Procedmentos de medcón y semántca de la mecánca cuántca Marano Lastr 1 1. Introduccón La mecánca cuántca se desarrolló a lo largo de cas trenta años de trabajos llevados a cabo por dstntos físcos. Las prmeras aplcacones fueron construdas a partr de una coleccón de supuestos ad hoc realzados en el marco de teorías cláscas como la mecánca, la termodnámca, la mecánca estadístca y el electromagnetsmo. Ejemplos de esto son el tratamento de la radacón del cuerpo negro, el efecto fotoeléctrco, el espectro del átomo de hdrógeno, el expermento de Stern y Gerlach. Los dferentes avances condujeron paulatnamente a un recetaro de ecuacones conocdo como mecánca cuántca (Cohen, 1989) cuya forma fnal se alcanzó haca 1926 en los trabajos de Schrödnger, Hesenberg, Drac y Born prncpalmente. Los conceptos fundamentales son los de estado, observable en partcular el observable hamltonano - y probabldad. Haca 1932 von Neumann proporconó la fundamentacón matemátca de este formalsmo a través de la teoría de los espacos de Hlbert. Este formalsmo poseía algunas característcas cuyas consecuencas fueron comprendéndose paulatnamente y que presentaban desde el punto de vsta de la magen del mundo que ofrecía algunas dfcultades conceptuales que forman lo que se conoce como los problemas de nterpretacón. En su lbro The nterpretaton of quantum mechancs and the measurement process (1998), Peter Mttelstaedt analza el papel de los procesos de medcón en relacón con el problema de la nterpretacón. Por un lado, señala que tales procesos pueden ser vstos como sstemas físcos sujetos a las leyes de alguna teoría. Es más, en el caso de una teoría de alcance pretenddamente unversal, como es el caso de la mecánca cuántca, las leyes son las de la propa teoría en consderacón. De este enfoque se sgue, afrma Mttelstaedt, que el proceso de medcón cumple un rol doble dentro de la mecánca cuántca: en prmer lugar, srve para someter a prueba la teoría y correlaconar las expresones mecánco cuántcas con los datos expermentales y en segundo, bajo el supuesto del alcance 1 Estudante de doctorado Untref, ANPCyT, UNQ. marano_lastr@yahoo.com.ar
unversal, forma parte del domno de aplcacón de la teoría. Esta caracterzacón del proceso de medcón como parte de las aplcacones de la teoría exge que la correlacón de las expresones teórcas con su contraparte físca la nterpretacón- sea compatbles con las leyes cuántcas que rgen el comportamento de los aparatos de medcón. De no ser así surge lo que el autor llama nconsstenca autorreferencal. M objetvo es reformular estos problemas como una aplcacón del marco estructuralsta, dscutendo, en partcular, la forma de las aplcacones ntenconales de la mecánca cuántca y el papel de los procedmentos de medcón en el sgnfcado de los térmnos mecánco- cuántcos. De partcular mportanca en la caracterzacón de tales sstemas serán los conceptos de espaco y tempo y la probabldad. 2. Mecánca cuántca básca En las versones estándar de la mecánca cuántca (p. ej.: Ballentne, 1998; Isham, 1995) los conceptos centrales son: estado, observable, probabldad. Un observable es una magntud físca (poscón, energía, spn) que puede adqurr certos valores determnados. El estado cuántco asgna a cada valor posble de cada observable una certa medda a partr de la cual puede calcularse, medante la regla de Born, la probabldad de que ese valor de esa propedad ocurra. El formalsmo matemátco de la teoría da cuenta de estas característcas de los sstemas físcos medante la teoría de los espacos de Hlbert. Un espaco de Hlbert es un espaco vectoral complejo cuya dmensón puede ser nfnta. Los estados cuántcos se representan medante los elementos de este espaco, los vectores ( ) y los observables medante operadores (A ). Cada operador posee asocado un conjunto de vectores tales que A = a, llamados autovectores de A. Los valores a son llamados los autovalores de A y expresan los valores que puede adqurr esa magntud. El número máxmo n de autovectores que puede tener un operador es la dmensón del espaco y cualquer conjunto de n vectores mutuamente ortogonales consttuye una base en ese espaco. S { } es una base, todo vector puede ser expresado como combnacón lneal de los vectores de la base
a S A es un observable (dscreto y no degenerado) con autovectores y es el estado del sstema, la probabldad de que el observable A adquera el valor a es: prob A : a 2 3. Semántca El enfoque de Peter Mttelstaedt (1998) evalúa las consecuencas de suponer que (a) la teoría cuántca es unversalmente válda y como consecuenca de lo anteror (b) los aparatos de medcón utlzados en la determnacón de los valores de las dstntas magntudes pertenecen al domno de aplcacones de la teoría. Desde el punto de vsta de la nterpretacón de la teoría esto nos lleva a que, por un lado, los nstrumentos de medcón pueden ser vstos como parte de la teoría y, por el otro, pertenecen a una metateoría que nos dce qué térmnos mecánco cuántcos corresponden a qué resultados expermentales y, por lo tanto, forman parte de la semántca de la teoría. Con este fn, Mttelstaedt analza tres nterpretacones: la mnmal, la realsta y la de muchos mundos. Aquí sólo tomaremos en cuenta las dos prmeras que son, más o menos, las que aparecen en las presentacones habtuales de la teoría. Cada una de estas nterpretacones se caracterza por tres postulados. (a) Postulado de calbracón: S un sstema cuántco está en un estado tal que posee la propedad A (es decr, es un autoestado de A con autovalor a), una medcón de A debe conducr con certeza a un valor del ponter Z A que ndque el valor a = f(z A ) como resultado de la medcón, donde f es una funcón del ponter que correlacona los valores de éste con los del sstema. En la nterpretacón realsta, s el estado ncal del sstema no se ve alterado (. e. en una medcón repetble), el sstema posee el valor a.
(b) postulado de objetvacón del ponter/ sstema: S el sstema está preparado en un estado arbtraro que no permte la predccón del resultado de la medcón de A, esa medcón conducrá a un valor del ponter Z A o Z A que ndcará que la propedad A pertenece o no, respectvamente, al sstema. En el caso de la nterpretacón realsta, tambén el valor a pertenece o no al sstema. (c) condcón de reproducbldad de la probabldad: La dstrbucón de probabldades prob(a: a ) debe reproducrse en la estadístca de los valores Z del ponter. En la versón realsta, tambén en los valores a del sstema. La vabldad de cada una de estas nterpretacones debe ser examnada contra el formalsmo de la teoría; es decr, para que una nterpretacón sea adecuada, debemos asegurarnos de que, dada la pretensón de unversaldad, el proceso de medcón que permte determnar los valores señalados arrba, puede ser vsto como una aplcacón (como un modelo) de la mecánca cuántca. En palabras de Mttelstaedt: los postulados que caracterzan una nterpretacón dada deben ser compatbles con, y capaces de ser satsfechos por, un modelo del proceso de medcón (p. 19). La medcón de los valores de las magntudes de un sstema cuántco S con un espaco de Hlbert S medante un aparato M representado en un espaco M, puede analzarse en tres etapas. En la prmera de ellas, la preparacón, el sstema está en un estado S y el aparato en un estado neutro 0 M. Elegmos medr un observable A a posee autoestados y autovalores a. En general, no es un autoestado de A. Por lo tanto, dado el vínculo autovalor- autoestado, el sstema no posee nngún valor a del observable A. S y M son, en esta etapa, ndependentes en el sentdo de que no exste nteraccón entre los sstemas n correlacón entre sus estados o sus valores. El sstema total puede ser descrto por el estado = 0 S M. En la segunda etapa, llamada premedcón o nteraccón, S y M nteracconan medante un hamltonano H nt que actúa sobre = 0 durante un ntervalo 0 t
t. Durante este ntervalo, el estado camba y esta evolucón puede ser descrta medante un operador untaro U t - H ntt e. S durante la preparacón el sstema se encuentra ya en un autoestado del operador A con autovalor a k, esta evolucón producda durante la nteraccón debe conducr, para que la nterpretacón sea consstente, con certeza a un valor del ponter Z k correspondente al valor a k. Este es el contendo del postulado de calbracón. S, además, el estado ncal del sstema no se ve alterado, se cumple el postulado de calbracón realsta. S el estado ncal no es un autoestado de A, no puede predecrse el resultado de una medcón ndvdual, los estados fnales tanto del sstema (W S ) como del aparato (W M ) venen dados por W S c 2 a a y W M c 2 z z. Los postulados de objetvacón requeren que estos estados sean ntepretados por gnoranca, es decr, el aparato y, en la versón realsta, el sstema, están en uno de los estados z y a respectvamente con probabldad c 2 estados se realza efectvamente. aunque el observador no conozca cuál de esos En la tercera etapa la nteraccón entre sstema y aparato es nula pero sus estados han quedado correlaconados. Por lo tanto, los valores regstrados del ponter proporconan nformacón sobre el estado del aparato y/ o del sstema. Esta es la condcón expresada por la reproducbldad de la probabldad que requere que las probabldades nducdas por el estado ncal y el observable meddo se reproduzcan en la estadístca de los valores del ponter descrta por la mezcla W M. Puede demostrarse (Mttelstaedt, 1998, cap. 3) que los postulados de reproducbldad pueden dervarse de los de calbracón s se asume, además, la objetvacón del ponter (y del sstema, en la versón realsta). Pero, a su vez, Mttelstaedt demuestra que estos postulados de objetvacón son nconsstentes con la mecánca cuántca (Mttelstaedt, 1998, cap. 4). Esta objetvacón sólo puede ser lograda contextualmente, es decr, para conjuntos de observables que conmutan. En un trabajo recente, Lombard y Castagnno (2008) propuseron una nterpretacón de la teoría que respeta este carácter contextual. S las dscusones anterores se restrngen a un contexto, los problemas señalados no se presentan. El problema radca en cómo
justfcar la eleccón de un contexto determnado en lugar de otro. En esta nterpretacón modal hamltonana, el operador hamltonano que aparece en la ecuacón de Schrödnger es el que fja el contexto de las propedades que se actualzan. La regla afrma que el contexto prvlegado es el de todos los operadores que conmutan con el hamltonano del sstema. Esta regla de actualzacón resulta ser consstente con numerosas aplcacones de la teoría y la manera en que sstemas de ese tpo son mplementados en la práctca real de los físcos (Lombard, Castagnno; 2008, 5). Por otra parte, como señalan los autores, la teoría no se refere a hechos o propedades actuales sno a hechos y propedades posbles. Las propedades actuales serán aquellas del contexto prvlegado que tengan probabldad 1. Por lo tanto, dada la naturaleza probablístca de la mecánca cuántca, la nformacón sobre un sstema se obtene medante medcones repetdas sobre el msmo sstema o sstemas equvalentes. De hecho, como señala Ballentne (1998, p. 46 y cap. 9), el contendo empírco de un enuncado probablsta es revelado a través de las frecuencas relatvas en una secuenca de eventos que resultan de procedmentos de preparacón equvalentes. Por lo tanto, el estado está asocado con (desgna a) un conjunto nfnto de objetos preparados de manera equvalente. Sguendo a este últmo autor, prefermos mantener el térmno sstema para esta clase nfnta y reservar el térmno objeto para los ndvduos físcos como los electrones, átomos, etc. Desde este punto de vsta, dado un certo sstema cuántco con su correspondente hamltonano, la determnacón del estado requere de tres etapas: (a) medcón ndvdual: el aparato de medcón ndca luego del proceso de medcón un valor a para el objeto o. Este valor nos ndca que la propedad que estamos mdendo tene una probabldad no nula de adqurr ese valor. (b) medcón de frecuenca: la repetcón de n medcones ndvduales permte determnar una dstrbucón estadístca para los valores de la propedad medda a partr de la cual puede estmarse la probabldad correspondente. (c) medcón del estado: es una coleccón de medcones de frecuenca para un conjunto de observables que no conmutan entre sí y que requeres su propo procedmento de medcón con su correspondente hamltonano. Escogendo de manera apropada éstos (Ballentne, 1998, cap. 8), puede obtenerse el estado del sstema.
Para aplcar la teoría a stuacones físcas concretas es necesaro especfcar qué operadores corresponden a qué magntudes físcas. Ahora ben, cualquer sstema descrpto a partr de un sstema de coordenadas (x, y, z, t) puede ser descrpto desde otro sstema de referenca (x, y, z, t ) de forma equvalente. Lo que se requere es que tales transformacones en el espaco- tempo tengan su contrapartda en el espaco de los estados de forma que se preserven las ampltudes. Tales transformacones pueden ser mplementadas por operadores untaros U = e Ks, donde K es un operador hermítco (el generador de la transformacón) y s es un parámetro contnuo. De esta forma, las transformacones de traslacón espacal y traslacón temporal, rotacón y transformacón entre sstemas de coordenadas en movmento relatvo unforme pueden expresarse medante los generadores momento lneal (P), hamltonano (H), momento angular (J) y boost (G) respectvamente. Ballentne obtene la forma específca para estos generadores a partr de las relacones que guardan con el operador de poscón Q = (Q x, Q y, Q z ) tal que Q = q donde q, de forma que la composcón de estas dstntas transformacones tengan la estructura del grupo de Galleo (Ballentne, 1998, cap. 4). Este panorama nos permte ntentar aquí una prmera reconstruccón del elemento teórco básco de la mecánca cuántca desde un punto de vsta estructuralsta que debe permtrnos formular con mayor precsón algunas de estas característcas de la teoría. En partcular, la nocón de sstema y de procedmento de medcón. Como espero haber mostrado, estas dos nocones son de crucal mportanca en las dscusones sobre fundamentos de mecánca cuántca por lo que una elucdacón de ellas es fundamental. 4. Estructuralsmo El estructuralsmo ve la cenca empírca como una enorme red conceptual altamente compleja que puede ser vsta en sus aspectos tanto sncróncos como dacróncos. Aquí nos concentraremos, por smplcdad, en los aspectos sncróncos. Desde este punto de vsta, los nudos de la red son, en un sentdo más ben amplo, lo que suelen llamarse teorías, mentras que las cuerdas son dferentes tpos de relacones nterteórcas. Sn embargo, el térmno teoría resulta ser, en un análss pormenorzado, polsémco y que
permte dstngur al menos tres sentdos dferentes. En el sentdo más smple encontramos los elementos teórcos, luego, en un nvel de complejdad mayor, las redes teórcas y, fnalmente, los holones teórcos. Los estructuralstas sostenen que la manera más adecuada de nterpretar la esenca de los componentes de la red de la cenca es verlos como dferentes tpos de estructuras complejas que conssten, a su vez, de varas estructuras más smples. Aquí, el térmno estructura es entenddo en el sentdo técnco de la teoría de conjuntos, en partcular, en el sentdo de Bourbak. Toda teoría centífca está consttuda, entre otras cosas, por una clase de modelos, térmno que debe ser entenddo en el sentdo de la semántca formal, es decr, como una secuenca de entdades conjuntstas de la forma D 1,..., D m, (A 1,..., A n ), R 1,..., R p que satsface una lsta de axomas. Los D pueden ser llamados conjuntos báscos ; los A son conjuntos auxlares y son típcamente conjuntos numércos; y las R son relacones (eventualmente funcones) construdas sobre (algunos de) estos conjuntos. En una prmera aproxmacón, la dentdad de una teoría vene dada por una clase de modelos en este sentdo. Se supone que satsfacen certo conjunto de axomas, preferentemente expresados en un lenguaje formal. Cuáles axomas se eljan es una cuestón de convenenca en la medda que permtan la exacta determnacón de la clase de modelos que se necestan para representar un certo grupo de fenómenos en los que uno pudera estar nteresado. Estos axomas serán de dos tpos: condcones marco y leyes sustancales. Las prmeras sólo establecen las propedades formales de los conceptos que se usarán; las segundas, dcen algo acerca del mundo por medo de los conceptos determnados prevamente. Las estructuras que satsfacen el prmer grupo de axomas son llamadas modelos potencales (M p ); s, además, satsfacen las leyes sustancales, las llamamos modelos actuales (M). En prncpo, cualquer medo para determnar M p y M es bueno sempre y cuando capture las clases deseadas. Podríamos, por ejemplo, usar un lenguaje formal apropado. Sn embargo, en la mayor parte de las teorías centífcas desarrolladas, este procedmento se volvería mpractcable. De este modo, por razones práctcas y metodológcas, los estructuralstas
utlzan una herramenta más expedtva: la teoría nformal de conjuntos. El método partcular, desarrollado por Patrck Suppes es conocdo como axomatzacón por ntroduccón de un predcado conjuntsta. Un predcado de este tpo determna unívocamente M p y M. Por supuesto, estas estructuras pueden ser defndas por otro predcado dferente. La dentdad de la teoría está dada por M p y M, no por el predcado conjuntsta; es decr, no por una entdad lngüístca, sno por una estructura. Esto no sgnfca que el estructuralsmo afrme que no se formulen enuncados en las cencas empírcas. Lo característco de las cencas empírcas es que tales clases de estructuras están esencalmente asocadas con un tpo especal de enuncado acerca del mundo: la llamada asercón empírcas de la teoría. La forma de este tpo de enuncados se puede reconstrur de la sguente manera. Supóngase que un está nteresado en un certo domno de sstemas empírcos y que quere nvestgarlo por medo de la teoría cuya dentdad está dada por M p, M. Lo prmer que se debe hacer es conceptualzar tal domno (llamado, en el estructuralsmo, domno de aplcacones ntenconales, I) en térmnos del marco M p. Luego se establece la hpótess de que el conjunto I así conceptualzado puede ser efectvamente subsumdo bajo M p, M. Pero para dar cuenta de la estructura completa de la asercón empírca, deben consderarse cuatro componentes más: - Conexones entre modelos de la msma teoría (condcones de lgadura, C): los modelos de una teoría empírca no aparecen aslados. - Conexones entre modelos de teorías dferentes (vínculos nterteórcos, L): algunos modelos de una teoría pueden transferr nformacón a los modelos de otra teoría. - Dos nveles conceptuales y metodológcos dferentes dentro de una teoría (modelos potencales parcales, M pp, vs. modelos potencales, M p ): el nvel de los conceptos específcos de la teoría en cuestón y que sólo pueden ser determnados aplcando las leyes de la teoría y el nvel de los conceptos provenentes de afuera. Habtualmente, los últmos son determnados por los modelos de otra teoría subyacente. S T es una teoría, decmos que el prmer conjunto de conceptos son T- teórcos, mentras que los segundos son T- no teórcos.
Todos estos ngredentes son esencales para construr la asercón empírca. La estructura K = M p, M, M pp, C, L es llamada el núcleo (formal) teórco de la teoría. La asercón empírca enunca que el domno de aplcacones ntenconales I puede ser subsumdo bajo K. La estructura más smple que puede ser usada para decr algo acerca del mundo es, por lo tanto, una estructura compuesta por un núcleo y un domno de aplcacones ntenconales. El par K, I es lo que llamamos un elemento teórco. Usualmente, las teorías centífcas conssten de una sere de elementos teórcos organzados jerárqucamente medante un tpo especal de relacón nterteórca llamada especalzacón, formando lo que se llama una red teórca. Una red teórca es un conjunto parcalmente ordenado con un elemento básco en la cma del que el resto de los elementos teórcos se desprenden por un proceso de restrccones sucesvas de la clase de modelos actuales y de las aplcacones ntenconales. Lo que da undad a la red es el elemento básco. Un procedmento de medcón puede ser vsto, entonces, como un modelo potencal de la teoría que satsface, además, certas condcones pragmátcas que no dscutremos aquí (ver Balzer, et al., 1987). En el caso partcular de una teoría como la mecánca cuántca que, como señala Mttelstaedt, posee alcance unversal, los procedmentos de medcón pueden ser vstos, además, como modelos actuales. 5. El elemento teórco básco de la mecánca cuántca Revsadas, fnalmente, las prncpales nocones nvolucradas en nuestra dscusón, podemos avanzar una prmera formulacón de la mecánca cuántca en concordanca con la morfología estructuralsta. La sguente es sólo una reconstruccón parcal del elemento teórco básco. El espaco físco S está conformado por puntos que guardan certas relacones entre sí de manera que la estructura resultante es la espaco euclídeo de tres dmensones 3, lo que nos permte representarlo medante esta estructura matemátca. Algo smlar ocurre con el tempo T, sólo que en este caso, la dmensón del espaco matemátco correspondente es 1. De esta forma, el conjunto de nstantes de tempo es una estructura ordenada equvalente a
los números reales. En este espaco hay objetos físcos que son aquellos de los que habla la teoría. Desgnamos al conjunto de estos objetos P (partículas). La cardnaldad del conjunto de partículas (P) depende del número de partículas del sstema: un sstema de una partícula tene cardnaldad 1, mentras que un sstema de N partículas tene cardnaldad N. La coordenadas asgnadas por la funcón de poscón s no quedan unívocamente determnadas pero todo par de marcos de referenca s y s en movmento rectlíneo unforme uno respecto del otro puede correlaconarse medante las transformacones de Galleo de la sguente manera s (p) = R s (p) + a + vt t = t + b Donde R y a son rotacones y traslacones espacales respectvamente y vt es la velocdad relatva de un sstema de coordenadas respecto del otro. Ahora ben, la mecánca cuántca es una teoría probablsta, de manera que necestamos defnr la estructura del espaco muestral que nos permtrá hablar de la probabldad de que haya un partícula en una certa regón del espaco- tempo. Una álgebra sobre el espaco y el tempo 3 es una famla de subconjuntos de 3 cerrada bajo unones, nterseccones y complemento. ( 3 ) es un álgebra de Borel sobre el espaco y el tempo s ( 3 ) es la menor álgebra que contene los conjuntos abertos de ( 3 ).
Una probabldad prob es una funcón de ( 3 ) en [0, 1] tal que p( 3 ) = 1, p(e ) = 1 p(e), para todo E ( 3 ) y para todo {E } en ( 3 ), E pe p (Dckson, 2007). Los sstemas físcos a los que la mecánca cuántca se aplcan pueden caracterzarse parcalmente a partr de las dstrbucones de probabldades de las poscones. Sn embargo, como fue señalado, las dstrbucones no quedan caracterzadas completamente con las probabldades sno que son necesaras las ampltudes expresadas por los vectores en el espaco de Hlbert. Estas probabldades pueden recuperarse medante la regla de Born. Esto requere conjuntos de determnacones de las frecuencas correspondentes a expermentos ncompatbles con dstntos hamltonanos. De cualquer manera todas estas dstrbucones pueden expresarse como dstrbucones estadístcas en el espaco. Para representar este carácter estadístco general utlzamos el espaco de Hlbert L 2 ( 3N ), donde N es el número de partículas del sstema en cuestón (por smplcdad supondremos que es 1). Defnmos el operador poscón Q a : L 2 ( 3N ) L 2 ( 3N ) tal que para todo L 2 ( 3N ): Q a = x a A partr de aquí, como señalamos en 4, podemos obtener la forma de los operadores que corresponden a los generadores del grupo de Galleo en el espaco de los estados. Recordemos que una representacón de estas transformacones en el espaco de Hlbert que preserven las dstrbucones estadístcas puede llevarse a cabo medante operadores untaros de forma que se cumpla expresado 1 A A' U s AUs ' U S s puede ser nfntamente pequeño, el operador untaro nfntesmal U e s Ks s U s puede ser, donde K es el generador de la transformacón T. Los generadores de
las transformacones del grupo de Galleo son J (rotacones), P (traslacones espacales), G (transformacones de coordenadas en movmento relatvo unforme), H (traslacones temporales). Los dstntos generadores guardan las sguentes relacones expresadas por los conmutadores: d) g) h) ) a) P, P b) G c) J J e) J,G, J, P,G f) G, P 0 P, H G, H J, H 0 0 0 J P P G MI 6. Conclusones De acuerdo con lo vsto, la mecánca cuántca está caracterzada por el álgebra de operadores que expresan las transformacones del espaco y el tempo para los estados de un sstema cuántco. Dado que tales estados permten predecr, en general, sólo las probabldades, la determnacón de los valores de cualquer magntud cuántca requere múltples medcones ndvduales que permtan correlaconar los valores de las probabldades con dstrbucones estadístcas de valores de las magntudes meddas. Los procedmentos de medcón son caracterzados cuántcamente por lo que cualquer nterpretacón debe dar cuenta de éstos como modelos potencales de la teoría y, en este caso partcular, como modelos actuales. Por otra parte, los teoremas de no objetvacón ndcan que ésta sólo puede recuperarse contextualmente, por lo que se hace necesara una regla de actualzacón que especfque el contexto prvlegado. La nterpretacón modalhamltonana asgna el papel fundamental al operador hamltonano y esta regla, permte dar cuenta de algunas de las aplcacones más mportantes de la teoría así como de la práctca centífca.
Queda pendente una mejor caracterzacón de las estructuras conjuntstas que den cuenta de estas característcas de la teoría pero creo que el esquema adelantado permte dar cuenta de la dstncón entre sstema y objeto necesara para entender el sgnfcado empírco de los térmnos cuántcos. Otro punto no menconado en este trabajo es el problema de los campos externos como el campo magnétco o el campo eléctrco. Éstos no consttuyen ítems a los que la mecánca cuántca ordnara pretenda aplcarse. Desde este punto de vsta, los vínculos con el electromagnetsmo es una cuestón aberta y compleja. 7. Bblografía BALLENTINE, L. E. (1970): The statstcal nterpretaton of quantum mechancs, Revew of modern physcs, Volume 42, number 4. BALLENTINE, L. E. (1986): Probablty theory n quantum mechancs, Amercan Journal of Physcs, 54, 10. BALLENTINE, L. E. (1998): Quantum mechancs: a modern development, Sngapore, World Scentfc Publshng Company. BALZER, W., MOULINES, C. U., SNEED, J. (1987): An archtectonc for scence: the structuralst program, Dordrecht, Redel Publshng Company. BALZER, W., SNEED, J, MOULINES, C. U. (2000). Structuralst Knowledge Representaton, Amsterdam, Rodop. BUB, J. (1997). Interpretng the quantum world, Cambrdge, Cambrdge Unversty Press. BUTTERFIELD J., EARMAN J. (eds) (2007) Phlosophy of physcs, HPS, Elsever COHEN, D. W. (1989). An ntroducton to Hlbert space and quantum logc, New York, Sprnger-Verlag. DIEZ, J. A., LORENZANO, P. (Eds.) (2002). Desarrollos actuales de la metateoría estructuralsta: problemas y dscusones, Unversdad Naconal de Qulmes, Buenos Ares.
FEYNMAN, R., LEIGHTON, R., SANDS, M. (2000). Físca Volumen III: mecánca cuántca, Méxco, Addson Wesley. ISHAM, C. J. (1995). Quantum theory: Mathematcal and structural foundatons, London, Imperal College Press. LOMBARDI, O; CASTAGNINO, M. (2008). A modal-hamltonan nterpretaton of quantum mechancs, Studes n Hstory and Phlosophy of Modern Physcs, 39, 380-443. MITTELSTAEDT, P. (1998). The nterpretaton of quantum mechancs and the measurement process, Cambrdge, Cambrdge Unversty Press. MOULINES, C. U. (1982). Exploracones Metacentífcas, Madrd, Alanza. MOULINES, C. U. (1991). Pluraldad y Recursón: Estudos Epstemológcos, Madrd, Alanza. MOULINES, C. U. (2002). Introducton: Structuralsm as a program for modellng theoretcal scence, Synthese 130: 1-11 SNEED, J. D. (1966). Von Neumann s Argument for the Projecton Postulate, Phlosophy of Scence 33, 22 39. SNEED, J. D. (1971): The Logcal Structure of Mathematcal Physcs, Dordrecht: Redel. VON NEUMANN, J. (1949). Fundamentos matemátcos de la mecánca cuántca, Madrd, Publcacones del Insttuto de Matemátcas Jorge Juan.