Prited with FiePrit - purchse t http://www.fieprit.com CÁLCULO INTEGRAL IINTEGRAL DEFIINIIDA Hemos visto que, por el cálculo diferecil o proceso de derivció, es posile defiir co precisió l rect tgete u curv e u puto. Veremos quí que es posile defiir co precisió el áre de u regió pl utilizdo el cocepto de Itegrl Defiid. Si ie estos dos prolems, l rect tgete u curv e u puto y el áre de u figur pl, se resuelve por procesos idepedietes, mos está viculdos. Est viculció se mifiest e el Teorem Fudmetl del Cálculo Itegrl, que relcio el cocepto de Derivd co el de Itegrl Defiid, coceptos que form el úcleo del Cálculo Diferecil e Itegrl. E geometrí elemetl se deduce fórmuls pr clculr el áre de cierts figurs (triágulos, rectágulos, círculos, etc.), pero si refleiomos u poco, veremos que rr vez se d u defiició ceptle del áre. A veces, se defie el áre de u regió como el úmero de cudrdos de ldo uidd que ce e l regió. Esto es clro si l regió es u rectágulo: E este rectágulo ce 8 cudrditos cuyo ldo es l uidd, y todos semos que el áre del mismo es A se ltur 8 Pero si cosidermos que l regió es el círculo de rdio r : Semos que su áre es A π. r π. π Pero o qued clro e soluto el sigificdo de que π cudrdos ce e est regió E el cso geerl, si cosidermos u regió R como l de l siguiete figur: Vemos que o sólo es complicdo clculr su áre, sio que demás es dificultoso dr u defiició de áre Aálisis Mtemático I - Pági
Prited with FiePrit - purchse t http://www.fieprit.com Pr defiir e form precis el áre, trtemos e pricipio el prolem de clculr el áre de l regió pl R, limitd por u fució cotiu y positiv ƒ, el eje y ls verticles y : Dividmos el itervlo cerrdo [, ] e suitervlos de igul logitud. Si l logitud del itervlo [, ] es igul - etoces l logitud de cd suitervlo será - >. De mer que los etremos de estos suitervlos so:, +, +, +, +,..., A los suitervlos [, ], [, ],..., [ -, ], co y los podemos simolizr más revemete co [ i-, i ] dode i. Ahor tomemos e cd suitervlo [ i-, i ], i, u puto muestr i culquier y formemos el rectágulo cuy se es el itervlito y cuy ltur es f ( i ), o se l imge de i : Como el áre de cd rectágulo es el producto de ( se ) y f ( i ) ( ltur ), se ve que l sum de ls áres de todos los rectágulos os d u medid proimd del áre de l regió R. Est sum se puede epresr usdo l otció sigm: f ( i ). f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( ) +... + f ( ) () i Pr revir simolicemos l sum () co R i f ( ).. i Aálisis Mtemático I - Pági
Prited with FiePrit - purchse t http://www.fieprit.com Por ejemplo, si l ctidd de suitervlos es,() qued i áres de los rectágulos que qued defiidos. R f ( i ). f ( ). + f ( ). + f ( ). + f ( ). y ést simoliz l sum de ls Ahor oservemos ls siguietes figurs e ls que se represet los rectágulos de proimció y e cd u se tom u vlor de distito: Usdo el progrm GeoGer podemos visulizr e form diámic este tipo de gráficos y l vez coocer el vlor de l sum () pr distitos vlores de. Si cosidermos l fució f ( ) e el itervlo cerrdo [, ] se puede oservr que, medid que icremetmos l ctidd de itervlitos, ls sums se v proimdo l vlor /. Es decir, ituimos que medid que tommos cd vez más grde, ls proimcioes correspodietes del áre de R, so cd vez mejores. Dicho de otr mer, ituimos que el ite de ls sums, cudo tiede, será el vlor ecto del áre de l regió R: Defiició: El áre de l regió R delimitd por l gráfic de u fució cotiu y positiv ƒ, el eje, y, es el ite de l sum de ls áres de los rectágulos de proimció: Áre de R R [ f ( ) + f ( ) + f ( ) +... + f ( ) ] Como ƒ es cotiu y es costte, este ite siempre eiste. Ejemplo: Usdo est defiició, clculemos el áre de l regió ecerrd por l gráfic de f ( ), el eje, y. Semos que ƒ es cotiu y positiv e el itervlo cerrdo [, ]. Aálisis Mtemático I - Pági
Prited with FiePrit - purchse t http://www.fieprit.com - Dividmos l itervlo cerrdo [, ] e prtes de igul logitud que el cho de los rectágulos es y qued determidos los suitervlos -. O se - [, ], [, ], [, ], [, ]..., [, culquier vlor del suitervlo correspodiete, podemos tomr como putos muestrs etremos derechos de cd suitervlo:,,,,...,. Como l ltur de cd rectágulo es l imge por ƒ de estos putos, ls lturs so: Etoces R ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),,,,..., f ( i ). ( ). + ( ). + ( ). +... + ( ). i (.... + + + + ) ( + + +... + ) Utilizdo l fórmul pr l sum de los cudrdos de los primeros turles: ]. Como u puto muestr puede ser i los + + +... + ( + )( + ) 6 L sum qued ( + )( + ) ( + )( + ) R. 6 6 Ahor hgmos: ( + )( + ) R 6 ( + ) ( + ). +. +.. 6 6 6 Y cofirmmos que uestr ituició o flló, el áre descript es /. Oservció importte: Recuérdese que l ltur de u rectágulo siempre es positiv, etoces pr que f ( i ) se l ltur de u rectágulo de proimció, ƒ dee ser positiv e el itervlo [, ]. E otrs plrs: sólo si f(), [,],elite R d el vlor ecto del vlor del áre de l regió limitd por l gráfic de l fució cotiu ƒ, el eje y ls verticles y.. Ejercicio: Clculr el áre de l regió ecerrd por l gráfic de f ( ), el eje, y, tomdo como puto muestr e cd suitervlo el etremo izquierdo del suitervlo. Cuál es el resultdo?. Porqué?. Aálisis Mtemático I - Pági
Prited with FiePrit - purchse t http://www.fieprit.com El ite R [ f ( ) + f ( ) + f ( ) +... + f ( ) ] que utilizmos pr clculr áre prece e muchs situcioes, icluso cudo l fució o es positiv. El mismo se utiliz pr clculr logitudes de curvs, volúmees de sólidos ( como veremos más delte), cetros de ms, trjo, etc. Es por ello que le dmos u defiició especil: Defiició: Si ƒ es u fució cotiu e u itervlo cerrdo [, ], dividimos el itervlo - [, ] e suitervlos de igul cho. Hcemos que,,,..., -, se los putos etemos de estos suitervlos y elegimos,,,, como los putos muestrs e estos suitervlos, de modo que i se ecuetre e el i-ésimo suitervlo [ i-, i ]. Etoces l Itegrl Defiid de ƒ, desde hst, se defie como f() d i i f ( ). y diremos que ƒ es itegrle sore el itervlo cerrdo [, ]. Oservció : Como ƒ es cotiu, este ite siempre eiste y d el mismo vlor idepedietemete de cómo se elij los putos muestr i. Oservció : Se puede pror que el ite de l defiició terior eiste tmié si l fució es cotd y tiee u úmero fiito de discotiuiddes e [, ]. O se que eiste l Itegrl Defiid ƒ() d pr tles fucioes. Si los putos de discotiuidd so t,t,t,..., t -,t tles que < t <t <t <...<t - <t < l itegrl es igul t ƒ() d t ƒ() d + ƒ() d + t t ƒ() d+... + ƒ() d t Oservció : L itegrl defiid ƒ() d, es u úmero rel, positivo, egtivo ó cero. Oservció : Si comprmos l defiició de Itegrl Defiid co l defiició de áre dds, sólo e el cso e que ƒ() e [, ], ls sums R f ( i ). so proimcioes del vlor del áre de l regió limitd por l gráfic de l fució cotiu ƒ, el eje y ls verticles y, y l Itegrl Defiid d el vlor ecto de este áre. i Not: El símolo se llm sigo de itegrl y fue itroducido por Leiiz. Es u S lrgd y fue elegid pues l itegrl es u ite de sums. E el símolo ƒ () d, ƒ () se lo llm itegrdo, y so los etremos iferior y superior de itegrció y se deomi vrile de itegrció. El símolo d crece de sigificdo isldmete. Oservció 5 : L Itegrl Defiid es u úmero que o depede de. Por ello: Aálisis Mtemático I - Pági 5
Prited with FiePrit - purchse t http://www.fieprit.com ƒ(z) dz... Es decir, depede sólo del itegrdo ƒ() y de los e- ƒ() d ƒ(t) dt tremos y. Oservció 6 : L sum f ( i ). se deomi sum de Riem, e hoor l mtemático i lemá Berhrd Riem quie se dee l defiició dd de Itegrl Defiid. Riem fue el primero e desviculr l mism de su iterpretció geométric como áre. De mer que l Itegrl Defiid es u cocepto mtemático ddo por el ite i i f ( ). y áre es su sigificdo o iterpretció geométric ( co ls codicioes meciods e l oservció ). Al itroducir el cocepto de Itegrl Defiid, hemos supuesto que <. Ampliemos este cocepto co ls siguietes defiicioes: Defiició : Si y ƒ es u fució co perteeciete su domiio, f()d. Defiició : Si < y ƒ es itegrle sore el [, ], se defie f() d - f()d. Por ejemplo: d - d, dode hemos usdo el resultdo del ejercicio. Ejemplo: Usemos l defiició de Itegrl Defiid pr clculr ( Dividmos l itervlo cerrdo [, ] e prtes de igul logitud - 6)d - - de m- er que qued determidos los suitervlos [, - [, ]. Podemos tomr como puto muestr i 6 6 9 9 ], [, ], [, ], [, ]..., l etremo de l derech de cd suitervlo, co lo cul:,, 6, 9,,...,. E geerl i i Etoces ( - 6)d f ( i ). i i i i 6. 7i 8i i 8 5 i i i i i i f ( ). 7i 8i i i Aálisis Mtemático I - Pági 6
Prited with FiePrit - purchse t http://www.fieprit.com Ahor usemos ls fórmuls: i i + + +... + ( + ) Sum de los primeros turles i i + + +... + ( + ) Sum de los cuos de los primeros turles Etoces el ite qued: ( - 6)d 8 ( + ) 5 ( + ) 8 ) + 8 ( + ) ( + ) 7 8 7 7 + 7 6.75 Est itegrl o se puede iterpretr como el vlor del áre de l regió limitd por l gráfic de f() - 6, el eje, etre y, porque est fució o es positiv e todo el itervlo [, ], sio que tom vlores tto positivos como egtivos llí. E todo cso se puede decir que es l difereci ( áre de A - áre de A ), siedo A y A como se muestr e l figur: Propieddes de l Itegrl Defiid Ates dijimos que tto ls fucioes cotius e u [, ], como ls fucioes cotds y cotius slvo e u úmero fiito de putos del [, ] so itegrles sore este itervlo. Ls siguietes propieddes se refiere tods ells. P ) Se,, c dode < c <. ƒ es itegrle sore [, ] si, y sólo si, ƒ es itegrle sore [, c] y sore [c, ]. E este cso ƒ() d c ƒ() d + ƒ() d c Aálisis Mtemático I - Pági 7
Prited with FiePrit - purchse t http://www.fieprit.com P ) Si ƒ y g so fucioes itegrles sore [, ], etoces ƒ ± g es itegrle sore [, ] y demás: [ ƒ() d ± g() ] d ƒ() d ± g() d P ) Si ƒ es itegrle sore [, ] y c culquier, etoces c ƒ es itegrle sore [, ] y demás: E prticulr - ƒ() d - c ƒ() d c ƒ() d. ƒ() d Ejemplo: 5 d 5 d 5.(/) 5/ P, P y P vle tmié si. P ) Si ƒ es itegrle sore [, ], etoces ƒ es itegrle sore culquier [c, d] tl que [c, d] [, ]. P 5 ) Si ƒ es itegrle sore [, ], etoces ƒ() d ƒ() d P 6 ) Se ƒ y g itegrles sore [, ] tles que ƒ() g() e [, ], etoces ƒ() d g() d (e prticulr: si ƒ() e [, ] ƒ() d ) P 7 ) Si ƒ es itegrle sore [, ] y m ƒ() M [, ], etoces m ( - ) ƒ() d M ( - ). E prticulr: m y M puede ser ífimo y supremo de ƒ e [, ]. Además si ƒ es cotiu, m y M puede ser el míimo y el máimo de ƒ e [, ]. Otr defiició de Itegrl Defiid De l defiició de Itegrl Defiid f() d de Riem i f ( i ). cudo tiede, tiede. i i f ( ). se desprede que e l sum Hy situcioes e que es más propido sudividir l itervlo cerrdo [, ] e suitervlos de distit logitud. Si desigmos co,,,,..., ls logitudes de estos suitervlos, deemos segurros que, e el proceso del ite, ests logitudes tied. Esto se cosi- Aálisis Mtemático I - Pági 8