PRÁCTICA 2.- Límites y continuidad de funciones. Límite de funciones reales de una variable real La orden que permite realizar el cálculo del límite de una función f() cuando tiende hacia a es Limit. La sintais de la instrucción Limit es la siguiente: Limit[epresión, variableøa] Calcula el límite de la epresión dada cuando la variable indicada tiende hacia el punto a (finito o infinito) Limit[epresión, variableøa, DirectionØ-] Calcula el límite de la epresión dada cuando la variable indicada tiende hacia el punto a por la derecha. Limit[epresión, variableøa, DirectionØ] Calcula el límite de la epresión dada cuando la variable indicada tiende hacia el punto a por la izquierda à Ejemplo. Calcular los siguientes límites: a) lim Ø0 sen LimitB Sin@D, > 0F bl lim lnb + 3 3 F 6 LimitB LogB + 3 F, F 3
2 Practica2_Continuidad.nb e ê cl lim 0 + + e ê LimitB ê, > 0, Direction F + ê dl lim 0 cos Limit@Cos@ ê D, > 0D Interval@8, <D El programa Mathematica no ha sido capaz de calcular el límite anterior. En este caso, esto es debido a que dicho límite no eiste. De hecho la información facilitada por el programa nos indica que cualquier punto del intervalo [-,] es un límite de oscilación de la función cuando tiende a 0. Esto se aprecia observando la gráfica de la función: PlotBCosB F, 8, 0.0, 0.0<F.0 0.5 0.00 0.005 0.005 0.00 0.5.0 à.. Asíntotas de una función Asíntotas verticales: La recta vertical = a es una asíntota de la función y = f () si se cumple que lim a + f HL =± ó lim a f HL =± Asíntotas horizontales: La recta horizontal y = b es una asíntota de la función y = f () en la dirección +
Practica2_Continuidad.nb 3 si cumple que: lim + f HL = b Análogamente, la recta horizontal y = b es una asíntota de la función y = f () en la dirección - si cumple que: lim f HL = b Asíntotas oblicuas: La recta y = m + n es una asíntota de la función y = f () si se cumple que: lim Ø+ H f HL - Hm + nll = 0 Los valores de m y n se determinan de la siguiente manera, m = lim Ø+ f HL n = lim Ø+ (f() - m) Análogamente se define para Ø -. à Ejemplo 2. Determinar las asíntotas de la función y = 2 + 2-4 Definimos la función Clear@"Global` "D f@_d := 2 + 2 4 SolveA 2 4 == 0, E 88 2<, 8 2<< Asíntotas verticales: Dado que el denominador se anula para = -2 y = 2, dichas rectas (verticales) son candidatas a ser asíntotas. Para ello estudiamos los límites laterales en los puntos = -2 y = 2. Limit@f@D, 2, Direction D Limit@f@D, 2, Direction D
4 Practica2_Continuidad.nb Limit@f@D, 2, Direction D Limit@f@D, 2, Direction D Por tanto, las rectas verticales = -2, = 2 son asíntotas de la función. Asíntotas horizontales: Calculamos el límite en + y - Limit@f@D, D 0 Limit@f@D, D 0 Esto nos dice que la recta y = 0 es una asíntota horizontal de la función en las direcciones + y -. Gráfica de la función:
Practica2_Continuidad.nb 5 Plot@f@D, 8, 5, 5<, PlotRange 8 0, 0<D 0 5 4 2 2 4 5 0 2. Continuidad Una función f: DØ R es continua en un punto a œ D si se cumple que lim Øa f HL = f HaL. à Ejemplo 3. Estudiar la continuidad de las funciones siguientes: a) f() = 2 -e ê,si π 0; f H0L = 0 a) Definimos la función Clear@"Global` "D 2 f@_d := + ê f@0d = 0; Estudiamos la continuidad. Sólo es necesario estudiar la continuidad en = 0. Calcularemos los límites laterales en = 0. Limit@f@D, 0, Direction D 0
6 Practica2_Continuidad.nb Limit@f@D, 0, Direction D 2 Como los límites laterales son distintos entonces la función presenta en = 0 una discontinuidad esencial de primera especie (salto finito), lo que se observa gráficamente: Plot@f@D, 8, 5, 5<D 2.0.5.0 0.5 4 2 2 4 b) f () = 3-2, si <-; f HL = 3 + 2, si - < 2; f () = 2-2, si 2. Se trata de una función definida a trozos. Cada uno de los trozos viene dado por una función continua. Por tanto, sólo tenemos que estudiar la continuidad de la función f en los puntos = - y = 2. Clear@"Global` "D f@_d := WhichA <, 3 2, < 2, 3 + 2, 2, 2 2 E Continuidad en = - Calculamos los límites laterales en = - Limit@f@D,, Direction D
Practica2_Continuidad.nb 7 Limit@f@D,, Direction D Calculamos el valor de f en = - f@ D Como los límites laterales coinciden y son iguales al valor de la función en = -, la función es continua en dicho punto. Continuidad en = 2 Calculamos los límites laterales en = 2 Limit@f@D, 2, Direction D 7 Limit@f@D, 2, Direction D 0 Como los límites son distintos, la función no es continua en dicho punto (tiene una discontinuidad de salto en = 2). Gráfica de la función
8 Practica2_Continuidad.nb Plot@f@D, 8, 2, 4<D 8 6 4 2 2 2 3 4 2 4 3. Ejercicios propuestos.-calcular los siguientes límites: à Lim Æ0 6 -senh2 L 2 +3 senh4 L à Lim Æ0 e a-eb à Lim arcsenh ê L Æ 2.-Determinar las asíntotas de las siguientes funciones. Representarlas gráficamente para comprobar el resultado obtenido. à f()= 2+ 2 H-L
Practica2_Continuidad.nb 9 f()=2 - + 2 3.- Estudiar la continuidad de las siguientes funciones. Representarlas gráficamente para comprobar el resultado obtenido. à f()= senh-2l -2 si π2, f(2)=2. à f()= 2 ++ 3 - si π, f()=-3.