LIMITES. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerd del curso psdo los límites de sucesiones. L sucesión 4 + + + + 4 4 n n + es especilmente interesnte. Empezmos desrrollndol. n,5,7...,44... Se trt de un sucesión creciente, pero crecerá indefinidmente o tendrá un límite? Pr contestr est pregunt vmos drle n vlores grndes: + + + + +,5974...,748...,769...,78847...,78887... Est sucesión crece muy lentmente, nos llev pensr que tiene un límite finito. Su límite es un número irrcionl (tiene infinits cifrs decimles no periódics) que se design con l letr e n e +,788884... n n El número e tmbién se obtiene medinte l siguiente sum infinit: e+ + +... + +...!! n! pág. 87 ISBN 84-8498-8-DEPÓSITO LEGAL CS-46997
. LÍMITES CUANDO X + Distinguimos entre vrios tipos de funciones:. POLINÓMICAS. Su límite es el del término de myor grdo. si P > K > P k si P <. EXPONENCIALES o De bse myor que > si P > P si P < o De bse << si P > P si P <. LOGARÍTMICAS o De bse > si P > P log si P < o De bse << si P > P log si P <.- Hll los siguientes límites: pág. 88.- Clcul estos límites: + 5 (,) + 7 ISBN 84-8498-8-DEPÓSITO LEGAL CS-46997
.- Clcul el límite de ls siguientes funciones cundo +:.4 COCIENTES (con numerdores y denomindores que pueden ser polinomios o no) INDETERMINACIÓN En generl podemos firmr: Orden numerdor > Orden del denomindor límite es Orden numerdor < Orden del denomindor límite es Orden numerdor Orden del denomindor límite es cociente de los coeficientes principles..4. COMPARACIÓN DE INFINITOS Orden de culquier f. Log< Orden f potencil < Orden f eponencil (bse>) - Dds dos funciones eponenciles, de bse myor que, l de myor bse es un infinito de orden superior. - Dds dos funciones potenciles, l de myor eponente es un infinito de orden superior. - Dds dos funciones logrítmics, l de menor bse es un infinito de orden superior..- Clcul rzondmente los siguientes límites: ) + 7 + + 4 6 c) 5 + 5.- ) Orden de menor myor los órdenes de los siguientes infinitos: Teniendo en cuent el resultdo nterior, clcul: Recuerd:, pág. 89,,,, INDETERMINACÍON ISBN 84-8498-8-DEPÓSITO LEGAL CS-46997
.5 DIFERENCIA DE EXPRESIONES INFINITAS En generl podemos firmr: Orden minuendo > Orden del sustrendo límite es + Orden minuendo < Orden del sustrendo límite es - Orden minuendo Orden del sustrendo límite es INDETERMINACIÓN.5.INDETERMINACIÓN Ante l presenci de est indeterminción procederemos de l siguiente mner: - Si hy ríces cudrds multiplicmos y dividimos por el conjugdo y volvemos clculr el límite - Si se trt de un rest de frcciones, efectumos l operción y volvemos clculr el límite.- Sin operr, di el límite, cundo +, de ls siguientes epresiones:.- Clcul el límite, cundo +, de ls siguientes epresiones:.6 POTENCIAS Antes de estudir el límite de ests funciones conviene recordr que:.- Clcul los siguientes límites: ) g ( ) g ( ) ( f ( ) ) ( f ( ) ) ( ) ( ) + + c) + pág. 9 ISBN 84-8498-8-DEPÓSITO LEGAL CS-46997
En estos ejemplos se puede clculr sin más, el límite. Sin embrgo, en otrs ocsiones se lleg un epresión indetermind, como puedes observr en l tbl siguiente: BASE EXP + - -? + - + - + <b< b - b b b + b - b? - -? b > b - b b b + b - b ( ) ( )? + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).6.INDETERMINACIÓN Pr slvr est indeterminción tenemos que conseguir epresr el límite de l siguiente mner: + donde el símbolo indic que en ese lugr puede hber culquier epresión, en función de, que tiend infinito, pág. 9 ISBN 84-8498-8-DEPÓSITO LEGAL CS-46997
pero tiene que ser l mism en el eponente y en el denomindor; pr conseguirlo: - Summos y restmos l bse de l potenci (en el cso de que se necesrio) - Efectumos l rest y conservmos el + - Dividimos el numerdor y el denomindor de l frcción, por el numerdor de l frcción obtenid en el pso nterior, pr conseguir l epresión. Y tenemos l bse, hor vmos por el eponente. - Multiplicmos y dividimos el eponente inicil por l epresión (en el cso de que se necesrio). - Agrupmos de l form + ep inicil - Como +, y tenemos el límite resuelto ep inicil + ep inicil e ep inicil.- Hll los siguientes límites cundo +:.- Clcul estos límites cundo +:.- Clcul: ) + + + 4 + pág. 9 ISBN 84-8498-8-DEPÓSITO LEGAL CS-46997
4.- Clcul los siguientes límites: e) ( log ) f ) +. LIMITE CUANDO X - Pr clculr este tipo de límites, tendremos en cuent que: f() f( ).- Clcul los siguientes límites cundo - :. + 5 + 5 ) c) 7 + 6 7 + 5.- Clcul el límite cundo de ls siguientes epresiones: 4. LIMITE DE UNA FUNCIÓN CUANDO X Pr clculrlos sustituimos por.en funciones continus se verific que: f ( ) f ( c) y, el límite está clculdo. En otro tipo de funciones se pueden llegr ls misms indeterminciones que se estudiron cundo + y un nuev:. 4. INDETERMINACIÓN EN COCIENTE DE POLINOMIOS En el cso de cociente de polinomios se fctoriz, siendo un ríz del numerdor y del denomindor; se simplific por. Al volver sustituir por, l indeterminción h desprecido, en cso contrrio, se vuelve proceder de igul modo. Conviene recordr que si el límite obtenido es ± debemos clculr los límites lterles (cundo + y - ) pág. 9 ISBN 84-8498-8-DEPÓSITO LEGAL CS-46997
TEMA 5 Límites.- Clcul los siguientes límites: 4 4 + c) + + 5 + + + 5 + 5 + 4 ) 4. REGLA DE L HÔPITAL 4 Se puede plicr ls indeterminciones e, se trte de cociente de polinomios o f ( ) f '( ) no. En estos csos. L regl de L Hôpitl se puede plicr tnto si g( ) g'( ) como si, y ls veces como se necesri en el mismo límite..- Clcul, utilizndo l regl de L Hôpitl, los siguientes límites:.- Clcul los límites siguientes: 4. INDETERMINACIONES, Afrontmos ests indeterminciones de l mism form que se frontron cundo +. 4 Antes de plicr est regl reliz los ejercicios de derivds que hy en l págin 4 del tem 6 pág. 94 ISBN 84-8498-8-DEPÓSITO LEGAL CS-46997
TEMA 5 Límites.- Clcul: 4.4 INDETERMINACIÓN Sos de ell con l siguiente estrtegi, independiente de que o si, f ( ) g( ) f ( ) g( ). De est form llegmos ls g( ) f ( ) indeterminciones o, pr después poder plicr l regl de L Hôpitl..- Clcul: ) 5 c) 5 d) e) ln cos ln tn p.- Clcul los siguientes límites: pág. 95 ISBN 84-8498-8-DEPÓSITO LEGAL CS-46997