UNIDD 4. NULIDDES PGO UNIFORME nualdades pago unfore
Tabla de contendo UNIDD 4. NULIDDES pago UNIFORME... Tabla de contendo... 2 Introduccón... 3 Obetvos... 3 Obetvo general... 3 Obetvos específcos... 3 4. Defncón y clasfcacón... 4 4.2 nualdades vencdas... 4 4.2. Cálculo del valor futuro... 5 4.3 nualdades antcpadas... 6 4.4 nualdades dferdas... 33 4.5 nualdades perpetuas... 39 Resuen... 4 Bblografía... 44 2
Introduccón En esta undad se trabaarán las herraentas necesaras para resolver stuacones fnanceras en las cuales aparezcan seres de pagos anualdades- que sean unfores. Obetvos Obetvo general Resolver e nterpretar probleas que nvolucran anualdades o seres unfores. Obetvos específcos Reconocer lo que es una anualdad y clasfcarla. Resolver probleas de valor futuro, valor presente, cálculo del valor de la cuota peródca y tepo a partr de valor futuro o valor presente para una anualdad vencda. Resolver probleas de valor futuro, valor presente, cálculo del valor de la cuota peródca y tepo a partr de valor futuro o valor presente para una anualdad antcpada. Resolver probleas de valor presente, cálculo del valor de la cuota peródca y tepo a partr de valor presente para una anualdad dferda. Resolver probleas de valor presente, cálculo del valor de la cuota peródca y la tasa de nterés para una anualdad perpetua. 3
4. Defncón y clasfcacón No sepre las operacones fnanceras se realzan con pago únco. sí, por eeplo, cuando se adquere un ben o servco que se paga en cuotas, ben sea ensuales, trestrales o seestrales, etc., se está trabaando con una sere de pagos que pueden ser guales (unfores) o desguales, llaados tabén anualdades o cuotas peródcas, según corresponda. Gráfcaente los pagos peródcos unfores se pueden representar así: I% 0 2 3..n- n La sbología generalente utlzada en este tpo de operacones es: V n Valor presente Valor futuro cuota peródca tepo tasa de nterés efectva tasa de nterés nonal Perodos de captalzacón 4.2 nualdades vencdas Cuando las cuotas peródcas se depostan al fnal del perodo (año, es, trestre, etc.), se dce que la operacón es vencda. Gráfcaente este tpo de cuotas peródcas se representan así: 0 2 3 n- n % 4
4.2. Cálculo del valor futuro Cada depósto de realzado al fnal del perodo gana nterés copuesto hasta el oento fnal, captalzando los ntereses en cada uno de los perodos que le sguen. El prer depósto captalza durante (n-) perodos; el segundo (n-2) perodos y así sucesvaente hasta el últo depósto que no gana ntereses, ya que su tepo concde con la fecha de térno de la operacón. sí, el valor futuro se encuentra por la sua de cada factor, a saber: ( ) ( ) 2 n... ( ) 2 ( n ) Factorzando esta ecuacón se llega a la expresón: ( ) n Esta fórula se utlza cuando se quere hallar el valor futuro de pagos peródcos vencdos a tasa efectva. Eeplo Tatana está en el tercer año de su pregrado y quere hacer una especalzacón. Para ello, coenza un fondo depostando al fnal de cada es $20.000 a una tasa del 0,6% efectvo ensual. S el tepo que debe trascurrr es de 3,5 años, qué cantdad podrá acuular? Utlzando la línea de tepo se tene: En este caso: $20.000 0,6% EM n 3,5 años 3x236 (0,5x2)6 42 eses 5
Reeplazando los valores en la fórula: 20.000 20.000 ( 0,006) (,006),2856276 20.000 0,006 0,2856276 20.000 0,006 20.000x47,604604 $5.72.552,7 0,006 Tatana podrá retrar a los 3,5 años, $5.72.552,7 s deposta al fnal de cada es $20.000 a una tasa del 0,6% efectva ensual. 42 42 0,006 Eeplo Francsco nca un fondo aportando $800.000 trestrales vencdos en una cuenta que reconoce el,6% efectvo trestral. En el trestre 6 vaa fuera del país y dea de realzar los depóstos, sn ebargo, no retra el dnero sno hasta los dos años sguentes. Cuánto retra? En este caso, se presenta una cobnacón de anualdad vencda con pagó únco, ya que del trestre al 6 se presenta la anualdad y, de allí en adelante, el onto alcanzado se converte en un pagó únco al cual debe hallársele el valor futuro. La representacón gráfca de este caso es: Procedentalente se resuelve así:. Se calcula el valor futuro de la anualdad en la que: $800.000 trestrales vencdos 6
,6% efectvo trestral n 6 trestres Utlzando la fórula se tene: 800.000 800.000. ( 0,06) (,06).28937753 800.000 0,06 800.000x8.070957 4.456.887,66 0,06 6 6 0,06 2. Se toan los $4.456.887,66 y se llevan a valor futuro pago únco durante 8 trestres (2 años x 4 trestres x año), a la tasa del,6% efectva trestral, así: 6.44.379,49 ( ) $4.456.887,66,06 4.456.887,66x.35402023 8 S el cálculo se debe realzar con tasa nonal, la fórula se converte en: nx Dónde: valor futuro N* perodos de depósto tasa nonal perodos de captalzacón l gual que en el valor futuro equvalente a un valor presente tasa nonal, los probleas pueden ser planteados a tepo exacto, a tepo nexacto y en perodos de captalzacón. 7
Eeplo: Dego quere saber qué cantdad podrá acuular en 20 seestres, s deposta al fnal de cada seestre $3.890.000 en una cuenta que paga el 4,4% con captalzacón seestral. En este problea se desea conocer el valor futuro de una anualdad vencda con tasa nonal por cuanto: a) los depóstos se hacen al fnal de cada seestre por 20 seestres y b) la tasa de nterés es del 4,4% con captalzacón seestral, la cual la hace una tasa nonal. S se grafca el problea, el resultado sería: Y los datos que sunstra son: $3.890.000 N* 20 seestres 4,4%, CCS. 2 l utlzar la fórula respectva se tene: n ( ) 28.567.876 2 ( 0,07) 0,07 28.567.876 2,07 0,07 28.567.876 2.2529589 0,07 28.567.876 7.8884527.597.00,08 0,044 2 3.890.000 0,044 2 3.890.000 nx ( 0.022) (,022) 20 3.890.000 0,022 3.890.000X 24.7879033 96.422.70.39 0,022 20 20 8
Hallar el valor presente de una sere de pagos vencdos, sgnfca encontrar la sua de los pagos realzados al fnal de cada perodo, todos descontados al nco del plazo. Gráfcaente este tpo de operacones se ve así: El procedento ateátco utlzable para hallar el valor presente sería: 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) n... ( ) n V Esta expresón, una vez factorzada y splfcada, se converte en la fórula que realente se utlza, la cual, dependendo del tpo de tasa de nterés (efectva, nonal) nvolucrada en la operacón, se presenta así: Tasa efectva Dónde: ( ) V n Tasa nonal V nx V Valor presente tasa efectva n tepo n* perodos de captalzacón totales tasa nonal perodos de captalzacón en un año 9
Eeplo Hallar el valor presente de pagos anuales vencdos de $5.000.000 en 0 años y una tasa del 3% efectva anual. Grafcando el dagraa de tepo- valor, se tene: En este caso: V $5.000.000 3% E n 0 años Coo la tasa es efectva se dce que: ( ) V n V 27.3.27,38 ( 0,3) V 5.000.000 0,3 (,3) V 5.000.000 0,3 0,294588348 V 5.000.000 0,3 V 5.000.000X 5.426243476 Se concluye entonces, que el valor presente de pagos anuales vencdos de $5.000.000 cada uno durante 0 años, a una tasa del 3% efectva anual, es de $27.3.26.38. 0 0 0
Eeplo Víctor le proponen colocar hoy una certa sua de dnero durante 32 trestres vencdos a una tasa del 2,8%, captalzable trestralente y le entregarán cada trestre $.200.000. Para que esto sea posble, qué cantdad debe depostar? Gráfcaente el problea se presenta así: El problea entrega la sguente nforacón: $.200.000 2,8% CCT 4 nx 32 trestres El problea plantea hallar el valor presente a tasa nonal de una sere de ngresos trestrales vencdos. V V.200.000 V 34.296.48,85 nx 0,028 4 0,028 4 32 V.200.000 0,007 ( 0,007) 0.79993937 0,2000608683 V.200.000.200.000 0,007 V 0,007 V.200.000x28.5802404 La cantdad que debe depostar Víctor para que le entreguen $.200.000 al fnal de cada es, a una tasa del 2,8% con captalzacón trestral es de $34.296.48,85. 32
Cálculo de la cuota peródca Más frecuente de lo que se pensa, se debe encontrar el valor de la cuota peródca a partr del valor presente. Cuando esto sucede, debe utlzarse una de estas fórulas: tasa efectva: V ( ) n tasa nonal V nx Eeplo La copañía BC requere coprar un equpo especalzado que cuesta $56.000.000. Coo no tene ese dnero, busca la fnancacón de un banco que le ofrece el préstao en cuotas ensuales vencdas a una tasa del,56% efectva ensual durante 4 años. De cuánto le quedarían las cuotas ensuales? Gráfcaente se representa $56.000.000 I,56% 0 2 3. 48???? V $56.000.000,56% EM n 4 años x2 eses 48 eses 2
V n ( ) 56.000.000 0,056 56.000.000 0,475675490 0,056 56.000.000 33.605455.666.43,74 56.000.000 48 ( 0,056) (,056) 48 0,056 56.000.000 0,5243245099 0,056 La cantdad que deberá pagar la epresa ensualente en fora vencda para pagar el crédto de $56.000.000 en 4 años y a una tasa del,56% efectva ensual, es de $.666.43,74. Eeplo La epresa de lácteos La Vaca Gorda tene un excedente de tesorería de $32.000.000 y los nverte en un fondo que le paga el 4,8% con captalzacón trestral. Qué cantdad le entregarán trestralente coo rendento en los próxos 3 años? V$32.000.00 4,8%CCT 4 n 3 años quí se debe encontrar el valor de al fnal de cada trestre, con una tasa de nterés nonal a partr de valor presente. El dagraa representatvo es:????? 0 $ 32.000.000 4,8% CCT 3
Con la fórula a nterés nonal, el resultado es: V nx 32.000.000 3x4 0,048 4 0,048 4 32.000.000 32.000.000 2 2 ( 0,02),02 0,02 0,02 32.000.000 32.000.000 0,866630266 0,333697384 0,02 0,02 32.000.000.44487 2.879.23,87 La cantdad trestral que le entregarán coo rendento por los $32.000.000, a una tasa del 4,8% con captalzacón trestral, es de $2.879.23,87. Cálculo del tepo S lo que se quere es hallar el tepo en años o en perodos de captalzacón a partr del valor presente en la sere de pagos vencdos, se utlza una de estas fórulas: nterés efectvo V log x n log ( ) ( nx) nterés nonal V log log x 4
Dado que el nuerador requere calcular el logarto de una sustraccón y recordando la ley de los logartos para la sustraccón, en la cual log( a b) se debe efectuar prero la resta de a-b y luego hallar el logarto. En este caso a y b V x ó V x Eeplo Una epresa de bebdas energétcas requere realzar una nversón de $00.000.000 para aplar su produccón. El gerente fnancero quere saber durante cuánto tepo debe pagar cuotas anuales vencdas de $4.000.000 para cancelar el préstao que le hará el banco, s la tasa que le cobran es del 8% efectva anual. Este es el típco caso de cálculo del tepo a partr de valor presente sere de pagos vencdos, dado que: V $00.000.000 $4.000.000 8%E Toando la fórula de tepo a partr de tasa efectva con log 0, se tene: V log x n log log n ( ) 00.000.000 log x0,08 n 4.000.000 log[ ( 7.4285743x0,08) ] n log( 0,08) log(,08) [ 0,57428574] log( 0,428574286) log,08 n 0.3679767853 n n,00 0,03342375549 n,00 log,08 El tepo requerdo para cancelar la deuda de $00.000.000, a una tasa del 8% efectva anual con cuotas anuales vencdas de $4.000.000 es de años. 5
El valor postvo de n se obtene al cancelar el sgno (-) a los dos lados de la gualdad, coo sucede s es cálculo de tepo valor presente pago únco. Eeplo Patrca nverte hoy $5.000.000 en una cuenta que paga el 7,2% con captalzacón, con la esperanza de obtener al fnal de cada bestre un ngreso de $.750.000. Durante cuántos bestres le entregarán esa sua? V$5.000.000 $.750.000 7,2%CCB 6 Para hallar el tepo a tasa nonal se utlzará la fórula, pero con Ln, pues realente es ndferente utlzar la una o la otra. ( nx) V ln x ln 5.000.000 0,072 ln x.750.000 6 ln nx nx 0.072 ln 6 ln nx nx ln,02 ln,02 0,034887259 nx nx 2.92 0,092857087 [ 0,0342857429] ln( 0,965742857) [ ( 2.85742857x0,02) ] ( ) ln( 0,02) El tepo en el que Patrca podrá recbr $.750.000 bestre vencdo, a una tasa del 7,2% con captalzacón bestral s nverte $5.000.000, es de 2,92 bestres. 4.3 nualdades antcpadas Cuando las cuotas peródcas se depostan al nco del perodo (año, es, trestre etc.), se dce que la operacón es antcpada. 6
Gráfcaente este tpo de cuotas peródcas se representan así: 0 2 3 n- n % La sbología utlzada en este tpo de pagos peródcos es exactaente gual al de los vencdos. Para efectos de facltar su recordacón, se ncluyen a contnuacón: V Valor presente Valor futuro cuota peródca n tepo tasa de nterés efectva tasa de nterés nonal Períodos de captalzacón Cálculo del valor futuro Exsten varas foras para calcular el valor futuro de una sere de pagos antcpados. Una de las foras resulta de transforar el dagraa ncal en el sguente - 0 2 3... n- n. l agregar al oento n, la sere de pagos se converte en vencda durante n perodos. l plantear la sguente ecuacón de equvalenca y utlzando coo fecha focal n-, reítase al gráfco. En él se observa que el pago en el período n- puede consderarse coo el últo pago de una sere de pagos peródcos vencdos que se ncan en el período -. Es decr: 7
8 Sendo esta fórula la utlzada para calcular el valor futuro de una sere de pagos antcpados. Dependendo del tpo de tasa de nterés, el cálculo del valor futuro de una sere de pagos peródcos antcpados será: tasa efectva tasa nonal Eeplo Rodrgo quere coprar dentro de 6 años. Para ello coenza un fondo, depostando al nco de cada trestre $720.000 a una tasa del 0,9% efectvo trestral. Qué cantdad podrá acuular? Utlzando la línea de tepo se tene: En este caso: $720.000 0,9% ET n 6 años 6x424 trestres ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n ( ) n ( ) nx
Reeplazando los valores en la fórula: 720.000 720.000 ( 0,009) (,009) 0,009 24 25 0,009.250629304 720.000 0,009 0,250629304 720.000 0,009 $720.000 27.895885 [ ] 720.000x26.895885 $$20.085.034,43 Rodrgo podrá retrar a los 6 años $20.085.034,43, s deposta al nco de cada trestre $720.000 a una tasa del 0,9% efectva trestral. Eeplo Isabelna quere saber qué cantdad podrá acuular en 8,5 años, s deposta al nco de cada seestre $8.930.000 en una cuenta que paga el 8,8% con captalzacón seestral. En este problea se desea conocer el valor futuro de una anualdad antcpada con tasa nonal, por cuanto a) los depóstos se hacen al nco de cada seestre por 8,5 años y b) la tasa de nterés es del 8,8% con captalzacón seestral, la cual la hace una tasa nonal. S se grafca el problea, el resultado sería: 9
Y los datos que sunstra son: $8.930.000 n 8,5 años 8,8%, CCS 2 l utlzar la fórula respectva se tene: 8.930.000 8.930.000 ( nx ) 0,088 2 8.930.000 0,088 2 ( 0.044) (,044) $228.678.88.4 0,044 ( 8,5x2) 7 8 0,022 2.70745833 8.930.000 0,044.70745833 8.930.000 0,044 8.930.000 26.60785984 [ ] 8.930.000x25.60785984 Isabelna podrá acuular en 8,5 años $228.678.88,4, s deposta al nco de cada seestre $8.930.000 en una cuenta que paga el 8,8% CCS. Cálculo de la cuota peródca Cuando lo que se desea es calcular la cuota peródca y, dependendo del tpo de nterés con el que se trabae (efectva o nonal), se utlza una de estas fórulas: 20
tasa efectva: ( ) Dónde: valor futuro tasa efectva n tepo cuota peródca tasa nonal períodos de captalzacón en un año tasa nonal: nx n ( ) Eeplo Qué cantdad deberá depostarse al nco de cada año, durante 2 años, para acuular $28.567.876 en una cuenta que paga el 7% efectva anual? La ncógnta aquí es, es decr, la cuota peródca. La tasa de nterés es efectva y la anualdad es antcpada por cuanto los depóstos se hacen al nco del año. El problea entrega los sguentes datos: Entonces: $28.567.876 7%E n 2 años n ( ) 28.567.876 28.567.876 2 3 ( 0,07),07 0,07 0,07 28.567.876 28.567.876 2.409845 20.4064286 0,07 28.567.876 9.4064286.492.524,37 La cantdad que debe depostarse al nco de cada año para acuular, en 2 años $28.567.876, a una tasa del 7% efectva anual, es de $.492.524,37 2
Eeplo Catalna debe pagar dentro de 9 años y 8 eses $6.98.346. S la tasa de nterés que le cobran es del 8,4% con captalzacón bestral y las cuotas debe abonarlas al nco de cada bestre, qué cantdad deberá pagar trestralente? Nuevaente la varable desconocda es en una sere de pagos peródcos antcpados, por cuanto la cuota se abona al nco de cada trestre y con tasa de nterés nonal con captalzacón bestral. sí las cosas se cuenta con: $6.98.346 n 9 años 8 eses luego nx 58 bestres (9 años x 6 bestres x año 54 (8 eses /2 eses) 4 bestres) 8,4%CCB 6 bestres por año Toando la fórula correspondente, se obtene: 6.98.346 ( nx ) ( 54 ) 0,084 6 0,084 6 6.98.346 6.98.346 55 55 ( 0,04),04 0,04 0,04 6.98.346 6.98.346 2,48263377.48263377 0,04 0,04 6.98.356 6.98.356 82.088267 8.088267 209.597,69 La cantdad que Catalna debe abonar al nco de cada bestre para cancelar la deuda de $6.98.346 en 9 años y 8 eses, a una tasa del 8,4% con captalzacón bestral, es de $209.597,69. 22
Cálculo del tepo S por el contraro se tene el valor futuro y la cuota peródca antcpada, y la tasa de nterés (nonal y/o efectva), pero se desconoce el tepo, debe procederse así: S la tasa es efectva, se usará:! %&' (), -., * %&',. S la tasa es nonal:!/0 %&' () *, - 2, %&', 2 NOT. En vez de trabaar con log 0, se puede trabaar con Ln. NOT 2. l resultado fnal debe restársele el de (n) o de (nx), por cuanto este resultó del artfco ateátco utlzado para facltar el aneo de la fórula. Dónde: valor futuro cuota peródca tasa efectva n tepo nx perodos de captalzacón total tasa nonal perodos de captalzacón por año Eeplo Una persona nca un fondo con depóstos anuales antcpados de $900.000, con la esperanza de reunr $5.000.000. S la tasa que le reconocen es del 5% efectva anual, durante cuánto tepo deberá hacer los depóstos? l leer el problea es fácl dentfcar que se debe encontrar el tepo a partr de valor futuro, anualdad antcpada y tasa efectva, por cuanto: $5.000.000 $900.000 anuales antcpados 5% E 23
n? Entonces: ln x n ln ln n ln n ln n n,97 ( ) 5.000.000 ln x0,05 900.000 n ln( 0,05) [(( 6,6666667 ) x0,05) ] ln(,05) (( 7,666667x0,05) ) ln,05 ( 0,88333333333 ) log,05 n 0,6330432565 n n 2,97 0,048790647 n 2,97 ln,8833333333 ln,05 El resultado ndca que para que la persona pueda reunr 5.000.000, a partr de depóstos anuales antcpados de $900.000, a una tasa del 5% efectva anual, se requeren,97 años. Eeplo Durante cuántos eses deben realzarse pagos ensuales antcpados de $279.000 para cancelar una deuda de $4.000.000, a una tasa del 6% con captalzacón ensual? $4.000.000 6% CCM 2 $279.000 ensuales antcpados. Utlzando la fórula correspondente con Logarto base 0, el resultado es: 24
log x nx log 4.000.000 0,06 log x 279.000 2 nx 0,06 log 2 log nx log nx log nx nx 3,8 [(( 4.3369756 ) x0,005) ] log( 0,005) (( 5,3369657x0,005) ) log(,005) ( 0,0766845878 ) nx log(,005) 0,0320884964 nx nx 4,8 0,0026606757 nx 4,8 log,076684588 log,005 Para cancelar una deuda de $4.000.000 con cuotas ensuales antcpadas de $279.000, se requeren 3,8 eses. Valor presente sere de pagos antcpados Para entender cóo hallar el valor presente de una sere de pagos antcpados, es precso dagraar la stuacón ncal: 25
Y transforarla en: Es decr, elnar del nco. sí queda coo una sere de pagos peródcos vencdos a n- perodos. l suar con la ecuacón del valor presente de la sere de pagos vencdos se tene: V V ( ) n ( ) ) ( ) ( n ) n ( ) ( n ) Sgnfca encontrar la sua de los pagos realzados al fnal de cada perodo, todos descontados al nco del plazo. El procedento ateátco utlzado para hallar el valor presente sería: 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) n... ( ) n V Esta expresón, una vez factorzada y splfcada, se converte en la fórula que realente se utlza, la cual, dependendo del tpo de nterés (efectva, nonal) nvolucrada en la operacón, se presenta así: Tasa efectva Dónde: ( ) V n Tasa nonal nx V V Valor presente tasa efectva n tepo nx perodos de captalzacón totales 26
tasa nonal perodos de captalzacón en un año Eeplo Hallar el valor presente de pagos anuales vencdos de $5.000.000 en 0 años y una tasa del 3% efectva anual. Grafcando el dagraa de tepo- valor, se tene: En este caso: V $5.000.000 3% E n 0 años Coo la tasa es efectva, se dce que: ( ) V n V 27.3.27,38 ( 0,3) V 5.000.000 0,3 (,3) V 5.000.000 0,3 0 0 0,294588348 V 5.000.000 0,3 V 5.000.000X 5.426243476 Se concluye que el valor presente de pagos anuales vencdos de $5.000.000, cada uno durante 0 años, a una tasa del 3% efectva anual, es de $27.3.26.38. 27
Eeplo Víctor le proponen colocar hoy una certa sua de dnero durante 32 trestres vencdos a una tasa del 2,8%, captalzable trestralente y le entregarán cada trestre $.200.000. Para que esto sea posble, qué cantdad debe depostar? Gráfcaente el problea se presenta así: El problea entrega la sguente nforacón: $.200.000 2,8% CCT 4 nx 32 trestres El problea plantea hallar el valor presente a tasa nonal de una sere de ngresos trestrales vencdos. V V.200.000 V 34.296.48,85 nx 0,028 4 0,028 4 32 V.200.000 0,007 ( 0,007) 0.79993937 0,2000608683 V.200.000.200.000 0,007 V 0,007 V.200.000x28.5802404 32 La cantdad que debe depostar Víctor para que le entreguen $.200.000 al fnal de cada es, a una tasa del 2,8% con captalzacón trestral, es de $34.296.48,85. 28
Cálculo de la cuota peródca Más frecuente de lo que se pensa, se debe encontrar el valor de la cuota peródca a partr del valor presente. Cuando esto sucede, debe utlzarse una de estas fórulas: tasa efectva V ( ) n tasa nonal V nx Eeplo La copañía BC requere coprar un equpo especalzado que cuesta $56.000.000. Coo no tene ese dnero, busca la fnancacón de un banco que le ofrece el préstao en cuotas ensuales vencdas a una tasa del,56% efectva ensual, durante 4 años. De cuánto le quedarían las cuotas ensuales? Gráfcaente se representa así: $56.000.000,56% 0 2 3 48???? V $56.000.000,56% EM n 4 años x2 eses 48 eses 29
V n ( ) 56.000.000 0,056 56.000.000 0,475675490 0,056 56.000.000 33.605455.666.43,74 56.000.000 48 ( 0,056) (,056) 0,056 56.000.000 0,5243245099 0,056 La cantdad que deberá pagar la epresa ensualente en fora vencda para pagar el crédto de $56.000.000, en 4 años a una tasa del,56% efectva ensual, es $.666.43,74. 48 Eeplo La epresa de lácteos La Vaca Gorda tene un excedente de tesorería de $32.000.000 y los nverte en un fondo que le paga el 4,8% con captalzacón trestral. Qué cantdad le entregarán trestralente coo rendento en los próxos 3 años? V$32.000.00 4,8%CCT 4 n 3 años quí se debe encontrar el valor de al fnal de cada trestre, con una tasa de nterés nonal a partr de valor presente. El dagraa representatvo es: 0????? 2 3 2 $32.000.000 4,8%CCT 30
Con la fórula a nterés nonal el resultado es: V nx 32.000.000 3x4 0,048 4 0,048 4 32.000.000 32.000.000 2 2 ( 0,02),02 0,02 0,02 32.000.000 32.000.000 0,866630266 0,333697384 0,02 0,02 32.000.000.44487 2.879.23,87 La cantdad trestral que le entregarán coo rendento por los $32.000.000, a una tasa del 4,8% con captalzacón trestral, es $2.879.23,87. Cálculo del tepo S lo que se quere es hallar el tepo en años o en perodos de captalzacón, a partr de valor presente en la sere de pagos vencdos, se utlza una de estas fórulas: nterés efectvo V log x n log ( ) nterés nonal V log ( ) nx log x Dado que el nuerador requere calcular el logarto de una sustraccón, y recordando la ley de los logartos para la sustraccón en la cual log a b se debe ( ) 3
efectuar prero la resta de a-b y luego hallar el logarto, en este caso a y b V V x ó x Eeplo Una epresa de bebdas energétcas requere realzar una nversón de $00.000.000 para aplar su produccón. El gerente fnancero quere saber durante cuánto tepo debe pagar cuotas anuales vencdas de $4.000.000 para cancelar el préstao que le hará el banco, s la tasa que le cobran es del 8% efectva anual. Este es el típco caso de cálculo de tepo a partr de valor presente sere de pagos vencdos dado que: V $00.000.000 $4.000.000 8%E Toando la fórula de tepo a partr de tasa efectva con log 0 se tene: V log x n log log n ( ) 00.000.000 log x0,08 n 4.000.000 log[ ( 7.4285743x0,08) ] n log( 0,08) log(,08) [ 0,57428574] log( 0,428574286) log,08 n 0.3679767853 n n,00 0,03342375549 n,00 log,08 El tepo requerdo para cancelar la deuda de $00.000.000, a una tasa del 8% efectva anual con cuotas anuales vencdas de $4.000.000 es de años. El valor postvo de n se obtene al cancelar el sgno (-) a los dos lados de la gualdad coo sucede s es cálculo de tepo valor presente pago únco. 32
Eeplo Patrca nverte hoy $5.000.000 en una cuenta que paga el 7,2% con captalzacón, con la esperanza de obtener al fnal de cada bestre un ngreso de $.750.000, durante cuántos bestres le entregarán esa sua? V$5.000.000 $.750.000 7,2%CCB 6 Para hallar el tepo a tasa nonal se utlzará la fórula pero con Ln, pues realente es ndferente utlzar la una o la otra. 4.4 nualdades dferdas Una sere de pagos dferdos se caracterza porque exste un perodo de tepo en el cual no hay pago, n de ntereses n de cuota peródca. dcho perodo de tepo se le denona tepo uerto o de graca. Gráfcaente este tpo de seres se representa así: 0 2 3 4 5 6 7... n- n Tepo uerto En este tpo de anualdad, se trabaa noralente con el pago al fnal del perodo, es decr, coo una anualdad vencda. Por tanto, s se desea encontrar el valor futuro, sólo se requere aplcar la fórula adecuada del valor futuro de sere de pagos vencdos. Por el contraro, el cálculo del valor presente requere la utlzacón de una de estas fórulas, según la tasa de nterés: 33
tasa efectva: Dónde: ( ) n V ( ) k tasa nonal nx V kx V Valor presente cuota peródca tasa efectva n tepo de pago nx tepo de pago en perodos de captalzacón totales períodos de captalzacón por año k tepo uerto o de graca en años kx perodos de graca o uertos en perodos de captalzacón Eeplo Calcular el valor presente de una sere de pagos de $500.000 seestrales, s el prer pago debe recbrse dentro de 2 años y el últo dentro de 6 años, sendo la tasa de nterés del 2% efectvo seestral. Dbuando el dagraa correspondente a las condcones del problea, se tene: 2% 0 2 3 4 5... 2 V? 500.000 500.000 500.000 500.000 El tepo dferdo es de 3 seestres y el de pago de 9 seestres (2-3). $500.000 2%ES n 9 seestres k 3 seestres 34
Coo la tasa es efectva seestral, el valor presente es: ( ) V n V 3.845.728,97 ( ) ( 0,02) V 500.000 0,02 (,02) V 500.000 0,02 9 9 (,02) ( 0,02) 3 3 0,63244734 V 500.000 0,9423223345 0,02 X V 500.000X 8.62236706X 0,9423223345 k 0,8367552659 V 500.000 0,9423223345 0,02 X El valor presente equvalente a una sere de pagos de $500.000 seestrales, que se ncan dentro de 2 años y ternan dentro de 6 años, a una tasa del 2% efectva seestral, es de $3.845.728,97. En resuen, el valor presente de una sere de pagos dferdos se encuentra hallando el valor presente de una anualdad vencda durante los perodos de pago y este valor se lleva a valor presente de un pago únco durante los perodos dferdos. Eeplo Un agrcultor requere de un préstao para sebrar árboles cuyo período de produccón es de 0 años. Un banco le hace un préstao con las sguentes condcones: a) cuotas ensuales de $.235.000 pagaderas a partr del prer es del prer año en que los árboles coencen a producr; b) tasa de nterés del 8,4% con captalzacón ensual y c) 20 años de pago. De cuánto fue el préstao? El dagraa de tepo de este problea es: 35
$235.000 8,4%CCM 2 k 0 años n 20 años Dado que la tasa es nonal, la solucón es: V 0,084 2 V.235.000 0,084 2 V 62.068.742.0 nx (,007) 20X2 0,084 2 240 20 V.235.000 (,007) 0,007 V.235.000X6.0760049 X 0,432975705 kx 0X2 En este tpo de seres, es ás necesaro que en cualquera de las otras, la elaboracón del dagraa de tepo, ya que es de gran ayuda para dentfcar claraente los tepos (dferdo y de pago). Cálculo de la cuota peródca S lo que se requere calcular es la cuota peródca, se utlza una de estas fórulas: tasa efectva V n ( ) ( ) k tasa nonal V nx kx 36
Dónde: V valor presente tasa efectva n tepo de pago nx perodos de captalzacón totales de pago tasa nonal perodos de captalzacón en un año k perodos de graca en años kx perodos de captalzacón de graca Eeplo Hallar la cuota trestral que pagó una deuda de $45.000.000, a una tasa del 0,85% efectva trestral, s el prer pago se hzo a los 5 trestres y los pagos duraron 25 trestres. El dagraa de este problea es: 45.000.000 I0,85 ET 0 2 3 4 5 6 7.... 29 30 Dónde: V Valor presente 0,85%ET n25 trestres k5 trestres.. 37
V n ( ) k ( ) 45.000.000 25 ( 0,0085) 0,0085 45.000.000 25 (,0085) 5 (,0085) 0,0085 45.000.000 22.4368556x0,958562655 45.000.000 2.507272 2.092.329.66 ( 0,0085) 5 La cuota trestral que pagó una deuda de $45.000.000, a una tasa del 0,85% efectva trestral, cuyo prer pago se hzo en el trestre 5 y se pagaron durante 25 trestres, fue de $2.092.329,66 Eeplo Beatrz obtuvo del ICETEX un préstao de $20.000.000 para estudar un posgrado. La nsttucón le concedó 36 eses de graca y 9 años de pago y la tasa de nterés que le cobra es de 9,6% con captalzacón ensual. De cuánto le quedaron las cuotas? El gráfco de este problea es: Dónde: V Valor presente 9,6%CCM n9 años 38
V nx kx 20.000.000 9x2 0,096 36 2 0,096 0,096 2 2 20.000.000 08 ( 0,008) 36 ( 0,008) 0,008 20.000.000 20.000.000 08,008 36 72.3447552x0,7506223 (,008) 0,008 20.000.000 54.456688 369.373,96 kx 36 eses La cuota que Beatrz debe pagar durante 9 años, a una tasa del 9,6% con captalzacón ensual luego de 36 eses de graca, es de $369.373,96. 4.5 nualdades perpetuas Las anualdades perpetuas son aquellas que se sabe dónde coenzan, pero no dónde ternan. Gráfcaente se representan así: 0 2.. 39
En este tpo de anualdad no puede hallarse el valor futuro, precsaente porque no se sabe cuándo ternará, lo que sí puede hallarse es el valor presente que es gual a: V Dónde: valor de la anualdad tasa de nterés Un eeplo de este tpo de anualdades es la pensón de ublacón, desde el oento en que la persona coenza a gozarla. Otro eeplo son las herencas a perpetudad. Eeplo Una persona uy generosa deó una gruesa sua de dnero para que a perpetudad se le entregaran $2.000.000 ensuales a un hosptal. S la tasa de nterés pactada es del 0.89% efectva ensual, qué cantdad deó la persona? En este caso: $2.000.000, I 0,89% efectva ensual Luego el valor presente es: V 2.000.000 V 224.79.0. 0,0089 La persona deó $224.79.0. 40
Resuen Las operacones fnanceras a nterés copuesto, pueden desarrollarse de sguentes foras: las TIPO DE PGO TS OPERCIÓN PRINCIPL OPERCIÓN SECUNDRI Unfore Vencda ntcpada Dferda Efectva Nonal Efectva Nonal Efectva Nonal Valor futuro Valor presente Valor futuro Valor presente Valor futuro Valor presente Valor futuro Valor presente Valor presente Cálculo del tepo Cálculo de la cuota peródca Perpetua Efectva Valor presente FÓRMULS Concepto Tasa Efectva Tasa Nonal NULIDD VENCID Valor futuro Cuota a partr de valor futuro ( ) ( ) n n nx nx Tepo a partr de valor futuro 67 log! 8 /9 log 9 67 log!/0 8 / : 0 log : 0 4
42 Valor presente Cuota a partr de valor presente Tepo a partr de valor presente NULIDD NTICIPD Concepto Tasa Efectva Tasa Nonal Valor futuro Tepo a partr de valor futuro! log 67 8 /9 log 9!/0 log 67 8 / : 0 log : 0 Valor presente Cuota a partr de valor presente Tepo a partr de valor presente ( ) V n V nx ( ) V n V nx ( ) x V n log log ( ) x V nx log log ( ) n ( ) nx ( ) ( ) V n ( ) V nx ( ) ( ) V n ( ) V nx ( ) x V n log log ( ) x V nx log log
Concepto Efectva Nonal NULIDD DIFERID Valor presente Cuota ( ) n V V n ( ) ( ) k ( ) k nx V V nx kx kx 43
Bblografía laga, C. y laga C,C. Mateátcas Fnanceras, un enfoque práctco. Edtoral PRENTICE rboleda, B. (982). Ingenería Econóca, étodos para el análss de alternatvas de nversón. 2ª edcón. Capítulo 3, sdua. Medellín. Baca, Gullero. (2005). Ingenería Econóca. Edtoral Planeta, octava edcón, Capítulo 4. Bogotá. Blank L. y Tarqun. (99). Ingenería Econóca. McGraw-Hll. 3ª edcón. Capítulo 3. Bogotá. DeGaro, P. (998). Ingenería Econóca. 0ª edcón. Capítulo 6. Prentce Hall Hspanoaercana, S.. Méxco Díaz,, gulera, V. Mateátcas fnanceras. Edtoral Mc Graw Hll, Tercera edcón. García,. Mateátcas Fnanceras con ecuacones de dferenca fnta. Edtoral Pearson. Góez,. Mateátcas Fnanceras. Edtoral Unversdad del Qundío. Portus, L. (2003). Mateátcas fnanceras, Ed. Mac Graw Hll. 44