SUCESIONES Págia REFLEXIONA Y RESUELVE Cuátas parejas de coejos? Cuátas parejas de coejos se producirá e u año, comezado co ua pareja úica, si cada mes cualquier pareja egedra otra pareja, que se reproduce a su vez desde el segudo mes? Razoado del modo que se propoe, llegamos a que el úmero de parejas, mes a mes, es:,,,,, 8,,,,, 89, Así, el úmero total de parejas al fial del año es de (la que había al pricipio y otras uevas). La sucesió de Fiboacci y el úmero F Si dividimos cada dos térmios cosecutivos de la sucesió de Fiboacci, obteemos: 8,,,,, Comprueba, calculado uevos cocietes, que el úmero al que se aproxima es el úmero áureo. 89,7 ;,88 ;,797 89 8 8 Se aproxima al úmero áureo f +,80 Uidad. Sucesioes
Ua represetació gráfica Observa esta composició hecha co cuadrados: -º -º -º -º -º -º 8-º 7-º 9-º El lado de los cuadrados primero y segudo es. A partir del tercero, el lado de cada uo de los siguietes cuadrados que se va formado es igual a la suma de los lados de los dos que le precede. Cuál es el lado del 8-º? Y el del 9-º? Observa tambié los rectágulos que se forma sucesivamete: : : : Los cocietes etre sus dimesioes forma la sucesió que estudiamos e el apartado aterior. Se aproxima, por tato, al úmero F. Esto quiere decir que estos rectágulos se parece, cada vez más, a rectágulos áureos. Compruébalo para los cuatro siguietes rectágulos: : 8 : : : El lado del 8.º cuadrado es y el lado del 9.º cuadrado es. 8 8 :,;,;,9 ;,7 Se aproxima al úmero áureo f +,80 Uidad. Sucesioes
UNIDAD Págia. Di el criterio por el que se forma las sucesioes siguietes y añade dos térmios a cada ua: a), 8,, 8,, b), 8, 7,,, c), 0, 00, 000, 0 000, d) 8; ; ; ; 0,; e),,, 7,, 8, f) 8,,,, 7, 9, g),,,,,, h) 0,,,, 8, a) Cada térmio, a partir del segudo, se obtiee sumádole al aterior: a 8, a 7. b) Cada térmio es el cubo del lugar que ocupa: b, b 7. c) Cada térmio, a partir del segudo, se obtiee multiplicado por 0 el aterior: c 00 000, c 7 000 000. d) Cada térmio, a partir del segudo, se obtiee multiplicado por (dividiedo etre ) el aterior: d 0,, d 7 0,. e) Cada térmio, a partir del tercero, se obtiee sumado los dos ateriores: e 7 9, e 8 7. f) Cada térmio, a partir del tercero, se obtiee restado los dos ateriores: f 7, f 8. g) Cada térmio es el úmero del lugar que ocupa, co sigo positivo si es impar, y egativo si es par: g 7 7, g 8 8. h) Cada térmio, a partir del segudo, se obtiee restádole 7 al aterior: h, h 7. Págia. Forma ua sucesió recurrete,, co estos datos: a, a, +,,, 8,,,,,. Escribe los cuatro primeros térmios de las sucesioes que tiee como térmio geeral: + ( ) b ( ) c ( ) d ( )( ) e + ( ) a, a 8, a, a 8 b, b, b, b c, c, c 8, c d 0, d 0, d, d e 0, e 8, e 0, e 8 Uidad. Sucesioes
. Costruye ua sucesió cuya ley de recurrecia sea +. Si tomamos, por ejemplo, a, etoces quedaría: a +, a +, a + 0, a 0 +, a +, a 7 + 7 8,. Da el térmio geeral de las sucesioes siguietes que o sea recurretes: a), 8,, 8,, b), 8, 7,,, c), 0, 00, 000, 0 000, d) 8,,,, e),,, 7,, 8, f) 8,,,, 7, 9, g),,,,,, h) 0,,,, 8, a) + ( ) b) b c) c 0 d) d 8 ( ) e) Es recurrete f) Es recurrete g) g ( ) h) h 0 7 ( ) Págia. Cuáles de las siguietes sucesioes so progresioes aritméticas? E cada ua de ellas di su diferecia y añade dos térmios más: a), 7,,, 9, b),,, 9,, 8, c),,,, 8, 9, d) 0, 7,,,, e) 7,;,8;,;,; ; f) 8;,;,8;,7;,; a) Es ua progresió aritmética co d ; a, a 7 7. b) No es ua progresió aritmética. c) No es ua progresió aritmética. d) Es ua progresió aritmética co d ; d, d 7 8. e) Es ua progresió aritmética co d,; e 9,; e 7 7,8. f) Es ua progresió aritmética co d,9; f,; f 7 7,.. E la sucesió a), halla el térmio a 0 y la suma de los 0 primeros térmios. a 0 a + 9 d + 9 + 7 79 (a S 0 + a 0 ) 0 ( + 79) 0 80 Uidad. Sucesioes
UNIDAD. E la sucesió d), halla el térmio d 0 y la suma de los 0 primeros térmios. d 0 d + 9 ( ) 0 7 07 (d S 0 + d 0 ) 0 (0 07) 0 90. E la sucesió e), halla el térmio e 00 y la suma de los 00 primeros térmios. e 00 e + 99 (,) 7, 8, (e S 00 + e 00 ) 00 (7, ) 00 80. E la sucesió f), halla los térmios f 8, f 7 y la suma f 8 + f 9 + + f + f 7. f 8 f + 7,9 8 + 0, 8, f 7 f +,9 8 + 8, 0, E la suma pedida hay 0 sumados. (f S + f 7 ) 0 (8, + 0,) 0, Págia. Cuáles de las siguietes sucesioes so progresioes geométricas? E cada ua de ellas di su razó y añade dos térmios más: a),, 9, 7, 8, b) 00; 0; ;,; c),,,,, d),,,,,, e) 90, 0, 0, 0/, 0/9, a) Es ua progresió geométrica co r ; a, a 7 79. b) Es ua progresió geométrica co r ; b,, b,. c) Es ua progresió geométrica co r ; c, c 7. d) Es ua progresió geométrica co r ; d 7, d 8. 0 0 e) Es ua progresió geométrica co r ; e, e 7. 7 8 7. Calcula la suma de los 0 primeros térmios de cada ua de las progresioes geométricas del ejercicio aterior. a) a 0 a r 9 9 9 8 a S 0 0 r a 9 8 9 r Uidad. Sucesioes
b) b 0 b r 9 00 ( ) 9 b 00 S 0 0 r b 8 99,80 r c) c 0 ; S 0 0 0 d) d 0 ; S 0 0 e) e 0 e r 9 90 ( ) 9 0 90 e S 0 0 r e 7,99 r 8. E cuáles de las progresioes geométricas del ejercicio aterior puedes calcular la suma de sus ifiitos térmios? Hállala. Podemos calcular la suma de sus ifiitos térmios e las progresioes geométricas co r < : b b) S 00 00 00 r e 00 90 9 8 e) S 90 90 7, r ( ) 8 0 87 Págia 9. Calcula: + + + 0 0 (0 + ) (0 + ) 0. Calcula: 0 + + + 0 0 9 ( + + 0 ) ( + + 9 0 9 0 99 ) 7 80 0 8. Calcula: + + + + 00 Uidad. Sucesioes
UNIDAD. Calcula: + + + + 0 + + + + 0 ( ) + ( ) + ( ) + + ( 0) + + + + 0 ( + + + + 0 ) 0 8 8 0 00 Págia 7 + 0. Represeta la sucesió y asígale u valor a su límite. 0 8 a, a, a,; a,7; a,,, a 0,, ; a 00,0; ; a 000,00, lím 0. Represeta la sucesió b + y asiga u valor a su límite. 8 b,; b 0; b 0,7; b ; b 0,7; b 0; b 7,; b 8 ; b 9,; b 0 8,, 0 b 00 0, lím b +@ Uidad. Sucesioes 7
Págia 9. Estudia el comportamieto de estas sucesioes para térmios muy avazados e idica su límite: a) b) b + c) c d) d a) a 0,8; a 00,8; a 000,8, lím +@ b) b 0,; b 00,87; b 000,987, lím b c) c 0 0; c 00,7 0, lím c @ d) d 0,999; d 00,999999, lím d. Di, razoadamete, cuáles de las siguietes sucesioes tiee límite: a) b) b ( ) + c) c ( ) d) d ( ) a) a 0 0,0; a 00 0,000; a 000 0,00000, lím 0. b) b 0 0,7; b 0,7; b 00 0,9; b 0 0,9, Los térmios pares so positivos y tiede a ; los térmios impares so egativos y tiede a. La sucesió o tiee límite. c) c, c, c, c 000 000, c 00 00, Los térmios impares so egativos y tiede a @; los térmios pares so positivos y tiede a +@. La sucesió o tiee límite. d) d ; d 0,; ; d 00 0,000; d 0 0,0009, lím d 0. Págia. Obté los ocho primeros valores de (térmios de la sucesió) y de S (sumas parciales) e cada ua de las progresioes siguietes. Calcula e cada ua el lím S : a), 0, 0, b), 0, 0, c) 7, 7, 7, d) 7, 7, 7, e) 0; ;,; f) 0; ;,; a) a, a 0, a 0, a 8, a,; a,8; a 7 0,; 8 a 8 0,08. 8 Uidad. Sucesioes
UNIDAD S ; S 7; S 9; S 0; S 0,; S 07,8; S 7 07,99; S 8 08,98. Como r 0, < ; lím S 08, ) r b) b ; b 0; b 0; b 8; b,; b,8; b 7 0,; b 8 0,08. S ; S 7; S 9; S 87; S 90,; S 88,9; S 7 89,; S 8 89,7. Como r 0, < ; lím S 89,8 r 7 + a c) c 7; c 7; c 7; c 7; c 7; c 7; c 7 7; c 8 7. S 7; S 0; S 7; S 0; S 7; S 0; S 7 7; S 8 0. b S o tiee límite. d) d 7; d 7; d 7; d 7; d 7; d 7; d 7 7; d 8 7. S 7; S ; S ; S 8; S 8; S 0; S 7 9; S 8. lím S +@. e) e 0; e ; e,; e 7,8; e 0,7; e,88; e 7 9,898; e 8,8808. S 0; S ; S,; S,8; S 7,; S 99,99; S 7 9,90; S 8,9908. Como r, > ; lím S +@. f) f 0; f ; f,; f 7,8; f 0,7; f,88; f 7 9,898; f 8,8808. S 0; S ; S,; S,88; S,8; S 9,07; S 7 0,8; S 8,9998. S o tiee límite. Uidad. Sucesioes 9
Págia EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Criterio para formar sucesioes Describe el criterio co el que se forma estas sucesioes y añade tres térmios a cada ua: a),,,,, b),,,,, c),, 0, 7,, d) 0,, 8,,, e),,, 0,, a) Cada térmio lo obteemos dividiedo etre el lugar que ocupa el térmio: a, a 7, a 8 7 8 b) Cada térmio es la raíz cuadrada del lugar que ocupa: a, a 7 7, a 8 8 c) Cada térmio es el cuadrado del lugar que ocupa más uidad: a 7, a 7 0, a 8 d) Cada térmio es el cuadrado del lugar que ocupa meos uidad: a, a 7 8, a 8 e) Cada térmio, a partir del segudo, se obtiee sumádole al lugar que ocupa el térmio aterior: a, a 7 8, a 8 Escribe los cico primeros térmios de las sucesioes cuyos térmios geerales so estos: a) + b) b 0 c) c d) d + e) e f) f ( ) a) a,; a,0; a,00; a,000; a,0000 8 b) b 0; b ; b ; b ; b 7 c) c ; c ; c ; c ; c d) d ; d ; d ; d ; d 8 0 Uidad. Sucesioes
UNIDAD e) e ; e ; e ; e ; e 0 f) f ; f 0; f ; f 0; f Escribe el térmio geeral de estas sucesioes: a),,,, b),,,, 9 7 8 c) 0,,,,, d),;,0;,00;,000; 0 7 a) b) b ( ) c) c d) d + + 0 Costruye dos sucesioes cuyas leyes de recurrecias sea las siguietes: a) a 0 a b) a a + a) 0,,,,,,,, b),,,,,,,, 8 8 Busca ua ley de recurrecia para defiir las siguietes sucesioes: a), 7,,, 7, b),,,,, a) a, a 7, par > b b) b, b, b par > b Progresioes aritméticas De las siguietes sucesioes, di cuáles so progresioes aritméticas y escribe su térmio geeral: a),;,;,;,8; ; b) ;,;,;,8;,; c),,, 7,, d),,, 8,, a) Es ua progresió aritmética co a, y d,., + ( ),,. b) Es ua progresió aritmética co b y d 0,. b + ( ) ( 0,) 0, +,. c) y d) o so progresioes aritméticas. Uidad. Sucesioes
7 De las sucesioes siguietes, idica cuáles so progresioes aritméticas: a) b) b 8 c) c d) d e) e + f) f a) ( ) + Es ua progresió aritmética co d. b) b b [( ) )] + + Es ua progresió aritmética co d. c) c, c, c, c, c c? c c. No es ua progresió aritmética. 8 8 ( ) 8 8 + d) d d Es ua progresió aritmética co d. Es ua progresió aritmética co d. f) f 0, f, f 8, f, e) e e + ( + ) + +. f f? f f. No es ua progresió aritmética. 8 Calcula los térmios a 0 y a 00 de las siguietes progresioes aritméticas: a),, 0,,, b),, 8,, 8, 7 c),,,,, a) a 0 a + 9d + 9 + 8 a 00 a + 99d + 99 + 98 9 b) a 0 a + 9d 9 a 00 a + 99d 99 9 9 Uidad. Sucesioes
UNIDAD c) a 0 a +9d + 9 0 a 00 a + 99d + 99 9 Calcula la suma de los primeros térmios de las siguietes progresioes aritméticas: a),, 9,,, b) ;,9;,8;,7;,; c) c d) d a) a ; a a + d + 7 (a S + a ) ( + 7) 97 b) b ; b b + d 0,, (b S + b ) ( +,) 9 c) c ; c 98 (c S + c ) ( + 98) 0 9 d) d ; d ( 9 (d S ) + d ), Progresioes geométricas 0 De las siguietes sucesioes, cuáles so progresioes geométricas? Escribe tres térmios más e cada ua y tambié su térmio geeral. a),, 8,,, b) ; 0,; 0,0; 0,00; c),, 9,,, d),,,,, a) Es ua progresió geométrica co a y r. a, a 7, a 8 ; ( ) b) No es ua progresió geométrica; b, b 7 9, b 8, b. Uidad. Sucesioes
c) Es ua progresió geométrica co c y r 0,. c 0,0000; c 7 0,00000; c 8 0,000000; c 0, 0, d) Es ua progresió geométrica co d y r. d 8; d 7 8 ; d 8 ; d ( ) ( ). Calcula la suma de los primeros térmios de las siguietes progresioes geométricas y halla la suma de los ifiitos térmios e los casos que sea posible: a) a, r b) a 0, r 0 c) a 0, r d) a, r a a S r r a a, S @ r r ( ) a) S,99999809 S @ r 0 ( ) 0 0 00 b) S, S @ 0 00, 9 r 9 0 0 c) S 0 0 77,9990 78 No se puede calcular S @ porque r o es mayor que. ( ) ( ) ( ) a r d) S S @ ( ) a a Págia Suma de potecias a) Demuestra que: + + + 8 + 0 ( + + + + ) b) Calcula la suma de los cuadrados de los 0 primeros úmeros pares. c) Calcula la suma de los cuadrados de todos los úmeros impares meores que 00. Uidad. Sucesioes
UNIDAD a) + + +8 +0 ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ( + + + + ) b) + + + + 98 + 00 ( + + + + 9 + 0 ) 0 0 7700 c) + + + + 99 ( + + + + + 99 + 00 ) ( + + + + 98 + 00 ) 00 0 0 7 700 8 0 7 700 0 Halla la suma siguiete: + + + + 7 + 8 + 9 + 0 + + 0 ( + + + 0 + + + 0 ) ( + + 0 ) 0 0 7 00 00 8 00 Límite de ua sucesió Calcula los térmios a 0, a 00 y a 000, e cada sucesió e idica cuál es su límite: a) b) c) d) 7 a) a 0 0, ) ; a 00 0, ) 0; a 000 0, ) 00 lím 0 b) a 0,; a 00,0; a 000,00 lím c) a 0 0,; a 00 0,9; a 000 0,99 lím d) a 0,7; a 00 97; a 000 997 lím @ + Uidad. Sucesioes
Halla alguos térmios muy avazados de las siguietes sucesioes e idica cuál es su límite: a) 0 b) b 00 c) c d) d + a) a 0 0; a 00 90; a 000 990 lím +@ b) b 0 90; b 00 0; b 000 900 lím b @ c) c 0 0,; c 00 0,90; c 000 0,99 lím c d) d 0 0,7; d 00 0,98; d 000 0,998 lím d 0, + Estudia el comportamieto de las siguietes sucesioes para térmios muy avazados e idica cuál es el límite de cada ua de ellas: a) 0 b) b c) c 0 + d) d ( ) e) e ( ) f) f ( + ) a) a 0 90; a 00 9 990; a 000 999 990 lím +@ b) b 0 70; b 00 9 700; b 000 997 000 lím b @ c) c 0 0; c 00 9 0; c 000 99 00 lím c +@ d) d 0 ; d 00 9 0; d 000 99 00 lím d +@ e) e 0 ; e 00 88 7; e 000 988 07 9 lím e @ f) f 0 ; f 00 0 0; f 000 00 00 lím f @ Uidad. Sucesioes
UNIDAD 7 Estudia el comportamieto de las siguietes sucesioes para térmios muy avazados e idica cuál es el límite de cada ua de ellas: a) b) b c) c + d) d e) e f ) f g) g ( ) h) h a) a 0 0,0; ) a 00 0,00; ) a 000 0,000 ) lím 0 b) b 0 0,; b 00 0,0; b 000 0,007 lím b 0 c) c 0 0, 7; ) c 00 0, 097; ) ) c 000 0, 00997 lím c 0 d) d 0 0,97; d 00 0,09997; d 000 0,00999997 lím d 0 e) e 0 0,0; e 00 0,000; e 000 0,00000 lím e 0 f) f 0 ; f 00 0,0; f 000 0,000 lím f 0 g) g 0 ; g 0 ; g 000 ; g 0 00 La sucesió o tiee límite. h) h 0 0,0909; h 00 0,0099; h 000 0,000999; h 00 0,000999 lím h 0 + + 00 ( ) + PARA RESOLVER 8 Calcula el. térmio e la siguiete progresió: ;,7;,;,; Es ua progresió aritmética co a y d 0,. Por tato, a a + d 0,,,. Uidad. Sucesioes 7
9 Halla el cuarto térmio de ua progresió aritmética e la que d y a 0 00. a 0 a + d 8 a a 0 d 00 0 Calcula la suma de todos los úmeros impares de tres cifras. Es la suma de los térmios de ua progresió aritmética e la que el primer térmio es 0, el último es 999, y hay 0 sumados: (0 + 999) 0 S 7 00 Cuáto vale la suma de los 00 primeros múltiplos de 7? Queremos calcular la suma de los 00 primeros térmios de ua progresió aritmética e la que a 7 y d 7. (a S 00 + a 00 ) 00 (7 + 700) 00 0 E ua progresió aritmética sabemos que d, y S. Calcula y a. a +( ) d 8 a +( ) (a + ) (a + ) S 8 a + 8 a 7 (7 + ) 8 (7 ) 7 8 7 + 0 7 ± 0 9 7 ± 89 7 ± a 7 9 7 7 0 8 a 0 / (o vale) 9 Los lados de u hexágoo está e progresió aritmética. Calcúlalos sabiedo que el mayor mide cm y que el perímetro vale 8 cm. Llamamos a los lados a, a, a, a, a y a. Sabemos que a cm y que S 8. Por tato: a a +d 8 a +d 8 a d (a + a ) S 8 8 ( d + ) 8 8 ( d) 0 8 78 d 8 d 0 8 d 8 d a 0 8 a Los lados del hexágoo mide cm, cm, 7 cm, 9 cm, cm y cm. 8 Uidad. Sucesioes
UNIDAD E u cie, la seguda fila de butacas está a 0 m de la patalla y la séptima fila está a m. E qué fila debe setarse ua persoa que le guste ver la patalla a ua distacia de 8 m? a 7 8 a 7 a + d 0 + d 8 d, (La distacia etre las dos filas cosecutivas es de, metros). Buscamos para que 8 m: a +( ) d 8,8 + ( ), 8 8 8,8 +,, 8, 0, 8 7 La fila 7 está a 8 metros. Escribe los térmios itermedios de ua progresió aritmética sabiedo que a y a 0 8. a 0 a + 9d + 9d 8 8 d 9 9 Los térmios so: a, a, a, a, a, a, a 7, 0 7 a 8, a 9, a 0 8. 7 Halla los dos térmios cetrales de ua progresió aritmética de 8 térmios sabiedo que S 8 00 y que a + a 8 8. Teemos que calcular a y a. Sabemos que: (a + a 8 ) 8 S 8 (a + a 8 ) 00 8 a + a 8 a + a 8 8 Restado a la. a ecuació la. a, queda: a 8 8 a a 8 8 a a 8 a + 7d + 7d 8 d Por tato: a a + d + 9 a a + d + a a 7 E ua progresió geométrica, a 8 y a 0,. Calcula a y la expresió de. a a r 8r 0, 8 r 0,0 8 r ± 0, ± Uidad. Sucesioes 9
. er caso: r 0,. caso: r 0, a a r 0,0 a a r 8 ( ) 0,0 a r 8 ( ) 8 ( ) 8 E ua progresió geométrica de razó r coocemos S. Calcula a y a. a a S r r a a a 78a 79 a r r a 8 a a a r 7 08 9 La maquiaria de ua fábrica pierde cada año u 0% de su valor. Si costó milloes de euros, e cuáto se valorará después de 0 años de fucioamieto? Al cabo de año valdrá 8 ( 0 ) 0,8 Al cabo de años valdrá 8 ( 0 ) 0,8 Al cabo de 0 años valdrá 8 ( 0 ) 0,8 0 9 9,7 0 El de eero depositamos 000 e ua cueta bacaria a u iterés aual del % co pago mesual de itereses. Cuál será el valor de uestro diero u año después? U % aual correspode a 0,% mesual. Cada mes el diero se multiplica por,00. Al cabo de mes tedremos 8 000,00 Al cabo de meses tedremos 8 000,00 Al cabo de meses tedremos 8 000,00 08,9 0 Uidad. Sucesioes
UNIDAD Págia La suma de los ifiitos térmios de ua progresió geométrica es igual a y a. Calcula a y la razó. a a r 8 a r a /r S 8 r r r r r r r ± r + 0 8 r 8 r 8 a 8 8 Comprueba, dado valores grades, que las siguietes sucesioes tiede a u úmero y di cuál es ese úmero: a) b) b + c) c + d) d a) a 0,8; a 00,7; a 000,97 lím, b) b 0,970; b 00,9997; b 000,999997 lím b + c) c 0,000977; c 0,0000009 lím c d) d 0 0,9; d 00 0,0999; d 000 0,0099999 lím d 0 Calcula el límite de las siguietes sucesioes: ( ) a) + b) b + + c) c d) d + e) e ( + ) f ) f ( ) + a) a 0 0,78; a 00 0,9798; a 000 0,9980 lím Uidad. Sucesioes
b) b 0 0,0; b 00 0,000; b 000 0,00000 lím b 0, c) c 0 9,80; c 00 0,; c 000 9,90 lím c + d) d 0,7; d 00,97; d 000,997 lím d e) e 0 0,797; e 00 07,78; e 000 007,07 lím e + f) f 0 0,70; f 00 0,909; f 000 0,99 lím f Comprueba si tiee límite las siguietes sucesioes: a) ( ) b) b + ( ) c) c d) d + + ( ) + ( ) a) a 00,0; a 0,0099; a 000,00; a 00,000999 Los térmios pares tiede a y los impares a. o tiee límite. b) b 0; b ; b 0; b, Los térmios impares so 0 y los pares so. b o tiee límite. c) c 0; c ; c 0; c 0,; ; c 00 0,0 Los térmios impares so cero y los pares tiede a cero. lím c 0. d) d 0; d,; d 0,7; d,; ; d 00,0; d 0 0,99 lím d. Uidad. Sucesioes
UNIDAD Dadas las sucesioes y b, estudia el límite de: + a) + b b) b c) b a) A + b + + A 0 00,0099; A 00 0 000,000 lím ( + b ) +@ b) B b + B 0 0,990; B 00 0,9999 lím ( b ) c) C ( + ) + ( + ) b C 0 0 00; C 00 00 00 000 a lím ( ) +@ b + Durate años depositamos e u baco 000 al % co pago aual de itereses. a) E cuáto se covierte cada depósito al fial del quito año? b) Qué catidad de diero hemos acumulado durate esos años? a) Al fial del º año: Los primeros 000 se covierte e 000,0, Los segudos 000 se covierte e 000,0 9,7 Los terceros 000 se covierte e 000,0 9,7 Los cuartos 000 se covierte e 000,0, Los quitos 000 se covierte e 000,0 080 b) Sumamos las catidades ateriores: 000,0 + 000,0 + 000,0 + 000,0 + 000,0 000(,0 +,0 +,0 +,0 +,0) (*),0 000,0,9,0 (*) Suma de ua progresió geométrica co a,0 y r,0. Uidad. Sucesioes
7 Recibimos u préstamo de 000 al 0% de iterés aual y hemos de devolverlo e años, pagado cada año los itereses de la parte adeudada más la cuarta parte del capital prestado. Calcula lo que teemos que pagar cada año. a 00 + 000 0, 700 a 00 + 00 0, 0 a 00 + 000 0, 00 a 00 + 00 0, 0 8 Halla el térmio geeral de la sucesió:,,,,, y estudia su límite. / a ; a,; a,99; a,89; ; a 0,078 a 00,009; lím 9 Dadas las sucesioes + y b, calcula los siguietes límites: a) lím ( + b ) b) lím ( b ) c) lím ( b ) d) lím b a) A + b + + lím ( + b ) b) B b + ( ) + + + B 0 ; B 00 0; B 000 00 lím ( b ) +@ c) C b ( + ) ( ) + + C 0 0; C 00 0 09; C 000 000 99 lím ( b ) @ + d) D b D 0,; D 00,0; D 000,00 a lím b Uidad. Sucesioes
UNIDAD 0 La sucesió x x + ; x + ; x + x +, es ua progresió aritmética? Si lo fuese, calcula el quito térmio y la suma de los cico primeros térmios. Llamamos a x x + ; a x + ; a x + x +. Veamos si la diferecia etre cada dos térmios cosecutivos es la misma: a a x + (x x + ) x + x + x x a a x + x + (x + ) x + x + x x Por tato, sí es ua progresió aritmética co a x x + y diferecia d x. Así, teemos que: a a + d x x + + x x + x + (a (x S x + + x + a ) + x + ) (x + x + ) x + x + (x + x + ) Halla la siguiete suma: + + + 7 + + Llmamos S + + + + + + + + 0 + + + + + 7 + + + + ( + + + 7 ) 8 7 98 Por tato: + + + 9 + + + + + 7 7 98 7 S 7 ( + + + 9 ) 7 8 CUESTIONES TEÓRICAS Sea ua progresió aritmética co d > 0. Cuál es su límite? Si d > 0, la sucesió se va haciedo cada vez mayor. Por tato, lím +@. Si es ua progresió geométrica co r, cuál es su límite? Al ir multiplicado por Es decir, lím 0. sucesivamete, los térmios se va aproximado a cero. Uidad. Sucesioes
La sucesió,,,, puede cosiderarse ua progresió aritmética y tambié geométrica. Cuál es la diferecia e el primer caso? Y la razó e el segudo? Es ua progresió aritmética co d 0. Tambié es ua progresió geométrica co r. E ua progresió geométrica cualquiera, a, ar, ar, ar,, comprueba que: a a a a a a Se verifica tambié a a 7 a a? Eucia ua propiedad que exprese los resultados ateriores. a a a (a r ) a r a a (a r) (a r ) a r a a (a r ) (a r ) a r So iguales a a 7 (a r ) (a r ) a r 8 a a (a r ) (a r ) a r 8 So iguales Propiedad: Si es ua progresió geométrica, se verifica que a p a q a m siempre que p + q m +. ) El úmero,9 podemos cosiderarlo como la suma de los ifiitos térmios de la sucesió: 9 9 9,,,, 0 00 000 Calcula la suma y halla su límite. Te parece razoable el resultado obteido? 9 9 9 ) + + + + + 0,9 + 0,99 + 0,999 +, 9 0 00 000 9 9 9 Si cosideramos la progresió geométrica,,, y sumamos todos 0 00 000 sus térmios, queda: 9 9 a S 0 0 r 9 0 0 9 0 9 00 9 000 Por tato: + ( + + + ) + Uidad. Sucesioes
UNIDAD 7 Iveta dos sucesioes cuyo límite sea ifiito y que, al dividirlas, la sucesió que resulte tieda a. Por ejemplo: ; b + lím +@; lím b +@ a lím lím + b Págia 7 PARA PROFUNDIZAR 8 Dibuja u cuadrado de lado cm y sobre cada lado u triágulo rectágulo isósceles; después dos, luego cuatro, como idica las figuras: a) Forma la sucesió de los perímetros de las figuras obteidas. Cuál es su límite? b) Forma tambié la sucesió de las áreas. Cuál es su límite?. er paso:.º paso:. er paso: / / / / / / Perímetro 8 cm Perímetro 8 cm Perímetro 8 cm Área + cm Área + cm Área + cm Perímetro 8 cm Paso -ésimo: Área + ( ) cm Uidad. Sucesioes 7
a) 8, 8, 8, 8, ; P 8; lím P 8 b),,, ; A + ( ) ; lím A (que es el área del cuadrado de lado ). 9 Los térmios de la sucesió,,, 0, se llama úmeros triagulares porque se puede represetar así: Calcula a 0 y. a ; a + ; a + + ; a + + + 0; ( + 0) 0 0 a 0 + + + + 0 + + + + ( + ) 0 Los térmios de la sucesió,,,, se llama úmeros petagoales porque se puede represetar así: Calcula a, a 0 y. Esos úmeros se puede escribir así: ; + ; + + 7; + + 7 + 0; + + 7 + 0 + a ; a + ; a + + 7 ; a + + 7 + 0 Observamos que vamos obteiedo las sumas de los térmios de ua progresió aritmética co a y d. E el paso -ésimo tedremos: + + 7 + + ( + ( ) ) + + 7 + + ( ) ( + ( )) ( + ) ( ) Por tato: 7 9 0 a 7 ; a 0 8 Uidad. Sucesioes
UNIDAD Utiliza las propiedades de las progresioes para simplificar la expresió del térmio geeral y calcular el límite de las siguietes sucesioes: a) + + + + b) b + + + + ( ) ( + ) + a) ( + + + + ) ( ) ( ) + Hallamos el límite: a 0 0,; a 00 0,0; a 000 0,00; lím 0, ( + ) + b) b ( + + + + ) ( ) ( ) + ( + ) + b 0 ; b 00 0; b 000 00; lím b +@ + AUTOEVALUACIÓN. Halla el térmio a 7 de la sucesió cuyo térmio geeral es: 709 + 7 709 09 709 a 7 0 7 + 0. Halla el térmio octavo de la sucesió defiida así: a, a 7, + + a 8 a a 7 a a 7 a a a a a a a a a a a a 7 a 7 a a 9 a 8 a a 7 Uidad. Sucesioes 9
. Halla el térmio geeral de las sucesioes: a), 7,,, 9,, b),,, 0, 7,, a) Es ua progresió aritmética de diferecia d y primer térmio a. a + ( )d + ( ) b) El térmio geeral de la sucesió 0,,, 9,,, es ( ). Por tato,,,, 0, 7,, tiee por térmio geeral ( ) + +.. Halla la ley de recurrecia por la que se forma las siguietes sucesioes: a) 7, 8,,, 8,, b),,,,, 9, 7,, c) 0,,,,,, 0, 7,... a) Cada térmio, a partir del tercero, es la suma de los dos ateriores. Por tato: a 7 a 8 + b) Cada térmio, a partir del cuarto, es la suma de los tres ateriores. Por tato: a a a + + c) Cada térmio, a partir del cuarto, es la suma de los tres ateriores. Por tato: a 0 a a + +. Halla las siguietes sumas: a) + 7 + + + b) 000 + 000, + 000, + + 000, c) 80 + 0 + 0 + 0 + + d) 0 + 0 + 0 + + 0 e) + + + + a) Es la suma de los oce primeros térmios de ua progresió aritmética de primer térmio a y diferecia d. a a a S + a + b) Es la suma de los quice primeros térmios de ua progresió geométrica de primer térmio a 000 y razó r,. a 000, S r a 000 8 S 77,8 r, 0 Uidad. Sucesioes
UNIDAD c) Es la suma de los ifiitos térmios de ua progresió geométrica de primer térmio a 80 y razó r /. a S @ 80 0 r / d) + + + + ( + )( + ) 0 + 0 + 0 + + 0 ( + + + + 0 ) ( + + + + 00 ) 0 8 00 0 0 90 00 00 8 0 e) + + + + ( + ) + + + + ( + + + + ) ( + ) 9 9. E ua progresió aritmética coocemos a y a 8 8,. a) Calcula a + a 00. b) Obté el valor de a 0. a a + d a 8 a + 8d 8, a 0,, 8 8d d, 8 d 0, a) a + a 00 a + a 8 + 8, 8, pues + 00 + 8 (a y a 8 equidista de a y a 00 ). b) a 0 a + 9 d, + 9 0, 7. Halla los límites de las siguietes sucesioes: + b c + + a) a 0 0, a 00 0,0 a 000 0,00 8 lím 0 + b) b 0,8 b 00,0 b 000,00 8 lím + + c) c 0,0 c 00 0,00 c 000 00,000 8 lím +@ Uidad. Sucesioes