. CÁLCULO DE PRIMITIVAS. Calcular las siguientes integrales indefinidas:. ( + Es inmediata. ( = (ln ln + + C +. + + + Descomponemos el integrando en fracciones parciales y obtenemos. + + = + arc tg + = ln + + + + C Integramos por partes (u = arc tg, dv = queda arc tg = arc tg ( + = = arc tg + + = arc tg ( arc tg +C =. 9 = ( + arc tg + C = 9 / = 9 ( = = arc sen( + C
CÁLCULO DE PRIMITIVAS 5. 9 + 9 + = / 9 + = (/ + = 6. e arc sen Es inmediata, = 6 arc tg( + C e arc sen = earc sen + C. 7. 8. e + e Es inmediata, ln(a + e + e = arc tg(e + C. Integrando por partes (u = ln(a +, dv = se tiene ln(a + = ln(a + a + = ln(a + + a a a + = ln(a + + a a + = = ln(a + + a arc tg a + C 9. sen(ln Integrando por partes (u = sen(ln, dv =, tenemos sen(ln = sen(ln cos(ln Integrando de nuevo por partes (u = cos(ln, dv =, Así tenemos cos(ln = cos(ln + sen(ln
( sen(ln = sen(ln cos(ln + sen(ln De modo que sen(ln = ( sen(ln cos(ln + C 0... e e + e e + = = ln(e + e e + e + = e + e = ln(e + + ln(e + + C La penúltima igualdad se obtiene de multiplicar por e el numerador y el denominador del integrando de e +. Si no se ve este truco, se hace el cambio t = e y se resuelve aplicando fracciones parciales. + Es inmediata, + = ln + + C e ( + Integrando por partes (u = e, dv = (+, se tiene. e e = ( + + + e sen ( e = e + + e + C = e + C + Integrando por partes (u = sen, dv = e se tiene e sen = e sen e cos Denotamos I = e sen y I = e cos. Integrando I por partes de nuevo (u = cos, dv = e, queda I = e cos + e sen = e cos + I
CÁLCULO DE PRIMITIVAS De modo que I = e sen ( e cos + I Despejando I de la ecuación, queda. 5. tg Es inmediata, sen I = 5 e sen 5 e cos + C tg = sen cos = ln cos + C Integrando por partes (u =, dv = sen se tiene I = sen = cos + cos Integrando de nuevo por partes (u =, dv = cos, queda I = cos = sen sen Integrando otra vez por partes (u =, dv = sen, I = sen = cos + cos = cos + sen + C De modo que I = cos + I = cos + ( sen I = = cos + ( sen ( cos + sen + C = 6. = cos + sen + 6 cos 6 sen + D tg Es inmediata. Basta escribir tg = sec = tg +C
5 7. 8. tg 5 sec Es inmediata. ln tg 5 sec = 6 tg6 + C. Se resuelve por partes (u = ln, dv = ln = ln = ln + C 9. 0. sen + cos sen cos sen + cos Es inmediata. = ln sen cos + C sen cos + cos Como cos = cos ( ( = cos ( sen (, escribimos. + cos = e = cos ( + sen ( + cos ( sen ( cos ( = ( tg + C Se resuelve integrando por partes (u =, dv = e I = Denotamos I =, dv = e, obtenemos e = e + e e. Integrando de nuevo por partes (u = I = e + e La última integral también se resuelve por partes (u =, dv = e, quedando I = e = e e + C.
6 CÁLCULO DE PRIMITIVAS De este modo, resulta I = e + I = e + ( e + I = = e + ( ( e + e e + C =. arc tg ( = e + D 8. Se resuelve integrando por partes (u = arc tg, dv =, quedando arc tg = arc tg + = arc tg ln( + + C arc cos Se resuelve integrando por partes (u = arc cos, dv = arc cos = arc cos =. cos ( = arc cos ( / + C Es inmediata aplicando la identidad trigonométrica cos = De este modo, se tiene +cos. 5. e + cos cos = = ( + sen + C Se resuelve integrando por partes ( reiteradamente (véase ejercicio, resultando e = e 9 + C 7
7 6. arc sen( Se resuelve integrando por partes (u = arc sen(, dv =. arc sen( = arc sen( ( arc sen( + = = arc sen( = arc sen( arc sen( = arc sen( + ( / + C En consecuencia, arc sen( = ( arc sen( + ( / + C 7. ln Se integra por partes (u = ln, dv =. Obtenemos 8. 9. cos ln = ln = ln 6 + C Integrando por partes (u =, dv = cos = sec, se tiene cos = tg ( + 5e tg = tg + ln cos + C ( + 5e = e e + 5e Las dos integrales de la parte derecha de la igualdad se resuelven por partes (véase ejercicio, quedando ( + 5e = e e + 8e + C
8 CÁLCULO DE PRIMITIVAS 0. sen Se resuelve por partes (u =, dv = sen. Tendremos sen = cos + cos Por otro lado, esta última integral también se resuelve por partes, tomando u = y dv = cos. Resulta cos = sen sen = sen + cos + C 6 Entonces,. e cos sen = cos + sen + cos + C 8 Se integra por partes (u = cos, dv = e. I = e cos = e cos + e sen Integrando de nuevo por partes (u = sen, dv = e, queda de modo que I = e sen = e sen I I = e cos + Despejando I de la última ecuación, queda ( e sen I. + 9 I = e cos + e sen + C Dividimos los polinomios para obtener 6 =, de modo que +9 +9 + 9 = 6 + 9 = 8 ln( + 9 + C
9.. 5. e + e Es inmediata. cos e sen Es inmediata. e sen sen e + e = arc tg(e + C cos e sen = e sen + C. Como sen = sen cos, resulta inmediata y se tiene e sen sen = e sen + C. Calcular las siguientes integrales racionales:. + + Es fácil comprobar que el polinomio del denominador no tiene raices reales. Completando cuadrados, se tiene + + = ( + +. De modo que + + = ( + + = ( + +. = ( + + = ( arc tg + + C + 6 + 5 Factorizando el polinomio del denominador, tenemos + 6 + 5 = ( + 5( + Descomponiendo en fracciones parciales el integrando, queda ( + 5( + = / + 5 + / +
0 CÁLCULO DE PRIMITIVAS De este modo, al integrar, obtenemos / + 6 + 5 = + 5 + / + = ln +5 + ln + +C. + ( + ( + + Descomponiendo en fracciones parciales, queda + ( + ( + + = + + ( + + + + Integrando, resulta + ( + ( = ln + + + + ln + + + C. ( + Descomponemos el integrando en fracciones parciales ( + = 5 + 5 + + ( + Entonces 5 ( + = + 5 + + ( + = 5. = 5 ln + 5 ln( + + ( + ( + + ( + + C Las raices de + + son complejas conjugadas. Al descomponer el integrando en fracciones parciales, queda ( + ( + + = / + + + / ( + + Integrando, obtenemos
( + ( + + = + + ( + + Completando cuadrados, se tiene ( + + = + + = En consecuencia, ( ( + + I = + + = ( + + = arc tg( + + C Por otro lado, I = ( + + = ( ( + + = (( + + Haciendo el cambio de variable t = +, obtenemos I = t (t + dt = + t (t dt = arc tg t + t (t + dt Esta última integral se resuelve integrando por partes (u = t, dv = t (t + dt, resultando t (t + dt = t (t + + dt t + = t (t + + arc tg t+c Deshaciendo el cambio de variable, resulta ( + I = arc tg( + (( + + + arc tg( + + C Entonces ( + ( + + = I I =
CÁLCULO DE PRIMITIVAS = arc tg(+ arc tg(+ + (( + + + arc tg(++d = 6. + = (( + + + D + Si factorizamos tanto el numerador como el denominador del integrando, se observa que ( + ( = + ( ( + = + + Entonces + + = + = ( + + = 7. = + + + = ln( + + arc tg + C + Descomponiendo en fracciones parciales, queda Integrando, tenemos + = / + / + / ( 8. ( + Llamemos I n = + = ln / ln + C (. Entonces + n I = + ( + = ( + ( + =
= I ( + Para calcular esta última integral, hacemos u =, dv = quedando ( + = ( + + Volviendo a I, nos queda ( I = I = ( + + I ( + = ( + + I = I + ( + Sólo queda calcular I, que se hace de una manera análoga: ( + I = ( + = + ( + = + ( + = = arc tg ( ( = arc tg + + + + La última igualdad se obtiene al resolver por partes (u =, dv = la integral. ( + ( + De este modo, tenemos ( I = arc tg En consecuencia, + + I = I + ( + = arc tg = arc tg + ( + + C ( arc tg + ( + = 8 arc tg + 8( + + ( + + D + ( + +D = Otro modo de resolver este tipo de integrales es haciendo el cambio = tg θ, = sec θdθ.
CÁLCULO DE PRIMITIVAS.. Calcular las siguientes integrales trigonométricas: cos La función t = sen. Se tiene cos es impar en cos, de modo que se hace el cambio cos = dt = arg tgh t + C = arg tgh (sen + C t dt Otro modo de calcular es descomponiendo el integrando en t sumas parciales: dt / / t = + t dt + t dt = ln + t ln t + C = = ln + t t + C = ( + sen ln sen + C = ln ( + sen + C sen. Al multiplicar numerador y denominador por + sen se tiene ( ( + sen ( + sen ln + C = ln sen sen + C = = ln + sen cos + C = ln sec + tg + C Resulta entonces = ln sec + tg + C cos sen Es impar en sen y hacemos el cambio t = cos. Tenemos que sen = t, dt = sen y =, de modo que sen = dt t dt t = ln + t t + C = = ( ( + cos cos ln + C = ln + C = cos + cos
5 ( cos = ln ( + cos + C = = ln sen + cos + C = ln sen ( cos cos + C = ln cos sen + C = = ln cosec cotg + C Se resuelve más directamente si escribimos sen = dt = arg tgh t + C = arg tgh (cos + C t. cos sen Es inmediata si utilizamos el resultado anterior, cos sen sen = = sen sen sen =. 5. = ln cosec cotg + cos + C sen cos Es par en sen y cos. Se hace el cambio t = tg. Entonces + cos dt sen cos = = ln t + C = ln tg + C t Se hace el cambio t = tg ( ( cos = cos +. Entonces ( sec = dt. Además, = ( tg + tg ( = cos ( cos ( = t + t sen ( ( + sen = La penúltima igualdad se obtiene dividiendo numerador y denominador entre cos (.
6 CÁLCULO DE PRIMITIVAS Se tiene, tras el cambio de variable, 6. cos + cos = dt = t + C = ( tg + C Es impar en cos, de modo que hacemos el cambio t = sen para obtener cos = dt ( t = dt ( + t ( t Descomponiendo en fracciones parciales el integrando, se tiene y, por tanto, ( + t ( t = / t + + / (t + + / t + / (t ( dt / ( + t ( t = t + + / (t + + / t + / (t dt = 7. = / ln(sen + sen + / ln sen sen + C = sen cos = ln sen + sen / sen + / sen + C Como sen cos = (sen 6 + sen(, se tiene que sen cos = ( sen 6 + sen( = = cos 6 + cos + C
7 8. sen + cos Como sen = sen cos, resulta que I = sen sen cos + cos = + cos es impar en sen. Hacemos el cambio t = cos y tenemos I = sen cos + cos = dt t + + t = dt = t + 9. = (t ln + t + C = cos + ln( + cos + C cos Como cos = ( sen cos, tenemos cos = ( sen cos = cos sen cos = = sen sen + C 0. sen cos sen cos = sen cos sen = ( cos cos sen = = (cos cos 6 sen = cos sen cos 6 sen =. sen = cos5 5 + cos7 7 + C ( cos Tenemos sen = (sen =, de modo que ( cos sen = = ( cos +cos =
8 CÁLCULO DE PRIMITIVAS = ( cos + ( + cos =. sen cos = ( sen + sen + C 8 ( ( cos + cos sen cos = = = ( cos = = cos = 8 sen = ( sen + C. Calcular las siguientes integrales irracionales:. 0 + 8 Completando cuadrados se tiene + 8 + 0 = ( 8 0 = (( 6 = ( + 6. De modo que = 0 + 8 ( + 6 = 6 = 6 ( +. = 6 + + ( ( = arc sen + C 6 6 + El integrando es del tipo R(, ( + /. Se tiene m =, + = t, con lo que = t y = tdt. + + = ( t + t dt = dt = (t ln t+ +C t +
9. La penúltima igualdad se obtiene al dividir los polinomios. Deshaciendo el cambio de variable, queda + + = + 6 ln( + + + C Se hace el cambio = sen t, = cos tdt. Entonces = dt sen t = cotg t + C =. + 9 cos(arc sen = sen(arc sen + C = + C Hacemos el cambio = sen t, = cos tdt, de modo que + = 9 sen t + cos t dt = 9 9 sen t = ( sen t+ dt = cos t+t+c = cos(arc sen + arc sen +C = 5. = 9 + arc sen + C = 9 + arc sen + C + + ( + / El integrando es del tipo R(, ( + /, ( + /. Entonces m = m.c.m.{, } = y el cambio a realizar es t = +, con lo que = t y = t dt. Por tanto, ( = = + + ( + / (t dt + t t + dt = dt = t t + ln t + + C t +
0 CÁLCULO DE PRIMITIVAS La penúltima igualdad se obtiene al hacer el cociente de los polinomios. Deshaciendo el cambio de variable, tenemos + + ( + / = + + + ln + + + C 6. + + + Se tiene que + + + es del tipo R(, (+/, de modo que m =, obteniéndose el cambio t = +. Esto implica que = t y = t dt, de manera que + + + = t t + t dt = t t + t dt = = ( t + t + dt = ( t + t ln t + + C = = + + + ln + + + C La primera igualdad de la segunda línea proviene de efectuar la división de los polinomios. 7. 5 Efectuamos el cambio = 5 sen t, = 5 cos tdt. Se tiene 5 5 = 5 sen t cos t 5 cos t dt = 5 5 sen t sen t dt = ( = 5 sen t dt sen t dt = 5 ln cosec t cotg t + 5 cos t + C = = 5 ln cosec(arc sen 5 cotg(arc sen 5 + 5 cos(arc sen 5 + C = 5 5 = 5 ln + 5 + C