º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II INTEGRACIÓN.-INTEGRAL INDEFINIDA. PROPIEDADES El Cálculo Integrl o integrción consiste en hllr l función f() cundo se conoce su derivd f (). L integrción es l operción invers de l derivción. Primitiv de un función. Integrl indefinid Dd un función f(), diremos que F() es un primitiv suy si F () = f(). L primitiv de un función no es únic. Por ejemplo, si f() =, entonces F () =, F () = +,...,etc, etc son primitivs de f(). En generl, si un función f() tiene un función primitiv F(), entonces tiene infinits primitivs cuys epresiones serán F k () = F() + k, siendo k R. El conjunto de ls infinits primitivs de f(), se llm integrl indefinid de f() y se denot medinte f ( ). Se lee integrl de f de diferencil de. Por ejemplo: k, conk R. Integrles inmedits Puesto que l integrción es el proceso contrrio l de l derivción, de l tl de derivds vist en el tem nterior se deduce un tl de integrles inmedits: c c k n n k ( n ) ln n k k e e k ln 6 ) 7 7 k ) k ) 6 k k Propieddes de l integrl indefinid 4) k ln ) L integrl de l sum o diferenci de dos funciones es igul l sum o diferenci de ls integrles de f g f dichs funciones: f( ) g( ) f( ) g( ) ( ) ( ) ( ) g( ) Ejemplo: 4 4 ( ) k k k k4 k 4 4 ) L integrl del producto de un número por un función es igul l producto del número por l integrl de dich función: f( ) f( ) ) ( ) k ). ln ln() k ) Siendo que l derivd de un función es f () = 6 + 4, determine f() siendo que f(0) = f( ) f ( ) (6 4 ) 6 4 6 4 k k Como f(0).0.0.0k k. Luego, f( ) Clcule: ) 9 ) c) Actividdes d) e)( ) f) (4 7) Siendo que l derivd de un función es f () = 4 + 6 +, determine f() siendo que f(0) = - Págin -
4º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II INTEGRACIÓN.- INTEGRAL DEFINIDA. PROPIEDADES. Se un función f :, R. L integrl definid de f en el intervlo, se represent por f ( ). Si f() > 0 en el intervlo,, entonces l integrl definid de l función f en el intervlo [, ] es el áre comprendid entre l gráfic de f y el eje X en dicho intervlo: f ( ) A Si f() < 0 en el intervlo,, entonces l integrl definid es el áre comprendid entre l gráfic de f y el eje X pero con signo negtivo: f ( ) A Si f() cmi de signo en el intervlo,, entonces l integrl definid es l sum de ls áres de los recintos situdos por encim y por dejo del eje X (positiv si l gráfic está por encim del eje X y negtiv si está por dejo): f( ) A A A Pr poder clculr l integrl definid usmos un regl, llmd regl de Brrow: Si f() es un función continu en, y F es culquier primitiv de f entonces f( ) FF Se suele representr sí: f( ) F( ) Propieddes más importntes de l integrl definid f g f g f g f g k. f k. f c c Si c f f f - Págin -
º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II INTEGRACIÓN ) Pr clculr ( ) uscmos un primitiv de f() : ( ) k k. Luego, un primitiv de f() es F(). Por l regl de Brrow, ( ) F( ) F( ) [ ] [( ) ( ) ] 0( ) 4 0, si ) Si f(), entonces, si 4 f() f() f() ( 4 0) ( ) 4 0 0 0 0 4 0 0 4 4 4 ( 0. ) ( 0 0. 0) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 44 0 8 4 444 0 ) Se f un función continu en el intervlo [, ] y F un primitiv de f tl que F() = y F() =, entonces: ) ) f( ) = F( ) F() F() ( f ( ) 7) = F( ) 7 F() 7. F() 7..7..7. ( 9) Actividdes Clcule: ) ( ) ) 0 c) d) 6 e) ( 4 ) f) 0 f(), si, si f(), si 4 Se f un función continu en el intervlo [, ] y F un primitiv de f tl que F() = 7 y F() =, Clcule: ) f( ) ) ( f( ) ).- CÁLCULO DE ÁREAS USANDO LA INTEGRACIÓN Cálculo del áre comprendid entre l gráfic de un función y el eje X en un intervlo [, ] A A f f - Págin -
º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II INTEGRACIÓN c d A A A A f f f c d ) Hlle el áre entre l comprendid entre l gráfic de l función f() = 4 y el eje X ( ) ( 4 ) 4.. ( ) ( ) 00 8 08 6. Por tnto, el áre es A 6 u ) Hlle el áre entre l comprendid entre l gráfic de l función f() = 6 y el eje X 0 4 0 4 0 4 4 0 0 ( ) ( ) ( 6) 6 0. ( ) 4 4 4 4 8 6 6 6 0( 4 ) 0 A 4 4 4 4 0 0 ( 6) 6. 0. 4 4 4 4 0 0 0 8 6 6 97 0 A 4 4 4 6 6 Por tnto, el áre es A A A u 08, u 4 - Págin 4 -
º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II INTEGRACIÓN Actividdes Se se que l gráfic de l función f()= + es l que prece en el diujo. Clcule el áre de l región somred. 6 Hlle el áre entre l comprendid entre l gráfic de l función f() y el eje X en los siguientes csos: ) f() = 4 ) f() = c) f() = 6 + 8 d) f() = +. Cálculo del áre comprendid entre ls gráfics de dos funciones en un intervlo [, ] Si f() g() en el intervlo [, ], el áre es ( ) A f g Si ls gráfics se cortn en un punto de scis, entonces AA A f g( ) g f( ) c - Págin -
º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II INTEGRACIÓN Clcule el áre de l región comprendid entre ls gráfics de ls funciones f y g: ) f() = 6 + 9, g() = 9. A [g() f()] [ 9 ( 6 9)] ( 6) 6 0 0 0 0 0. 0.. 0. 87 0 9 u ) f() = y g() = A [f() g()] [ ( )] ( ) ( ) ( ) 8 8 9. ( ) 4 8 u 4, u Actividd 7 Clcule el áre de l región comprendid entre ls gráfics de ls funciones f y g: ) f() = y g() = + ) f() = y g() = 4 c) f() = + y g() = + d) f() = + 4 + y g() = - Págin 6 -