ÍNDICE FUNDAMENTOS UNIDAD DIDÁCTICA 1. Capítulo 1. Presentación...15

ÍNDICE Presentacón...5 UNIDAD DIDÁCTICA Capítulo FUNDAMENTOS. Crcuto eléctrco... 2 2. Símbolos lterales... 2 3. Convenos para el sentdo de referenca de la corrente eléctrca... 23 4. Convenos para la polardad de referenca de la tensón eléctrca... 24 5. Leyes de Krchhoff... 25 5.. Prmera ley de Krchhoff... 25 5.2. Segunda ley de Krchhoff... 28 6. Problemas fundamentales en la teoría de crcutos... 29 7. Clases de crcutos... 30 Problemas... 3 Solucones de los problemas... 33

8 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (I) Capítulo 2 ELEMENTOS IDEALES DE LOS CIRCUITOS. Elementos deales de los crcutos... 39 2. Dpolos... 39 2.. Resstenca... 39 2.2. Fuentes ndependentes... 4 2.2.. Fuente deal de tensón... 4 2.2.2. Fuente deal de ntensdad... 43 2.3. Condensador... 47 2.4. Bobna... 53 3. Cuadrpolos... 58 3.. Bobnas acopladas magnétcamente... 58 3.2. Transformador deal... 64 3.3. Fuentes dependentes... 67 3.4. Amplfcador operaconal deal... 69 Problemas... 75 Solucones de los problemas... 8 Capítulo 3 POTENCIA Y ENERGÍA. Introduccón... 95 2. Dpolos... 96 2.. Resstenca... 97 2.2. Condensador... 98 2.3. Bobna... 00 2.4. Fuentes deales ndependentes... 0 3. Multpolos... 06 3.. Bobnas acopladas magnétcamente... 08 3.2. Transformador deal... 0 3.3. Fuentes dependentes... 0 3.4. Amplfcador operaconal deal... 2 Problemas... 5

ÍNDICE 9 Solucones de los problemas... 7 Capítulo 4 ANÁLISIS DE CIRCUITOS. CONCEPTOS BÁSICOS. Impedanca y admtanca operaconal... 27 2. Térmnos relatvos a la topología de los crcutos... 30 3. Método general de análss de crcutos... 34 4. Regla de susttucón. Equvalenca entre ramas... 45 Problemas... 53 Solucones de los problemas... 57 Capítulo 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS. Introduccón... 7 2. Método de análss por nudos... 7 3. Método de análss por mallas... 74 4. Método de análss por conjuntos de corte báscos... 79 5. Método de análss por lazos báscos... 82 6. Modfcacón de la geometría de los crcutos... 85 6. Crcuto con fuente deal de tensón entre dos nudos... 85 6.2 Crcuto con fuente deal de ntensdad entre dos nudos... 89 7. Crcuto con fuentes dependentes... 94 8. Crcuto con amplfcadores operaconales... 97 Problemas... 203 Solucones de los problemas... 207 Capítulo 6 MÉTODOS AVANZADOS DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS. Introduccón... 22

0 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (I) 2. Matrces de mpedancas y de admtancas de rama... 22 3. Matrz de ncdenca nudos-ramas... 224 4. Método de análss por nudos... 227 5. Matrz de conexón mallas-ramas... 230 6. Método de análss por mallas... 232 7. Matrz de conexón lazos báscos-ramas... 234 8. Método de análss por lazos báscos... 237 9. Método de análss de la tabla... 239 0. Método de análss nodal modfcado... 243 Problemas... 253 Solucones de los problemas... 257 UNIDAD DIDÁCTICA 2 Capítulo 7 ASOCIACIONES DE DIPOLOS. Asocacón de dpolos... 275 2. Asocacón sere... 275 3. Asocacón paralelo... 28 4. Confguracón tpo puente... 286 5. Confguracones estrella y polígono... 289 5.. Confguracones estrella y trángulo... 290 5.2. Elmnacón de nudos... 293 5.3. Conversón estrella-polígono. Teorema de Rosen... 295 5.4. Conversón polígono-estrella... 300 5.4.. Caso partcular: paso de trángulo a estrella... 302 Problemas... 307 Solucones de los problemas... 3

ÍNDICE Capítulo 8 TEOREMAS. Introduccón... 32 2. Teorema de superposcón... 32 3. Proporconaldad... 327 4. Teoremas de Thévenn y Norton... 329 4.. Teorema de Thévenn... 329 4.2. Teorema de Norton... 334 5. Teorema de Mllman... 340 6. Teorema de compensacón... 343 7. Teorema de recprocdad... 347 8. Teorema de Tellegen... 355 Problemas... 359 Solucones de los problemas... 363 Capítulo 9 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN RÉGIMEN ESTACIONARIO SINUSOIDAL. Formas de onda peródcas... 377 2. Interés del estudo de crcutos con formas de onda snusodales... 383 3. Régmen permanente y régmen transtoro... 384 4. Régmen estaconaro o permanente snusodal... 387 5. Método smbólco... 392 6. Impedancas y admtancas de entrada de los dpolos sn fuentes ndependentes... 398 7. Métodos de análss... 404 Problemas... 45 Solucones de los problemas... 42

2 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (I) Capítulo 0 POTENCIA EN CIRCUITOS EN RÉGIMEN ESTACIONARIO SINUSOIDAL. Potenca nstantánea... 439 2. Potenca compleja. Potenca reactva... 442 3. Teorema de Boucherot... 448 4. Factor de potenca... 45 5. Medda de potenca... 459 Problemas... 465 Solucones de los problemas... 473 Capítulo ASOCIACIONES DE DIPOLOS Y TEOREMAS EN RÉGIMEN ESTACIONARIO SINUSOIDAL. Introduccón... 49 2. Asocacón de dpolos... 49 2.. Asocacones sere y paralelo. Dvsores de tensón e ntensdad... 49 2.2. Confguracón tpo puente... 494 2.3. Confguracones estrella y polígono. Teorema de Rosen... 496 3. Teoremas... 503 3.. Teorema de superposcón... 503 3.2. Proporconaldad... 506 3.3. Teoremas de Thévenn y Norton... 507 3.4. Generalzacón del teorema de Thévenn a un multpolo... 52 3.5. Teorema de Mllman... 55 3.6. Teorema de compensacón... 58 3.7. Teorema de Tellegen... 520 3.8. Teorema de recprocdad... 520 3.9. Teorema de la máxma transferenca de potenca... 523 Problemas... 53 Solucones de los problemas... 537

ÍNDICE 3 UNIDAD DIDÁCTICA 3 Capítulo 2 CIRCUITOS TRIFÁSICOS. Introduccón... 55 2. Generacón de un sstema trfásco de tensones equlbradas... 55 3. Conexón de fuentes en estrella y en trángulo... 555 4. Análss de un sstema estrella-estrella... 560 4.. Análss de un sstema estrella-estrella, equlbrado... 562 5. Sstema equvalente estrella-estrella... 564 5.. Conversón de fuentes... 564 5.2. Conversón de cargas en sstemas a tres hlos... 567 5.3. Conversón de cargas en sstemas con hlo neutro... 569 6. Potenca en los sstemas trfáscos equlbrados... 576 6.. Potenca nstantánea... 579 Problemas... 587 Solucones de los problemas... 595 Capítulo 3 MEDIDA DE POTENCIA EN CIRCUITOS TRIFÁSICOS. Introduccón... 607 2. Medda de potenca actva... 60 2.. Crcuto trfásco con hlo neutro... 60 2.2. Crcuto trfásco a tres hlos (sn hlo neutro)... 60 2.2.. Fases accesbles... 60 2.2.2. Fases no accesbles... 6 2.2.2.. Caso equlbrado... 6 2.2.2.2. Caso desequlbrado... 62 2.3. Método de los dos vatímetros en sstemas equlbrados... 67 3. Medda de potenca reactva con vatímetros... 622 3. Crcuto equlbrado... 622 3.2 Crcuto desequlbrado, sn hlo neutro y equlbrado en tensones de línea... 623

4 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (I) 4. Determnacón del orden de secuenca... 625 Problemas... 629 Solucones de los problemas... 635 Capítulo 4 CIRCUITOS EN RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN. Crcutos en régmen transtoro... 65 2. Crcutos de prmer orden. Introduccón... 65 3. Crcutos de prmer orden. Caso general... 659 3.. Obtencón de la constante de tempo... 66 3.2. Obtencón de las condcones ncales, x(0 + )... 662 3.3. Obtencón de la solucón partcular, xp(t)... 664 4. Respuesta a entrada cero y respuesta a estado ncal cero... 674 5. Crcutos de prmer orden con más de un elemento almacenador de energía... 680 5.. Respuestas que contenen un mpulso de tensón o de ntensdad... 683 6. La funcón mpulso como creadora de condcones ncales en bobnas y condensadores... 698 Problemas... 703 Solucones de los problemas... 709

Capítulo 4 ANÁLISIS DE CIRCUITOS. CONCEPTOS BÁSICOS. Impedanca y admtanca operaconal 2. Térmnos relatvos a la topología de los crcutos 3. Método general de análss de crcutos 4. Regla de susttucón. Equvalenca entre ramas Problemas Solucones de los problemas

. IMPEDANCIA Y ADMITANCIA OPERACIONAL Las ecuacones de los tres elementos pasvos báscos: resstenca, bobna y condensador, lneales e nvarables con el tempo, se pueden escrbr de una manera más compacta s se representa el operador dervada respecto del tempo (d./dt) medante la letra D y el operador ntegral respecto del tempo (. d ) medante /D. Supuesto que las - referencas de tensón e ntensdad tenen sentdos concdentes, se obtenen, así, las expresones sguentes, despejada la tensón en funcón de la ntensdad: t Resstenca: u = R. [4.] Bobna: u = L.D [4.2] Condensador: u = C D [4.3] Análogamente, s se despeja la ntensdad en funcón de la tensón, resulta: Resstenca: = G.u [4.4] Bobna: = u L D [4.5] Condensador: = C.Du [4.6] Cuando se plantean las ecuacones de los crcutos lneales e nvarables con el tempo en funcón del operador D, se obtenen expresones a las que, en general, se pueden aplcar las reglas habtuales del cálculo algebraco, consderando el operador D como un parámetro. En general, para un dpolo consttudo por elementos lneales e nvarables con el tempo, que no contene fuentes ndependentes, se puede encontrar una funcón del operador D, Z(D), que aplcada sobre la ntensdad del dpolo da lugar a la tensón del

28 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (I) dpolo. Esta funcón se conoce como mpedanca operaconal de entrada del dpolo. En el caso representado en la fgura 4.a se puede escrbr u u = Z(D) [4.7] u ' a) Fgura 4. ' b) S no hay motvo de confusón se puede ndcar la mpedanca operaconal de entrada de un dpolo smplemente con la letra Z. Las ecuacones [4.] a [4.3] permten deducr las mpedancas operaconales de los elementos báscos, consderados como dpolos elementales: Tabla 4.. Impedancas operaconales de los elementos pasvos báscos ELEMENTO Resstenca Bobna Condensador IMPEDANCIA R LD /(CD) S las referencas de tensón e ntensdad del dpolo tenen sentdos opuestos, como en el caso representado en la fgura 4.b, la ecuacón [4.7] se converte en u = Z(D) [4.8] De esta forma se respeta la regla de los sgnos que se ha encontrado en los dpolos elementales, correspondentes a los elementos báscos de los crcutos. De manera correlatva, se defne como admtanca operaconal de entrada de un dpolo la funcón del operador D, Y(D), que aplcada sobre la tensón del dpolo da lugar a la ntensdad del dpolo. En el caso representado en la fgura 4.a se obtene: = Y(D)u [4.9] Las ecuacones [4.4] a [4.6] permten deducr las admtancas operaconales de los elementos báscos, consderados como dpolos elementales:

ANÁLISIS DE CIRCUITOS. CONCEPTOS BÁSICOS 29 Tabla 4.2. Admtancas operaconales de los elementos pasvos báscos ELEMENTO ADMITANCIA Resstenca G = /R Bobna Condensador /(LD) CD Para un msmo dpolo, la mpedanca operaconal, Z(D), y la admtanca operaconal, Y(D), son funcones nversas, es decr, Z(D) = /Y(D) [4.0] Y(D) = /Z(D) [4.] Es mportante resaltar que las funcones Z(D) e Y(D) son operadores que se aplcan a las ntensdades y tensones de un crcuto, respectvamente, por lo que no tene sentdo escrbr, por ejemplo, Z(D). Cuando se quere hablar de ambas funcones ndstntamente se utlza el térmno mmtanca operaconal. Un procedmento para determnar la mmtanca operaconal de entrada de un dpolo, consste en suponer aplcada una fuente deal de tensón genérca u entre los termnales del msmo y calcular la ntensdad que crcula a través de dcha fuente. S se obtene en la forma g(d)u, la funcón g(d) es la admtanca operaconal de entrada del dpolo. Asmsmo, s se puede escrbr la tensón de la fuente en la forma u = f(d), entonces f(d) es la mpedanca operaconal de entrada del dpolo. Se puede proceder de manera análoga conectando una fuente de ntensdad genérca entre los termnales del dpolo y calcular la tensón u que aparece entre ellos. S se obtene u en la forma f(d), la funcón f(d) es la mpedanca operaconal del dpolo. S se puede escrbr la ntensdad de la fuente en la forma = g(d)u, la funcón g(d) es la admtanca operaconal de entrada del dpolo. Ejemplo 4. Hallar la mpedanca de entrada del dpolo representado en la fgura 4.2. r 2 R 2 u R 2 ' Fgura 4.2

30 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (I) Por aplcacones sucesvas de la segunda ley de Krchhoff se puede escrbr u = r 2 + R 2 2 [4.2] R ( 2 ) = R 2 2 [4.3] S se elmna, a contnuacón, entre las ecuacones [4.2] y [4.3] la varable 2, resulta ( r R2 ) R u R R de donde, la mpedanca operaconal de entrada del dpolo es u ( r R2 ) R Z R R 2 2 2. TÉRMINOS RELATIVOS A LA TOPOLOGÍA DE LOS CIRCUITOS Con el fn de establecer un vocabularo sobre la estructura de los crcutos, necesaro para desarrollar con clardad las técncas de análss de los msmos, se va a dar a contnuacón un conjunto de térmnos báscos y sus defncones. Rama: Subconjunto de una red, consderado como un dpolo, consttudo por un elemento de crcuto o por una combnacón de elementos de crcuto. Habtualmente, en este dpolo, se puede establecer una relacón entre la ntensdad y la tensón del msmo, o ben se conoce una de estas varables. En la fgura 4.3 se presentan dos tpos de rama que, como se verá más adelante, pueden servr como modelo de cualquer dpolo lneal actvo, por lo que se denomnan ramas actvas normalzadas. En la fgura 4.3a la rama está formada por una fuente deal de tensón en sere con una mpedanca y consttuye un modelo de fuente real de tensón más general que el utlzado anterormente, en el que el elemento conectado en sere con la fuente ndependente era una resstenca. En la fgura 4.3b la rama, formada por una fuente deal de ntensdad en paralelo con una admtanca, consttuye un modelo general de fuente real de ntensdad. Para las referencas adoptadas, la ecuacón de la fuente real de tensón es y, para la fuente real de ntensdad, u = Z(D) + u s [4.4] = Y(D)u + s [4.5]

ANÁLISIS DE CIRCUITOS. CONCEPTOS BÁSICOS 3 u s Z(D) A u s Y(D) A u a) B Fgura 4.3 b) B Nudo: Cada uno de los termnales de una rama; por ejemplo, los termnales A y B de las ramas de la fgura 4.3. S dos o más ramas están conectadas entre sí, los termnales comunes se representan por un únco nudo. Gráfco retcular (grafo de una red): Representacón esquemátca de un crcuto en la que las ramas se representan por segmentos de líneas (rectos o curvos) y los nudos por puntos. Gráfco retcular orentado: Gráfco retcular en el que se ndcan medante flechas las referencas de tensón e ntensdad de las ramas. Habtualmente se toma un sentdo concdente para ambas referencas, por lo que sólo es necesaro dbujar una flecha en el trazo que representa a cada una de las ramas del crcuto. En la fgura 4.4 se representa el gráfco retcular orentado de un crcuto que tene 6 ramas y 4 nudos. A 3 2 B 4 C 5 6 D Fgura 4.4 Gráfco retcular conexo (Crcuto conexo): Gráfco retcular (Crcuto) en el que se puede r de un nudo a cualquer otro por un camno contnuo consttudo solamente por ramas del msmo. La presenca, por ejemplo, de bobnas acopladas magnétcamente, transformadores deales o fuentes dependentes, puede dar lugar a crcutos no conexos. Lazo: Conjunto de ramas que forman una línea cerrada que no atravesa más de una vez un msmo nudo.

32 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (I) De manera más precsa: Para un gráfco dado, un lazo es un subgráfco que cumple con las dos condcones sguentes:. El subgráfco es conexo. 2. En cada nudo del subgráfco ncden dos ramas del msmo. En el gráfco retcular orentado de la fgura 4.4, los conjuntos de ramas {,2,6}, y {2,3,5,6} son ejemplos de lazos. Conjunto de corte: Conjunto de ramas de un gráfco conexo que cumple las sguentes condcones:. La elmnacón del conjunto de ramas (pero no de sus nudos termnales) da lugar a un subgráfco no conexo. 2. Una vez elmnadas todas las ramas del conjunto, la reposcón de una cualquera de ellas da lugar, de nuevo, a un subgráfco conexo. 2 A 3 B 4 C 5 6 Fgura 4.5 La defncón dada para conjunto de corte mplca que, el subgráfco no conexo que resulta al elmnar las ramas del conjunto de corte está formado por dos gráfcos conexos (se ncluye en esta categoría el caso de un nudo aslado) sn nnguna unón entre sí y que cualquera de las ramas del conjunto de corte consttuye una unón entre esos dos gráfcos. Por tanto, es posble magnar una superfce cerrada que, al atravesar a las ramas del conjunto de corte, encerre a cualquera de esos dos gráfcos. Es decr, a las ramas de un conjunto de corte se les puede aplcar la prmera ley de Krchhoff generalzada. En el gráfco conexo de la fgura 4.5 los conjuntos de ramas {2,3,5,6} y {2,4,6} son ejemplos de conjuntos de corte. Árbol (de un gráfco conexo): Un subgráfco conexo que D. Contene a todos los nudos del gráfco.

ANÁLISIS DE CIRCUITOS. CONCEPTOS BÁSICOS 33 2. No tene lazos. Para obtener un árbol de un gráfco que tene n nudos, se parte de un nudo y se pasa a uno de los restantes que estén conectados con él, añadendo al árbol la rama que establece la conexón. A contnuacón, se repte la operacón alcanzando un nudo nuevo a partr de uno de los que ya forman parte del árbol, con lo que se añade, a su vez, una nueva rama y, así, sucesvamente. Al fnal, cuando el árbol contene todos los nudos, el número de sus ramas será (n ). Es más, se puede afrmar que s pueden elegrse (n ) ramas que no formen lazos, constturán un árbol 2 2 A 3 B 4 C A 3 B 4 C 5 6 5 6 D a) Fgura 4.6 b) D En un msmo gráfco es posble encontrar varos árboles. En la fgura 4.6 se representan dos árboles posbles para el gráfco retcular de la fgura 4.4, ndcando con un trazo más grueso las ramas que forman parte del árbol. Coárbol: Elegdo un árbol, conjunto de las ramas de un crcuto que no pertenecen al árbol. Eslabón: Rama de un coárbol. El número de eslabones, en un crcuto de r ramas y n nudos, será: r (n ). En la fgura 4.6a son eslabones las ramas {,2,6}y en la fgura 4.6b las ramas {,4,6}. Lazo básco: Una vez que se ha defndo un árbol en un crcuto, un lazo que contene un sólo eslabón. De acuerdo con la defncón, cada lazo básco va asocado a un eslabón y, por tanto, el número de lazos báscos de un crcuto concde con el número de eslabones: r (n ). En la fgura 4.6b son lazos báscos los sguentes: Asocado al eslabón, el lazo consttudo por las ramas {,3,5}; asocado al eslabón 4, el lazo formado por las ramas {2,3,4}; asocado al eslabón 6, el lazo formado por las ramas {2,3,5,6}. Conjunto de corte básco: Una vez que se ha defndo un árbol en un crcuto, un conjunto de corte que contene una sola rama del árbol.

34 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (I) Como ocurre con el lazo básco, ahora cada conjunto de corte básco va asocado a la rama del árbol que contene y, por tanto, el número de conjuntos de corte báscos de un crcuto concde con el número de ramas del árbol: n. En la fgura 4.6b son conjuntos de corte báscos los sguentes: Asocado a la rama 2 del árbol, el conjunto de corte formado por las ramas {2,4,6}; asocado a la rama 3 del árbol, el conjunto de corte formado por las ramas {,3,4,6}; asocado a la rama 5 del árbol, el conjunto de corte formado por las ramas {,5,6}. Crcuto plano: Crcuto que puede representarse en un plano sn que las ramas se crucen nada más que en los nudos. Malla: En un crcuto plano, lazo que no contene nngún otro en su nteror. Se demuestra que el número de mallas de un crcuto plano es gual al de lazos báscos: r (n ). En el crcuto de la fgura 4.4 son mallas los lazos formados por las ramas {2,3,4}, {,3,5}, {4,5,6}. 3. MÉTODO GENERAL DE ANÁLISIS DE CIRCUITOS Dado el gráfco del crcuto, las ecuacones característcas de sus ramas y las exctacones, analzar un crcuto consste en determnar las tensones e ntensdades de las ramas del msmo. Esto sgnfca que, en un crcuto de r ramas, hay que determnar 2r varables. Se dspone de tres grupos de ecuacones:. Ecuacones de las ramas. 2. Ecuacones obtendas por aplcacón de la ª ley de Krchhoff, que se conocen como ecuacones nodales. 3. Ecuacones obtendas por aplcacón de la 2ª ley de Krchhoff, que se conocen como ecuacones crculares. Se trata de obtener un sstema de 2r ecuacones, tantas como ncógntas, con la condcón de que sean lnealmente ndependentes, para que el sstema sea compatble y determnado, lo que oblga a una seleccón adecuada de las msmas. En prmer lugar, las ecuacones de un grupo son ndependentes de las ecuacones de los otros dos. Por ejemplo, no hay posbldad de obtener una ecuacón nodal, que es un sumatoro de ntensdades, a partr de ecuacones crculares, que son sumatoros de tensones, n a partr de las ecuacones de rama, que son ecuacones entre tensones e ntensdades en las que aparecen los parámetros de los componentes del crcuto.

ANÁLISIS DE CIRCUITOS. CONCEPTOS BÁSICOS 35 Asmsmo, las ecuacones de rama son ndependentes entre sí, ya que cada ecuacón va asocada a una rama, con las varables y los parámetros de esta rama, y no puede obtenerse como combnacón lneal de otras ecuacones en las que ntervenen otras varables y otros parámetros. Se dspone, por tanto, de r ecuacones de rama lnealmente ndependentes. Las ecuacones nodales pueden obtenerse aplcando la ª ley de Krchhoff a nudos o a conjuntos de corte del crcuto. Se demuestra que s, en un crcuto de n nudos, se aplca la ª ley de Krchhoff a (n ) nudos cualesquera de ellos, las ecuacones nodales que resultan son lnealmente ndependentes. Se tene, así, un procedmento para obtener un grupo de ecuacones nodales lnealmente ndependentes que se conoce como método de los nudos. Ejemplo 4.2 Escrbr las ecuacones nodales para un crcuto cuyo gráfco retcular se representa en la fgura 4.7, selecconadas por el método de los nudos A 2 B 3 4 C 5 D 6 7 8 E Fgura 4.7 El crcuto tene 5 nudos. S se prescnde de uno de ellos, por ejemplo el D, las ecuacones nodales correspondentes a los otros cuatro nudos, consderando las ntensdades como salentes de los msmos, son Nudo A: + 2 + 3 = 0 Nudo B: + 4 + 6 = 0 Nudo C: 3 4 + 5 + 7 = 0 Nudo E: 6 7 8 = 0 Asmsmo, s se aplca la ª ley de Krchhoff a los conjuntos de corte báscos de un crcuto (correspondentes a un msmo árbol), se obtenen (n ) ecuacones nodales que son lnealmente ndependentes. Este procedmento de seleccón se conoce como método de los conjuntos de corte báscos.

36 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (I) Ejemplo 4.3 Escrbr las ecuacones nodales para un crcuto cuyo gráfco retcular se representa en la fgura 4.7, selecconadas por el método de los conjuntos de corte báscos. Se tomará el árbol formado por las ramas,4,7 y 8. 2 A 3 4 5 B C D 6 7 8 Fgura 4.8 En la fgura 4.8 se han destacado más gruesas las líneas correspondentes a las ramas del árbol. Asmsmo, se han dbujado las líneas dvsoras que permten dentfcar las ramas pertenecentes a cada uno de los conjuntos de corte báscos. El crcuto tene 4 conjuntos de corte báscos. Al escrbr la ecuacón nodal de cada conjunto de corte básco se van a consderar las ntensdades de sus ramas atravesando la línea dvsora correspondente en el msmo sentdo en que lo hace la referenca de la rama del árbol que defne al conjunto de corte. Este sentdo se conoce como sentdo de corte y se ha ndcado con una flecha mas gruesa que atravesa la línea dvsora del conjunto de corte básco correspondente. Las ecuacones que se obtenen son las sguentes: Conjunto de corte A: 2 3 = 0 Conjunto de corte B: 4 + 2 + 3 + 6 = 0 Conjunto de corte C: 7 + 2 + 5 + 6 = 0 Conjunto de corte D: 8 2 5 = 0 Cada conjunto de corte básco contene una sola rama del árbol y, por tanto, la ntensdad de esta rama aparece solamente en la ecuacón del conjunto de corte básco correspondente, con lo que esta ecuacón no puede obtenerse medante combnacón lneal de las restantes. Las ecuacones crculares pueden obtenerse aplcando la 2ª ley de Krchhoff a lazos o a mallas del crcuto (esto últmo sólo en crcutos planos). Se demuestra que s se aplca la 2ª ley de Krchhoff a las r (n ) mallas de un crcuto plano, las ecuacones crculares que resultan son lnealmente ndependentes. Este puede ser un procedmento para obtener un grupo de ecuacones crculares lnealmente ndependentes, que recbe el nombre de método de las mallas.

ANÁLISIS DE CIRCUITOS. CONCEPTOS BÁSICOS 37 Ejemplo 4.4 Escrbr las ecuacones crculares, para un crcuto cuyo gráfco retcular se representa en la fgura 4.7, selecconadas por el método de las mallas. 2 a 3 b 4 5 6 c 7 d 8 Fgura 4.9 Se trata de un crcuto plano que tene 4 mallas. En la fgura 4.9 se ha dbujado, de nuevo, el gráfco retcular en el que se ha marcado un sentdo de crculacón para cada una de las mallas. S se aplca la 2ª ley de Krchhoff a cada una de las mallas, sguendo el sentdo de crculacón, se obtenen las ecuacones sguentes: Malla a: u + u 3 u 4 = 0 Malla b: u 2 u 5 u 3 = 0 Malla c: u 4 + u 7 u 6 = 0 Malla d: u 5 + u 8 u 7 = 0 Como alternatva, s se aplca la 2ª ley de Krchhoff a los lazos báscos de un crcuto (correspondentes a un msmo árbol), se obtenen r-(n-) ecuacones crculares que son lnealmente ndependentes. Este procedmento recbe el nombre de método de los lazos báscos. Ejemplo 4.5 Escrbr las ecuacones crculares, para un crcuto cuyo gráfco retcular se representa en la fgura 4.7, selecconadas por el método de los lazos báscos. Se tomará como árbol el formado por las ramas, 4, 7 y 8. El crcuto tene como eslabones las ramas 2, 3, 5 y 6, que defnen los lazos báscos correspondentes a, b, c y d mostrados en la fgura 4.0. Las ecuacones crculares de los 4 lazos báscos son las sguentes: Lazo a: u 2 + u 8 u 7 u 4 + u = 0 Lazo b: u 3 u 4 + u = 0

38 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (I) Lazo c: u 5 + u 8 u 7 = 0 Lazo d: u 6 u 7 u 4 = 0 2 b 3 a 5 4 6 d 7 c 8 Fgura 4.0 Se ha puesto en prmer lugar, en la ecuacón de cada lazo básco, la tensón del eslabón que defne al lazo básco. Para cada lazo básco, se ha consderado el sentdo de referenca del eslabón concdente con el sentdo de crculacón del lazo básco correspondente. Cada lazo básco contene un solo eslabón y, por tanto, la tensón de esta rama aparece solamente en la ecuacón del lazo básco correspondente, con lo que esta ecuacón no puede obtenerse medante combnacón lneal de las restantes. Como resumen, puede verse que se dspone del sguente número de ecuacones lnealmente ndependentes: r ecuacones de rama n ecuacones nodales (nudos o conjuntos de corte báscos) r n + ecuacones crculares (mallas o lazos báscos) que hacen un total de 2r ecuacones lnealmente ndependentes que permten determnar las 2r varables de rama. Ejemplo 4.6 Escrbr las ecuacones correspondentes al método general de análss aplcado al crcuto de la fgura 4.a. Obtener las ecuacones crculares por el método de las mallas y las nodales por el método de los nudos. En la fgura 4.b se representa el gráfco retcular orentado correspondente al crcuto en estudo, en el que se han ndcado las mallas del msmo.

ANÁLISIS DE CIRCUITOS. CONCEPTOS BÁSICOS 39 R 2 2 A R 3 R B 4 C A 3 b B 4 C R R 5 R 6 s6 a c 5 6 u s D b) D a) Fgura 4. Ecuacones de rama: Rama : u = R + u s Rama 2: u 2 = R 2 2 Rama 3: u 3 = R 3 3 Rama 4: u 4 = R 4 4 Rama 5: u 5 = R 5 5 Rama 6: u 6 = R 6 ( 6 s6 ) Ecuacones crculares: Malla a: u u 5 u 3 = 0 Malla b: u 2 + u 3 + u 4 = 0 Malla c: u 4 + u 5 u 6 = 0 Ecuacones nodales: Nudo A: + 2 + 3 = 0 Nudo B: 3 + 4 + 5 = 0 Nudo C: 2 4 + 6 = 0 Ejemplo 4.7 Escrbr las ecuacones correspondentes al método general de análss aplcado al crcuto de la fgura 4.a. Obtener las ecuacones crculares por el método de lazos báscos y las nodales por el método de los conjuntos de corte báscos, tomando como gráfco retcular orentado y como árbol los ndcados en la fgura 4.2. En la fgura 4.2a se han ndcado los lazos báscos correspondentes al árbol selecconado. Asmsmo, en la fgura 4.2b se han representado las líneas dvsoras que defnen los conjuntos de corte báscos correspondentes a dcho árbol.

40 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (I) Las ecuacones de rama son las ya escrtas en el ejemplo 4.6, puesto que se trata del msmo crcuto y se ha tomado el msmo gráfco retcular orentado. 2 2 b 3 4 3 4 a 5 B c 6 5 6 A C a) b) Fgura 4.2 Ecuacones crculares: Lazo básco a: u u 5 u 3 = 0 Lazo básco b: u 4 u 2 + u 3 = 0 Lazo básco c: u 6 u 5 u 3 + u 2 = 0 Ecuacones nodales: Conj. de corte básco A: 2 + 4 6 = 0 Conj. de corte básco B: 3 + 4 + 6 = 0 Conj. de corte básco C: 5 + + 6 = 0 El método de análss descrto tene como ventaja su generaldad, ya que puede aplcarse a cualquer crcuto, sendo su nconvenente el gran tamaño de los sstemas de ecuacones que resultan, ncluso en crcutos pequeños. Hasta aquí se ha consderado que cada rama aporta dos varables (de rama) y una ecuacón que relacona ambas. Queda un grado de lbertad por cada rama que se compensa con las r ecuacones nodales y crculares, obtenéndose al fnal un sstema de 2r ecuacones con 2r ncógntas, como ya se ha dcho. En ocasones la ecuacón de rama defne una de las varables de rama, como en el caso de las fuentes deales. De nuevo queda un grado de lbertad que es la varable no defnda por la ecuacón de rama. En el caso de cuadrpolos se tenen dos parejas de termnales, cada una asocada a una de las puertas del cuadrpolo. En el gráfco retcular cada puerta se representa como una rama, es decr, se tene un conjunto de dos ramas con un total de dos grados de lbertad, tantos como ramas. Así, para las bobnas acopladas y el transformador deal se tenen dos

ANÁLISIS DE CIRCUITOS. CONCEPTOS BÁSICOS 4 relacones entre tensones e ntensdades, para las fuentes dependentes se tene una sola relacón, pero se conoce una varable de la rama sobre la que se establece la dependenca (crcuto aberto o cortocrcuto) y para el amplfcador operaconal deal se conocen los dos valores de las varables de la rama de entrada pero se desconocen las dos varables de la rama de salda. Ejemplo 4.8 Aplcar el método de análss general al crcuto de la fgura 4.3a (ya estudado en el ejemplo 3.6) selecconando las ecuacones nodales por el método de los nudos y las crculares por el método de las mallas. R u = 0 k A R 3 = 20 k I 3 B I U s = 5 V U2 0 I 2 I 2' + a) I 4 U 5 Fgura 4.3 R = 0 k I 5 a A 3 b 2 4 0 b) c B 5 En la fgura 4.3a se ha ndcado la conexón a masa de uno de los termnales de la puerta de salda del amplfcador operaconal que, habtualmente, no se representa. En la fgura 4.3b se muestra el dagrama retcular orentado del crcuto, en el que se han señalado las mallas del msmo. Las ecuacones que resultan al aplcar el método general de análss son las sguentes: Ecuacones de rama: Rama : U = 0.0 3.I + 5 Rama 2: U 2 = 0 I 2 = 0 Rama 3: U 3 = 20.0 3.I 3 Rama 4: No hay ecuacón de rama. Las dos varables de rama quedan ndetermnadas Rama 5: U 5 = 0.0 3.I 5 Ecuacones nodales (selecconadas por el método de los nudos): Nudo A: I + I 2 + I 3 = 0 Nudo B: I 3 + I 4 + I 5 = 0 Ecuacones crculares (selecconadas por el método de las mallas): Malla a: U + U 2 = 0

42 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (I) Malla b: U 2 + U 3 + U 4 = 0 Malla c: U 4 + U 5 = 0 Se tene, así, un sstema de 0 ecuacones con 0 ncógntas (2r ecuacones). S se susttuyen las ecuacones de rama en las ecuacones nodales o crculares, según la varable que ha quedado despejada, resulta el sstema de ecuacones sguente Nudo A: I + I 3 = 0 Nudo B: I 3 + I 4 + I 5 = 0 Malla a: 0.0 3.I 5 = 0 Malla b: 20.0 3.I 3 + U 4 = 0 Malla c: U 4 + 0.0 3.I 5 = 0 Una vez resuelto este sstema de 5 ecuacones se obtene I = 0,5 ma; I 3 = 0,5 ma; I 4 =,5 ma; U 4 = 0 V; I 5 = ma. Este resultado concde con el obtendo, de forma más drecta pero menos sstemátca, en el ejemplo 3.6. Susttudas las ecuacones de rama en las ecuacones crculares y/o nodales el sstema queda reducdo a uno de r ecuacones con r ncógntas. Ejemplo 4.9 En el crcuto de la fgura 4. escrbr las ecuacones crculares en funcón de las ntensdades de rama. En este caso se pueden expresar las tensones en las resstencas en funcón de las ntensdades, medante las ecuacones de rama correspondentes, con lo que resulta Malla a: R + u s R 5 5 R 3 3 = 0 Malla b: R 2 2 + R 3 3 + R 4 4 = 0 Malla c: R 4 4 + R 5 5 R 6 ( 6 s6 ) = 0 S se añaden a éstas las ecuacones nodales del crcuto se tene un sstema de 6 ecuacones, lnealmente ndependentes, con 6 ncógntas (gual al número de ramas). Cuando se analza un crcuto de tpo resstvo, se obtene un sstema de ecuacones algebraco. S el crcuto tene, además, bobnas y/o condensadores, las ecuacones de estas ramas ntroducen el operador D, con lo que se obtene al fnal un sstema de ecuacones algebraco-ntegrodferencales.

ANÁLISIS DE CIRCUITOS. CONCEPTOS BÁSICOS 43 Ejemplo 4.0 En el crcuto de la fgura 4.4a se pde: a) Escrbr las ecuacones que resultan al analzar el crcuto, susttuyendo en las ecuacones crculares las tensones de rama en funcón de las ntensdades de rama, s ello es posble. Se tomará el gráfco retcular mostrado en la fgura 4.4b. b) Hallar las varables de rama s las fuentes de tensón u s y u s2 valen permanentemente 0 V y 5 V, respectvamente. Suponer que todas las varables de rama son constantes. A 2 B C A 3 B 4 C u s 2 H 0,5 F u s2 a 5 b 2 0 a) 0 b) Fgura 4.4 a) Las ecuacones que se obtenen son las sguentes: Ecuacones crculares (selecconadas por el método de las mallas): Malla a: u s + 2 3 + 2D 5 = 0 [4.6] Malla b: u s2 2D 5 4 0, 5D Ecuacones nodales (selecconadas por el método de los nudos): Nudo A: + 3 = 0 Nudo B: 3 + 4 + 5 = 0 [4.7] Nudo C: 2 4 = 0 S se despeja 3 de la ecuacón [4.7] y se susttuye en la ecuacón [4.6], resulta que con la ecuacón de la malla b u s = 2 4 + 2(D + ) 5 [4.8] Du s2 = 2 4 + 2D 2 5 [4.9] consttuye un sstema de ecuacones dferencales. Para resolver este sstema deben de conocerse las condcones ncales, que pueden determnarse, como se verá más adelante,

44 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (I) a partr de los valores de la ntensdad por la bobna y la tensón en el condensador en el nstante ncal. b) Aunque las fuentes de exctacón sean constantes, la solucón de las ecuacones dferencales anterores conduce a unas tensones e ntensdades por las ramas que dependen del tempo. S al cabo de un certo tempo todas las varables de rama se establzan en valores constantes, se dce que es un crcuto de corrente contnua en el que se ha establecdo el régmen permanente. En esa stuacón, en las ecuacones dferencales el operador D queda aplcado a constantes, con lo que el resultado es cero (dervada respecto del tempo de una constante) y las ecuacones [4.8] y [4.9] se converten en las sguentes 0 = 2I 4 + 2I 5 [4.20] 0 = 2I 4 [4.2] En las ecuacones [4.20] y [4.2] se han utlzado letras mayúsculas para las ntensdades con el fn de destacar su valor constante de régmen permanente. Se obtene, por tanto, y, de aquí, resulta I 4 = 0 A; I 5 = 5 A I = 5 A I 2 = 0 A I 3 = 5 A Se puede llegar a este msmo resultado s se tene en cuenta lo sguente: a) S la ntensdad por la bobna es constante, la tensón entre sus termnales es nula, es decr, en corrente contnua, cuando se alcanza el régmen permanente, una bobna se comporta como un cortocrcuto. b) S la tensón en un condensador es constante, la ntensdad por el msmo es nula, es decr, en corrente contnua, cuando se alcanza el régmen permanente, un condensador se comporta como un crcuto aberto. El crcuto de la fgura 4.4a se converte, para un régmen permanente de contnua, en el mostrado en la fgura 4.5. En este crcuto, por smple nspeccón, se obtenen los valores anterores.

ANÁLISIS DE CIRCUITOS. CONCEPTOS BÁSICOS 45 A 2 I 3 B C I I 5 I 4 U s = 0 V U s2 = 5 V I 2 Fnalmente, las tensones de rama resultan Fgura 4.5 U = U s = 0 V U 2 = U s2 = 5 V U 3 = 2I 3 = 0 V U 4 = U 5 U s2 = 5 V U 5 = 0 V 4. REGLA DE SUSTITUCIÓN. EQUIVALENCIA ENTRE RAMAS La regla de susttucón establece que dos ramas pueden sustturse entre sí, sn que el resto del crcuto se vea afectado, cuando ambas tenen la msma ecuacón de rama. Se dce, entonces, que ambas ramas son equvalentes entre sí. Esta equvalenca se refere al resto del crcuto ya que, al aportar ambas ramas la msma ecuacón, el sstema de ecuacones que se escrbe para analzar el crcuto es el msmo, así como su resultado. Se pueden dar varos ejemplos de aplcacón de la regla de susttucón. Así, al estudar los elementos deales de los crcutos se ha ndcado que un cortocrcuto, resstenca nula, es equvalente a una fuente de tensón nula y que un crcuto aberto, conductanca nula, es equvalente a una fuente de ntensdad nula. u u u s = Z(D) u s = Y(D)u ' ' ' Fgura 4.6 Tambén, un dpolo que se puede defnr medante su mpedanca operaconal o su admtanca operaconal, puede representarse por una fuente de ntensdad o una fuente de tensón dependentes, sempre que la ecuacón de rama sea la msma, tal como se muestra en la fgura 4.6

46 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (I) Otro caso nteresante es la susttucón de un condensador, que tene una tensón U 0 en un nstante t = 0, por otro que tene una tensón nula en ese nstante y al que se añade en sere una fuente de tensón de valor U 0, como se muestra en la fgura 4.7. En ambos casos se cumple la ecuacón t t ( 0 0 0 u t) = u(0) + C ( )d U0 + ( )d U u' ( t) [4.22] C u ' C u(0) = U 0 u ' u' U 0 C u'(0) = 0 Fgura 4.7 La ecuacón [4.22] pone de manfesto la mportanca de conocer la tensón en el condensador en un nstante determnado para analzar su comportamento a partr de ese nstante. Por eso, en la rama del condensador, además del valor de la capacdad, C, se ncluye la nformacón de que u(0) = U 0 y en la rama equvalente se ndca que u'(0) = 0. De la msma forma, una bobna, por la que crcula una determnada ntensdad I 0 en t = 0, puede sustturse por una bobna con ntensdad nula en ese nstante y a la que se añade en paralelo una fuente de ntensdad de valor I 0, como se muestra en la fgura 4.8. En ambas ramas se cumple la ecuacón sguente t t ( 0 0 0 t) = (0) + L u( )d I0 + u( )d I ' ( t) [4.23] L ' u ' L (0) = I 0 u ' I 0 L '(0) = 0 Fgura 4.8 La ecuacón [4.23] pone de manfesto la mportanca de conocer la ntensdad en la bobna en un nstante determnado para analzar su comportamento a partr de ese nstante. Por eso, en la rama de la bobna, además del valor de la nductanca, L, se ncluye la nformacón de que (0) = I 0 y en la rama equvalente se ndca que '(0) = 0.

ANÁLISIS DE CIRCUITOS. CONCEPTOS BÁSICOS 47 Es nteresante observar que s en un crcuto lneal no hay fuentes ndependentes de exctacón y los elementos almacenadores de energía están ncalmente descargados, todas las varables de rama son nulas ya que el sstema de ecuacones algebraco-dferencales resultante es homogéneo y con condcones ncales nulas (la tensón ncal en un condensador descargado es cero y la ntensdad ncal en una bobna descargada es cero) Ejemplo 4. Escrbr las ecuacones que resultan al analzar el crcuto de la fgura 4.9a, con el gráfco retcular orentado de la fgura 4.9b. R A R 2 B R 3 C A 2 B 3 C 5 R 5 5 R 6 a b 4 c 5 6 D D a) b) Fgura 4.9 Las ecuacones que se obtenen, después de susttur en las ecuacones crculares las tensones de rama en funcón de las ntensdades de rama, allí donde es posble, son las sguentes Ecuacones crculares (método de las mallas): Malla a: R + u 4 = 0 Malla b: u 4 + R 2 2 + R 5 5 = 0 Malla c: R 5 5 + R 3 3 + R 6 6 = 0 Ecuacones nodales (método de los nudos): Nudo A: 5 + 2 = 0 Nudo B: 2 + 5 + 3 = 0 Nudo C: 3 + 6 = 0 Se tene un sstema homogéneo de 6 ecuacones algebracas, al ser un crcuto resstvo, lnealmente ndependentes, con 6 ncógntas {, 2, 3, u 4, 5, 6 }. Como solucón de este sstema se obtenen valores nulos para todas las ncógntas. Otro caso nteresante de equvalenca entre ramas se deduce al aplcar la regla de susttucón a las ramas actvas normalzadas de la fgura 4.3. De la ecuacón [4.5] se obtene u = (/Y(D)) + (/Y(D)) s [4.24]

48 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (I) Comparando las ecuacones [4.4] y [4.24] se deducen las sguentes condcones para que ambas ramas sean equvalentes: Z(D) = /Y(D) [4.25] u s = Z(D) s [4.26] La ecuacón [4.25] ndca que los dpolos que resultan de elmnar la fuente deal de ambas ramas son, asmsmo, equvalentes, pudendo ser el msmo. Como se probará más adelante, la relacón entre la tensón y la ntensdad de cualquer dpolo consttudo por elementos lneales es de la forma [4.4] o [4.5], por lo que cualquer dpolo lneal puede sustturse por una de las ramas normalzadas de la fgura 4.3. En algún caso, uno de los elementos de la rama normalzada equvalente puede resultar nulo e ncluso los dos, como en los casos extremos de cortocrcuto y crcuto aberto. (Véase el problema P4.) Es mportante observar que la ecuacón [4.26], que relacona los valores de las fuentes deales de tensón e ntensdad, corresponde a unas referencas de polardad determnadas de estas fuentes: el termnal que tene el sgno (+) en la fuente de tensón es haca el que apunta la flecha en la fuente de ntensdad. Un cambo de una de estas referencas oblga a ntroducr un sgno ( ) en la ecuacón [4.26]. Ejemplo 4.2 Comprobar la equvalenca de las fuentes representadas en la fgura 4.20. La ecuacón de la rama de la fgura 4.20a se obtene medante la 2ª ley de Krchhoff u = 6 2 La ecuacón de la rama de la fgura 4.20b se obtene medante la ª ley de Krchhoff = 3 u/2 2 A A 6 V u 3 A 2 u B B a) b) Fgura 4.20 Como puede verse, las ecuacones de las ramas representadas en las fguras 4.20a y b son guales, luego las dos ramas son equvalentes entre sí.

ANÁLISIS DE CIRCUITOS. CONCEPTOS BÁSICOS 49 Es mportante nsstr en que la equvalenca de las ramas es válda para el resto del crcuto. Por ejemplo, s las dos ramas de la fgura 4.20 se conectan a un crcuto aberto, las varables de rama resultan en ambas u = 6 V, = 0 A, lo que ratfca que ambas son equvalentes. S embargo, s se analza lo que sucede en el nteror de ambas ramas, se constata que por la resstenca de 2 de la fuente real de tensón no pasa corrente, mentras que crculan 3 A en la resstenca del msmo valor de la fuente real de ntensdad. Es decr, la equvalenca no se refere a los elementos consttuyentes de las ramas equvalentes. Esta conversón de fuentes reales se puede extender a aquellos casos en que las fuentes son dependentes. Así, por ejemplo, la fuente real de tensón de la fgura 4.2a se puede susttur por su equvalente de la fgura 4.2b, ya que las relacones entre u e son guales en ambas. Z(D) m m r m u m u m r Z(D) m Z(D) u m u m ' m' ' m' a) Fgura 4.2 b) Hay que tener cudado cuando la varable de dependenca está en la propa fuente real. Por ejemplo, en el dpolo de la fgura 4.22a la varable de dependenca u m se perde al pasar a la fuente real de ntensdad dependente equvalente. Z(D) Z(D) u m u m u.z(d) u. Z(D) u a) ' ' b) Fgura 4.22 c) ' En este caso cabe la solucón de poner la varable de dependenca, u m, en funcón de una de las varables del dpolo, o u, que al ser varables externas se mantenen al pasar de una confguracón a otra. Así, en el dpolo de la fgura 4.22a se puede escrbr es decr, u m = Z(D).u m =.Z(D) [4.27]

50 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (I) y el dpolo de la fgura 4.22a se puede representar por el de la fgura 4.22b. Ahora ya se puede pasar a la fuente real de ntensdad equvalente de la fgura 4.22c, sguendo las reglas establecdas anterormente. Tambén puede comprobarse que el dpolo de la fgura 4.22a es equvalente a una mpedanca de valor ( ).Z(D). Ejemplo 4.3 Determnar la ntensdad I en el crcuto de la fgura 4.23a:. Medante la escrtura de las ecuacones nodales y crculares en funcón de las ntensdades de rama. 2. Modfcando el crcuto a base de convertr las fuentes de tensón en fuentes de ntensdad. A R = U B R 3 = 3 I C A B 3 C U s = 0 V R 2 = 2 2U I s = 2 A 4 a 2 b 5 0 a) 0 b) Fgura 4.23. La fuente de tensón dependente conectada entre los nudos C y 0 mpone una tensón al crcuto que es ndependente del valor de la fuente de ntensdad I s, conectada en paralelo con la msma. Por tanto, a efectos de analzar lo que sucede en el resto del crcuto, se puede dejar úncamente la fuente de tensón dependente como equvalente de las dos fuentes en paralelo y prescndr de la fuente de ntensdad. Esto conducrá a un resultado dferente en la ntensdad que pasa por la fuente de tensón dependente, pero las tensones e ntensdades por el resto del crcuto no cambarán. S se prescnde de la fuente de ntensdad, se tene el gráfco retcular orentado de la fgura 4.23b, en el que la rama 5 es la fuente de tensón dependente. Las ecuacones que se obtenen son las sguentes: Ecuacones crculares (método de las mallas): Malla a: 0 + I + 2I 2 = 0 Malla b: 2I 2 + 3I 2U = 0 con U =.I

ANÁLISIS DE CIRCUITOS. CONCEPTOS BÁSICOS 5 Ecuacones nodales (método de los nudos): Nudo A: I + I 4 = 0 Nudo B: I + I 2 + I = 0 Nudo C: I + I 5 = 0 Con las ecuacones crculares y la ecuacón del nudo B se tene un sstema de tres ecuacones con tres ncógntas del que, una vez resuelto, se obtene I = 50/7 A I 2 = 0/7 A I = 40/7 A U = 50/7 V. Las ecuacones de los nudos A y C proporconan las ntensdades por las fuentes de tensón. 2. Una vez elmnada la fuente de ntensdad, el crcuto tene dos fuentes reales de tensón: La consttuda por la fuente deal ndependente U s y la resstenca R y la consttuda por la fuente deal dependente y la resstenca R 3. La conversón de éstas a fuentes reales de ntensdad conduce al crcuto de la fgura 4.24, donde las resstencas se expresan medante sus correspondentes conductancas. B 0 A G U + 0 2U /3 G 2 G 3 0 Fgura 4.24 Al convertr la prmera de ellas a fuente real de ntensdad, la tensón en la resstenca R de esta nueva fuente ya no es U. Se mantene, no obstante, la msma tensón entre los termnales de las fuentes reales equvalentes: U + 0. Se tene, así, un crcuto con dos nudos, en el que basta escrbr la ecuacón nodal del nudo B, en funcón de las tensones de rama (todas ellas guales entre sí), para obtener una ecuacón con una ncógnta: (G + G 2 + G 3 ).( U + 0) = 0 2U /3 El resultado es el ya conocdo, U = 50/7 V, de donde U B = 0 U = 20/7 V

52 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (I) Como la ntensdad I no está explícta en el crcuto de la fgura 4.24, para su cálculo es precso volver al crcuto de la fgura 4.23a, a partr del cual se tene I = (U B + 2U )/3 = 40/7 A que concde con el obtendo prevamente. En ocasones, la aplcacón de la regla de susttucón a fuentes dependentes permte encontrar una rama equvalente consttuda por una o más mpedancas, lo que faclta el análss a mano del crcuto. En las fguras 4.25a y 4.25b se muestran dos ejemplos. m m m m u m r m < > u m r m' m m a) m' m m u m gu m < > u m -(/g) = -g S m' b) m' Fgura 4.25 Como ya se ha ndcado, otro ejemplo es el de la fgura 4.22a.

54 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (I) P4.4 Aplcar el método general para analzar el crcuto de la fgura P4.4 y determnar la ntensdad que crcula a través de la fuente de tensón dependente de la tensón U. 2U U 2 6 A 4 V 2 Fgura P4.4 P4.5 Calcular las tensones e ntensdades en cada elemento del crcuto de la fgura P4.5, medante el método general de análss de crcutos. 4 2 3 6 A 4 V Fgura P4.5 P4.6 Hallar las ntensdades que crculan por las resstencas en los crcutos representados en las fguras P4.6a (los termnales están a crcuto aberto) y P4.6b (los termnales están en cortocrcuto). 2 V 2 4 V 2 2 A 3 3 4 A a) b) Fgura P4.6

ANÁLISIS DE CIRCUITOS. CONCEPTOS BÁSICOS 55 P4.7 Escrbr las ecuacones que resultan al analzar el crcuto de la fgura P4.7, selecconando las ecuacones nodales por el método de los nudos y las crculares por el método de las mallas. 2 + G 7 G A B C D 8 E I s0 G 5 G 6 3 + G 9 4 0 Fgura P4.7 P4.8 Escrbr las ecuacones que resultan al aplcar el método general de análss al crcuto de la fgura P4.8, selecconando las ecuacones nodales por el método de los nudos y las crculares por el método de las mallas. A C R + E R 2 R u 2 s D R 3 B + F R 3 G H + R 4 R 4 I u s2 0 Fgura P4.8 NOTA.- Este crcuto se conoce como amplfcador de nstrumentacón. Las señales de entrada, representadas por las fuentes deales de tensón, se aplcan a unas puertas de

56 CIRCUITOS ELÉCTRICOS (I) mpedanca de entrada nfnta (la ntensdad por estas fuentes es cero). La tensón a la salda del crcuto, u I0, vene dada por la expresón u I0 2R R 2 R R 4 ( us2 us) 3 P4.9 Escrbr las ecuacones correspondentes al análss del crcuto de la fgura P4.9a. Efectuar una prmera reduccón del sstema de ecuacones elmnando las tensones de rama. Se tomará como gráfco retcular orentado el de la fgura P4.9b, donde cada elemento del crcuto se ha tomado como una rama. Elegr como árbol el conjunto de las ramas, 2 y 3 y selecconar las ecuacones nodales por el método de los conjuntos de corte báscos y las crculares por el método de los lazos báscos. R L 2 2 u s L M u s2 3 4 5 a) Fgura P4.9 b) P4.0 Repetr el problema P4.9 efectuando una prmera reduccón del sstema de ecuacones elmnando las ntensdades de rama (sempre que sea posble). Selecconar las ecuacones nodales por el método de los nudos y las crculares por el método de las mallas. P4. En la fgura P4. se representa un crcuto de corrente contnua en régmen permanente (todas las ntensdades y tensones son constantes). Aplcar la regla de susttucón a las bobnas y condensadores del crcuto y hallar las tensones e ntensdades en estos elementos. R = 2 C = F R 3 = U s = 6 V R 2 = 3 L = 3 H Fgura P4.