Alonso Frnándz Galián TEMA : LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN El concpto d driada sr n l silo XVII para solcionar l problma d la tannt. Postriormnt a dado lar a toda na rama d la Matmática: l Cálclo Dirncial.. LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Y LA FUNCIÓN DERIVADA Dada na nción y n pnto, considrmos l límit dl cocint incrmntal cando l incrmnto d la ariabl indpndint tind a : Si st límit ist y s inito, s dic q la nción s driabl n. El alor rsltant s dnomina driada d n, y s dnota por. Gométricamnt, s ial a la pndint d la rcta tannt a la ráica d n l pnto d abscisa. Ejmplo: Calclar la driada d l pnto.. Nota: Hacindo s obtin na prsión altrnatia para la driada: Continidad y driabilidad. Una nción driabl n s contina n dico pnto: s driabl n s contina n Sin mbaro, l rcíproco no s ncsariamnt cirto: s contina n s driabl n Por jmplo, la nción alor absolto s contina pro no driabl n. Ejmplo: Dmstra q la nción alor absolto, no s driabl n. La nción alor absolto s pd prsar a trozos: si si Calclmos las driadas n por no y otro lado:, [ ] Ejmplo d nción contina pro no driabl. - -
Matmáticas II - - La nción driada. Dada na nción, s din la nción driada d como la nción q a cada pnto l asina la driada n dico pnto. S dnota por. D R R La nción driada d las ncions lmntals stá rcoida n la siint tabla: a a a a n ct c c driada nción a n n ln lo ln ln, arctan arc arcsn tan sn sn driada nción Driadas scsias. La nción driada pd olr a driars, obtniéndos ntoncs la driada snda d, q s dnota por. Similarmnt s obtinn la driada trcra, la driada carta, driada primra:, driada snda:, driada trcra:, En nral, la driada n-ésima d s dnota por n. [ ] Driada por la izqirda: Driada por la drca: Como las driadas latrals no coincidn, la nción no s driabl n :
Tma : La driada d na nción - -. CÁLCULO DE DERIVADAS Admás d la tabla d driadas, para podr driar calqir nción dbmos conocr cómo actúa la driada rspcto d las opracions ntr ncions. Opracions con ncions. Las rlas para driar las opracions ntr ncions son: Jnto a llas, tnmos la siint rla para driar ncions compstas: Esta última rla s conoc como rla d la cadna. d ln. t sn. arct. 9 Ejmplo: Calcla la nción driada d las siints ncions: a. b 7 sn. 7 7 c ln. ln ln composición d ncions c c prodcto por na ct sma d ncions rsta d ncions prodcto d ncions cocint d ncions Ejmplo: Calcla la driada d n l pnto. Podmos scribir la nción como /. -Fnción driada: / -Driada n : 8.
Matmáticas II Driada d na nción ponncial-potncial. Para driar na nción n la q la ariabl indpndint stá tanto n la bas como n l ponnt,, s toman loaritmos para bajar l ponnt y s dria implícitamnt la ialdad rsltant. Ejmplo: Driar la nción. Tomamos loaritmos y dsarrollamos la prsión: -Tomamos loaritmos: ln ln -Bajamos l ponnt: ln ln Driamos ambos lados d la ialdad: ln Dspjando tnmos, inalmnt: sn ln t ln t ln t Cálclo d rctas tannts. La driada d n s ial a la pndint d la rcta tannt a la ráica d n l pnto d abscisa. m Por tanto, la rcta tannt tin cación: y Ejmplo: Escrib la cación d la rcta tannt a la ráica d n. Pnto P, y :. y Pndint: La driada d s: La driada n l pnto s: La rcta tannt s, por tanto: y y m y y En orma nral, y. - -
Tma : La driada d na nción. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA A TROZOS Al driar na nción dinida a trozos, dbmos comprobar si la nción s driabl n los pntos dond s nn los distintos trozos., si, si,?, si si si Estdio práctico d la driabilidad n n pnto. Para stdiar si na nción s driabl n l pnto, s procd como si: i Estdiamos primro si s contina n, ps n caso contrario no srá driabl. ii Si la nción s contina n, stdiamos las driadas latrals para r si coincidn. Ejmplo: Estdiar si la siint nción s driabl n. ln i Continidad: Vamos si la nción s contina: ln La nción s contina n. si si ii Driabilidad: Estdimos las driadas latrals: -Driada por la izqirda: y y -Driada por la drca: y ln. Así, y... Así, Como la nción s contina n y las driadas latrals coincidn, la nción s driabl n, con: Gráicamnt, la nción s sa alrddor d, por lo q admit rcta tannt: La driada d la nción s, por tanto: / si si - -
Matmáticas II Las ncions con alor absolto son a mndo no driabls: Ejmplo: Estdia dónd s driabl la siint nción: 6 Las ncions con alor absolto s stdian más cómodamnt como ncions dinidas a trozos:, si, si Para prsar 6 como na nción a trozos dbmos l sino d y 6 : 6 Así, conclimos q la nción pd prsars n la orma: 6 si 6 si 6 si 6 si La nción s claramnt driabl n R {}. Estdimos si también lo s n. i Continidad: Comprobmos si la nción s contina n. 6 6 La nción s contina n. ii Driabilidad: Dbmos stdiar si las driadas latrals n coincidn: -Driada por la izqirda: 6 y -Driada por la drca: 6 y. y. Así,. y. Así, Como las driadas latrals no coincidn, la nción no s driabl n. Conclimos, por tanto, q la nción sólo s driabl n R {}. La nción driada s:,, si si - 6 -
Tma : La driada d na nción. EXTREMOS RELATIVOS Y DERIVADA S dnominan trmos rlatios d na nción tanto a ss máimos como a ss mínimos rlatios. El principal rsltado tórico sobr trmos rlatios s l siint. Critrio d la primra driada. Sa na nción driabl n l pnto. Si alcanza n trmos rlatio n, ntoncs la driada d la nción n dico pnto s nla. Gráicamnt: tin n trmo rlatio n Dmostración: Vamos a dmostrar l rsltado n l caso d q la nción alcanc n máimo rlatio n. La dmostración n l caso d n mínimo rlatio s análoa. Si la nción tin n máimo n para alors pqños d s tin: D modo q: Como la nción s driabl n, s driada pd sr calclada tanto por la izqirda como por la drca, y ambos alors dbn coincidir. Vamos qé ocrr n cada caso: -Driada por la izqirda: Vamos q db sr mayor o ial q : El nmrador dl cocint incrmntal s mnor o ial q, y l dnominador s natio. Por tanto: -Driada por la drca: Vamos q db sr mnor o ial q : El nmrador dl cocint incrmntal s mnor o ial q, y l dnominador s positio. Por tanto: D modo q la driada db sr al mnos pro no mayor q, lo la única posibilidad s q, d co, sa ial a. En l próimo tma rmos cómo calclar los trmos rlatios d na nción. - 7 -
Matmáticas II. EL TEOREMA DE ROLLE Vamos aora n rsltado q, anq simpl, tin conscncias importants. Torma d Roll: Si na nción s contina n l intralo crrado a, b, driabl n l intrior dl intralo, a, b, y con l mismo alor n ss trmos, a b, ntoncs ist n pnto c comprndido ntr a y b n l q la driada d s nla, c. Brmnt: i ii iii a b s contina n a,b s driabl n a,b c a, b tal q c Gráicamnt, l torma d Roll implica q, bajo las ipótsis dl torma, ist n pnto intrior dl intralo n l q la tannt a la ráica d s orizontal. Dmostración: San M y m los alors máimo y mínimo absoltos d la nción n l intralo a, b, cya istncia podmos asrar por l Torma d Wirstrass. -Si m y M s alcanzan ambos n los trmos dl intralo a, b, ntoncs la nción db sr constant: d modo q para todo a, b intralo. a b m M,, y podmos tomar como c calqir pnto dl -Si m o M o ambos s alcanzan n l intrior dl intralo a, b, ntoncs n l pnto o pntos dond s alcanc db abr n trmo absolto, y por tanto rlatio, d modo q db cmplirs: Así, conclimos q la driada s anla n dico pnto intrior. Ejmplo: Utiliza l Torma d Roll para dmostrar q la driada d la nción s anla n l intralo,. Comprobmos q s satisacn las ipótsis dl Torma d Roll: -La nción s contina n R, y n particlar n l intralo,.,. - La nción s driabl n R, y n particlar n l intralo - 8 -
Tma : La driada d na nción [ ] Admás, 9 8. Por tanto, por l Torma d Roll ist n pnto c, tal q c. Nota: Dl Torma d Roll s ddc q si na nción contina y driabl s anla n dos pntos y, ntoncs s driada db anlars n al mnos n pnto intrior z,. Es dcir, ntr cada dos pntos para los q s anla na nción ist al mnos n pnto intrior n l q s anla la driada. Como conscncia, s tin q si la driada d na nción contina y driabl no s anla, ntoncs s anla a lo smo na z. Ejmplo: Dmstra q la cación tin actamnt na solción. Considrmos la nción, contina y driabl n R. I. Vamos primro q la cación tin al mnos na solción. Para bscamos n intralo n l q podamos aplicar l Torma d Bolzano: La nción s contina n toda la rcta ral, y n particlar n l intralo,, d modo c, solción d la cación. q dl Torma d Bolzano s ddc q ist n II. Vamos aora q la cación no tin más solcions. Sún mos dico, si bira otra solción ntr las dos solcions dbría istir n pnto n l q la driada s anlas. Sin mbaro, D modo q c s la única solción d la cación. ps s positio - 9 -
Matmáticas II.6 EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO El Torma dl Valor Mdio d Laran constity na nralización dl Torma d Roll y s no d los rsltados más importants dl Cálclo Dirncial. Torma dl Valor Mdio Laran: Si na nción s contina n l intralo crrado a, b y driabl n l intralo abirto a, b, ntoncs ist n pnto intrior c a, b tal q: b b a a Obsrmos q l cocint antrior s la pndint d la rcta q pasa por los pntos d coordnadas a, a y b, b. D st modo, l Torma dl Valor Mdio d Laran indica q, bajo las ipótsis dl torma, la pndint d la rcta q pasa por los pntos a b, b coincid con la pndint d la rcta tannt n alún pnto intrior. a, y c Dmostración: Considrmos la nción: La nción F s contina n F a F b b a a b a a, y driabl n b b a a a a a a b a b a b a b b a a a,, por srlo. Admás: Fb b b a D modo q toma l mismo alor n los trmos dl intralo a, b. Así, por l Torma d Roll, ist n pnto c dl intralo a, b tal q F c. Por otro lado, la driada d F s: D manra q para c s cmpl: F b a b a Fc c b a Como qríamos dmostrar. b a b a c b b a b a a - -
Tma : La driada d na nción - -.7 LA REGLA DE L HÔPITAL Vamos inalmnt n rsltado q acilita normmnt l cálclo d límits. Rla d L Hôpital: Si l límit cando dl cocint d dos ncions driabls prsnta na indtrminación dl tipo /, podmos sstitir las ncions por ss driadas, simpr q l límit rsltant ista: Est rsltado s conscncia dl Torma dl Valor Mdio. La Rla d L Hôpital s spcialmnt útil para calclar límits q inolcran a ncions trascndnts trionométricas, ponncials y loarítmicas. La Rla d L Hôpital también s álida para indtrminacions dl tipo /, y para límits cando. En total tnmos los catro casos siints: Ejmplo: Calclar l siint límit d dos ormas distintas: -Factorizando l nmrador y l dnominador: -Utilizando la Rla d L Hôpital: a L Hôp Ejmplo: Calclar los siints límits: a L Hôp b sn L Hôp c sn L Hôp L Hôp
Matmáticas II Ejmplo: Calclar l siint límit: ln L Hôp / Para tilizar la Rla d L Hôpital con indtrminacions d los tipos y dbmos maniplar adcadamnt la nción para conrtir la indtrminación n na d los tipos / ó /. Ejmplo: Calclar los límits siints acindo so d la Rla d L Hôpital: ln / / a ln [] L Hôp sn sn sn / sn b L Hôp Uso d la Rla d L Hopital para indtrminacions con ponnts. Para calclar límits con indtrminacions con ponnts, podmos tomar loaritmos y tilizar l co d q, por sr l la nción loarítmica na nción contina, l loaritmo d n límit s ial al límit dl loaritmo., Ejmplo: Calclar /. i Llamamos A al límit:? A ii Tommos loaritmos y dsarrollmos la prsión: ln A ln iii Calclmos l límit rsltant: ln i D modo q ln A. Por tanto: ln ln / ln L' Hôp A - -
Tma : La driada d na nción. Calcla la driada d las siints ncions: a ln b sn sn c ln arcsn d 6 ln. Calcla la driada d las siints ncions n los pntos d abscisa indicada. a n. b n.. Calcla la driada d las siints ncions dl tipo ponncial-potncial. a arct t b sn. Calcla las cacions d las rctas tannt y normal a la ráica d la nción n l pnto d abscisa.. Dada la nción a Calcla y, y, y, y, y. b Encntra na prsión nral para n y. 6. Dtrmina los alors a, br para q la nción a sn b y admás cmpla q la pndint d la rcta tannt n / sa. 7. Dada la nción: pas por l pnto / 6, 6 a En qé pnto la tannt a s ráica s paralla al j d abscisas? b En qé pnto la tannt a s ráica s paralla a la rcta y? 8. Halla l alor d k tal q la rcta y 9 sa tannt a la ráica d la nción k. 9. Halla los pntos n los q la rcta tannt a la ráica d s prpndiclar a la rcta r : y. Estdio d la driabilidad d na nción EJERCICIOS DEL TEMA. Estdia la continidad y la driabilidad d la siint nción: si si. Halla razonadamnt los pntos n q la nción no s driabl. - -
Matmáticas II. Dtrmina si la nción s driabl n l pnto.. Estdia la continidad y la driabilidad d la siint nción:,,, si si si. Calcla l alor d las constants b y c para q la siint nción sa driabl n toda la rcta ral: a b si si. La nción :, R dada por: a b c si si s driabl n todo s dominio y riica. Calcla l alor d a, b y c. El torma d Roll 6. Dmstra mdiant l torma d Roll q la driada d la nción 7 s anla n alún pnto dl intralo,. Dspés, ncntra tal pnto., s aplicabl l torma d Roll n l intralo, 7. Dada la nción / airmatio, ncntra l pnto c q satisac la tsis dl torma.? En caso 8. Considra la nción: sn a Es aplicabl l torma d Roll n l intralo,? 6 6 b En caso airmatio, ncntra n alor d dico intralo para l q s anl la driada. 9. Dada la nción, s aplicabl l torma d Roll n l intralo, airmatio, ncntra n alor c, n l q s anl la driada. El torma dl alor mdio d Laran. Dada la nción: a Es aplicabl l torma d Laran n l intralo, 6? a Es aplicabl l torma d Laran n l intralo,? c En los casos n los q sa aplicabl, ncontrar l alor c corrspondint.? En caso - -
Tma : La driada d na nción. Estdia si s aplicabl l torma dl alor mdio o torma d Laran a la nción ln n l intralo, 6. En caso airmatio, ncntra n alor c, 6 q satisaa la tsis dl torma.. El spacio rcorrido por n móil con moiminto rctilíno in dado por la prsión: s t t t a Calcla la locidad mdia ntr los instants t y t. b Jstiica mdiant l torma d Laran q n alún instant ntr t y t s alcanza actamnt tal locidad mdia. c Encntra dico instant.. Dada la siint nción: si 6 si a Cmpl las ipótsis dl torma d alor mdio o d Laran n l intralo,? b Hay alún pnto d la ráica n la q la rcta tannt sa paralla a la rcta q pasa por los pntos, y,? La rla d L Hôpital. Calcla los siints límits acindo so d la rla d L Hôpital. a b c ln d sn 7 sn. Calcla los siints límits mdiant la rla d L Hôpital: a d ln b ln ln sn sn 6 c 6. Calcla los siints límits aplicando la rla d L Hôpital. a b c ln sn cot sn d 7. La nción : R R dada por b c ln - - si si s driabl n l pnto. Calcla cánto aln las constants b y c.
Slcción d Ejrcicios d PAEG Matmáticas II Rsra I 9- Jnio - Rsra II 9- Sptimbr - Sptimbr - Rsra I - apartado a - 6 -