7. Muestreo co probabldades desguales. 7. Itroduccó. 7.. Probabldades de clusó. 7.. Pesos del dseño muestral. 7.. Alguos métodos co probabldades desguales. 7. Estmacó de la meda, proporcó total poblacoales. 7. El problema de la estmacó de la varaza de estmadores: métodos de remuestreo. 7.4 Aplcacoes e ecuestas ofcales. 7. Muestreo co probabldades desguales. 7.. Probabldades de clusó. Dseño muestral: Método utlzado para la seleccó de ua muestra aleatora. El muestreo aleatoro smple s reemplazameto se caracterza por el hecho de que todas las muestras posbles de tamaño tee la msma probabldad de ser seleccoadas. Eso mplca que los dvduos de la poblacó tee la msma probabldad de ser seleccoados e ua muestra de tamaño, esta probabldad es /.
7. Muestreo co probabldades desguales. 7.. Probabldades de clusó. Probabldad de clusó de prmer orde: probabldad de que u dvduo,, esté cludo e ua muestra, se deotará por : p() s (A la probabldad de seleccoar ua determada muestra s la deotaremos por ps) () s Probabldad de clusó de segudo orde: probabldad de que dos dvduos,, esté cludos smultáeamete e ua muestra. se deotará por : p() s s& E u muestreo aleatoro smple s reemplazameto, las probabldades de clusó de prmer segudo orde so guales para todos los dvduos: 7. Muestreo co probabldades desguales. 7.. Pesos del dseño muestral (o factores de elevacó). Los pesos muestrales se defe smplemete como la versa de las probabldades de clusó de prmer orde: d 4
7. Muestreo co probabldades desguales. 7.. Alguos métodos co probabldades desguales. Métodos co probabldades proporcoales al tamaño. Los dvduos de la poblacó tee probabldades de ser seleccoados proporcoales a los valores de ua varable auxlar X, a la cual se le suele deomar tamaño : x x x x Muestreo aleatoro estratfcado Salvo que se aplque asgacó proporcoal, los dvduos de cada estrato tedrá ua probabldad de ser seleccoados dstta. Las probabldades de clusó vee dadas por: h h s el dvduo perteece al estrato h. h h h h h k h k s ambos dvduos perteece al estrato h. s el dvduo perteece al estrato h, el dvduo al estrato k 5 7. Muestreo co probabldades desguales. 7. Estmacó de la meda, proporcó total poblacoales. Estmador de tpo orvtz-thompso para la meda poblacoal: T d Para estmar la varaza de este estmador podemos utlzar:. Estmador de la varaza de tpo orvtz-thompso: T T V. Estmador de la varaza de tpo Se-Yates-Grud: V SYG T 6
7. Muestreo co probabldades desguales. 7. Estmacó de la meda, proporcó total poblacoales. Estmador de tpo áek para la meda poblacoal: d d Ua forma de estmar su varaza es medate la varaza Queoulle-Tuke (basada e el método Jackkfe): V () J () deota el estmador de tpo áek después de elmar de la muestra el -ésmo dvduo: () d () = d () s, () s, s, s, 7 7. Muestreo co probabldades desguales. 7. Estmacó de la meda, proporcó total poblacoales. Estmacó de la proporcó poblacoal. Estmadores tpo orvtz-thompso tpo áek para la proporcó poblacoal: p T d p d Las expresoes de las varazas estmadas de dchos estmadores para la meda poblacoal so guales para la estmacó de la proporcó poblacoal. 8 4
7. Muestreo co probabldades desguales. 7. Estmacó de la meda, proporcó total poblacoales. Estmacó del total poblacoal.. Estmador de tpo orvtz-thompso para el total poblacoal: T T d Estmadores de la varaza del estmador de tpo orvtz-thompso:. Estmador de la varaza de tpo orvtz-thompso: T T T T V V. Estmador de la varaza de tpo Se-Yates-Grud: V SYG T VSYG T 9 7. Muestreo co probabldades desguales. 7. Estmacó de la meda, proporcó total poblacoales. Estmador de tpo áek para el total poblacoal: d dode d Estmadores de la varaza del estmador de tpo áek (método Jackkfe): V V () () J J d d () () () s, () s, s, s, 5
7. Muestreo co probabldades desguales. 7. Estmacó de la meda, proporcó total poblacoales. Eemplo 6.. Segú la ageca de estadístca EUROSTAT, ua persoa se cosdera pobre s sus gresos por udad de cosumo so ferores al umbral o líea de pobreza fado e el país de dcha persoa. Supogamos que e ua poblacó co habtates se seleccoa ua muestra co probabldades desguales de tamaño, obteédose los sguetes resultados Igresos Igresos 4 5 5 6 45 7,,,5,, 6 7 8 9 5 96 7,,,5,, Dode supoemos los coocdos (la ageca EUROSTAT proporcoa los pesos del dseño muestral). S el umbral de pobreza e esta poblacó lo ha fado EUROSTAT e 75 euros, obtega u tervalo de cofaza para la proporcó de pobres de esta poblacó co u vel de cofaza del 95% basado e el estmador de tpo áek. 7. Muestreo co probabldades desguales. 7. Estmacó de la meda, proporcó total poblacoales. I 4 5 6 7 8 9,,,5,,,,,5,, () p VJ p,8,45 ;,8,45 (,5 ;,5) [ ;,5) () s, p p () p 5 5 5 5 95 85 95 95 85 95 95 5 5 5 5 5 5 5 5 5,5,579,94,579,,6,5,94,6,6,4,64,4,64,45,6,4,4,6,6 5 5,76 5 p, 8 5 Se estma que el,8% de esta poblacó es cosderada como pobre. Calculamos e la ateror tabla: p () () () s, s, J, V p p () p,76, 6
7. Muestreo co probabldades desguales. 7. Estmacó de la meda, proporcó total poblacoales. Eemplo 6.. Para los datos del Eemplo 6., obtega la estmacó del úmero total de pobres e la poblacó e estudo así como el límte del error de estmacó. Solucó: Para estmar el total de pobres ha que multplcar el estmador de la proporcó por el tamaño de la poblacó: p,8 8, Es decr, se estma que e la poblacó ha 8 persoas cosderadas como pobres. El límte del error de estmacó vee dado por: V V p V p V p, 84,96. 7. Muestreo co probabldades desguales. 7. Estmacó de la meda, proporcó total poblacoales. Eemplo 6.. Se está teresado de uevo e determar la audeca de la publcdad televsva e ua cadea local de u mucpo, se decde realzar ua ecuesta por muestreo para estmar el úmero de horas por semaa que se ve la televsó e las vvedas del mucpo. Éste está formado por tres barros co dferetes perfles soco-culturales que afecta a la audeca televsva. a hogares e el barro A, 84 e el barro 6 e el barro C. E esta ocasó, la empresa publctara tee tempo dero sufcetes para etrevstar hogares decde seleccoar muestras aleatoras de tamaños: del barro A, 6 del barro, 6 del barro C. Se seleccoa las muestras aleatoras smples se realza las etrevstas. Los resultados, co medcoes del tempo que se ve la televsó e horas por semaa, se muestra e la sguete tabla: ARRIO A ARRIO ARRIO C 9 4 4 4 6 7 4 8 7 7 8 7 4 7 4 8 6 7 5 Estmar el tempo medo que se ve la televsó por semaa e todos los hogares del mucpo usado: a) Las expresoes del muestreo aleatoro estratfcado. 4 b) Las expresoes para dseños muestrales co probabldades desguales. 7
7. Muestreo co probabldades desguales. 7. Estmacó de la meda, proporcó total poblacoales. a) Muestreo aleatoro estratfcado arro A C 84 6 5 8 75 5 5 4 Usado muestreo aleatoro estratfcado, el úmero medo de horas que se ve la televsó a la semaa e todo el mucpo es: st 9, horas/semaa 5 7. Muestreo co probabldades desguales. 7. Estmacó de la meda, proporcó total poblacoales. A A C C A = =,58 s el dvduo perteece al barro A = =9,999 6 84 = =,74 s el dvduo perteece al barro = =4 84 6 6 C 6 = =,476 s el dvduo perteece al barro C = = 6 6 A C Estmador de tpo orvtz-thompso: Estmador de tpo áek: T,4 9, horas/semaa 4,4 9, horas/semaa 4 6 8
7. Muestreo co probabldades desguales. 7. Estmacó de la meda, proporcó total poblacoales. arro A C 9 7 7 4 4 4 8 7 6 4 8 7 4 7 4 6 7 8 5,58,58,58,58,58,58,58,58,58,58,58,74,74,74,74,74,74,476,476,476,476,476,476 744,559 55,469 76,765 78,745 57,777 649,7 8,88 75,4677 76,765 687,85 458,9 7,998 9,99 7,995 5,99 57,9896 559,9888 5,99 56,999 48,99 77,994 54,9895 44,99 9,99 9,99 9,99 9,99 9,99 9,99 9,99 9,99 9,99 9,99 9,99 4 4 4 4 4 4,4 4 7 7. Muestreo co probabldades desguales. 7. El problema de la estmacó de la varaza de estmadores: métodos de remuestreo. = la meda, la proporcó o el total poblacoal. = el estmador de.. Método Jackkfe. () = después de elmar de la muestra la observacó -ésma. V J () (Así se ha estmado la varaza para el estmador tpo áek) 8 9
7. Muestreo co probabldades desguales. 7. El problema de la estmacó de la varaza de estmadores: métodos de remuestreo..smétodo ootstrap. Cosste e replcar d veces las observacoes x de la muestra, obteedo ua ueva poblacó llamada poblacó ootstrap (co u tamaño aproxmado de ) Se extrae muestras (llamadas muestras ootstrap). abría que extraer más de muestras para obteer ua buea aproxmacó de la varaza. Deotaremos por ( b ) al estmador obtedo e la b-ésma muestra ootstrap. El estmador de la varaza de por el método ootstrap tee la sguete expresó: V ( ) ( b) b b b 9 7. Muestreo co probabldades desguales. 7. El problema de la estmacó de la varaza de estmadores: métodos de remuestreo. Eemplo 6.4. U baco tee repartdos caeros automátcos e la provca de Graada. El resposable de este baco desea estmar la catdad meda de efectvo que se retra e todos sus caeros automátcos e u determado día, por lo que seleccoa ua muestra aleatora smple s reemplazameto de 5 caeros obtee las sguetes catdades (e mles de euros): Caero 4 5 Efectvo 5 5 Obtega tervalos de cofaza para el mporte medo que se retra e los caeros utlzado la fórmula de la varaza del muestreo aleatoro smple las varazas obtedas por los métodos Jackkfe ootstrap. Para el método ootstrap cosdere que se obtuvero muestras ootstrap, éstas fuero las sguetes: b Muestra ootstrap b Muestra ootstrap,,,, 4,,, 4, 5 6,,,,5 7,,,,5,,, 4,5 8,, 4,5,5 4,, 4,5,5 9,,, 4, 4 5,,, 4, 4,, 4,5,5
7. Muestreo co probabldades desguales. 7. El problema de la estmacó de la varaza de estmadores: métodos de remuestreo. Solucó: El estmador de la meda e u muestreo aleatoro smple es: 5 Se estma que e los caeros se retra de meda mles de euros e el día. Itervalo de cofaza usado la expresó del muestreo aleatoro smple: S 6,5 5 V( ),875 5 ( ) V( ), V( ),, 6,89 7. Muestreo co probabldades desguales. 7. El problema de la estmacó de la varaza de estmadores: métodos de remuestreo. Itervalo de cofaza usado el método Jackkfe: () 4 5,5,.5 8,75 7,5 (),565, 6,5,565 6,5 5,65 5 5 VJ () 5,65,875 5 ( ) J V ( ), V ( ),, 6,89 J
7. Muestreo co probabldades desguales. 7. El problema de la estmacó de la varaza de estmadores: métodos de remuestreo. Itervalo de cofaza usado el método ootstrap: b Muestra ( b) ( b),5 ootstrap,,, 4,5,5,,,,5,5,,, 4, 5,5 4,, 4,5,5 5,5 5,,, 4, 4,5 6,,,, 4 6,5 7,,,,5 9,5 8,, 4,5,5 5,5 9,,, 4, 4 6,5,, 4,5,5 6,5 5 9,5 5 5 5 5 () 5 5 () 5 5 () 5 9,5,556 ( b),5 V b ( b) b ( ) V ( ), V ( ),66, 6,4