DERIVADAS
DERIVADAS TASA DE VARIACIÓN MEDIA Llmmos ts de vrición medi de l fnción f entre y b con < b, y lo representmos por TVM[, b], l cociente entre l vrición de f () y l de en el intervlo [, b]. f ( b) f TVM [, b] b RECTA SECANTE Ddos dos pntos P(, f()) y Q(b, f(b)) de l gráfic de f, l rect s qe los ne es n secnte dich gráfic. L pendiente de l rect secnte l gráfic de l fnción por los pntos P(, f()) y Q(b, f(b)) es f ( b) f ms b L ts de vrición medi de l fnción f en el intervlo [, b] coincide con l pendiente de l rect secnte l gráfic de l fnción por los pntos P(, f ()) y Q(b, f (b)). I.E.S. Migel de Cervntes (Grnd) Deprtmento de Mtemátics - GBG
TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA Llmmos ts de vrición instntáne de l fnción f en l límite, si eiste, de l ts de vrición medi de l fnción f entre y cndo tiende hci. o se, TVI lim TVM [, ] TVI f f lim RECTA TANGENTE L rect tngente t l gráfic de l fnción f en el pnto P será l posición límite de l secnte PQ cndo el pnto Q tiende hci el pnto P. t lim Q P s ( PQ) Consideremos P(, f()) y Q(, f()). f f ms L pendiente de l rect tngente l gráfic de f en el pnto de bscis es el límite de l pendiente de l secnte cndo tiende hci. f ( ) f mt lim I.E.S. Migel de Cervntes (Grnd) Deprtmento de Mtemátics - GBG
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Decimos qe f es derivble en si eiste y es finito el límite f ( ) f lim y, en tl cso, dicho límite se le llm derivd de f en y se le represent por f (). Otr epresión de l derivd de f en h f + h h 0 ( + ) h 0 lim f h f CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD Si f es derivble en, entonces f es contin en. h lim f f f ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Rect tngente f en el pnto de bscis f Pnto: P(, f ()) Pendiente: y f f ( ) El vlor f () de l derivd de f en n pnto coincide con l pendiente de l rect tngente l gráfic de f en el pnto (, f ()). El recíproco no es cierto, es decir, si n fnción es contin en n pnto, no se pede firmr qe se derivble en dicho pnto. Hy fnciones qe son contins en n pnto y no son derivbles en dicho pnto. Ejemplo: f ( ) en 0. El contrrrecíproco de este teorem es de grn tilidd: Si f no es contin en, entonces f no es derivble en. I.E.S. Migel de Cervntes (Grnd) Deprtmento de Mtemátics - GBG
EXTENSIÓN DEL CONCEPTO DE DERIVADA DERIVADAS LATERALES f f Si eiste el límite, lim, decimos qe f es derivble en por l izqierd, y dicho límite lo llmmos derivd por l izqierd de f en f. y se represent por f lim f f f f Si eiste el límite, lim, decimos qe + f es derivble en por l derech, y dicho límite lo llmmos derivd por l derech de f en y se represent por f +. f ( ) f f + lim+ Si en n pnto eisten ls dos derivds lterles, l fnción es contin en, pero hy qe distingir dos csos: ) Qe ls dos derivds lterles coincidn, f f. + Entonces f es derivble en y f f f. + ) Qe ls dos derivds lterles sen distints, f f +. En este cso se dice qe l gráfic f present n pnto ngloso en. Así pes, en n pnto ngloso se peden trzr dos semitngentes: n semitngente l izqierd, de pendiente f, y n semitngente l derech, de pendiente f +. DERIVADA INFINITA Se dice qe f tiene derivd infinit en si es contin en y, f f lim ±. Geométricmente, qe l derivd en se infinit signific qe l tngente en P(, f()) es verticl. I.E.S. Migel de Cervntes (Grnd) Deprtmento de Mtemátics - GBG
FUNCIÓN DERIVADA f: D R f() Se D' el conjnto formdo por los elementos de D en los qe l fnción f es derivble. D' D y f es derivble en D' D Definimos l fnción derivd de f como l fnción qe cd pnto de D' le sign l derivd de l fnción f en dicho pnto. siendo h 0 f lim f ' : D' R f '() f ( + h) f ( ) h I.E.S. Migel de Cervntes (Grnd) Deprtmento de Mtemátics - GBG
REGLAS DE DERIVACIÓN () y v v() Derivd de n sm Derivd de n diferenci Derivd de n prodcto Derivd de n cociente ( + v) + v ( v) v Derivd de l fnción compest: Regl de l cden. (Derivd de n fnción de fnción) ( ) v v ( ( )) v v v v v v+ v v v Derivd de n prodcto Derivd de n cociente de n constnte por n de n fnción entre n fnción constnte k ( k ) k k Derivd de l fnción recíproc (Invers respecto de l composición de fnciones) ( ) ( ) ( ( ) ) I.E.S. Migel de Cervntes (Grnd) Deprtmento de Mtemátics - GBG
REGLAS DE DERIVACIÓN () y v v() Derivds de fnciones elementles Derivds de fnciones elementles de otr fnción Constnte Identidd k 0 Potenci Ríz Potenci Ríz n n ( ) n n n n n n n ( ) n n n n Eponencil Logritmo Eponencil Logritmo ( e ) e ln ( e ) e ( ln ) ( ) ln ( log ) loge ) ( log) loge Potencil-Eponencil v v v v + ln v Seno Arco seno Seno Arco seno ( sen ) cos rcsen ( sen ) cos rcsen n Coseno Arco coseno Coseno Arco coseno ( cos ) sen rccos ( cos) sen rccos Tngente Arco tngente Tngente Arco tngente ( tg ) ( tg ) cos cos ( tg ) sec ( rctg ) + ( tg ) sec rctg tg + tg tg + tg + I.E.S. Migel de Cervntes (Grnd) Deprtmento de Mtemátics - GBG