CAPITULO 6. Curvas y Superficies. 6.1 Representacion Paramétrica. Representación paramétrica: u=0 (x,y,z) P(u) u=1
|
|
|
- Luis Miguel Agüero
- hace 5 años
- Vistas:
Transcripción
1 CAITULO 6 Crvs y Sperfces 6. Representcon rmétrc Representcón prmétrc: y x,y,z x z
2 Se: z z z z y y y y x x x x z y x [ ], ˆ ˆ ˆ ˆ,, ˆ ˆ z y x ˆ z z z z y y y y x x x x,, y se llmn coefcentes lgebrcos. [ ] pr se tene,, Resolvendo pr,,, se tene: Reemplzndo en y rreglndo fctores, se tene: Llmemos: F
3 F F F 4 Lego: F F F F4,,, se llmn coefcente geométrcos. En form Mtrcl Se : [ ][ ] T U A or otro ldo: [ ] [ ] [ F F F F ][ ] T o 4 FB F [ ] F [ ] M F UM UMB pr UA Lego A MB UMB [,]
4 Ls crvs nterores defnds por los pntos de comenzo y fnles, demás de ss pendentes, se llmn crvs de Hermte. 6. Vectores Tngentes Otr form de escrbr n tngente n crv: t z t x t y Donde tx, ty, tz son los cosenos drectores, tles qe: t t x t y t z Se defne: k lego k * t Así los grdos de lbertd de l crv están ddos por: 6 por los pntos y. 4 por los cosenos drectores de mbs tngentes. por ls mgntdes de los vectores tngentes. En totl grdos de lbertd. [ ] T B
5 Se pede escrbr como: [ k t k t ] T B Sólo vrndo k 6. Reprmetrzcón Algns veces se reqere cmbr los prámetros de n crv, sn vrr l poscón n l form de ést. Vemos el cso generl: v v T v v [ ] B [ q q q q ] T B Como no debe hber cmbo de poscón, se tene qe cmplr: q q Qé ps con ls pendentes?
6 L relcón qe exste entre y v, esto es vf, debe ser de tles crcterístcs qe no ltérel form de l crv. Est se cmple s hy n relcón lnel entre ello, entonces podemos sponer qe: Así v b v dv d v b v b v v v d v dv Lego: q v v v q v v v 6.4 Form Trncd v v Usemos ls fórmls nterores
7 q q q q v v v q v v q v v v v q q 6.5 Form de Ctro ntos 4 4 < < < 4 Spongmos n mtrz k, tl qe: [ ] [ ] 4 T T k q q q q UMB Lego:
8 T T [ ] [ U U U U ] MB 4 4 De qí [ ] T U U U U [ ] T B M 4 4 De se tene qe: k M B k [ U U U U 4 ] [ ] T 4 T De donde: [ ] k B 4 r, /, /,, se obtene: k / 9 9 / 9 / 9 / k / 7 7 / 7 7 / 7 / 7 4 / 7 / 7 / 7 4 / 7 Se [ ] T 4 UMB B k UMK con Mk N UN
9 N 9 / 9 / 7 / 45/ 9 7 / 8 9 / 9 / 9 / Expndendo se lleg 4,5 9 5,5,5,5 9,5 8 4,5 4,5 4, Crvs de Bezer En generl, n crv de Bezer se pede proxmr clqer número de fentes de control. El número de fentes de control determn el grdo del polnomo. L crv de Bezer es más fáclmente determnd por fncones Blendng. Spongmos qe tenemos n poscones con pntos de control: x, y, z con k vrndo entre y n. k k k k Se pede descrbr n crv qe ps por los pntos y n, y se proxm los pntos ntermedos: n k k BEZ k, n [,] BEZk,n son los polnomos de Bernsten BEZ k, n k nk C n, k Donde: n! C n, k k! n k!
10 En form scesv se pede defnr: BEZ k, n BEZ k, n BEZ k, n n > k represent n eccón prmétrc como: x y z n k n k n k xk BEZ yk BEZ zk BEZ k, n k, n k, n Como regl, n crv de bezer es n polnomo de grdo no menos qe el número de pntos de control. 4
11 6.6. ropeddes de crvs de Bezer Un propedd útl es qe l crv sempre ps por el prmer y últmo pnto de control. Condcones de borde: n Ls dervds: ' n n ' n n n n Segnds dervds: [ ] [ ] '' n n '' n n n n n n Otr propedd mportnte de clqer crv de Bezer es qe sempre está std dentro del convex hll. 5 4
12 6.6. Composcón de Crvs y los tres pntos,,, deben ser colneles pr tener contndd de º dervd Crvs de Bezer cúbcs Son ls más sds y se genern con ctro pntos de control: BEZ BEZ,, BEZ, BEZ, ' k ' ' 6 '' 6 ' En form Mtrcl:
13 [ ] 4 M BEZ 6 BEZ M 6.7 Sperfces de Bezer Se peden tlzr dos grpos ortogonles de crvs de Bezer pr dseñr n sperfce. L eccón de l sperfce en form prmétrc es: m n k n k m k BEZ v BEZ v,,,, Con,k qe especfc n bccón de m por n pntos de control.
14 v v L form Mtrcl es:, v donde [ ][ v BEZ T v M M BEZ ] v M BEZ 6
15 Efecto de levntr n pnto de control Vectores tngentes n vértce, v, v
16 ,, v v, 9 L norml n vértce se clcl por el prodcto crz entre dos tngentes. or eemplo: b N b 6.8 Crvs B-splnes Un crv Splne está formd por crvs polnomles, por rcos o sectores. S S C S or eemplo, l crv C está formd por los rcos S, S y S. A s vez S, S y S podrín ser crvs de Bezer, ls cles están defnds por los polnomos de Bernsten.
17 6.8. Constrccón de Splnes sndo polnomos como bse. De l sgente crv: gt bt t brrdo o spn ct t ntos knet Soporte t t b t c t t t 4 Un Splne de grdo m tene contndd m- en cd pnto knot. Es decr g t C m. m Consdérese el constrr n crv t bsándose en n sere de fncones gkt polnomles. or eemplo: donde t 4 k k g k t gk t g t k k,,,, 4
18 Se tene qe t en cd spn está ddo por n sm de polnomos, con n peso k pr cd no de ellos. Eemplo: etc t t g t g t g t t t g t g t t t g t Esto se pede grfcr como: t gt g g g g g 4 / /4 4 4 t 4 5 6
19 De lo nteror se desprende qe en n stn o brrdo clqer prte de es crv eqvle n sm de polnomos ponderdos por los pntos de control. Se pede pensr entonces qe pede exstr n polnomo generl, el cl srv como bse pr cd cso Crv B-splne L eccón pr n crv B-splne está dd por: n k k B k, d mín d n máx Donde k es n connto de n pntos de control. El rngo del prámetro depende hor de como se elgen los prámetros de l B- spln. Ls fncones Blendng Bk,d son polnomos de grdo d-. Ls fncones Blendg están defnds por l fórml recrsv de Cox-de Boor: B k, s k otro cso k k k d B B, B, k, d k d k d k d k k d k Donde cd fncón Blendng está defnd sobre d ntervlos del rngo totl de. El connto de sbntervlos fnles se llm vector knot. Los vlores pr mín y máx dependen del número de pntos de control, el vlor elegdo pr d y de como se elgen los sbntervlos vector knot.
20 El vlor / se sme como en cso de ocrrr en l fórml nteror. Ls B-splnes permten qe se cmbe el número de pntos de control sn cmbr el grdo del polnomo. Tmbén se peden ñdr o modfcr los pntos de control pr mnplr ls forms de ls crvs. Cmbo en el pnto de control Ls crvs B-splnes tenen ls sgentes propeddes:. L crv polnoml tene el grdo d y contndd C d sobre el rngo de.. r n pntos de control, l crv se descrbe con n fncones Blendng.. Cd fncón Blendng Bk,d está defnd sobre d sbntervlos del rngo totl de, comenzndo en el vlor not k. 4. El rngo del prámetro está dvddo en nd sbntervlos por los nd vlores especfcdos por el vector knot. 5. Con vlores knot mrcdos como,,... n d l crv B-splne resltnte está defnd en el ntervlo d- hst el vlor knot n. 6. Cd seccón de l crv splne entre dos vlores scesvos de knot está nflencd por d pntos de control. 7. Clqer pnto de control pede fectr l form de lo más d seccones de crvs. En generl hy tres clses de vectores knot: nforme, nforme berto y no-nforme. Ls b-splne se descrben comúnmente de cerdo l tpo de vector knot.
21 6.8. B-splnes nformes Cndo el espco entre vlores knot es constnte, l crv resltnte se llm B-splne nforme. or eemplo:.5,.,.5,.,.5,.,.5,. A mendo los vlores knot son normlzdos entre y..,.,.4,.6,.8,. B-splnes nformes tenen fncones Blendng nformes. Esto es, pr vlores ddos de n y d, tods ls fncones Blendng tenen l msm form. Eemplo: n d El vector knot debe contener dn7 vlores knot.,,,, 4, 5, 6 y el rngo de es de 6, con nd6 sbntervlos. L crv polnoml es de grdo d-. Con n4 pntos de control, l crv está descrt por n4 fncones Blendng. Cd n de ls ctro fncones Blendng spn d sbntervlos del rngo totl de. Así
22 , B 4 4 4, B , B , B
23 B, B, B, B, El prmer pnto de control mltplc l fncón B,. Así, cmbndo l poscón del prmer pnto de control sólo fect l crv hst. Tods ls fncones Blendng están presentes entre d- y n4. Este es el rngo de l crv polnoml. En este rngo, l sm de ls fncones es gl. esto qe el rno de l crv polnoml resltnte s entre y 4, se peden determnr los pntos de comenzo y térmno, evlndo ls fncones blendng en estos pntos. comenzo fnl
24 Tmbén ls dervds están dds por: ' ' comenzo fnl B-splnes berts y nformes En este cso de B-splne el vector knot es nforme, excepto en el prncpo y fn de éste. or eemplo.,,,,, pr d y n,,,,,,,, pr d 4 y n 4 r clqer vlor de d y n se pede generr n vector knot como d n d d d n > n r vlores de en el rngo de nd. Con est sgncón los prmeros d knots tenen n vlor y los últmos d knots tenen n vlor n-d. L crv polnoml pr n B-splne bert por el prmer y últmo pnto de control. En esto es smlr l crv de Bezer. Eemplo: d y n 4 cnco pntos de control knot vector,,,, 4, 5, 6, 7, 8,,,,,,, El rngo totl de está dvddo en ses sbntervlos, y cd fncón Blendng está defnd en tres sbntervlos.
25 , < B Está defnd desde < < 4, B < < <, B < < 5, B, 4 < B,5 B,,6 B,
26 B, B,,6,6 B 4, 6.9 Sperfces Esto es smlr l cso Bezer. En efecto, l eccón de l sperfce es:, v n k k n k, k Bk, d Bk, d 6.9. Splnes Rconles Un fncón rconl es smplemente l rzón entre dos polnomos. Así, n splne rconl es l rzón de dos fncones splnes.
27 n k n W k k W k k B B k, d k, d Donde k es el connto de n pntos de control. Los prámetros Wk son fctores de peso pr los pntos de control. Mentrs myor se el vlor de n Wk, más cerc del pnto de control está l crv. Esto es Wk emp l crv hc el pnto de control. Cndo todos los Wk son, entonces tenemos ls B-splnes conocds porqe el denomndor de es l sm de ls fncones Blendng. Ls splnes rconles tenen dos mportntes vents sobre ls no rconles. rmero, ells peden representr exctmente fncones cóncs como círclos y elpses. Fncones no rconles qe son polnomos sólo peden proxmr ests fncones cóncs. L otr vent es qe son nvrntes con respecto n trnsformcón de vst en perspectv. Esto sgnfc qe se pede plcr n trnsformcón los pntos de control y se obtene l correct vst de ell. Constrr n splne rconl se llev cbo de l msm mner qe pr ls no rconles. Ddo el connto de pntos de control, el grdo del polnomo, los fctores de peso y el vector knot, se plcn ls eccones de recrrenc NURBS NURBS es el térmno qe se tlz pr ndcr B-splnes rconles no nformes. r dbr seccones cóncs con NURBS, se s n fncón cdrátc splne d con tres pntos de control. Se pede hcer esto con n splne defnd por el vector knot berto: ls fncones de peso son:,,,,,
28 W W W r r r < y B, B, r B r r B r,, B, B, Se obtenen vrs cóncs con los vlores sgentes: r >, W > hperbol r, W prábol r, W < elpse r, W segmento recto Hpérbol rábol Segmento Recto Elpse
29 Se pede tmbén generr n crto de círclo elgendo Wcosφ y elgendo los pntos de control:,,,, φ,, Eemplo Utlzndo OpenGl Crvs OpenGL contene bstntes fncones qe fcltn el dbo de crvs y sperfces de Bezer especfcndo los pntos de control y el rngo de los prámetros y v. Entonces, nvocndo l fncón evldor propd el evldor, se generrán los pntos qe defnen l crv o sperfce. r dbr n crv de bezer se debe proceder de l sgente form Especfcr los pntos de control, por eemplo: GLnt nnmonts 4; GLflot ctrlonts[4][] -4.f,.f,.f, // nto fnl -6.f, 4.f,.f, // nto de control 6.f, -4.f,.f, // nto de control 4.f,.f,.f ; // nto fnl
30 Defnmos l Crv Bezer glmpfgl_ma_vertex_, // Tpo de dto generdo.f, // Rngo menor de.f, // Rngo speror de, // Dst. entre los pntos nnmonts, //nm. de pntos de control &ctrlonts[][]; // Mtrz de pntos de control glenblegl_ma_vertex_; // Actv el evldor // Us n frn de línes pr "conectr los pntos" glbegngl_line_stri; for ; < ; // Evlú l crv en este pnto glevlcoordfglflot ; glend; El prmer prámetro de glmpf, GL_MA_VERTEX_, ctv el evldor pr generr terns de coordends de vértce x,y,z, en oposcón GL_MA_VERTEX_4 qe generrí ls coordends y n componente lf. Los dos sgentes prámetros especfcn los vlores mínmo y máxmo del vlor prmétrco de est crv. El crto prámetro especfc el número de vlores de com flotnte entre los vértces de l mtrz de pntos de control. El últmo prámetro es n pntero n bffer qe contene los pntos de control empledos en defnr l crv. Aqí psmos n pntero l prmer elemento de l mtrz. Un vez qe se h credo el mpedo de l crv, llmmos l evldor pr hcer so de este mpedo. L fncón glevlcoordf tom n únco rgmento: n vlor prmétrco lo lrgo de l crv. Est fncón evlú entonces l crv en este vlor y llm nternmente glvertex pr dbr ese pnto. Hcendo n bcle en el domno de l crv e nvocndo glevlcoord pr prodcr vértces, podemos dbr l crv con n smple tr de línes. OpenGL pede fcltr ún más ls coss. Defnmos n rell con l fncón glmpgrd, qe le dce OpenGL qe cree n rell de pntos seprdos sobre el domno. Entonces llmmos glevlmesh pr conectr los pntos sndo l prmtv especfcd GL_LINES o GL_OINTS. or eemplo: // Us fncones de más lto nvel pr mper n rell, y evlr todo // Mp de n rell de pntos de glmpgrdd,.,.; // Evl l rell, sndo línes glevlmeshgl_line,,; Reemplz por completo este códgo: // Us n frn de línes pr "conectr los pntos"
31 glbegngl_line_stri; for ; < ; // Evlú l crv en este pnto glevlcoordfglflot ; glend; El sgente eemplo mestr l crecón de n smple crv de bezer con 5 pntos de control. Defnmos nestros pntos de control GLnt nnmonts 5; GLflot ctrlonts[5][] -4.f,.f,.f, // nto fnl -.f, 4.f,.f, // nto de control.f, -7.f,.f, // nto de control.f, 4.f,.f, // nto de control 4.f,.f,.f ; // nto fnl vod fstcll TFormMn::IdleLoopTObect*, bool& done done flse; RenderGLScene; SwpBffershdc; vod fstcll TFormMn::FormCreteTObect *Sender hdc GetDCHndle; SetxelFormtDescrptor; hrc wglcretecontexthdc; fhrc NULL ShowMessge":-~ hrc NULL"; fwglmkecrrenthdc, hrc flse ShowMessge"Cold not MkeCrrent"; w ClentWdth; h ClentHeght; glenblegl_deth_test; glenblegl_cull_face; glclercolor.f,.f,.f,.f; vod fstcll TFormMn::SetxelFormtDescrptor IXELFORMATDESCRITOR pfd szeofixelformatdescritor,, FD_DRAW_TO_WINDOW FD_SUORT_OENGL FD_DOUBLEBUFFER, FD_TYE_RGBA,
32 4,,,,,,,,,,,,,,,,, FD_MAIN_LANE,,,, ; xelformt ChoosexelFormthdc, &pfd; SetxelFormthdc, xelformt, &pfd; vod fstcll TFormMn::FormReszeTObect *Sender GLflot rngo; w ClentWdth; h ClentHeght; fh h ; glvewport,, w, h; glmtrxmodegl_rojection; gllodidentty; rngo8; glfrstm-rngo,rngo, -rngo, rngo,,5; glmtrxmodegl_modelview; gllodidentty; gltrnsltef,,-; vod fstcll TFormMn::RenderGLScene glclergl_color_buffer_bit GL_DETH_BUFFER_BIT; DrwObects; glflsh; vod fstcll TFormMn::DrwObects //Defne l Bezer, Sólo necestmos eectr ésto n vez y pede // estr en l fncón de nco glmpfgl_ma_vertex_, // Tpo de dto generdo.f, // Rngo menor de.f, // Rngo speror de, // Dstnc entre los pntos lmcendos nnmonts, // nmero de pntos de control &ctrlonts[][]; // Mtrz de pntos de control // Actv el evldor
33 glenblegl_ma_vertex_; glcolorf,,; glmpgrdd,.,.; // Evl l rell, sndo línes glevlmeshgl_line,,; glmpgrdd,.,.; // Evl l rell, sndo línes glevlmeshgl_line,,; // Db los pntos d control Drwonts; vod fstcll TFormMn::FormntTObect *Sender glclergl_color_buffer_bit GL_DETH_BUFFER_BIT; glflsh; DrwObects; El resltdo se mestr en l sgente fgr
34 Eemplo Utlzndo OpenGl Sperfces Crer n sperfce D de Bezer se prece mcho l versón en D. Además de defnr pntos lo lrgo del domno de, tmbén debemos defnrlos lo lrgo del domno de v. El sgente eemplo mestr l mll lámbrc de n sperfce D de Bezer. El prmer cmbo respecto l eemplo nteror es qe hemos defndo tres grpos dconles de pntos de control pr l sperfce lo lrgo del domno de v. r mntener l smplcdd de l sperfce, los pntos de control son gles excepto en el vlor Z. Esto crerá n sperfce nforme, como s sencllmente extrérmos n Bezer D lo lrgo del ee Z. // Número de pntos de control pr est crv GLnt nnmonts ; GLflot ctrlonts[][][] -4.f,.f, 4.f, -.f, 4.f, 4.f, 4.f,.f, 4.f, //V -4.f,.f,.f, //V -.f, 4.f,.f, 4.f,.f,.f, -4.f,.f, -4.f, //V -.f, 4.f, -4.f, 4.f,.f, -4.f ; vod RenderScenevod glclergl_color_buffer_bit; glmtrxmodegl_modelview; glshmtrx; // Rot l mll sobre sí msm pr qe se más fácl de ver glrottef45.f,.f,.f,.f; glrottef6.f,.f,.f,.f; glmpfgl_ma_vertex_,.f,.f,,,.f,.f, 9,, &ctrlonts[][][]; // Actv el evldor
35 glenblegl_ma_vertex_; // Utlz ls fncones de myor nvel pr mper // en n rell, lego evlú todo // Mpe n rell de pntos de glmpgrdf,.f,.f,,.f,.f; // Evl l rell, sndo línes glevlmeshgl_line,,,,; // Db los pntos de control Drwonts; glopmtrx; glflsh; Ahor, nestro códgo de genercón, demás de rotr l fgr pr consegr n efecto meor, llmmos glmpf en lgr de glmpf. Esto especfc pntos de control lo lrgo de dos domnos y v en vez de sólo no. El resltdo fnl es el mostrdo en l sgente fgr: El lstdo de l fncones prncples de nestro progrm es el sgente: GLnt nnmonts ; GLflot ctrlonts[][][] -4.f,.f, 4.f, -.f, 4.f, 4.f, 4.f,.f, 4.f, //V
36 -4.f,.f,.f, //V -.f, 4.f,.f, 4.f,.f,.f, -4.f,.f, -4.f, //V -.f, 4.f, -4.f, 4.f,.f, -4.f ; TFormMn *FormMn; fstcll TFormMn::TFormMnTComponent* Owner : TFormOwner Applcton->OnIdle IdleLoop; sze 5.f; vod fstcll TFormMn::IdleLoopTObect*, bool& done done flse; RenderGLScene; SwpBffershdc; vod fstcll TFormMn::FormCreteTObect *Sender hdc GetDCHndle; SetxelFormtDescrptor; hrc wglcretecontexthdc; fhrc NULL ShowMessge":-~ hrc NULL"; fwglmkecrrenthdc, hrc flse ShowMessge"Cold not MkeCrrent"; w ClentWdth; h ClentHeght; glenblegl_deth_test; glenblegl_cull_face; glclercolor.f,.f,.f,.f; vod fstcll TFormMn::SetxelFormtDescrptor IXELFORMATDESCRITOR pfd szeofixelformatdescritor,, FD_DRAW_TO_WINDOW FD_SUORT_OENGL FD_DOUBLEBUFFER, FD_TYE_RGBA, 4,
37 ,,,,,,,,,,,,,,,, FD_MAIN_LANE,,,, ; xelformt ChoosexelFormthdc, &pfd; SetxelFormthdc, xelformt, &pfd; vod fstcll TFormMn::FormReszeTObect *Sender GLflot rngo; w ClentWdth; h ClentHeght; fh h ; glvewport,, w, h; glmtrxmodegl_rojection; gllodidentty; rngo6; glfrstm-rngo,rngo, -rngo, rngo,,5; glmtrxmodegl_modelview; gllodidentty; gltrnsltef,,-5; vod fstcll TFormMn::DrwObects glrottef45.f,.f,.f,.f; glrottef6.f,.f,.f,.f; glmpfgl_ma_vertex_,.f,.f,,,.f,.f, 9,, &ctrlonts[][][]; glenblegl_ma_vertex_; glmpgrdf,.f,.f,,.f,.f; glevlmeshgl_line,,,,; Drwonts;
38 vod fstcll TFormMn::FormntTObect *Sender glclergl_color_buffer_bit GL_DETH_BUFFER_BIT; glflsh; DrwObects; vod fstcll TFormMn::SlrClckTObect *Sender ext; vod Drwontsvod nt ; glontsze5.f; glbegngl_oints; for ; < nnmonts; glvertexfvctrlonts[][]; glend; Eemplo Utlzndo OpenGl NURBS Tmbén podemos crer n sperfce con crcterístcs de mterles, pr esto procedemos gregndo ls propeddes de mterl e lmncón qe hemos vsto en cpítlos nterores, l sgente fgr mestr n eemplo de ello odemos sr evldores en nestros procesos fndmentles pr evlr sperfces de bezer de clqer grdo, pero con ls crvs más comples será necesro ensmblr sperfces ndependentes. A medd qe ñdmos más pntos de control, es más dfícl crer n crv qe mnteng n
39 ben contndd. odemos dsponer de n nvel de control myor con ls fncones NURBS de l lbrerí gl. NURBS sgnfc Non-Unform Rtonl B-Splne conctendo-b rconl no nforme. L potenc rel de ls NURBS es exprmr l nflenc de los ctro pntos de control de n segmento clqer de l crv pr prodcr l svdd necesr. Este control se relz trvés de n secenc de vlores denomndos ndos. r cd pnto de control defnmos dos vlores nodles. El rngo de vlores pr ndos se st l domno prmétrco de y v, y no peden ser descendentes. Esto se debe qe los vlores de ndo determnn l nflenc de los pntos de control qe cen dentro de ese rngo en el espco /v. L secenc de ndos defne l ntensdd de l nflenc de cd pnto en el domno. S se repte el vlor de n ndo, los pntos cercnos este vlor prmétrco tene n myor nflenc. L repetcón de los vlores de ndo se denomn mltplcdd nodl. Un myor mltplcdd nodl decrece l crvtr de l crv o sperfce dentro de es regón. Ls fncones NURBS de l lbrerí gl proporconn tlddes de lto nvel pr generr sperfces. No debemos llmr explíctmente los evldores o estblecer los mps y rells. r generr n NURBS, prmero cremos n obeto NURBS l qe nos referremos cd vez qe llmemos ls fncones NURBS relconds pr modfcr l prenc de l crv o sperfce. L fncón glnewnrbsrenderer cre n generdor pr l NURBS, y gldeletenrbsrenderer lo destrye. Los sgentes frgmentos demestrn el so de ests fncones: //ntero n obeto NURBS GLUnrbsOb *pnrbnull; //Defncón del obeto NURBS pnrbglnewnrbsrenderer;... //Efectmos nestrs modfccones NURBS... //Borr el obeto NURBS s se creó f pnrb gldeletenrbsrendererpnrb; Un vez qe hemos credo n generdor NURBS, podemos defnr vrs propeddes NURBS de lto nvel, como est: //Defncón de l tolernc de mestreo glnrbsropertypnrb, GLU_SAMLIG_TOLERANCE, 5.of; //Cremos n sperfce sóld rellenndo // smos GLU_OUTLINE_OLYGON pr crer n mll polgonl glnrbsropertypnrb, GLU_DISLAY_MODE, GLflotGLU_FILL;
40 Normlmente nvocremos ests fncones en nestr rtn de nco, meor qe hcerlo repetdmente en nestro códgo. En este eemplo, GLU_SAMLING_TOLERANCE defne cómo es de sve l mll qe defne l sperfce, y GLU_FILL le dce OpenGL qe rellene l mll en lgr de generr n fgr lámbrc. L defncón de l sperfce se ps en form de mtrces de pntos de control y secencs de ndos l fncón glnrbssrfce. Como se mestr qí, est fncón tmbén está encerrd entre llmds glbegnsrfce y glendsrfce. // Gener l NURBS // Comenz l defncón NURBS glbegnsrfcepnrb; // Evl l sperfce glnrbssrfcepnrb, // ntero l generdor NURBS 8, Knots, // Núm. de ndos y mtrz de ndos drecc. 8, Knots, // Núm. de ndos y mtrz de ndos drecc. v 4 *, // Dstnc entre pntos de control drecc., // Dstnc entre pntos de control drecc. v &ctrlonts[][][], // ntos de control 4, 4, // Ordenes y v de sperfce GL_MA_VERTEX_; // Tpo de sperfce // sperfce termnd glendsrfcepnrb; odemos hcer más llmds glnrbssrfce pr crer clqer número de sperfces NURBS, pero ls propeddes qe defnmos pr el generdor NURBS segrán tenendo efecto. Usndo los pntos de control y los vlores nodles mostrdos en el sgente segmento de códgo, prodcremos l sperfce NURBS qe hy contncón. // L mll se extende ctro nddes de -6 6 lo lrgo // de los ees x e y, descns en el plno Z v x,y,z GLflot ctrlonts[4][4][] -6.f, -6.f,.f, //, v -6.f, -.f,.f, // v -6.f,.f,.f, // v -6.f, 6.f,.f, / v -.f, -6.f,.f, // v -.f, -.f, 8.f, // v -.f,.f, 8.f, // v -.f, 6.f,.f, // v.f, -6.f,.f, // v.f, -.f, 8.f, // v.f,.f, 8.f, // v.f, 6.f,.f, // v 6.f, -6.f,.f, // v 6.f, -.f,.f, // v
41 6.f,.f,.f, // v 6.f, 6.f,.f; // v // Secenc de ndos de ls NURBS GLflot Knots[8].f,.f,.f,.f,.f,.f,.f,.f; El sgente eemplo mestr ls fncones prncples de l crecón y vslzcón de n sperfce NURBS GLflot ponts[][][] ntos. GLnt nmonts; GLnt nnmonts ; GLflot ctrlonts[4][4][] -6.f, -6.f,.f, //, v -6.f, -.f,.f, // v -6.f,.f,.f, // v -6.f, 6.f,.f, // v -.f, -6.f,.f, // v -.f, -.f, 8.f, // v -.f,.f, 8.f, // v -.f, 6.f,.f, // v.f, -6.f,.f, // v.f, -.f, 8.f, // v.f,.f, 8.f, // v.f, 6.f,.f, // v 6.f, -6.f,.f, // v 6.f, -.f,.f, // v 6.f,.f,.f, // v 6.f, 6.f,.f; // v // Secenc de ndos de ls NURBS GLflot Knots[8].f,.f,.f,.f,.f,.f,.f,.f; TFormMn *FormMn; fstcll TFormMn::TFormMnTComponent* Owner : TFormOwner Applcton->OnIdle IdleLoop; sze 5.f; vod fstcll TFormMn::FormCreteTObect *Sender
42 hdc GetDCHndle; SetxelFormtDescrptor; hrc wglcretecontexthdc; fhrc NULL ShowMessge":-~ hrc NULL"; fwglmkecrrenthdc, hrc flse ShowMessge"Cold not MkeCrrent"; w ClentWdth; h ClentHeght; glenblegl_deth_test; glenblegl_cull_face; glclercolor.f,.f,.f,.f; vod fstcll TFormMn::SetxelFormtDescrptor IXELFORMATDESCRITOR pfd szeofixelformatdescritor,, FD_DRAW_TO_WINDOW FD_SUORT_OENGL FD_DOUBLEBUFFER, FD_TYE_RGBA, 4,,,,,,,,,,,,,,,,, FD_MAIN_LANE,,,, ; xelformt ChoosexelFormthdc, &pfd; SetxelFormthdc, xelformt, &pfd; vod fstcll TFormMn::FormReszeTObect *Sender GLflot rngo; w ClentWdth; h ClentHeght; fh h ; glvewport,, w, h; glmtrxmodegl_rojection; gllodidentty; rngo; glfrstm-rngo,rngo, -rngo, rngo,,5; glmtrxmodegl_modelview;
43 gllodidentty; gltrnsltef5,-5,-5; glrottef,,,; vod fstcll TFormMn::RenderGLScene glclergl_color_buffer_bit GL_DETH_BUFFER_BIT; DrwObects; glflsh; vod fstcll TFormMn::DrwObects GLUnrbsOb *pnrbnull; //Defncón del obeto NURBS pnrbglnewnrbsrenderer; glnrbsropertypnrb, GLU_SAMLING_TOLERANCE, 5.f; glnrbsropertypnrb, GLU_DISLAY_MODE, GLflotGLU_FILL; glbegnsrfcepnrb; glnrbssrfcepnrb, 8, Knots, 8, Knots, 4 *,, &ctrlonts[][][], 4, 4, GL_MA_VERTEX_; //Borr el obeto NURBS s se creó f pnrb gldeletenrbsrendererpnrb; cretesrfce; drwsrfce; vod fstcll TFormMn::FormntTObect *Sender glclergl_color_buffer_bit GL_DETH_BUFFER_BIT; glflsh; DrwObects; od fstcll TFormMn::SlrClckTObect *Sender
44 ext; vod cretesrfce GLflot mterldffse[].,.,.,. ; GLflot mterlspeclr[].,.,.,. ; GLflot mterlshnness[] 8 ; GLflot speclr[].f,.f,.f,.f; GLflot specref[].f,.f,.f,.f; glmterlfv GL_FRONT, GL_DIFFUSE, mterldffse ; glmterlfv GL_FRONT, GL_SECULAR, mterlspeclr ; glmterlfv GL_FRONT, GL_SHININESS, mterlshnness ; glmterlfvgl_front, GL_SECULAR, specref; glenble GL_LIGHTING ; glenble GL_LIGHT ; gldepthfnc GL_LEQUAL ; glenble GL_DETH_TEST ; glenble GL_AUTO_NORMAL ; glenble GL_NORMALIZE ; nrbsrfce glnewnrbsrenderer; glnrbsroperty nrbsrfce, GLU_SAMLING_TOLERANCE, 5. ; glnrbsroperty nrbsrfce, GLU_DISLAY_MODE, GLU_FILL ; vod drwsrfce GLflot knots[6],,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ; glcolorf.,.,. ; glbegnsrfce nrbsrfce ; glnrbssrfce nrbsrfce, 6, knots, 6, knots, *,, &ponts[][][],,, GL_MA_VERTEX_ ; glendsrfce nrbsrfce ; El resltdo fnl es el mostrdo en l sgente fgr:
45
VECTORES EN EL PLANO
VECTORES EN EL PLANO ) Defncón de ector fo y ector lre. Vector de poscón de n pnto. ) Módlo de n ector. Dstnc entre dos pntos. c) Opercones áscs con ectores. d) Prodcto esclr. Expresón nlítc. e) Propeddes
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sstems de Ecucones Lneles www.tgors.es SISTEMS DE ECUCIONES LINELES Estudr un Sstem de Ecucones Lneles S.E.L.) es responder ls pregunts: tene solucón?. s es sí,, cuánts tene cuáles son?. l vst de ests
Números Reales y Complejos
Apéndce C Números Reles y Complejos C.. Los números reles Suponemos conocdo el conjunto de los números reles. Vmos defnr y estudr en lgunos conceptos como relcones de orden, ntervlos, cots y vlor bsoluto.
MATEMÁTICAS Y CULTURA B O L E T Í N No. 262 COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS
MTEMÁTIC Y CULTUR O L E T Í N..009 No. COORDINCIÓN DE MTEMÁTIC MTEMÁTIC MTEMÁTIC OPERDORE: DJUNTO Y NORML En n espco V con prodcto nterno cd operdor lnel tene n operdor llmdo s djnto tmén lnel qe representmos
FUNDAMENTOS TICOS TEMA 5: CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA Y DOS VARIABLES
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS TICOS TEMA 5: CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA Y DOS VARIABLES CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE Integrl defnd Dd un funcón f, exste otr F tl que F = f? Integrcón
TEMA 11: PROBLEMAS MÉTRICOS
Alonso Fernánde Glián TEMA PROBLEMAS MÉTRICOS Finlmente vmos ocprnos de clclr ánglos distncis entre rects plnos de resolver problems relciondos con estos conceptos.. ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS Vemos
ESPACIO VECTORIAL. 1. VECTORES EN EL ESPACIO Un vector fijo AB es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).
ESPACIO VECTORIAL. Vetores en el espo. Estrtr de espo etorl. Dependen e ndependen lnel. ses. Prodto eslr 5. Prodto etorl. Prodto mxto. VECTORES EN EL ESPACIO Un etor fo AB es n segmento orentdo qe del
Ejercicios T2- ANÁLISIS DE DATOS UNIDIMENSIONALES
Ejerccos T- NÁLII DE DTO UNIDIMENIONLE.- El número de clentes qe cden n estblecmento en cert hor hn sdo lo lrgo del últmo mes h sdo:,,,,7,,,,,,6,,6,,8,,,,,6,,8,,9,,,, Representr l tbl de frecencs, el dgrm
Análisis Poblacional de Mulliken y Löwdin
nálss Poblconl de Mullken y Löwdn Densdd de Mtrz de crg (defncón): consderemos el cso de cp cerrd entonces sbemos que l probbldd de encontrr un electrón en l poscón r en el entorno dr que est en un orbtl
di Donde: dt u: Tensión que aparece en bornes de la bobina [V] L: Autoinductancia ó inductancia [H] (Henrio)
![di Donde: dt u: Tensión que aparece en bornes de la bobina [V] L: Autoinductancia ó inductancia [H] (Henrio)](/thumbs/53/31436704.jpg "di Donde: dt u: Tensión que aparece en bornes de la bobina [V] L: Autoinductancia ó inductancia [H] (Henrio)")
UTOS AOPADOS UTOS AOPADOS 5. Atondctnc S tommos n bobn de esprs, y por l msm hcemos crclr n corrente, vrble en el tempo, tl cl se mestr en l fgr 5., en bornes de l msm, prece n tensón, cyo vlor depende
SOLUCIONARIO. UNIDAD 6: Números complejos. . Puede verse en el dibujo. soluciones. Por tanto, no hay puntos de corte. x y ACTIVIDADES-PÁG.
MatemátcasI UNIDAD : Números complejos ACTIVIDADES-PÁG.. Las solcones de las ecacones dadas son: a) x x + = 0 x y x b) x + x = 0 x x y x 0. El vector resltante de grar 90º el vector v, es el vector,. Pede
i = -1 / i = 1 se pueden calcular las raíces de índice par con cantidad subradical negativa, las que no tienen solución en IR. Ejemplos: d) 81 e) 121
Los números gnros: Clse-15 En hy stucones que no tenen solucón; por ejemplo no exste nngún número cuyo cudrdo se gul -1. Pr dr solucón est stucón recurrremos l conjunto de los números mgnros, donde se
La velocidad del viento es un fenómeno aleatorio, su intensidad es muy variable, de modo que es adecuada tratarla en forma estadística.
8. ESTADÍSTICA DEL VIENTO L velocdd del vento es n fenómeno letoro, s ntensdd es my vrble, de modo qe es decd trtrl en form estdístc. Un cntdd estdístc de mportnc es el promedo o med rtmétc. S tenemos
VECTORES INGENIERO: PERCY ALFREDO AGRAMONTE LIMACHE
FILIL - REQUIP VECTORES INGENIERO: PERCY LFREDO GRMONTE LIMCHE En el tem nteror hímos menondo qe ls mgntdes físs según s ntrle peden ser lsfds omo eslres o etorles MGNITUD ESCLR: Es qell mgntd qe qed en
FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA. José Francisco Gómez González Benjamín González Díaz María de la Peña Fabiani Bendicho Ernesto Pereda de Pablo
FUNDAMENTOS DE NGENEÍA EÉCTCA José Frncsco Gómez González Benjmín González Díz Mrí de l Peñ Fn Bendcho Ernesto Pered de Plo Tem 1: Generlddes y CC en régmen estconro PUNTOS OBJETO DE ESTUDO 3 Generlddes
Matemáticas II. 2º Bachillerato. Capítulo 4: Geometría en el espacio Vectores LibrosMareaVerde.tk
Mtemátcs II. º Bchllerto. Cpítlo : Geometrí en el espco Vectores LrosMreVerde.t.pntesmreerde.org.es Atores: Letc González Pscl y Álro Vldés Menéndez Resor: Mlgros Lts Tods ls mágenes hn sdo creds por los
LONGITUD DE ARCO. Una aproximación es una línea recta desde el punto x=a hasta el punto x=b, como se indica en la figura:
LONGITUD DE ARCO Clculr l longtud de rco o de un curv dd por un funcón f en un ntervlo x, tene muchs plccones en ls cencs. Es necesro que hgmos un reve estudo del cálculo de ells. Un proxmcón es un líne
Calcular el equivalente Thevenin y Norton entre los puntos a y b en el circuito de la figura
Ejemplos de cálculo de crcutos equlentes. Aplccón de los teorems de Theenn y Norton Clculr el equlente Theenn y Norton entre los puntos y en el crcuto de l fgur Ω 4Ω 3 6Ω L Ω 5Ω V L Pr clculr el equlente
Teoría y ejercicios de Matemáticas II. Geometría
Teorí eeros de Mtemáts II. Geometrí Vetores 4. VECTORES En rsos nterores hemos sto l ent qe tene pr el estdo de l geometrí nlít del plno el onomento del állo etorl En este tem nos ntrodmos en el állo de
ALGEBRA VECTORIAL. cúbico Caudal de volumen Metro cúbico por segundo. m 3 /s CAP Magnitudes físicas. Pág. 1
FISI I P 1 LGER VETORIL 11 Mgntudes físcs Ls mgntudes físcs, son ls propeddes que le crctern los cuerpos o los fenómenos nturles que se pueden medr, E: L longtud, l ms, l velocdd, l tempertur, etc Mentrs
OPENCOURSEWARE REDES DE NEURONAS ARTIFICIALES Inés M. Galván José M. Valls. Preguntas y Ejercicios para Evaluación: Tema 3
OPENCOURSEWARE REDES DE NEURONAS ARTIFICIALES Inés M. Glván José M. Vlls Pregnts Eerccos pr Evlcón: Tem. Señle ls rmcones corrects: El Perceptron mltcp con ncones de ctvcón lnel en tods ss nerons pede
55 EJERCICIOS DE VECTORES
55 EJERCICIOS DE VECTORES 1. ) Representr en el mismo plno los vectores: = (3,1) b = ( 1,5) c = (, 4) d = ( 3, 1) i = (1,0) j = (0,1) e = (3,0) f = (0, 5) b) Escribir ls coordends de los vectores fijos
INTRODUCCIÓN A LA MODELACIÓN MATEMÁTICA EN INGENIERÍA DE SUELOS: MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS
INTRODUIÓN A LA MODELAIÓN MATEMÁTIA EN INGENIERÍA DE SUELOS: MÉTODO DE LAS DIFERENIAS FINITAS Mrcelo Prdo Resmen El so de progrms bsdos en errments mtemátcs comples es cd ez más común sn embrgo son pocos
TEORÍA DE RENTAS DISCRETAS 1 Rentas Constantes (teoría)
TEORÍA DE RENTAS DISCRETAS 1 Rents Constntes (teorí) Profesor: Jun Antono González Díz Deprtmento Métodos Cuntttvos Unversdd Pblo de Olvde www.clsesunverstrs.com Concepto y clsfccón En generl, un rent
1: El producto escalar de un vector consigo mismo coincide con el cuadrado de su módulo
UNIDAD : Geometrí eclíde. Prodcto esclr. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES LIBRES Definición: Se llm prodcto esclr de los ectores y y se not por l nº rel qe se obtiene de l sigiente form: = es decir el
Te c n o l o g í a d e l o s S e r v i c i o s A u x i l i a r e s - A p u n t e s d e C l a s e - 1
ENTALPA NORMAL DE FORMACÓN : f L entlpí norml de formcón de un compuesto es el clor que se extre durnte su reccón de formcón sempre que se mnteng constnte l presón durnte todo el proceso y ls temperturs
Programación y Métodos Numéricos: Integración Numérica- Fórmulas de de tipo interpolatorio
Progrmcón y Métodos Numércos: Integrcón Numérc- Fórmuls de de tpo nterpoltoro Prof. Crlos Conde LázroL Prof. Arturo Hdlgo LópezL Prof. Alfredo LópezL Mrzo, 27 Deprtmento de Mtemátc Aplcd y Métodos Informátcos
8. 3 2a = 0 a = 3 / 2 3b 4 = 0 b = 4 / 3. Página a) (2, 4) b) (4, 1) c) ( 3, 4) d) (5, 0)
TEMA. NÚMEROS COMPLEJOS SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 9 55 Págn 9. S x es un número dferente de 0, x > 0. S x 0, x 0. Por lo tnto, no exste nngún número rel cuyo cudrdo se.. Debe ser menor que 0.
Examen de Física-1, 1 Ingeniería Química Enero de 2011 Cuestiones (Un punto por cuestión).
Exmen de Físc-1, 1 Ingenerí Químc Enero de 211 Cuestones (Un punto por cuestón). Cuestón 1: Supong que conocemos l poscón ncl x y l velocdd ncl v de un oscldor rmónco cuy frecuenc ngulr es tmén conocd;
el blog de mate de aida: MATE I. Cónicas pág. 1
el blog de mte de id: MATE I. Cónics pág. 1 SECCIONES CÓNICAS Un superficie cónic se obtiene l girr un rect g (llmd genertriz), lrededor de otr rect e, llmd eje de giro, l que cort en un punto V (vértice).
MALLAS EN CIRCUTOS CC
LECCIÓN Nº 03 MALLAS EN CICUTOS CC 1. EDES ELECTICAS Cundo los elementos áscos de un crcuto se conectn pr formr un crcuto, l nterconexón resultnte se descre en térmnos de nodos, cmnos, rms, lzos y mlls.
10 1 deca da 10 2 hecto h 10 3 kilo k 10 6 Mega M 10 9 Giga G Tera T Peta P Exa E Zetta Z Yotta Y
Un mgntud es culquer cos que puede ser medd medr no es más que comprr un mgntud con otr de l msm espece que se tom como referenc. Ls mgntudes se epresn con un número uns unddes. En lguns ocsones el número
José Francisco Gómez González Benjamín González Díaz María de la Peña Fabiani Bendicho Ernesto Pereda de Pablo
José Frncsco Gómez González Benjmín González Díz Mrí de l Peñ Fn Bendcho Ernesto Pered de Plo PUNTOS OBJETO DE ESTUDO Generlddes Análss de crcutos por el método mtrcl. Teorems de crcutos: Superposcón
Portal Fuenterrebollo XXXVI OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA, PALMA DE MALLORCA (2000)
Portl Fuenterrebollo XXXVI OLIMPIADA MATEMÁTIA ESPAÑOLA, PALMA DE MALLORA (000) Problem. Sen los polinomios: P(x) = x 4 + x + bx + cx + ; Q(x) = x 4 + cx + bx + x +. Hll ls condiciones que deben cumplir
En este capítulo se describe el problema de máxima cobertura sin capacidad (MCLP) y con
CAPITULO 3 Descrcón del roblem En este cítulo se descrbe el roblem de mám cobertur sn ccdd (MCLP) con ccdd (CMCLP). Posterormente se resentn los modelos de rogrmcón mtemátc r mbos. 3.1 Descrcón del MCLP
Los vectores y sus operaciones
lasmatematcase Pedro Castro rtega Los ectores y ss operacones Un ector qeda determnado por dos pntos, el orgen, y el extremo Un ector qeda completamente defndo a traés de tres elementos: módlo, dreccón
EJERCICIOS REPASO II
EJERCICIOS REPASO II Profesor: Jun Antono González Díz Deprtmento Métodos Cuntttvos Unversdd Pblo de Olvde EJERCICIO 4: El S. Sous h percbdo un herenc vlord en 90.000. L entdd que geston el cobro de l
C Capacitores e inductores. Circuitos de Primer Orden
C Cpctores e nductores. Crcutos de Prmer Orden C El crcuto que se muestr en l fgur c h llegdo ls condcones de estdo estle ( l corrente en el cpctor es cero ) con el nterruptor en l poscón. S el nterruptor
Los vectores y sus operaciones
lasmatematcase Pedro Castro rtega Los ectores ss operacones Matemátcas I 1º achllerato Un ector qeda determnado por dos pntos, el orgen, el extremo Un ector qeda completamente defndo a traés de tres elementos:
El Tensor de Deformación
Comportamento Mecánco de Sóldos Capítlo IV Tensor de deformacón 4.. Introdccón El Tensor de Deformacón Además de descrbr los esferzos de n cerpo, la mecánca de los sóldos contnos aborda tambén la descrpcón
PRODUCTO ESCALAR. r r r
PRODUCTO ESCALAR Defncón de pdct escl de ectes. Se denmn pdct escl de ds ectes (, ) y (, ), l núme: cs α y l epesentms p En el pdct escl se mltplcn ds ectes, pe el esltd es n núme (escl). S ls ectes petenecen
Circuitos Eléctricos.
Tem Crcutos Eléctrcos/ Nots Crcutos Eléctrcos. Mgntudes Fundmentles. Defncones. Elementos de un crcuto. soccón de resstencs. Crcutos lneles. Leyes de Krchoff. KCL, KL nálss de mlls. Teorem de superposcón.
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL INSTITUTO DE CIENCIAS FÍSICAS I TÉRMINO FÍSICA C Tercera evaluación SOLUCIÓN
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL INSTITUTO DE CIENCIAS FÍSICAS I TÉRMINO 0-03 FÍSICA C Tercer evlucón SOLUCIÓN Pregunt (5 puntos) Un eser conductor con rdo nteror de 7 cm y rdo exteror de 8 cm
Universidad Técnica Federico Santa María
Unversdd Técnc Federco Snt Mrí Unversdd Técnc Federco Snt Mrí Deprtmento de Informátc ILI-8 Cpítulo 5: Vrles Aletors Dstrucones Estdístc Computconl I Semestre 6 Profesor : Héctor Allende Profesor : Crlos
Sistemas de ecuaciones lineales
Tem : Sstems de ecucones lneles A Condconmento del prolem. Cá álculo umérco Tem : Resolucón de sstems lneles B Métodos terdos: Jco, Guss-Sedel Reljcón C Métodos drectos: Fctorzcón LU Fctorzcón QR D Sstems
EJERCICIOS NÚMEROS COMPLEJOS. 3+4i 20º
EJERCICIOS NÚMEROS COMPLEJOS Represent gráfcmente pr: --- -- - -- - - / - Hll ls rones trgonométrcs del ángulo AOB sendo que A es el fjo del complejo ε B el fjo del complejo σ O ˆ â B - ε ; ˆ rg sen ˆ
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1 Epresoes Algebrcs es l uó de úmeros y vrbles medte opercoes de sum, rest, multplccó, dvsó, poteccó y rdccó. Epresó lgebrc rcol: se llm sí quells e ls que ls vrbles está fectds
Los vectores y sus operaciones
lasmatematcas.e edro Castro rtega Los ectores ss operacones Un ector qeda determnado por dos pntos, el orgen, el etremo. Un ector qeda completamente defndo a traés de tres elementos: módlo, dreccón sentdo.
Tema 10: Variables aleatorias
Análss de Dtos I Esquem del Tem Tem : Vrbles letors. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS FUNCIÓN DE PROBABILIDAD, f(x ) FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN, F(x ) CARACTERÍSTICAS DE LAS VARIABLES DISCRETAS UNA VARIABLE:
dx x 2 dx 22. x2 +x-2 dx cos 2 x+cosx senx
Integrles Clculr l integrl: +e + -+ + sen(+) 6-7 - 8 9 - + ln - 9- + (-)cos 6 ln 7 e 8 sen 9 e - + + + +- +- -6 - ++ () Describir el método de integrción por cmbio de vrible () Usndo el cmbio de vrible
DERIVADAS. I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas - GBG
DERIVADAS DERIVADAS TASA DE VARIACIÓN MEDIA Llmmos ts de vrición medi de l fnción f entre y b con < b, y lo representmos por TVM[, b], l cociente entre l vrición de f () y l de en el intervlo [, b]. f
MODELIZACIÓN SECUENCIACIÓN TAREAS
DS-70-ngement Scence ODELIZACIÓN SECUENCIACIÓN TAREAS B. Adenso Díz Unversdd de Ovedo DS-70-ngement Scence Dsyuncones entre restrccones Supongmos que tenemos dos restrccones y queremos que se ctve solo
Universidad Técnica Federico Santa María
Unversdd Técnc Federco Snt Mrí Vrles Aletors Cpítulo 5: Vrles Aletors Dstrucones stdístc Computconl II Semestre Profesor : Héctor Allende Págn : www.nc.nf.utfsm.cl/~hllende e-ml : hllende @nf.utfsm.cl
(4 3 i)(4 3 i)
E.T.S.I. Industrales y Telecomuncacón Curso 00-0 Grados E.T.S.I. Industrales y Telecomuncacón Asgnatura: Cálculo I Ejerccos resueltos Calcular el valor de a y b para que b a 4 sea real y de módulo undad
1.- El producto escalar de un vector consigo mismo coincide con el cuadrado de su módulo
UNIDAD.- Geometrí eclíde. Prodcto esclr (tem 6 del libro). PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES LIBRES Definición: Se llm prodcto esclr de los ectores se not por sigiente form: del ánglo qe formn dichos ectores.
TEMA 2. Métodos iterativos de resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
TEMA : Métodos tertvos de resolucón TEMA. Métodos tertvos de resolucón de Sstems de Ecucones Lneles. Métodos tertvos: ntroduccón Aplcr un método tertvo pr l resolucón de un sstem S A b, consste en trnsformrlo
TEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA
Tem 8 Geometrí Anlític Mtemátics º ESO TEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA RELACIÓN ENTRE PUNTOS DEL PLANO EJERCICIO : Hll el punto medio del segmento de extremos P, y Q,. Ls coordends del punto medio, M, son l
GUÍA DE MATEMÁTICAS V. Ciclo escolar B determina:
Elbor: Preprtori Págin 1 de 14 Ciclo escolr 014-015 Docente: Fernndo Vivr Mrtínez I) Producto Crtesino, Relciones y Funciones B determin: 1) Ddos los conjuntos A 0,1,,3 y 4,5,6,7 ) El Producto Crtesino
SELECTIVIDAD ANDALUCÍA. a) Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes y calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.
SELECTIVIDAD. Est es un selección de cuestiones propuests en ls otrs comuniddes utónoms en l convoctori de Junio del.. En quells comuniddes en ls que no se indic nd, el formto de emen es similr l que se
Fundamentos Físicos de la Ingeniería Tercer Examen Parcial / 5 de junio de Figura 1
Fundmentos Físcos de l ngenerí Tercer Exmen Prcl / 5 de juno de 4. Dsponemos de un esfer conductor, Q Q mc, de rdo, que posee un crg eléctrc Q net Q, de otr esfer conductor, huec, de rdos nteror exteror,
INDICE. Operaciones básicas. Matrices. Matriz cuadrada. Traza de una matriz. Suma y resta de matrices. Producto de matrices.
Fculltd de Cencs Agrrs - MATERIIALL PPREPPARADO PPOR LL cc Mss Scc Abbbb tttt Noorr IInngg Aggrr.. Mss Scc.. Boocc Teerreess IInngg Zoooott.. FFeerrnnáánnddeezz Edduurrddoo IInngg.. Aggrr.. Mss Scc.. PPeerreerr
PROBLEMAS RESUELTOS CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA CAPITULO 28 FISICA TOMO 2. Tercera y quinta edición. Raymond A. Serway
PROBLEMAS RESUELTOS CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA CAPITULO 8 FISICA TOMO Tercer y qunt edcón Rymond A. Serwy CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA 8. Fuerz electromotrz 8. Resstores en sere y en prlelo 8.3
Tema 0: Introducción al Cálculo Vectorial
I.E. Jn Rmón Jméne Tem 0: Intodccón l Cálclo Vectol 1.- Mgntdes escles ectoles.- Vecto. Opecones con Vectoes 3.- Podcto escl 4.- Podcto ectol 5.- Decón Vectol 6.- Integcón Vectol 7.- Momento de n Vecto
Aprendizaje en redes neuronales. Inteligencia Artificial Josué Jesús Pedroza Almaguer Profr. Alfonso Garcés Báez BUAP-FCC, Verano 2003
Aprendze en redes neuronles. Intelgenc Artfcl Josué Jesús Pedroz Almguer Profr. Alfonso Grcés Báez BUAP-FCC, Verno 2003 Introduccón Como funcon el cerebro Ls neurons Axones Snpss Potencl de ccón, exctdores,
PRÉSTAMOS HIPOTECARIOS J 12 = 4,5 % (NOMINAL) T.A.E. 4,6386 %
Escuel Técnc Superor de Informátc Convoctor de Juno - Prmer Semn Mterl Auxlr: Clculdor fnncer GESTIÓN FINANCIERA 5 de Myo de 7-8,3 hors Durcón: hors. Ley de descuento compuesto: expresón mtemátc, vlor
Práctica 2: Codificación Aritmética.
TRANMÓN DE DATO 006/07 Práctc : Codfccón Artmétc. Apelldos, nombre Apelldos, nombre Grupo Puesto Fech 0 Octubre/ Novembre 006 El objetvo de est práctc es ntroducr l lumno en los fundmentos de ls codfccón
Si el rédito anual de valoración, constante a lo largo de toda la operación, es del 9%, determínese:
EJERIIOS DE OPERAIONES DE AMORTIZAIÓN Eercco Se concede un réstmo ersonl de 8.000 euros mortzble en 0 ños mednte térmnos mortztvos semestrles, donde ls cuots de mortzcón son déntcs en todos y cd uno de
e i para construir el modelo econométrico que se escribe a continuación:
5.3 Especfcacón del modelo empírco Para este análss se formló n modelo econométrco de seccón crzada, porqe las observacones corresponden a las característcas de las personas encestadas en n msmo período
Programa de Doctorado en Ingeniería Aeronáutica Capítulo III Tensor deformación. El Tensor de Deformación A A'
Programa de Doctorado en Ingenería Aeronátca Capítlo III Tensor deformacón Comportamento Mecánco de Materales - Dr. Alberto Monsalve González - El Tensor de Deformacón Introdccón Además de descrbr los
a (3, 1, 1), b(1, 7, 2), c (2, 1, 4) = 18,5 u 3
8 Clcul el volumen del prlelepípedo determindo por u(,, ), v (,, ) y w = u v. Justific por qué el resultdo es u v. w = u Ò v = (,, ) (,, ) = (, 6, 5) [u, v, w] = 6 5 u v = 9 + 6 + 5 = 7 = 7 Volumen = 7
, , ia Prestación real del acreedor Contraprestación real para el acreedor 0, ,6701
Determnr los tntos efectvos e un préstmo smple e 0.000 euros, mortzr los ños con un tpo e nterés nul el %, s en l opercón ncen ls sguentes crcterístcs comercles: Gstos crgo el euor en el orgen y l fnl
MICROTÚBULOS, FUNCIONES CEREBRALES Y LA MECÁNICA CUÁNTICA
MICROTÚBULOS, FUNCIONES CEREBRALES Y LA MECÁNICA CUÁNTICA Dr. José A. Peñlbert Unversdd de Puerto Rco en Croln Deprtmento de Cencs Nturles Introduccón Hn surgdo un sere de teorís sobre el funconnmento
Las medias como promedios ponderados
Misceláne Mtemátic 8 (009) 1 6 SMM Ls medis como promedios ponderdos Alfinio Flores Peñfiel University of Delwre lfinio@mth.udel.edu Resumen Tres de ls medis que se usn frecuentemente en mtemátics (medi
Tema 5. Trigonometría y geometría del plano
1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene
La Integral Definida II
L Integrl Definid II Hst hor h sido útil pensr en un integrl definid como el áre entre l gráfic de l función f(x) y el eje x. Usré es interpretción pr mostrrte un propiedd de mner intuitiv. El vlor del
MICROSOFT EXCEL EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE ÁLGEBRA LINEAL
Revst Pedgogí Unverstr Vol. 8 o. MICROSOFT EXCEL E LA SOLUCIÓ DE PROBLEMAS DE ÁLGEBRA LIEAL Lc. Mrels Rsú López Proesor Asstente Dpto Mtemátcs Comptcón ISMM mrs@smm.ed.c RESUME El objetvo del presente
RAÍCES COMPLEJAS DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS: INTERPRETACIÓN GRÁFICA
RAÍCES COMPLEJAS DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS: INTERPRETACIÓN GRÁFICA Hydeé Blnco Insttuto Superor del Profesordo "Dr. Joquín V. González" Buenos Ares (Argentn) RESUMEN En este rtículo se present un form
2º DE BACHILLERATO MATRICES Y DETERMINANTES Soluciones -1- DETERMINANTES MATRIZ INVERSA. Anulamos. pivotando
º DE HLLERTO MTRES Y DETERMNNTES Soluones -- DETERMNNTES MTRZ NVERS. lulr el vlor del determnnte. Hllr, en funón de, el vlor del determnnte: en Sndo on votndo nulmos en Sndo ( ( en Sndo ( ( (. Enontrr
Signo 2. Signo 1. 9x 6x 8 = 0, se arregla la ecuación así: 3x 1=±
CAPÍTULO X ECUACIÓN DE º GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA 9.. ECUACIÓN DE º GRADO Un ecución de segundo grdo con un incógnit es tod quell que puede ser puest en l form x + bx + c = 0 siendo, b y c coeficientes
6 Heteroscedasticidad
6 Heteroscedastcdad Defncón casas de heteroscedastcdad Defncón: la varanza de la pertrbacón no es constante. Casas: a natraleza de la relacón entre las varables Ejemplo : relacón gasto-renta; Hogares con
MATEMÁTICA 4º. Prof. Sandra Corti
L rdccón de se negtv e índce pr no tene solucón en el conjunto de los números reles ( 4; 25, 16, etc.), y que no exste nngún número rel que elevdo un potenc pr dé por resultdo un número negtvo. Se defne
X X 1. MECÁNICA GENERAL 1.4. FUNDAMENTOS DE ANÁLISIS TENSORIAL. 1.4.1. Introducción
Fndmentos y eoís Físcs ES Aqtect. MECÁNCA GENERAL.4. FUNDAMENOS DE ANÁLSS ENSORAL.4.. ntodccón L myoí de ls mgntdes físcs y elcones mtemátcs ente ls msms qedn pefectmente defnds tbjndo con escles y ectoes.
En este tema supondremos al lector familiarizado con las técnicas más elementales de formas bilineales y cuadráticas sobre un espacio vectorial.
Cpítulo 4 El espcio euclídeo 4.1 Introducción En este tem supondremos l lector fmilirizdo con ls técnics más elementles de forms bilineles y cudrátics sobre un espcio vectoril. Definición 4.1.1. Un espcio
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA
VECTORES EJERCICIOS DE GEOMETRÍA 1. Hllr un vector unitrio u r r r r de l mism dirección que el vector v = 8i 6j.Clculr otro vector ortogonl v r y de módulo 5.. Normliz los vectores: u r = ( 1, v r = (-4,3
Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio.
Grdo en Biologí Tem Integrción Sección.: Aproximción numéric de integrles definids. Hy funciones de ls que no se puede hllr un primitiv en términos de funciones elementles. Esto sucede, por ejemplo, con
UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO
UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO MODELO Curso / MATERIA MATEMATICAS II INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN El lumno
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
8 Pág. Págin 88 PRACTICA Vectores y puntos Ddos los puntos A 0 B0 C y D hll ls coordends de los vectores AB BC CD DA AC y BD. AB = 0 0 = DA = 0 = BC = 0 = AC = 0 = 7 CD = = 6 BD = 0 = 8 Ls coordends del
I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES.
I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel TEM I. Mtrices.. Operciones con mtrices. Determinnte de un mtriz cudrd.. Mtriz invers de un mtriz cudrd. MTRICES. DETERMINNTES.. MTRICES. Llmmos mtriz de números reles,
Geometría convexa y politopos, día 1
Geometría convexa y poltopos, día 1 Alexey Beshenov (cadadr@gmal.com) 8 de agosto de 2016 Los objetos geométrcos que nos nteresan en esta hstora son subconjuntos de R n. Voy a denotar los puntos de R n
FUNCIONES ELEMENTALES
FUNCIONES ELEMENTALES.- FUNCIONES POLINÓMICAS.- Funciones Lineles Son funciones cu le es un polinomio de primer grdo, es decir, f() m + n Sus gráfics son rects pr representrls bst con obtener dos puntos
DEFINICIÓN: Un vector es un segmento orientado. Todo vector posee un punto origen y un punto extremo. Si por ejemplo su origen es el punto a
VECTORES EN EL ESPACIO En Fís mhs sn ls nepts, tles m ferzs, elddes, desplzments, qe n peden ser determnds pr n ún númer rel qe es neesr ner s dreón sentd. Ests mgntdes, llmds mgntdes etrles, sn representds
Práctica 12 - Programación en C++ Pág. 1. Practica Nº 12. Prof. Dr. Paul Bustamante. Informática II Fundamentos de Programación - Tecnun
Práctca 1 - Programacón en C++ Pág. 1 Práctcas de C++ Practca Nº 1 Informátca II Fundamentos de Programacón Prof. Dr. Paul Bustamante Práctca 1 - Programacón en C++ Pág. 1 INDICE ÍNDICE... 1 1.1 Ejercco
LA RECTA DEL PLANO P O L I T E C N I C O 1 ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS
L Rect del Plno Mtemátic 4º Año Cód. 44-5 P r o f. M r í d e l L u j á n M r t í n e z P r o f. J u n C r l o s B u e P r o f. M i r t R o s i t o P r o f. V e r ó n i c F i l o t t i Dpto. de Mtemátic
y ) = 0; que resulta ser la
º BT Mt I CNS CÓNICAS Lugr geométrico.- Es el conjunto de los puntos que verificn un determind propiedd p. Considermos un determindo sistem de referenci crtesino del plno. Diremos que l ecución f(x,)=0
FUNCIONES DE REDES: FUNCION TRANSFERENCIA
átedr de eorí de rctos Ante de Fncón rnsferenc FUNIONES DE EDES: FUNION ANSFEENIA ndo se lc n red, n únc fente sólo nteres ls vrbles en n rm no los vlores en tods ells, es convenente hcer so de l fncón
2. EL TENSOR DE TENSIONES. Supongamos un cuerpo sometido a fuerzas externas en equilibrio y un punto P en su interior.
. EL TENSOR DE TENSIONES Como se explcó prevamente, el estado tensonal en un punto nteror de un cuerpo queda defndo por 9 componentes, correspondentes a componentes por cada una de las tensones nternas
Coordinación de Matemática II (MAT022)
Coordncón de Mtemátc II (MAT) Prmer semestre de 3 Semn : Lunes 3 de Juno Vernes 7 de Juno CÁLCULO Contendos Clse : Longtud de rco en tods ls coordends. Clse : Volúmenes or seccones trnsversles conocds.
ELIPSE. Las componentes principales de la elipse se pueden obtener de la figura anterior, las cuales son: Focos: Vértices: Pág. 1
ELIPSE. Es el conjunto de todos los puntos con l propiedd de que l sum de ls distncis de los puntos del conjunto dos puntos fijos ddos es un constnte, myor que l distnci entre los dos puntos. L elipse