Uversdad Nacoal del Ltoral Facultad de Igeería y Cecas Hídrcas ESTADÍSTICA Igeería Iformátca TEORÍA Mg.Ig. Susaa Valesberg Profesor Ttular UNIDAD Característcas de varables aleatoras Estadístca - Igeería e Iformátca FICH UNL Pága
CARACTERÍSTICAS VARIABLE ALEATORIA UNIDIMENSIONAL Como ya se ha epresado, o es posble predecr co total segurdad el valor futuro de ua varable aleatora, pero sí es posble realzar ua descrpcó completa de su comportameto a través de sus leyes de probabldad (fucó de cuatía, fucó de desdad, fucó de dstrbucó. Este ua sere de úmeros que resume las característcas domates del comportameto de ua varable aleatora. Estos úmeros so ua forma coveete de cuatfcar la ubcacó y la forma de ua dstrbucó de probabldades. Se los puede clasfcar de la sguete maera: a - Meddas de la tedeca cetral b - Meddas de varabldad c - Meddas de asmetría d - Meddas de curtoss. - Meddas de tedeca cetral Se dstgue, detro de esta clase, las que so promedos y las que so meddas de ubcacó. Promedos a- Esperaza matemátca b- Meda geométrca c- Meda armóca Meddas de ubcacó a- Medaa b- Modo c- Cuatles Estadístca - Igeería e Iformátca FICH UNL Pága
Promedos a- Esperaza Matemátca Suele ser deomada també valor medo ó valor esperado. Es uo de los coceptos más mportates y es muy utlzado e la teoría de decsoes, e el aálss de sstemas y e muchos otros campos. Se la defe de la sguete forma: E(X f( varable dscreta E ( X f ( d varable cotua ( E ella se codesa la formacó que hay e la fucó de probabldad e u solo úmero. Geométrcamete defe el cetro de gravedad de la masa de la dstrbucó de probabldades de la varable aleatora. Propedades - La esperaza de ua costate es gual a la msma costate: E(C C E(C - C. f( d C. - f( d C - La esperaza de ua costate por ua fucó es gual a la costate por la esperaza de la fucó: E(C X C E(X E(CX - C X f(x dx C - X f(x dx C E(X - Esperaza de ua fucó de la varable X: E(a +bx a+b E(X - Esperaza de ua suma de fucoes de X: E( g( g( E( g( E( g( 5- Esperaza de u producto de varables aleatoras depedetes: Estadístca - Igeería e Iformátca FICH UNL Pága
E(X.Y E(X.E(Y b - Meda geométrca M g ( ( El logartmo de la meda geométrca es gual al valor esperado de los logartmos de los : log M log M g g - f( log log f( d para varable dscreta para varable cotua ( c- Meda armóca M M H H - f( f( d para varable dscreta para varable cotua ( Meddas de ubcacó a- Medaa Al gual que los cuatles y el modo es ua medda de ubcacó o poscó de la fucó de probabldades. Es el valor de la varable que cumple co la sguete codcó: Estadístca - Igeería e Iformátca FICH UNL Pága
Medaa - f(d 0.5 P(X Medaa 0.5 s X es varable cotua o be Medaa f(d 0.5 P(X > Medaa 0.5 Prob(X Medaa Medaa f( 0.5 s X es varable dscreta o be Prob(X > Medaa Medaa f( 0.5 (5 b Modo El modo es el valor de la varable que ocurre más frecuetemete. De esta maera, s la varable aleatora es cotua será el valor de X que mamce a la fucó de desdad: df( d f( 0 y <0 d d (6 y, s la varable es dscreta, será el valor de la varable asocado a la máma probabldad: c - Cuatles M f( (7 Se deoma cuatl de orde p (sedo p u úmero perteecete al tervalo [0,] al valor de la varable X p que cumple co la sguete codcó: Estadístca - Igeería e Iformátca FICH UNL Pága 5
P(X p p o be P(X > p - p (8 Cuartles. Este tres cuartles, y dvde a la dstrbucó de probabldades e cuatro partes; de allí su ombre. Su epresó es la sguete: P(X p, para,, El cuartl de orde correspode a la medaa. Decles. Dvde la dstrbucó de probabldades e dez partes, por lo tato hay 9 decles: P(X p 0, para,,...,9 Porcetles: Dvde la dstrbucó de probabldades e 00 partes; por lo tato, hay 99 porcetles. So de terés cuado se desea aalzar detalladamete la dstrbucó de probabldades: P(X p 00, para,,...,99. - Meddas de varabldad Idca la dspersó o aleatoredad e el comportameto de la varable aleatora. a - Rago. b - Varaza - Desvío. c - Coefcete de varabldad. a Rago Es smplemete la dfereca etre el mayor y el meor valor de la varable; es ua catdad que o aporta mucha formacó, ya que solamete se cosdera u par de úmeros. Suele varar desde - a + ó de 0 a +, o be etre dos úmeros. b - Varaza Es la medda de dspersó más usada. Prevo a defrla, se hace ecesaro defr ua herrameta muy mportate: los mometos. Estadístca - Igeería e Iformátca FICH UNL Pága 6
Mometos: se los defe como los promedos de dsttas potecas de la varable aleatora: E[ X ].f( ó E[ X + ] - f(d (9 Estas epresoes correspode a los mometos -ésmos del área de la fucó de probabldades co respecto al orge. S, se obtee la esperaza. Es posble defr també los mometos de áreas co respecto a otro puto que o sea el orge. E partcular, mometos co respecto a la meda se deoma mometos cetrados. E[(X ] + - ( f(d, s X es cotua (0 E[(X ] (.f(,s X es dscreta El mometo de orde es gual a 0: E[ ] E[X] - E[E[X]] E[X] 0 El mometo cetrado de orde defe a la varaza de X: Var[X] E[X ] Var[X] + - ( f(d, s X es cotua ( Var[X] ( f(, s X es dscreta Esta epresó puede smplfcarse y ser epresada e fucó de los mometos co respecto al orge, por desarrollar la poteca del bomo: Estadístca - Igeería e Iformátca FICH UNL Pága 7
E[X ] E[ X - XE[X] + E [X]] E[ X E[ X ] E[X] + E[ E ] - E [X] + E [X]] [X] ( E[ X ] - E [X] - Propedades - La varaza de ua costate es gual a cero: Var(C 0 E[C - E(C ] E[C - C ] E(C 0 - La varaza de ua costate por X es gual a la costate al cuadrado por la varaza de la varable X: Var(CX C Var(X E[CX - E(CX ] E[CX - CE(X ] E{[C.(X - E(X ] } E{ C.[X - E(X ] } C E[X - E(X ] C Var(X - Varaza de ua fucó de X: Var(a +bxvar(a+var(b 0+b Var(X Desvío Estádar Para alguas aplcacoes suele ser más coveete utlzar ua medda de varabldad e las msmas udades de la varable; para eso se defe el desvío estádar como la raíz cuadrada postva de la varaza: Estadístca - Igeería e Iformátca FICH UNL Pága 8
+ + Var(X - ( E las sguetes fguras se observa el efecto de varar μ y σ. Coefcete de Varabldad Es u coefcete admesoal que se obtee de dvdr el desvío por el valor esperado. Se lo utlza para comparar las dspersoes de poblacoes que correspoda a varables co dferetes udades de medda o be e aquellos casos e que s be las udades so guales los valores medos sea muy dferetes: Estadístca - Igeería e Iformátca FICH UNL Pága 9
(X Cv E(X (. - Meddas de asmetría De gual forma que la meda y la varaza mde la ubcacó y dspersó de ua dstrbucó, los mometos más altos mde otras propedades de la msma. El tercer mometo respecto a la meda es usado para determar s ua dstrbucó es smétrca o asmétrca. S la dstrbucó es smétrca, como las desvacoes está elevadas al cubo, las postvas y egatvas tede a aularse y, por lo tato, μ 0. S la dstrbucó es asmétrca a la derecha, μ < 0. S la dstrbucó es asmétrca a la zquerda, μ > 0. µ, tomado como valor aslado, o es ua buea medda de la asmetría, ya que tee las msmas udades que la varable; por eso es que se defe ua medda relatva deomada coefcete de asmetría: (5 Esto puede epresarse e fucó de los mometos respecto al orge, desarrollado μ : E(X E[ X - X E[X] + X E [X] - E [X]] E[ X ] - E[ X ]E[X] + E [X] - E [X] - + - - + - + / ( - Se cumple també las sguetes relacoes apromadas: Estadístca - Igeería e Iformátca FICH UNL Pága 0
As E(X - Modo (X As [E(X - Medaa] (X La dstrbucó será smétrca s As0; asmétrca a la derecha s As>0; y asmétrca a la zquerda s As<0.. - Meddas de curtoss Ua cuarta propedad de las varables aleatoras se basa e el mometo cetrado de cuarto orde, que permte evaluar el empameto o aplastameto de la dstrbucó de probabldades comparada co ua curva tomada como modelo (la curva ormal. Puede troducrse ua medda relatva para depedzarse de las udades: (6 Desarrollado μ e fucó de los mometos respecto al orge: E[X ] E[ X - X E[X] +6 X E [X] - X E [X] + E [X]] E[ X ] - E[ X ]E[X] +6E[ X ] E [X] - E[X] E [X] + E [X] - +6 - Estadístca - Igeería e Iformátca FICH UNL Pága
La Curtoss de la curva Normal es gual a, y se la deoma dstrbucó mesocúrtca. Para dstrbucoes que presete mayor cocetracó de probabldad cerca de la meda, mayor que e la Normal, la curtoss será mayor que y se deomará leptocúrtca. E caso que la cocetracó alrededor de la meda sea meor que e la Normal la curtoss será meor que y la dstrbucó se dce platcúrtca..5 - Mometos de varables aleatoras dstrbudas coutamete Se parte de cosderar ua fucó de las varables X e Y de la sguete forma: g(x, Y X l Y Para obteer el mometo couto de orde l,, se obtee la esperaza de la epresó ateror, desarrollada para el caso de ua varable bdmesoal cotua: E( X l,y y l y f(,y (7 Los mometos más mportates so los de orde (,0, (0,, (,0 y (0,. E el caso que g(x,y X, se obtee la esperaza de X: Estadístca - Igeería e Iformátca FICH UNL Pága
E[g(X,Y] E(X y f(, y E(X,0 y f(,y E(X,0 f ( (8 Esta epresó es smlar a la obteda para el caso de ua varable; de esta maera la esperaza de X es el valor esperado de X s cosderar a Y. Para obteer la esperaza de Y se procede de forma aáloga: E(Y y y f(, y y y f(, y E(Y 0, y f ( y (9 y α,0 y α 0, establece el cetro de masa de la dstrbucó de probabldades..5. - Mometos cetrados Como e el caso de ua varable, y como e mecáca, el mometo cetrado más usado es el de segudo orde. Tomado ahora ua fucó de ambas varables gual a: g(x,y [X l - E(X ].[Y - E(Y ] y hallado la esperaza de esta fucó, se obtee : l E[g(, y] E {[ - E(X ].[y - E(Y ] } (0 De la msma maera que para el caso udmesoal los mometos cetrados de orde,0 o 0, so guales a cero. Los mometos más usados so los de orde,0, 0, y,. Los mometos de orde,0 y 0, lleva a obteer las varazas margales. Epresadas e fucó de los mometos respecto al orge, Estadístca - Igeería e Iformátca FICH UNL Pága
(X,0 -,0 ( U resultado smlar se obtee para la varaza de Y: (Y 0,-0, ( Covaraza U mometo muy mportate se obtee de cosderar l y. Este mometo se deoma covaraza. Cov(X,Y y,y E { [X - E(X] [y - E(Y] } [ - E(X] [ y - E(Y]f(, y ( Puede ser epresada e fucó de los mometos respecto al orge por desarrollar la ecuacó ateror:, y,-,0. 0, Coefcete de correlacó Ua versó ormalzada de la covaraza es el deomado coefcete de correlacó ρ(,y, y se obtee dvdedo la covaraza por el producto de sus desvacoes:,y cov,y. y -,0,. 0, ( Este coefcete merece alguos cometaros: -de la msma maera que la meda y la varaza, el coefcete de correlacó es útl cuado la ley de probabldades o se cooce e forma completa; e este caso pares de observacoes de ambas varables puede ayudar a estmar el coefcete de correlacó y poder obteer algua coclusó acerca de su comportameto a través de su valor. Estadístca - Igeería e Iformátca FICH UNL Pága
-de la defcó de covaraza se ve que valores postvos de ella resultará de pares de valores altos de co valores altos de y o valores pequeños de y pequeños de y; metras que valores egatvos de la covaraza se dará co la asocacó de valores pequeños de ua co valores grades de la otra. E ambos casos es posble decr que este al meos algua depedeca estocástca etre ambas. -s dos varables aleatoras so depedetes, su covaraza y por lo tato su coefcete de correlacó será guales a cero. La depedeca mplca que f(,y puede descompoerse e el producto de las margales f (. f (y por lo tato la covaraza se puede obteer como: y [ - E(X].[ y - E(Y]. f (. f (y [ - E(X]. f ( y [ y - E(Y]. f ( y E [ - E(X].E [ y - E(Y].,0 0, sedo,0 0 y 0, 0 -lo verso o es certo, o sea s el coefcete de correlacó o la covaraza so cero esto o mplca que las varables sea depedetes, puede haber alta depedeca estocástca y ser ρ0. Más específcamete, el coefcete de correlacó es ua medda de depedeca leal etre dos varables aleatoras. Estadístca - Igeería e Iformátca FICH UNL Pága 5