9/ Ls ónis. 8. L elipse. Definiión: Ddos dos puntos un distni 2 mor que l distni, se llm elipse de foos prámetro 2, l lugr geométrio de los puntos del plno u sum de distnis es 2. Dee umplirse pues que, pr todo punto de l elipse E + = 2. Voulrio propieddes. Se un punto de l elipse E de foos, su simétrio respeto de l ret ( ). El segmento [ ] es simétrio del [] tmién lo es el [ ] del [ ]; en onseueni: = = entones sumndo ests dos igulddes miemro miemro se tiene: + = + por lo que si el punto pertenee l E entones su simétrio respeto de l ret fol ( ) tmién pertenee. L ret fol es por lo tnto eje de simetrí de l elipse. De mner similr se prue que l meditriz del segmento [ ] es eje de simetrí de l elipse. Est ret se llm eje no fol de l elipse. Reordemos que si un figur dmite dos ejes de simetrí perpendiulres entones l interseión de éstos es entro de simetrí de l figur. Llegmos sí que el punto medio O de [ ] es el entro de l elipse. El eje fol ( ) ort l elipse en dos puntos A A llmdos vérties de l elipse que están distni del entro de l mism. Los puntos B B en que el eje no fol ort l elipse tmién se denominn vérties de l elipse. Al segmento [AA ] se le llm eje mor l segmento [BB ] eje menor de l elipse. Construión por puntos de l elipse. Pr otener puntos de l elipse de foos eje mor [AA ] podemos seguir el siguiente proedimiento: Se tom un punto ulquier P del segmento [ ] luego se trzn ls irunferenis de entros rdios respetivmente igules AP A P. Dihs irunferenis son sentes los puntos de interseión N son puntos de l elipse. A B O B (E) A Geometrí nlíti. Coleión osios. 167
9/ Ls ónis. Otros puntos se pueden otener prtir de N por simetrís respeto los ejes o l entro. Elipsógrfo on rzo rtiuldo. El método del jrdinero. Tomemos un uerd psémosl por un rgoll de diámetro un poo mor que el de (E) un mrdor. Clvemos luego, medinte dos thuels, l uerd en el pizrrón en dos puntos mrdos u distni se menor que l longitud de l uerd. Pror que si introduimos el mrdor en l rgoll lo movemos de mner que se deslie sore el pizrrón onservndo siempre tens l uerd qued diujd un elipse de foos. O En efeto + es igul l longitud de l uerd por lo tnto onstnte. Luego l figur trzd represent un elipse de foos prámetro l longitud de l uerd. Los jrdineros se vlen de este método pr trzr nteros elíptios: lvn dos ests tn entre ms un uerd sufiientemente grnde se proede omo en el ejeriio plntedo. Cirunferenis diretors I. Sen dos puntos del plno un número rel 2 mor que l distni = 2 l irunfereni (C) de entro rdio 2. Hllemos el lugr geométrio de los puntos que son entros de irunferenis que psn por son tngentes interiores l irunfereni (C). T (C) Por hipótesis T es 2 por ser rdios T = entones: + = + T = 2. es pues un punto de l elipse E de foos prámetro 2. Reípromente si es un punto de l elipse (E), entones l irunfereni de entro rdio 2 es tngente l irunfereni de entro que ps por. 168 Geometrí nlíti. Coleión osios.
9/ Ls ónis. En efeto, tenemos que + = 2 por hipótesis, de donde = 2 lo que epres que ls dos irunferenis son tngentes interiormente, que es lo que se querí demostrr. Ls irunferenis de entro en d foo rdio el prámetro 2 se llmn irunferenis diretors de l elipse, por lo que hemos prodo, permiten rterizr l elipse on l propiedd plnted en el ejeriio. Tngente un elipse. Sen dos puntos del plno un número rel 2 mor que l distni = 2 l irunfereni (C) de entro rdio 2. S es un punto ulquier de (C). Proemos que l meditriz (m) del segmento [ S] es tngente l elipse de foos prámetro 2. En efeto, se el punto de orte de (m) on el segmento [S]. pertenee l elipse, pues = S + = S + = 2. Además ulquier otro punto P de (m) es tl que P + P > 2. S C (m) Hemos prodo demás que l tngente un elipse en un punto de ell es l isetriz eterior de los dos rdios vetores. 9. Euión reduid de l elipse. Consideremos el siguiente sistem de ejes ortonormdo: omo eje (O) l ret fol ( ) omo eje (O) l meditriz del segmento [ ]; sen ls siss de los puntos respetivmente, el vlor onstnte (neesrimente superior 2) de l sum +. (E) O Si (; ) es un punto ulquier del plno podemos esriir: (; ) está en l elipse si sólo si + = 2. es deir: ( + ) 2 + + ( ) 2 + = 2 o, lo que es lo mismo, islndo uno de los rdiles: ( + ) 2 + = 2 ( ) 2 + Elevndo l udrdo mos miemros simplifindo se lleg : ( + ) 2 + = 4 2 4 ( ) 2 + + ( ) 2 + + 2 + = 4 2 4 ( ) 2 + + 2 + 2 = ( ) 2 + Geometrí nlíti. Coleión osios. 169
9/ Ls ónis. Elevndo nuevmente l udrdo mos miemros de est últim euión se otiene: ( 2 ) 2 = 2 [( ) 2 + ] 4 2 2 + 2 2 = 2 2 2 + 2 2 + 2 4 2 2 = 2 2 + 2 Como 2 2 > 0, podemos poner 2 = 2 2. Si dividimos mos ldos de l euión entre 2 2 otenemos l euión reduid o nóni de l Elipse de entro en el origen de oordends foos (; 0) ( ; 0), > 0:. 2 + L form de l urv sí omo sus ejes entro de simetrís result inmeditmente de dih euión. (E) En este so, los puntos V(; 0) V ( ; 0), que son los puntos donde l gráfi de l V V elipse interse l eje (O) son los vérties de l elipse el segmento [VV ] es el eje O mor (prlelo l eje (O)). Los puntos donde l gráfi de l elipse interse l eje (O) son (0; ) (0; ) el segmento de [ ] es el eje menor (prlelo l eje (O)). Ejemplo 1. Hll los vérties los foos de l elipse 3 + 4 = 12. Respuest. Si dividimos mos miemros de l euión por 12 podemos reesriir l euión dd omo: + = 1. 4 3 Por lo tnto 2 = 4, el eje mor es prlelo l eje (O) 2 = 2 2 = 4 3 = 1. De donde los foos son (1; 0) ( 1; 0) los vérties V(2; 0) V ( 2; 0). 170 Geometrí nlíti. Coleión osios.
9/ Ls ónis. 10. Diretries eentriidd de l elipse. Asoiemos l foo (; o) l ret (HP) de euión = 2 P lulemos l rzón de distnis de un punto de l elipse O H l foo l ret (HP). Entones se tiene: de donde P P 2 = = = --- = -- --, es onstnte. Reípromente, l ondiión = -- impli 2 -- 2 lo que ondue inmeditmente l euión de l elipse: P P 2 = 2 2 + Se tiene sí un definiión de l elipse omo el lugr de los puntos del plno u rzón de distnis un punto fijo un ret fij (d) es un onstnte menor que 1. L ret (d) es l diretriz reltiv l foo l rzón -- se llm eentriidd de l elipse; se design on l letr e. Análogmente se le soi l otro foo ( ; o) l ret de euión = 2 se lleg l mismo resultdo. -- Geometrí nlíti. Coleión osios. 171
9/ Ls ónis. 11. Interseión de ret elipse. Consideremos l elipse E de euión, que pr más omodidd 2 + esriiremos: 2 + 2 2 2 = 0 L interseión on el eje fol (O) d por resultdo los puntos A(; 0) A ( ; 0) que se denominn vérties de l elipse. L interseión on el eje no fol (O) d por resultdo los puntos B(; 0) B ( ; 0) que se denominn vérties seundrios de l elipse. En el so generl, si se trt de l ret (r) de euión = m + p se dee resolver el sistem: 2 + 2 2 2 = 0 = m+ p Sustituendo se tiene l siguiente euión de segundo grdo: 2 + 2 (m + p) 2 2 2 = 0 que reduiendo ordenndo se trnsform en: ( 2 + 2 m 2 ) + 2 2 mp + 2 p 2 2 2 = 0 Vmos lulr el disriminnte Δ de est euión: Δ = 4 4 m 2 p 2 4( 2 + 2 m 2 )( 2 p 2 2 2 ) que tmién se puede trnsformr reduiendo en: Δ = 4 2 2 ( 2 m 2 p 2 + 2 ) según que Δ se mor, igul o menor que ero, hrán dos, un o ningun soluión. Por lo tnto (r) será sente, tngente o eterior l elipse. 12. Tngente un elipse por un punto de ell. Se l elipse (E) de euión un punto de ell P( 0 ; 0 ). 2 + L tngente por P será un ret (r) de euión = m + p de modo que l euión ( 2 + 2 m 2 ) + 2 2 mp + 2 p 2 2 2 = 0 dmit un ríz dole de sis 0. Luego se tendrá: 2 mp 0 = 2 + m 2 2 Además se umple que 0 = m 0 + p por lo que p = 0 m 0 ; luego de efetur ls sustituiones simplifiiones neesris se rri : 172 Geometrí nlíti. Coleión osios.
9/ Ls ónis. 2 0 Por lo tnto l euión de l tngente se puede esriir: operndo se tiene: 0 m 2 = -- 0 2 0 = -- 2 ( 0 ) 0 2 0 2 0 = 2 0 + 2 2 0 2 0 + 2 0 = 2 2 0 + 2 2 0 = 2 2 dividiendo entre 2 2 se lleg finlmente l euión de l tngente: 0 --- 0 2 + --- 13. Tngentes de pendiente dd. Dd l elipse (E) de euión eisten dos tngentes de pendiente m. 2 + En efeto: Si = m + p es l euión de l tngente se trt de determinr p de modo que el sistem 2 + 2 2 2 = 0 = m+ p dmit un sol soluión por lo que l euión: 2 + 2 (m + p) 2 2 2 = 0 dee tener su disriminnte nulo, omo lo hímos luldo se tiene: Δ = 4 2 2 ( 2 m 2 p 2 + 2 ) = 0 por lo tnto es posile despejr p. Se lleg p = ± 2 + 2 m 2 por lo que ls euiones de ls tngentes son: = m± 2 + 2 m 2. Clulemos hor ls pendientes de ls tngentes trzds desde un punto ( 1 ; 1 ). Utilizndo l euión nterior se tiene que deen verifirse: 1 = m 1 ± 2 + 2 m 2 es deir, se lleg un euión de segundo grdo en m: 2 ( 1 2 )m 2 2 2 1 1 m + 1 2 = 0. Por otro ldo si lulmos el disriminnte Δ de l euión nterior otenemos: Δ = 4 1 1 4( 1 2 )( 1 2 ) = 4( 2 1 + 2 2 1 2 2 ) Si Δ > 0 h dos tngentes el punto es eterior. Geometrí nlíti. Coleión osios. 173
9/ Ls ónis. Si Δ = 0 h un tngente el punto pertenee l elipse. Si Δ < 0 no h tngentes el punto es interior. 2 2 Pero el signo de Δ es el mismo que el de 1 --- 2 + --- 1 2 1 Por onsiguiente: es l euión de l región de los puntos eteriores; 2 + 2 1 > 0 2 + 2 1 < 0 es l de l región de los puntos interiores. 14. Círulo de onge. El lugr geométrio de los puntos P(; ) tl que ls tngentes trzds desde P l elipse (E) de euión son perpendiulres se 2 + otiene imponiendo l ondiión de que el produto de ls ríes de l euión: P O 2 ( 1 2 )m 2 2 2 1 1 m + 1 2 = 0 2 se igul 1, luego: 1 2 2 1 2 = 1 es deir 1 2 + 1 2 = 2 + 2. El lugr es un irunfereni de entro O(0;0), entro de l elipse rdio 2 + 2. Este lugr reie el nomre de írulo de onge, en homenje l mtemátio frnés Gsprd onge. 15. Los rdios vetores l tngente. L tngente (t) en un punto ulquier de un elipse es l isetriz eterior del ángulo de los rdios vetores. En efeto se P(; ) un punto de l elipse (E) de euión. 2 + (t) (E) O P T 174 Geometrí nlíti. Coleión osios.
9/ Ls ónis. L euión de l tngente en P es 0 2 + 0 2 = 2 2, l sis del punto T 2 de interseión de (t) on el eje fol es, luego se tiene: T 2 = 0 0 'T = 2 + 0 l rzón entre ellos se puede esriir: 2 T --- 0 --- = -- 0 'T 2 = - = --- P + 0 P' + --- 0 de uerdo l teorem de l isetriz se onlue l proposiión. 16. Cirunfereni prinipl finidd. Definiión: Se l elipse (E) de euión A A los vérties priniples de E. 2 + Se (C) l irunfereni de diámetro [AA ], que llmremos irunfereni prinipl. L (C) euión de (C) es: + = 2 B. 1 Consideremos un punto ulquier (C) un punto 1 (E) de l mism sis que A O 0 A, l proeión 0 de sore [AA ]. (E) Se puede esriir (; ), 1 (; 1 ) 0 (; 0) B se tienen ls siguientes igulddes: 2. 2 + 2 = 1 1 2 + --- 2 Se dedue 1, es deir: o 2 = --- 2 1 = -- 1 = -- De otro modo: 0 1 = -- o. 0 0 1 = -- 0 Dd un ret (r) del plno un número rel α, se llm finidd ortogonl l trnsformión del plno en si mismo tl que todo punto le soi el punto tl que H 1 = αh, donde H es l proeión ortogonl de sore (r). Se die que l finidd es de eje (r) onstnte α. Geometrí nlíti. Coleión osios. 175
9/ Ls ónis. A prtir de l tividd nterior podemos onluir entones que: Teorem 1 Tod elipse (E) de eje fol [AA ] es l imgen de su irunfereni prinipl (C) (irunfereni de diámetro [AA ]) en l finidd ortogonl de eje (AA ) onstnte --. (E) es tmién l imgen de (C) en l finidd ortogonl de eje (AA ) onstnte --. Se puede demostrr tmién que (E) es l imgen de su irunfereni seundri (irunfereni de diámetro [BB ]) en l finidd ortogonl de eje no fol (BB ) onstnte --. (E) es tmién l imgen de (C ) en l finidd ortogonl de eje (BB ) onstnte --. 17. Un onstruión punto por punto de l elipse. Pr onstruir l elipse (E) de euión, se omienz por trzr ls 2 + irunferenis de entro O rdios respetivos. Teorem 2 Si un semirret de origen O ort ess irunferenis en, l prlel (AA ) que ps por l perpendiulr (AA ) que ps por se ortn en un punto 1 de l elipse. En efeto onsideremos l ret (O) de euión = m, su interseión on l irunfereni de diámetro [AA ] está dd nlítimente por l soluión del sistem: + = 2 = m efetundo sustituión otenemos l euión de segundo grdo en : + m 2 = 2 2 por lo tnto = ± ---, 1 + m 2 1 A O A B B 176 Geometrí nlíti. Coleión osios.
9/ Ls ónis. luego ls oordends de son --- m ;--- 1 + m 2 1 + m 2 Análogmente ls oordends de son por lo que finl- mente se lleg ls oordends del punto 1 son: --- m ;---. 1 + m 2 1 + m 2 Vemos que E: demostrr. 2 --- 2 m 2 1 + m 2 --- 1 + m 2 --- 2 + --- 2 --- m ;--- 1 + m 2 1 + m 2 1 m 2 = --- 1 + m 2 + --- 1 + m 2 = 1 omo querímos 18. Euión prmétri de l elipse. Teorem 3 En un referenil ortonormdo, l elipse (E) de euión 2 + se puede epresr omo l urv definid prmétrimente por: = ost = sent on t [0; 2π] positivos. En efeto onsideremos el punto de oordends (; ) tles que = ost; = sent. Como no son nulos se pueden estleer ls siguientes reliones: ost = -- sent = --, de donde 1 = os 2 t + sen 2 t =. 2 + 2 Es deir undo t reorre el intervlo [0; 2π] reorre l elipse (E). 19. Proeión de un irunfereni sore un plno. Teorem 4 L proeión ortogonl de un irunfereni sore un plno es un elipse. En efeto, se (C) un irunfereni de entro O situd en un pln Q P un plno que ps por O. Se (C ) el onjunto de proeiones ortogonles de todos los puntos de (C) sore el plno P. Geometrí nlíti. Coleión osios. 177
9/ Ls ónis. Consideremos en P un sistem ortonormdo (O) uo eje (O) es l ret de interseión de P Q. Se r el rdio de (C) θ el ángulo gudo formdo por los plnos P Q. Q (C) r O t N θ θ Si es un punto ulquier de (C), su proeión ortogonl sore P N l proeión ortogonl de sore el eje (O) denotemos on t l ángulo NO on ( ; ) ls oordends de entones se tiene: = O ost = r ost; = N = N osθ. Ahor omo N= O sent entones se tiene que = r sent osθ, omo r osθ es onstnte, hiendo = r osθ otenemos: = r ost; = sent Luego, undo reorre (C), t vrí de 0 2π, por lo que otenemos un euión prmétri de (C ): on t [0; 2π] r positivos. = rost = sent en virtud del teorem nterior se onlue que (C ) es un elipse. P P 20. L hipérol. Definiión: Ddos en un plno dos puntos un distni 2 menor que l distni, se llm hipérol de foos prámetro 2, l lugr geométrio de los puntos del plno u difereni de distnis es 2. Dee umplirse pues que, pr todo punto de l hipérol H es: = 2 o = 2. Voulrio propieddes. Se un punto de l hipérol (H) de foos su simétrio respeto de l ret ( ). El segmento [ ] es simétrio del [] tmién lo es el [ ] del [ ]; entones: = = si, por ejemplo, tenemos que >, restndo ests dos igulddes miemro miemro se tiene: 178 Geometrí nlíti. Coleión osios.
9/ Ls ónis. = por lo que si pertenee l (H) entones su simétrio respeto de l ret fol ( ) tmién pertenee. L ret fol es por lo tnto eje de simetrí de l hipérol. De mner similr se prue que l meditriz del segmento [ ] es eje de simetrí de l hipérol. Est ret se llm eje no fol de l hipérol. Reordndo que si un figur dmite dos ejes de simetrí perpendiulres entones l interseión de (H) éstos es entro de simetrí de l figur. Llegmos sí que el punto medio O de [ ] es el entro de l hipérol. El eje fol ( ) ort l hipérol en dos puntos A A llmdos vérties de l hipérol que están distni del entro de l mism. El eje no fol no ort l hipérol. Construión punto por punto de l hipérol. Pr otener puntos de l hipérol de foos eje [AA ] podemos seguir el siguiente proedimiento: Se tom un punto ulquier P sore l ret ( ), eterior l segmento [ ], luego se trzn ls irunferenis de entros rdios respetivos AP A P. Dihs irunferenis son sentes los puntos de interseión N son puntos de l hipérol. A O A Instrumento inventdo por Desrtes pr trzr hipérols. Otros puntos se pueden otener prtir de N por simetrís respeto los ejes o l entro. Geometrí nlíti. Coleión osios. 179
9/ Ls ónis. Un hipérol on regl, tiz ordel. r en el pizrrón dos puntos, tomr un regl de longitud r un ordel de longitud p tl que l difereni R de longitud entre r p se menor que l longitud del segmento [ ]. ijdo uno de los etremos del ordel en el etremo R de l regl el otro en el punto mnteniendo fijo el otro etremo de l regl en, pondo l tiz junto l regl tensos los trozos de ordel R, se mueve simultánemente l regl l tiz. Proemos que de est mner se otiene un de ls rms de un hipérol de foos. En efeto = ( + R) ( + R) = r p, est últim difereni es onstnte. Luego el punto pertenee un hipérol de foos prámetro r p. Cirunferenis diretors II. Sen dos puntos del plno un número rel 2 mor que l distni = 2 l irunfereni (C) de entro rdio 2. Hllemos el lugr geométrio de los puntos que son entros de irunferenis que psn por son tngentes l irunfereni (C). T (C) Como ls irunferenis son tngentes = ±2 (según que lo sen interior o eteriormente de donde = 2 por lo tnto pertenee l hipérol. Reípromente, si pertenee l hipérol, se verifi que lo que indi que ls irunferenis son tngentes = 2 Ls irunferenis de entro en d foo rdio el prámetro 2 se llmn irunferenis diretors de l hipérol, por lo que hemos prodo, permiten rterizr l hipérol on l propiedd plnted en el ejeriio. Tngente un hipérol. Sen dos puntos del plno un número rel 2 S (m) menor que l distni = 2 l irunfereni (C) (C) de entro rdio 2. S es un punto ulquier de C. Proemos que l meditriz (m) de [ S] es tngente l hipérol de foos prámetro 2. Se el eventul punto de orte de (m) on l ret (S). pertenee l hipérol, pues = S demás = S = 2. Culquier otro punto P de (m) es tl que P P < 2. Hemos prodo demás que l tngente un hipérol en un punto de ell es l isetriz interior de los dos rdios vetores. 180 Geometrí nlíti. Coleión osios.
9/ Ls ónis. Asíntots de l hipérol. En el prolem nterior, tngente un hipérol, h un so prtiulr en que l ret (S) es perpendiulr l ret ( S), l ret (m) to l hipérol (m) S en un punto impropio o l infinito. Se denomin síntot de l hipérol. Oserv: en primer lugr h dos síntots, pues sore l irunfereni diretor eisten dos puntos S S que verifin ess ondiiones, en segundo lugr dihs síntots psn por el punto medio O del segmento [ ] por ser (m) prlel medi en el triángulo retángulo S. Hipérol equiláter. En el so prtiulr en que ls síntots de un hipérol sen perpendiulres, l hipérol reie el nomre de hipérol equiláter. Se puede pror que el produto de distnis de un punto de un hipérol sus síntots es onstnte. Q Si tommos omo sistem ortonormdo l que se puede deter- P PQ PR= k minr on ls síntots de un hipérol equiláter se tiene l R propiedd que un punto P de oordends (; ) perteneerá l hipérol equiláter si solo si el produto de sus oordends es onstnte: = k. Oh sorpres! hemos llegdo l euión determind por k l funión de proporionlidd invers: f() = -. L eentriidd de l elipse. Si onsidermos vris elipses del mismo eje mor pero diferentes distnis foles se oserv que unto más se proimn los foos l entro de l elipse más se pree un irunfereni. Diho de otr mner l elipse que tiene más plstmiento es l que tiene los foos más lejdos del entro. Est relión se puede medir on el oiente entre l distni fol 2 l del eje mor 2, o lo que es lo mismo entre. Esto nos llev l siguiente definiión: Se llm eentriidd de l elipse l oiente entre l semidistni fol el semiperímetro. Se represent on l letr e; de modo que se tiene: e = --. L eentriidd e vrí entre 0 1, puesto que siendo 0 < < se dedue que 0 < -- < 1. A título de ejemplo, l órit elípti de l Tierr lrededor del Sol le orresponde 1 un eentriidd proimdmente igul -. 60 Geometrí nlíti. Coleión osios. 181
9/ Ls ónis. Se un hipérol de foos ddos prámetro 2. Construe on regl ompás ls síntots de l hipérol. En primer lugr onstruimos un de ls irunferenis diretors, por ejemplo l de entro ; luego l irunfereni de diá- 2 metro [ ], los puntos de orte S S de ests dos irunferenis determinn los segmentos [S ] [S ] us meditries son ls síntots pedids. S (m) S S Se puede pror que ls perpendiulres l eje fol por los vérties de l hipérol ortn ls síntots en puntos u distni l entro de l hipérol es igul l semidistni fol. Construe, on regl ompás, utilizndo l propiedd enunid nteriormente, los vérties de un hipérol equiláter de foos ddos. Semos que ls síntots son simétris respeto del eje fol, en el so de l hipérol equiláter, son perpendiulres. Podemos onstruirls omo isetries de dos ángulos retos: P (m ) S A A A El resto te lo imgins tú. Clul l distni entre los vérties de un hipérol equiláter siendo que l distni fol es de 6 m. Utilizndo l figur de l dereh, nots que: OP = O = 3 por lo tnto l hipotenus del triángulo P retángulo isóseles OAP es 3. Aplindo el teorem de pitágors podemos lulr sus otros ldos: 2 + 2 = 3 2, O A luego 2 2 = 9 por lo que = 9 -- = -- 3 = 3-2. 2 2 2 Ls longitudes de los tetos PQ QR de un triángulo retángulo PQR son 3 4 m respetivmente. Clul l eentriidd de l elipse que ps por P de foos Q R. Aplindo el teorem de Pitágors tenemos que l hipotenus del triángulo retángulo mide 5 m, luego PR + PQ = 8 es igul l prámetro 2 de l elipse l distni fol es QR = 4. L eentriidd de l elipse es: --. 1 2 182 Geometrí nlíti. Coleión osios.
9/ Ls ónis. 21. Euión reduid de l hipérol. Consideremos el siguiente sistem de ejes ortonormdo: omo eje (O) l ret fol ( ) omo eje (O) l meditriz del segmento [ ]; sen ls siss de los puntos respetivmente, el vlor onstnte (neesrimente inferior 2) de l rest '. (H) O Si (; ) es un punto ulquier del plno podemos esriir: (; ) está en l hipérol si sólo si ' = 2. es deir: ( + ) 2 + ( ) 2 + = 2 o, lo que es lo mismo, islndo uno de los rdiles: ( + ) 2 + = ± 2 ( ) 2 + Elevndo l udrdo mos miemros simplifindo se lleg : ( + ) 2 + = 4 2 + 4 ( ) 2 + + ( ) 2 + + 2 + = 4 2 + 4 ( ) 2 + + 2 + 2 = + ( ) 2 + Elevndo nuevmente l udrdo mos miemros de est últim euión se otiene: ( 2 ) 2 = 2 [( ) 2 + ] 4 2 2 + 2 2 = 2 2 2 + 2 2 + 2 4 2 2 = 2 2 + 2 Que se puede esriir: 2 2 4 = 2 + 2 2 2 ( 2 2 ) = ( 2 2 ) 2 Como 2 2 > 0, podemos poner 2 = 2 2. Si dividimos mos ldos de l euión entre 2 2 otenemos l euión reduid o nóni de l Hipérol de entro en el origen de oordends foos (; 0) ( ; 0), > 0:. 2 Geometrí nlíti. Coleión osios. 183
9/ Ls ónis. L form de l urv sí omo sus ejes entro de simetrís result inmeditmente de dih euión. Result de l euión de l hipérol que (H) ést no tiene ningún punto interior ls A A nds limitds por ls rets de euiones = =. L urv se desompone O en dos rms: l rm de l dereh si > l rm de l izquierd si <. Los puntos V(; 0) V ( ; 0), que son los puntos donde l gráfi de l hipérol interse l eje (O) son los vérties de l hipérol l ret (VV ) es el eje trnsverso (oinide on el eje (O)). Ls rets us euiones son = ±-- se llmn síntots de l Hipérol. De mner similr se podrí ver que l euión nóni de l hipérol de foos (0; ) (0; ), on > o es: 2. En este so los vérties son V(0; ) V (0; ). 22. Diretries eentriidd de l hipérol. 2 Asoiemos l foo (; 0) l ret (HP) de euión = lulemos l rzón de distnis de un punto de l hipérol l foo l ret (HP). Entones si pertenee l rm de l dereh se tiene: 2 P -- = = = --, si pertenee l rm de l izquierd se tiene: P 2, -- = = = -- de donde en ulquier de los dos sos = -- P H O es onstnte. P (H) 184 Geometrí nlíti. Coleión osios.
9/ Ls ónis. Reípromente, l ondiión = -- impli 2 -- 2 lo que ondue inmeditmente l euión de l hipérol: P P 2 = 2 2 Se tiene sí un definiión de l hipérol omo el lugr de los puntos del plno u rzón de distnis un punto fijo un ret fij (d) es un onstnte mor que 1. L ret (d) es l diretriz reltiv l foo l rzón -- se llm eentriidd de l hipérol; se design on l letr e. Análogmente se le soi l otro foo ( ; o) l ret de euión = 2 se lleg l mismo resultdo. 23. Interseión de ret e hipérol. Consideremos l hipérol (H) de euión 2, que pr más omodidd esriiremos: 2 2 2 2 = 0 L interseión on el eje fol (O) d por resultdo los puntos A(; 0) A ( ; 0) que se denominn vérties de l hipérol. En el so generl, si se trt de l ret (r) de euión = m + p se dee resolver el sistem: 2 2 2 2 = 0 = m+ p Sustituendo se tiene l siguiente euión de segundo grdo: 2 2 (m + p) 2 2 2 = 0 que reduiendo ordenndo se trnsform en: ( 2 2 m 2 ) 2 2 mp 2 p 2 2 2 = 0 Vmos lulr el disriminnte Δ de est euión: Δ = 4 4 m 2 p 2 4( 2 2 m 2 )( 2 p 2 2 2 ) que tmién se puede trnsformr reduiendo en: Δ = 4 2 2 ( 2 m 2 + p 2 + 2 ) según que Δ se mor, igul o menor que ero, hrán dos, un o ningun soluión. Por lo tnto (r) será sente, tngente o eterior l hipérol. Geometrí nlíti. Coleión osios. 185
9/ Ls ónis. 24. Tngente un hipérol por un punto de ell. Se l hipérol (H) de euión un punto de ell P( 0 ; 0 ). 2 L tngente por P será un ret (r) de euión = m + p de modo que l euión ( 2 2 m 2 ) 2 2 mp 2 p 2 2 2 = 0 dmit un ríz dole de sis 0. Luego se tendrá: 2 mp 0 = --- 2 2 m 2 Además se umple que 0 = m 0 + p por lo que p = 0 m 0 ; luego de efetur ls sustituiones simplifiiones neesris se rri : 2 0 Por lo tnto l euión de l tngente se puede esriir: operndo se tiene: 0 m 2 = -- 0 2 0 = -- 2 ( 0 ) 0 2 0 2 2 0 = 2 0 2 2 0 2 0 2 0 = 2 2 0 2 2 0 = 2 2 dividiendo entre 2 2 se lleg finlmente l euión de l tngente: 0 --- 0 2 --- 25. Tngentes de pendiente dd. Dd l hipérol (H) de euión eisten dos tngentes de pendiente 2 m. En efeto: Si = m + p es l euión de l tngente se trt de determinr p de modo que el sistem 2 2 2 2 = 0 = m + p dmit un sol soluión por lo que l euión: 2 2 (m + p) 2 2 2 = 0 186 Geometrí nlíti. Coleión osios.
9/ Ls ónis. dee tener su disriminnte nulo, omo lo hímos luldo se tiene: Δ = 4 2 2 ( 2 m 2 + p 2 + 2 ) = 0 por lo tnto es posile despejr p. Se lleg p = ± 2 m 2 2 por lo que ls euiones de ls tngentes son: = m± 2 m 2 2. Clulemos hor ls pendientes de ls tngentes trzds desde un punto ( 1 ; 1 ). Utilizndo l euión nterior se tiene que deen verifirse: 1 = m 1 ± 2 m 2 2 es deir, se lleg un euión de segundo grdo en m: ( 1 2 )m 2 2 1 1 m + 1 + 2 = 0. Por otro ldo si lulmos el disriminnte Δ de l euión nterior otenemos: Δ = 4 2 2 1 1 4( 1 2 2 )( 1 + 2 ) = 4( 2 2 1 2 2 1 2 2 ) Si Δ > 0 h dos tngentes el punto es eterior. Si Δ = 0 h un tngente el punto pertenee l hipérol. Si Δ < 0 no h tngentes el punto es interior. 2 2 Pero el signo de Δ es el opuesto l de 1 --- 2 --- 1 2 1 Por onsiguiente: 2 2 1 < 0 2 2 1 > 0 es l euión de l región de los puntos eteriores; es l de l región de los puntos interiores. 26. Asíntots de l hipérol. El estudio prtiulr que estmos relizndo nos permite ver que l hipérol de euión dmite, l igul que l elipse, los ejes (O) (O) omo ejes 2 de simetrí l origen de oordends por entro de simetrí. Pr estudir l form de l hipérol podemos limitrnos l rm que pertenee l primer udrnte, es deir pr quellos puntos de oordends no negtivs. En es semirrm l hipérol tiene por euión: = -- 2 Consideremos ( 1 ) l ret de euión = -- estudiemos l difereni de ordends entre l hipérol l ret pr los mismos vlores de : Geometrí nlíti. Coleión osios. 187
9/ Ls ónis. d() = -- 2 -- luego se puede firmr que: -- 2 -- 2 = = - 2 + lim - = 0 2 + lo que permite deduir que l ret ( 1 ) de euión = -- es síntot de l urv. Ls simetrís respeto de los ejes (O) (O) permiten determinr l restnte síntot: ( 2 ) de euión = --. El produto de distnis de un punto (; ) del lugr sus síntots es: L euión ompleiv de ls síntots de l hipérol de euión es simplemente. 2 2 = 0 2 27. Propieddes de l hipérol referid sus síntots. Teorem 5 El produto de distnis de un punto de un hipérol sus síntots es onstnte. En efeto se l (H) de euión que tmién l podemos esriir sí: 2 -- -- + -- = 1 L distni de un punto P de oordends (; ) d un de ls síntots es: -- -- -- + -- d 1 = - d 2 = - 1 1 1 1 2 + 2 2 + 2 luego efetundo su produto tenemos: 2 2 1 2 2 d 1 d 2 = --- = -. 1 1 2 + 2 + 2 = 2 + 2 2 2 2 Reípromente: 188 Geometrí nlíti. Coleión osios.
9/ Ls ónis. El lugr geométrio de los puntos del plno uo produto de distnis dos rets fijs es onstnte, se ompone de dos hipérols que tienen dihs rets por síntots. En efeto dds ls rets (r) (r ), tomemos omo sistem ortonormdo el que se form on ls isetries de los ángulos que formn (r) (r ). Ls euiones de (r) (r ) en ese sistem serán: (r): -- -- = 0 (r ): -- + -- = 0 2 2 --- = k 1 1 2 + 2 es deir. 2 2 k 2 2 = ± 2 + 2 Teorem 6 Si un sente (r) ort un hipérol (H) en dos puntos ls síntots en dos puntos P P entones P = P. En efeto se l hipérol (H) de euión (r) = m + p. 2 L proposiión plnted es equivlente pror que los segmentos [PP ] [ ] tienen el mismo punto medio. Entones ortndo (H) on (r) otenemos l euión: ( 2 2 m 2 ) 2 2 mp 2 p 2 2 2 = 0 l semisum de sus ríes orresponde l sis del punto medio de [ ], ést es: Cortndo ls síntots on (r) 2 2 2 2 = 0 = m+ p 2 2 --- mp 2 2 m 2 2 2 = 0 = m + p otenemos l euión: ( 2 2 m 2 ) 2 2 mp 2 p 2 = 0 l semisum de ls ríes orresponde l sis del punto medio de [PP ], ést es: 2 2 mp --- 2 2 m 2 Geometrí nlíti. Coleión osios. 189
9/ Ls ónis. Lo que onlue que l proposiión es iert. P A O A P (r) (H) 28. Euión de l hipérol referid sus síntots. Tomemos por ejes oordendos los ejes oliuos (O ) (O ) determindos por ls síntots de l hipérol (H) u euión en un sistem ortonormdo es: 2. Ls fórmuls del mio de ejes son 0 0 = pp' qq' Siendo (p; q) (p ; q ) ls oordends de los vetores de l nuev se. Si α design el semiángulo gudo determindo por los nuevos ejes entones se puede esriir: tgα = -- osα = -- senα = -- por lo tnto: p = -- q = -- p' = -- q' = -- Luego ls fórmuls de mio de referenil permiten esriir: ' ' = -- -- -- -- ' ' Se tiene: = -- ( ' + ' ) = -- ( ' + ' ) 190 Geometrí nlíti. Coleión osios.
9/ Ls ónis. sustituendo dihos vlores en l euión de (H) otenemos: '' 2 =. 4 29. Hipérol equiláter. L hipérol (H) de euión se die equiláter si =. 2 En ese so, se tiene 2 = 2 + 2 = 2 2, por lo que l eentriidd -- tiene por vlor 2 ; el ángulo que formn los ejes oordendos on ls síntots es de 45º ésts son isetries de los ejes oordendos. L hipérol equiláter tiene por euión: = 2. Sin emrgo l hipérol equiláter referid sus síntots, de uerdo l prágrfo 2 2 nterior, tiene l siguiente euión: '' = =. 4 2 Geometrí nlíti. Coleión osios. 191
Ejeriios 1. Determin los elementos priniples de ls siguientes práols: ) = 4. ) = 4. ) = 4. d) = 4. e) = 2. f) = 1 2 + 3. f) = -- + 2. 2 1 g) = -- 4 + --. h) f) = 2 1. 3 3 2. Hll l euión de ls práols definids por: ) Vértie V(0; 2) foo (0; 4). ) Vértie V(1; 2) foo (1; 3) 5 ) Vértie V( -- 5 ; 4) foo (-- 17 ; - ). 2 2 4 d) Tiene vértie en el origen l euión de l diretriz es = 2. e) Tiene vértie en el origen, es simétri respeto del eje (O) ps por (2; 3). f) Tiene eje prlelo (O) ps por los puntos A( 1; 1); B(1; 3) C(2; 7). g) oo ( 1; 2) diretriz = 2. 3. Hll los puntos de interseión de ls siguientes práols (P) on ls orrespondientes rets (r). ) (P) = + 2 3; (r) = 2. ) (P) = 4 + 3; (r) + 1 = 0. 4. Hllr los puntos de interseión de: l ret + 4 3 = 0 l práol = 4. 5. Hllr los puntos de interseión de: l ret 3 + 4 12 = 0 l práol = 9. 6. Hllr los puntos de interseión de: l ret 3 2 + 6 = 0 l práol = 6. 7. Determin en los sos siguientes l posiión de l ret dd on relión l práol dd: si l ort, si es tngente o ps por fuer de ell: 1) + 2 = 0, = 8; 2) 8 + 3 15 = 0, = 3; 3) 5 l5 = 0, = 5. 8. Determinr pr qué vlores del oefiiente ngulr k, l ret = k + 2: 1) ort l práol = 4; 2) es tngente ell; 3) ps por fuer de est práol. 9. Dedue l ondiión, según l ul, l ret = k + es tngente l práol = 2p. 10. Demuestr, que se puede trzr un solmente un tngente l práol = 2p, uo oefiiente ngulr se igul k 0. 11.. Hll l euión de l tngente l práol = 2p en su punto ( 0 ; 0 ). 12. Hll l euión de l ret que es tngente l práol = 8 prlel l ret de euión 2 + 2 3 = 0. 13. Hll l euión de l ret que es tngente l práol l6 = perpendiulr l ret de euión 2 + 4 + 7 = 0. 14. Trz un tngente l práol = 12 que se prlel l ret 3 2 + 30 = 0 lul l distni d entre est tngente l ret dd. 15. Hll en l práol de euión = 64 el punto, más próimo l ret 3 + 4 14 = 0 lul l distni d del punto est ret. 16. Hll ls euiones de ls tngentes l práol de euión = 64 trzds desde el punto A (9; 2). 17. Se h trzdo un tngente l práol = 2p. Demuestr, que el vértie de est práol está en medio del punto de interseión de l tngente on el eje (O) de l proeión del punto de ontto sore el eje (O). 18. Desde el puntoa(9; 5) se hn trzdo tngentes l práol = 5. Hll l euión de l uerd que une los puntos de ontto. 19. Hll l euión de l tngente (t) l práol (P) en el punto A de ell que se indi. (P) A = + 3 (2; 3) = + + 2 (1; 4) = 2 4 (0; 2) = 4 (α; 4α 2 ) = α (α 1) (α; α) = 4 5 (9; 2) 192 Geometrí nlíti. Coleión osios.
Ejeriios 20. Dd l práol (P) de euión = l ret (r) de euión = m + λ: ) Hll λ pr que (r) se tngente (P). ) Prue que si dos tngentes (P) son perpendiulres entones ésts se ortn en l diretriz de (P). 21. En d so dd l práol (P) hll ls euiones de ls tngentes trzds desde el punto eterior A en d uno de los siguientes sos. (P) A = + 4 + 2 (1; 4) = + 3 4 (0; 2) = 4 ( 2; 3) = 4 (α; 4α) = α (α 1) (α; 4α) = 4 5 (9; 2) 22. En d so dd l práol (P) hll l euión de l polr trzd del punto A respeto de (P). (P) A = 3 + 4 + 2 (2; 4) = + 3 4 (10; 2) = 4 (0; 0) = 4 (α; α) = α (α 1) (2α; 4α) = 4 5 (1; 2) 23. En d so dd l práol (P) hll ls oordends del polo de l ret (r) respeto de (P). (P) (r) = 3 + 4 + 2 + 2 = 0 = + 3 4 = 4 = 4 = 2 = 4 α + α = 0 = α (α 1) 4 = 3 = 4 5 = 2 24. Se trz un ret vrile (r) de oefiiente diretor m por el punto A(2; 0) un ret (p) perpendiulr (r) que ort l eje (O) en P. L prlel l eje (O) por P ort (r) en I. ) Hll el lugr geométrio de I l vrir m. ) Reonoe determin los elementos del lugr nterior. 25. Se l práol (P) de euión =. Por el origen de oordends se trz un ret vrile (i) de oefiiente diretor m, on m 0, que ort (P) en O T. Por el punto A(1; 0)se trz l ret (r) prlel (i) se (t) l tngente (P) en T. ) Hll el lugr geométrio del punto de interseión de (r) (t). ) Reonoe determin los elementos priniples. 26. Dd l práol (P) de euión: 2 = -- 2 + λ on λ > 0. λ Se P el punto de interseión de (P) on el eje (O). ) L tngente (t) en P l práol (P) ort l ret perpendiulr trzd por el foo de l práol (P) en I. Hll el lugr geométrio de I. ) Hll λ de mner que l ret (r) de euión = 2 se tngente (P). ) Se A el punto de orte de (t) on el eje de simetrí de l práol (P). Prue que el triángulo PA es isóseles lul su áre en funión de λ. 27. Dd l práol (P) de euión = un punto vrile sore ell de sis λ. Se onsider l tngente (t) l práol (P) en el punto, que ort l eje (O) en N. ) Hll l euión de l envolvente de l ret (r) prlel (O) por N. Reonoe determin sus elementos priniples. ) L ret (s) prlel por O l tngente (t) ort (r) en P. Hll l envolvente de l ret (P). Reonoe determin sus elementos priniples. 28. Hll l euión de l elipse, uos foos están en el eje (O) son simétrios on respeto l origen de oordends, siendo demás que: ) sus semiejes son igules 5 2; ) su eje mor es igul 10 l distni fol es 2 = 8; ) su eje menor es igul 24 l distni fol es 2 = 10; Geometrí nlíti. Coleión osios. 193
Ejeriios d) l distni fol es 2 = 6 l eentriidd es e = 3 -- ; 5 e) su eje mor es igul 20 l eentriidd es e = 3 -- ; 5 f) l distni entre sus diretries es igul 5 l distni fol es 2 = 4; 29. Determin los semiejes de d un de ls elipses siguientes: ) - + = 1 ) + = 1 ) + 16 9 4 9 5 d) + 5 = 15 e) 4 + 9 = 25 f) 9 + 25 = 1 g) + 4 = 1. 30. Dd l elipse de euión: 9 + 25 = 225, hll: ) sus semiejes; ) sus foos; ) su eentriidd; d) ls euiones de sus diretries. = 1 31. Clul el áre del udrilátero que tiene dos vérties en los foos de l elipse: 9 + 5 = 1 los otros dos oiniden on los etremos de su eje menor. 32. Efetundo en d so un trslión de ejes oordendos determin los elementos de ls siguientes elipses: ) 9 + 5 + 2 2 = 0. ) 4 + 9 32 36 + 64 = 0. ) 16 + 9 + 64 18 71 = 0. 33. Hll en d so los puntos de interseión de l elipse l ret dd: ) + 2 7 = 0; + 4 = 25. ) 3 + 10 254 = 0; + 25 = 100. ) 3 4 40 = 0; 9 + 16 = 144. d) 2 1 = 0; 4 + 5= 0 34. Determin pr qué vlores de m l ret de euión: = + m ) Es sente l elipse de euión: - + 20 5 = 1 ; ) es tngente ell; ) es eterior l elipse. 35. En d so dd l Elipse (E) hll l euión de l tngente trzd por el punto A que se indi. (E) A 4 + 5 = 0 (1; 1) 4 + 8 = 0 (1; 2) 2 + = 9 ( 2; 1) - 16 + = 1 5 (4; 0) 36. En d so dd l elipse (E) hll l euión de l polr trzd del punto A respeto de (E). (E) A 4 + 5 = 0 ( 1; 1) 4 + 8 = 0 (0; 2) 2 + = 9 ( 2; 5) - 16 + = 1 5 (2; 0) 37. En d so dd l elipse (E) hll ls oordends del polo de l ret (r) respeto de (E). (P) (r) 4 + 5 = 0 + 2 = 0 4 + 8 = 0 = 4 2 + = 9 = 2-16 + = 1 5 α + α = 0 38. Se (E) l elipse de: entro O(0; 0), vértie V(5; 0) foo (4; 0). Se onsider un punto P vrile sore l elipse se Q l proeión ortogonl de P sore el eje (O). Hll el lugr geométrio del punto de interseión de ls rets (OP) (QV). 39. Desde el foo izquierdo de l elipse de euión: - 45 + - = 1 20 194 Geometrí nlíti. Coleión osios.
Ejeriios se h dirigido un ro de luz on l inlinión l eje (O) de un ángulo otuso α. Se se demás que tn α = 2. llegndo el ro l elipse se h reflejdo de ell. Hll l euión de l ret en l que está situdo el ro reflejdo. 40. Determin los puntos de interseión de ls elipses: + 9 45 = 0, + 9 6 27 = 0. 41. Verifindo que ls dos elipses: n 2 + m 2 n 2 m 2 = 0, m 2 + n 2 n 2 m 2 = 0 (on m n) se ortn en utro puntos situdos en un irunfereni on el entro en el origen de oordends, determin el rdio de est irunfereni. 42. L diretriz de un ilindro irulr es un irunfereni de rdio R = 3. Determin qué ángulo dee formr un plno on el eje del ilindro, pr que en su seión se oteng un elipse on un semieje mor = 2. Hipérol 43. Hll l euión de l hipérol, uos foos están en el eje (O) son simétrios on respeto l origen de oordends, siendo demás que: ) sus ejes son 2 = 10 = 8; ) l distni fol es 2 = 10 el eje 2 = 8; ) l distni fol es 2 = 6 l eentriidd es 3 e = -- ; 2 5 d) el eje 2 = 16 l eentriidd es e = -- ; 4 e) ls euiones de ls síntots son: 4 = ±-- 3 l distni fol 2 = 26. 44. Determin los semiejes de d un de ls hipérols siguientes: ) - = 1 16 9 ) = 1 4 ) = 1 9 5 d) 5 = 15 e) 4 9 = 25 f) 9 25 = 1 g) 4 = 1. 45. Hll en d so los puntos de interseión de l hipérol l ret dd: ) 2 10 = 0; 5 20 = 100. ) 4 3 16 = 0; - - = 1. 25 16 ) 3 4 40 = 0; = 1 9 4 46. Determin pr qué vlores de m l ret de 5 euión: = -- + m 2 ) Es sente l hipérol de euión: - = 1 ; 9 36 ) es tngente ell; ) es eterior l hipérol. 47. Dd l hipérol de euión: = 1, 5 4 ) Hll l euión de l ret tngente ell en el punto P(3; 2). ) Hll l euión de ls tngentes perpendiulres l ret de euión: = 3 + 2. ) Hll l euión de ls tngentes trzds desde (8; 10). ) Hll l polr del punto R( 2; 1). d) Hll el polo de l ret = 3 + 2 respeto de ell. 48. Se l hipérol (H): 4 = 4 el punto T vrile sore ell. L norml (n) por T (H) ort l eje (O) en el punto R. Hll el lugr geométrio del punto medio del segmento [RT]. 49. Se l hipérol (H): 4 = 4, los vérties A(2; 0) A ( 2; 0) el punto T(α; β) vrile sore (H). L tngente en T (H) ort ls tngentes en A A respetivmente en B B. ) Prue que d(a; B) d(a ; B ) es onstnte lul dih onstnte. ) L ret (OB) ort l prlel por B l eje (O) en I. Hll el lugr geométrio de I. Geometrí nlíti. Coleión osios. 195