SOLUCIÓN DE UN PROBLEMA INVERSO MEDIANTE PROYECCIÓN POR SPLINES

Transcripción

1 SOLUCIÓN DE UN PROBLEMA INVERSO MEDIANTE PROYECCIÓN POR SPLINES Teres H. Codgoe, Ferdo Otero Veg, Rcrdo V. Bro y Glor L. Frot Deprtmeto de Mtemátc,Fcultd de Igeerí,UNMDP tcodgo@f.mdp.edu.r rro@f.mdp.edu.r Isttuto de Ivestgcoes e Cec y Tecologí de Mterles gfrot@f.mdp.edu.r foteroveg@f.mdp.edu.r Áre temátc: Aplccoes de l Mtemátc Plrs Clves: Prolems versos, dscretzcó, regulrzcó, sples, ml codcometo. I. Itroduccó L resolucó de prolems versos se h desrrolldo como u mportte áre de estudo detro de l mtemátc plcd por su porte l resolucó de prolems reles de ls cecs plcds y, prtculrmete, de l geerí. Comezremos crcterzdo los prolems versos de l sguete mer: Se X e Y espcos ormdos y T: XY u operdor (lel o o lel) tl que Tx = y, co xx e yy. Cosderremos T como el modelo de u sstem físco sedo x l etrd e y l respuest. E ests codcoes el prolem drecto cosste e clculr l respuest y te u etrd x, metrs que e u prolem verso dee determrse l etrd o el modelo que produce u cert respuest. Los prolems drectos so e geerl prolems e codcodos. Certos prolems físcos se puede modelr co u tegrl de Fredholm de prmer tpo co úcleo de cudrdo tegrle [1], que puede escrrse como: K ( s,t ) f ( t )dt g( s ), co s1 s sm (1) El térmo de l derech g y el úcleo so fucoes coocds, y f es l fucó descoocd. E muchs plccoes K es coocdo exctmete, metrs que g cosste e medcoes, es decr, g es coocd co poc excttud y e u couto fto de putos s,s,...,. Es posle escrr l tegrl como: 1 sm g( s ) K( s,t ) f ( t )dt co 1,,, m () y luego de hcer k( t ) K( s,t ), qued: g( s ) k ( t ) f ( t )dt co 1,,,m (3) El prolem verso de clculr f(t) suele presetr prolems de ml codcometo, dedo l flt de estldd: pequeñs perturcoes e los dtos puede correspoder perturcoes muy grdes e l solucó. L form de ecotrr u estmcó de l solucó es trvés de ls llmds téccs de regulrzcó, que cosste e proxmr su solucó medte u fml de prolems estles cercos []. L estlzcó del prolem puede logrrse prclmete expresdo l fucó uscd medte u expsó e u se de fucoes.

2 Los llmdos métodos de proyeccó e su form más geerl cosder u couto de fucoes 1( t ), ( t ),, ( t ) que forme u se de u espco B de fucoes co el cul se puede proxmr f(t) medte l sguete comcó lel: f ( t ) α ( t (4) 1 ) El úmero de fucoes de l se del espco es meor que el úmero de oservcoes m. Susttuyedo e l ecucó tegrl (3), se otee: g( s ) k ( t ) 1 ( t )dt k( t ) ( t ) dt (5) que puede expresrse como u sstem lel mx de l form: B. = g (6) co B dode k( t ). ( t ) dt pr =1,,, m; = 1,,,. (7) α 1 α, g g( s ) (8) E dversos prolems se h utlzdo fucoes sples cúcs como elemetos de l se. U sple cúco (t) sore t correspodete l prtcó =t < t 1 < < t = (9) es u fucó cotu (t) que tee prmer y segud dervds cotus e tods prtes sore este tervlo y, e cd sutervlo de l prtcó (9), está represetd por u polomo de grdo o myor que tres. Por tto, (t) cost de de tles polomos, uo e cd sutervlo. S se tee f(t) sore t y se h elegdo u prtcó (9), etoces se otee u sple cúco (t) que proxm f(t) l requerr que: (t )=f(t )=f, (t 1 )=f(t 1 )=f 1,..., (t )=f(t )=f (1) Y demás: (t )=k, (t )=k (11) Dode k y k so úmeros ddos, etoces se otee u sple cúco determdo de mer úc. Etoces se puede eucr el sguete teorem de exstec y ucdd [3] Se f(t) defd sore el tervlo t y u prtcó (9) dd, y se k y k dos úmeros ddos culesquer. Etoces exste u y sólo u sple cúco (t) correspodete (9) que stsfce (1) y (11). II. Formulcó mtemátc del prolem verso dscreto El prolem verso cotuo pr ecotrr l fucó f(t) de l ecucó tegrl (), segú lo expuesto terormete, qued formuldo como u prolem verso dscreto de ecotrr los coefcetes α e l ecucó mtrcl (6). Los dtos, g, so vlores meddos, y por cosguete tedrá error. E tl crcustc, l solucó del prolem verso puede o teer setdo físco. L regulrzcó procur elmr el ml codcometo. L solucó del prolem orgl se proxm etoces como (4) dode ls (t) so ls sples cúcs y los α so ls cógts determr que se estmrá: T T 1 T B B γl L B g αˆ (1) αˆ es l solucó del prolem de mímos cudrdos regulrzdos, segú l técc de Tkhoov: α m Bα g γ Lα (13)

3 E ls fórmuls (1) y (13) prece el prámetro de regulrzcó y l mtrz L. El vlor del prámetro de regulrzcó goer el peso co que l codcó de suvdd mpuest por l mtrz L fectrá l solucó. Luego, l fucó uscd se clcul co: fˆ ( t ) αˆ ( t ) 1 y el couto de sples { (t)}defds e el teorem de exstec y ucdd de sples cúcs ctdo e l seccó teror, puede expresrse lítcmete de cuerdo ls sguetes fórmuls: ( t (14) t ) β 1 1, 1,,... (15) 4 k ( 1) 4 3 (16) 3! k k co: ( t ) t k U( t k ) III. Aálss de u prolem plcdo III-1) Defcó del prolem físco Exste mterles compuestos por prtículs esfércs suspedds e u medo. Pr crcterzrlos, es mportte coocer su dstrucó de tmños (DTP) y que l msm determ e gr medd sus propeddes fles. L estmcó de dch dstrucó prtr del álss de medcoes de dspersó de luz estátc (DLE) es u prolem verso de terés cetífco e dustrl. L metodologí de medcó de DLE cosste e lumr u muestr co u hz de luz cdete de u determd logtud de od (λ ) y lzr l luz dspersd por l msmo. L tesdd de luz dspersd es cptd medte fotodetectores dsttos águlos. Flmete, el uso de modelos mtemátcos que relco est tesdd co l DTP uscd coduce u prolem de tpo verso que puede, o certs cosdercoes (tles como lto grdo de dlucó del sstem o o cotrste etre prtículs y medo, etre otros) llevrse l form de u sstem lel. E el cso estuddo, el modelo pltedo [4] correspode u modelo de proxmcó pr sstems cocetrdos o l codcó de Rylegh-Deye-Gs (RDG) que mplc o cotrste (es decr, ídces de refrccó smlres) etre prtículs y solvete. El msmo puede descrrse medte u ecucó tegrl de Fredholm de prmer tpo de l form: R mx Is( q ) C f ( R )F ( p,q,r )S( p,q,r )dr (17) R m dode R es l vrle socd l rdo o tmño de ls prtículs; q correspode l módulo del llmdo vector de dspersó socdo l águlo de medcó, p es el prámetro efectvo de l frccó de volume defdo pr modelr el efecto de terferec y p es el ídce de refrccó de ls prtículs. Así, Is(q) represetrá l tesdd de luz dspersd pr cd águlo, por l dstrucó del tmño de prtículs f(r) que es l fucó determr. E l ecucó (17), F ( p,q, R ) correspode l deomdo fctor de form socdo l dspersó ded cd prtícul y l dstrucó de los elemetos dspersores e l msm y S( p,q,r ) es el llmdo fctor de estructur que cluye los efectos de terferec etre ls dferetes especes de prtículs. C es u costte de proporcoldd que volucr crcterístcs del strumetl.

4 S se supoe coocdos todos los prámetros del modelo y se dspoe de medcoes de Is(q), l úc cógt es l dstrucó f(r) e el tegrdo. Se ve sí como l ecucó (17) preset l msm form que l ecucó (1) y l metodologí pr l resolucó de este prolem verso será l explcd e seccoes terores. E l logrfí se h reportdo tros dode se plcó u metodologí smlr l descrpt [5]. Se smul e este tro u medcó de DLE pr u mterl cuy DTP sgue u form del tpo log-orml dd por 1 ( g / π ) g [log( R / R f ( R ) e )] (18) R Los prámetros so g=5, R =, p =1.5, m =1.48, p=.3. E relcó l equpo expermetl empledo se usro los sguetes dtos: logtud de od cdete =63.8, θ = [4º,4º] ( θ =.5º) y C=1. Se cosder demás que l medcó rel tedrá rudo. Pr refler dch stucó, l medcó exct Is(q) clculd co el modelo de l ecucó (17) se le sum u error modeldo como u proceso gusso o correlcodo, de med ul y dspersó 1% del vlor máxmo de l tesdd. III-) Relcó etre el grdo de dscretzcó y l estldd e el prolem drecto y e el prolem verso Pr l plccó de l metodologí desrrolld e ls seccoes terores, result ecesro relzr u álss prevo del úmero de sples utlzr, y que l solucó del prolem verso pr el cálculo de l DTP depede de l eleccó de este úmero. Esto puede oservrse e l tl 1, dode pr u grdo más elevdo de dscretzcó empledo u úmero myor de sples, el error de proxmcó de l dstrucó clculd e form drect tede dsmur. Este error se defe como Número de Sples e Prolem Drecto Error de Proyeccó α ( t ) f ( R ) 1 (19) f ( R ) Número de Codcó de B Prolem Iverso Error Reltvo SVD 5.635E E3 6.65E-1 5.E E-.86E E1 4.63E E E8.984E E E E E5 4.39E E-4 1.3E E E E-5 4.9E E E E E E E E E E E E E18.67E E E E E E- Tl 1 - Prolem Drecto, Número de Codcó, Prolem Iverso o regulrzdo Resduos SVD Pr el álss de estldd, es ecesro llevr el sstem l form de l ecucó (6), y lzr el úmero de codcó de l mtrz B resultte. L tl 1 muestr u crecmeto de este úmero de codcó medd que se cremet el úmero de fucoes sples utlzds. Flmete puede verse que l resolucó del prolem verso s regulrzcó por pseudovers prtr de ls medcoes rudoss coduce u eorme -

5 cremeto del error e l solucó oted medd que se cremet el úmero de sples utlzdo. Se oserv tmé que el resduo defdo como I s( q ) B.αˆ r () I s( q ) tom vlores smlres e todos los csos. Est crcterístc es típc e prolems ml codcodos. Dstrucoes muy dferetes y oscltors produce u resduo pequeño. Ls dstrucoes clculds prtr de SVD result fucoes s setdo físco pr el prolem e cuestó. Sólo pr el cso de cco sples, l estmcó de l dstrucó proxm los vlores de l DTP verdder pr l myorí de los rdos excepto pr los prmeros rdos como cosecuec de u coefcete egtvo clculdo pr l prmer sple. Esto puede oservrse e l fg Fgur 1. Dstrucoes Recuperds medte SVD pr 5 sples (líe puted), sples (líe segmetd) y f(r) verdder (líe lle) III-3) Solucó del prolem verso por vros métodos Trs oservr e l tl 1 los resultdos presetdos pr el error otedo de resolver el prolem verso por pseudovers surge l ecesdd de empler otros métodos. Se plc dos métodos de regulrzcó: Tkhoov y TSVD o SVD Trucd. Pr el método de Tkhoov se relzó el cálculo del prámetro de regulrzcó medte l técc deomd Vldcó Cruzd Geerlzd [6] y el vel de trucmeto pr el segudo método se determó co l metodologí de l curv L []. Los resultdos e l tl muestr que el error reltvo otedo por estos métodos es otlemete feror l de SVD, sí como tmé refle l presec de u úmero óptmo de sples e térmos de mmzr el error (Ns=15). Flmete, puede oservrse que el uso de sples qued ustfcdo por l reduccó de los errores l cosderr u úmero decudo de fucoes de proxmcó. Nro. Sples Error Reltvo TSVD Umrl de Trucmeto (k) Resduo TSVD Error Reltvo TIK Prámetro de Regulrzcó (γ) Resduo TIK Ns= E E E-3 Ns= E E E-3 Ns= E E E-3 Ns= E E E-3 Ns= E E E-3 Ns= E E E-3 Ns= E E 4.67E-3 Ns= E E 4.673E-3 Ns= E E 4.673E-3 Ns= E E 4.673E-3 Mtrz orgl E E 4.67E-3 Tl - Prolem Iverso Regulrzdo

6 7 x x Fgur. Dstrucoes oteds pr 1( ), (-.-) y 3(--) sples y s proyeccó por sples (lle grues) vs. Dstrucó verdder (lle f) Fgur 3. Meores estmcoes oteds por Tkhoov (puted), TSVD (segmetd) y Verdder (lle) L fgur muestr ls dstrucoes estmds de l fucó cógt que correspode l meor error pr u úmero de sples de 1, y 3; sí como l que se huer ecotrdo s relzr l proyeccó co sples. L fgur 3 preset ls meores estmcoes oteds por los dos métodos de regulrzcó [7]. Coclusoes S se umet el vel de dscretzcó, proyectdo co u úmero myor de sples, l codcó del prolem empeor otlemete. L resolucó del prolem verso por pseudovers, s regulrzcó, prtr de ls medcoes rudoss coduce u eorme cremeto del error e l solucó oted medd que se cremet el úmero de sples utlzdo. Pr el prolem de plccó cosderdo cudo se utlz úcmete 5 sples, l estmcó oted pr l dstrucó uscd es u fucó suve ú cudo o se hy utlzdo u método dcol de regulrzcó. El úmero óptmo resultó ser de 15 sples. Ls estmcoes ecotrds por los dsttos métodos de regulrzcó utlzdos, produce solucoes smlres l dstrucó verdder del prolem físco cosderdo. El uso de sples qued ustfcdo por l reduccó de los errores l cosderr u úmero decudo de fucoes de proxmcó. Referecs lográfcs [1]Wg, G.M. Codto Numers of Mtrces Arsg from the Numercl Soluto of Ler Itegrl Equtos of the Frs Kd, Itegrl Equtos 9 (Suppl),1995, pp [] Hse, P. Rk-Defcet d Dscrete Ill-Posed Prolems,Numercl Aspects of Ler Iverso, Sm, Phldelph, [3] Kreyszg, E. Mtemátcs Avzds pr Igeerí, Vol.II Lmus Wley,. [4] Pederse,J.S. Determto of Sze Dstrutos from Smll-Agle Sctterg Dt for Systems wth Effectve Hrd-Sphere Iterctos, J.Appl.Cryst, 7, [5] Gltter, O. Determto of prtcle-sze dstruto fuctos from smll-gle sctterg dt y mes of the drect trsformto method, J Appl Crystllogr 13, [6]Golu,G., Heth,M., Wh,G.Geerlzed Cross Vldto s Method for choosg good Prmeter, Techometrcs,Vol. 1, [7] Aster,R., Borchers, B., Thurer, C. Prmeter Estmto d Iverse Prolems, Elsever Acdemc Press 4.