:: OBJETIVOS [4.1] o Aprender usr ls hojs de ppel logrítmico semilogrítmico o Determinr l relción mtemátic de un nube de dtos grfic, cu tendenci es Nolinel. o Presentr los dtos experimentles como grfics x-. o Aplicr pr csos de experimentos reles. o Usr decudmente el coeficiente de correlción o Tomr concienci de l vribilidd en l medid experimentl. MARCO TEÓRICO [4.] Grficr dtos experimentles En l sesión nterior se trbjo con un serie de dtos cuo comportmiento ó tendenci er clrmente linel. Pero muchos fenómenos físicos son descritos por expresiones mtemátics simples, como uno de los siguientes tipos: 1. Función Linel: = x + b. Función Polinómic: 3. Función Exponencil: = bx = b x 4. Función Polr: r = f ( θ ; ejemplo : = sen( bx; = b tn( x; etc. Ls funciones tipo tipo 3 podrín ser estudids de l mism form que se relizó pr l función linel, es decir, definir l función minimizr l vribilidd (el error S luego derivr con respecto ls constntes que se desen obtener. Pero este procedimiento puede hcerse más complejo en l medid que ument el orden del polinomio hbrí que hcerlo pr cd orden.
Medids-Lbortorio de Físic I Un método más simple efectivo fue desrrolldo, cuo objetivo primordil es l de linelizr l tendenci de los dtos experimentles usndo ls propieddes de los logritmos. Esto se justific si se tiene en cuent el siguiente procedimiento: Linelizción de l Función Polinómic = bx : Pr linelizr, se sc el logritmo en mbs prtes de l ecución, se tiene: log = log( bx log = log b + log x log = log x + log b (Equivlente grficr en Ppel logrítmico Y = AX + B Donde se puede redefinir como Y = log X = log x A = B = log b Lo cul es clrmente l ecución de un rect Y = AX + B sus nuevos vlores están llí indicdos. Por lo tnto, l tener un conjunto tbuldo de dtos que cumplen con est función Polinómic, estos pueden ser grficdos linelmente si sobre el eje horizontl se posicion los vlores de log x, sobre el eje Verticl se posicion los vlores log. Linelizción de l Función Exponencil x = b : Aplicndo logritmos en mbs prtes de l ecución, se tiene: log = log( b log = log b + log log = log + log b Redefiniendo términos, se tiene (Equivlente grficr en Ppel Semilogrítmico. Y = AX + B Y = log X = x A = mlog B = log b De form similr l función nterior, quí se obtuvo un rect Y = AX + B. Por lo tnto si sobre el eje horizontl se posicion los vlores de x sobre el eje verticl se posicion los vlores log de un ppel milimetrdo se obtendrá un líne rect ó un nube de dtos de tendenci linel. Teng presente que tod función exponencil generlmente se trbj solo dos bses, es decir, funciones en bse deciml (10, ó funciones en bse neperin (e=.71881, por lo tnto, l constnte de l función = b tom dos vlores Ls principles relciones entre ls diverss bses son: log x = 0.4343 Lnx; Lnx =.306 log x e x 0.4343x.306x x = 10 ; e = 10 log e Ln10 = 1 = 10, log = 1 =.71881, log = 0.4343 Ventjs de linelizr un curv:
Medids-Lbortorio de Físic I 3 Cundo un curv se logr linelizr es posible plicr los criterios prendidos en l sesión nterior, lo que permite plicr l regresión linel un nube de dtos nlizr los errores de l mism form que fue considerdo pr l rect. Es de tener en cuent que En un ámbito experimentl es poco probble que los dtos predos tbuldos formen perfectmente un líne rect l plicr los conceptos de linelizción de l curv, pero con cierto nivel de certez es posible discernir el comportmiento linel de tl nube de dtos sí plicr l mismo criterio hlldo: = b = n xi i ( xi ( i n xi ( xi ( i xi ( xi i ( xi n xi ( xi Con un error estimdo de Err. Std = ( i ic 1 n Y pr l verificción de su comportmiento se us el coeficiente de correlción σ x r = 1 σ 1 Resumen de ls Norms pr Grficr los resultdos experimentles: Al relizr un gráfic, que puede ser efectud mnulmente o hciendo uso del softwre disponible en el mercdo, ls siguientes regls deben tenerse en cuent: Pr l gráfic mnul use ppel milimetrdo. Cd eje debe estr indicdo, explícitmente, l mgnitud que represent, con su símbolo unidd de medid. Use ls escls de tl modo que l gráfic ocupe l mor prte del espcio disponible. Use l diferenci entre el vlor máximo mínimo (Rngo de mgnitud pr brcr, en lo posible, todo el eje. Se debe usr divisiones de esclr enters /o en potencis de 10, pr fcilitr l ubicción de los puntos grficr. Evite fctores de escl que dificulten l lectur direct de l mism, como por ejemplo, usr un centímetro del ppel pr representr números impres de l mgnitud medid (escoger un cudro pr representr 3 uniddes ó 1 cudro pr representr 7 uniddes de mgnitud, etc.. Solo ubique sobre cd eje el número de mrcs de escl necesrio pr que se clro l división, estos deben estr espcidos regulrmente. Solo coloque lgunos de los rótulos de división de escl cuidndo de evitr sobrecrgr l gráfic. No es necesrio que el origen se el punto (0,0. No obstnte, puede ser necesrio conservr el origen si se quiere determinr gráficmente el intercepto con lguno de los ejes. Reslte los puntos experimentles buscndo que sen clrmente visibles, por ejemplo, encerrándolos con un pequeño círculo, triángulo, cudrdo, etc.
Medids-Lbortorio de Físic I Cundo se grfic vris curvs (series de dtos sobre l mism hoj, use distintos símbolos pr distinguir los puntos correspondientes cd serie. Cuide cumulr demsid informción en el mismo gráfico que lo podrí hcer ilegible. Use un cruz ó un cudro proporcionl l mgnitud de l incertidumbre de medición cd ldo del punto, menos que est no se significtiv en relción con el tmño de l escl correspondiente. Nunc use el áre de dtos de l gráfic pr presentr elementos diferentes los puntos gráficos como por ejemplo cálculos ritméticos, etc. Use línes de referenci cundo h un vlor importnte que interese señlr todo lo lrgo o todo lo ncho de l gráfic, sin interferir con los dtos. L gráfic debe llevr un titulo que dé significdo los dtos, un leend que explique en detlle lo que l gráfic represent, buscndo que quien l observe no necesite leer el texto del informe pr entender el contenido. EQUIPOS Y MATERIALES [4.3] 4 Regl grdud en milímetros. Ppel Milimetrdo, ppel semilogrítmico ppel logrítmico. Lápiz, borrdor PROCEDIMIENTO [4.4] 4.4.1 Representción grfic de los resultdos experimentles: 1. Grfique en un curto de hoj milimetrd los dtos tbuldos en l Tbl 1, trce ls coordends determine l escl de cd un de cuerdo l mgnitud de los dtos. Coloque titulo, nombre de ls ordends un los puntos. Tbl 1 Vlor x 4 6 8 10 1 Vlor 7.5 19.0 47.0 119.0 300.0 753.5 Y=Log. Clcule los dtos correspondiente l fil 3 (log. 3. Grfique en el otro curto de l hoj milimetrd los dtos correspondientes los vlores de x pr l ordend horizontl log pr l ordend Verticl. 4. Ahor tome el ppel semilogrítmico grfique llí los dtos usdos en el numerl 1 (x,
Medids-Lbortorio de Físic I 5. Observe que l curv obtenid en el segundo tercer grfico es el mismo, es decir, el ppel semilogrítmico convierte los dtos de en el logritmo de tles dtos, lo que giliz mucho el proceso de cálculo, 6. Como l curv obtenid debe ser un rect de l form Y = AX + B determine l pendiente A el punto de corte B. Teng en cuent que cundo se tienen los puntos de un rect Y Y1 A = X X 1 B es el intercepto sobre l verticl que puede ser determindo usndo un punto (x, conocido B = Y1 AX1. (Este proceso pr clculr A B, solo es vlido si se obtiene un rect perfect. 7. Luego de obtener A B es posible obtener l verdder relción entre los dtos experimentles, porque es clro que son de l form relcionn con l rect según los vlores deducidos: Y = AX + B Y = log X = x A = mlog B = log b = b, donde sus términos se, es decir, determine, b, m l ecución resultnte 5 8. Pr l Tbl, grfique los dtos tbuldos en un curto de hoj milimetrd, cuidndo ls recomendciones dds pr tod gráfic experimentl, determine si tiene un comportmiento linel. Tbl Vlor x 1 3 4 5 6 7 8 9 10 Vlor 0.3 1..7 4.8 7.5 10.8 14.7 19. 4.3 30 9. Si el comportmiento de est gráfic no es linel, grfíquel en un hoj semilogrítmic pr verificr si se logr linelizr. 10. Si l grfic resultnte no es linel, grfique sus puntos en un hoj logrítmic pr verificr su linelidd. 11. Después de linelizr l nube de dtos, determine ls constntes (A, B de l rect Y = AX + B como se uso en el punto 6, teniendo en cuent que los vlores sobre el eje horizontl eje verticl cmbiron deben ser usdos los que formn l rect, es decir, Y=Log X dependiendo de l linelizción: X= x pr el ppel semilogrítmico ó X=Log x pr ppel logrítmico.
Medids-Lbortorio de Físic I 6 1. Determine l ecución de l rect teniendo en cuent el tipo de función esperdo, se tipo ó tipo 3. El tipo de l función se deduce de ls relciones clculds pr l linelizción de l función, en el mrco teórico de est guí. ANÁLISIS DE DATOS [4.5] Teng en cuent que en l relidd experimentl, no se obtiene un comportmiento continuo, por tnto h múltiples posibles soluciones l mismo conjunto de dtos, es por ello que es necesrio plicr l regresión linel (método de mínimos cudrdos indicdo en el mrco teórico de est guí. Ejemplo: En el lbortorio se trt de demostrr l Le de Stefn-Boltzmnn. Fue medid l rdición térmic pr cd distnci obtenid de l fuente el elemento de medición. Los resultdos son mostrdos en l tbl 3. Tbl 3 Dist (cm Rd. Térmic (mv Dist (cm Rd. Térmic (mv Dist (cm Rd. Térmic (mv.50 ± 115.3 0 ± 10.00 15.60 ± 45.00 0.90 ± 3.00 ± 87.60 ± 1.00 11.40 ± 50.00 0.80 ± 3.50 ± 60.80 ± 14.00 8.00± 60.00 0.50 ± 4.00 ± 58.50 ± 16.00 6.30± 70.00 0.40 ± 4.50 ± 51.40 ± 18.00 5.10± 80.00 0.30 ± 5.00 ± 48.40 ± 0.00 4.0± 90.00 0.0 ± 6.00 ± 35.80 ± 5.00 3.00± 100.0 0 ± ± 7.00 ± 9.60 ± 30.00.0± 8.00 ± 4.00 ± 35.00 1.60± 9.00 ± 19.50 ± 40.00 1.0± PROCEDIMIENTO [4.7] 4.7.1 Representción grfic de los resultdos experimentles plicndo Regresión linel:
Medids-Lbortorio de Físic I 7 13. Tbule los dtos de l Tbl 3 pr grficr los puntos sobre el ppel milimetrdo. (No olvidr signr l eje horizontl los dtos de mor incertidumbre, use el formto de l tbl de l práctic nterior pr fcilitr su trbjo 14. En l hoj milimetrd, trce ls coordends Verticl determine l escl de cd un de cuerdo l mgnitud de los dtos. 15. Ubique los puntos en los ejes coordendos un los puntos. 16. Si el comportmiento de est gráfic no es linel, grfíquel en un hoj semilogrítmic pr verificr que sí presente un comportmiento linel. 17. Si l grfic resultnte no es linel, grfique sus puntos en un hoj logrítmic pr verificr su linelidd. 18. Determine ls constntes de l rect como se uso en el punto 6, teniendo en cuent el tipo de hoj que linelizó l serie de dtos 19. Como obtiene un nube de dtos (No un rect plique l regresión linel pr ( ( n xi i xi i = n xi ( xi determinr b, i xi xi i xi b = n x x ( ( ( i ( i donde estos vlores x, corresponden l ordend logrítmic, no los dtos experimentles, es decir; Y=Log (de los dtos verticles X dependiendo de l linelizción: X= (Dtos horizontles pr el ppel semilogrítmico ó X=Log (dtos horizontles pr ppel logrítmico. 0. Clcule el coeficiente de correlción. 1. Determine el error estimdo pr l gráfic hlld (Use l formul dd. x. Determine l ecución rel ( = bx ó = b que relcion ls constntes de l rect con los dtos experimentles. L constnci logr mets imposibles