Electromgnetismo II Semestre: 25- TAREA 4 Y SU SOLUCIÓN Dr. A. Reyes-Corondo Por: Pedro Edurdo Romn Tbod.- Problem: (5pts Clcul l fuerz sobre l crg +q de l figur que se muestr continución. El plno XY represent un plno conductor terrizdo. z 3d +q d -2q y Solución problem x Pr resolver este problem usremos el método de imágenes. Pr ésto, reemplzmos el plno conductor en el plno XY por dos crgs imgen: l primer de vlor +2q ubicd en z = d y l segund de vlor q loclizd en z = 2d. Nótese que usndo est configurción de crgs obtenemos ls misms condiciones de fronter del problem originl (el plno XY está potencil igul cero y el potencil muy lejos tiende cero, esto grntiz que l solución obtenid por medio del método de crgs imgen es correct (y únic. L fuerz totl sobre l crg +q está dd por: F = 2 q2 4πɛ = q2 4πɛ d 2 = q2 4πɛ d 2 q2 (2d 2 + 2 (4d 2 2 + 8 ê z 36 ( 29 ê z. 72 q2 (6d 2 ê z ( 2. Problem: (25pts ( Usndo l ley de cosenos, muestr que el potencil ddo por l siguiente expresión es cero sobre un esfer de rdio r = R: φ( r = ( q 4πɛ r r + q 2, r r 2 bsándote en l siguiente figur r θ P! r r! r r 2 b q 2 q - -
y hciendo uso de q 2 = R q nd b = R2, donde r y θ son ls coordends polres usules, con el eje z lo lrgo de l líne que une ls crgs. (b Clcul l densidd de crg superficil inducid en l esfer, como función del ángulo θ. Integr est expresión pr obtener l crg totl inducid. (c Clcul l energí de est configurción. Solución problem 2 Pr poder demostrr que el potencil es cero en l esfer de rdio R, primero necesitmos escribir el potencil φ( r en términos de ls coordends polres r y θ. Usndo l ley de cosenos y l figur de rrib obtenemos r r = 2 + r 2 2r cos θ y r r 2 = b 2 + r 2 2br cos θ. (2 Por tnto el potencil está ddo por ( φ(r, θ = q 4πɛ 2 + r 2 2r cos θ q ( R (R2 / 2 + r 2 2r(R 2 / cos θ ( = q 4πɛ 2 + r 2 2r cos θ q, R2 + (r/r 2 2r cos θ donde hemos usdo q 2 = R q y b = R2. Ahor clculemos φ(r, θ, tenemos φ(r, θ = ( q 4πɛ 2 + R 2 2R cos θ q =. (4 R2 + 2 2R cos θ b L densidd crg superficil inducid está dd por σ = ɛ φ(r, θ n (3, (5 r=r donde φ/ n es l derivd norml de φ evlud en l superficie. En nuestro cso, l dirección norml es ê r, por lo tnto l densidd de crg superficil es φ(r, θ σ(θ = ɛ r r=r = q r + cos θ 4π ( 2 + r 2 2r cos θ + 2 r/r 2 cos θ 3/2 (R 2 + (r/r 2 2r cos θ 3/2 = q R + cos θ 4π ( 2 + R 2 2R cos θ + 2 /R cos θ 3/2 ( 2 + R 2 2R cos θ 3/2 = q R + 2 /R 4π ( 2 + R 2 2R cos θ 3/2 = q R 2 2. 4πR ( 2 + R 2 2R cos θ 3/2 r=r (6-2 -
Por lo tnto l crg totl inducid es Q T inducid = σ(θ da = σ(θr 2 sin θ dϕ dθ = 2πR 2 σ(θ sin θdθ π = q R 2 (R2 2 ( 2 + R 2 2R cos θ 3/2 sin θ dθ = q R 2 (R2 2 ( 2 + R 2 2R cos θ π /2 R = q 2 (2 R 2 2 + R 2 + 2R 2 + R 2 2R = q 2 (2 R 2 + R, R (7 debido que > R tenemos + R = + R y R = R sí obtenemos Q T inducid = q 2 (2 R 2 + R R = q R ( + R 2 = q R = q 2. (8 c L fuerz sobre l crg q es F = q q 2 4πɛ ( b 2 = q2 R 4πɛ ( R 2 / 2 = q2 4πɛ Finlmente pr trer l crg q desde infinito el trbjo necesrio es W = q2 R 4πɛ ( 2 R 2 2 d = q2 R 4πɛ 2( 2 R 2 R ( 2 R 2 2. (9 = q 2 R 8πɛ 2 R 2. ( 3. Problem: (5pts En el ejercicio 3.2 del libro de Girffiths (visto en clse, se supuso que l esfer conductor estb terrizd (potencil sobre su superficie φ =. Sin embrgo, ñdiendo otr crg puntul más, se puede utilizr el mismo modelo pr clculr el potencil fuer de l esfer cundo ést se mntiene hor un potencil φ diferente de cero. Qué crg hy que usr y dónde colocrl? Clcul l fuerz de trcción entre l crg y un esfer conductor neutr. Solución problem 3 Debido que l esfer es conductor es posible colocr un crg puntul en el centro de l esfer, por ejemplo de vlor q 3, sin cmbir el hecho de que l esfer sig siendo un superficie equipotencil. Sin embrgo, l presenci de l crg modific el potencil sobre l esfer, el cul hor tom el siguiente vlor: sí el vlor de l crg colocrl en el centro está dd por: φ = q 3 4πɛ R, ( q 3 = 4πɛ Rφ. (2-3 -
Pr que l esfer conductor se neutr requerimos que q 2 + q 3 =, por lo tnto l fuerz sobre l crg q está dd por: F = q q 3 4πɛ 2 + q q 2 ( b 2 = q q 2 4πɛ 2 + ( b 2 = q ( q R/ (3 2 + 4πɛ = q2 4πɛ ( R ( R 2 / 2 3 2 2 R 2 ( 2 R 2 2. 4.- Problem: (2pts Un tubo metálico de sección trnsversl rectngulr, corre lo lrgo del eje ê z (desde y tiene tres ldos terrizdos: en y =, y = y en x =. El curto ldo restnte, x = b, se mntiene potencil φ (y. ( Escribe l solución generl pr el potencil dentro del tubo. (b Clcul explícitmente el potencil pr el cso φ (y = φ constnte. Solución problem 4 L configurción del problem es independiente de z, de modo que es un problem en 2D. L solución se reduce resolver l ecución de Lplce en dos dimensiones: sujet ls siguientes condiciones de fronter 2 φ x 2 + 2 φ y 2 =, (4 φ(x, =, (5 φ(x, =, (6 φ(, y =, (7 φ(b, y = φ (y. (8 Resolveremos l ecución de Lplce usndo el método de seprción de vribles. L solución propuest es de l form φ(x, y = X(xY (y. Sustituyendo en l ecución de Lplce y dividiéndol por φ obtenemos 2 X X x 2 + Y =. (9 y2 Pr que l ecución nterior se cumpl necesitmos que cd uno de los términos del ldo derecho se igul un constnte. Si llmmos l constnte k 2, tenemos 2 X X x 2 = k2 Y Ls soluciones de ls ecuciones diferenciles ordinris son y 2 = k2. (2 X(x = Ae kx + Be kx, Y (y = C sen (ky + D cos (ky, (2 de este modo, l solución generl pr el potencil está ddo por: φ(x, y = (Ae kx + Be kx C sen (ky + D cos (ky. (22-4 -
Sin embrgo, ún necesitmos imponer ls condiciones de fronter. L condición (5 requiere que D =, l condición (7 implic B = A y l condición (6 impone l condición k = nπ, donde n es un número nturlo, por tnto el potencil tiene l form: φ(x, y = AC(e nπx/ + e nπx/ sen (nπy/ = 2AC senh (nπx/ sen (nπy/. (23 Ahor bien, l solución más generl l ecución de Lplce es un combinción linel de l solución nterior, es decir, φ(x, y = C n senh (nπx/ sen (nπy/. (24 n= El último pso es determinr el coeficiente C n. Pr ello usmos l condición (8. Multipliquemos l ecución (24 por sen (mπy/, evlumos en x = b e integremos mbos ldos respecto y en el intervlo < x < φ (y sen (mπy/ dy = = 2 C n senh (nπb/ n= sen (nπy/ sen (mπy/ dy C n senh (nπb/δ m,n = 2 C m senh (mπb/, n= (25 finlmente C n = 2 senh (nπb/ φ (y sen (nπy/. (26 b Pr el cso φ (y = φ tenemos C n = 2φ senh (nπb/ sen (nπy/ = 4φ nπ senh (nπb/ si y sólo si n es impr. (27 5. Problem: (25pts Un cj cúbic (de ldo consiste de cinco ldos metálicos terrizdos y el sexto ldo (l tp se encuentr un potencil constnte φ (l tp está isld de ls otrs cinco crs pr evitr corto circuito. Clcul el potencil dentro de l cj (ver figur. Solución problem 5 Pr clculr el potencil necesitmos resolver l ecución de Lplce 2 φ x 2 + 2 φ y 2 + 2 φ z 2 = (28 sujet ls condiciones de fronter: φ(x,, z =, (29 φ(x,, z =, (3 φ(x,, z =, (3 (32-5 -
φ(x,, z =, (33 φ(x, y, =, (34 φ(x, y, = φ. (35 Resolveremos l ecución de Lplce usndo seprción de vribles. L función propuest es de l form φ(x, y, z = X(xY (yz(z, y sustituyendol en l ecución de Lplce y dividiendo por φ obtenemos: Se sigue que Y y 2 = k2, 2 X X x 2 + Y 2 Z Z z 2 y 2 + Z = l2 X 2 Z =. (36 z2 2 X x 2 = k2 + l 2. (37 donde ls contntes fueron elegids rbitrrimente (pero elegids de modo que fciliten el cálculo. Ls soluciones ls ecuciones diferenciles nteriores están dds por: X(x = A sen (kx + B cos (kx, Y (y = C sen (ly + D cos (ly, ( Z(z = E exp k2 + l 2 + F exp ( k 2 + l 2. (38 Utilizndo l condición (29 obtenemos B = ; pr l condición (3 tenemos que k = nπ/; l condición (3 requiere D = ; l condición (33 implic l = mπ/ y finlmente l condición (34 impone que E + G =. Sustituyendo estos resultdos en el potencil obtenemos, escribiendo l solución más generl: φ(x, y, z = n= m= C n,m sen (nπx/ sen (mπy/ sinh ( πz n2 + m 2. (39 Es posible determinr el coeficiente C n,m usndo el truco del problem nterior, de modo que: C n,m = = 4φ senh ( π n 2 + m 2 6φ π 2 nm senh ( π n 2 + m 2 sen (nπx/ sen (mπy/ dx dy si y sólo si n y m son impres. (4 6. Problem TORITO: (2pts Un líne infinit con densidd linel de crg uniforme λ se coloc un distnci d sobre un plno conductor terrizdo. L líne es prlel l eje x y el plno conductor está loclizdo en el plno XY. ( Clcul el potencil en l región superior del plno conductor. (b Clcul l densidd de crg inducid en el plno conductor. Solución problem torito (6 El problem es nálogo l problem, sólo que este cso debemos usr un líne de crg imgen con densidd linel de crg λ loclizd en z = d. El potencil de está configurción fue clculdo en l Tre 2, problem 8, y está ddo por: ( φ(r = λ y2 + (z + d ln. 2 (4 2πɛ y2 + (z d 2-6 -
b L densidd de crg superficil está dd por l ecución (5, en este cso, l dirección norml está en l dirección ê z, por lo tnto, evlundo en l superficie del plno (z = tenemos φ(z, θ σ = ɛ z z= ( = λ 2π z ln y2 + (z + d 2 y2 + (z d 2 z= = λ z + d 2π y 2 + (z + d 2 z d y 2 + (z d 2 = λ d 2π y 2 + d 2 d y 2 + d 2 = λ d π y 2 + d 2. z= (42 Cuál deberí ser l crg totl inducid? Puedes decirlo sin hcer ningún clculo? Si no puedes, será mejor que estudies de nuevo el tem. - 7 -