ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn. Inroducción. Ecuacions Linals. Ecuacions d Brnoulli. Ecuacions sparabls.5 Ecuacions Homogénas.6 Ecuacions acas.7 Facor Ingran.8 Esabilidad dinámica dl quilibrio.9 Aplicacions Objivos. S prsigu qu l sudian: Encunr solucions gnrals /o pariculars d Ecuacions Difrncials d primr ordn Drmin Esabilidad dinámica cuaniaiva /o cualiaivamn Rsulva problmas d aplicacions conómicas
ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn. INTRODUIÓN En ciras ocasions rsolvr un problma pud conducir a planar una cuación qu conin drivadas. Por jmplo, suponga qu noncs d ; la razón d cambio rlaiva d, dspjando nmos rprsna una cuación difrncial. sría. Esa úlima prsión.. Dfinición d Ecuación Difrncial Una cuación qu conin drivadas d una o más variabls dpndins con rspco a una o más variabls indpndins s dnomina Ecuación Difrncial. Ejmplo dond f Si la función dsconocida dpnd d una sola variabl, como s l caso dl jmplo anrior, s la llama Ecuación Difrncial Ordinaria. Si la función dsconocida dpnd d más d una variabl s llama Ecuación Difrncial Parcial o n Drivadas Parcials. Ejmplo z z z dond z f, Aquí nos ddicarmos sólo al sudio d las Ecuacions Difrncials Ordinarias... Ordn d una cuación difrncial El ordn d una Ecuación difrncial sá dado por la más ala drivada prsn n la cuación: Ejmplos d d. Una Ecuación Difrncial Ordinaria d primr ordn
ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn d. Una Ecuación Difrncial Ordinaria d Sgundo Ordn d d d. d d Una Ecuación Difrncial Ordinaria d uaro Ordn.. Grado d una cuación difrncial El grado d una Ecuación difrncial sá dado por l ponn nro posiivo d la más ala drivada prsn n la cuación. Ejmplos. 5 Una Ecuación Difrncial Ordinaria d sgundo ordn primr grado. Una Ecuación Difrncial Ordinaria d Primr ordn sgundo grado.. Ecuacions Linals Una Ecuación Difrncial s linal si lo s n odas sus drivadas ambién n su variabl dpndin. Ejmplos d. d d d. d d Una Ecuación Difrncial Ordinaria Linal d primr ordn Una Ecuación Difrncial Ordinaria d Linal d Sgundo Ordn omo jmplos d Ecuacions Difrncials no linals, nmos: Ejmplos. 5.. d d. cos 5.
ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Usualmn una Ecuación Difrncial Linal Ordinaria s pud rprsnar n forma polinómica d la siguin manra: n n [ a ] [ a ] [ a ] g n n..5 Solución d una Ecuación Difrncial S dic qu una función f dfinida n un inrvalo I, s solución d una cuación difrncial n l inrvalo I, si susiuida n la cuación difrncial s obin una proposición vrdadra; s dcir, s convir n una idnidad. Ejmplo Drminar si la función f 6 s solución d la cuación. SOLUIÓN: D 6 s obin Rmplazando rsula: 6 / / 6 Por ano, la función si s solución d la Ecuación Difrncial.. EUAIONES DIFERENIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN Una Ecuación Difrncial linal d primr ordn s pud prsar d la siguin forma: [ p ] g Bin, ahora drminmos su solución. p d Muliplicando a ambos mimbros d la cuación por la función, nmos:
ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn p d [ p ] p d p d p d p g p d g Obsrv qu l mimbro d la izquirda rprsna l difrncial dl p d produco d la función buscada con la función, s dcir: d p d Ingrando mimbro a mimbro: d p d p d p d p d p d g g d g d Finalmn, s obin p d llamarmos Solución Gnral. p d g d. La cual Ejmplo Enconrar la solución gnral para SOLUIÓN: Para s caso nmos: p g alculando primro, Lugo uilizando la formula p d d p d d o lo qu s lo mismo:. Solución Gnral p d g d, rsula: Ejmplo Enconrar la solución gnral para sn SOLUIÓN: Para s caso nmos: p g sn 5
ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Primramn Lugo: p d d ln. sn sn cos c cos c Ejmplo Enconrar la solución gnral para sn SOLUIÓN: Dividindo para " ", nmos: sn sn sn Enoncs: p g Por lo ano: d ln ln sn d sn d La ingral qu rsula s la ncunra mplando la écnica d ingración por Pars. u du d Hacindo dv sn d v sn d cos cos sn rsula: sn d cos cos d Por lo ano: [ cos sn ] s la solución gnral.. Torma Si las funcions p g son coninuas n un inrvalo a, b qu conin l puno, noncs is una función única f qu saisfac a la cuación 6
ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn difrncial p g, para a, b qu cumpl la condición inicial Ejmplo Enconrar la solución paricular SOLUIÓN: Dividimos para " ": si Enoncs: p g Por lo ano: p d d ln ln d SOLUIÓN GENERAL [ ] on la condición s obin: Finalmn SOLUIÓN PARTIULAR Ejmplo 5 Enconrar la solución paricular ; SOLUIÓN: Aquí nmos qu p g p d d Enoncs: Rmplazando rsolvindo rsula: d d La ingral qu rsula s la ncunra ingrando Por Pars. u du d Hacindo dv d v rsula: d 7
ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn d d Por lo ano: [ ] s la SOLUIÓN GENERAL. Emplando la condición inicial, nconramos [ ] Finalmn [ ] s la SOLUIÓN PARTIULAR. Ejmplo 6 Enconrar la solución paricular ; g para a b g g SOLUIÓN: a Si g, noncs: d d, b Si g, noncs: ; d d 8
ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Ejmplo 7 Enconrar la solución d SOLUIÓN: La cuación dada NO ES LINEAL con rspco a " " d d d d d d Pro s linal con rspco a " ", noncs: [ ] d d d Sgundo Méodo: Hacindo cambio d variabl rsula: d d d d d d La úlima s una cuación linal, por lo ano: [ ] d d d Finalmn, rgrsando la variabl: [ ] 9
ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Ejrcicio Propuso. Encunr la solución d las siguins Ecuacions Difrncials Linals:. ' 9. '. d. ' d d. d. sn, d d d. d., d d d 5. ' d. d d 6. d 5. ' 7. ', cuando 6. ' 8. '. d.. EUAIONES DE BERNOULLI Eisn Ecuacions Difrncials qu no son linals pro s pudn ransformar n Linals. Una d sas s la dnominada Ecuación d Brnoulli. Una Ecuación d Brnoulli in la forma n n. Para nconrar su solución, s sigun los siguins pasos: PASO : Dividir para n. n p n n p g n n n g n p g dond PASO : ambiar d variabl: v n Admás, drivando la nuva variabl con rspco a obin:, s
ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn dv n d dv n d d d n n n dv d n n n d d d d dv d Al ralizar las susiucions ncsarias simplificando rsula: n n n p dv n d dv d n n g p v g p v g La úlima cuación s linal con rspco a la nuva variabl v, Paso : Enconrar v. Paso : Enconrar, mplando l cambio d variabl uilizado. Ejmplo Enconrar la solución gnral d SOLUIÓN: PASO : Dividindo para Ecuación d Brnoulli Dividindo para PASO : Aquí l cambio d variabl sría: d d dv d v Rmplazando n, noncs s obin: dv d o ambién d d
ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn dv v d dv v d PASO : Enconrar v. La úlima cuación s linal con rspco a v, por ano podmos nconrarla d la manra dscria anriormn. v v 5 PASO : Enconrar omo v noncs Y al dspjar, s obin: 5 d c ln 5 ln d c 5 c 5 ± ± c c 5 c 5 6 d Ejmplo Enconrar la solución gnral d SOLUIÓN: Paso : Primro la llvamos a la forma d Brnoulli Dividindo para, s obin: Paso : El cambio d variabl sría: v. Drivando s obin: dv d d d d dv Dspjando s obin: d d
ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Rmplazando s obin: v d dv v d dv Paso : Enconrando v d v d Ingrando por pars: v v 9 9 Paso. Enconrando omo noncs v Ejmplo Enconrar la solución gnral d d d SOLUIÓN: Paso : Primro ramos d llvarla a la forma d Brnoulli d d d d No s posibl así al como sá. ambiando d variabl s in: d d Ahora l damos la forma d Brnoulli. d d d d Dividindo para, s obin: Paso : cambio d variabl v.
ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Drivando s obin: d d d dv Dspjando s obin: d dv d d Rmplazando s obin: v d dv v d dv v d dv Paso : Enconrando v v v d v d v d ln ln Paso. Enconrando omo v noncs v - ± Finalmn, rgrsando a la variabl original: ±
ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Ejrcicio Propuso. Encunr la solución d las siguins Ecuacions Brnoulli: d., d ln d d. '. d d.. EUAIONES SEPARABLES Son Ecuacions Difrncials, linals o no linals, qu s pudn prsar d la forma: M d N d Enoncs, l méodo d solución srá ingrando, ambos mimbros. Ejmplo Enconrar la solución gnral d d d SOLUIÓN: Dspjando para obnr d un lado d la cuación función d dl oro lado función d, lugo ingrando. Rsula: d d d d d d Ejmplo Enconrar la solución paricular d ; SOLUIÓN: Dspjando para obnr d un lado d la cuación función d dl oro lado función d, lugo ingrando. Rsula: 5
ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Emplando la condición Inicial d d d d d d, nconramos, s dcir: Enoncs la solución paricular sría: Eisn cuacions difrnciabl qu con un cambio d variabl s convir n sparabl. Ejmplo Enconrar la solución paricular d g SOLUIÓN: La cuación dada no s linal ampoco s sparabl dirca, pro hacindo l cambio d variabl u s podrá sparar las variabls. d d Drivando la prsión d la nuva variabl s obin: Enoncs du d u -. Rmplazando rsolvindo, rsula: g u - g u u g u du g u d du sc u d La úlima cuación s sparabl, rsolvindo nmos: d d 6
ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn du sc u d du d sc u cos udu [ cosu] du sn u u Y rgrsando d variabl, quda: sn d SOLUIÓN GENERAL Ejrcicio Propuso. Encunr la solución d las siguins Ecuacions Sparabls: d. 5. ' d d d d. 5 7. d d d d d 8. 5, d. d d 9., d d., d. g d d '' ', 5, ' 6...5 EUAIONES HOMOGÉNEAS Si una Ecuación Difrncial pud sr prsada d la forma f, s la dnomina Ecuación Difrncial Homogéna. Para nconrar su solución s raliza l cambio d variabl v, para convrirla n una cuación dond s puda sparar sus variabls. d Para obnr s hac lo siguin: d Dspjando nmos: v Drivando con rspco a " ", s obin: d dv v d d dv v d 7
ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Ejmplo Enconrar la solución gnral d SOLUIÓN: omo s una cuación homogéna hacmos l cambio d variabl v d dond dv v. d Rmplazando, rsolvindo rsula: dv v v d v dv v v d v dv v v v d v dv v v v d v dv v v d v v d dv v v En la úlima cuación sán sparadas sus variabls podmos procdr a ingrar cada mimbro: v d dv v v ln v v ln Finalmn, dbmos rmplazar v ln ln SOLUIÓN GENERAL Ejmplo d Enconrar la solución gnral d ; d SOLUIÓN: dv Hacmos l cambio d variabl v d dond v d Rmplazando, rsolvindo rsula: d d dv v v v d dv v d 8
ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn En la úlima cuación s pudn sparar las variabls. dv d v dv v d ln v ln Rgrsando d variabl: ln Emplando la condición inicial rsula Finalmn: ln SOLUIÓN PARTIULAR ln Ejmplo cos d Enconrar la solución gnral d ; π d SOLUIÓN: cos d d d cos d dv Hacmos l cambio d variabl v d dond v. d dv v v cos v d Rmplazando, rsolvindo rsula: dv cos v d Sparando variabls: cos v Emplando la condición inicial dada: dv d g v ln g ln π g ln Finalmn: g ln SOLUIÓN PARTIULAR 9
ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Ejrcicio Propuso. Encunr la solución d las siguins Ecuacions Homogénas:. ' 5. d d. d d d d. d d d d 7.,. d d 6..6 EUAIONES EXATAS f f Sa la función z f,. Su difrncial oal s df d d Si f, noncs df, dc f f d d Suponga ahora qu s in una cuación difrncial d la forma: M, d N, d qu rprsn la difrncial oal d una función dsconocida z f,. Enoncs l asuno sría nconrar la función dsconocida..6. TEOREMA DE EXATITUD Una cuación difrncial M, d N, d M N s aca si sólo si Ejmplo d cos Enconrar la solución gnral d d sn SOLUIÓN: En s caso la forma difrncial d la cuación s: cos d sn d M, Vamos si qu s aca N,
ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn N M cos cos omo las drivadas cruzadas son iguals, por ano la cuación difrncial si s aca procdmos a nconrar la función solución. Sn Sn d d N f d d M f sn,, sn cos,, Ejmplo Enconrar la solución gnral d: d d SOLUIÓN: La forma difrncial d la cuación s: d d Vamos si qu s aca 6 6 aca s Si N M Enconrando la función poncial nmos: f f f f,, Emplando la condición inicial para nconrar, rsula: - Por ano la solución paricular sría:
ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Ejrcicio Propuso.5 Encunr la solución d las siguins Ecuacions Difrncials Eacas: d., 5. d 6 d d d d ; d. 7. ' d cos 8. '. d d sn d. 9. ' d 6..7 FATOR INTEGRANTE M N En la cuación difrncial M, d N, d, si a vcs s posibl ransformarla n aca si s la muliplica por una función R, ; s dcir: R, [ M, d N, d] RMd RNd Suponga qu R R noncs RM RN M R N NR R N R N N R N R M R M R La úlima prsión s una cuación difrncial linal para R Por lo ano R N M d N R M N d N N M d N d
ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Ejmplo Enconrar la solución gnral d: SOLUIÓN: Hallmos R d d d M d d d d R d ln M N d N d N d ln por Muliplicando la cuación d d rsolvindo, rsula: d En s caso alculando f,, rsula: f, f, Por ano la solución gnral sría: d d si s aca. d d d R d Si no is R R, suponga ahora qu R R noncs:
ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn R N M M R N R M R MR N R M R R M RN RM La úlima prsión s una cuación difrncial linal para R Por lo ano d M N M d N M M R d R Ejmplo Enconrar la solución gnral d d d SOLUIÓN: N M d d no s aca Hallmos R d d N M N R No s función, por ano no is. Enconrmos, ahora R ln ln R d d d M N M Muliplicando la cuación d d por R rsula: N M d d a s aca s pud nconrar, f d f d f,, Por ano la solución Gnral sría: c
ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Ejrcicio Propuso.6 Encunr la solución d las siguins Ecuacions Difrncials:. d d d, d. d d..8 Esabilidad dinámica dl quilibrio S raa ahora d sablcr l comporamino d una racoria inrmporal. Drminar qu ocurr con cuando ha. ranscurrido mucho impo si lím Para so isn dos méodos: ANÁLISIS UANTITATIVO. Suponga qu s conoc la rgla d corrspondncia. Enoncs, is s dirá qu s DINÁMIAMENTE ESTABLE, s dcir s sabiliza o convrg a un valor finio, al cual dnoarmos como s l llamará l nivl d quilibrio inrmporal. aso conrario, s dcir si lím s dirá qu la racoria d s DINÁMIAMENTE INESTABLE o ambién divrg dl nivl d quilibrio ANÁLISIS UALITATIVO. d Suponga qu s in una cuación difrncial d la forma f d Enoncs s posibl drminar si s dinámicamn sabl o no, sin ncsidad d nconrar la rgla d corrspondncia d. Eso s logra analizando l gráfico vs, l cual lo vamos a llamar DIAGRAMA DE FASE. uando > posiiva noncs s crcin; por ano, arriba dl j dibuj unas flchas sobr la curva d fas movindos d izquirda a drcha. Y cuando < ngaiva noncs s dcrcin; por ano, dbajo dl j dibuj unas flchas sobr la curva d fas movindos d drcha a izquirda. Una vz hcho so, s concluirá si s acrca o s alja dl nivl d quilibrio qu ocurr cuando. 5
ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Ejmplo Analizar la sabilidad dinámica d SOLUIÓN: d d ANALISIS UANTITATIVO 8 7 ; Obsrv qu la cuación difrncial dada s linal obnr su solución d manra rápida. 7 d 7 7 [ ] onsidrando la condición inicial, rsula: 7 Enoncs: 7 8 7 n la cuación difrncial d d 7 Tomando lími al infinio nmos: lím lím 7 Por ano, s conclu qu Admás, al graficar 7 no s sabl dinámicamn. 7 s obsrva s comporamino. por ano s facibl No qu cuando ha ranscurrido mucho impo la racoria s alja divrg dl nivl d quilibrio 7 ANALISIS UALITATIVO. Graficando la curva d fas, nmos: 6
ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Por ano la racoria para no s sabl dinámicamn. Ejmplo Analizar la sabilidad dinámica d n la cuación difrncial d ; 5 d SOLUIÓN: Ahora mpcmos con l análisis cualiaivo para lugo ir al análisis cuaniaivo. ANÁLISIS UALITATIVO. El diagrama d fas para la cuación dada sría: Por ano s obsrva qu s sabl dinámicamn qu ind a sabilizars n 8 No qu la sabilidad no dpnd d la condición inicial POR QUÉ? ANÁLISIS UANTITATIVO. Obnindo la solución para, rsula: 7
ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn d d 8 onsidrando la condición inicial nmos: 8 Por ano: 8 7 5 8 7 Tomando lími al infinio nmos: lím lím 8 7 8 Por ano, s conclu qu Admás, al graficar s dinámicamn sabl. 8 7 s obsrva s comporamino. Ejmplo Analizar la sabilidad dinámica d n la cuación difrncial d 6 ; d SOLUIÓN: Aquí lo más facibl s ralizar un análisis cualiaivo. Por qué? El gráfico d la curva d fas sría: Por ano, no s sabl dinámicamn. 8
ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Ejrcicios Propusos.7 Dibujar la curva d fas drminar si. d d. d 5 d. d d. d 9 d 5. d 9 d ; d d ; 7. d 8 5 d 6. s sabl dinámicamn o no..9 Aplicacions d las Ecuacions difrncials d primr ordn Algunas siuacions problémicas conllva a planar cuacions difrncials para llgar a su solución. Ejmplo URVA APRENDIZAJE La razón a la qu las prsonas on hablar acrca d un nuvo aumno n los impusos prdials s proporcional al númro d prsonas n l país qu no ha oído hablar al rspco. a Plan la cuación difrncial qu dscrib l modlo b Encunr la solución gnral d la cuación difrncial planada. c Grafiqu la solución gnral obnida analic la sabilidad dinámica. SOLUIÓN: Sa Q : anidad d prsonas qu han oído hablar sobr l aumno B : Población Toal B Q : anidad d prsonas qu no han oído hablar sobr l aumno k : onsan d proporcionalidad dq a La cuación para l modlo sría: d k B Q dq b La cuación d kq kb s linal, por ano su solución sría: Q k kb d kd Q k k kb k Q B k 9
ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn c la gráfica d la curva aprndizaj sría: S obsrva qu cuando ha ranscurrido mucho impo Q convrg a B. Ejmplo URVA LOGISTIA. El rimo a qu s propaga un rumor n un país s conjunamn proporcional a la canidad d prsonas qu s han nrado dl rumor al númro d prsonas qu no s han nrado dl rumor. a Plan la cuación difrncial qu dscrib l modlo b Encunr la solución gnral d la cuación difrncial planada. c Grafiqu la solución gnral obnida analic la sabilidad dinámica. SOLUIÓN: Sa Q : anidad d prsonas nradas dl rumor B : Población Toal B Q : anidad d prsonas qu no s han nrado dl rumor k : onsan d proporcionalidad dq a La cuación para l modlo sría: d kq B Q dq b La cuación kbq kq s d la forma d Brnoulli, por ano su d solución sría: Dividindo para Q : Q Q Q Q kbq Q kbq kq Q k du Hacindo cambio d variabl u Q noncs Q Q rsula: d u kbu k Enconrando u kbu k u nmos:
ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn u kbd kb kb k d kb k kb kb kb u B kbd k d Enconrando Q nmos: u B Q B B Q B kb kb kb B Q B kb c Su gráfica sría: B B Obsrv qu Q B, por ano s convrgn kb B
ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Ejmplo DINAMIA DE MERADO. Suponga qu l prcio p d drminado arículo varía d modo qu su razón d cambio con rspco al impo s proporcional a la scasz D S dond D 8 p S p son las funcions d dmanda ofra. a Si l prcio s $ 5 cuando $ cuando, hall p. b Drmin lo qu ocurr con p a largo plazo. SOLUIÓN: dp. d a La cuación dl modlo s: k D S Rmplazando nmos: dp k D S d p k 8 p p k Ahora hallando p omo p [ p ] 6 p p kp 6k p k k kd 6k k p 5 noncs: 5 6k k k 6k k kd d k p d como p noncs: k p 6k 6k 6k ln 6k ln 6k ln k.8 Por ano:.8.5 p Y su gráfica sría:
ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn b A largo plazo sría cuando ha ranscurrido mucho impo, s dcir:.5 lím p lím p s sabiliza n l prcio d quilibrio p Ejrcicios Propusos.8. El númro d prsonas implicadas n ciro scándalo gubrnamnal aumna a un rimo conjunamn proporcional al númro d prsonas a implicadas al númro d prsonas rlacionadas con l caso qu aún no han sido implicadas. Suponga qu 7 prsonas furon implicadas cuando un priódico hizo público l scándalo por primra vz, qu 9 prsonas más rsularon implicadas n los mss siguins oras n los mss posriors. uánas prsonas aproimadamn saban involucradas n l scándalo?. El rimo a qu s propaga una pidmia n una comunidad s conjunamn proporcional al númro d rsidns qu han sido infcados al númro d rsidns propnsos a la nfrmdad qu no ha sido infcado. Eprs l númro d rsidns qu han sido infcados como una función dl impo n smanas, si la comunidad in rsidns propnsos a la nfrmdad, si 5 rsidns nían la nfrmdad inicialmn si 855 rsidns habían sido infcados hacia finals d la primra smana.. Suponga qu n l Ecuador, l rimo al qu s propaga la noicia dl aumno dl prcio d la gasolina s conjunamn proporcional al númro d prsonas qu s nran dl aumno al númro d prsonas qu no s han nrado odavía. Si acualmn l 5% d los habians sab la noicia una smana más ard l 5% s han nrado d dicha noicia: a FORMULE una cuación difrncial para drminar la canidad d prsonas qu s nran d la noicia dl aumno dl prcio d la gasolina n cualquir impo. b RESUELVA la cuación difrncial para nconrar la canidad d prsonas qu s nran d la noicia n función dl impo. c Qué porcnaj d prsonas s habrán nrado d la noicia,, 5 smanas más ard?. Suponga qu l prcio p d drminado arículo varía d modo qu su razón d cambio dp s proporcional a la scasz D - S dond: d D 7 p S p son las funcions d dmanda ofra dl arículo. a Si l prcio s d $6 cuano $ cuando. Hall p. b Dmusr qu cuando crc sin lími p s aproima al prcio d quilibrio. 5. La ofra la dmanda d ciro bin sán dadas n mils d unidads, rspcivamn, por: D p 5p', S 6 p p'. En l prcio dl bin s d 5 unidads. onsidrando l qulibrio dl mrcado. a Enconrar l prcio n cualquir impo posrior obnr su gráfico. b Drmin si ha sabilidad d prcio l prcio d quilibrio.
ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn 6. La ofra la dmanda d un bin sán dadas n mils d unidads, rspcivamn por: D p p', S 6 5 p p'. En l prcio dl bin s d unidads. onsidrando l qulibrio dl mrcado a Encunr l prcio n cualquir impo posrior obnr su gráfico. b Drmin si ha sabilidad d prcio l prcio d quilibrio si is. 7. Para progr sus ganancias, un producor dcid qu la asa a la cual incrmnará los prcios dbría sr numéricamn igual a vcs su invnario. Asumindo qu la ofra la dmanda sán dadas n érminos dl prcio p por: S 8 p, D 5 p qu p n, ncunr l prcio n cualquir impo. 8. La ofra la dmanda d un bin sán dadas n mils d unidads, rspcivamn por: D 8 p p', S 6p p'. En l prcio dl bin s d unidads. onsidrando l qulibrio dl mrcado a Encunr l prcio n cualquir impo posrior obnr su gráfico. b Drmin si ha sabilidad d prcio l prcio d quilibrio si is. 9. En cira zona dl país l prcio dl pollo n la acualidad s $ por kilogramo, s sima qu dnro d smanas l prcio crcrá a una razón d cnavos por smana. uáno cosará l pollo dnro d 8 smanas?. iro pozo prolífro qu produc 6 barrils d prólo crudo al ms s scará n años. En la acualidad, l prcio dl prólo crudo s $ por barril s spra qu aumn a una razón consan d 8 cnavos mnsuals por barril. Si l prólo s vnd an prono como s ra dl sulo, cuál srá l INGRESO FUTURO TOTAL obnido dl pozo?. El valor d rvna d cira maquinaria indusrial dcrc a un rimo proporcional a la difrncia nr su valor acual su valor rsidual d $ 5. La maquinaria s compró nuva por $ valía $ dspués d años. uáno valdrá la maquinaria cuando nga 8 años?. Una prsona in una foruna invrida, qu aumna a una asa proporcional al cuadrado d su capial acual. Si nía $ millón hac un año, ahora in $ millons. uáno ndrá dnro d sis mss?. Supongamos qu un fabrican calcula qu un nuvo oprario producirá A objos l primr día d rabajo qu cuando va adquirindo princia, producirá los objos más rápidamn hasa qu produzca un máimo d M objos por día. Sa Q la canidad d arículos producidos l día para >, suponga qu l rimo d producción s proporcional a M - Q. a Obnga una fórmula para Q. b Suponindo qu M, Q 5 Q 8, sim l númro d objos producidos n l vigésimo día.
ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn Misclános. Encunr la Solución d las siguins Ecuacions Difrncials. d d ; d. d. d d ; dk. K 5K d 5. d sn d d d 6. 7. d d 8. d d 9. d d ln d.. cos.. d d. d sn d 5. d d sc π ; π sn g d d d d 6. 7. 8. d d 9. d d d. ; d. d co sn cos d.. d d d d. 5. d d sn 6. ' d d 7. 8. d d ; d d 9. ;. d d. Suponga qu una prsona invir n un banco una foruna qu aumna a una asa proporcional a la canidad d dinro acualizada. Si nía $ hac un año ahora in $. a Drmin la cuación difrncial qu modl l problma. b Rsuélvala drmin cuano impo in qu pasar para qu la canidad qu nía hac un año s quinupliqu.. La dmanda la ofra d un ciro bin sán dadas n mils d unidads D 8 p p S p p. Suponindo qu la asa d cambio dl prcio s igual a vcs su cdn S-D, qu inicialmn l prcio dl bin s d $, drmin la racoria mporal d p sablzca si s dinámicamn sabl o no.. La ofra la dmanda d un bin sán dadas por las cuacions: S a p a p a D b p b p b a Encunr l prcio n cualquir impo considrando l quilibrio d mrcado. b Esablzca qu condicions dbrán cumplir los coficins para qu puda isir una sabilidad dinámica d quilibrio n su solución. c Si a ; a ; a ; b ; b ; b 8, ncunr l prcio n cualquir impo l prcio d sabilidad si is. 5
ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn 5. iro ngocio aumna su valor a una razón proporcional a la raíz cuadrada d su valor acual. Si s ngocio valía $ millón hac un año n la acualidad val $. millons. Drmin: a La cuación difrncial para l modlo. b cuándo valdrá $ millons? 6. El PIB d ciro país aumna n forma proporcional a su propia canidad. Su asa d proporcionalidad fu 6.% duran l año pasado. Si coninua aumnando a sa asa. a Modl la cuación difrncial dl problma. b Rsuélvala drmin n cuanos años l PIB s duplicará. c Grafiqu la racoria. 7. La asa d crcimino dl volumn d vnas V a mdida qu dcrc l prcio p, s dircamn proporcional al volumn d vnas invrsamn al prcio mnos una consan A. Hall la rlación nr dicho volumn d vnas l prcio, si V V o, cuando p p o. 6
Moisés Villna Muñoz ap. Ecuacions Difrncials d sgundo ordn. Ecuación Difrncials d sgundo ordn con coficins consans... Ecuacions difrncials d ordn suprior. Análisis ualiaivo Objivos. S prsigu qu l sudian: Encunr solucions gnrals /o pariculars d Ecuacions Difrncials d sgundo ordn Drmin Esabilidad dinámica cuaniaiva /o cualiaivamn.
Moisés Villna Muñoz ap. Ecuacions Difrncials d sgundo ordn. EUAIONES DIFERENIALES DE SEGUNDO ORDEN ON OEFIIENTES ONSTANTES. Una cuación difrncial d sgundo ordn s d la forma: p q g Si g s llama Ecuación homogéna caso conrario; s dcir, si g s llama Ecuación no homogéna. Una cuación difrncial d sgundo ordn con coficins consans s d la forma: a b c g dond a, b c IR a.. EUAIONES DIFERENIALES DE SEGUNDO ORDEN ON OEFIIENTES ONSTANTES HOMOGÉNEA Una cuación difrncial d Sgundo Ordn con coficins consans homogéna s d la forma: a b c La función " ", solución gnral d la cuación difrncial anrior, s d la r forma k Por qué?. Dond " k " s una consan qu da la gnralidad d la solución. Enoncs l objivo ahora srá hallar l valor d r. Bin, d la solución gnral nmos: kr kr r r Rmplazando n a b c nmos: akr k r r bkr r ck [ ar br c] Ahora bin, k porqu si no uviéramos las solución rivial como r ambién, noncs ar br c. A sa prsión s la dnomina Ecuación Auiliar s úil para hallar r. Obsrv qu la cuación auiliar s una cuación cuadráica cuas raics s las pud drminar mplando la formula gnral r
Moisés Villna Muñoz ap. Ecuacions Difrncials d sgundo ordn aso I r, r b ± Aquí s prsnan rs casos. b a Discriminan posiivo [ ac > ] ac b. Enoncs r r son raícs rals difrns. En s caso s dic qu isn dos solucions fundamnals k r k La solución Gnral saría dada por la combinación linal d las solucions fundamnals aso II iguals. aso III Discriminan cro [ ac ] r r k k En s caso la solución Gnral sría: Discriminan ngaivo [ ac < ] raícs compljas conjugadas Rmplazando n omo r b. Enoncs r son raícs rals r r k k b. Enoncs r λ µ i r λ µi son r λµ i λ λ µ i i µ µ λ r λµ i µ i µ i µ i [ ] iµ nmos: cos µ i sn cos µ i sn µ Rmplazando nmos: λ λ [ cosµ i sn µ cosµ i sn µ ] [ cosµ i isn µ ] Por lo ano la solución sría λ [ k sn µ k cos µ ] Ejmplo Encunr la solución gnral para SOLUIÓN: En s caso la cuación auiliar sría r r r
Moisés Villna Muñoz ap. Ecuacions Difrncials d sgundo ordn Hallando las raícs nmos 6 6 r r r r Por ano: k k k k 6 6 Podmos comprobar qu fcivamn sa s la función qu saisfac la cuación difrncial dada. Obngamos la primra la sgunda drivada k k k k 6 6 6 6 Lugo, rmplazando 8 6 6 6 6 k k k k k k Ejmplo Encunr la solución gnral para, SOLUIÓN: En s caso la cuación auiliar sría r r Hallando las raícs nmos 9 ± ± r r r r Por ano, la solución gnral sría: k k omo las condicions inicials sán dadas dbmos nconrar las consans k k omo noncs k k k k k k Obnindo la primra drivada: k k
Moisés Villna Muñoz ap. Ecuacions Difrncials d sgundo ordn omo noncs k k k k k k k k Rsolvindo simulánamn k k nmos: k k Por ano, la solución paricular s: Ejmplo Encunr la solución gnral para SOLUIÓN: En s caso la cuación auiliar sría r r r r Hallando las raícs nmos r r k k Por ano, la solución gnral sría: Ejmplo Encunr la solución gnral para 6 ; ; SOLUIÓN: En s caso la cuación auiliar sría 6 ± r, r 6 ± 6 r, r 6 6 ± 6 Hallando las raícs nmos: r, r 6 ± i r, r r i r i i En s caso λ µ, por ano la solución gnral sría: omo noncs [ k sn k cos ] [ k sn k cos ] [ k k ] k 5
Moisés Villna Muñoz ap. Ecuacions Difrncials d sgundo ordn [ k ] cos k sn [ ksn k cos ] omo noncs [ k ] cos k sn [ ksn k cos ] k k k k Rsolvindo simulánamn k k Por ano, la solución gnral sría [ sn cos ] Ejrcicios propusos. Encunr la solución d las siguins cuacions difrncials d sgundo ordn. ;,.. 9. ;, 5. 6. ;, 7. ;, 8. 9.. 6 9... ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DINÁMIA En l capíulo anrior s mncionó qu la sabilidad dinámica d una racoria s la drmina con lím. Podmos ir analizando por casos. r aso I, r k k Si las raícs son rals difrns, sas inn qu sr ngaivas para qu la racoria sa dinámicamn sabl. r r aso II, k k. Si las raícs son rals iguals noncs r in qu sr ngaiva r < para qu la racoria sa dinámicamn sabl aso III [ λ k cosu k sn u Si las raícs son compljas conjugadas noncs la par ral λ in qu sr ngaiva λ < para qu la racoria sa dinámicamn sabl. ] 6
Moisés Villna Muñoz ap. Ecuacions Difrncials d sgundo ordn.. EUAIONES DIFERENIALES DE SEGUNDO ORDEN ON OEFIIENTE ONSTANTE NO HOMOGÉNEAS Una cuación difrncial d sgundo ordn con coficins consan érmino g variabl s d la forma: a b c g La Solución Gnral s una combinación linal d dos ipos d solucions, una solución complmnaria una solución paricular. c p SOL OMPL La Solución complmnaria SOL PART a b c c c saisfac la cuación homogéna Por ano, para drminarla s db rsolvr d acurdo a lo mncionado anriormn. La Solución paricular P c saisfac la cuación no homogéna a p b p c p g Esa solución, si s d forma polinómica o ponncial o rigonomérica d snos cosnos, s la pud drminar mplando l llamado Méodo d los coficins indrminados. En sos casos, d acurdo a la forma d s dducibl. Obsrv l siguin cuadro. n n Si g a a a a Si Si g P g, la solución paricular s n n n n K noncs p [ An An K A A ] α s α a noncs [ A ] g a sn β a cosβ p s noncs [ Asnβ B cosβ] p p s No qu la solución paricular aparc muliplicada por, so s para l caso d qu isan solucions pariculars qu no san linalmn indpndins d las solucions complmnarias. Es dcir, a ncsidad s pud uilizar s,, 7
Moisés Villna Muñoz ap. Ecuacions Difrncials d sgundo ordn Ejmplo Sa " ' 9 Hallar la solución Gnral SOLUIÓN: La solución gnral s d la forma c P Primro hallmos c. La solución complmnaria saisfac la cuación homogéna " c ' c 9c. La cuación auiliar s r r 9. Hallando las raícs nmos r, ± r ± r, r ± r, r ± r, r ± r, r r r 6 9 5. 5i 5i r 5i r 5i 5i Por ano [ k sn 5 k cos 5 ] c Sgundo, hallmos P omo g polinomio d grado noncs la solución paricular s d la forma p A B polinomio gnralizado d grado. Lugo dbmos drminar los coficins A, B. La solución paricular db saisfacr la cuación no homogéna; s dcir, p" p ' 9 p Hallmos la primra la sgunda drivada para p A B p ' A b p" A Rmplazando agrupando 9A A 8A b 9A 8A 9b A b 9c b c Si dos polinomios son iguals, sus coficins dbn sr iguals 8
Moisés Villna Muñoz ap. Ecuacions Difrncials d sgundo ordn 9A Enoncs 8 A 9B A B 9 Rsolvindo l sisma simuláno nmos: Por, ano p Finalmn la solución gnral sría: 9 9 A, B c 9 8 79 9 9 8 9 79 [ k sn 5 k cos 5 ] 9 9 8 9 79 Ejmplo Sa " 6sn Hallar la solución Gnral SOLUIÓN: Primro hallmos c. La solución complmnaria saisfac la cuación homogéna " c c. La cuación auiliar s r. Hallando las raícs nmos: Por ano r r ± r ± r i r i [ k sn k cos ] c c k sn k cos Sgundo, hallmos omo P g 6 sn noncs la solución paricular s d la forma p Asn B cos. Lugo dbmos drminar los coficins A B. La solución paricular db saisfacr la cuación no homogéna; s dcir " P P 6 sn Hallmos la primra la sgunda drivada Rmplazando agrupando p ' Acos B sn p" 9Asn 9B cos 9
Moisés Villna Muñoz ap. Ecuacions Difrncials d sgundo ordn " 6sn p p 9Asn 9B cos Asn B cos 6sn cos Igualando coficins, nmos: 5A 6 5B Rsolvindo l sisma simuláno nmos: 6 A B 5 6 Por, ano p sn cos 5 Finalmn la solución gnral sría: 6 k sn k cos sn 5 5A sn 5B cos 6sn cos Ejmplo Hallar la solución para " ;, '. SOLUIÓN: Primro hallmos c. La solución complmnaria saisfac la cuación homogéna " c c. La cuación auiliar s r. Hallando las raícs nmos: Por ano r r ± r ± r i r i [ k sn k cos ] c c k sn k cos Sgundo, hallmos omo P g combinación linal d polinomio con ponncial noncs la solución paricular s d la forma p A B D. Lugo dbmos drminar los coficins A, B, D. La solución paricular db saisfacr la cuación no homogéna; s dcir p" p
Moisés Villna Muñoz ap. Ecuacions Difrncials d sgundo ordn Hallmos la primra la sgunda drivada Rmplazando agrupando p' A B D p" A D A D A B D A B A 5D Igualando coficins, nmos: A B A 5D Rsolvindo l sisma simuláno nmos: Por, ano p Finalmn la solución gnral sría: on on ' Finalmn A B D 8 5 8 5 k sn k cos 8 5 nmos nmos 9 k k 7 sn 7 9 cos No qu no s dinámicamn sabl. Por qué? 8 5 Ejrcicios propusos. Encunr la solución d las siguins cuacions difrncials d sgundo ordn. 8. 6 9. cos sn. 5. 8
Moisés Villna Muñoz ap. Ecuacions Difrncials d sgundo ordn 6. 5 sn 7. 5 sn 7 8. cos sn ; 9. ;. sn ;. 7 ; 5. EUAIONES DIFERENIALES DE ORDEN SUPERIOR Para rsolvr cuacions difrncials d ordn suprior, si son linals d coficins consans, podmos pnsar n procdiminos análogos. Ejmplo Hallar la solución para IV 6 " 6' 8 SOLUIÓN: Primro, nconramos la solución complmnaria IV c 6 c c" 6c' 8c. c qu saisfac la cuación homogéna La cuación auiliar sría r 6r r 6r 8. Enconramos las raícs por división sinéica Por ano Sgundo, la solución paricular r r 6r 6 8 6 6 r r ± r, r 6 ± r, r r i 8 8 r i r r [ k sn k cos ] c k k p s d la forma p A porqu g.
Moisés Villna Muñoz ap. Ecuacions Difrncials d sgundo ordn Enoncs p' p" p IV p Rmplazando calculando IV p 6 p " p 6' p 8 p 6 6 8A A Por ano k k [ k sn k cos ] Obsrv qu s dinámicamn sabl, s dcir qu convrg al nivl d quilibrio Ejrcicios propusos. Encunr la solución d las siguins cuacions difrncials. ``` 7 `` 5` 9. ``` `` `. ``` 6`` ` 8 8. ANÁLISIS UALITATIVO Para cuacions difrncials linals homogénas con coficns consans, podmos uilizar l siguin análisis si s raa d drminar la sabilidad.. Torma d Rouh Sa la cuación polinómica d grado n a n n n n r ar ar ar K an r an La par ral d odas las raícs son ngaivas si sólo sí los " n " primros drminans d la siguin sucsión: a ; a a a a Son odos posiivos Noa: am Si ; m > n a a a a a a a a 5 ; a a a a a a a a a a 5 a a a a 7 6 5 ;...
Moisés Villna Muñoz ap. Ecuacions Difrncials d sgundo ordn Ya usd ha nido la oporunidad d obsrvar qu para qu una racoria, solución d una cuación difrncial linal con coficins consans érmino consan, sa dinámicamn sabl s rquir qu las raícs d la cuación auiliar o la par ral n l caso d las raícs compljas san odas ngaivas. Enoncs para drminar lo anrior basa con mplar l Torma d Rouh. Ejmplo Drmin cualiaivamn la sabilidad dinámica para IV 6 " 6' 8 SOLUIÓN: Emplando l Torma d Rouh. La cuación auiliar s r 6r r 6r 8 a a 6 En s caso n admás a a 6 a 8 Los cuaros drminans srían: a 6 ; a a 6 6 8 6 68 ; a a a a a5 a a a a a 6 6 6 8 6 8 6 6 6 8 6 6 8 omo odos los drminans son posiivos noncs odas las raícs son ngaivas; por ano la solución s dinámicamn sabl Ejmplo Drmin cualiaivamn la sabilidad dinámica para SOLUIÓN: " 7 ' 8 Emplando l Torma d Rouh. La cuación auiliar s r r 7r 8 a a En s caso n admás a 7 a 8 Los cuaros drminans srían: a a 8 a ; 5 a a 7 ;
Moisés Villna Muñoz ap. Ecuacions Difrncials d sgundo ordn a a a5 a a a a a 8 7 8 58 omo los drminans no odos son posiivos noncs no odas las raícs son ngaivas; por ano la solución s NO dinámicamn sabl. Ejrcicios propusos. Drmin si las solucions d las cuacions difrncials son racorias mporals convrgns o no. Empl l orma d Rouh. ``` `` 7 `8. ``` `` ` 5. ``` `` 5` Misclános. Hallar la sri d Talor alrddor d la d la función f cos. Encunr la solución d las siguins cuacions difrncials indiqu si la solución complmnaria convrg o no. sn a b c " d " 6 9 ;,. Un sudio d ploación d un rcurso naural, uiliza la cuación difrncial: d β d a a d β d β a a a Probar qu β dond a, β son solucions d la cuación homogéna. b Si a 5 β 9 ncunr la solución gnral indiqu si la solución convrg a largo plazo. 5
MOISÉS VILLENA MUÑOZ Rspusas a los Ejrcicios Propusos 9 APITULO : Ecuacions Difrncials d Primr Ordn Ejrcicios Propusos.. ln. 5. 5.96 cos sn. 5. 6. 7. 7 8. 9. 5... ln.. ln 5. 6. Ejrcicios Propusos.. 6 7.. ln 9. Ejrcicios Propusos.. ln. 5. 5 7 5 7 5 6 7 5 6 7
MOISÉS VILLENA MUÑOZ Rspusas a los Ejrcicios Propusos. 5. 6. ln ln 7. 5 8. 6 9.. sn. Ejrcicios Propusos.. ln. ln ln. ln ln. ln ln 5. ln 6. ln ln 7. ln ln Ejrcicios Propusos.5.... 5. 6. 7 7. 8. cos 9. Ejrcicios Propusos.6... Ejrcicios Propusos.7. No s sabl. Div rg d. Si s sabl. onvrg a 5. Si s sabl. onvrg a. No s sabl. Div rg d 9 5. Divrg d convrg a 5 6. onvrg a div rg d 7. onvrg a divrg d 5 Ejrcicios Propusos.8
MOISÉS VILLENA MUÑOZ Rspusas a los Ejrcicios Propusos B. I. I kb B.86 N.7. S. a p b p. 9 5. a p 5 b Div rg 6. a p 5 5 b p 5 5 7. a p 6 8. a p 8 b p 8 p b p8 55 9. a. a I.8 6 b I 58. 68.8. a Q 5 5 b $ 857.. a Q b Dnro d sis mss ndrá $ millons. a Q 5 ; b 8 objos aproimadamn. ln.. ln K. 5 7 5. cos sin 6. 7. 8. 9. ln. sin. ln.. cos. an 5. 6. 7. ln ln ln 8. sin sin 9. Misclános
MOISÉS VILLENA MUÑOZ Rspusas a los Ejrcicios Propusos. o. cos. ln.. 5. PARTE II. PROBLEMAS dq. a kq ;.8 Q b 9 años aproimadamn d.. a p 6 c 9 a b b a a b p a b b a b a b ó a b a b p 6 ; p $ 6. 5. a Q b 5 años dq 6. a.6q b aproimadamn d p A 7. V p V p A k APITULO : Ecuacions Difrncials d Sgundo Ordn Ejrcicios Propusos.. cos sin. k k. k sin k cos. 5. k k 6. 7. cos sin 8. k k 9. k sin k cos. k k Ejrcicios Propusos... k k k k 9 7 7. k sin k cos sin. 5. k sin k cos k k 9 9
MOISÉS VILLENA MUÑOZ Rspusas a los Ejrcicios Propusos 8 ksn kcos sin cos 65 65 6. 7 5 9 7. k k sin cos 5 5 5 7 9 8. cos sin cos sin 8 7 9. 6 6 6 7. sn 589 5 5 7 6. 5 5 5 Ejrcicios Propusos.. k k k. k k k. k ksn k cos Ejrcicios Propusos.. No s sabl dinámicamn. SI sabl. No sabl Misclános 5 5. a k k 6 9 b k k k sn cos 9 c k cos k sn 7 8 d 7 9 7 5 6. b 6 k k convrg a 5 5 APITULO : Ecuacions Ordn n Difrncias d Primr
MOISÉS VILLENA MUÑOZ Rspusas a los Ejrcicios Propusos Ejrcicios Propusos... 6. 5. 5 5. 6 5 5 6 5 5 Ejrcicios Propusos... k.. sn cos 5 5 5 Ejrcicios Propusos.. Div rg. convrg oscilanmn. Divrg oscilanmn. onvrg Ejrcicios Propusos.. p k 5. 5 p k. p k. 6 p k 5. p 5. 6 6. p k 7. p k. 7. a Divrg bonvrg Misclános. a.7. 7 c k. p k, Oscilan convrgn 5 6 7 p k, Oscilan div rgn p k.5. Div rgn. 5. 8 6. k.5.k.56. 57m U k.5 k.56.6. m 9 7. p k consan APITULO : Ecuacions n Difrncias d Sgundo Ordn
MOISÉS VILLENA MUÑOZ Rspusas a los Ejrcicios Propusos Ejrcicios Propusos.. 7. 8. cos sn. 8 5 cos sn 6 5. 5 k k 6. k k 6 7. k k 6 6 9 9. 5 k cos arcg k sn arcg. 5 kcos arcan k sn arcan 5 7 5 7. k k 8. k cos k sn. k k. kcos ksin k k k k 5 cos sin. 5. Ejrcicios Propusos. k k k. k k k. Ejrcicios Propusos.. No onv rg. onvrg. k k Misclános. k k k APITULO 5: Sismas d Ecuacions n Difrncias Difrncials Ejrcicios Propusos 5. 5
MOISÉS VILLENA MUÑOZ Rspusas a los Ejrcicios Propusos. Y. Y. Y k k k k 6 5 7 5 8 Ejrcicios Propusos 5... 6 Y. 6 6 Y. Y Y 5 9 5 9 8 8 9 8 9 Ejrcicios Propusos 5. 6 5 5. a 5. a Nodo convrgn b Nodo Div rgn c Puno d silla d Puno d Silla Puno d silla Ejrcicios Propusos 5... k k Puno d silla k k k k Puno d silla k k. k k k k Puno d Silla Misclános. 5 7 7 ksn k cos Foco convrgn 5 7 7 k sn k cos 6. 6
MOISÉS VILLENA MUÑOZ Rspusas a los Ejrcicios Propusos k k Puno d silla k k 7