pág. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO gnifica que toma valores cada vez más próimos a. Se lee tiende a. Ejemplo: ;,9;,;,;,8;,;,9;,;,999; Es una secuencia de números cada vez más próimos a. Escribimos. gnifica que toma valores cada vez más próimos a, pero menores que. Se lee tiende a por la izquierda. Ejemplo: la secuencia: ;,;,8;,9;,99; Está formada por números menores que y cada vez más próimos a. Escribimos. gnifica que toma valores cada vez más próimos a, pero mayores que. Se lee tiende a por la derecha. Ejemplo: la secuencia: ;,;,;,;,; Escribiremos. Estudiaremos el comportamiento de la función cuando se aproima a : El comportamiento de f cuando, se epresa así: f límite de f cuando tiende a por la izquierda El comportamiento de f cuando, se epresa así: f límite de f cuando tiende a por la derecha El comportamiento de f cuando, se epresa así: f límite de f cuando tiende a Ejemplo: f,9,99 f,8,98 f
pág.,, f 9,, f Por lo tanto, cuando los valores de se aproiman a, los valores de f se aproiman a : f Límite de una función En resumen: Si f f L Decimos que la función es convergente en =., decimos que f L. Si los dos límites laterales no toman el mismo valor, se dice que no eiste el f. Y la función no es convergente en =. Límites infinitos cuando tiende a un número finito. Asíntotas verticales de una función f límite de f cuando tiende a por la izquierda: f Cuando grande que sea., f toma valores cada vez más grandes, llegando a superar cualquier valor, por Ejemplo: f,9,99 f f f límite de f cuando tiende a por la izquierda: f Cuando, f toma valores cada vez más grandes pero negativos, llegando a superar cualquier valor, por grande que sea. Ejemplo: f,9,99 f - - - f
pág. La idea de límites infinitos de una función cuando tiende a un número real por la derecha o por la izquierda se ve en la guiente imagen: Cuando ambos límites laterales son infinitos, observamos que la función presenta una asíntota vertical en dicho punto. Ejemplo: f ; f LÍMITES FINITOS EN EL INFINITO Para epresar que toma valores cada vez más grandes, ponemos +. Se lee tiende a más infinito. Por ejemplo, toma los valores,,,,, decimos que +. f límite de f cuando tiende a más-infinito
pág. Análogamente, toma los valores -, -, -, -,, decimos que -. f límite de f cuando tiende a menos-infinito Cuando +, los valores de f son cada vez más próimos a un número L, se trata de un límite finito cuando tiende a +. f L Ejemplo: f f,87,9987,99999987 Es decir, f Cuando los límites en el infinito son un número finito, observamos que la función presenta una asíntota horizontal de ecuación y = L. Ejercicio: Dada la guiente función, calcula los límites en -, -, y +.
pág. LÍMITES INFINITOS EN EL INFINITO f f f f Cuando +, los valores de f crecen cada vez más. Cuando +, los valores de f son cada vez más negativos. Cuando -, los valores de f crecen cada vez más. Cuando -, los valores de f son cada vez más negativos. f no eiste Cuando +, los valores de f ni crecen ni decrecen indefinidamente, ni se acercan cada vez más a ningún número. Los comportamientos que pueden darse:
pág. OPERACIONES CON LÍMITES DE FUNCIONES Sean f y g dos funciones tales que eistan f valor real o, entonces: a y g a y c un número real, a puede ser un PROPIEDADES FUNCIÓN OPERACIONES g f g Suma Adición f a a a f g f g a Diferencia a a f g f g a a f g log a f a Producto Multiplicación a a Y f Cociente divión a g a af log a f a g Función logarítmica Logaritmo del límite g f a Potencia Potenciación a Estas relaciones son ciertas empre que tengan sentido las operaciones definidas con números reales o las definidas al añadir los elementos + y -. En caso contrario no es poble obtener el límite del primer miembro a partir de los límites del segundo. Cuando esto ocurre se dice que el cálculo del límite es indeterminado. Esta epreón no gnifica que el límite no eista o no se pueda determinar, no que la aplicación directa de los teoremas tal y como están enunciados es impoble. Los casos de indeterminación son los guientes: Racionales k/, /,, -, / Eponenciales,, Si al calcular un límite se presenta alguno de estos casos, conviene transformar la epreón de la función en otra equivalente a la que sí puedan aplicarse los teoremas de los límites. Las indeterminaciones que vamos a estudiar este curso son las guientes: INDETERMINACIONES L TIPOS K
pág.7 +-+ --- ++- -++ - OPERACIONES CON EXPRESIONES EN QUE APARECE SUMA Y RESTA PRODUCTO k K k K K K k k k k COCIENTE POTENCIA k k k k k k k k k k k k k k
pág.8 CÁLCULO DE LÍMITES SENCILLOS
pág.9 CÁLCULO DE LÍMITES Cálculo de límites de una función en un punto El primer paso para calcular un límite es sustituir el número al que tiende en la función.. El límite de una constante, en cualquier punto, es ella misma: k k a. El límite de una función polinómica, f=p, cuando a, coincide con Pa. a P P a Ejemplo: 8. El límite de un cociente de polinomios, f=p/q, cuando a, coincide Pa/Qa Pa y Qa. a Q a P Q P a Ejemplo:. Indeterminación a La indeterminación / de funciones racionales desaparece descomponiendo en factores el numerador y el denominador y mplificando. Ejemplos: 8 IND 7 IND b La indeterminación / de funciones con radicales desaparece multiplicando y dividiendo la función por la epreón radical conjugada. Ejemplos: IND IND IND
pág. IND 9 IND IND. Indeterminación k/ El caso k/, k, no suele tomarse como indeterminado ya que el límite, eiste, es empre + ó -. Se calculan los límites laterales; son iguales, la función tiene límite + ó -; en caso contrario no eiste el límite. Ejemplos: K IND No eiste el lím ite K IND No eiste el lím ite. La indeterminación - de funciones racionales desaparece efectuando la operación y reduciendo la diferencia a una única epreón. 7. La indeterminación se resuelve transformándolas en las de tipo /. Ejemplo: IND IND Cálculo de límites en el infinito. El límite de un polinomio cuando es ó - según que el gno del coeficiente del término de mayor grado sea potivo o negativo.. Límites cuando - Se calculará el límite cuando de la epreón que resulte de cambiar por en la función. NOTA: No son indeterminaciones las guientes epreones: ; ; ; ; k k, k ; ;.
pág.. Indeterminación La indeterminación desaparece dividiendo numerador y denominador por la mayor potencia de. Podemos dar la guiente regla para hallar límites + de funciones racionales: P IND Q a b gra do gra do gra do P a Q b de de de m n P P P...... gra do gra do gra do de de de Q Q Q También podemos resolverlos tomando únicamente los términos de mayor grado tanto del numerador como del denominador. Ejemplos: IND a b m n... a... b m n IND IND IND IND. La indeterminación - a La indeterminación - de funciones racionales desaparece efectuando la operación y reduciendo la diferencia a una única epreón. Ejemplos:
pág. 9 7 9 7 b La indeterminación - de funciones con radicales desaparece multiplicando y dividiendo la función por la epreón radical conjugada. Ejemplos:. La indeterminación se resuelve transformándola en una del tipo. Ejemplo: IND IND
pág. ASÍNTOTAS Si f, ar, la recta =a, es una asíntota a vertical. Para determinar f tiende a más o menos inifinito, en =a, habría que calcular los límites laterales y así determinamos la poción de la curva respecto a la asíntota. En las funciones racionales se busca en los valores de que son raíces del denominador. Asíntota horizontal a la izquierda Si f b horizontal., br, la recta y=b es una asíntota Asíntota horizontal a la derecha Cálculo de asíntotas oblicuas: Por ser una asíntota oblícua tendrá por ecuación y=m+n, donde m indica la pendiente de la recta y n la ordenada en el origen. m y m, n. Los valores de m y n se obtienen calculando los guientes límites: m f y n f m Para estudiar la poción de la gráfica respecto de las asíntotas oblicuas y horizontales calculamos los límites cuando de la diferencia entre la función y la asíntota. Si el resultado es potivo, la función está encima de la asíntota, y es negativo, está debajo. Si una función tiene una asíntota horizontal, entonces no tiene asíntota oblicua. Ejemplos: La asíntota vertical de la función IND La asíntota horizontal de la función f f es la recta =: es la recta y :
pág. Poción de la gráfica respecto de la asíntota: La gráfica está debajo de la asíntota. La gráfica está encima de la asíntota. La asíntota oblicua de la función 8 f es la recta y = - : 8 8 m 8 n Poción de la gráfica respecto de la asíntota: 8 La gráfica está debajo. 8 La gráfica está encima. Observaciones prácticas acerca de las asíntotas horizontales y verticales: - Las funciones polinómicas tienen ramas infinitas, pero no tienen asíntotas horizontales y tampoco verticales. - Las fracciones algebraicas tienen asíntota horizontal el numerador y el denominador tienen el mismo grado. En ese caso, es la misma asíntota por la izquierda que por la derecha. - Las fracciones algebraicas tienen tantas asíntotas verticales como raíces tenga el denominador, salvo que el numerador tenga alguna de esas raíces; en tal caso conviene, previamente, mplificar la fracción. - Las epreones con radicales pueden tener dos asíntotas horizontales. - En general, las asíntotas verticales son propias de epreones que «se hacen infinitas» para valores finitos de.
pág. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Continuidad de una función en un punto: La idea intuitiva de continuidad implica una variación suave de la función, n saltos bruscos que rompan la gráfica de la misma. Dibujamos la función continua n levantar el boli del papel. Algunas razones por las que una función puede ser discontinua en un punto son las guientes: La función g no puede dibujarse n levantar el boli del papel. No tiene límite finito en = y no eiste f. Es discontinua en =. La función h está definida en = eiste f, pero no eiste en límite de la función en =. Por eso es discontinua. La función t no es continua porque eisten f y el límite de la función en =-, pero ambos valores no coinciden. Una función y=f es continua en un punto = a se cumplen las tres condiciones guientes: a La función está definida en =a; es decir, eiste fa. b Eiste el límite de la función f en = a. c Los dos valores anteriores coinciden, es decir, f f a. Si una función no es continua en un punto =a, se dice que es discontinua en dicho punto. a
pág. La continuidad o discontinuidad de una función en un punto eige estar definida la función en él. Por ejemplo, la función f=/ no es continua no discontinua en = ya que no está definida. Sin embargo, vamos a hablar de discontinuidad en ese punto. Discontinuidades Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando eiste límite en él y no coincide con el valor de la función en el mismo o no está definida. Una función tiene una discontinuidad inevitable en un punto cuando eisten los límites laterales en él y son distintos. El valor f f a a se llama salto de la función en ese punto, y puede ser finito, es un número real, o infinito. Ejemplos: Estudia la continuidad de la función Se trata de una función continua en todo su dominio. Estudia la continuidad de la función f. f, en =. Presenta una discontinuidad evitable: añadiendo un punto a la función, esta se convierte en continua. Estudia la continuidad de la función f Presenta una discontinuidad inevitable de salto finito. Estudia la continuidad de la función f Presenta una discontinuidad inevitable de salto infinito. f Dada la función: a, en =., en =., qué sucede en =? b f=; luego la función está definida en =. ; luego eiste f. c Los dos valores anteriores no coinciden. Por tanto, la función tiene una discontinuidad evitable en =. Para que la función fuera continua en =, debería ser f=. Dada la función: f, qué sucede en =?
pág.7 La función no está definida en =. Veamos cuál es el límite de la función en =: f f=. Funciones continuas Para que la función fuera continua en =, debería ser Una función es continua en un intervalo cuando lo es en todos y cada uno de los puntos del intervalo. Se dice que una función es continua cuando lo es en todos y cada uno de los puntos de su dominio de definición. Las operaciones con funciones continuas en =a dan como resultado otra función continua en él, empre que tenga sentido la operación. Entonces: todas las funciones elementales polinómicas, racionales, irracionales, eponenciales y logarítmicas son continuas en todos los puntos donde están definidas. Las funciones definidas a trozos serán continuas en los puntos de unión lo son, y cada función es continua en su trozo correspondiente.