TRILE pítulo MD Y MM DE POLINOMIOS FRAIONES ALGEBRAIAS Rgl pr lulr l MM y MD Poliomios :. S ftoriz los poliomios os.. El MD strá formo por l multipliió toos los ftors primos omus los poliomios os, osiros o su mor pot.. El MM stá formo por l multipliió ftors primos o omus y omus, los poliomios os, osiros o su myor pot. Ejmplo : Hllr l MD y MM los poliomios: P() Q() Ftorizo : P() ( ) ( ) " Q() ( )( ) MD[P();Q()] MM[P();Q()] ( ) ( )( ) Propi : Dos los poliomios A y B. MD ( A, B).MM (A, B) A FRAIÓN ALGEBRAIA Es to prsió l form B A o por lo mos "B" sr litrl. Ejmplo : * So frios lgris,, pro :, 7 5 o so frios lgris B Simplifiió Frió Algri Pr por simplifir, l umror y omior str ftorizos pr lugo lr los ftors qu prst omú. Ejmplo : Simplifir : Rsoluió : 9 5 ( )( ) = = 5 ( 5)( ) 5 Oprios o Frios 5 I. Aiió y/o Sustrió : E st so, s srio r omú omior (MM los omiors), slvo qu ls frios s homogés (omiors iguls). Así tmos : A. Frios Homogés : Ejmplo : A B A B B. Frios Htrogés : Ejmplo : A B Ap Bmp m m p mp. Rgl Práti (pr frios): A B AD B D BD 59
Álgr II. Multipliió : E st so, s multipli umrors tr sí, igul mr los omiors. Ejmplo : A B D A B D III. Divisió Frios : E st so, s ivirt l sgu frió y lugo s jut omo u multipliió. Importt : grlmt s ovit simplifir ls frios ts, y spués oprr frios. Trsformió Frios Frios Prils Est s u proso ivrso l iió o sustrió frios. Es ir u frió s trsform l iió o sustrió frios qu l iro orig, vmos : Ejmplo : A B D A B D A B ó D AD B A B D * Eftur : * Trsformr frios prils : 0
TRILE EJERIIOS PROPUESTOS 0. Hllr l MD los poliomios : M() N() ( ) ( 7) ( 9) ( 0) ( 7) ( ) ) (-7)(+) ) + 9 ) + 0 ) ( 7) ( ) ) (+0)(+9)(+)(-7) 0. Iir l MM los poliomios : P() F() ( ) ( )( ) ( ) ( ) ) (-)(+)(+) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) 0. Hllr l MD los poliomios : P(; y) F(;y) y y y y ) + y ) - y ) - y ) + y ) - y 0. El vlor umério l MD los poliomios : F() P() pr : =, s : ) 5 ) ) 5 ) ) 05. uátos ftors urátios prst l MM los poliomios? P() 8 Q() 5 8 R() 8 ) 0 ) ) ) ) 0. lulr l MD os poliomios, si l prouto llos s ( ) y l ivisió tr l MD y l MM s ( ). ) + ) - ) ( ) ) ( ) ) 07. Lugo ftur : l umror otio, s : ) ) - ) + ) + ) - 08. Eftur : Iir l uo l omior. ) ) ) ) ( ) ) ( ) 09. L frió quivl : m, tos ; m - s igul : ) - ) ) ) - ) - 0. Eftur :. Iir l otv prt l umror simplifio. ) 0,5 ) 0,5 ) 0,5 ) 0,5 ) 0,5. Eftur : ) ) ) ). Al simplifir : ) () otmos (m)() lulr : m, si : m, Z.
Álgr ) 7 ) 8 ) ) ) 57. Simplifir ls frios : ; iir l sum los omiors. ) - ) + ) - ) + ) +. Simplifio : ; otmos : ) ) ) ) 5. Simplifio : ) ) ) ) ) ) 9. Al sompor lulr : ( 5 ). otmos : ) ) 7 ) ) ) m 0. Si l frió : P(; ) s ipit sus vrils, tos quivl : ) 0 ) 80 ) 0 ) ) 00 m y ; tmos :. Hllr l M..D. los siguits poliomios : A B 0 9 9 7 ) - y ) y y ) ) ) y y. Eftuo : otmos l umror. ) ) - ) - ) ) 7. Simplifir : 8 sñlr u térmio l omior. ) -7 ) -5 ) -8 ) ) - 8. Simplifir ls frios : y ; y y y y iir l ifri los omiors. ) ) ) ) ). Si : P y Q so os poliomios ftorizls fiios por : P() Q() Tl qu, l MD (P, Q) = (-)(+), tos l sum ofiits l poliomio MM (P, Q), s : ) 9 ) 8 ) ) ) 0. Eftur : 5 ) ) ) ) ) 0
TRILE. Rsolvr : f() ) - ) + ) ) ) 0 5. L frió : 7 5 A B frios : ;. lulr : (A.B). ) 0 ) -0 ) ) -5 ) -. Sio qu : + y + z =. lulr : ; s otuvo sumo ls y z M y yz z yz ) ) - ) - ) ) 7. ooio qu rsult :, l prsió : ( )( ) ) 0 ) ) - ) ) 8. Si : + + = 0. lulr : () () () K ( ) ) ) ) ) ) 9. Al rlizr : s oti u poliomio sguo gro. Iir l sum ofiits iho poliomio. ) 8,5 ) 9,5 ) 0,5 ),5 ),5 0. Eftur : ( )( ) ( )( ) ( )( ) R ( )( ) ( )( ) ( )( ) ) 0 ) - ) ) ). L prsió simplifi :. Si : s : ) ) ) ) ) A B ( ) 5 ( 5) ( 5)[( 5) ] Hllr : ( A B). ) ) ) 7 ) 9 ). Si : + + + = 0. Hllr : S ) ) ) ) / ) /. L prsió : quivl : ) ) m m m m ) ) m m m m m 5. Pr qué vlor "" s umpl qu : ) m m ( y ) y( ) ; y 0 ( y ) y( )
Álgr ) - ) 0 ) ) ). Eftur : 8y y y Z 8 y y ( )( ) 8 y y ) ) ) ) 0 ) - 7. Simplfiir : ) ) ) ) 5 ) 5 Tomr l vlor. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ),5 ) 7, ) 0, ), ). Si l MD los poliomios : P() 8 Q() s sguo gro, otrr l sum los ftors o omus. ) + ) + ) + ) + ) + 5. Eftur : ) y z K ( y)( z) (y )(y z) (z y)(z ) ) ) 8. Si : M ; N Etos MN, s igul : ( ) ) ) ( ) ( ( ) ) ) ) ) ( ) ) ). Sio qu : A ; B. lulr : A. B 9. Si : lulr : ) ) - ) ) - ) 0. A prtir l rlió : ( ) ( ) ( ) M ) ) ) ). Si : + y + z + yz = 0. lulr : ) ( )(y )(z ) ( )(y )(z ) ) 0 ) ) - ) ) Dtrmir l vlor "M" qu h qu l frió :
TRILE 5. Si s umpl :. Si : otr E prtir : E ) ) 7 ) ) 9 ) 8 ; y y más : ( lul : ) ; z ( ) y z. ( ) ) ) 5 ) 7 ) 9 ) 7. lulr l vlor : sio qu : ( y) (y z) (z ) E y z ( y z) 5 5 y z 5 ) ) -/ ) -/ ) / ) 8. Si :,,, so úmros ifrts y : P() ( )( )( ) lulr : M P() P() P() ) - ) - ) 0 ) ) 9. Si : (y z) (z ) ( y) lulr : y z. S ; y z z y ) 8 ) ) ) ) 50. Sio qu : 5. Si : 5. Si : lulr : ) 0 ) ) - ) ) - Hllr : M ) ) - ) ) ) -8 lulr : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P () () () ) ) ) ) 8 ) 5. Simplifir : M 5 (p q) p q (p q) p q (p q) p q ) ) p q pq p q p q q p ) p q ) p q p q ) q p p q 5
Álgr 5. Si : y y y lulr : ) ) / ) / ) / ) / 55. Sio qu : 5. Si : Hllr : 0 ( ) ( ) ( ) ) ) 0 ) - ) ) Ruir : ( )(z ) ( )(z ) ( )( y) ( )(y z) ( )(y z) ( )( y) y y ( )(z ) ) ) yz ) 0 ) ) N.A. 57. Si : + + = 0 Sñl l sum ofiits los térmios otios l ruir : 58. Si : + y + z = 0. Ruir : ( y) R (y ) (y z) (z y) (z ) ( z) ) ) ++ ) ) ) - 59. Ruir : Iio : E. 000 k 000 E k 000 k ) ) - ) ) - ) 0. Ruir : ) ) ( ) ( ) ) ) 000 ( ) ( )... ( )... ( ) ) ( ) ) ) ) ) ) 5
TRILE 7 lvs lvs 0. 0. 0. 0. 05. 0. 07. 08. 09. 0..... 5.. 7. 8. 9. 0..... 5.. 7. 8. 9. 0..... 5.. 7. 8. 9. 0..... 5.. 7. 8. 9. 50. 5. 5. 5. 5. 55. 5. 57. 58. 59. 0.
Álgr 8
TRILE pítulo 7 TEOREMA DEL BINOMIO Trt l srrollo o psió : ( ) pr "" tro y positivo. Prvimt stuirmos lguos optos ásios srios pr st pítulo. Ftoril El ftoril u úmro "" (tro y positivo), s l prouto multiplir toos los úmros osutivos s l ui hst l úmro "". Smiftoril S rprst por : N!! y su fiiió p, si "N" s pr o impr. N (pr ) ()!! ()!! (!)... Notió! ftoril "" N ( impr) ( )!! 5... ( ) ()! ( )!!! Por fiiió : Osrvió :!... ( )!! smiftoril "". (!)! ftoril ftoril "" Ej. *! *! 5 70 Dfiiios : Ftoril ro 0! Ftoril l ui! Propi 78!! ( )! Ej. 80!... 78 79 80 80! 79! 80 79! 80! 78! 79 80 Igul Ftoril : I. Si :! 0 ó II. Si :!! (, 0, ) Ej. (!)! =! = 7!! = = PERMUTAIONES ANÁLISIS OMBINATORIO Prmutr "" lmtos s formr grupos "" lmtos uo, tl qu u grupo s ifri l otro por l or : Ej. Pmutr :,, ( lmtos) Formo grupos Númro Prmutios # prmuts = S rprst por : P y s oti por l siguit fórmul: Ej. P! P! 9
Álgr VARIAIONES Formr vriios o "" lmtos tomos "k" "k". Es formr grupos "k" lmtos uo, tl mr qu u grupo s ifri l otro l or, o lgú lmto. Ej. : Formr vriios o :,,,. Trmos : # vriios = El úmro Vriios s rprst por : Fórmul :! Vk ( k)!! Ej. V ( )!! OMBINAIONES V k Formr omiios o "" lmtos tomos "k" "k". Es formr grupos "k" lmtos uo, tl qu u grupo s ifri l otro por lo mos u lmto. Ej. Formr omiios o :,,,,. Trmos : Númro omitorio # omiios = El úmro omiios forms s omi úmro omitorio, s rprst por : Fórmul :! k ( k)!k!! Ej. ( )!! Propis l Númro omitorio k. Sum omitorios k k k. Dgrió omitorios * * * k k k k k k k k k k FÓRMULA DEL TEOREMA DEL BINOMIO Est fórmul triui iorrtmt Nwto os prmit otr l srrollo ( ), sio "" tro y positivo. (El port Nwto fu l srrollo uo "" s gtivo y/o friorio). Fórmul : ( ) 0... Ej. ( ) 0 ( ) Osrvios l srrollo ( ). El úmro térmios l srrollo, s l pot l iomio umto uo. Es ir : # térmios = +. Si l iomio s homogéo, l srrollo srá homogéo l mismo gro.. Si los ofiits l iomio so iguls, los ofiits los térmios quiistts los trmos, so iguls.. Roro qu l sum ofiits s oti pr = =, trmos : 0.... 0. omitorios omplmtrios k k FÓRMULA DEL TÉRMINO GENERAL S utiliz pr otr u térmio ulquir l srrollo fuió l lugr qu oup. S rprst por : T k 70
TRILE Fórmul : E ( ) II. Fórmul pr : k k Tk k ( ) : gtivo y/o friorio - < < ; 0 E o : pot l iomio k+ lugr l térmio, térmios l iomio Ej. Hll l térmio lugr 0 l srrollo : trmos : T 0 ( y ) 0 09 9 9 9 ( ) ( y ) 0 7 0 9 y T ( ) ( 0) ( ) ( ) ( )... III. Númro térmios :... k) : tro y positivo. ( ( k )! # térmios!(k )! IV. E : (... k) : tro y positivo. OTRAS DEFINIIONES Y FÓRMULAS I. ofiit Bióio : S rprst por ( ) ; k R ; k Z sio su srrollo : ofiit! l... k!!!...! ( )( )...[ (k )] ( ) k k! Osrvios ; * Si Z : ( ) k k * ( ) 0 7
Álgr 0. Ruir : 0! 5! M 5!! EJERIIOS PROPUESTOS ) U úmro primo. ) U uro prfto. ) U úmro impr. ) U úmro pr. ) U múltiplo. ) ) ) ) 5 0. lulr "", si : ) 8 5 ( )( )!( )! 7! ( 5)! ( )! ) ) 0 ) ) ) 8 0. Rsolvr :! ( )!!! ( )! ) ) ) 5 ) ) 7 0. lulr "" qu vrifiqu : 8 0 ) 7 ) 8 ) ) ) 0 05. Rsolvr : (!) ()! 7 9 ) 5 ) 7 ) 8 ) 9 ) 0. Dtrmir "" qu vrifi l uió : 8 8 7 ) 8 ) 0 ) ) ) 07. E l sum omitori : o : N,. S Al simplifir, s oti simpr. 08. Dtrmir l térmio lugr 0 l psió : ) ) 5 0 ) 0 ) 5 7 7 0 ) 0 0 09. Pr qué vlor "" l trr térmio l srrollo ( : 7 ) l ofiit s igul l pot ) 5 ) ) 7 ) 9 ) 8 0. lulr "", si l srrollo : ( 0,5 ) l ovo térmio s gro 0. ) 5 ) 5 ) 0 ) 5 ) 0. lulr ( + k), si s s qu l urto térmio l srrollo ( ) s k 80. ) 5 ) 9 ) ) 0 ) 7. Hllr l lugr qu oup u térmio l srrollo : ( ) qu ti omo prt litrl ) 9 ) 5 ) ) 7 ).. lulr l térmio ipit l srrollo : ( 5 ) 97 ) 8 ) 8 ) 5 ) 7 7. Al srrollr ( 5 y ) l sum toos los pots "" "y" s "" vs l sum ofiits, hllr "". 5 ) ) ) 5 ) ) 7 ) 7
TRILE 5. El prouto ls sums ofiits los srrollos : ( y ) ; ( 5y) s 7. Hll l úmro térmios l srrollo : (9 y). ) ) 7 ) 8 ) 9 ) 0. Si : ( + )! -! = 8. El vlor : (+)! +! s : ) ) ) 0 ) 5 ) 0 7. Rsolvr :..9.....( ).() 9 ) ) 8 ) ) 8 ) 8. L sum "" y l mor vlor "k", qu stisf ls siguits oiios :! = 70 y = 5 s : k ) 8 ) ) ) 9 ) 7 9. Dtrmir "" y "" l igul :!.! (!) ) = 7, = ) = 8, = 9 ) =, = ) =, = ) = 5, = 0. lulr "" l uió : (! )! 5 (! 5) (! 5) ) ) ) ) ) 5. Dtrmir l púltimo térmio l srrollo : ( y ). ) ) y ) y ) y ) y! y. Proporior l ofiit l térmio gro 7 l srrollo ( 7 7 7 ). ) ) 5 ) ) 70 ). Qué lugr oup l térmio qu oti srrollo ( )? ) 5to. ) to. ) 8vo. ) to. ) vo.. Si l srrollo : B() y 9 l ist u térmio uyos pots "" é "y" so rsptivmt 5 y 8. Hll l úmro térmios l srrollo. ) 8 ) 7 ) 9 ) ) 0 5. El térmio ipit "", : 9 ( ) s : 5 ) 0,08 ) 0,00 ) 0,08 ) 0,00 ) 0,05. Dtmir l térmio riol l srrollo : 5 ( ) ) 0 ) 0 ) 0 ) 0 ) 50 0 7. E l srrollo ( y), l ofiit s : ) 80 ) 50 ) 0 ) 0 ) 55 y 8. Iir l lugr qu oup l térmio qu sólo p "" : 00 y y ) ) ) 9 ) ) Es imposil trmirlo. 9. lulr "", si l srrollr : ( ).( ) ( ), s oti 5 térmios. ) 0 ) 8 ) 8 ) 0 ) 0. Dos térmios osutivos l srrollo ( ) ti igul ofiit; lugo stos térmios so : ) Primro y sguo. ) Sguo y trro. ) Trro y urto. ) Atpúltimo y púltimo. ) Púltimo y último. 7
Álgr. uátos térmios irriols prst l srrollo : 8? ) ) ) ) ). uátos térmios friorios hy l srrollo : 00 ) 8 ) ) ) 5 ) 7. El srrollo ( ), pos térmios más qu l srrollo ( ). lulr :. ) ) 0 ) 5 ) ) 8. lulr : +, si :!! ( 0. ) ((!)!) 70 ) 5 ) ) 7 ) 8 ) 9 5. Dtrmir l vlor "m" l prsió : (m)! m.m!...5...(m ) ) 5 ) 5 ) ) 7 ) 777. lulr "+k", : 9 k 0 k k k ) 0 ) ) 7 ) 50 ) Hy orrts 7. Sio qu : m m m m m m lulr l vlor "m-", sio : 0. ) ) ) ) ) 8. Si : k k0 k k ( )! k k!( k)! lulr : k k ) ) ) ) ) 9. lulr "", si Z : y F( ;y) y pr qu l srrollo ih poti os térmios osutivos l mismo s ipits "" "y" rsptivmt. ) ) ) ) 5 ) 0 0. E l srrollo : ( ), l ofiit s vs l ofiit. lulr l térmio ipit l srrollo. ) ) 9 ) 5 ) ). Hllr l térmio trl l srrollo : B( ;y) ( y ) si iho térmio trl s gro "". ) 0 y 9 ) 0 y 9 ) 9 y ) 0 y 5 ) 0 y. Los ofiits los térmios trls los srrollos : ( ) y ( ) ; Z ; so tr sí omo 5 s. lulr "". ) ) ) ) ) Hy os orrts.. Do los térmios smjts uo l srrollo ( y ) y otro y ( y ) mos oup l mism posiió poliomio. Dtrmir l vlor : ( ) ) ) ) ) 9 ) 7
TRILE. Si l srrollo ( ), los térmios lugrs + y - quiist los trmos; más l sum toos los ofiits s 7. Hllr l sum toos los pots vril "" su srrollo. ) 0 ) 8 ) ) ) 5 ( ) 5. lulr : ; 0. () Sio qu os térmios ulsquir l srrollo : F(, y) ( y ) prst l mismo gro soluto. ) ) ) ) ) 8. El míimo tro "m", tl qu : m ( y 7 9y ) tg l mos 998 térmios s: ) 0 ) ) ) 7. Simplifir : ( ) ( ) ( )... ( )... ) ) ) ) - 8. Dtrmir l ofiit ( ) ) ) ( ) ) ) ( ) ) ( 9. Si : Z, lulr : ) l srrollo :...) ; ( ) M ( ) ( )... k k... k ( )... k ) + ) ) ) ) - 50. lulr : +, si u térmio y z. ) 5 ) ) 8 ) ) 50 7 ( y z) s 5. Hllr l ofiit y l srrollo : ( y ) 7. ) 0 )05 ) 0 ) 0 ) 80 5. Dtrmís l ofiit l térmio srrollo : 7 ( ) ) 807 ) 98 ) 9 78 ) 5 ) 5 0 l 5. Dtrmir l sum toos los térmios uyo gro rltivo "" s l srrollo : 5 ( y) ) ( 0y) ) 0( y ) ) 5( y ) ) 5(y y) ) 0(y ) 5. E l srrollo : 8 ( y ) ofiits los térmios l form : 0 y m, o "m" s pr o ulo. ) 8; 5 ) 0 ) -0 ) ) 55. El ofiit l térmio ( ) ; s : I. ; si : = k; k Z II. 0 ; si : = k-; k Z III. -; si : = k+; k Z, trmir los l srrollo : ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo III ) II y III ) Tos 75
Álgr 5. Dtrmir l ofiit l térmio l srrollo ( ) ( ) l ul l gro (++) uis l lugr qu oup y ést s u trio l vlor "". ) 00( ) ) 0( ) ) 0( ) ) 0 ) 0( ) 57. Do l iomio : ( y ), si u térmio su srrollo s oto s l fil. E qué posiió s ui, si iho térmio l G.R.(y) = G.R.()? ) ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 58. Hllr l quivlt umério : 70 E [ 70 70 70 0 8 70 70 70 ) ( ) ) ( ) 70 70 70 70 ) ( ) ) ( ) 70 70 ) ( ) 59. Al pir : uy prt litrl s 70... ] 8 y y, s oti u térmio ( y). lulr "". ) ) ) 78 ) 9 ) 88 0. Iir l gro l prouto los térmios trls otios l ftur : 9 8 9 7 ( 9... 9 ) ) ) 7 ) 58 ) 78 ) 7
TRILE 77 lvs lvs 0. 0. 0. 0. 05. 0. 07. 08. 09. 0..... 5.. 7. 8. 9. 0..... 5.. 7. 8. 9. 0..... 5.. 7. 8. 9. 0..... 5.. 7. 8. 9. 50. 5. 5. 5. 5. 55. 5. 57. 58. 59. 0.
Álgr 78