Chapella, Lucana Garca, María del Carmen Rapell, Cecla Castellana, Noela Koegel, Llana Insttuto de Investgacones Teórcas y Aplcadas, de la Escuela de Estadístca EVALUACIÓN DEL COMPORTAMIENTO DE LOS ESTIMADORES DE LOS PARÁMETROS DE UN MODELO NO LINEAL MIXTO. UNA COMPARACIÓN DE MÉTODOS DE ESTIMACIÓN 1.- Introduccón La modelacón de datos medante una curva de crecmento es habtual en la práctca estadístca. Para ello se utlzan funcones no lneales que permten predecr la respuesta de acuerdo a característcas de los ndvduos y calcular los valores máxmos esperados. La respuesta meda se estma a través de medcones repetdas de la msma a lo largo del tempo. Las medcones realzadas a una msma undad están correlaconadas, lo cual se debe contemplar en el análss. Los modelos no lneales mxtos ajustan este tpo de datos en forma flexble y con parámetros que poseen nterpretacón práctca. Permten la nclusón de covarables medante los efectos fjos y los efectos aleatoros del msmo reflejan las múltples fuentes de heterogenedad y/o correlacón entre y dentro de las undades. La estmacón de los parámetros de estos modelos presenta algunas dfcultades debdo a la no lnealdad de la funcón de respuesta. El proceso de estmacón requere el uso de métodos de optmzacón y se deben utlzar aproxmacones numércas o analítcas. En algunas stuacones el proceso puede no converger y suelen aparecer problemas cuando el número de medcones repetdas por undad es chco. Para estmar los parámetros de los modelos no lneales mxtos, exsten dferentes enfoques, entre ellos: métodos basados en estmacones ndvduales, métodos basados en aproxmacones lneales, métodos basados en aproxmacones numércas de las ntegrales y métodos Bayesanos. El objetvo de este trabajo es evaluar medante smulacones el comportamento de los estmadores de los parámetros de una curva de crecmento, utlzando los métodos basados en aproxmacones lneales. Para el proceso de smulacón, se consderan los resultados obtendos al ajustar un modelo de Wood para evaluar la evolucón de la lactanca de vacas
Holando, consderando el número de partos de cada una. 2.- Modelo no lneal mxto El modelo no lneal mxto para las observacones de la undad, =1,... N se puede expresar como, Y ƒ( X, β) e, donde, Y [Y,...,Y ]' es el vector (n x1) compuesto por las medcones repetdas del - 1 n ésmo ndvduo, e j 1,..., n, Y j la observacón realzada al -ésmo ndvduo en el tempo t j, ƒ X, β ) [ƒ( x, β ),,ƒ( x, β )]' sendo, ƒ una funcón no lneal conocda que relacona el ( 1 n vector de respuestas con el tempo y otras posbles covarables ntra-undad (X ) y es un vector específco del ndvduo que contene los parámetros de la funcón no lneal. El vector se puede modelar, en una segunda etapa, como la suma de dos componentes, una fja o poblaconal común a todos los sujetos y otra específca a cada sujeto, β A β B b. Los elementos del modelo no lneal mxto son, entonces, X { x j } : Matrz (n x v) de dseño del -ésmo ndvduo, j 1,..., n, β : Vector (rx1) de parámetros del sujeto -ésmo, β : Vector (sx1) de efectos fjos, b : Vector (qx1) de efectos aleatoros, A : Matrz (rxs) de dseño para los efectos fjos, B : Matrz (rxq) de dseño para los efectos aleatoros. Se supone que b y e son ndependentes con dstrbucón,..d. b ~ N ( 0, D ) q..d. e ~ N ( 0, Ψ ), n sendo, D la matrz de covarancas de los efectos aleatoros y Ψ, con la msma estructura para todos los ndvduos, la matrz de covarancas ntra-ndvduos. El modelo se puede estmar medante el método de máxma verosmltud. Condconal a los
efectos aleatoros Y N( ƒ(.), Ψ ) y la verosmltud para Y se puede obtener ntegrando una densdad normal con respecto a la dstrbucón de los efectos aleatoros. Pero, maxmzar la funcón de verosmltud resultante es complcado por la presenca de una ntegral multdmensonal en esta funcón. Para una estructura smple de los efectos aleatoros, la ntegracón se puede realzar por cuadratura Gaussana (Davdan y Gallant, 1993), o alguna otra técnca numérca sn demasada dfcultad. Exsten varas alternatvas para la estmacón de la verosmltud completa de los modelos no lneales mxtos (NLMM) que están basadas en la expansón de Taylor de prmer orden de la funcón ƒ del modelo. La prncpal dstncón entre esos métodos, denomnados de lnealzacón, resde en el punto alrededor del cual se hace la expansón. Ésta se puede realzar alrededor del valor esperado del vector de efectos aleatoros (0) (Shener y Beal, 1980), o alrededor de alguna estmacón del vector de efectos aleatoros, usualmente llamado el mejor predctor lneal nsesgado (EBLUP) (Lndstrom y Bates, 1990). 3.- Estudo de smulacón Para estudar el comportamento de los estmadores de los parámetros de un modelo no lneal mxto, obtendos al utlzar los métodos basados en aproxmacones lneales, se lleva a cabo un estudo de smulacón. Esta técnca, muy utlzada en estadístca, se emplea con el fn de evaluar la capacdad de los métodos exstentes para realzar estmacones adecuadas de los parámetros. S el método es correcto, se espera que los estmadores posean propedades deseables, por ejemplo que resulten nsesgados respecto al valor que da orgen a las observacones smuladas. En este caso, los datos se generan a partr de un modelo que consdera la funcón no lneal de Wood, cuyos tres parámetros representan el valor ncal de la respuesta, la tasa de ascenso hasta la máxma respuesta y de descenso desde el máxmo. La eleccón de los parámetros para la smulacón se nspra en los resultados del ajuste de un modelo para evaluar la evolucón de la lactanca en vacas Holando (García et al., 2010). Los datos representan las medcones de la produccón de leche (varable respuesta) en 15 momentos a 120 vacas, regstrados de acuerdo al número de parto (1º,2º,3º y más) al que corresponde esa lactanca. Se asume que los parámetros de la curva de Wood son una funcón lneal de tres efectos fjos que poseen efectos aleatoros. La expresón de la funcón para la lactanca de la vaca (=1,, 120) en la medcón j (j=1,, 15) y los valores de los parámetros utlzados en la smulacón son,
1 j 0 j 2 j j Y t exp(- t ) e 0 23,8326-6,2360 P1-1,8156 P2 b 0 1 0,3684-0,1017 P1-0,0568 P2 b1 2 0,1066-0,0360 P1-0,0103 P2 b 2, sendo P 1 =1 s la vaca tuvo un solo parto, 0 en otro caso; P 2 =1 s la vaca tuvo dos partos, 0 en otro caso; β 0 : valor ncal de la respuesta; β 1 : tasa de ascenso de la varable respuesta desde el nco de las medcones al valor máxmo de la msma; β 2 : tasa de descenso haca el fnal de las medcones; t j : momento de la medcón; e j : error aleatoro correspondente al - ésmo ndvduo en el j-ésmo momento; b : vector (kx1) de efectos aleatoros y e : vector (n x1) de errores ntra-grupo. El vector e es ndependente de b, donde,..d. 2 2 e ~ N( 0, I ) 8,2284 (3.1)..d. 29, 4905 0 0 b ~ N( 0, Ψ ) Ψ 0 0, 006219 0. (3.2) 0 0 0, 000528 Los efectos aleatoros se consderan ndependentes con varancas heterogéneas y los errores aleatoros tenen varancas homogéneas. Utlzando el software estadístco SAS y su lenguaje de programacón IML, se generan 1000 muestras de 120 ndvduos cada una. Los datos están compuestos por las 15 medcones repetdas de la varable respuesta y están clasfcados en 3 grupos (A, B y C) de 40 undades cada uno, de acuerdo al número de parto de la vaca (1º, 2º, 3º y más). En cada una de las teracones del programa elaborado en SAS, se almacenan los 120 valores de Y j y se estman los parámetros del modelo, consderando matrces de covarancas para los errores y los efectos aleatoros con la msma estructura que da orgen a los datos smulados ((3.1) y (3.2)). Para esto, se utlzan las dstntas opcones dsponbles en el menconado software: la macro nlnmx, un algortmo que permte estmar los parámetros de un modelo no lneal mxto medante la aproxmacón de prmer orden (alrededor de b 0) y la de segundo orden (alrededor de ˆb ), y el procedmento NLMIXED, que utlza la aproxmacón de prmer orden (alrededor de b 0) medante un algortmo
dferente al de la macro. Para cada uno de los tres conjuntos de 1000 estmacones de los parámetros se calculan meddas descrptvas que permten analzar el comportamento de los estmadores obtendos medante cada método empleado: meda, desvío estándar, error cuadrátco medo (E.C.M.), sesgo, coefcente de asmetría y curtoss. La meda ndca el valor promedo de las estmacones; el desvío estándar muestra la varabldad de las estmacones alrededor del valor promedo; el E.C.M. presenta el promedo de las dferencas entre los estmadores y el verdadero valor del parámetro; el sesgo determna s la meda de las estmacones subestma o sobre-estma el parámetro; el coefcente de asmetría permte dentfcar s los datos se dstrbuyen en forma unforme alrededor de la meda y la curtoss ndca el grado de concentracón de las estmacones en la regón central de la dstrbucón. 4.- Resultados 4.1. Parámetros correspondentes a los efectos fjos En la Tabla 4.1 se presentan las meddas descrptvas obtendas de las 1000 estmacones de cada parámetro con cada uno de los métodos utlzados, consderando una matrz de ndependenca con varancas heterogéneas para los efectos aleatoros y de ndependenca con varancas homogéneas para los errores aleatoros, dadas por (3.1) y (3.2). En general, las medas de las estmacones sobre las 1000 smulacones son smlares al verdadero valor del parámetro, por lo que el sesgo resulta pequeño. En el caso de β 0, el desvío estándar de las estmacones resulta sgnfcatvamente menor utlzando procedmento NLMIXED. Sn embargo, para el msmo parámetro y con el msmo método de estmacón, el sesgo es sgnfcatvamente mayor en comparacón con los resultados obtendos con la macro. El E.C.M. de los estmadores de β 0 es sgnfcatvamente menor cuando se emplea el procedmento NLMIXED. No se observan dferencas consderables entre los resultados obtendos con los dos métodos de la macro nlnmx. Las estmacones de β 1 y β 2 tenen un comportamento muy smlar para todos los métodos empleados, con medas cercanas al verdadero valor del parámetro, es decr, con sesgo y E.C.M. pequeños.
Tabla 4.1 Resultado de las smulacones para los parámetros correspondentes a los efectos fjos. Parámetro Valor Método * Meda 0 23,8326 01-6,3260 02-1,8156 1 0,3684 11-0,1017 12-0,0568 2 0,1066 21-0,0360 22-0,0103 Desvío Std. E.C.M. Sesgo Coef. Asm. Curtoss (1) 23,599880 0,539006 0,344043-0,232720 0,512393 1,764116 (2) 23,744853 0,945302 0,897456-0,087747 0,171365 0,071581 (3) 23,744409 0,957379 0,920421-0,088191 0,180698 0,054232 (1) -5,970228 0,725934 0,652226 0,355772-0,918402 9,670721 (2) -6,275772 1,353297 1,831920 0,050228 0,110827 0,141343 (3) -6,360299 1,371762 1,880770-0,034299 0,108957 0,158150 (1) -1,748748 0,736491 0,546257 0,066852-1,502368 12,252368 (2) -1,887247 1,362212 1,852700-0,071647-0,126707 0,491101 (3) -1,910573 1,382183 1,911275-0,094973-0,121803 0,462640 (1) 0,358647 0,024622 0,000699-0,009753-0,201538-0,108492 (2) 0,358253 0,024990 0,000725-0,010147-0,189251-0,135854 (3) 0,371391 0,025329 0,000649 0,002991-0,204857-0,048451 (1) -0,105593 0,038137 0,001468-0,003893 0,004333 0,214062 (2) -0,104356 0,039097 0,001534-0,002656 0,001183 0,029682 (3) -0,099438 0,038761 0,001506 0,002262-0,011751 0,101788 (1) -0,056376 0,035657 0,001270 0,000434 0,123336-0,227090 (2) -0,056087 0,036553 0,001335 0,000723 0,142066-0,176426 (3) -0,055324 0,036360 0,001322 0,001486 0,154643-0,141247 (1) 0,099267 0,006499 0,000096-0,007333-0,164288-0,044545 (2) 0,099256 0,005792 0,000087-0,007344-0,090388-0,010157 (3) 0,106197 0,005500 0,000030-0,000403-0,024732-0,151862 (1) -0,036607 0,010217 0,000105-0,000577 0,055642-0,232101 (2) -0,036410 0,008911 0,000079-0,000380 0,070299-0,075329 (3) -0,035954 0,008362 0,000070 0,000076 0,013533-0,224215 (1) -0,010419 0,009603 0,000092-0,000139 0,056510 0,219689 (2) -0,010311 0,008316 0,000069-0,000031 0,159711 0,399496 (3) -0,010225 0,007771 0,000060 0,000055 0,211121 0,470685 (1) PROC NLMIXED - (2) Macro nlnmx Aprox. de 1er. orden (3) Macro nlnmx Aprox. de 2do. orden. La forma de la dstrbucón de los estmadores obtendos usando la macro nlnmx es bastante smlar con los dos métodos de aproxmacón lneal, aunque dfere de la dstrbucón de los estmadores obtendos con procedmento NLMIXED. La relacón entre la asmetría y la curtoss permte tener una dea de la forma de la dstrbucón de los
estmadores y su parecdo con la dstrbucón Normal. En la Tabla 4.1 se puede vsualzar que, para los estmadores obtendos medante la macro nlnmx con cualquera de las dos aproxmacones, estos valores se concentran alrededor de cero, ndcando dstrbucón Normal, mentras que con procedmento NLMIXED los valores ndcan un alejamento del supuesto de normaldad en la dstrbucón de los estmadores. La dstrbucón de los estmadores de β medante procedmento NLMIXED, resulta leptocúrtca 0 (coefcente de curtoss mayor a 0), es decr, con una alta concentracón de observacones alrededor de la meda. El valor del coefcente de asmetría resulta mayor para la dstrbucón de los parámetros estmados bajo procedmento NLMIXED, sendo postva para β 0 y negatva para β 2. El resto de los parámetros de efectos fjos del modelo no presentan dferencas consderables respecto a la forma de la dstrbucón de sus estmadores. Gráfco 4.1 Dstrbucón de los estmadores de parámetros de efectos fjos obtendos utlzando dferentes métodos. ˆ 0 ˆ 1 ˆ 2
Las smulacones sugeren que la dstrbucón de los estmadores de los parámetros de los modelos no lneales mxtos obtendos por los métodos de lnealzacón de prmer orden y de segundo orden (Gráfco 4.1) medante la macro nlnmx, resultan smétrcas, centradas en el verdadero valor del parámetro (sesgos pequeños) y con E.C.M. chcos. La aplcacón de la macro nlnmx permte arrbar a estmacones muy smlares para ambos tpos de aproxmacones. Sn embargo, el uso del procedmento NLMIXED genera certa asmetría y curtoss en la dstrbucón de los estmadores de los parámetros fjos del modelo. 4.2. Parámetros de covarancas En la Tabla 4.2 se presentan las meddas descrptvas de las estmacones de cada parámetro de covarancas. Para el parámetro D 00 resulta destacable que las estmacones realzadas con procedmento NLMIXED presentan menor desvío estándar que con los otros dos métodos. Así msmo, tenen el menor sesgo y, por ende, el menor E.C.M.. En el caso de D 11, D 22 y 2 las meddas descrptvas resultan muy smlares para los tres métodos utlzados. En estos casos, el desvío estándar de las estmacones es algo menor cuando se utlza la aproxmacón de segundo orden en la macro nlnmx. Tabla 4.2 Resultado de las smulacones para los parámetros de las matrces de varancas y covarancas. Parámetro Valor Método * Meda D 00 29,490500 D 11 0,006219 D 22 0,000528 2 8,228400 Desvío Std. E.C.M. Sesgo Coef. Asm. Curtoss (1) 29,501944 0,146590 0,021594 0,011444 1,725688 24,502247 (2) 28,598130 4,220524 18,591119-0,892369 0,271692 0,211287 (3) 28,994014 4,254249 18,326748-0,496485 0,249591 0,112115 (1) 0,005737 0,002554 0,000006-0,000481 0,369673 0,045510 (2) 0,005710 0,002547 0,000006-0,000508 0,363481-0,075087 (3) 0,005669 0,002330 0,000005-0,000549 0,300667-0,207806 (1) 0,000613 0,000158 0,000000 0,000085 0,577011 0,524756 (2) 0,000627 0,000168 0,000000 0,000099 0,677325 0,670069 (3) 0,000501 0,000110 0,000000-0,000026 0,324699 0,028885 (1) 8,241660 0,315951 0,099889 0,013260 0,158478-0,277786 (2) 8,242615 0,299958 0,090061 0,014215 0,183215 0,017664 (3) 8,222635 0,296177 0,087647-0,005764 0,171264-0,027341 (1) PROC NLMIXED - (2) Macro nlnmx Aprox. de 1er. orden (3) Macro nlnmx Aprox. de 2do.
orden. ˆD 00 Gráfco 4.2 Dstrbucón de los estmadores de parámetros de covarancas obtendos utlzando dferentes métodos. ˆD 11 ˆD 22 ˆ 2 El gráfco 4.2 presenta la dstrbucón de los 1000 estmadores de D 00, D 11, D 22 y 2, medante los dstntos métodos empleados. Se vsualza que, para D 22, la dstrbucón resulta más smétrca y con menor dspersón cuando se utlza la aproxmacón de segundo
orden en la macro nlnmx. En el caso de 2, se observa que la dstrbucón de los estmadores obtendos con procedmento NLMIXED resulta platcúrtca, es decr, con alta concentracón de valores en la zona central (el coefcente de curtoss resulta notablemente mayor a 0). En general, se observa que las estmacones de los parámetros de covaranca, para los dstntos métodos utlzados, presentan una curtoss cercana a cero, ndcando una concentracón de datos alrededor de la meda smlar a la de la dstrbucón Normal. El coefcente de asmetría varía levemente, ndcando certos nveles de asmetría por derecha para todos los métodos y parámetros. Sn embargo, bajo la aproxmacón de segundo orden en la macro nlnmx, el grado de asmetría observado es menor que con el resto de los métodos. Es de destacar que la dstrbucón muestral de ˆD 00 bajo el procedmento NLMIXED presenta una mportante leptocurtoss y asmetría por derecha. 5. Consderacones fnales De los resultados obtendos, se puede decr que los valores medos de las estmacones, resultan smlares a los verdaderos valores de los parámetros, en general, para todos los métodos empleados. Al utlzar el procedmento NLMIXED, las dstrbucones de los estmadores presentan certos nveles de asmetría y curtoss, tanto para los parámetros fjos como para los de varanca y covaranca. Esto ndcaría un alejamento del supuesto de normaldad en la dstrbucón de los estmadores. Para los estmadores obtendos con cualquera de las dos aproxmacones de la macro nlnmx, los valores de curtoss y asmetría se concentran alrededor de cero, ndcando una dstrbucón Normal. Bajo la aproxmacón de segundo orden en la macro nlnmx, el grado de asmetría observado para la dstrbucón de los estmadores de los parámetros de varanca es menor que con el resto de los métodos. El desvío estándar de los parámetros de varanca resulta menor cuando se emplea la aproxmacón de segundo orden, medante la macro nlnmx. Para los datos generados, los resultados muestran que el uso de la aproxmacón de segundo orden de la macro nlnmx provee estmadores con buen comportamento y con sesgos menores a los obtendos con los otros métodos. Cabe destacar que el presente trabajo se realzó para una funcón no lneal partcular y las conclusones obtendas se encuentran lmtadas a la msma. Para obtener conclusones generales, que puedan extenderse a todas las funcones no lneales, es necesaro contnuar
nvestgando el comportamento de los estmadores de sus parámetros, consderando, además, stuacones en la que el número de medcones repetdas por undad sea chco. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Davdan, M.; Gltnan, D. M. (1995): Nonlnear Models for Repeated Measurement Data. Chapman & Hall. El Halm, R. (2005): Nonlnear Mxed-effects Models and Nonparametrc Inference. Departamento de Estadístca, Unversdad de Barcelona. García, M. del C.; Rapell, C.; Cuatrín, A. (2010): Multlevel nonlnear mxed model for modelng and choosng a lactaton curve. Bocell, Vol. 34. Macchavell, R.E.: Aplcacones de modelos no lneales mxtos. <http://rmacchavell.cca.uprm.edu/nolnealesmxtos.pdf> Pnhero, J. C.; Bates, D. M. (2000): Mxed-Effects Models n S and SPLUS. Sprnger. SAS Insttute Inc. (2003): SAS OnlneDoc 9.1.3. Cary NC. Schabenberger, O.; Perce, F. J. (2002): Contemporary Statstcal Models for the Plant and Sol Scences. CRC Press. Vonesh, E. F.; Chnchll, V. M. (1997): Lnear and Nonlnear Models for the Analyss of Repeated Measurements. Marcel Dekker.