Estadístca Descrptva Estadístca Resum dees bàsques 008 Cojut de tècques per orgatzar, smplcar resumr la ormacó cotguda e u cojut de dades. Les dades pode prover de varables quattatves o de varables categòrques. Dades quattatves - Dades cotues, les que vare de orma cotua, com la temperatura, la resstèca elèctrca, el vell de radacó, etc. -Dades dscretes, les que omés pode predre valors eters com per eemple el ombre d'accessos a ua determada pàga web, etc. Dades qualtatves Pode ser: - Nomals: só ua smple etqueta com per eemple la marca, l estat d u usble (os/o os), etc. - Ordals: e les que este ua relacó de ordre etre els possbles valors, per e. el resultat d ua eploracó qualtatva de la temperatura d u aparell (red, teb, calet). Recollda d ormacó Cod Edat (as) Gèere Pes Alçada Fumador 0 6 70 0 65 7 0 3 9 55 66 0 4 0 63 70 5 8 56 70 6 8 59 60 0 7 6 58 65 0 8 0 57 69 9 0 58 65 0 0 50 53 8 m 90 7 8 m 60 68 3 9 m 6 7 4 m 7 87 0 5 m 65 70 0 Prmeres ocos Matru de dades Casos (les) Varables (columes). Mda de la mostra ombre de les. Classes de varables: Dscretes Cotíues. Qualtatves Quattatves. Varables dscretes: Gèere, tabac, color del cabell, ombre de parts,... Varables cotíues: Colesterol e sag, pes, alçada,...
Descrpcó de varables: Varables cotíues quattatves: Eemples: Colesterol e sag, pes, alçada,... Descrpcó: mtjaes, varàca desvacos. Varables dscretes: Eemples: Gèere, tabac, color del cabell, ombre de parts,... Descrpcó: reqüèces relatves. Descrpcó. Varables dscretes Notacó Tama de mostra. A ua propetat,, Varables. Freqüeces absolutes: F ( A) Nombre de casos amb ua propetat. Freqüeces relatves: ( A) Nombre de casos amb ua propetat dvdt pel ombre total de casos. Eumeracó dels elemets H D F NF Ω {,,3,4,5} {,,3, 4,5,6,7,8,9,0} {, 4,5,8, 9,0,,,3 } {,3,6,7,4,5} {,,3,...,4,5} Uó Iteseccó de cojuts Iterseccó: Homes umadors H F {,,3} Does umadores D F {, 4,5,8,9,0} Uó: Homes o umadors H F {,4,5,8,9,0,,,3,4,5} Homes o o umadors H NF {,3,6,7,,,3,4,5} Freqüeces relatves ( H) ( Ω) { } F H F,,3,4,5 5 0.33 F 5 5 Represetacó gràca Varables dscretes (margals). 0 ( NF) ( Ω) { } F NF F,3, 6, 7,4,5 6 40% F 5 5 Homes Does 8 6 4 0 Homes Does
Represetacó gràca Dues varables dscretes 6 5 4 3 0 Homes Does Fumadors No umadors Descrpcó de dades quattatves Mesures de localtzacó. Mtjaa medaa. Quatls. Mesures de dspersó. Desvacó estàdard. Varàca. Rag. Rag terquartl. Mesures de orma. Ba (sesgo). Curtos. Descrpcó:Varables Quattatves Mtjaa Varàca Desvacó estàdard Medaa Com es calcula: Medaa (m): { m} { m} Ordear les dades de més pett a més gra. - el ombre de dades és sear, la medaa és la dada que està e el mg. - el ombre és parell, és la mtjaa dels dos valors cetrals. La medaa és robusta davat la presèca de outlers. Quartls Rag 75% 5% 5% 75% 5% 5% 5% 5% Mím Quartl 3 Quartl Medaa Màm q Quartl q 3 q És la derèca etre els valors observats més gra més pett: R má mí - coserva les utats de mesura de les dades orgals. - valors petts dque ua meor dspersó. - es veu etraordàramet aectada pels valors etrems (outlers). - és molt útl per detectar valors etrems.
Descrptva varables cotíues Poscó Dspersó Forma Etrems Alçada (cm) Meda 70.35 Medaa 70 Moda 70 Desvacó estádar 9.80 Varaza de la muestra 96. Curtoss 5.0 Coecete de asmetría -0.96 Rago 0 Mímo 97 Mámo 99 uma 58594 Cueta 93 Hstograma Classquem les observacos Classes Frecueca 45 55 33 65 44 75 379 85 3 95 39 maor... Represetacó de les reqüèces Frecueca Alçada 50 00 50 00 50 0 45 50 55 60 65 70 Hstograma Alçades 75 80 85 90 95 maor... La lle dels errors Dstrbucó ormal de probabltats ep π 0,450 0,400 0,350 0,300 0,50 0,00 0,50 95% 0,00 0,050 0,000-5 -4-3 - - 0 3 4 5.96.96 Dstrbucos Normals (, ) N µ Tedèca errors de dspersó ó les que tee ucó de destat µ ep π o µ, N ( 0,) µ 0, aleshores Tedèca cetral µ 0. Dspersó 0.75,,. 0.600 0.500 0.400 0.300 0.00 0.00 0.000-8 -6-4 - 0 4 6 8-0.00
Classcacó hstogrames ota codcos ormals El 95% de les observacos d ua varable cotíua es trobe separades com a màm dues desvacos de la mtjaa..96 Que és u et estra? Estra, estadístcamet: Allò que passa u cop de cada 0. p / 0 0.05 Molt estra: Allò que passa u cop de cada 00. p /00 0.0 o és estra e drem ormal. Estud de dues varables Dues varables cotíues: Recta de regressó. Dues varables dscretes: Taules de cotgèca. Test X-quadrat de Pearso. Ua dscreta ua cotíua: Proves t de comparacó de grups. Aàls de la varàca. Estadístca bvarat Mtjaes, Varàces Covaràca Covaràca correlacó Covaràca Coecet de correlacó determacó r No tee utats r Recta de regressó Equacó de la recta a+ b Coecets: b, a b Coecet de correlacó de determacó r 0 r Xm 68,47 Ym 6,00 7,7 9,7 36,43
Relacó pes alçada Recta de regressó -76,9 + 0,8 Probabltat Lles de la probabltat: A P A Pes (Kg) 0 00 80 60 40 0 0 50 60 70 80 90 00 Alçada (cm) 3 4 5 0, ( Ω ), ( ) 0. ( ) + ( ) P A P P P A B P A P B P A B P A P A C P AC P C P( A) ( ) P( A B) P( A) P( B) s A B so depedets Freqüèces relatves Cod FumadAcum F. Relat.000 Tabac 0 0.500 3 0 0.333 4 0.500 5 3 0.600 6 0 3 0.500 7 0 3 0.49 8 4 0.500 9 5 0.556 0 6 0.600 7 0.636 8 0.667 3 9 0.69 4 0 9 0.643 5 0 9 0.600 Evolucó de la reqüeca relatva del umadors (Tabac).00.000 0.800 0.600 0.400 0.00 0.000 Fre. Relatva 0 4 6 8 0 4 6 Límt de les reqüèces Freqüèca de umadors e ua mostra de 93 persoes.00.000 0.800 0.600 0.400 0.00 Freq_relatva 0.000 0 00 00 300 400 500 600 700 800 900 000 H ha relacó gèere-tabac? Homes Does Total Fumador 7 00 47 No_Fuma 44 70 54 Total 46 470 93 ( F H) ( F D) ( ) ( H) H F 7 0.47 46 ( ) ( D) F D 00 0.46 470 Comparem les dues taules Observats Homes Does Total Fumador 7 00 47 No_Fuma 44 70 54 Total 46 470 93 Esperats Homes Does Total Fumador 06.48 0.5 47 No_Fuma 54.5 59.48 54 Total 46 470 93
Test X de Pearso U dels 0 descobrmets més mportats del egle XX ( E ) j Oj, j E j 3.84.96 E el 95% dels casos, s h ha depedèca No h ha evdèca de dereces Observat Esperat X 7 06.48 0.54 44 54.5 0.43 00 0.5 0.53 70 59.48 0.43 p-valor 0.657.9 ( E O ), j j j s E j.9 3.84 Podem cotrolar l Atzar abem mesurar la varabltat produïda per atzar. Podem ar u vell de coaça per a les ostres armacos. E bologa el vell habtual és: 95% - 99%. És possble saber la vertat és àcl detectar errors alsedats. Proves dagòstques Malalta alud Dag. Postu Ver. Postu Fals Postu Dag. Negatu Fals Negatu Ver. Negatu esbltat Especctat P DP M P DN per descartar (o detectar greu) cormar (dagostc als greu) Varables aleatòres Estadístca Varables aleatòres dscretes 008 Ua varable aleatòra, X, represeta el resultat umèrc d u epermet aleator. El resultat d u dau. L alçada d ua persoa, escollda al atzar. Els valors o 0 segos s la persoa uma. Aaltzarem models smples, per tal d trodur els coceptes d esperaça varàca d ua poblacó.
Esperaça d u model arbtrar Valors probabltats: Valor esperat: Iterpretacó: X v p v p...... v p E[ X] v p+ v p +... + v p [ ] E Propetats de les mtjaes La mtjaa de la suma és suma de mtjaes. ( + ) + multplquem les dades per ua costat, la mtjaa també es multplca. a a a Propetats de l Esperaça [ ] E Dstrbucó de Beroull L esperaça de la suma és la suma d esperaces.. E[ X + Y] E[ X] + E[ Y] multplquem per ua costat, la esperaça també es multplca.. E[ ax] ae[ X] X pot predre els valors, 0 amb probabltats p (-p). X p 0 p Qua p ½, és el model del llaçamet d ua moeda. Valor esperat d ua Beroull uposem X amb dstrbucó: p X 0 p El valor esperat és: [ ] 0 ( ) E X p+ p p Dstrbucó Bomal Aomeem B el ombre d èts, e proves. La probabltat d obter k èts és: o P B k p p k k { } ( )! k k! ( k)! k
Valor esperat d ua Bomal p uposem X amb dstrbucó: X 0 p gu B X El valor esperat de B és: [ ] [ ] E B E X p Evolucó de la mtjaa Calculem la mtjaa e 5 sères de 50 llaçamets d u dau. 3.5 7.00 6.00 5.00 4.00 3.00.00.00 [ ] 3.5 E V[ X] 0.00 3 5 37 49 6 73 85 97 09 33 45 57 69 8 93 05 7 9 4 Varàca d u model arbtrar v p Valors probabltats: X v p...... Iterpretacó de la varàca: v p ( ) V[ X] Decó: [ ] [ ] V X E X E X Càlcul de la varàca X v p v p...... v p X v v p...... v p E[ X] v p+ v p +... + v p [ ] [ ] V X E X E X E X v p + v p + + v p... p Varàca d ua Beroull p X 0 p Valor esperat: X [ ] 0 ( ) 0 E X p+ p E X Varàca: p p [ ] [ ] p p p( p) V X E X E X p Propetats de les varàces La varaca es pot calcular com la mtjaa dels quadrats mes el quadrat de la mtjaa multplquem les dades per ua costat, la varaca es multplca pel quadrat. ( a a) a ( )
Propetats de les varàces La varàca de la suma de varables és la suma de varàces més dues vegades la covaràca. ( ) + + + + Per a varables depedets: ( )( ) 0 ( )( ) + Propetats de la Varàca La varàca de la suma o derèca de varables depedets és suma de varàces.. V[ X ± Y] V[ X] + V[ Y] multplquem per ua costat, la varàca es multplca pel quadrat. [ ] [ ]. V a X a V X Momets d ua Beroull p X 0 p Valor esperat: X 0 [ ] 0 ( ) p p E X p+ p E X p Varàca: [ ] [ ] p p p( p) V X E X E X Momets d ua Bomal p uposem X amb dstrbucó: X 0 p gu B X B B(, p) El valor esperat la varàca de B só: [ ] [ ] E B E X p [ ] [ ] ( ) V B V X p p Mostra Poblacó A P A Fucos de dstrbucó Mtjaa Varàca mostral Esperaça E v p [ ] k k Varàca teòrca V[ X] E X E[ X] Lledelsgrasombres: [ ] E [ ] V gu X ua varable qualsevol. Aomeem ucó de dstrbucó (ucó de probabltat acumulada) a P{ } F X Aleshores calculem probabltats P{ a< X b} F( b) F( a)
Dstrbucó Bomal Nombre d èts e 0 proves (p 0.5) Valors P(k) F(k) 0 0.00 0.00 0.00 0.0 0.044 0.055 3 0.7 0.7 4 0.05 0.377 5 0.46 0.63 6 0.05 0.88 7 0.7 0.945 8 0.044 0.989 9 0.00 0.999 0 0.00.000 Probabltats Bomal ( 0) Probabltats Bomal 0.300 0.50 0.00 0.50 0.00 0.050 0.000 0 4 6 8 0 Ets Probabltats acumulades Propetats ucó de dstrbucó.0000.00000 0.80000 0.60000 0.40000 0.0000 0.00000 0 4 6 8 0 P{ } F X { }. F P X, es creet.. lm F 3. lm F 0 4. P{ a< X b} F( b) F( a) Varables aleatòres cotíues X és ua varable cotíua, la ucó de dstrbucó és dervable P{ } F X Aomee ucó de destat a la dervada: ' F La destat represeta el límt dels hstogrames. Estadístca Dstrbucó Normal 008
Varables aleatòres cotíues X és ua varable cotíua, la ucó de dstrbucó és dervable P{ } F X Aomee ucó de destat a la dervada: ' F La destat represeta el límt dels hstogrames. Varables cotues ó equvalets Les dues es due que { a< X b} d F( b) F( a) b P a F' P{ X } F ( t) dt Propetats ucó de destat. 0. 4. d.. lm lm 0. b 3. P{ } a< X b d a Normal estàdard Dstrbucó ormal de probabltats 0.450 0.400 0.350 ep π 0.300 0.50 0.00 0.50 0.00 0.050 0.000-5 -4-3 - - 0 3 4 5 Estadardtzacó Proposcó: Utltzat varables ormals, sempre es podem redur a la ormal N(0,) X µ X N Z N ( µ, ) (0,) Aomearem φ a la ucó de dstrbucó de la N(0,). Eemple Calculem: o { < X } P 60 70 µ 70.35, 9.80 60 µ X µ 70 µ P < P.06 < Z 0.04 Z N(0,) { } 0.04 z d φ( 0.04) φ(.06).06 0.484 0.46 0.338
Fucó de dstrbucó de N(0,) La dstrbucó ormal () F() -3.50 0.00 0.000-3.00 0.004 0.003 -.50 0.08 0.006 -.00 0.054 0.08 -.50 0.30 0.0668 -.00 0.4 0.587-0.50 0.35 0.3085 0.00 0.399 0.5000 0.50 0.35 0.695.00 0.4 0.843.50 0.30 0.933.00 0.054 0.977.50 0.08 0.9938 3.00 0.004 0.9987 3.50 0.00 0.9998 φ.00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.0 0.0 0.00-4.00-3.00 -.00 -.00 0.00.00.00 3.00 4.00 X Apare e molts eòmes reals. Hstogrames. Ecara que algua varable o segue la dstrbucó ormal, les sumes es comporte segos la dstrbucó ormal. Moltes característques só el resultat de la suma de petts actors depedets. 0.450 0.400 0.350 Valors esperats d ua ormal 0.300 0.50 0.00 0.50 N ( µ, ) E[ X] µ 0.00 0.050 V[ X] 0.000-5 -4-3 - - 0 3 4 5 Teorema cetral del límt. Combacos leals de ormals só ormals. ax+ b. La suma de ormals depedets és ormal. X + X +... + X 3. TCL: La suma de varables depedets de qualsevol tpus és apromadamet ormal. Les rèplques dsmuee l error X és ua varable o µ és el valor mtjà E[ ] µ desvacó de la mostra d [ ] Fem la mtjaa de observacos El valor esperat és E[ ] µ Desvacó de la mtjaa V[ ] d [ ] Teorema cetral del límt gu X ua varable qualsevol amb µ el valor esperat E[ ] µ la varàca V[ ] Fem la mtjaa de observacos Teorema La dstrbucó de és N( µ, ) Aplquem el TCL a la Bomal gu B ua varable Bomal. abem que és suma de Beroulls B X L esperaça és E[ B] p µ La varàca és V[ B] p( p) Teorema. o Bp (, ) Nµ (, ), sempre que p p 0 p p 5, amb correccos. µ p p p
Eemple Hem et ua equesta a 80 persoes. la mostra ha estat escollda a l atzar, qua és la probabltat d etrevstar més de 5 does? El model correspo a ua Bomal B B(, p) amb 80, p 0.5 p ( p) 80 0.5 0.5 0 0 Podem apromar per ua X N ( µ, ) µ p p p 40, 0 Eemple X N µ { > } P{ X > } P B Podem apromar per ua (, ) 5 5, { > 5} P{ X 5} P X X µ 5 µ P{ X 5} P ( 3.35) φ( 3.35) µ 40, 0 ( 0.999) 0.999 { 3.35} P Z φ 0.999 Valors crítcs amb error 0.05 Calculeu z, z per a Z N(0,) de maera que: Aleshores ( z ) P{ Z z } ( z ) P{ Z z } φ 0.05 φ 0.975 { } φ φ P z Z z z z < 0.95 La lle dels errors Dstrbucó ormal de probabltats z z 0.05 0,450 0,400 0,350 0,300 0,50 0,00 0,50 0,00 0,050 95% ep π φ ( z ) 0.975 0.05 0,000-5 -4-3 z - - 0 z 3 4 5 Valors crítcs de la N(0,) φ ( α) z α Normal segos la varàca () F() -3.50 0.00 0.000-3.00 0.004 0.003 -.50 0.08 0.006 -.00 0.054 0.08 -.50 0.30 0.0668 -.00 0.4 0.587-0.50 0.35 0.3085 0.00 0.399 0.5000 0.50 0.35 0.695.00 0.4 0.843.50 0.30 0.933.00 0.054 0.977.50 0.08 0.9938 3.00 0.004 0.9987 3.50 0.00 0.9998 φ 0.05.96 0.975.00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.0 0.0 0.00-4.00-3.00 -.00 -.00 0.00.00.00 3.00 4.00 ( 0.975).96 φ Tedèca cetral µ 0. Dspersó 0.75,,. 0.600 0.500 0.400 0.300 0.00 0.00 0.000-8 -6-4 - 0 4 6 8-0.00
Valors crítcs uposem ua És prou gra per apromar per la Normal. No cal er correccó de Yates. Volem determar { } B B(300, 0.5) b, b P b B b 0.95 tals que Apromem per la Normal La Bomal B B(300, 0.5) apromar per la ormal amb µ p p p es pot 50, 75 B B(300, 0.5) X N(50, 75) Estadardtzem Determar: o { b X b } b µ X µ b µ P < P 0.95 µ 50, 75 Z N(0,) { } P z < Z z 0.95 Coseqüèces de la smetra La smetra de la N(0,) es doa: φ ( ) φ Pels valors crítcs, la smetra es doa: b 50 z 75.96 z.96 b 33, b 67 b 50 75 zα z φ α φ α α Valors crítcs N(0,) z p z p Apro. Normal de les reqüèces Els valors crítcs més usuals só: p z p φ p-valor Zp 0.05 -.960 0.975.960 0.05 -.645 0.95.645 0.005 -.576 0.995.576 0.0 -.36 0.99.36 0.0 -.8 0.90.8 Per a la reqüèca relatva tem l apromacó: (, ( )/ ) N p p p ( p) empre que: p 0 B/ L'Estadartzacó es doa: p p N(0,) p( p) / p( p)
Precsó e les equestes uposem que em 50 equestes amb probabltat 0.4 d observar u esdevemet (α 0.05). E[ ] 0.4 V[ ] ( 0.4 0.6 ) / 50 0.0048 error.96 0.048 0.358 ter.req. ( 0.4 0.36,0.4 + 0.36) ( 0.6,0.54) Precsó e les equestes uposem que em 000 equestes amb probabltat 0.4 d observar u esdevemet (α 0.05). E[ ] 0.4 V[ B ] ( 0.4 0.6 ) / 000 0.000 error.96 0.000 0.05 ter.req. ( 0.4 0.0, 0.4 + 0.0) ( 0.38, 0.4) Itervals per a reqüèces Itervals per a proporcos p N(0,) p( p) p N(0,) ( ) / ( α ) Amb coaça -, o error α p z z p( p) α/ α/ p p z α zα p( p) p( p) ( α ) Amb coaça - z p z ( ) /, o error α p z ( ) / α/ α/ α z α p ( ) / Dstrbucos dervades de N(0,) Dstrbucó X-quadrat Dstrbucó X-quadrat. Dstrbucó d tudet. Dstrbucó de Fsher. χ t F( m, ) uposem que tem ormals N(0,) depedets: Z, Z,..., Z N(0,) Cosderem: Ch Z + Z + + Z Drem que Ch té dstrbucó: Ch χ... χ
Destat d ua dstrbucó χ Dstrbucó d tudet 0.05 0. 0.6 0. 0.08 0.04 0 0 5 0 5 0 5 c Valors crítcs 0.05 uposem que tem + ormals N(0,) depedets: Z, Z, Z,..., Z N(0,) 0 Cosderem: Z0, Ch Z + Z +... + Z Dstrbucó d tudet t Dstrbucó F de Fsher Drem que té dstrbucó llbertat: T t d tudet amb graus de T t Z0 Ch / uposem que tem: Ch( m) Z + Z +... + Z χ Ch Z + Z +... + Z χ Aleshores: Ch( m) / m F Ch / té dstrbucó (, ) F F m m m Taules de la F ( m, ) m de Fsher Observacos. Ua χ és sempre postva.. Ua t és smètrca. 3. El quadrat d ua t és ua F (, ) Z 0 Ch / Ch / 0 Z0 () Z Ch / Ch / Ch /
Itervals de coaça Estadístca Ierèca 008 N µ (, ) Itervals per als paràmetres (descoeguts). Iterval per a la mtjaa amb varàca coeguda. Teorema de Fsher. Iterval de coaça per a la varàca. Iterval de coaça per a la mtjaa, sese coèer la varàca. Teorema de Fsher Eemple:.. 3. µ N(0,) N( µ, ) / ( ) χ ( ) µ t / uposem que e ua mostra de pesos de 5 persoes la desvacó resulta.5, etre qus valors està la vertable, amb ua coaça del 99%? α α α 0.0, 0.005, 0.995 χ χ 4 4 0.005 9.89 0.995 45.56 a 9.89 b 45.56 Destat d ua dstrbucó 0.005 0. 0.6 0. 0.08 0.99 0.005 χ Itervals de coaça per a Fsher () es du: ( ) χ ( ) Fem u marge d'error: α 0.05 0.0 Tdrem u vell de coaça de ( α ) 0.04 0 a b 0 5 0 5 0 5 Valors crítcs Busquem els valors crítcs: a ( ) b a χ b
Itervals de coaça per a Eemple χ4 χ a 0.005 9.89 b 0.995 45.56 4 Utltzat: a χ b Tem que: { χ4 } P 9.89 45.56 0.99 Tem: Equvaletmet: ( ) ( ) b a ( ) ( ) b a Aleshores: Falmet ( ) ( ) 45.56 9.89 9. 074 9. 47 Iterval per a µ amb descoeguda Fsher (3) es du: µ t Fem u marge d error: α 0.05 0.0 Tdrem u vell de coaça de α 0.95 0.99 Busquem els valors crítcs: µ a b Itervals de coaça per a Volem trobar Per smetra: Falmet: ( ab, ) a b o a t t µ que comple: { } ( ) P a t b α α/ α/ b t t t µ + t α/ α/ α/ α/ Cotrastos d hpòtess Itervals de coaça o cotrastos? Cotrastos d hpòtess. Cotrastos per a mtjaes. Cotrastos per a varàces. Regó d acceptacó regó crítca. Cotrastos ulaterals blaterals.. Eemple Es tee dades sobre 00.000 dvdus (serve mltar) o es coclou que l'alçada mtjaa era µ 70 la desvacó 0. Es vol decdr s ha augmetat l'alçada mtjaa de la poblacó, amb ua coaça del 95%. Dsposem d'ua mostra de 5 dvdus, amb ua mtjaa de 7.3
Cotrastos d hpòtess El platejamet del problema porta a cosderar dues hpòtess: H0 : µ 70 H : µ > 70 La prmera o ul la és la que preteem rebutjar. La segoa, o alteratva, és la que creem certa. No cotemplem la possbltat que: µ < 70 Es basarem e la dstrbucó de la mtjaa: N( µ, ) Cotrastos d hpòtess Acceptarem H : µ 70 sempre que 0 sgu meor que u cert valor: b Acceptarem H qua. : µ > 70 > b E el sego cas drem que rebutgem la hpòtes ul la. La regó d acceptacó A, b serà: P{ A} P{ b} ( α) 0.95 Destat de: N( µ, ) Cotrastos d hpòtess 0,5 0,0 0,5 0,0 0,05 ( α ) 0,00 60 65 70 b 75 80 A R La regó d acceptacó (de orma: A, b La regó de rebug (de serà de la orma: H 0 H 0 R A ( b, ) ) serà de la P{ A} P{ b} ( α) 0.95 ) o regó crítca Determacó del put crítc: Volem trobar b de maera que: P{ A} P{ b} ( α) 0.95 µ Estadardtzat: Z N(0,) µ b µ P ( α) 0.95 b? Determacó del put crítc: b µ Cal resoldre: z α.645 b + z µ α 0 70 +.645 73.3 5 (, b) (,73.3) A 7.3 A Acceptem H 0 : µ 70 No h ha prou evdèca per rebutjar Ho b
Cotrastos per a mtjaes µ Regos d acceptacó Es pode presetar les stuacos: H : µ µ 0 0 H : µ > µ 0 H : µ µ 0 0 H : µ µ 0 H : µ µ 0 0 H : µ < µ 0 H : µ µ 0 0 H : µ µ Les regos d acceptacó pode ser: (, b) ( ab, ) ( a, ) ( 0, b) A A A A Ua cua. Dues cues (blateral). Ua cua. Ua cua, dstrbucó postva. Cotrast sobre varàces E ua mostra de 30 dvdus hem calculat ua desvacó estàdard de,5. Volem decdr s els dvdus pertae a ua poblacó amb 0 o a u altra amb 5. H 0 : 0 Cosderem: ( α 0.05) H : 5 Regó d acceptacó? ( 0, ) { } A b b Cotrast sobre varàces Estadístc: Regó d acceptacó: ( ) Equacó per determar b: ( ) ( ) b Estadardtzem... P χ ( 0, ) { } A b b { b } P 0.95 Cotrast sobre varàces Estadardtzacó (suposat H : 0 0 ): ( ) ( ) b P ( α) 0.95 Busquem a les taules: P { χ ch α } 9 0.95, ch ( ) ( ) b ch α α χ Cotrast sobre varàces De les taules: ch 4.56, α b Regó d acceptacó: A ( 0, b) { b } { } P 46.8 0.95, ch 46.8 α ( ) b ch α P{.} 0.95.5 A Rebutgem H0 : 0 Tem u 95% de coaça que 5
Comparacó de dos grups Cotrastos poblacó-mostra. Comparacó de dues mtjaes: Mostres depedets, varàces coegudes. Mostres depedets, varàces guals. Dades aparellades. Comparacó de dues varàces. Comparacó mtjaes de pesos Observacos: Model: 3 4 5 6 7 8 9 0 Grup- 65 67 67 5 6 50 70 57 Grup-m 75 70 49 73 75 0 86 70 60 58 8 54 Gr N Gr. :,,..., N(, ).:,,..., ( µ, ) µ Cotrastos d hpòtess Dstrbucó de l estadístc El plategem el problema com a: H0 : µ µ H : µ > µ Prmer suposarem coegudes. ego, suposarem descoegudes. Tercer, es platejarem cotrastar: H0 : Calculem: [ ] [ ] [ ] E E E µ µ δ V[ ] V[ ] + V[ ] + Estadardtzat: ( ) δ Z N(0,) + Eemple- Observacos: 3 4 5 6 7 8 9 0 Grup- 65 67 67 5 6 50 70 57 Grup-m 75 70 49 73 75 0 86 70 60 58 8 54 Cotrasteu: ( α 0.05) Calculeu: H0 : µ µ suposat H : µ µ 7.8 6.3 δ 0 8 0 Comparacó mtjaes de pesos Prueba z para medas de dos muestras Varable Varable Meda 7.83 6.5 Varaza (coocda) 00 64 Observacoes 8 Dereca hpotétca de las medas 0 z.69 P(Z<z) ua cola 0.004 Valor crítco de z (ua cola).645 Valor crítco de z (dos colas) 0.009 Valor crítco de z (dos colas).960
Valor esperat de Del Teorema de Fsher: ( ) ( ) χ Aleshores: ( ) E E χ E Estmador o-esbaat Comparacó de varàces abem del Teorema de Fsher: ( ) Ch χ Aleshores:, ( ) Ch χ Ch /( ) F Ch /( ), Eemple: Comparacó de Varàces Comparacó de Varàces Observacos: 3 4 5 6 7 8 9 0 Grup- 65 67 67 5 6 50 70 57 Grup-m 75 70 49 73 75 0 86 70 60 58 8 54 Cotrasteu: ( α 0.05) Calculeu: H 0 : H : > 7.8 6.3 7.44 6.40 Prueba F para varazas de dos muestras Varable Varable Meda 7.83 6.5 Varaza 69.06 55.36 Observacoes 8 Grados de lbertad 7 F 4.86 P(F<) ua cola 0.0 Valor crítco para F (ua cola) 3.60 Dades aparellades Colesterol e sag abas després d u tractamet basat e deta esport. Pac. Abas (Y) Després (X) 0 00 3 36 3 6 4 60 33 5 8 4 6 37 6 7 36 96 8 35 95 9 40 07 0 67 47 84 0 0 09 D. -5 5 7 4 30 40 33 0 74-8 Augmeta : Dsmue : 0 d Y X W.Dael, 987 Dades aparellades Cosderem la dereca: d, d, d µ d d t µ d µ µ, ( d d) d
Cotrastem mtjaa zero Volem cotrastar e base a H0 : µ d 0 H : µ > 0 d µ t d Y X Ua poblacó. Cotrast sobre la mtjaa. Varaca descoeguda. d µ d t d Varàces coegudes uposat coegudes,. ( ) δ Z N(0,) + Varàces guals, descoegudes Epressó al del Test ( ) δ T t + + Comparacó de varàces Dstrbucó del quocet: F, o ( ) + ( ) ( + ) ( ) Estadístca Aàls de la varàca 008 Aàls de la varàca Model:... U procedmet per comparar mtjaes. Hpòtess del model: Varables ormals. Varàces guals. Idepedèca. Gr N.:,,..., ( µ, ) Gr N µ. :,,..., (, ) Gr I N µ. : I, I,..., I ( I, ) j j j H : µ µ... µ µ 0 H : Algua µ µ deret. ( 0, ) µ + e e N I
Cocetracos arterals d'epera Calculeu: j j.. ( N ) t T Es va mesurar e 5 amals de laborator, dvdts e tres grups sotmesos a tres tpus derets d'aestèsa, la cocetracó arteral d'epera e plasma sagu (utats e 0 aograms). Aestèsa- 9 0 8 5 Aestèsa- 0 3 7 30 Aestèsa-3 6 5 8 6 7 Es preguta s h ha derèces etre els tres grups al 99%. N I 3 5 5 uma Promedo Varaza Aestèsa- 9 0 8 5 54 0.8 7.7 Aestèsa- 0 3 7 30. 3.7 Aestèsa-3 6 5 8 6 7 4 8.4 9.3 Promedo 3.8 6.9 Volem cotrastar:.. µ H0: µ µ... µ I µ H : Algua µ µ deret. Càlculs Aova: e I t N ( ) ( j ) j Descomposcó de la varàca Gr.:,,...,, Gr. :,,...,,... Gr.I :,,...,,.. I I I I. I I j j j. 3.8 I E 6.9 j I, j I( ) j ( j ) ( ) + ( j ) j j j T A + E j j j ( ) ( ) t e A Tractamet (Etre) I E Error (Dtre) I T Total N j Costruïu la taula de aova ANÁLII DE VARIANZA t M / gl, F MA/ ME varacoes g.l. M F Fc Tractamet (A) A I - MA F F(I-,I(-)) Error E I (-) ME Total T.I - ( ) e A I ( j ) ( ) E I j ( j ) T N j e I I t N ( ) ( j ) j Calculeu drectamet 54.36 I e ( ) ( j ) e A Etre I E Dtre I j ( j ) T Total N j t 5 54.36 543.6 3 4 6.9 0.8 4 53.3 746.4
Taules de la F ( m, ) de Fsher Aova e Ecel m Aestèsa- Aestèsa- Aestèsa-3 9 0 6 5 0 3 8 8 7 6 5 30 7 Aàls de la varàca u actor Aálss de varaza de u actor M / gl F MA/ ME Iterpretacó aova 0.5 Aestèsa- Aestèsa- Aestèsa-3 9 0 6 5 0 3 8 8 7 6 5 30 7 REUMEN Grupos Cueta uma Promedo Varaza Aestèssa- 5 54 0.8 7.7 Aestèssa- 5. 3.7 Aestèssa-3 5 4 8.4 9.3 ANÁLII DE VARIANZA varacoes.cuadrados gl Promedo F p-valor V. crítco Etre grupos 543.6 7.8 6.08 0.0004 3.89 Detro de los 0.8 6.9 Total 746.4 4 T A + E M 6.08 > 3.89 F > V. C Rebutjem la gualtat de mtjaes 0-0.5 0 5 0 5 0 5 30 35, t j, e I N j I t e