Cundo ls orgniziones de vuelos espiles desen poner en órit un stélite deen lnzrlos on un veloidd proimd de 8 km/s. Pero undo quieren que slg de l órit terrestre deen lnzrlo on un veloidd 8 km/s l tretori result ser un hipérol. Fig. (). Pero no h que ir tn lejos pr ompror que ls hipérols preen en muhs situiones reles, por ejemplo l interseión del plno de un pred el ono de luz que emn de un lámpr de mes on pntll tronoóni, es un hipérol tl omo se puede preir en l imgen. Fig. ()..3.. L Práol.3.. Definiión Se llm práol l lugr geométrio de puntos P que equidistn de un punto fijo F de un ret fij d del plno..3.b. Construión de l práol Pr diujr un práol neesitmos un esudr un hilo que teng l mism longitud que uno de sus tetos. Fijmos un punto F un ret d. Un etremo del hilo, de longitud HG, se fij en el vértie G de l regl orrespondiente l ángulo no reto del teto, u longitud dee oinidir on l del hilo, el otro etremo en F. l otro teto de l esudr se po en l ret fij d. Con un lápiz tensmos el hilo mnteniéndolo pegdo l teto l mismo tiempo deslizmos l esudr lo lrgo de l ret fij, de est form se diuj l práol. Dee oservrse que: PH = PF..3.C. lementos de l práol C. Foo s el punto fijo «F» que sirve de primer refereni pr medir ls distnis de un punto «P» de l práol. C. Diretriz s l ret fij «d» que sirve de segund refereni pr medir ls distnis de un punto «P» de l práol. Und. Geometrí nlíti 639
C3. je Se llm eje de l práol l ret FD que ps por el foo es perpendiulr l diretriz. C4. Vértie Se llm vértie l punto medio V del segmento FD que está definido por l interseión del eje on l práol. C. Cuerd Se llm uerd l segmento que une dos puntos ulesquier de l práol. C6. Cuerd fol Se llm uerd fol tod uerd PP que pse por el foo. C7. Ldo reto Se llm ldo reto l uerd fol LL que es perpendiulr l eje. C8. Rdios foles Se llmn rdios foles de P P los segmentos FP FP respetivmente..3.. uión de l Práol.3.. Form reduid L euión de l práol tom su form más reduid o simple undo el vértie está en el origen el eje oinide on uno de los ejes oordendos.. Vértie en el origen eje en el eje Si el vértie está en el origen el eje oinide on el eje, l euión de l práol es: l foo está en F(0; p) l euión de l diretriz es D : = -p. Si p > 0, l práol se re hi rri (Fig. ), si p < 0, hi jo (Fig. d). l término p se llm prámetro de l práol. n ulquier so l distni de l diretriz l vértie l distni del vértie l foo son igules p. simismo l longitud del ldo reto se otiene hiendo en () = p, o, = p en (), oteniéndose en ulquier so: LL = 4p. Oservión.- lgunos utores definen p > 0 onsidern los siguientes sos: = 4p ; = -4p ; = 4p ; = -4p jemplo.- Ls siguientes son práols uos ejes están en el eje de siss: = 4p... () l foo está entones en F(p; 0) en tl so l euión de l diretriz es d: = -p. Si p > 0, l práol se re hi l dereh (Fig. ); si p < 0, l práol se re hi l izquierd (Fig. ). jemplo.- Ls siguientes son práols uos ejes están en el eje de ordends:. Vértie en el origen eje en el eje Si el vértie está en el origen el eje oinide on el eje, l euión de l práol es: = 4p... () 640 Trigonometrí Und. Geometrí nlíti 64
.3.B. Form trsldd Cundo el vértie de l práol se ui en V(h; k) su eje es prlelo uno de los ejes oordendos, pueden presentrse los siguientes sos. ) je prlelo l eje : ( - k) = 4p( - h), Foo: F(h; k + p), Diretriz: = h - p ) je prlelo l eje : ( - h) = 4p( - k), Foo: F(h; k + p), Diretriz: = k - p L distni de l diretriz l vértie, l distni de los vérties l foo l longitud del ldo reto son ls misms que ls dds en el ítem nterior..3.3. L Hipérol.3.3. Definiión Se llm hipérol l lugr geométrio de puntos P de un plno tles que l difereni de sus distnis dos puntos fijos F F del mismo plno es onstnte..3.3b. Construión de l hipérol Pr diujr un rm de hipérol neesitmos un regl de longitud L > FF un hilo que teng un longitud l tl que L l =, siendo l ntidd onstnte. Fijmos un etremo de l regl en el punto F. Un etremo del hilo se fij en D, etremo lire de l regl, el otro en F. Teniendo tenso el hilo lo lrgo de l regl hiendo girr ést lrededor de F, el punto P desriirá un ro de hipérol. Dee oservrse que pr ulquier posiión de P se verifi que: F P + PD = L, FP + PD = l, tl que: F P FP =. Osérvese que el onjunto de puntos onst de dos rms distints, ms infinits. L euión de l práol suele drse medinte l epresión: + B + C + D + = 0, donde, B no son nulos l vez. jemplo.- Tremos el gráfio otengmos ls oordends del vértie el foo, ls euiones del eje de l diretriz, l longitud del ldo reto de l práol: 6 + 8 + 4 = 0 mpeemos epresndo l euión en l form: ( 3) = -8( + 4) Osérvese que 4p = -8 por lo que l práol se re hi l izquierd. Identifimos el vértie en V(-4; 3), el eje por V es prlelo l eje. Pr situr el foo, nos desplzmos, por el eje desde el vértie hi l izquierd, un distni p =, esto es, hst el punto F(-6; 3). Pr situr l diretriz, nos desplzmos, por el eje desde el vértie hi l dereh, un distni p =, esto es, hst D(-; 3). L diretriz ps por D tiene por euión: + = 0. simismo el ldo reto LL mide: 4p = 8. Por último, medinte los puntos L, L V se puede osquejr l práol tl omo se muestr en l figur djunt..3.3c. lementos de l hipérol C. Foos Son los puntos fijos F F que sirven de primers referenis pr medir ls distnis de un punto P de l hipérol. C. Centro s el punto medio C del segmento FF que une los foos. C3. Vérties Son los puntos V V en los que el segmento FF, que une los foos, ort l hipérol. Ls distnis entre los vérties los foos están relionds por: C4. je trnsverso FP F P = VV l segmento VV determindo sore l ret FF se llm eje trnsverso o rel. C. je onjugdo s el segmento perpendiulr l eje trnsverso que lo interset en el punto medio del segmento VV. Pr designr l eje onjugdo st indir un segmento de longitud BB on l ondiión de que su punto medio C oinid on el punto medio del segmento VV. 64 Trigonometrí Und. Geometrí nlíti 643
C6. Cuerd s todo segmento uos dos etremos están sore l hipérol, mos en un mism rm o en distints rms. C7. Cuerd fol s quell uerd uos dos etremos perteneen un mism rm que ps por el foo de l mism rm de l hipérol. C8. Ldo reto Se llm ldo reto de l hipérol l uerd fol LL que es perpendiulr l eje trnsverso. C9. Diretries Son quells rets d d uids entre ls rms de l hipérol respeto de ls ules l rzón de ls distnis de todo punto P ells los foos F F es onstnte. FP F'P PD PD' = onstnte l punto fijo es un foo F o F l ret fij d o d es un diretriz. C0. entriidd Se llm sí l rzón e > de ls distnis medids desde un punto los foos ls diretries. L eentriidd es tmién l rzón que eiste entre ls distnis del entro C l foo F del entro l vértie V de l mism rm. e FP F'P CF PD PD' CV.3.4. uión de l Hipérol.3.4. Form reduid L euión de l hipérol tom su form más reduid o simple undo su entro es el origen su eje trnsverso está sore un eje oordendo.. Centro en el origen eje trnsverso en el eje Si el entro está en el origen el eje trnsverso sore el eje, l euión de l hipérol es:... () prtir de ls ríes udrds de los respetivos denomindores:, se determinn: d) Los foos están sore el eje trnsverso en F (-; 0) F(; 0) e) n el OBV se verifi que:. Centro en el origen eje trnsverso en el eje Si el entro está en el origen el eje trnsverso sore el eje, l euión de l hipérol es:... () Luego de identifir ls ríes udrds de los denomindores se tiene que: ) Los vérties están en V(0; ) V (0; -). ) L longitud del eje trnsverso es V V =. ) Los etremos del eje onjugdo son B (-; 0) B(; 0) su longitud es B B =. d) Los foos están sore el eje trnsverso en F(0; ) F (0; -). e) Y en el OBV se verifi que: Oserviones: ) n mos sos, l longitud del ldo reto es: LL' ) L eentriidd está dd por: e 3) Ls diretries son perpendiulres l eje trnsverso respeto del entro, están uids ls distnis: d e jemplo.- Ls siguientes son hipérols en l que se indin sus dos ejes: ) Los vérties en V(; 0) V (-; 0) ) l eje trnsverso es V V =. ) Los etremos del eje onjugdo son B (0; -) B(0; ) su longitud es B B =. 644 Trigonometrí Und. Geometrí nlíti 64
.3.4B. Form trsldd Cundo el entro está en C(h; k) el eje trnsverso es prlelo respetivmente l eje o l eje, l euión de l hipérol tiene un de ls siguientes forms: ) je prlelo l eje : k h k h ) je prlelo l eje : Los ejes trnsverso onjugdo, l distni entre foos, l distni del entro un diretriz, l longitud del ldo reto l eentriidd se determinn omo en el so nterior..3.. síntots de l Hipérol Se llmn sí ls rets que tienen l propiedd de que l distni de un punto de l hipérol un de ells tiende ero undo el punto se lej indefinidmente del entro. L euión de ls síntots son: ) Pr hipérols del tipo (): ) Pr hipérols del tipo (): Fig () Fig () jemplo.- Determinemos el entro, vérties foos; ejes trnsverso onjugdo; ldo reto, l eentriidd ls euiones de ls diretries síntots de l hipérol 3 grfirl. l entro está en C(-3; ). Como está en el término positivo del primer miemro de l euión, se logr estleer que: = 4 = ; luego: = =. 4 l eje trnsverso es prlelo l eje porque l vrile está en el término positivo. Pr situr los vérties se tomn sore el eje trnsverso dos puntos distntes = del entro «C», que son V(-; ) V (-; ). Pr situr los etremos del eje onjugdo se tom en l perpendiulr l eje trnsverso un distni = del entro los puntos B (-3; -4) B(-3; 6). Los ejes trnsverso onjugdo tienen longitudes = 4 = 0, respetivmente. L distni del entro un foo es: 4 9 Pr situr los foos, se tomn sore el eje trnsverso prtir del entro dos puntos distni 9, que son F(-3 + 9 ; ) F (-3-9 ; ). L uerd perpendiulr l eje mor por un foo es / =. Ls oordends de sus etremos son (-3 + 9 ; 7/) (-3 + 9 ; -3/) pr l que ps por F, que F es su punto medio; (-3-9 ; 7/) (-3-9 ; -3/) pr l que ps por el foo F. L eentriidd está dd por: e / 9 / L distni del entro un diretriz es / = 4/ 9 = 4 9 /9. Como ls diretries son perpendiulres l eje trnsverso, sus euiones son d: = -3 + 4 9 /9 d : = -3-4 9 /9. Si ls hipérols tienen su entro en un punto tl omo C(h; k), l pendiente de ls síntots no min, es deir son omo quí l hemos presentdo. jemplo.- Determinr ls síntots de l hipérol del ejemplo nterior. De l euión de l hipérol: 3 4 0 Se puede deduir que = =. prtir de ello se puede plir l fórmul de ls síntots: Pendientes: ±/ = ±/ Luego ls euiones son: = ±/( + 3) s deir: - + 7 = 0 + + 3 = 0 646 Trigonometrí Und. Geometrí nlíti 647
.3.6. Hipérols quiláters Ls hipérols de euiones - = - = uos ejes trnsversos onjugdos tienen igul longitud se llmn hipérols equiláters. Como sus síntots ± = 0 son perpendiulres entre sí, l hipérol equiláter se suele llmr tmién retngulr. 0.- Completr el siguiente udro, notndo en el eje oordendo en donde se ui el eje de l práol, en «F» notr ls oordends de su foo, en «d» esriir l euión de su diretriz en LL notr l longitud de su ldo reto. 03.- Dds ls euiones de utro práols: : 6 + 8 + = 0 B : 6 + + 49 = 0 Práol F d LL' C : 6 3 = 0 D : + 0 + 4 60 = 0 Se pide determinr esriir ls oordends del vértie (V) el foo (F), ls euiones del eje (). Práol V F 0.- Dds ls siguientes gráfis de práols, se pide indir ls oordends del foo (F), l longitud del ldo reto (LL ) l euión de l diretriz (d): l so () es el de l hipérol simétri que se le h heho rotr 4º respeto de sus posiiones nteriores. n su euión, el término «k» es un onstnte.. jemplo.- Ls siguientes son hipérols simétris:. 04.- Del ejeriio nterior se pide vinulr el ldo reto LL de l práol on l euión de su orrespondiente diretriz: Oservión.- Dos hipérols tles que el eje trnsverso de l un es el onjugdo de l otr, omo ls, se llmn hipérols onjugds, se die que d un es 6 9 9 6 onjugd de l otr. Dos hipérols onjugds tienen, pues, el mismo entro ls misms síntots. Sus foos están sore un írulo uo entro es el entro omún de ms hipérols.. d.. 8 i. + = 0. 0 ii. + = 0. 6 iii. = 0 d. 6 iv. 4 = 0 0.- Dds ls siguientes euiones de hipérols:. 9 4 B. 4 C. 9 D. 9 6 44 648 Trigonometrí Und. Geometrí nlíti 649
Se pide ompletr el siguiente reudro notndo en el eje oordendo en donde se ui el eje trnsverso, en V V sus vérties, en F F sus foos: V V' F F' 08.- Dds ls hipérols:. 9 36 0 4 = 0. 9 4 + 4 + 6 79 = 0 PRÁBOL práol se re hi l izquierd, omo se muestr en l siguiente gráfi:. 4 + 6 + 6 = 0 d. 44 76 + 00 + 3776 = 0 sriir en los reudros ls oordends de sus entros (C), vérties (V V ) foos (F F ). C V V' F F' Pro. 0 Determin l euión de l práol uo vértie está en el origen de oordends. demás se se que ell está situd en el semiplno dereho, es simétri on respeto l eje O su prámetro es p = 3. 06.- Del ejeriio nterior vinulr el ldo reto de l hipérol on su orrespondiente eentriidd uid en l olumn de l dereh:. i. 3 3 8. 8/3 ii. /4. 9/ iii. d. 4/ iv. 34 9 07.- Del ejeriio nterior, determinr ls euiones de ls diretries d d, sí omo l de sus síntots T T. Hipérol d d' T T' 09.- Del ejeriio nterior se pide vinulr d eje trnsverso (VV ) on su orrespondiente ldo reto (LL ) de l olumn de l dereh:. 4 i. /. 6 ii. /6. 4, iii. 0 d. 4 iv. 8/3 0.- notr l eentriidd de d un de ls hipérols del ejeriio nterior:. e = De l informión que nos dn en el enunido, deduimos que l euión de l práol P tiene l form: = 4p Y omo: p = 3 P: = hor, l gráfi de l práol será omo se muestr en l figur: Pro. 0 Pro. 03 Clul l euión de l práol uo vértie está en el origen de oordends, siendo que l práol es simétri on respeto l eje O, ps por el punto (9; 6) De l informión deduimos que l euión de l práol tiene l form: = 4p Si el punto (9; 6) pertenee l práol P, entones dee stisfer l euión. Luego, reemplzmos ls oordends lulmos el prámetro p, sí: 4p 6 4p 9 p Finlmente, l euión de l práol es: P: = 4. e =. e = d. e = Determin el vlor del prámetro l posiión de práol = -4 on respeto los ejes oordendos. L euión = -4 orresponde un práol de vértie en el origen de oordends uo eje está en el eje, uo prámetro se otiene de: 4p = -4, es deir: p = -. l signo del prámetro (-), nos indi que l Pro. 04 Un le de ero está olgdo por los dos etremos. Los puntos de suspensión están situdos un mism ltur un distni de 0 m. L mgnitud de fleión l distni de m de los puntos de suspensión en sentido horizontl, es igul 4,4 m. Determin l mgnitud de suspensión de este le en su punto medio (l fleh), suponiendo que el le tiene l form de un ro de práol. 60 Trigonometrí Und. Geometrí nlíti 6
simismo el vlor del prámetro «p» es: Uniformizmos ls medids epresndo todos los dtos en entímetros. lorndo un figur pr visulizr ls ondiiones del prolem indindo on V el punto medio, se tiene: 4p = 4 p = Por lo tnto se trt de un práol on eje fol prlelo l eje que se re hi l dereh. Con est informión grfimos l práol uimos l posiión de su diretriz por onsiguiente su euión. l le de ero tiene por euión: = 4p Los puntos (000; h) B(800; h - 4,4) perteneen l práol, por lo tnto, deen stisfer l euión: 000 4ph 800 4ph 4, 4 Dividiendo ls dos euiones simplifindo, otenemos: h 6 h 4, 4 h 40m Finlmente, l mgnitud de suspensión (h) de este le en su punto medio es 40 m. Pro. 0 Clul el foo «F» l euión de l diretriz de l práol = 4. Comprmos ls euiones: 4 4p Luego: 4p 4 p 6 Se trt entones de un práol de eje fol en el eje, que se re hi l dereh. hor elormos el gráfio orrespondiente pr esquemtizr l práol: Del gráfio, notmos que ls oordends del foo son: F(p; 0) = F(6; 0) l euión de l diretriz es: = -p. Pro. 06 d: = -6 Determin el rdio fol del punto «M» de l práol =, si l ordend de este punto es igul 6. Sen ( m ; 6) ls oordends del punto «M» que pertenee l práol, luego l reemplzr en l euión =, otenemos M(3; 6). hor, lulmos el prámetro p, sí: 4p = p = 3 Luego, ls oordends del foo de est práol, uo eje fol está en el eje, tiene l form: F(p; 0) = F(3; 0). Finlmente, lulmos el rdio fol FM, sí: FM 3 3 0 6 FM 6 Pro. 07 Determin l euión de l práol, si se d el foo F(-7; 0) l euión de l diretriz - 7 = 0. Si l euión de l diretriz es = 7 ls oordends del foo F(-7; 0), entones se trt de un práol uo eje fol es el eje on vértie en el origen de oordends, riéndose hi l izquierd. n l figur oservmos que el prámetro p = 7, entones l euión de l práol tiene l form: Pro. 08 = -4p P: = -8 Clul l euión de l práol, siendo que su vértie oinide on el punto (; ), el prámetro es igul «p», el eje es prlelo l eje O, l práol se prolong indefinidmente en l direión positiv del eje O (es deir, l práol es sendente). Nos informn que el eje fol es prlelo l eje, de vértie (; ), prámetro «p» se re hi rri, luego se trt de un práol u euión tiene l siguiente form: Reemplzndo dtos: Pro. 09 P: ( h) = 4p( k) P: ( ) = 4p( ) Se d l euión de un práol: = 4 8 lul ls oordends de su vértie «V», l mgnitud del prámetro «p» l euión de l diretriz. Trnsformmos l euión de l práol su form ordinri, sí: 0 4 k 4p h Por omprión ls oordends del vértie «V» son: V(h; k) = V(; 0). Pro. 0 L euión de un práol es = 4-8 + 7, lul ls oordends de su vértie V l mgnitud del prámetro p. Pr determinr ls oordends del vértie «V» el prámetro «p», trnsformmos l euión dd ompletmos udrdos sí: 4 8 7 4 7 4 3 h 4p k Por omprión otenemos ls oordends del vértie «V», sí tenemos: V(h; k) = V(; 3). hor, pr el prámetro «p», tenemos: Pro. 4p = /4 p = /6 Determin l euión de l práol, si se dn su foo F(7; ) l diretriz - = 0. Se P(; ) un punto ulquier de l práol, pr determinr su euión plimos l de- 6 Trigonometrí Und. Geometrí nlíti 63
finiión de práol: «l distni de P l foo F es igul l distni de P l diretriz». Luego del gráfio tenemos: Pr determinr ls oordends del foo «F», strá on determinr ls oordends del punto «D», siendo este punto l interseión de ls rets, diretriz el eje fol. Oserv que, luego otenemos: d F d : 3 0 Pro. 4 Determinr, en los sos siguientes, l posiión reltiv de l ret l práol: si l ort, si es tngente o ps por fuer de ell: - + = 0 ; = 8 hor, pr que l ret se tngente l práol se dee umplir que su disriminnte se igul ero: 4p 4 4pm m 0 m m p 0 Despejndo m se tiene: Luego se umple: PF = PD 7 levndo l udrdo reduiendo result: 7 4 Completndo udrdos, otenemos: 4 6 Como l práol se re hi l izquierd le gregmos el signo ( ) l do miemro: Pro. P: ( ) = -4( 6) Ddo el vértie de un práol V(6; -3) l euión de su diretriz: 3 + = 0, lul el foo de est práol. Nos pomos de l siguiente gráfi: F : 3 0 Ls soluiones de este sistem de euiones son ls oordends del punto «D», esto es: D(; ) = D(3; ) De l figur, etremos el siguiente segmento: donde «V» es punto medio de FD, entones: 3 6 9 3 8 L oordend del foo es F(9; -8) Pro. 3 Determin los puntos de interseión de l ret + - 3 = 0 l práol = 4. Pr determinr los puntos de interseión simplemente resolveremos el sistem de euiones: L: + - 3 = 0 P: = 4 Luego, reemplzmos = 3 en l euión de l práol P, de lo que otenemos: 4 0 6 = -6 = 9 = = Los puntos de interseión son: (; ) (-6; 9) Resolvemos el sistem de euiones: 0 8 Luego, reemplzmos = + en = 8 De donde otenemos l euión udráti: 4 4 0 hor, nlizndo su disriminnte 4 44 0 Si el 0, entones tiene un úni soluión, es deir: 4 4 0 0 = = 4 Luego, el únio punto de interseión es (; 4), por lo tnto l ret L: - + = 0 es tngente l práol P: = 8 Pro. Clul l euión de l tngente l práol = 4p en su punto M ( ; ) L euión de l ret tngente l práol M ; es: que ps por m...() m m m Luego, reemplzmos en: 4p 4p m De lo que se otiene: m presándolo de otro modo, tenemos: m 4p 4p m 0 Pero M ; 4p m...() pertenee l práol 4p por lo tnto dee stisfer l euión: 4p Reemplzndo en (), otenemos: m p Pero: 4p m hor, reemplzndo en (), tenemos: p p Pro. 6 Determin l euión de l ret que es tngente l práol = 6, perpendiulr l ret + 4 + 7 = 0 Si: L L : 4 7 0 m T hor, l euión de l tngente será de l form: L T : k Reemplzndo en T 6 tenemos: 6 k 3 6k 0 Pr que l ret se tngente, entones su disriminnte dee ser ero, sí: 3 46k 0 k 6 Luego, reemplzndo en L T tenemos: L T : = - 6 64 Trigonometrí Und. Geometrí nlíti 6
Pro. 7 Siendo que l euión de l ret tngente un práol p = 4p, está dd por: m, m determin en l práol = 64 el punto M más próimo l ret 4 + 3-4 = 0 lul l distni «d» del punto M est ret. Determinmos l euión de l tngente l práol = 64 prlel l ret 4 + 3-4 = 0 De ests euiones deduimos l pendiente de l tngente el prámetro de l práol: m = - 4/3 p = 6 plindo l propiedd: T : p L m m Luego, reemplzndo dtos se tiene: L : 4 6 T 3 4 L T : 4 3 36 0 3 Ls oordends del punto M son ls soluiones del sistem de euiones formdo por: L T : 4 3 36 0 P: 64 M ; M9; 4 Luego, l distni d de M L lo lulmos sí: M(9; -4) L: 4 + 3-4 = 0 plindo l propiedd dd pr determinr l uerd de ontto, tenemos: P 0 = (-3; ) P: = 0 4p = 0 p = / Reemplzndo dtos en l euión de l uerd: LC : 3 L : 0 hor lulmos l distni «d» del punto P 0 (-3; ) l uerd de ontto: 3 d Pro. 9 C d 74 3 Demostrr que dos práols que tienen un eje omún un foo omún, situdos entre sus vérties, se ortn formndo un ángulo reto. Grfimos según ondiión del prolem: Pro. 0 HIPÉRBOL Determinr l euión de l hipérol uos foos están situdos en el eje de siss son simétrios on respeto l origen de oordends, siendo, demás, que sus ejes son = 0 = 8 Si los foos están en el eje, entones se trt de un hipérol uo eje trnsverso, tmién está situdo en el mismo eje tiene por entro el origen de oordends, por lo tnto l euión de est hipérol tiene l form:...(*) Como: = 0 = = 8 = 4 Luego: 4 4 Reemplzndo en (*) otenemos l euión: 6 L gráfi de est hipérol es: resolvemos el sistem de euiones, oteniendo un únio vlor de, es deir: = 0. l reemplzr en: = 3 30 Finlmente los puntos de interseión son: Pro. 0; 30 0; 30 Clulr l euión de l hipérol uos foos están situdos en el eje de siss son simétrios on respeto l origen de oordends, siendo, demás que el eje = 6 l eentriidd e = /4 Como lo hiimos nteriormente, si los foos están en el eje, entones su eje trnsverso tmién está situdo en el mismo eje tiene por entro el origen de oordends. hor, lulmos, siendo que l eentriidd es /4, entones: 0 8 0 plindo se tiene: 0 8 6 Finlmente, l euión de l hipérol es: 64 36 49 34 4 d d = 0 4 3 Pro. 8 Si se trzn rets tngentes desde un punto P 0 ( 0 ; 0 ) un práol de l form = 4p, l euión de l uerd de ontto está dd por: p 0 0 Desde el punto P 0 (-3; ) se hn trzdo tngentes l práol = 0, lul l distni «d» del punto «P» l uerd de l práol que une los puntos de ontto. Osérvese que el ángulo que formn dos práols en el punto de interseión está definido por el ángulo que formn sus tngentes en este punto. hor, MM es el ldo reto pr ls dos práols, l ul verifi l siguiente propiedd: «L pendiente de l tngente un práol en un etremo del ldo reto siempre es ó -» Pr L T su pendiente m T = - Pr L T su pendiente m T = Y omo m T = m T entones L T L T son perpendiulres, es deir formn un ángulo de 90º. Pro. Determinr los puntos de interseión de l hipérol de l práol = 3. 0 Pr determinr los puntos de interseión de l hipérol l práol de euiones: 0 P : 3 Pro. 3 Clulr l euión de l hipérol uos foos están situdos en el eje de siss son simétrios on respeto l origen de oordends, siendo, demás, ls euiones de ls síntots 4 l distni entre los foos = 0. 3 Según dtos del prolem, podemos deduir que se trt de un hipérol de eje trnsverso en el eje de entro en el origen. hor, lulmos,. mpezmos del dto: = 0 = 0 66 Trigonometrí Und. Geometrí nlíti 67
Luego, un síntot tiene por euión: 4 m m 4 3 3 Y omo semos que l pendiente de l síntot está dd por m = / = 4/3, sumimos: = 4k = 3k hor, plindo se tiene: 0 3k 4k k Reemplzndo otenemos: = 6 = 8 Finlmente l euión de l hipérol es: H: Pro. 4 H: 36 64 Clulr l euión de l hipérol uos foos están situdos en el eje de siss son simétrios on respeto l origen de oordends, siendo, demás que l distni entre ls diretries es igul 3/ el eje = 6 De los dtos se se que: = 6 = 3 Luego, según dto se se que l distni entre ls diretries es 3/, es deir: 3 6...(*) 6 9 6 Resolviendo l euión: = Reemplzndo vlores en (*): = 4 Finlmente, l euión de l hipérol es: Pro. 6 9 Determinr l euión de l hipérol uos foos están situdos en el eje de ordends son simétrios on respeto l origen de oordends. demás, que sus semiejes son = 6; = 8 ( es el semieje situdo en el eje de siss). Si los foos están situdos sore el eje, entones se trt de un hipérol uo eje trnsverso se enuentr en el eje, de entro en el origen de oordends. demás según dto del prolem se se que = 6 = 8, por lo que l euión de l hipérol tiene l form: Pro. 6 36 34 Dd l hipérol 6-9 = 44, determin: ) Los semiejes. ) L eentriidd. L euión dd, l trnsformmos l form ordinri sí: 6 9 44 44 44 44 9 6 Se trt de un hipérol uo eje trnsverso se enuentr sore el eje uo entro es el origen de oordends. ) 9 6 Identifindo términos se tiene: 9 3 6 4 ) Se se que: 3 4 L eentriidd «e» está dd por: e Oserv que l eentriidd de un hipérol siempre es mor que (e > ). Pro. 7 Dd l hipérol 6 9 = 44, lulr: ) Los foos. ) Ls euiones de ls diretries. 3 Trnsformmos l euión ordinri: 6 9 44 9 6 Se trt de un hipérol de entro en el origen de oordends de eje trnsverso en el eje. hor lulmos, : 9 6 6 4 9 3 6 9 ) Ls oordends de los foos de est hipérol son: F (0; ) F (0; -). ) Ls euiones de ls diretries de est hipérol, tienen l form: Reemplzndo = 4 =, otenemos: Pro. 8 6 Clulr el áre del triángulo formdo por ls síntots de l hipérol: l ret 4 9 9 + - 4 = 0. Un téni pr determinr ls euiones de ls síntots es l siguiente: De:, hemos: 4 9 0 4 9 3 0 3 3 l triángulo se determin intersetndo ls tres rets: L : 3 ; L : 3 ; L 9 4 0 ' Resolviendo el sistem de euiones otenemos ls oordends de los siguientes vérties: (0; 0), (; 3) (4; -6) l áre (S) del triángulo se otiene lulndo el determinnte de l mtriz: 0 0 4 6 S 3 0 0 S = (-) S = u Pro. 9 Se d el punto M(0; ) en l hipérol. Clulr ls euiones de ls rets, en ls ules están los rdios foles del pun- 80 0 to «M». Clulmos ; de l euión dd: 80 0 80 4 0 80 0 0 L hipérol tiene por entro el origen de oordends su eje trnsverso está en el eje, por lo tnto ls oordends de los foos son F (0; 0) F (-0; 0). Nos piden determinr ls euiones de ls rets que psn por los rdios foles F M F M, lo que hremos por prtes. ) L ret que ps por F (0; 0) M0; - su pendiente no eiste por lo tnto es un ret vertil u euión es L: = 0. ) L ret que ps por F (-0; 0) M0; - tiene por pendiente - /0, luego l euión es: 0 L': 0 0 L' : 4 0 0 68 Trigonometrí Und. Geometrí nlíti 69
Pro. 30 L eentriidd de un hipérol es e = ; el rdio fol de su punto «M» trzdo desde uno de los foos es igul 6. Clul l distni del punto «M» l diretriz, unilterl este foo. plindo l propiedd referid ls distni r d: r e, donde: d(m; F) = 6 e = d Nos piden lulr: d(m; L), por lo que reemplzmos en: r e d, sí: 6/d = d = 8 Pro. 3 L eentriidd de un hipérol es e = 3/; su entro está en el origen de oordends un de sus diretries se d medinte l euión = -8. Clul l distni del punto M de l hipérol, de sis igul 0, l foo orrespondiente l diretriz dd. De uerdo los dtos del prolem, un gráfio proimdo es el siguiente: Nos piden lulr r, plindo l propiedd epuest en l teorí: r e...(*) Semos que: = 0 e = 3/ demás l euión de l diretriz: d' : 8 e Reemplzndo todo lo luldo en (*): r 3 0 7 r Por lo tnto l distni del punto «M» de l hipérol, de sis 0, l foo es 7. Pro. 3 Determin los puntos de l hipérol, us distnis l foo dereho son 9 6 igules 7. Se trt de un hipérol de entro en el origen eje trnsverso en el eje. De l euión vmos lulr,. 9 6 9 3 6 4 hor, lulmos l eentriidd: e 3 Nos piden lulr M M, pr lo ul plimos l propiedd nterior: r e Reemplzndo: r 7, e 3, se tiene: 3 7 3 6 3 Luego reemplzmos en l euión pr lulr ls oordends: = 6, en: = ± 4 3 9 6 M6; 4 3 M' 6; -4 3 Pro. 33 Clul l euión de l hipérol uos foos están en el eje de siss son simétrios on respeto l origen de oordends, si se dn los puntos M (6; -) M (-8; ) de l hipérol. De uerdo los dtos del prolem, l euión de est hipérol tiene l form: Como M 6; M 8; perteneen l hipérol, entones deen stisfer l euión: 36 64 8 Resolviendo el sistem de euiones, otenemos: 3 8 Finlmente l euión de l hipérol es: Pro. 34 3 8 Determin l eentriidd de l hipérol, si el segmento omprendido entre sus vérties se ve desde los foos de l hipérol onjugd jo un ángulo de 60º. lormos el gráfio orrespondiente, según dtos del prolem: n l figur se reonoe el 30º 60º. Luego se tiene: Pro. 3 F OV notle de e 3 Los foos de un hipérol oiniden on los foos de l elipse. Determin l euión de l hipérol, si su eentriidd es e = 9. De l elipse: 9 ; 9 9 4 Luego, los foos de l elipse son F (-4; 0) F (4; 0) que tmién son los foos de l hipérol, por lo tnto: = 4. Pero e =, entones: / = Luego: 4 Si = = 4, entones Luego: 6 4 Finlmente l euión de l hipérol: Pro. 36 4 Demostrr que el áre del prlelogrmo, limit- do por ls síntots de l hipérol ls rets trzds por ulquier de sus puntos 660 Trigonometrí Und. Geometrí nlíti 66
prlels ls síntots, es un ntidd onstnte, igul ()/. Grfimos l hipérol, on sus síntots ls rets prlels ests, trzds de un punto P( ; ) ulquier de l hipérol, determinándose el prlelogrmo ORPQ. Si l euión de l hipérol es: Ls euiones de sus síntots son: ' L : L : Luego, hemos que: m = /, entones: ' L : m L : m L ret L P es prlel l ret L. Si tienen l mism pendiente m el punto de pso es P( ; ) entones determinmos su euión sí: L P : = m + - m Hiendo lo mismo, determinmos l euión de L P oteniendo: ' P : L m m hor, vmos determinr ls oordends R (punto de interseión de L P L P ), resolviendo el sistem de euiones de: L ' : m ' L : m m De quí otenemos: P m m m m R ; m m l áre del prlelogrmo ORPQ es dos vees el áre del triángulo ORP, lulemos dih áre: S ORP 0 0 O m m R S m P ORP Q 0 0 Clulndo el determinnte de est mtriz, otenemos: m SORP...(*) 4m Pero P( ; ), por tnto dee stisfer l euión. Luego: Pero: m = / Reemplzmos en (*): S m m ORP 4m SORP 4m 4 / 4 m Finlmente el áre del prlelogrmo es: S ORPQ Pro. 37 S 4 S ORP ORPQ Determinr l euión de l hipérol, si se onoen sus semiejes, sí omo su entro C( 0 ; 0 ) los foos están situdos en un ret prlel l eje O. Si los foos están situdos en un ret prlel l eje, entones el eje trnsverso tmién es prlelo l eje, omo ls oordends del entro son entones l euión es: Pro. 38 0 ; 0 0 0 Determin l euión de l hipérol, siendo que l distni entre sus vérties es igul 4 los foos son F (-0; ), F (6; ) Si l distni entre sus vérties es 4, entones: = 4 = Los foos son F (-0; ) F (6; ) entones el punto medio de F F es el entro de l hipérol, es deir: 0 6 h k C ; C 3; C ; Como los foos el entro son olineles, entones el vlor de lo lulmos sí: Luego, lulmos : = 6-3 = 3 3 Finlmente, l euión de l hipérol es: k h 3 44 Pro. 39 Determin l euión de l hipérol si se onoe su eentriidd e = /4, el foo F(; 0) l euión de l diretriz orrespondiente - 6 = 0. De uerdo los dtos, podemos deduir que se trt de un hipérol de eje trnsverso situdo en el eje, de entro en el origen de oordends: F(; 0) = demás, l eentriidd es: Pro. 40 e = /4 4 4 3 L euión es 6 9 Determin los vlores de «k» pr los que l ret k ort l hipérol. 9 36 Pr que l ret orte l hipérol, resolvemos el sistem de euiones: : L k 9 36 k 9 36 Reduiendo, result: 9 0k 4k 44 0...(*) Pr que l ret orte l hipérol, es deir se sente, entones se dee umplir que el disriminntes de (*) tiene que ser mor que ero: 0k 4 9 4k 44 0 Reduiendo, result: k > 4, 66 Trigonometrí Und. Geometrí nlíti 663
09.- Si l euión = 4 6 determin un práol, lul ls oordends de su vértie, l mgnitud del prámetro p l euión de l diretriz. ) (/3; 0) ; p = 3 ; 6 3 = 0 D) (-3; ) (-6; 9) ) (3; ), l ret es tngente l práol. 4.- Pr qué vlores de l pendiente «k», l ret L: = k + ort l práol = 4? PRÁBOL 0.- Clul l euión de l práol uo vértie está en el origen de oordends, siendo que l práol está situd en el semiplno izquierdo, es simétri on respeto l eje O el módulo de su prámetro es p = 0,. ) = - B) = - C) = -4 D) = -/4 ) = -/ 0.- Identifi l práol u euión es: = ) B) C) D) ) 03.- Clul l euión de l práol uo vértie está en el origen de oordends, siendo demás que l práol es simétri on respeto l eje O ps por el punto C(; ). ) = B) = C) = 4 D) = / ) = - 04.- Determin l euión de l práol que tiene el foo F(0; -3) ps por el origen de oordends, siendo que su eje sirve de eje O. ) = B) = - C) = -6 D) = 6 ) = 0.- Clulr el rdio fol r del punto M de l práol = 0, si l sis del punto M es igul 7. ) B) C) 8 D) 0 ) 06.- Determin en l práol = 6, los puntos uos rdios foles son igules 3. ) (9; ) (9; -) B) (9; ) (-9; ) C) (9; 6) (9; -6) D) (8; ) (-8; ) ) (; 9) (-; 9) 07.- Clul l euión de l práol, siendo que su vértie oinide on el punto (-3; ), el prámetro es igul 6, el eje es prlelo l eje O l práol se prolong indefinidmente en l direión positiv del eje O. ) ( - ) = ( + 3) B) ( + ) = 6( + 3) C) ( - ) = ( - 3) D) ( + ) = 6( - 3) ) ( ) = 4 ( + 3) 08.- Clul l euión de l práol, siendo que su vértie oinide on el punto (; -), el prámetro es igul 3, el eje es prlelo l eje O l práol se prolong indefinidmente en l direión negtiv del eje O (es deir, l práol es hi jo). ) ( - ) = -( - ) B) ( + ) = 6( - ) C) ( - ) = -( + ) D) ( + ) = -6( + ) ) ( + ) = 6 ( + ) B) (/3; 0) ; p = ; = 0 C) (/3; 0) ; p = 3 ; 6 = 0 D) (/3; 0) ; p = ; = 0 ) (/3; 0) ; p = 3/ ; 6 + = 0 0.- Siendo que = -/6 + 7 determin un práol, lul ls oordends de su vértie l mgnitud del prámetro. ) (6; -) ; p = 3 B) (; 3) ; p = 6 C) (6; ) ; p = 6 D) (; 3) ; p = 3 ) (6; -) ; p = 3/4.- Determin l euión de l práol, si se dn su foo F(4; 3) l diretriz + = 0. ) = -/ + B) = /4 + 6 C) = /8 + 3 D) = /8 + 3 ) = /4 +.- Ddo el vértie de un práol (6; -3) l euión de su diretriz 3 + = 0, lul el ldo reto de est práol. ) 34 B) 34 C) 3 34 D) 4 34 ) 34 3.- Determin los puntos de interseión de l ret 3 + 4 - = 0 l práol = -9. ) (-4; 6), l ret es tngente l práol. B) (-; ) (3; ) C) (-; 3), l ret es tngente l práol. ) k < / B) k < /3 C) k < /4 D) k < ) k < 3.- Determin l euión de l ret «L» que es tngente l práol = 8 prlel l ret L: + 3 = 0 ) + 4 = 0 B) = 0 C) + + 3 = 0 D) + + = 0 ) + 4 = 0 6.- Trz un tngente «L» l práol = que result ser prlel l ret L : 3 + 30 = 0. Clulr l distni «d» entre est tngente l ret dd. ) 7 B) 3 C) 4 D) 6 ) 7.- Desde el punto (; 9) se hn trzdo tngentes l práol =. Clul l euión de l uerd que une los puntos de ontto. 664 Trigonometrí Und. Geometrí nlíti 66
) 8 + = 0 B) 3 + 0 = 0 C) 8 + = 0 D) 3 + - 0 = 0 ) 3 + = 0 8.- Determin los puntos de interseión de l elipse de l práol = 4. 00 ) (0; -) (6; ) B) (; ) (4; -) C) (6; ) (6; -) D) (6; 0) (6; -) ) (3; 0) (3; -4) 9.- Cuál de los siguientes puntos no es un punto de interseión de ls dos práols: ) (-; 4) B) (; ) = + ; = 6 + 7? 3 3 7 3 C) ; 3 3 7 3 D) ; ) (; ) 0.- Desde el foo de l práol = se h dirigido un ro de luz hi el eje O, formndo on él un ángulo. Se se que tn = 3/4. l llegr l práol se h reflejdo el ro de ell. Clul l euión de l ret en l que está el ro reflejdo. ) 8 = 0 B) = 0 C) = 0 D) + 8 = 0 ) + = 0 HIPÉRBOL.- Clul l euión de l hipérol uos foos están situdos en el eje de siss son simétrios on respeto l origen de oordends, siendo, demás, que l distni entre los foos = 0 el eje = 8. ) B) 9 4 6 9 C) D) 4 9 9 6 ) 6.- Determin l euión de l hipérol uos foos están situdos en el eje de siss son simétrios on respeto l origen de oordends, siendo, demás, que l distni entre los foos es = 6 l eentriidd es e = 3/. ) B) 9 4 C) D) 4 ) 4 3.- Determin l euión de l hipérol uos foos están situdos en el eje de siss son simétrios on respeto l origen de oordends, siendo, demás, que l distni entre ls diretries es igul l distni entre los foos = 6. 3 ) B) 44 C) D) 44 44 ) 4.- Determin l euión de l hipérol uos foos están situdos en el eje de siss son simétrios on respeto l origen de oordends, siendo, demás, que l distni entre ls diretries es igul 8/3 l eentriidd es e = 3/. ) B) 4 4 C) D) 9 0 4 ) 3.- Determin l euión de l hipérol uos foos están situdos en el eje de ordends son simétrios on respeto l origen de oordends, siendo, demás, que l distni entre los foos = 0 l eentriidd es e = /3. ) 6 9 B) 4 C) 6 3 D) 9 6 ) 3 4 6.- Dd l hipérol 6 9 = 44, lul los foos tmién ls euiones de ls síntots. ) F (; 0) ; F (0; 0) ; = ±3/4 B) F (-; 0) ; F (; 0) ; = ±4/3 C) F (-3; 0) ; F (3; 0) ; = ±/ D) F (-; 0) ; F (; 0) ; = ±/ ) F (-4; 0) ; F (4; 0) ; = ±3/4 7.- Dd l hipérol 6 9 = 44, determin los semiejes, tmién l eentriidd. ) = 6; = 8; e = /4 B) = 4; = 3; e = 4/ C) = 3; = 4; e = /3 D) = 3; = 4; e = /3 ) = ; = ; e = 3/ 8.- Hiendo verifido que el punto M (-; 9/4), determinr los r- está en l hipérol 6 9 dios foles del punto M. ) 4 ; B) 3 ; 6 0 4 C) ; 8 3 D) 9 ; 0 4 4 ) ; 8 4 666 Trigonometrí Und. Geometrí nlíti 667
9.- L eentriidd de un hipérol es e = 3; l distni de un punto «M» de l hipérol l diretriz es igul 4. Clul l distni del punto «M» l foo, unilterl est diretriz. ) B) C) 8 D) 6 ) 0 30.- L eentriidd de un hipérol es e = ; su entro está en el origen de oordends uno de los foos es F(; 0). Clul l distni del punto M de l hipérol, de sis igul 3, l diretriz orrespondiente l foo ddo. ) 6 B) C) D) 3 ) 0 3.- Determin los puntos de l hipérol: 64 36 us distnis l foo dereho son igules 4,. ) (0; 9/) (0; -9/) B) (6; 4) (6; -4) C) (3; 0/3) (3; -0/3) D) (0; /) (0; -/) 33.- Determin l euión de l hipérol uos foos están en el eje de siss son simétrios on respeto l origen de oordends, si se d el punto M (-; 3) de l hipérol l eentriidd es e. ) - / = 8 B) - = 6 C) - = D) - = 4 ) - = 34.- Clul l eentriidd de un hipérol equiláter. ) B) C) 3 D) / ) 3.- Clul l euión de l hipérol uos foos están en los vérties de l elipse: 00 64 ls diretries psn por los foos de est elipse. ) B) C) D) ) 37.- Determin l euión de l hipérol, si se onoen sus semiejes, sí omo su entro C(; ) los foos están situdos en un ret prlel l eje O. ) B) C) D) ) 38.- Determin l euión de l hipérol, siendo que los foos son F (3; 4), F (-3; -4) l distni entre ls diretries es igul 3,6. ) B) 44 C) - 44 D) 44 ) 6 8 40.- Determin los vlores de «m» pr los que l ret m se tngente l hipérol: 9 36 ) m = ±3/ B) m = ±3 C) m = ± D) m = ±, ) m = ±4, ) (; 9/) (; -9/) 3.- Por el foo izquierdo de l hipérol: 44 se h trzdo un perpendiulr l eje que ontiene los vérties. Determin ls distnis de los foos uno de los puntos de interseión de est perpendiulr on l hipérol. ) 0 B) 3 4 C) ) 9 3 4 6 D) 3 4 8 3 6 ) B) 60 40 30 0 C) D) 70 0 7 ) 40 60 36.- Determin l distni del foo de l hipérol, su síntot. ) 4 + 7 44 = 0 B) + 6 64 = 0 C) + 9 44 = 0 D) 4 + 7 + 44 = 0 ) + 7 7 = 0 39.- Determin l euión nóni de l hipérol, si se onoe su eentriidd e = 3/, el foo F(0; 3) l euión de l diretriz orrespondiente 3 44 = 0. 0 B 09 7 33 B 0 C 0 8 C 6 B 34 B 03 D 9 7 C 3 04 B D 0 8 36 B 0 3 D 9 B 37 06 4 30 38 07 D 3 C 3 39 C 08 C 6 B 4 D 3 D 40 668 Trigonometrí Und. Geometrí nlíti 669