Integración impropia Albert Gras i artí Teresa Sancho Vinuesa PID_0083887
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FUOC PID_0083887 Integración impropia Índice Sobre estos materiales de trabajo... 5. La integral definida como un área... 7 2. Definición de integral impropia con discontinuidades asintóticas... 2.. La trompeta de Gabriel... 2 3. Definición de integral impropia con límites de integración infinitos... 5 3.. Área lateral de la trompeta de Gabriel... 6 Recapitulación final: qué hemos aprendido en éste módulo?... 8 Resolución de actividades... 9
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FUOC PID_0083887 5 Integración impropia Sobre estos materiales de trabajo Hemos visto el significado de las integrales definidas y cómo se pueden evaluar. A veces, la función que hay que integrar o los límites de integración presentan valores no definidos que hay que tratar de manera particular. Recordaremos, en primer lugar, el significado geométrico de la integral definida y a continuación veremos los diferentes casos de integrales «impropias» que se pueden presentar y cómo abordarlas.
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FUOC PID_0083887 7 Integración impropia. La integral definida como un área Hemos visto cómo calcular un área delimitada entre dos puntos por el eje de abscisas y hemos visto una curva ƒ() (figura ) como una integral definida: Figura : Integral definida y área. Recordemos que sólo podemos aplicar el teorema fundamental del cálculo para calcular la integral definida a partir de la primitiva calculada en los etremos del intervalo de integración si la función es continua en el intervalo donde se quiere aplicar. A Escribid ejemplos de funciones que presenten una discontinuidad en un punto del intervalo (0, ), bien porque la función da un salto, bien porque la función diverge en algún punto del intervalo. Cómo calcularemos la integral de una función que presenta discontinuidades? Qué pasa si la función no es continua en algún punto? Hemos visto en la actividad A que hay diferentes tipos de discontinuidades y que el tratamiento es diferente en cada caso. a) Discontinuidad evitable Si la discontinuidad es evitable, no hay ningún problema. Así ocurre, por ejemplo, en una función definida de manera que está definida para cualquier valor real ecepto para un punto: ƒ() 2 ()
FUOC PID_0083887 8 Integración impropia En la figura 2 representamos esta función. La función no está definida en. Figura 2: Representación gráfica de la función definida por la ec.(). Esta función es constante y vale 2 en cualquier punto ecepto en. En este caso, la integral definida es sencilla. Por ejemplo, el área bajo la curva entre 0 y 4 vale: ƒ( 4 4 ) 2d 2 0 0 8 Aunque el intervalo de integración incluye el punto, donde la función es discontinua, calculamos la integral ignorando la discontinuidad. El procedimiento tiene una interpretación gráfica sencilla, como ahora discutiremos. A2 Eplicad gráficamente la afirmación anterior: «Aunque el intervalo de integración incluye el punto donde la función es discontinua, calculamos la integral ignorando la discontinuidad». b) Discontinuidad de salto Si la discontinuidad es del tipo de salto, como en la figura 3, sólo hemos de hacer la suma de dos integrales definidas en cada intervalo donde la función sí es continua. Por ejemplo: 0, ƒ( ) 2,2 (2) Esta función se representa en la figura 3. La función toma un valor desde el origen hasta el punto y toma otro valor desde el punto (ecluido el mismo) hasta el punto 2.
FUOC PID_0083887 9 Integración impropia Figura 3: Representación gráfica de la función definida en la ec.(2). El área bajo la función entre 0 y 2 es, pues: 2 2 2 2 A 0 ƒ( ) d 0 ƒ( ) d ƒ( ) d 0 d 2 d 0 2 3 c) Discontinuidad asintótica Si la discontinuidad es asintótica, no queda más remedio que hacer un cálculo aproimado o un paso al límite. Por ejemplo, la función siguiente: ƒ( ) 3 diverge en 0: lim ƒ( ) 0 por lo tanto, no podemos calcular directamente la integral definida en (0,]: 0 3 d (3) porque la función en el integrando no es continua en 0. A3 Calculad las siguientes integrales: a) 3 d 0.5 b) 3 d 0. c) 0.0 3 d d) 0.00 3 d Qué observáis?
FUOC PID_0083887 0 Integración impropia Como acabamos de ver, si calculamos varias integrales definidas con el límite inferior cada vez más cercano a 0, nos acercamos más al valor.5. Por tanto, podemos definir el valor de la integral definida (3) como el valor del límite de las integrales definidas con un límite inferior que tiende a 0: Recopilemos los diferentes casos que pueden darse. d lim 0 3 a0 d a 3
FUOC PID_0083887 Integración impropia 2. Definición de integral impropia con discontinuidades asintóticas Si la función tiene discontinuidades asintóticas, pueden presentarse tres casos, según donde esté el punto de discontinuidad en relación con el intervalo de integración. ) Discontinuidad en el etremo inferior del intervalo Si una función ƒ es continua en (a, b) y presenta una discontinuidad asintótica en a, definimos: b b ƒ( ) d lim ƒ( ) d a a Si el límite eiste y es finito, decimos que la integral impropia es convergente. En caso contrario, decimos que es divergente. 2) Discontinuidad en el etremo superior del intervalo Si una función ƒ es continua en (a, b) y presenta una discontinuidad asintótica en b: b ƒ( ) d lim ƒ( ) d a b a Si el límite eiste y es finito, decimos que la integral impropia es convergente. En caso contrario, decimos que es divergente. 3) Discontinuidad asintótica dentro del intervalo Si una función ƒ es continua en [a, b] y presenta una discontinuidad asintótica en algún punto c del intervalo (a, b), la separamos en dos integrales: b c b ƒ( ) d ƒ( )d ƒ( )d a a c Y ahora tratamos cada integral como en los casos ) o 2) anteriores. Si alguna de las dos integrales impropias de la derecha diverge, entonces decimos que la integral impropia de la izquierda diverge. Ejemplos Pongámoslo en práctica. Supongamos que queremos calcular la siguiente integral definida: 0 3 d
FUOC PID_0083887 2 Integración impropia Como lim, la función ƒ( ) presenta una discontinuidad asintótica y, por lo tanto, 3 0 3 la integral que queremos calcular es impropia. A4 Aplicad la definición correspondiente (caso ) y calculad esta integral: 0 3 d Veamos otros casos. A5 Calculad las siguientes integrales impropias: a) b) 2 0 d 3 d Y si el intervalo de integración es infinito? Pero qué pasa si queremos calcular el área delimitada por el eje de abscisas y una curva ƒ() en un intervalo de longitud infinita? Por ejemplo: 3 ƒ( ) Vemos que este caso puede conducir a situaciones curiosas. 2.. La trompeta de Gabriel La trompeta de Gabriel, también denominada trompeta de Torricelli, es una figura ideada por Evangelista Torricelli, conocido por haber inventado, entre otros instrumentos, el barómetro. La trompeta de Gabriel es el sólido de revolución generado por la región no acotada delimitada por la curva de la figura 4a, llamada hipérbola: ƒ( ) (4) y la semirrecta. Es un sólido, pues, infinitamente largo.
FUOC PID_0083887 3 Integración impropia Figura 4a: Hipérbola (función y() /). La figura 4b muestra cómo se genera la trompeta de Gabriel por revolución de la curva de la figura 4a en torno al eje X: Figura 4b: Generación de la trompeta de Gabriel por rotación. Y en la figura 4c mostramos una vista de perfil de la trompeta. Figura 4c: Vista de perfil de la trompeta de Gabriel.
FUOC PID_0083887 4 Integración impropia Queremos calcular el volumen de la trompeta de Gabriel. En primer lugar veremos cómo se calcula el volumen en el caso de que consideremos que la trompeta es finita (es decir, cortamos el eje X, por ejemplo, en 2). Se trata de un sólido de revolución; es decir, la región del plano delimitada por la función y() / gira en torno al eje de abcisas (eje de revolución o de giro). El volumen de una sección perpendicular a este eje por un punto, de grosor, es un disco de altura y de radio ƒ() / (figura 5); el área del disco es igual a veces su radio al cuadrado y el volumen del disco es el área de la base por la altura: 2 Figura 5: Disco elemental en que hemos dividido el volumen de la trompeta de Gabriel. Si aproimamos el volumen del sólido por la suma de n volúmenes consecutivos de estas secciones «gruesas», tenemos: n 2 V i i Como ya hemos comentado cuando se ha estudiado la integral definida, esta aproimación es cada vez mejor si hacemos que las secciones sean cada vez más delgadas, o, lo que es lo mismo, si hacemos que n. Así, podemos definir el volumen del sólido de revolución de la siguiente manera: n 2 2 V 2 lim d n, 0 i i donde hemos convertido el sumatorio de términos infinitos en una integral que abarca el intervalo de integración, del punto al punto 2 y d. Ahora ya podemos calcular el volumen de la trompeta completa. A6 Cómo calcularías el volumen de la trompeta de Gabriel a partir de una integral definida? Hemos comprobado en la actividad anterior que el volumen de la trompeta de Gabriel es finito y vale.
FUOC PID_0083887 5 Integración impropia 3. Definición de integral impropia con límites de integración infinitos Según hemos visto, podemos dar una definición de integral impropia cuando algunos de los límites de integración son infinitos. Se pueden dar tres casos. ) Intervalo de integración infinito por el etremo superior Si una función ƒ es continua en [a, [: ƒ( ) d lim ƒ( ) d a a Si el límite eiste y es finito, decimos que la integral impropia es convergente. En caso contrario, decimos que es divergente. 2) Intervalo de integración infinito por el etremo inferior Si una función ƒ es continua en ],b]: b ƒ( ) d b lim ƒ( ) d Si el límite eiste y es finito, decimos que la integral impropia es convergente. En caso contrario, decimos que es divergente. 3) Intervalo de integración infinito por los dos etremos Si una función ƒ es continua en toda la recta real (todo el eje X) ], y a es cualquier número real: a ƒ( ) d ƒ( ) d ƒ( ) d a Si las dos integrales impropias de la derecha convergen, entonces decimos que la integral impropia de la izquierda es convergente. En caso contrario, decimos que es divergente. Hagamos un ejercicio: calculemos el área delimitada por dos funciones. A7 Sean las funciones: ƒ( ) g ( ) 2 a) Elaborad un esquema de las dos funciones ƒ y g y comprobad que es correcto con la Wiris. b) En cuantos puntos se cortan las funciones? Calculad analíticamente (a mano y con la Wiris) los puntos donde se cortan las dos funciones. c) arcad en la gráfica (sin calcularla) el área delimitada por las dos funciones en el primer cuadrante.
FUOC PID_0083887 6 Integración impropia Como ya hemos determinado el área que delimitan las dos funciones, podemos calcularla. A8 Calculad el área delimitada por las dos funciones de la actividad anterior, A7. Así pues, el área que estábamos buscando es infinita. Este resultado os puede parecer sorprendente a la vista de la forma del área (figura 3s). Hagamos más ejercicios. A9 Calculad las siguientes integrales impropias: a) b) e d 0 ( )e d A continuación haremos un ejercicio para encontrar el valor de un parámetro. A0 Calculad para qué valores de k la siguiente integral impropia vale : 0 k 2 k e d Y finalmente, os proponemos un ejercicio parecido al anterior. A k Para qué valores de k converge la integral impropia d? 3 Calculad el valor que debe tener k para que la integral valga. 3.. Área lateral de la trompeta de Gabriel Volvemos ahora a la trompeta de Gabriel. Cuánta pintura necesitaríamos para pintar su interior? Podemos saberlo a partir de su área lateral. Calculémosla. Supongamos una figura de revolución de forma a partir de la función ƒ(), que tiene derivada continua en el intervalo [a, b] cuando la hacemos girar en torno a un eje vertical u horizontal. Se puede demostrar que la superficie de revolución resultante se puede calcular mediante la siguiente integral: b 2 S 2 r( ) ƒ'( ) d a
FUOC PID_0083887 7 Integración impropia donde r() denota la distancia entre la curva y el eje de revolución. En el caso de la trompeta de Gabriel, el intervalo es la semirrecta [, [, y la distancia al eje de revolución es directamente ƒ(). Así: 2 S 2 ƒ( ) ƒ'( ) d 2 d 4 Si calculáramos la integral anterior, veríamos que es divergente. Podemos practicar un razonamiento matemático alternativo: en lugar de calcular directamente la integral, estudiaremos su convergencia. Como ocurre esto: 4 quiere decir que: 4 A2 Calculad la integral impropia d. Como el área delimitada por en el intervalo [, [ es infinita, como hemos visto en la actividad A2, podemos asegurar que un área mayor también lo será. Por lo tanto, la integral impropia: d 4 es divergente y el área lateral de la trompeta de Gabriel es infinita. A3 Este resultado nos lleva a pensar que nunca tendremos suficiente pintura para pintar el interior de la trompeta de Gabriel. Sin embargo, hemos visto en la actividad A6 que el volumen de la trompeta de Gabriel es finito y vale. Habría alguna manera de pintarla?
FUOC PID_0083887 8 Integración impropia Recapitulación final: qué hemos aprendido en éste módulo? A4 Recapitulación: En qué casos una integral definida es impropia? Representad gráficamente cada una de las situaciones.
FUOC PID_0083887 9 Integración impropia Resolución de actividades A Por ejemplo, la función, que representamos en la figura s. ƒ() = 2 si ƒ() = 4 si 0 0.5 0.5 2 Figura s. Representación gráfica de ƒ(). Otro ejemplo, g ( ) 0.5 que representamos en la figura 2s. Figura 2s. Representación gráfica de g().
FUOC PID_0083887 20 Integración impropia En el caso de la figura s, el cálculo del área es trivial: el área total es la suma del área de los dos rectángulos descritos por 0 0.5, y 0.5. En el segundo ejemplo, será finita el área que hay debajo de la función entre 0 y 0.5, por ejemplo? Se anulará la suma del área comprendida entre 0 y 0.5 con el área comprendida entre 0.5 y? (Recuerda que el área bajo la función entre 0 y 0.5 es negativa, y entre 0.5 y es positiva. Podría ocurrir que fueran iguales en valor absoluto). A2 El área bajo la función definida en un intervalo de anchura nula localizado en el punto = es un área nula y, por lo tanto, no contribuye al valor de la integral. Por tanto, si una función es continua y acotada en un intervalo salvo en un número finito de puntos de discontinuidad en el mismo, podemos efectuar la integración sin tenerlos en cuenta. A3 Una primitiva de la función, es la función, 3 por lo tanto, 2/3 F ( ) 2/3 2 3 3 2 a) 3 3 F() F(0.5) 3 0.5 2 0.555059 2 2 b) 3 3 F() F(0.) 3 0. 2.76835 2 2 c) 3 3 F() F(0.0) 3 0.0 2.430376 2 2 d) 3 3 F() F(0.00) 3 0.00 2.485 2 2 Los valores de la integral parece que convergen a.5. A4 Aplicamos, pues, la definición, 2/3 2/3 0 3 0 3 0 0 3 3 d lim d lim lim ( ) 2/3 2 2 A5 a) Se trata del primer caso: la función es discontinua en el etremo inferior del intervalo de integración, d lim ln lim (ln2 ln ) 2 2 0 0 0 Esta integral definida es divergente: el área buscada tiene un valor infinito.
FUOC PID_0083887 2 Integración impropia b) La función tiene una discontinuidad en = 0, Se trata del tercer caso y, por lo tanto, hacemos, d 3 d d d 0 3 3 0 3 Las dos integrales anteriores son divergentes. Por tanto, la integral propuesta es divergente. A6 El objetivo es determinar el volumen de la trompeta en el caso de que la región no sea acotada, Si calculamos, 2 d 000 2 V d 00 000 2 V2 d 0 20 V3 d 2 observaremos que, a medida que aumentamos el etremo superior de la integral, cada vez nos aproimamos más a π. Por ejemplo, Si tomamos el límite, 00 000 2 00000 V2 d 00 000 Comprobamos que el volumen buscado es finito y vale. 2 V lim d lim A7 El área sombreada de intersección de las dos funciones es la que queremos calcular (figura 3s). Para encontrar dónde se cortan las funciones, buscamos los puntos de corte de ambas funciones, es decir, los puntos que verifican la igualdad ƒ( ) g( ), esto es, Las dos curvas se cortan en = 0 y en =. 2 0 ( ) 0. 2.
FUOC PID_0083887 22 Integración impropia Figura 3s. Representación esquemática de las dos funciones ƒ y g. A8 Para calcular el área, hemos de ver qué pasa en el intervalo y que en el intervalo, 0,. Observamos que en el intervalo, 0,, ƒ( ) g( ),, ƒ( ) g( ). Es importante el análisis anterior porque, si escribimos y calculamos sin más, b a ƒ( ) g( ) d el resultado sería incorrecto porque, según el intervalo de integración elegido, el integrando puede ser positivo o negativo. Por lo tanto, en el segundo intervalo de integración invertimos el orden de la resta del integrando para que el resultado (el área) sea positivo en las dos integrales, A d d 0 2 2 0 d 2 arctanln( ) 0 arctan ln2 (arctan0 ln) ln2 4 Vemos que el área localizada entre = 0 y = es finita. Pero el área entre e infinito es, d lim 2 ln( ) arctan lim ln( ) arctan (ln2 arctan) ln2 2 4 Como la integral impropia es divergente, el área (total) que estábamos buscando es infinita.
FUOC PID_0083887 23 Integración impropia A9 a) 0 0 e d lim e lim e b) ( )e d Primero, calculamos por el método de integración por partes la integral indefinida, ( )e d ( )e d ( )e e d e e +e e C Entonces, ( )e d lim e e El problema es ver cuánto vale lim e. Sólo hay que aplicar la regla de l Hôpital: lim e lim lim 0 e e donde hemos derivado numerador y denominador para calcular el límite. Finalmente: ( )e d e A0 2 k 2 k 0 0 Por definición tenemos que ke d lim ke d. Observad que si k 0 entonces la integral es cero y por lo tanto nunca puede ser igual a. Así podemos suponer que k 0. Calculamos la integral 2 k ke 0 d que es prácticamente inmediata: Calculamos el valor del límite: k 2 k 2 k 2 e k k k e d k e d k k e k e 0 0 k 0 0 Si 0 entonces k lim k e. En cambio, si k 0 tenemos k Por tanto, si la integral impropia ha de valer, entonces k ha de tomar el valor. 2 k 2 k k ke d lim 0 ke d lim k e 0 2 k 2 k k lim 0 lim 0 ke d ke d k e k. A Por definición de integral impropia tenemos que, r 3 r 3 k k d lim d
FUOC PID_0083887 24 Integración impropia y por otro lado, Tomando el límite tenemos que, r r k d k k. 3 2 2 2 2r 2 k lim k 2 r 2r 2 2 La integral impropia vale k/2. Por lo tanto, la integral es siempre convergente y vale cuando la constante k vale 2. A2 d lim d lim ln lim ln A3 Este resultado nos lleva a pensar que nunca tendremos suficiente pintura para pintar el interior de la trompeta de Gabriel. Hemos visto, sin embargo, que el volumen es finito y vale π. Pensad si habría alguna manera de pintarla.