NÚMEROS REALES (PARTE II)

NIVELACIÓN MATEMÁTICA SEMANA NÚMEROS REALES (PARTE II Todos los derechos de utor so de l eclusiv propiedd de IACC o de los otorgtes de sus licecis. No está permitido copir, reproducir, reeditr, descrgr, publicr, emitir, difudir, poer disposició del público i ESTE utilizr DOCUMENTO los coteidos pr CONTIENE fies comerciles LA de SEMANA igu clse. 1

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ÍNDICE NÚMEROS REALES (PARTE II... 4 OBJETIVOS ESPECÍFICOS... 4 INTRODUCCIÓN... 4 RAÍCES... 5 PROPIEDADES DE LAS RAÍCES... 6 RACIONALIZACIÓN... 8 TIPOS DE RACIONALIZACIONES... 9 PROBLEMAS DE APLICACIÓN... 11 COMENTARIO FINAL... 16 REFERENCIAS... 17 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA

NÚMEROS REALES (PARTE II OBJETIVOS ESPECÍFICOS Operr e el cojuto de ríces. Aplicr rciolizció e frccioes que ivolucr ríces. INTRODUCCIÓN E l sem terior se estudió l defiició de u ríz, que correspode Ríz -ésim: b b, e que " " recibe el ombre de rdicl " " se deomi ídice de l ríz. Durte est sem se estudirá este cocepto co mor profudidd se coocerá propieddes que permite resolver ejercicios que ivolucr ríces. Ls ríces so úmeros reles o complejos, o siempre se puede escribir trvés de u etero. Estos úmeros stisfce modelos reles de l físic, biologí, stroomí, etc. L rdicció es el proceso iverso de l potecició. 4 Por ejemplo, si se sbe que l fórmul que permite determir el volume de u esfer es r e que represet l rel,14 r correspode l rdio (distci etre el cetro de l esfer u puto es su csquete, se puede resolver el siguiete problem: U perso requiere mdr costruir u esfer de mármol que colocrá e su jrdí, ést cooce el volume de l esfer que requiere, el que es 6. Los ecrgdos de costruir l esfer ecesit el rdio de ell, cuál es el rdio de dich esfer? Solució: Pr resolver el problem, se reliz el siguiete procedimieto: Pso 1: Pr obteer el rdio debemos igulr l fórmul del volume de u esfer epuest e l pági terior co l iformció etregd e el ejercicio, el volume de l esfer que se quiere costruir pr colocr e el jrdí ( 6 4 6 * r ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 4

Pso : U vez plted l ecució, se debe despejr l vrible r, pr obteer el vlor del rdio de l esfer. 6 * r 4* 6* 4 r 7 r 7 r Luego se requiere sber lo que sigific 7. RAÍCES Se sbe que es igul 8, pues. Ahor es de iterés coocer el úmero que multiplicdo por sí mismo veces d como resultdo 8. L respuest es. Esto se iterpret trvés del símbolo de ríz, tl como se muestr cotiució: 8, porque 8. Luego l ríz cúbic de u úmero, es otro úmero, tl que., esto se ot Co este cocepto ce tods ls ríces, e prticulr l ríz cudrd de u úmero se ot. Se observ que e este cso o se coloc el ídice de l ríz. Si se cosider por ejemplo 16, l pesr e l solució, se debe lizr l iterrogte sobre qué úmero rel multiplicdo por sí mismo d como resultdo -16. L respuest es que o eiste tl úmero, porque culquier úmero rel l cudrdo es mor e igul cero. E este cso l solució perteece l cojuto de los úmeros complejos. Estos úmeros o se estudi e est sem. Se deduce que si el ídice es u úmero pr, etoces el rdicl debe ser positivo, pr que el resultdo perteezc l cojuto de los úmeros reles. ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 5

E este curso, si l ríz o es ect, etoces se plic u de ls siguietes propieddes pr descompoer l ríz, co el objetivo de simplificr. Si embrgo, o siempre se determi su cálculo. PROPIEDADES DE LAS RAÍCES 1. b b se multiplic ls ctiddes rdicles se coserv el ídice. Ejemplo: 4 4 4 4 4 8 8 16 (pues 16. ; b b b 0 se divide ls ctiddes rdicles se coserv el ídice. Ejemplo: 54 54 7 (pues 7. m m se coserv l ctidd rdicl se multiplic los ídices. Ejemplo: 5 5 15 4. m m Ejemplo: m 4 4 4 8 6 5. m m m, 0 Ejemplo: 5 6 1 6 5 5 5 5 6. b b Ejemplo: 5 4 5 4 500 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 6

7. m m m b b b Ejemplo: 4 4 16 48 6 1 1 8. m m m, 0 1 1 5 5 8 5 Ejemplo: 5 1 9. Ejemplo: ( Observció: NO EXISTE LA PROPIEDAD EN LA QUE SE PUEDA SEPARA LA SUMA O RESTA DE RAÍCES, luego b b distito A cotiució, se resuelve ejercicios e los cules se plic ls propieddes. 1. Reduzc térmios semejtes. 4 1 75 8 Solució: Pso 1: Lo primero que se relizrá es eteder qué es equivlete est epresió pr poder reducir ls ríces 4 1 75 8 4 4* 5* *4 Pso : A cotiució, se plic l propiedd N 1 4 4* 5* *4 4*( 4 * *( 5 * *( 4 * ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 7

Pso : De est form, se puede reducir l siguiete epresió, es importte recordr que 4 5 5 4*( 4 * *( 5 * *( 4 * 4** *5* ** Pso 4: Se grup térmios semejtes: 4** *5* ** 8 10 4. Eprese como u sol ríz Solució: 4 8 6 Pso 1: Lo primero que se debe relizr es plicr l propiedd N 6 pr poder reducir ls ríces. De est form se obtiee 4 8 * * * 6 * 4 * 8 * 6 Pso : A cotiució, se plic l propiedd N 1 que idic que l multiplicr ríces co el mismo ídice, se multiplic ls ctiddes rdicles mteiedo el mismo ídice. De est form se obtiee: 4 8 4 8 4 8 4 * * * 6 * * *6 8* * 4*6 4 * 8 4 Pso : A cotiució, se plic l propiedd N 4 8 1 4 * 4 4 * 16 4 Pso 4: A cotiució, se plic l propiedd N 4 1 16 1*16 116 19 8 4 * 4 4 4 RACIONALIZACIÓN L rciolizció de rdicles es u proceso que se plic u frcció cuo deomidor es u térmio rdicl o sum (rest de térmios rdicles. El objetivo es elimir el rdicl o los rdicles que está e el deomidor de l frcció. Rciolizr u frcció co ríces e el ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 8

deomidor, es ecotrr otr epresió equivlete que o teg ríces e el deomidor. Pr ello se multiplic el umerdor el deomidor por l epresió decud (mplificr. TIPOS DE RACIONALIZACIONES 1. Si el deomidor cotiee u úic ríz, esto es: A r p, ( r Se debe mplificr l frcció por el térmio p r, es decir: A p A p A p A p p p p p p p r r r r r r r Ejercicio 1. 1 Rciolizr Solució Pso 1: Lo primero que se debe hcer pr rciolizr es mplificr l frcció por el térmio r, tl como se preci cotiució: 1 1 * Pso : De est form se multiplic el umerdor deomidor se obtiee lo siguiete 1 * ( 1 * 1 Pso : Ddo que se obtiee: 1 ( 1 * ( 1 * ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 9

10 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA. Si l frcció es de l form : b A, se debe mplificr por b Ejercicio Rciolizr 1 Solució Pso 1: Lo primero que se debe relizr es multiplicr por lo que se deomi el cojugdo, es decir, se multiplic l frcció complet por l primer ríz del deomidor, meos l segud ríz del deomidor (el sigo meos es porque e l frcció origil se ecuetr sumdo mbs ríces e el deomidor, si hubiese estdo restdo tedrímos que multiplicr por l sum de mbs ríces. * 1 1 Pso : Se reliz l multiplicció, tto e el deomidor como e el umerdor se obtiee el siguiete resultdo: 1*( ( ( ( 1*( ( * 1 Pso : Se multiplic e el umerdor, el primer prétesis por el segudo prétesis, todos sus térmios tl como se preci cotiució, obteiedo el resultdo fil: 1* ( 1* ( * ( * ( 1*( (

A cotiució, revise el video N Rciolizr de l sem que prece e el prtdo de Videos de l sem luego relice el siguiete ejercicio..- Rciolice PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1. El áre de u circufereci se clcul trvés de l fórmul r, e que r es el rdio de l circufereci. Utilizdo est fórmul se resolverá el siguiete problem: u idividuo debe cubrir co u mteril especil l cubiert de u mes circulr, utilizd pr reuioes e u ofici. Determie l ctidd de mteril que ecesit si se sbe que el rdio de l mes es m. ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 11

Solució: Pso 1: Ddo que el ejercicio idic que l fórmul pr clculr el áre de u circufereci es r, se reemplz el vlor del rdio e l fórmul. De est form se obtiee: * r * 1 * * 4 Pr cubrir l superficie de l mes, es ecesrio obteer m de mteril. Como es sbido, es u úmero correspode proimdmete,1415, por ede, es ecesrio obteer,1415 proimdmete 1,57m de mteril.. De cuerdo co l teorí de l reltividd de Eistei, l ms m de u objeto que se mueve m0 u velocidd v es dd por l fórmul m, e que m 0 correspode l ms del v 1 c objeto e reposo v es l velocidd de l luz. Determie l ms de u electró que vij l velocidd de 0,6c si su ms e reposo es 9,1 10 1 Kg Solució: Pso 1: Reemplzdo los dtos e l fórmul e que 1 m 9,1 v 0, 6c 0 10 1 1 1 1 1 0 9,110 9,110 9,110 9,110 9,110 9,110 m 1.17510 1 (0.6 c 1 0.6 0.64 0.8 810 8 1 c 0 L ms del electró es de 1,175 10 0 kg ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 1

. Se dese colocr u ppel dhesivo e l hipoteus de u escudr Cteto Hipoteus Cteto Fuete: http://goo.gl/fqru Si se sbe que l logitud de l hipoteus correspode b, e que bcorrespode, l logitud de los otro dos ldos de l escudr (ctetos, determie l logitud del ppel dhesivo que se ecesit si los ctetos mide 4 cm respectivmete. Solució: Tl como idic el problem, l hipoteus correspode b. Lo que es ecesrio relizr es reemplzr los vlores de b e l fórmul pr ecotrr el vlor de l hipoteus. De cuerdo co los dtos del problem, es sbido que = b=4, por ede se reemplz e l fórmul como se puede precir cotiució: 4 916 5 5 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 1

L logitud de l hipoteus es 5 cm. 4. Crlos dese relizr u proecto. Pr tl cso su jefe le h desigdo u presupuesto el cul sciede 5.000 (dólres. El proecto ivolucr diferetes tipos de gstos, lguos tiee que ser costedo por el proecto otros, so costedos co diero de otros fodos. Los gstos totles que Crlos debe coster co el proecto se puede ver represetdos e l siguiete fórmul. Gstos Totles del proecto (GT, GT * c g, si c represet todos los gstos relciodos co proveedores ctulmete su vlor es de 4.000.000 (dólres, g so gstos socidos permisos ptetes ctulmete correspode 170 (dólres e tto represet los gstos relciodos co mo de obr direct del proecto que ctulmete sciede 000 (dólres. Está Crlos cumpliedo co el presupuesto etregdo por su jefe? E cso de que estuvier su proecto ctulmete fuer de presupuesto, cuáto es ecesrio dismiuir los gstos relciodos co los proveedores (c pr o psrse del presupuesto etregdo? Solució: Pso 1: Primero se evlurá si ctulmete Crlos se está o o psdo del presupuesto etregdo por su jefe. Pr esto es ecesrio reemplzr los dtos etregdos e el ejercicio e l fórmul GT * *.000 8.900.000 6.000 8.900.000 7.900 c g * 4.000.000 (170.000 El gstos totl ctul del proecto es de 7.900 (dólres, por ede Crlos efectivmete se está psdo del presupuesto etregdo por su jefe es ecesrio dismiuir lguos costos. Pso : Ddo que el presupuesto máimo de Crlos es de 5.000 ctulmete está gstdo 7.900, es ecesrio dismiuir uo de los gstos. De cuerdo l eucido del problem, se debe ver cuáto es el vlor máimo que Crlos puede gstr e proveedores pr o psrse de los 5.000 dólres totles. Es por esto que cotiució se determi l ecució pr obteer el máimo vlor de c pr o psrse de los 5.000 dólres. GT * c g 5.000 5.000 * c (170.000 5.000 * c 8900.000 * c 1.900 5.000 1.900 * c.100 * c ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 14

.100 c.100 c 9.610.000 c 9 9.610.000 c 9 c 1.067.777 Es ecesrio dismiuir los gstos de proveedores u máimo de 1.067.777 (dólres pr poder cumplir co el presupuesto A cotiució, revise el video N Aplicció de ríces de l sem que prece e el prtdo de Videos de l sem luego relice el siguiete ejercicio. 5.- U fábric de cigrrillos produce c uiddes diris, producids co uiddes de mteri prim b uiddes de mo de obr, lo que se ecuetr represetdo C(, * b e: 4 5 Estime cuáts uiddes de cigrrillos dirios se puede producir co 15 uiddes de mteri prim uiddes de mo de obr. ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 15

COMENTARIO FINAL Ls ríces so úmeros reles o complejos, o siempre se puede escribir trvés de u etero. Estos úmeros stisfce modelos reles de l físic, biologí, stroomí, etc. L rdicció es el proceso iverso de l potecició. L rciolizció de rdicles es u proceso que se plic u frcció cuo deomidor es u térmio rdicl o sum (rest de térmios rdicles, el objetivo es elimir el rdicl o los rdicles que está e el deomidor de l frcció. Rciolizr u frcció co ríces e el deomidor, es ecotrr otr epresió equivlete que o teg ríces e el deomidor. Pr ello se multiplic el umerdor el deomidor por l epresió decud (mplificr. ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 16

REFERENCIAS Bldor, A. (004. Álgebr. Méico D. F.: Publiccioes Culturl S. A. Stewrt, J. (1999. Cálculo, trscedetes temprs. Méico: Thomso. Stewrt, J.; Redli, L. Wtso, S. (001. Precálculo. Méico: Thomso. Swokowski, E. Cole, J. (011. Álgebr Trigoometrí co Geometrí Alític. Méico: CENGAGE Lerig. Zill, D. Dewr, J. (1999. Álgebr Trigoometrí. Mc Grw Hill. PARA REFERENCIAR ESTE DOCUMENTO, CONSIDERE: IACC (014. Números Reles (Prte II. Nivelció Mtemátic. Sem. ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 17

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