettvdd: Cu L ) L med es represettv de los vlores promeddos. ) Relme, Vol. 3 (4-II), Dcemre de 00 40
Crlos Rodero Guerrero E tods ls propeddes terores, el hecho relevte que permte hcer u resgfccó l med rtmétc es precsmete l cosdercó de ser el vlor que equpr los ecesos y defectos, o se el vlor que equlr. Este otrs forms de sgfccó del cocepto de l med rtmétc, que como se h señldo se desprede de l ocó de promedcó, uo más de tles sgfcdos es el correspodete lo frecuecl, e el cul, se puede ver como l cumulcó de frecuecs dvdules dds por,, esto es,. este sgfcdo como el cocep Es precsmete trvés de este sgfcdo como el cocepto de l med rtmétc se rtcul co l estdístc descrptv e relcó ls frecuecs reltvs y l frecuec cumuld, l trjrse e térmos de frecuecs, como s fuese u med rtmétc poderd, se tee, f f de dtos. sedo N f, el úmero totl de dtos. m se puede f L msm se puede etoces rescrr como, f f f f3 3 N N N N s cd vlor f /N,, lo socmos co u frecuec reltv, /N f, se tee que, cusó e l e est form de promedo, tedrá repercusó e l estructur de los vlores esperdos e proldd. f N, /N, ~ f ~ f 40 Relme, Vol. 3 (4-II), Dcemre de 00
Cálculo promedl. El cso de l med rtmétc El vlor esperdo E estdístc vlor esperdo de u vrle letor dscret X, está defdo como, vrle letor ds E X p dode p ( ), es l fucó d de proldd de desdd p de proldd pr l correspodete vrle letor X, l cul puede teer u úmero fto de vlores o e ser ftos umerles, e cuyo cso dee cumplrse que to de vlore p( ), se covergete pr segurr l estec del vlor esperdo E (X). Por supuesto l fucó de desdd de proldd cumple co l codcó, p( ) sedo, 0< p( )<. ( ) De l defcó msm o se desprede fáclmete que el vlor esperdo es u form de promedo, s emrgo, se puede terpretr que cd vlor que tom l vrle letor es multplcdo por su correspodete odvlor de proldd p ( ) que es su vez u form de frecuec reltv ~ f, y pr socr el promedo co l med rtmétc todví se dvde etre l sum de m frecuecs reltvs, cuyo vlor como es sdo es uo, esto es, ~ ~ f f ~ ~ ~ ~ f N f f f Ddo que l sum de ls frecuecs reltvs, m ~ ~ ~ ~ f + f + f +... + f = De tl mer que l vlor esperdo tmé se le llm med de l dstrucó de proldd, es decr, E X p ) ( áclm ). Relme, Vol. 3 (4-II), Dcemre de 00 403
Crlos Rodero Guerrero L vrz L vrz de u vrle letor dscret X, l cul como es sdo es u medd de dspersó, está tmé defd e térmos del vlor esperdo pero de los cudrdos de ls desvcoes respecto l med µ, esto es, V Dode se cumple l propedd, V X EX ( ) p( ) X EX. ) V X p( ) p( ) p ( ) Como p( ), y el vlor esperdo es, p ( ), se tee que, V X EX EE X X. ( L cul se puede epresr como, V X E EX cuyo sgfcdo devee su vez de l dferec etre dos vlores esperdos o promedos, el de y el del cudrdo de μ, o se, E [ X ]-μ. El método cud EE XX EX de mímos cudrdos U método estdístco dode se muestr el ppel relevte del promedo e su coceptulzcó es el de mímos cudrdos. Se prte de l cosdercó de que dd dstrucó de putos, (,y ), (,y ), ( 3,y 3 ),...(,y ), se trt de ecotrr u rect que mejor se juste l msm. Pr ello, se usc que l sum de los cudrdos de ls dstcs de cd uo de los putos l rect de juste u u L, se u mímo. E otr plrs se quere que el promedo de los cudrdos de ls dstcs (y-y ), se u mímo, esto es, X E uste u usteu u ) p( ) ( ( 404 Relme, Vol. 3 (4-II), Dcemre de 00 ( y y ) el poder ote c
Cálculo promedl. El cso de l med rtmétc Est codcó es l que segur el poder oteer l mejor rect de juste l dstrucó de dtos dd. y y() y * y * *y 3 Fgur 8. L de cetrl que suyce e el método de mímos cudrdos es de poder ecotrr l rect de juste, e este cso l rect que mejor se prome e promedo l dstrucó de putos dd. Nótese que metrs l dstrucó de putos es dscret, l fucó lel que se usc es cotu de l form y=f()=+. Es decr, s podemos dr u procedmeto de cálculo pr oteer los prámetros, pedete de l rect,, y orded l orge, se tee e determd dch rect de juste, lo que poslt el relzr cálculos que permte predecr el vlor vrle de l vrle y. Se prte de l cosdercó de que se requere que se mím l sum de los cudrdos de ls dstcs etre los putos d y. ddos y los putos clculdos, pr sí poder segurr que se tee l mejor rect de juste. L codcó tes dcd se puede epresr r sólo e térmos de que l sum sguete, tome u vlor mímo, Ls ecucoes correspodetes que permte clculr de mer elemetl, los vlores de y so: e Resolvedo el sstem, el vlor de que es l pedete de l rect de regresó qued epresdo como, Resolve e *y 3... y ( y y c ) ed egresó que y y t y Relme, Vol. 3 (4-II), Dcemre de 00 405
Crlos Rodero Guerrero Y l orded l orge, y y Relzdo opercoes lgercs, ests msms epresoes se puede represetr e térmos de meds rtmétcs _ y _ y de l form, y y y E el cso de los dtos esté cetrdos e el tee que l med rtmétc de los dtos ddos es ul, esto _ orge, se es, = 0, lo cul hce que se smplfque los cálculos pr ecotrr l pedete e y l orded l orge, que result ser su vez l med rtmétc de los vlores de y, Es de hcerse otr que e todo el trtmeto del método de mímos cudrdos, prece como u rgumeto recurrete el promedo y que jueg dferetes roles e lo que correspode l sustetcó del msmo método. E este e últmo coteto trjdo, se h trtdo de mostrr l ecesdd de remrcr el vlor coceptul del costructo teórco de l med rtmétc, sedo este uo de los más relevtes e l Ddáctc de l Estdístc. Por supuesto, esto o es posle relzr so se eplct l rtculcó coceptul de tpo trsversl, co lguos de los cotetos y represetcoes quí trtdos y que correspode precsmete l Cálculo Promedl. os 3 Coclusoes y y y y y e Es de resltrse el costructo epstemológco del eceso y el defecto, el cul como se h evdecdo tee u ppel protgóco e dferetes esceros mtemátcos. 406 Relme, Vol. 3 (4-II), Dcemre de 00
Cálculo promedl. El cso de l med rtmétc Se h mostrdo cómo es que el eceso y el defecto ctú como u vrte epstemológco, e el setdo de que se dpt los dferetes cotetos y represetcoes dode prece e se como elemeto costructor o eje de rtculcó coceptul. L med rtmétc como prototpo de u cocepto de promedo, prece de mer prepoderte cudo se pretede costrur seres mtemátcos. Se h presetdo l form e que rtcul coceptos de l mtemátc elemetl co otros de l mtemátc vzd. L ocó de promedcó, detfcd como u de germl, result ser de gr mportc coceptul y es posle su rescte epstemológco emológco como e prte quí h sdo evdecdo pr l ddáctc de l mtemátc. E referec l rtculcó de seres, l med rtmétc qued evdecd como u eje de rtculcó coceptul, etre los pesmetos umérco, geométrco y lgerco, demás del vrcol. El Cálculo Promedl, tee u fuerte presec e l mtemátc y es el referdo ls forms e que prece los dferetes m tpos de promedo. Por supuesto, se requere eplctrlo e l mtemátc mátc escolr, quí se h presetdo el cso relevte de l med rtmétc. Por medo de los dferetes elemetos coceptules quí mostrdos, es posle relzr el dseño de stucoes de predzje tto pr estudtes, como pr l formcó ddáctc de profesores de mtemátcs, prtculrmete de secudr y chllerto. Referecs lográfcs 4). 4 Btero, C. (005). Sgfcdos de proldd e l educcó secudr. Revst Ltomerc de Ivestgcó e Mtemátc Eductv, 8 (3), 47-63. Duvl, H R. (004). Los prolems fudmetles e el predzje de ls Mtemátcs y de ls forms superores e el desrrollo cogtvo. Colom: Uversdd del Vlle. Isttuto de educcó y pedgogí. Grupo de Educcó Mtemátc. Duvl, R. (004). Semoss y Pesmeto humo. Colom: Uversdd del Vlle. Isttuto educcó y pedgogí. Grupo de Educcó Mtemátc. Edwrd, C. H. (979). The hstorcl developmet of the Clculus. USA: Sprger-Verlg. New de ó 4 Yor. Ferádez, M. & Rodero, C. (004). El co hstórco de l cec del movmeto: Implccoes epstemológcs y ddáctcs. Revst Ltomerc de Ivestgcó e Mtemátc Eductv, 7 (), 45 56. ó w Relme, Vol. 3 (4-II), Dcemre de 00 407
Crlos Rodero Guerrero Godo, J., Cotrers, A. & Fot, V. (006). Aálss de procesos de struccó sdos e el efoque Otológco - Semótco de l cogcó mtemátc. Recherches e Ddctque de l Mthémtques, 6 (), 39-88. Rmos, A. & Fot, V.(008). Crteros de doedd y vlorcó de cmos e el proceso de struccó mtemátc. Revst Ltomerc de Ivestgcó e Mtemátc Eductv, (), 33-65. Rodero, C. (00). Epstemologí y ddáctc: U estudo sore el ppel de ls des germles <poderto> y <equlrum> e l costtucó del ser físco mtemátco. (Tess édt de doctordo). Cvestv, Méco. Rodero, C. (00). Cálculo Dscreto. E R. Ctorl (Ed.), Cudero Ddáctco. co.. Méco: Grupo Edtorl Ieromérc. Autor: Crlos Rodero Guerrero. Isttuto de Cecs Báscs e Igeerí, Uversdd Autóom del Estdo de Hdlgo-Méco. rodero@ueh.edu.m y crodero6@hotml.com om om 408 Relme, Vol. 3 (4-II), Dcemre de 00