Soluciorio Iegrl defiid ACTIVIDADES INICIALES I Co yud de l clculdor, obé l sum de los cie primeros érmios de es progresió:,,,,, Se r de u progresió geoméric de rzó r S r, r, por lo que: II Epres l fució f ( como u fució defiid rozos ( ( si < f( ( ( si, es decir, ( ( si > si < f( si si > III Desrroll ess sums: i b i ( i ( i ( i i ( i ( ( ( ( i ( i i b i ( ( ( ( ( ( ( ( ( i ( ( ( ( ( 7 IV Ecuer los puos de iersecció ere ls prábols: f ( y g( 8 (, Los puos de core so A(, y B(, 8 EJERCICIS PRPUESTS bé co el méodo viso el áre del rpecio limido por l rec y, el eje horizol y ls vericles y Comprueb el resuldo clculdo el áre geoméricmee Se divide el iervlo [, ] e subiervlos, cd uo de logiud Se clcul l sum de ls áres de los recágulos obeidos omdo como bse l logiud de cd subiervlo y como lur l orded del eremo derecho S ( 8 8 ( Se om como áre del recio el úmero A lim S, es decir, A lim u Geoméricmee, el rpecio iee lur y bses y 9 Su áre es: 9 A u, que coicide co l obeid co el méodo erior Soluciorio
Soluciorio bé u fórmul pr Pr ello procede de form álog l del primer ejemplo, desrrolldo ls curs poecis de ( ( ( ( Sumdo los primeros miembros y los segudos miembros, se obiee: ( ( ( ( ( Luego ( ( ( ( Se despej l sum de los primeros cubos y se plic ls fórmuls y coocids: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( [ ] ( ( ( ( ( ( ( Así pues, ( ( Clcul el áre limid por l curv y, el eje horizol y ls recs y Tom e cd subiervlo como i c el eremo izquierdo Se divide el iervlo [, ] e subiervlos, cd uo de logiud Se clcul l sum de ls áres de los recágulos obeidos omdo como bse l logiud de cd subiervlo y como lur l orded del eremo derecho S Aplicdo l fórmul ecord e el ejercicio erior: ( S El áre del recio es el úmero S A lim, es decir, lim A u Se f coiu e [, ] y g( f( Si ( f d, clcul ( g d ( ( ( ( ( ( d d f d f d g Si ( f d, 8 ( f d y ( f d, hll: ( f d b ( f d c ( f d 8 f f f b 7 f f f c 8 7 f f f f
Soluciorio Hll el vlor medio de ess fucioes: b c f g h( Se debe ecorr el vlor f(c, siedo c el úmero del ervlo [,], que cumpl d f ( c ( Como d es el áre de u rpecio de lur y bses y, su vlor 9 9 es d Eoces, f ( c ( f ( c, es el vlor medio de l fució e dicho iervlo b Se debe ecorr el vlor g(c, siedo c el úmero del iervlo [, ] que cumpl ( d g( c ( g Se clcul es iegrl hlldo el áre de ls res regioes (u curo de círculo que esá por ecim del eje ; u riágulo que esá por debjo del eje ; u riágulo que esá por ecim del eje El áre del curo de círculo es El áre del riágulo que esá por debjo del eje es Eso idic que f ( d, y que l esr por debjo del eje, l iegrl es el opueso del áre El áre del riágulo que esá por ecim del eje es Co odo eso: g ( d g( d g( d g( d Por o, g ( c ( g( c es el vlor medio de l fució e dicho iervlo c Se debe ecorr el vlor h(c, siedo c el úmero del iervlo [,] l que ( d h( c ( Como ( d h ( c ( h( c es el vlor medio de l fució e dicho iervlo,eoces 7 Clcul: g d b g ( d d g l l g lg lg l l g ( b ( ( d Soluciorio
8 Hll d b e e l(l d l( (l l d d e l(l e d l udu u l u l l ( l u du u b [ ] 9 Clcul ls derivds de ls fucioes: f( gd b g ( e ed Si f( gd, por el eorem fudmel del cálculo se sbe que f '( g e eoces '( e b Como g( e d e d g e Hll ls derivds de ls siguiees fucioes: f( sed b g ( e d cos f ( ( cos ( cos (, su derivd es: f ' ( se ( se ( b L fució h( e es coiu g( [ H( ] H( H(, co ( ( g'( ( H'( H'( ( e e H'( e, por o: Clcul el áre de l regió limid por l gráfic de y, el eje y ls recs y A u L fució es posiiv e [, ] d [ l( ] (l l Clcul el áre de l regió fii limid por el eje horizol y l gráfic de y L fució es u prábol cócv hci rrib que cor l eje e los puos de bsciss y L regió qued por debjo del eje A ( d u Clcul el áre de l regió ecerrd ere ls gráfics de f ( y Primero hy que clculr los puos de core de mbs fucioes: g (,;, L regió esá limid ere dos curvs: pues, el áre pedid es: f ( esá por rrib y,,, (( (,,, 9 u, A f g d d g ( esá por debjo; sí Soluciorio
Soluciorio Clcul el áre de l regió limid por ess curo curvs: y, y, y, y L gráfic de l curv y, que o es u fució, se puede obeer dibujdo ess dos gráfics: y ± Por o, l regió es l que se muesr Los vérices de l regió so los puos de iersecció de ls curvs que se cor: A(,, B(,, C(, y D(, L regió que esá l izquierd del eje es u rpecio de lur y bses 7 y Su áre es A u r regió esá limid superiormee por y e iferiormee por y, su áre l d l iegrl: 8 A ( d 8 u L or regió esá limid superiormee por y e iferiormee por y, su áre: A ( ( d ( d u 7 8 A A A A u Clcul el volume de u sólido cuy bse es u círculo de rdio y e el que ls seccioes rsversles perpediculres l bse so riágulos equiláeros Si se cer el círculo e el orige, su ecució es y, es decir, y A coiució hy que ecorr l fució A( que d el áre de cd uo de los riágulos de l secció L bse de cd riágulo equiláero de cd secció es y L lur de cd uo de esos riágulos es (y y y Por o, el áre de esos riágulos es y y es: A( ( V ( d u y Así pues, l fució A( Hll el volume del sólido que se form l girr l regió bjo l gráfic de y cos e [, ] ( cos ( cos ( cos d cos cos d V d d se cos d y, por pres: f( cos, dg( cos d, df( se d, g( se cos d se cos se d se cos se cos Despejdo se obiee: cos d C ( cos d se cos se cos Por o, ( cos se V d u cos d 7 Hll el volume de u sólido S cuy bse es l regió {( y, l que y } rsversles perpediculres l bse so cudrdos Cd uo de los cudrdos de ls seccioes iee ldo ; por o, A( ( El volume del sólido es: V ( d ( d u y cuys seccioes Soluciorio
8 Hll l logiud de l ceri e e y ere y e f ( e [ ] e e L f ( d d e e d ( ( e e d e e d e e e e u 9 L desidd de coches ρ ( (e coches por km e los primeros km de u uoví de slid de u gr ciudd viee dd por l fució ρ( ( se, siedo l disci e km l comiezo de l uoví Escribe u sum de Riem pr hllr el úmero de coches e esos km co cico iervlos de igul logiud omdo como puo muesr el eremo izquierdo b Clcul el úmero ol de coches e esos km y compr el resuldo obeido co el del prdo Se divide [, ] e subiervlos de logiud km medie los puos,, 8,,, E cd subiervlo se elige como puo muesr el eremo izquierdo del subiervlo i ( S ρ( Δ ρ( [ ρ( ρ( ρ(8 ρ( ρ( ] ρ c i Δ i i i b ( i ρ ( d se, d d se, d Se cmbi de vrible: d,, d d,d d, cos( se, d se( d se( d ; f (, g'( se (, f '(, g( cos( cos( se( se( d cos( d 8 se, d (, cos(, se(, 8, cos(, se(, se, d 7 8 Circuldi, u ípic ciudd, esá muy pobld cerc del cero pero su poblció decrece cudo os lejmos de él E efeco, su desidd de poblció es ( r hbies/km siedo r l disci l cero e km Si l desidd de poblció e los cofies de l ciudd es, cuál es el rdio de l zo e l que vive? b Cuál es l poblció de l ciudd? Como l desidd e los cofies de l ciudd es ( r, es decir, r km b lim i ( i ( Se clcul es iegrl: i P rδr f c r r dr r r r ( r dr ( r r dr 9 8 7 hbies Soluciorio
Soluciorio Soluciorio EJERCICIS Áre bjo u curv Hll el áre de l regió sombred uilizdo los diferees méodos propuesos y comprueb que siempre obiees el mismo resuldo: Dividiedo el iervlo [, ] e subiervlos de logiud, omdo como lur de cd recágulo l orded de su eremo derecho y clculdo, filmee, el límie de l sum de ls áres de los recágulos cudo b Procediedo como e pero omdo como lur de cd recágulo l orded de su eremo izquierdo c Hlldo u primiiv F de l fució cuy gráfic es l rec oblicu que limi l regió y clculdo F( F( d Uilizdo l fórmul geoméric que d el áre de u rpecio L ecució de l rec que limi superiormee el rpecio es y S 7 7 7 El áre del recio es: 7 7 lim lim S A u b ( S 7 7 7 7 7 lim lim A S u c U primiiv de y es F ( 7 9 ( ( F F A u d L regió sombred es u rpecio de lur y bses y Su áre es 7 A u Clcul el áre limid por l curv y, el eje horizol y ls recs vericles y Se divide el iervlo [, ] e subiervlos, cd uo de logiud Se clcul l sum de ls áres de los recágulos obeidos omdo como bse l logiud de cd subiervlo y como lur l orded del eremo derecho S 8 8 (, y plicdo ls fórmuls y coocids: 8( (8 ( ( (8 ( S [ ] 8 8 ( (8 ( El áre del recio es: 8 8 lim lim S A u
Deermi el áre de l regió limid por l fució f (, el eje horizol y ls recs vericles y Pr ello, uiliz l epresió: ( Se divide el iervlo [, ] e subiervlos, cd uo de logiud Se clcul l sum de ls áres de los recágulos obeidos omdo como bse l logiud de cd subiervlo y como lur l orded del eremo derecho ( S El áre del recio es: A lim S lim u Sums de Riem Iegrl defiid Esboz l gráfic de f ( e [, ] y divide ese iervlo e subiervlos pr probr que:, < d <,,,,,8,,,,8 bservdo el dibujo se preci que el áre bjo l curv es myor que l sum de ls áres de los recágulos iferiores y meor que l sum de ls áres de los recágulos superiores (PAU Si clculr ls iegrles, jusific cuál de ells es myor: A se d B se d Se h esudido que si f ( g( e [, b], eoces E el iervlo [,] se cumple que pereece [, ] Así pues, b b f g se se pr odo de dicho iervlo, y que se d se d y que o es el mismo iegrdo si (PAU Coes, rzodo l respues, si so verdders o flss ls siguiees firmcioes: b f ( d c f c ( d f ( d b d Si f( d y f ( > pr odo, eoces b b b b b b b b e [ ] b f ( g ( d f ( d g ( d b c Si f( d, eoces b Es verdder Es l propiedd de l iegrl defiid b Es fls Por ejemplo, d d d c Es fls Por ejemplo, d b d Es verdder Si l fució es posiiv e [, b], f( d solo puede ser cero si b e Es verdder Es l propiedd de l iegrl defiid f ( g( d f ( d g( d mide el áre bjo l curv, sí pues, es áre Soluciorio 7
Soluciorio Teorem del vlor medio 7 Hll el vlor medio de l fució f ( ( e el iervlo [, ] y l bscis del puo e el que se lcz dicho vlor medio Se debe ecorr u úmero c del iervlo [, ] que cumpl ( d f ( c ( ( 8 ( d 8 f ( c f ( c ( c pero solo l segud pereece l iervlo [, ] c, c, 8 L siguiee regió esá limid superiormee por l gráfic de l fució y e Hll l lur que debe eer u recágulo de bse pr que su áre se igul l de l regió sombred El áre de l regió sombred es e d e e El eorem del vlor medio os segur que eise u úmero c del iervlo [, ] que cumple e d f( c ( e Así pues, e f ( c f ( c Por o, el recágulo de bse y lur e iee igul áre que el de l regió 9 (PAU Se f : [, ] R coiu e [, ] l que: f ( d f ( d Se puede segurr que eise b y c e [, ] les que b, c y f (b f (c? Jusific l respues Por el eorem del vlor medio se sbe que: A Eise u úmero c del iervlo [, ] que cumple B Eise u úmero b del iervlo [, ] que cumple fd ( fc ( ( fc ( f( d f( b( ( f( b Como mbs iegrles so igules, se cocluye que, e efeco, eise b y c e [, ] les que b, c y f(b f(c Pr hcer u esudio sobre l cpcidd de memorizr de u iño se uiliz el siguiee modelo: si es su edd e ños, eoces su cpcidd de memorizr viee dd por: f( l siedo Clcul el vlor medio de cpcidd de memorizr de u iño ere su primer y su ercer cumpleños El eorem del vlor medio os segur que eise u úmero c del iervlo [, ] que cumple ( l d f( c ( El vlor f(c será el vlor medio pedido Se clcul, pues, el vlor de l iegrl y luego se hll f(c: ( l d d l d l d Es úlim iegrl se clcul por pres: f( l y dg( d, por o, df ( d y g ( : l d l d l l 8 Soluciorio
Eoces: ( l d l ( l d l 9 l 9 9 l fc ( fc ( l,9 es el vlor medio de l cpcidd de memorizr de u iño ere su primer y ercer cumpleños (TIC Clcul ls siguiees iegrles defiids: d rcg d c b se d ( d d L regl de Brrow e f ( e rcg d se hce por pres: f( rcg, dg(, por lo que df(, g( y d rcg rcg d d d d rcg d rcg rcg C rcg rcg rcg d b se d se clcul por pres Llmdo f( y dg( se, es df(, g( cos, por lo que se d cos cos d Pr obeer hor cos d, se procede de l mism form: f(, g ( cos, sí que f (, g( se, co lo que se d cos se se d cos se cos C sed cos se cos bserv que l gráfic de l fució f( se es siméric respeco l orige, y como el iervlo [, ] esá cerdo e el orige, dich iegrl es d c d (l l( C d [ l l( ] (l l l l l ( d d d d l( C ( l d l( e d ( 7 7 d d f Cmbio de vrible: e d e d d d d, hor se e ( descompoe e frccioes simples: A B A, B, por o: d d d l l, y ( ( deshciedo el cmbio: l l l l l d e e e e e d d Soluciorio 9
Soluciorio Clcul el áre que ecierr u lom de l fució f( se se d [ cos ] cos cos u Clcul el vlor de l iegrl se d sed - sed - sed [ cos ] cos d - L fució f ( uc es egiv por lo que culquier sum de Riem serí posiiv y el límie de culquier sum de Riem posiivo Qué es erróeo eoces e el siguiee rzomieo? d 9 8 8 f ( o esá cod e [, ] porque lim El límie de ls sums de Riem o eise Clcul u proimció por eceso y or por defeco de l uilizdo u prició e cico subiervlos pr clculr d Por defeco: Se om recágulos de bse, y lur el eremo derecho Por eceso: Se om recágulos de bse, y lur el eremo izquierdo < d <,,,,8,,,,8,, perdo:, < d l l l <,7 Sbiedo que,87, puedes ecorr or proimció de l hciedo u prició e cico subiervlos pr clculr d [ ( ] l lim Se divide el iervlo [, ] e subiervlos, cd uo de logiud Uiliz l iegrl erior y l regl de Brrow pr demosrr que S,87,87,87,87,87, Por or pre, d l l, l, l 7 Aálogmee, se divide el iervlo [, ] e subiervlos, cd uo de logiud: S lim S d l lim lim lim ( l lim ( lim ( l Soluciorio
Fucioes defiids por u iegrl Teorem fudmel del cálculo 7 Clcul l derivd de ls siguiees fucioes: se f( d c f( cos d b d f(, > d f( e d Auque l iegrl d se se o es elemel, pero g( es coiu pr >, el eorem se se fudmel del cálculo segur que l derivd de f( d es f ( cos d cos se b f( [l ] l(cos, su derivd f ( g cos d l c f( [l ] (l l (l l, su derivd es f ( d L iegrl e d o es elemel, sí que o se puede empler el méodo de los dos prdos eriores L fució g( e es coiu, sí pues, f ( [ G( ] G( G(, siedo G ( e, por o: f ( G ( G ( e ( e 8 Clcul lim h h 8d h Si se llm f ( 8 y F( u primiiv suy, F '( f(, eoces, h 8d F( h F( h h lim lim F ( f( 8 h h h 9 (PAU Dd l fució g ( e d, iee g( puos de ifleió? Rzo u respues Por el eorem fudmel del cálculo se sbe que l derivd de g ( e d es g ( e y l segud derivd es g ( e, que se ul si Además, l segud derivd es posiiv l izquierd de (g es cócv hci rrib y es egiv l derech de (g es cócv hci bjo Así pues e se produce u cmbio de curvur, por o, el puo A(, g( A(, es u puo de ifleió de g( (PAU Clcul l derivd de l fució f( cos d Por el eorem fudmel del cálculo se sbe que ( cos f Soluciorio
Soluciorio Clcul l derivd de ess fucioes: f ( d c f ( b f ( d d f ( se d d Por el eorem fudmel del cálculo se sbe que f ( b Por ls propieddes de l iegrl defiid se sbe que f ( d d Por o, se se se c f( d 9 Su derivd es f ( se f ( d f ( d ( ( f ( ( Clcul l derivd de ess fucioes: f( d b l( f( d l( c f( se d d l( f( d l( L iegrl l d o es elemel pero sí se sbe que l fució g ( es coiu l( ( Por el eorem fudmel del cálculo se sbe que f ( l( b f( d d l( l(, sí pues, se c f ( [ G( ] G(se G(, siedo G ( l( cos f ( G (se cos l(se d f ( [ G( ] G( G(, siedo G ( l( f ( l(, por o: f ( G ( G ( l(( l( (PAU Se F( l d co Clcul F (e b Es u fució cose? Jusific u respues F ( l d [ l ] l F ( l l l Por o, F ( e e le e b F ( l l No es u fució cose porque su derivd o es ul Soluciorio
(PAU Se l fució ( se F d defiid pr Hll los vlores de e los que lcz sus máimos y míimos relivos se F ( Es derivd se ul si se, es decir, si k co k,,, Máimo si k,,,, y míimo si k,,, (PAU Dd l fució, defiid pr odo F( ( e d R: Clcul F (, esudi el crecimieo de F( y hll ls bsciss de sus máimos y míimos relivos b Clcul F (, esudi l cocvidd y coveidd de F( y hll ls bsciss de sus puos de ifleió F ( ( e Es derivd, F'(, se ul si o Se esudi su sigo: (, (, (, Sigo de F' Máimo Míimo Compormieo de F Creciee Decreciee Creciee relivo relivo b L derivd segud de F es F ( ( e, que se ul si,, : (, (, (, (, Sigo de F'' F Cócv hci rrib Puo de ifleió Cócv hci bjo Puo de ifleió Cócv hci rrib Puo de ifleió Cócv hci bjo b b Demuesr l siguiee iguldd: f ( d f ( b d Pr ello, reliz el cmbio b Se uiliz el eorem de susiució e iegrles defiids, odo que g '( b b g( b b f b d f ( g( g ( d f ( d f ( d f ( d g( b ( f ( d b 7 (PAU Se F( l fució defiid por e F( e d Hll los puos e los que se ul l fució F ( L iegrl e d o es elemel, sí que o se puede clculr dich iegrl pr después derivrl L e G ( e fució g( e es coiu, sí pues, F( [ G( ] G( e (, siedo G ( e, por o: F ( G ( e ( e ( e e Dich derivd se ul si e 8 (PAU Se F( e d Clcul F ( L fució g ( e es coiu, sí pues, F( [ G( ] G( (, siedo G ( e, por o: ( F ( G ( e F' ( G Soluciorio
Soluciorio 9 (PAU Hll el puo del iervlo [, ] e el que l fució ( f d lcz su vlor míimo Como l fució g( es coiu, se sbe que l derivd de f ( es f ( Es derivd se ul si y como l izquierd de es egiv y su derech es posiiv, e el puo de bscis se ecuer el míimo de l fució f( (PAU Clcul los eremos relivos y bsoluos de l fució f : [ 7, ] R defiid por f ( 9 b Se β el puo e el que f lcz su máimo bsoluo Clcul β f ( d 7 f ( ( se ul si ó si Aplicdo el crierio de l segud derivd se ve que A(, 9 es u máimo relivo y B (, 9 es u míimo relivo Se compr los vlores: f( 9; f( 9; f( 7 ; f( Así pues, A(, 9 es el máimo bsoluo y C ( 7, es el míimo bsoluo 7 b se h clculdo β ( 9 d 9 7 7 (PAU Si f es u fució coiu, obé ( b Si f ( y demás (, F ( F siedo: ( ( ( F f d fd (, hll l ecució de l rec gee l gráfic de F ( e el puo Como l fució g ( f ( es coiu, el eorem fudmel del cálculo segur que l derivd de F( es F ( f ( b L ecució de l rec gee buscd es y F ( F'(( Se clcul eoces F( y F'(: 9 F( ( f( d f( d d d F ( f ( 9 L rec gee es y (, es decir, 7 y Dd f (, deermi el vlor del prámero > pr el que ( f ( d d (, (PAU Se ls fucioes F e d ( y g( ; clcul ( ( g( F Como l fució f ( e es coiu, por el eorem fudmel del cálculo se iee que su derivd es F ( e Aplicdo l regl de l cde, ( ( g( F F ( g( g ( F ( e Soluciorio
Clcul e d lim e d Al preserse u ideermició del ipo y esr e ls hipóesis del eorem de L Hôpil, se plic l om de derivds e el límie y el eorem fudmel del cálculo: lim e d e d lim e e d e e e lim e e e [ ] lim e [ ] Si f ( des, quié es f(?, cuáo vle c? c Se g ( f ( d ; eoces c ( f ( g Por or pre, omdo c, g(c c, de dode c Áres de recios L curv y divide l cudrdo de vérices V (,, V (,, V (, y V (, e dos recios Dibújlos y hll el áre del recio myor L bscis del puo de iersecció de l prábol y el segmeo V V es Por o, el áre del recio de l izquierd viee dd por l iegrl: (,7 u A d El áre del recio de l derech es A A, 7, 8 u Co lo cul, el recio myor es el de l derech 7 Clcul el áre ecerrd ere f ( y el eje de bsciss pr [, ] A d l( (l l u Soluciorio
Soluciorio 8 Dibuj l superficie limid por l prábol y y l rec y Clcul el áre de dich superficie Los puos de core de mbs fucioes se obiee resolviedo l ecució, Los puos de core so A(, y B(, L regió esá compredid ere dos gráfics: l rec y esá por ecim y l prábol y esá por debjo El áre de l regió es: A ( ( d ( d 9 u 9 Dibuj l gráfic de ( f e el iervlo [, ] y clcul su iegrl L gráfic de f( se dibuj muy fácilmee prir de l de l fució g(, si más que reflejr su pre egiv respeco l eje Como l fució es posiiv y siméric respeco l eje, y el iervlo esá cerdo e el orige, se clcul l iegrl de es form: d ( d ( d Hll el vlor >, l que 9 ( d ( d ( 9 9 Por o, (PAU Se cosider l fució f( b < si si Se pide: Clcul y b pr que f se coiu y derivble e odo R b Pr los vlores de y b obeidos e el prdo erior, clcul el áre de l regió cod por l gráfic de f, el eje horizol y ls recs, si L fució es f( si < < si Esá clro que l fució es coiu e el ierior de los res iervlos de defiició Se impoe l codició de que se coiu e los eremos de esos iervlos lim f ( lim f ( lim lim, lim f ( lim ( b b ( b b, lim f ( lim,, f ( b b f ( Soluciorio
Por o, b, que es l mism ecució que l erior Así pues, si b, l fució será coiu e odo R Se impoe hor l codició de que mbié se derivble si < L fució derivd pr vlores de disios de y es: f ( si < < si > lim f ( lim, lim f ( lim lim f ( lim, lim f ( lim Pr ese vlor de, b Así pues, si y b, l fució es coiu y derivble e odo R 7 b A d d 8 u 8 8 (PAU Hll el áre de l regió compredid ere ls prábols y ; y, Los puos de core so A(, y B(, L regió esá compredid ere dos gráfics: y esá por rrib; y esá por debjo Como mbs fucioes so simérics respeco del eje, el áre de l regió es: u A ( d ( d Clcul el áre de l regió limid por ls curvs y, y y ls recs, Ls gráfics de ls fucioes se cor e los puos (, y A(, L regió esá formd por dos rozos: / ( ( u A d d (PAU Clcul el áre limid por l gráfic de l fució f ( l, el eje y l rec gee dich gráfic e el puo e L rec gee iee por ecució y f(e f '(e( e, es decir y e El recio esá formdo por dos regioes U, limid por l rec gee y el eje ere y, es u riágulo de bse y lur e, su áre es A e El áre de l or es: e e l l e e e e A d e e El áre del recio es A A A u e e Soluciorio 7
Soluciorio (PAU Dd l fució y, clcul el áre ecerrd por l curv, el eje y ls recs perpediculres l eje que ps por el máimo y el míimo de l fució dd L derivd de l fució es f (, que se ul si, ( Esudido el sigo de l derivd: A, es míimo y B, es máimo El recio esá compredido ere y Como l fució es siméric respeco del orige, el áre pedid es A u igul d [ l( ] l l l (PAU Hll el áre del recio limido por l gráfic de l fució f(, y l rec gee dich gráfic e el máimo relivo Represe gráficmee l fució hlldo los puos de core co los ejes y los eremos relivos L fució cor l eje e el puo (, y l eje e los puos (, y A(, L derivd de l fució es f '( y se ul si o si B, 7 es u máimo y C(, es u míimo L rec gee e el máimo es y 7 Pr hllr los puos de core de dich gee co l gráfic de l fució, se resuelve l ecució 7, cuys solucioes so y El recio esá limido superiormee por l rec e iferiormee por l cúbic ( A d d 7 7 7 u 7 (PAU Dibuj el recio limido por ls curvs de ecucioes y se, y cos, y b Clcul el áre del recio descrio e el prdo erior El puo de core de mbs fucioes se ecuer resolviedo l ecució se cos, cuy úic solució e el iervlo, es (cos se se cos b A d [ ] A / / (se cos d [ cos se ] / / A A A u 8 (PAU Represe ls curvs de ecucioes y e y clculdo dóde se cor b Hll el áre del recio limido por dichs curvs Los puos de core se ecuer resolviedo l ecució, Los puos de core so A(, y B(, b El recio esá limido superiormee por l gráfic de y e iferiormee por y Su áre viee dd por el vlor de l iegrl: A ( ( d u 8 Soluciorio
9 (PAU Se f : R R l fució defiid por f ( Dibuj el recio limido por l gráfic de l fució f y sus gees e los puos de bscis y b Prueb que el eje de ordeds divide el recio erior e dos que iee igul áre L ecució de l gee e el puo de bscis es y ( y l de l gee e el puo de bscis es y ( b Si <, el áre del recio es: ( u A d Si >, el áre del recio es: ( A d d u 7 Se ls fucioes f ( y fucioes y l rec g (, deermi el áre ecerrd por ls gráfics de mbs Ess dos fucioes se cor e los puos A(, y B(, Se quiere hllr el áre del recio limido superiormee por g ( e iferiormee por f (, ere y El áre l d l iegrl: 8 7 A ( d u 7 (PAU Hll el áre del riágulo formdo por el eje y ls recs gee y orml l curv y e e el puo de bscis b Hll el áre de l regió limid por l curv de ecució y e y el eje pr los vlores L derivd de f ( e es f ( e L rec gee f ( e e el puo de bscis es y f ( f ( (, es decir: y e L rec orml es y f ( (, es decir: y e f ( e e Así pues, ess recs cor l eje de bsciss e los puos de bsciss, e, respecivmee, co lo que l bse del riágulo e cuesió es e y su lur e e e Su áre es u b L regió esá siempre por ecim del eje Su áre es el vlor de l iegrl: u A e d e e e 7 Clculr > pr que el áre ecerrd por l gráfic de f ( se, el eje y, y l rec, se se d [ cos ] cos cos cos cos Soluciorio 9
Soluciorio 7 (PAU Dd l fució eje f (, clcul el áre de l regió cod ecerrd por su gráfic y el L fució cor l eje e los puos A(, A(, y B (, El recio esá por debjo del eje ; demás l fució es siméric respeco del eje, sí pues, el áre de l regió viee dd por: A d Se clcul es iegrl: 8 d 8rcg d d d C 8 A d 8rcg u 7 (PAU Hll l rec gee l curv de ecució y e el puo de bscis b Dibuj el recio limido por dich rec gee y l curv dd y clcul el áre L derivd de ecució y es f'( L ecució de l rec gee es y f ( f'( ( (, es decir, y b Los puos de core de l curv y y l rec y se obiee resolviedo l ecució ( ( : A(, y B(, so los puos de core 7 A ( ( d u 7 Se f ( Clcul e fució de el áre limid por l prábol y l cuerd M Se N el puo de l prábol e el que l gee es prlel dich cuerd Demuesr que el áre del segmeo prbólico es del áre del riágulo MN se cul se el vlor de El puo M iee por coordeds M(,, sí pues, l pediee de M es M L rec gee e el puo N(, iee, pues, pediee, sí f pues, f'(, es decir, y, por o, El puo N es N, N L rec que coiee M iee por ecució y, sí pues, el segmeo prbólico iee u áre de: ( A d u L lur, h, del riágulo MN: (,,, h d N M d y Por or pre l logiud del segmeo M es ( El áre del riágulo es: A u A Así pues,, de dode A A, como se querí probr 8 A Soluciorio
Volúmees y rcos 7 Hll el volume del coo que se obiee l girr lrededor del eje l regió compredid ere el siguiee segmeo y el eje horizol, y comprueb que el resuldo es correco Se r de hllr el volume del sólido de revolució que se obiee l girr y lrededor del eje Se sbe que dicho volume es igul : u V d d El sólido que se form es u coo de rdio y lur Su volume es: V u 77 Clcul el volume del sólido de revolució obeido l girr l regió bjo l gráfic de y se y por ecim del eje horizol, lrededor del eje y co [, ] Se sbe que dicho volume es igul : ( se se V d d Se clcul por pres Se llm f( y g'( se se (, eoces, f'( y g( se( se( se( cos( se d d 8 se( cos( Así pues, V se d u 8 78 (PAU Hll el volume egedrdo por l regió pl defiid por el eje, l curv de ecució y e, el eje y l rec, l girr lrededor del eje e e ( u e V e d e d 79 Clcul el volume del cuerpo que se obiee l girr e oro l eje l regió bjo l gráfic de l curv y y por ecim del eje horizol, ere ls recs y Se r de hllr el volume del sólido de revolució que se obiee l girr Se sbe que dicho volume es igul : V d d Se clcul es iegrl que v dr lugr u rcogee d d rcg C rcg C y lrededor del eje El volume es: V d rcg (rcg rcg u 8 Soluciorio
Soluciorio 8 Hll el volume del sólido formdo cudo l regió bjo l gráfic de y se e el iervlo [, ] gir lrededor del eje V f ( d sed [ cos ] u 8 Clcul el volume del prboloide de revolució que se obiee l girr l regió compredid ere l prábol y y el eje horizol, lrededor del eje desde hs Se sbe que dicho volume es igul : V ( d d u 8 U móvil se desplz siguiedo l ryecori de l gráfic de l fució y ( represe el iempo Clcul el espcio recorrido e el iervlo de iempo [, ] ( ( u S d, dode 8 L bse de u sólido es l regió del plo limid por el eje y ls recs y, y, Cd secció perpediculr l eje es u cudrdo Hll su volume Cd secció perpediculr l eje es u cudrdo de ldo ( Así pues, el volume ( será A( d ( d 7 u 9 9 8 Deermi el volume geerdo l girr respeco l eje de bsciss l regió cod por ls gráfics de ls fucioes f( y g( Ambs gráfics se cor e los puos (, y A(, V ( d ( d u 8 Esboz l gráfic de l fució y 9 y hll l logiud de dich curv ere y 7 y 9 ; y 9 ; y 9 y 9 ; y 9 ; y d 9 L 7 7 y d 7 7(9 u Soluciorio
Apliccioes 8 (PAU L velocidd de u móvil que pre del orige viee dd e m/s por l siguiee gráfic: Clcul l fució espcio recorrido v (m/s b Dibuj l gráfic de l fució espcio recorrido c Prueb que el áre bjo l curv que d l velocidd coicide co el espcio ol recorrido T (s L fució espcio recorrido es u primiiv de l velocidd, pueso que l velocidd es l derivd del espcio bservdo l gráfic, l fució velocidd es coiu y esá defiid rozos por l siguiee si < A si < epresió: v ( si, por o, el espcio recorrido será: s ( B si si < C si < Fl clculr los vlores de los prámeros A, B y C: Como s(, eoces, A Además, por coiuidd, lim s( lim, lim s( lim ( B B, f( B Así pues, B, es decir, B lim s( lim ( B, lim s( lim C C, f ( Así pues, C C si < L fució espcio recorrido es: s ( si si < b L gráfic de l fució espcio es l que se muesr c El espcio ol recorrido es s( 7 El áre bjo l curv de l velocidd es l de u rpecio de lur y bses y A 7 PRBLEMAS 87 (PAU U objeo se mueve lo lrgo de u líe rec debido l cció de u fuerz F que depede coiumee de l posició del objeo e dich líe rec Se sbe que el rbjo relizdo por l b fuerz pr mover el objeo desde hs b viee ddo por W F( d Si l fuerz es F (, clcul el rbjo pr ir desde hs ( b Deermi rzodmee si l fuerz G ( reliz más o meos rbjo que F( pr el ( mismo desplzmieo El rbjo es W d ( J b Al ser mbs fuerzs posiivs e [, ], se puede ideificr los rbjos co ls áres que ecierr ls fuerzs bjo ells Como G ( < F( e [, ], y que el deomidor de G( es myor que el de F(, se ( ( cocluye que el rbjo de l fuerz G( es meor que el de F( Soluciorio
Soluciorio 88 Se f : [, ] R co > u fució coiu l que f ( d ; coes rzodmee ls siguiees cuesioes: Es ecesrimee f( pr odo de [, ]? c Es ecesrimee f( d? b Es ecesrimee f( d? d Cuáo vle ( f ( d? No ecesrimee, bs que f se u fució impr pr que f ( d Por ejemplo f( b Al ser f( u fució o egiv y coiu, de l iguldd f( d, se deduce ecesrimee que f( e [, ], pues si hubier lgú puo e el que f( >, eisirí u iervlo r [ r, r] dode f( >, por lo que f( d f( d > r c Hciedo y d d, se iee que f( d ( f d f ( d, y f es ecesrimee ul por el rzomieo erior d ( f( d f ( d d 89 Clcul ( 9 d Idicció: ( 9 9 9 ( 9 d 9 d 9 d L primer iegrl es pues f( 9 u fució impr y l segud vle, pues y 9 es l ecució de l semicircufereci posiiv de cero (, y rdio Así pues, ( 9 d es cos si < 9 Se F( si e d si > Prueb que F es coiu e R b Demuesr que eise F '( si c Esudi si F es derivble e d Esudi l coiuidd de F '( El úico puo problemáico serí e d lim F( ; lim F( lim lim e Filmee, como F(, F es coiu e e b Si <, F'( se Si >, F'(, que eise por rrse de dos fucioes derivbles y o ulrse el deomidor Soluciorio
c Se clcul ls derivds lerles e, F'( se pues si, F( cos h e d h F'( F( h F( e h h h e lim lim lim lim h h h Así pues, F es derivble e y F'( se si < d F'( si Así pues, F' es coiu de erd, e R {} Se liz l posible e e d si < e e d coiuidd de F'( e lim F e e e ( lim lim lim e Como lim F ( lim ( se y F'(, resul que F' es coiu e y, por o, e R 9 Comprueb que l fució f ( cos se es impr y periódic de período b Demuesr que cos se d cos se d cos se d f es impr pues f( cos( se ( cos se f( f( f(, pues cos( se( cos (se cos se f( Filmee, si < <, f( f( pues f( cos( se( [ se ( se] f( cos se [ se] y se, y l ser l fució y se, periódic de período, resul que se ( se pues < < b Como f es periódic de período, su iegrl sobre culquier iervlo de logiud vldrá lo mismo, por lo que ls dos primers igulddes esá probds, pues L úlim iguldd es cier porque f( cos se es impr y el iervlo de iegrció es de l form [, ] 9 Clcul f ( d siedo f ( se E el iervlo [, ], se si,, siedo egiv e el reso I se d se d se d se d se d se d se d cos cos cos Soluciorio
Soluciorio 9 Algus de ess firmcioes so verdders y ors flss Jusific cómo es cd u de ells: b l d l d l d c Si ( f d f ( d d d [ l( ] d Verdder, pues b Verdder, pues f( f( ld ld ld es u fució impr ( ( f( ( ( c Fls f' ( 8, que o iee d que ver co d Fls [ l( ] d es u úmero, represedo por [ l ] d [ ] 9, que es l l, miers que o represe igú úmero rel pues i l( i l( so úmeros reles 9 bé los úmeros A, B y C, siedo: ( 7 A d, (, B d k k C d k d A ( ( ( d ( d 7 B ( d pues f( 7 es u fució impr k C d d k d d d k d ( d ( ( 9 Se g( f ( d dode l gráfic de f es l de l figur: Tiee g lgú máimo relivo e [, ]? Si es sí, dóde esá loclizdo? b Si hy, d u míimo relivo de g e [, ] c Pr qué vlor de lcz g el máimo bsoluo e [, ]? el míimo bsoluo? d E qué subiervlo de [, ] es l gráfic de g cócv hci rrib? e Esboz l gráfic de g Al ser g'( f(, se ve que g'( si,,, 7, 9 E los puos de bscis,, 9, g'( ps de ser posiiv egiv, luego g ps de ser creciee decreciee, es decir, se r de máimos relivos b E los puos de bscis, 7, g' ( ps de ser egiv posiiv, sí que e ellos g( prese míimos relivos c Se esudi el vlor de g e y y e los puos del ierior e los que se ul l derivd g( f ; g( >, g( < g(, g( < g(, g(7 < g( pues g(7 < g(, g(9 g( y g( < g(9 Así pues, el máimo bsoluo de g se lcz e Aálogmee, se ve que el míimo se lcz e d g''( > si f'( > y eso ocurre e (, (, 8 e L gráfic se muesr l derech f Soluciorio
9 (PAU De u fució iegrble f :[, ] R se sbe que pr [, ] es f ( De los úmeros ; ; ;, y,7; cuáos puede ser el vlor de l iegrl f ( d? Como ( f(, se iee que ( d f ( d ( d 8 Es decir, f ( d 8 por lo que solo, y, podrí ser el vlor de l iegrl 97 Se preede obeer I se d se Clcul J cos d b bé J se I y deduce el vlor de I J d cos se l se l [ ] b I J cos cos d se cos (se d se cos d Así pues, I l 98 Se cos ( y I d J se ( d Jusific si so ciers o o ess firmcioes: I >, J > c I J b I J cos( d d I J Verddero, pues, e [, ], ls fucioes coius f( cos ( y g( se ( so o egivs y o idéicmee uls b I J cos ( se ( d d Flso c I J cos ( se ( d cos( d Verddero d Como I J, es imposible que I J Así que d es flso 99 (PAU Si f ( d, se verific eoces que f ( d? Si fuese ciero, pruéblo, si fuer flso, po u ejemplo que lo cofirme Es flso: bs que f se impr pr que f( d f ( d d Por ejemplo f(, por lo que Soluciorio 7
Soluciorio (PAU Se f( u fució l que, pr culquier que se > se cumple que f( d f( d Prueb que, f ( f ( pr odo > Como f f, f f f Se cosider eoces l fució G (, se cul fuere > f Como G( y G( pr culquier > y demás G( f, resul que G es l fució idéicmee ul, luego G'( Pero G( H( H( co H'( f( pues f es coiu Así pues, G'( H'( H'(, o se f( f( implic que f( f( como se querí probr Esboz l gráfic de l fució dd por f ( b Es l iegrl d posiiv o egiv? Jusific u respues c Hll l iegrl erior descompoiedo el iegrdo e frccioes simples d U migo dice que es iegrl se hce más fácil co l susiució sec α Tú qué piess? L gráfic se muesr l derech b Como e [, ], f( <, es d < A B c co A, B Así pues, d l l l l d Como [, ], crece de seido llmr cos pues cos α Deermi u poliomio P ( de segudo grdo sbiedo que P ( P( y que P ( d Se P( b c co P( c P ( b c, es decir, b y c Por or pre, ( b d 8, es decir: b, co lo que si b y b, se iee que,, b, y P( E l figur se muesr l pre posiiv de l gráfic de y Ecuer l ecució de u rec vericl pr que el áre de l zo sombred se de 9 u Se L rec vericl señld ( d 9, es decir: 9, 9, 7, ( ( 9,, pues ls ors solucioes o esá e [, ] 8 Soluciorio
PRFUNDIZACIÓN Se g : R R u fució coiu l que si, Clcul g( b Esudi l coiuidd de f e R y obé f '( g ( e y se f ( g( d Como g es coiu e, se iee que g( lim g( lim e b f es coiu e R pues es derivble y que g es coiu y, l ser f( g g f( ( g( ( g( g( g( g, se iee que: Se f u fució coiu y posiiv e el iervlo [, ] Hll rzodmee el úmero de ríces e (, de l fució F( f ( d f ( d L fució F( es coiu e [, ] (pues es derivble, siedo F( posiiv e [, ] f f f < pues f es Aálogmee, F( f f f > Así pues, F iee l meos u ríz e (, Se esudi F'( F'( f( f(( f( > Así pues, como F'( uc se hce cero e (,, se desprede que F o puede eer más de u ríz e dicho iervlo por lo que, juo l rgumeo erior, se cocluye que solo iee u ríz bé u fórmul eplíci pr l fució f sbiedo que es derivble e odo R, que si, f ( y que pr odo R se verific que [ f ] ( e f ( d De l iguldd [ f (] f(, resul f' ( e, por lo que f( Por or pre, ( ( f e f ( d, se obiee, derivdo, f( f'( e f( Así pues, si, como e d [e e ] C e f ( d, sí que f( y como se idic que l iguldd dd es válid pr odo R, se iee que f( [ e e ] C, por lo que C, sí que f( [e e ] Soluciorio 9
Soluciorio 7 L figur muesr u semicírculo de rdio, diámero horizol AB y recs gees e A y B A qué disci del diámero debe colocrse l rec horizol MN pr miimizr el áre de l regió sombred? M N Hzlo de dos forms diferees: miimizdo u fució dd co u iegrl y miimizdo u fució que deped del águlo α A α B Se om u sisem de ejes perpediculres co orige e el cero del semicírculo, cuy ecució serí: y Se y k l ecució de l rec MN y se escribe el áre sombred e fució de k k Áre dk k k( k d k k k d d k k k f(k Pr obeer el míimo vlor de f(, co k [, ], se clcul su derivd respeco de k ( k ( k f'(k k k k k k k k k k k k k k Así pues, f'(k si k, k Así pues, l rec MN se debe siur u disci de del diámero AB Se comprueb, poseriormee, que pr ese vlor de k, f lcz el míimo bsoluo Se resuelve hor el problem si uilizr el cálculo iegrl, como idic el eucido El áre sombred es: α cosα α seα cosα seα α seα seα cosα f(α co α, f'(α [ cos α cos α], si cos α cos α, es decir, cos α se α cos α, es decir, cos α cos α Así pues, cos α, cosα Se o que el vlor cos α correspode l vlor de k obeido por el procedimieo erior Se comprueb que cos α correspode efecivmee l míimo bsoluo Si cos α, α y f(,7, f f,, Así pues, el míimo vlor correspode α o k 8 Demuesr que el recio ecerrdo por l prábol f (, co > y el eje, iee áre que o depede de Cuáo vle es áre? Qué curv describe los vérices de ess prábols? d 8 vérices de ess prábols so los puos de bscis y orded 8, idepediee de Los, es decir, y Soluciorio
9 Escribe se d e érmios de se d (Idicció: hz f ( se y g ( se e iegr por pres b Uiliz el prdo erior pr demosrr que se d se d c Si es u eero posiivo impr, prueb l fórmul de Wllis: ( se d 7 d se se cos se cos d ( se cos ( se ( se d se cos ( se d ( d se d se se cos ( se d d se se cos se d b se d se se d se - cos se se c d d, es decir: se d es u eero posiivo impr: se d d, es decir, se d se se d d Reierdo, si Se f : R R defiid por f ( e Clcul I f ( d Pr cd, se I b Demuesr que si [, ], eoces e d e e e c Clcul J d y prueb que si, eoces I Deduce que I o es u úmero eero d Medie l iegrció por pres demuesr que I ( I e Se k! e I Escribe k e fució de k y prueb que k es u úmero eero pr odo f Uilizdo los prdos c y d prueb que! e k I o es u úmero eero g Demuesr que el úmero e es irrciol I e d e e d e b Si [, ], e e, sí que e e c e e e e I si, es I, I e o eeros d I e d e ( e d ( I e k (!e I (!e ( I ( [!e I ] ( k pr > y si, k!e I e (e Así pues k es eero pr f Como, segú c, I o es eero co, sigue que!e k I o es eero co g Si!e o es eero, e es irrciol pues, e cso corrio, e b, se omrí b y!e serí eero Soluciorio
Soluciorio Elige l úic respues correc e cd cso: RELACINA CNTESTA Si f( g d y g(, eoces ( g f es igul : A D 8 B E C D ( g f g' f f' G(, g'( f( g d; f g d g ( g d g ( g d g d g ( g d ( g d Por or pre, f'( g, co lo que f' g' f 8 Así pues, ( g f 8 d [ g ] Sobre l iegrl se d se puede firmr: A Vle D Es cos cos B No eise, pues y se o es iegrble E Vle C Vle C se d se d se d se d se d cos cos Se f u fució defiid e el iervlo biero (, co derivd segud f'' coiu Si f iee eremos locles e los puos y, de l iegrl I A I f( f( D I f'( f'( B I f( f( E I f''( f''( C I f'( f'( B I f''( d f ( f ( d f ( f( eremos locles e y, es f'( f'( por lo que I f( f( f ( d, se puede segurr que: f'( f'( ( ( f ( f Al eer f Soluciorio
Señl, e cd cso, ls respuess correcs: Pr culquier úmero url,,,, se llm I A I l B I pr cd N C Pr cd N, se verific I ( d D L sucesió I es creciee E Pr cd N, I B, C, E Al ser I d, es I d l( l por lo que A es fls Como I verdder I I es myor o igul que e [, ], I, y B es verdder d verific d I d pues [, ] Así pues, I ( d d I, por lo que l sucesió I es decreciee, y D es fls d d rcg, co lo que E es verdder Se f l fució defiid e [, ] cuy represeció gráfic es l de l figur, y C es A f ( d B C f ( d f ( d f( d f( d f( d f D El vlor medio de f e [, ] es E El vlor medio de f e [, ] es iferior A y E L firmció A es verdder pues f ( d > f( d B es fls, pues f ( d > f ( d y f ( d < f ( d C es fls, pues f( d > por lo que f ( d f ( d f ( d f( d f( d f( d D es fls, pues E es verdder y que f ( d f ( d < f ( d <, por lo que el vlor medio de f e [, ] es meor que Soluciorio
Soluciorio Se I cos ( d y J se ( d A I > y J > D I B I J C I J E I J cosd A, D y E A es verdder pues ls fucioes coius f( cos ( y g( se ( so o egivs e el iervlo [, ] I J cos ( d se se d se cos, por lo que B es fls I J d, co lo que C es fls I cos d d, por lo que D es verdder Filmee, I J cos ( d cos( d, sí que E es mbié verdder 7 Si I se cos d, eoces: cos se A I l cos cos se l se D I l B I lg E I se d C I l l B, D y E U primiiv de l fució f( g( l se cos cos se es l fució g( l cos l se, es decir se l g Así pues I l g cos l g l g l l cos se cos se cos se se L firmció A es fls, pues l l l l l l cos se cos se cos se se l l que es l respues correc, l D B es verdder, y que se h clculdo I l g l g l g C es fls pues l l l l se cos Filmee, E mbié es verdder, pues I d cos se se cos d se cos secos d se d Soluciorio
Elige l relció correc ere ls dos firmcioes dds: 8 Se f u fució coiu e [, b] b f( d b f ( e [, b] A b D y b se ecluye ere sí B b pero b / E Nd de lo erior C b pero / b b C Si f( e [, b], es f( d, por lo que b bvimee / b, como lo jusific culquier fució cuy gráfic se como l del ejercicio; es decir, siméric respeco del puo medio del iervlo [, b] Señl el do iecesrio pr coesr: 9 Pr clculr 8 f( d os d esos dos: f( es periódic de período c f( pr < b f( es u fució pr d f( pr < A Puede elimirse el do D Puede elimirse el do d B Puede elimirse el do b E No puede elimirse igú do C Puede elimirse el do c B Co los dos, c y d se iee perfecmee defiid l fució f e [, 8], pues se iee e [, ] por c y d, y os dice que es periódic de período Así pues, puede elimirse el do b Aliz si l iformció sumiisrd es suficiee pr coesr l cuesió: b Pr decidir el sigo de f( d siedo f u fució coiu e [, b] se sbe que: f( > y f ( e [, b] b f(b > y f' ( e [, b] A Cd iformció es suficiee por sí sol D So ecesris ls dos jus B es suficiee por sí sol, pero b, o E Hce fl más dos C b es suficiee por sí sol, pero, o A L iformció es suficiee por sí sol, pues, segú ell, f es creciee e [, b] y, l ser f( >, f es b posiiv e [, b] co lo que y se sbe el sigo de f( d L iformció b mbié es suficiee por sí sol pues, segú ell, f es decreciee e [, b] y, l ser f(b >, f b es posiiv e [, b] y y se iee, eoces, el sigo de f( d Soluciorio