Índice General. Unidad 1 Modelación matemática Optimización (una variable) Ángulo visual Área Campo magnético 7

Transcripción

1 Méico

2 Ídice Geeral Uidad Modelació maemáica. Opimizació a variable.. Áglo visal.. Área..3 Campo magéico 7..4 Calor 7..5 Carga 7..6 Coso 8..7 Disacia 9..8 Dosis de medicameos 3..9 Eergía 4.. Ferza 7.. Ilmiacia 7.. Masa 8..3 Porceaje de població 9..4 Poecia 9..5 Presió sagíea..6 Rapidez de foosíesis..7 Rapidez de reacció qímica..8 Resisecia al fljo de la sagre..9 Resisecia de vigas 4.. Rozamieo 4.. Tiempo 5.. Velocidad del aire de la ráqea al oser 6..3 Volme 6

3 . Gráficas v a 9.3 Eremos de fcioes de varias variables 3.3. Coso 3.3. Dosis de medicameos Temperara Volme 3.4 Míimos cadrados 3.5 Mliplicadores de agrage Disacia ocalizació de radioelescopio Presió parcial Temperara Volme 34.6 Aplicacioes de la iegral Cero de masa Ferza Masa Trabajo 38 Uidad Aplicacioes maemáicas a problemas de ierés geeral e igeiería 4. Crecimieo de poblacioes 4.. Crecimieo epoecial 4.. Modificacioes del modelo epoecial 4..3 Ecació logísica Modificacioes del modelo logísico 5

4 . Circios RC 53.. Circios RC de a malla 53.. Marcapasos cardiaco 56.3 Circios R Circios R de a malla Circios R de dos mallas 6.4 Circios RC 6.5 Decaimieo radiacivo 63.6 ey del efriamieo de Newo 69.7 Mecáica 73.8 Mezclas 85.9 Resores 9. Oras aplicacioes de las ecacioes difereciales 98.. Cajas regisradoras e spermercados 98.. Cambio de masa y peso corporal Capa límie e oceaografía 8..4 Coamiació de lagos..5 Crecimieo de crisales..6 Crecimieo de iversioes..7 Crecimieo de céllas..8 Crva de apredizaje 3..9 Crvas de persecció 3.. Dosis y elimiació de medicameos y hormoas 4.. Dreado de líqidos 7.. Ecació de ada 9

5 ..3 Edad del iverso 9..4 Evaporació 9..5 Gees heredados..6 Iesidad de la lz a ciera profdidad..7 ey de radiació de Sefa..8 Número de empleados..9 Pérdida de calor.. Presió baromérica.. Propagació de rmor.. Propagació de a ifecció 3..3 Pblicidad e veas 7..4 Reacció qímica 8..5 Qia ieve 8..6 Respesa a esímlos 9 Uidad 3 Aplicacioes maemáicas a procesos específicos de cada igeiería 3. Series de Forier 3. Ecació de oda Ecació de calor Ecació de aplace 4 Bibliografía 43

6 . Opimizació Ua variable.. Áglo visal Uidad Modelació maemáica. El borde iferior de la paalla de cie de meros de alra esá siado a 3 meros por ecima del ojo de observador. A qé disacia de la paalla debería searse el observador para cosegir la visió más favorable? Es decir cál es la disacia a la paalla qe maimiza el áglo visal del observador? Sol. 39 m. Dos corredores arraca del po S de la figra y observador se ecera e P a idad de disacia desde la pisa de carreras; o de los corredores va res veces más rápido qe el oro. Halle el valor máimo del áglo de visió θ del observador de corredor al oro. Figra. Sol. /6 3. E a galería de are a pira iee la alra h y esá colgada de modo qe s borde iferior qeda a a disacia d arriba del ojo del observador como se mesra e la figra. Cá lejos de la pared debe pararse observador para eer la mejor visa? E oras palabras dóde debe siarse el observador a fi de qe se maimice el áglo θ sbedido e s ojo por la pira? Figra.

7 .. Área 4. Ua laa cilídrica cerrada de refresco iee 5 plg 3 de volme deermie el radio de la base la alra así como el área oal laeral y apas si se qiere emplear la míima caidad de maerial e s fabricació. Figra.3 Sol. r.337 plg h.673 plg A T plg 5. Se qiere cosrir recipiee cilídrico meálico de base circlar y de 64 ceímeros cúbicos de volme. Hallar las dimesioes qe debe eer para qe la caidad de meal área oal sea míima e el caso e qe a el recipiee sea abiero y b sea cerrado. Sol. a r h 3 4 cm b r 3 4 / cm h r / cm 6. Hallar la ecació de la reca qe pasado por el po 34 deermia e el primer cadrae co los ejes coordeados riáglo de área míima. Sol y 4 7. Hallar po de la parábola y 4 e el qe la agee deermie e el primer cadrae co los ejes coordeados riáglo de área míima. Sol. 3 / 38 / 3 8. Se iscribe recáglo e la elipse /4 + y /5 co ss lados paralelos a los ejes. Hallar las dimesioes de dicho recáglo para qe a el área sea máima b el perímero sea máimo. Sol. a 5 b 3 8

8 9. Cosiderar a crz simérica iscria e círclo de radio r ver figra. a Escribir el área A de la crz como a fció de y deermiar el valor de qe maimiza el área. b Escribir el área A de la crz como a fció de θ y ecorar el valor de θ qe maimiza el área. c Demosrar qe los pos críicos de los aparados a y b prodce la misma área máima. Cál es esa área? Figra.4 Sol. a b c A 8 r Aθ 4r r r.8565r seθ se + θ ; r r θ arca.75 rad 63.4 r 4r. U carel qe coiee 3 plg de regió impresa iee marge de plg e ss pares sperior e iferior mieras qe e los lados los márgees so de 4/3 plg. Deermie las dimesioes del meor rozo de caró qe peda emplearse para realizar el carel. Sol. 7.3 plg.9 plg. Ua págia ha de coeer 3 ceímeros cadrados de impresos co ceímeros de marge arriba y abajo y 3 ceímeros a los lados. Ecere las dimesioes de la hoja para área míima. Sol. 4 + ; 6 + 5

9 . U coo circlar reco iee volme de ceímeros cúbicos. Qé dimesioes debe eer para qe s área laeral sea míima? Sol cm de radio cm de alra 3. Halle el rapecio isósceles de área máima qe peda iscribirse e a semicircferecia: a de ceímeros de radio b del radio R dado. Sol. a 4 cm de base mayor cm de base meor b R de base mayor R de base meor 3 R de alra 3 cm de alra 4. Halle el rapecio recaglar de área máima qe peda iscribirse e a semicircferecia de ceímeros de radio. Sol cm de base mayor cm de alra 3 cm de base meor 5. Cáles so las dimesioes del recáglo de área más grade qe ega s base sobre el eje de las abscisas y ss oros dos vérices por ecima del eje e la parábola y 8? Sol. 4 y Halle el área del recáglo más grade qe se peda iscribir e riáglo recáglo co caeos cyas logides so de 3 cm y 4 cm respecivamee si dos de los lados del recáglo se ecera a lo largo de los caeos. Sol. 3 cm 7. Used esá diseñado a laa cilídrica circlar reca de cm 3 y debe omar e cea el desperdicio. No hay desperdicio al corar el almiio del lado pero las apas sperior e iferior de radio r será coradas de cadrados qe mide r idades de lado. a caidad oal de almiio sado para la laa será A 8r + rh cál es la razó de h y r?

10 8. Ua págia impresa va a eer márgees de plg e los lados y de plg e las pares sperior e iferior. El área de la porció impresa es de 3 plg. Deermie las dimesioes de la págia de maera qe se ilice la meor caidad de papel. Sol. Base plg alra 6 plg 9. Ecere las dimesioes de la regió sombreada de forma qe s área sea máima. Figra.5 Sol. Base : 4 ; alra : 6. Ecere las dimesioes de la regió sombreada de forma qe s área sea máima. Figra.6 Sol. ado mayor 6 ; lado meor 3 ; alra 3 3 ; 7 3 Area 4.69

11 . Ecere las dimesioes de la regió sombreada de forma qe s área sea máima. Figra.7 Sol. Base : 3 ; alra :. Ecere las dimesioes de la regió sombreada de forma qe s área sea máima. Figra.8 3. Ua veaa ormada cosise de recáglo coroado por semicírclo. Ecere las dimesioes de la veaa co área máima si s perímero es de m. Véase la figra. Figra.9 Sol. r /4+; /4+; h /4+

12 ..3 Campo magéico 4. Dos bobias o idcores qe codce corriees igales prodce campo magéico e po Q del eje de iesidad B µ r r r / + r r + E dode µ r e I so cosaes. Véase la figra. Demesre qe el valor míimo de B ocrre e 3 /..4 Calor Figra. 5. Dos fees de calor esá separadas por a disacia de s meros; a fee de iesidad a esá e el po A y la ora de iesidad b e el po B. a iesidad de calor e po P sobre el segmeo de reca ere A y B viee dada por la fórmla I a b + s Dode es la disacia ere P y A medida e meros. E qé po ere A y B habrá la meor emperara? Sol. a a / 3 / 3 s + b / 3..5 Carga 6. Ua ciera carga Q se va a dividir e dos pares q y Q-q. Cál es la relació de Q a q si las dos pares separadas a ciera disacia dada debe prodcir a máima replsió colombiaa ere sí. Sol. q Q/

13 ..6 Coso 7. Si se eclye los salarios el úmero de dólares del coso por kilomero de la operació de camió es 8 + dode kilómeros por hora es la velocidad 3 promedio del camió. Si los salarios combiados del codcor y del aydae so $7 por hora esime co aproimació de kilómeros por hora cál debe ser la velocidad promedio del camió para qe el coso por kilómero sea míimo. Sol. 9 km/h 8. El úmero de dólares del coso de combsible por hora para barco cargero es de.v 3 dode v dos millas áicas por hora es la velocidad promedio del barco. Si hay cosos adicioales de $4 por hora esime co aproimació de dos a qé velocidad promedio debe avegar el barco para qe el coso por milla áica sea míimo. Sol. 9.4 dos 9. E codicioes de compeecia perfeca a compañía pede veder los aríclos qe prodce a $ por idad. Si C dólares es el coso oal de la prodcció diaria cado se prodce aríclos y C deermie el úmero de idades qe debe prodcirse diariamee a fi de qe la compañía obega la máima gaacia oal diaria. Sgerecia: la gaacia oal es igal al igreso oal meos el coso oal. Sol. 4 idades 3. Ua compañía qe cosrye y vede escriorios opera e codicioes de compeecia perfeca y pede veder odos los escriorios qe prodce a precio de $4 por escriorio. Si se prodce escriorios y se vede cada semaa y C dólares es el coso oal de la prodcció semaal eoces C Deermie cáos escriorios debe prodcirse semaalmee para qe el fabricae obega la máima gaacia oal semaal. Cál es la máima gaacia oal semaal? Sgerecia: la gaacia oal es igal al igreso oal meos el coso oal. Sol. 8 escriorios

14 3. El érmio e codicioes de moopolio sigifica qe eise úico prodcor de ciero aríclo para el cal el precio y e cosececia la demada pede ser corolados reglado la caidad de aríclos prodcidos. Spoga qe e codicioes de moopolio idades de aríclo so demadadas diariamee cado el precio por idad es de p dólares y 4 p. Si el úmero de dólares del coso oal por prodcir idades esá dado por C deermie la máima gaacia oal diaria. Sol. $5 3. Se qiere cosrir silo si iclir la base e forma de cilidro remaado por a semiesfera. El coso de cosrcció por idad cadrada del área sperficial es dos veces mayor para la semiesfera qe para la pared cilídrica. Deermie las dimesioes qe se debe sar si el volme es fijo y el coso de cosrcció debe maeerse al míimo. Desprecie el espesor del silo y los desperdicios e la cosrcció. 33. E a fábrica se elabora dos prodcos A y B. Si C es el coso oal de prodcció de a jorada de 8 horas eoces C 3 + 4y dode es el úmero de máqias ilizadas e la elaboració del prodco A y y es el úmero de máqias empleadas e la elaboració del prodco B y drae a jorada de 8 horas rabaja 5 máqias. a Deermie aalíicamee cáas de esas máqias debe ilizarse para elaborar el prodco A y cáas para elaborar el prodco B de modo qe el coso oal sea míimo. b apoye las respesas del iciso a gráficamee...7 Disacia 34. A parir de la ecació de la rayecoria de proyecil ecere lo sigiee: a h ma b R c θ para qe R sea máimo Figra. Sol. v o a hma se θ; b R g v oseθ ; g c / Hallar la míima disacia del po 4 a la parábola y 8 Sol. idades

15 36. Se raza la agee e po de la elipse /5 + y /6 de forma qe el segmeo de ella iercepado por los ejes coordeados sea míimo. Demosrar qe la logid de ese segmeo es de 9 idades. 37. U paciee qe sfre de fiebre del heo descbre qe la caidad de pole qe le llega de a fee dada es direcamee proporcioal a la iesidad de la fee e iversamee proporcioal a la disacia a esa. Por desgracia se ve obligado a vivir e ciero lgar siado e lgar de a líea reca qe e dos fees de pole separadas milla. Si a fee es caro veces más fere qe la ora dóde debe vivir el hombre para sfrir la meor icomodidad? Geeralice ese reslado al caso e el qe a fee es k veces más fere qe la ora. Sol. /3 milla de disacia a la fee meos coamiae /3 milla a la fee más coamiae; /k+ milla de disacia a la fee meos coamiae k/k+ milla a la fee más coamiae 38. U aomóvil viaja a a asa de 3 pie/s y se aproima a crcero. Cado el aomóvil esá a pie del crcero camió qe viaja a a asa de 4 pie/s e a carreera perpediclar a la carreera del aomóvil pasa por el crcero. Deermie aalíicamee e qé iempo despés de qe el camió deja el crcero los vehíclos esá más cercaos. Figra. Sol..44 s

16 39. Dos avioes A y B vela horizoalmee a la misma alra de modo qe la posició de B esá al sroese de A km al oese y km al sr de A. Spoga qe el avió A vela hacia el oese a 6 km/mi y qe el avió B vela hacia el ore a.3 km/mi. Deermie e cáos segdos los avioes esará lo más cerca posible y cál será la disacia más cora. Figra.3 Sol. / mi; 4 km. 4. Deermie la disacia míima desde el po P a po de la crva y y ecere el po de la crva más cercao a P. Sol. 3 ; ± 4. Obega la disacia míima desde el orige a la reca 3 + y 6 y ecere el po P de la reca más cercao al orige. Despés demesre qe el orige esá e la reca perpediclar a la reca dada qe pasa por P. Sol. 3 5 idades ; Deermie la disacia míima desde el po A/ a po de la parábola y y ecere el po B de la parábola más cercao a A. Despés demesre qe A esá e la reca ormal de la parábola e B. Sol. 5;

17 43. Ua viga de acero de 7 pie de logid se raspora por pasillo de 8 pie de acho hasa corredor perpediclar al pasillo Cál debe ser el acho del coeedor para qe la viga peda doblar la esqia? No cosidere la achra horizoal de la viga. Figra.4 Sol. 5 5 pie 44. Se ecesia bicar po P e alga pare sobre la reca AD de modo qe se miimice la logid oal de los cables qe elaza P co los pos A B y C véase la figra. Eprese como fció de AP y se las gráficas de y d/d para esimar el valor míimo. Figra.5 Sol m 45. Dos peblos esá e el lado sr de río. Se debe bicar a esació de bombeo para abasecer de aga los dos peblos. Ua bería será coecada desde la esació de bombeo a cada peblo a lo largo de a líea qe coece el peblo co la esació de bombeo. Ubiqe la esació de bombeo de maera qe se miimice la caidad de bería qe debe cosrirse.

18 46. Cado se hace orificio e la pared de depósio cilídrico lleo de aga el chorro reslae da e el selo a a disacia de pies de la base e dode y h y. E qé po debe hacerse el orificio e la pared de al modo qe el chorro alcace la máima disacia a la base? Cál es s valor? Figra.6 Sol. y h/; h..8 Dosis de medicameos 47. a reacció del cerpo hmao a a dosis de medicameo e ocasioes pede represearse mediae a ecació de la forma C M R M 3 dode C es a cosae posiiva y M es la caidad de medicameo qe absorbe la sagre. Si la reacció es cambio e la presió sagíea R se mide e milímeros de mercrio. Si la reacció es cambio e la emperara R se mide e grados ecéera. a Deermie dr/dm. Esa derivada como fció de M se deomia sesibilidad del cerpo al medicameo. b Ecere la caidad de medicameo para la qe el cerpo es más sesible; para ello deermie el valor de M qe maimiza la derivada dr/dm. Sol. b M C/ 48. os médicos iliza varias fórmlas empíricas para gradar a dosis ifail D c de fármaco pariclar e érmios de a dosis de adlo D a. a fórmla de Yog esablece qe D c D + a E dode es la edad e años mieras qe la fórmla de Cowlig esablece qe + Dc D a. Para qé edad resla máima la diferecia ere las dos fórmlas? Cál es la diferecia máima? Sol. Sea y la diferecia ere la fórmla de Yog y la de Cowlig. Eoces y má ocrre cado años. Para esa edad y má.4d a.

19 ..9 Eergía 49. Al esdiar el comporamieo de los pájaros drae el velo los oriólogos descbriero qe cieras especies iede a eviar volar grades masas de aga drae las horas de lz. Ua posible eplicació de ese comporamieo se basa e la creecia de qe se cosme más eergía al volar sobre aga qe sobre ierra porqe habialmee el aire se eleva sobre la ierra y desciede hacia el aga drae el día. Spogamos qe pájaro qe iee ese comporamieo se libera e a isla qe esá a 6 km del po más cercao A sobre a cosa reca. El pájaro vela primero a po B sobre la cosa y lego a s ido siado e po C ambié sobre la cosa siado a km de A ver figra. Figra.7 Sea W la eergía ecesaria para volar sobre el aga y sea la ecesaria para volar sobre ierra spoer qe W y se mide e idades de eergía por km. Demosrar qe la eergía oal E cosmida por el pájaro e el velo de la isla a s ido viee dada por E W Dode es la disacia de A a B. Spogamos qe W.5; eso es qe se cosme 5% más de eergía al volar sobre el aga qe sobre la ierra. a Hallar el po B al cal el pájaro debe volar para miimizar el cosmo oal de eergía. b Uilizar programa para represear la gráfica de E y hallar el valor míimo para cofirmar el reslado del aparado a. Geeralizado spogamos qe W k k >. c Hallar el po B e fció de k al cal el pájaro debería volar para miimizar la eergía oal. d Uilizar programa gráfico para eperimear co diferees valores de k a fi de hallar cómo varía el po B cado k crece o decrece. e Hallar el o los valores de k para qe el pájaro miimice el cosmo oal de eergía cado vela direcamee a s ido. f Eise algú valor de k al qe el pájaro miimice la eergía oal cosmida al volar direcamee al po A y lego al po C a lo largo de la cosa?

20 5. Para pez qe ada a a velocidad v co relació al aga el cosmo de eergía por idad de iempo es proporcioal a v 3. Se cree qe el pez migraorio raa de miimizar la eergía oal reqerida para adar a disacia fija. Si ada cora a corriee v el iempo reqerido para adar a disacia es /v y la eergía oal E ecesaria para adar la disacia se epresa mediae Ev av 3 v dode a es la cosae de proporcioalidad. a Deermie el valor de v qe miimice E. b Dibje la gráfica de E. Noa: ese reslado se ha comprobado de maera eperimeal; el pez migraorio ada cora corriee a a velocidad 5% mayor qe la velocidad de esa corriee. 3 Sol. a v b Figra.8

21 5. os oriólogos ha deermiado qe algas especies de pájaros iede a eviar velos sobre grades masas de aga drae las horas diras. Se cree qe se reqiere más eergía para volar sobre el aga qe sobre la ierra porqe e geeral el aire se eleva sobre la ierra y cae sobre el aga drae el día. Se libera pájaro co esas edecias desde a isla qe esá a 5 km del po más cercao B de a reca vela hasa po C de la cosa y lego a lo largo de ésa hasa la zoa D e qe se ecera s ido. Spoga qe el pájaro bsca de maera isiiva a rayecoria qe miimice s cosmo de eergía. os pos B y D esá separados 3 km. a E geeral si cosme.4 veces más eergía para volar sobre el aga qe sobre la ierra hasa cál po C debe volar el pájaro para miimizar el cosmo oal de eergía de regreso a la zoa dode esá s ido? b Deoemos co W y la eergía e joles por kilomero volado sobre el aga y sobre la ierra respecivamee. Qé sigificaría valor grade de la razó W/ e érmios del velo del pájaro? Qé sigificado edría valor peqeño? Deermie la razó W/ correspodiee al cosmo míimo de eergía. c Cál debe ser el valor de W/ para qe el ave vele direcamee hasa la zoa D dode esá s ido? Cál iee qe ser el valor de W/ para qe vele hasa B y a coiació a lo largo de la cosa hasa D? d Si los oriólogos observa qe los pájaros de cieras especies alcaza la cosa e po a 4 km de B cáas veces más eergía cosme ave para volar sobre el aga qe sobre la ierra? Figra.9 Sol. a Cerca de 5. km desde B b C cercao a B C cercao a D W / 5 + / dode BC c.7 o hay al valor d 4/ 4. 6.

22 5. a eergía poecial ere dos áomos e a molécla diaómica esá dada por U / / 6. Evalúe la eergía poecial míima ere los dos áomos... Ferza Sol. -/8 53. U cerpo de peso W es arrasrado por plao horizoal aplicádole a ferza P cya reca de acció forma áglo θ co el plao. a iesidad de la ferza viee dada por la ecació µw P µseθ + cosθ Dode µ es el coeficiee de rozamieo. Cál es el valor de θ qe miimiza la ferza? Sol. a θ m.. Ilmiacia 54. a ilmiacia E prodcida por a fee de lz de iesidad I a a disacia r de la fee esa dada por E I/r. a ilmiacia oal origiada por dos lámparas de iesidades I.5 e I 6 es la sma de las ilmiacias. Si los focos lmiosos esá separados a disacia de m ecere el po P ere ellos e dode la ilmiacia oal sea míima. Figra. Sol. 5/ m de I.

23 55. a ilmiacia E e calqier po P sobre el borde de a mesa circlar prodcida por a lámpara colocada direcamee arriba de s cero esa dada por E Icosθ / r Véase figra. dado qe el radio de la mesa sea de m e I ecere la alra a la qe debe colocarse la lz para qe E sea máima. Figra. 56. a ilmiació de objeo por a fee lmiosa es direcamee proporcioal a la iesidad de la fee e iversamee proporcioal al cadrado de la disacia a esa fee. Si se coloca dos fees lmiosas a res veces más fere qe la ora separadas a disacia de pies dóde debe colocarse objeo sobre la reca ere las dos fees de modo qe reciba la ilmiació míima? Sol f de la fee más cercaa.. Masa 57. os grades hesos de los mamíferos se pede represear como bos cilídricos hecos lleos de médla de radio eerior R y radio ierior r. os hesos debe ser ligeros pero a la vez capaces de resisir cieros momeos de fleió. Se pede demosrar qe para resisir momeo fleioae M la masa m por idad de logid del heso y la médla esá dada por M m ρ K / 3 4 E dode ρ es la desidad del heso y K a cosae posiiva. Si r/r demesre qe m es míima cado r.63r aproimadamee.

24 ..3 Porceaje de població 58. E a comidad pariclar ciera epidemia se propaga de modo qe meses despés del iicio de la epidemia P porceaje de la població esa ifecada dode 3 P + E cáos meses se ifecará el úmero máimo de persoas de la comidad y qé porceaje de la població será ése? Sol. mes; 7.5%..4 Poecia 59. a fórmla para la salida de poecia P de a baería es P VI RI dode V es la ferza elecromoriz e vols. R es la resisecia e I es la corriee. Deermiar la corriee medida e amperes qe correspode a valor máimo de P e a baería para la cal V vols y R.5 ohms. Spoer qe fsible de 5 amperes elaza la salida e el iervalo I 5. Podría amearse la salida de poecia ssiyedo el fsible de 5 amperes por o de amperes? Eplicar. Sol. Máimo: P 7 No P es creciee para I. 6. U geerador de corriee direca iee a ferza elecromoriz de E vols y a resisecia iera de r ohms dode E y r so cosaes. Si R ohms es la resisecia eera eoces la resisecia oal es r + R ohms y si P was es la poecia eoces P E R r + R Demesre qe el cosmo máimo de poecia ocrre cado la resisecia eera es igal a la resisecia iera. 6. Ua pila elécrica co ferza elecromoriz fem E y resisecia iera cosae r esá coecada e serie co resisor de resisecia R. Eoces la corriee e el circio es I E/r + R. Ecere el valor de R para el cal es máima la poecia P RI disipada e la carga e la carga eera. Dicho valor se llama impedacia de acoplamieo.

25 ..5 Presió sagíea 6. Cosidere qe la dismició de la presió sagíea de a persoa depede de la caidad de ciera ssacia admiisrada a la persoa. De modo qe si se admiisra miligramos de la ssacia la dismició de la presió sagíea es a fció de. Spoga qe f defie esa fció y qe f k Si [ k] dode k es a cosae posiiva. Deermie el valor de qe ocasioa la mayor dismició de la presió sagíea. Sol. /3k..6 Rapidez de foosíesis 63. a rapidez P e mg de carboo/m 3 /h a la qe iee lgar la foosíesis para cieras especies de fioplaco esá relacioada co la iesidad de ilmiació E e 3 pie-cadelas por la fció P I I + I + 4 Para qé valor de la ilmiació es P máima?..7 Rapidez de reacció qímica Sol. 64. E a reacció aocaalíica el prodco formado es caalizador de la reacció. Si Q o es la caidad de ssacia iicial y la de caalizador formado el rimo de reacció es dq d k qq o Para qé valor de es máimo el rimo de la reacció? Sol. Q o /

26 65. Cado el esaño meálico se maiee por debajo de 3. C se velve qebradizo y se desmoroa e polvo gris. Tarde o emprao los objeos de esaño se deshace espoáeamee e ese polvo gris si se maiee e climas fríos drae años. os eropeos al ver desmoroarse las flaas de esaño de los órgaos de las iglesias llamaba a ese feómeo la pese del esaño porqe parecía coagiosa y de hecho lo era ya qe ese polvo gris es caalizador para s propia formació. U caalizador para a reacció qímica es a ssacia qe corola la rapidez de reacció si eperimear cambio permaee e sí misma. Ua reacció aocaalíica es aqella cyo prodco es caalizador para s propia formació. Tal reacció procede despacio al pricipio si la caidad de caalizador presee es peqeña y despacio de evo al fial cado la mayoría de la ssacia origial se ha ilizado. Pero ere ambas fases cado ao la ssacia como s prodco caalizador so abdaes la reacció procede a rimo más rápido. E algos casos es razoable acepar qe la velocidad v d/d de reacció es proporcioal ao a la caidad de ssacia origial presee como a la caidad del prodco. Eso es v se pede cosiderar como a fció sólo de y v k a ka k Dode la caidad del prodco a la caidad iicial de la ssacia k a cosae posiiva Para qé valores de la velocidad alcaza s valor máimo? Cál es el valor máimo de v? Sol. a v ka 4

27 ..8 Resisecia al fljo de la sagre 66. El sisema vasclar cosa de vasos arerias areriolas capilares y veas qe lleva la sagre desde el corazó hasa los órgaos y de regreso a aqél. Ese sisema iee qe rabajar de maera qe se miimice la eergía cosmida por el corazó al bombear la sagre. E pariclar esa eergía se redce cado se baja la resisecia de la sagre. Ua de las leyes de Poiseille da la resisecia R de la sagre como R C 4 r Dode es la logid del vaso sagíeo r es el radio y C es a cosae posiiva deermiada por la viscosidad de la sagre.poiseille esableció esa ley eperimeal. E la figra se mesra vaso sagíeo pricipal co radio r el cal se ramifica formado áglo θ hacia vaso más peqeño co radio r. Figra. a Apliqe la ley de Poiselle para demosrar qe la resisecia oal de la sagre a lo largo de la rayecoria ABC es a bcoθ bcscθ R C r r Dode a y b so las disacias qe se ve e la figra. b Prebe qe esa resisecia se miimiza cado cos θ 4 4 r r c Ecere el áglo ópimo de ramificació correco hasa el grado más cercao cado el radio del vaso sagíeo meor es dos ercios el radio del mayor.

28 67. a sagre es rasporada a ravés del orgaismo por el sisema vasclar qe cosise de vasos capilares veas areriolas y arerias. U aspeco cosiderado e el problema de miimizar la eergía empleada e implsar la sagre a ravés de los disios órgaos cosise e evalar áglo θ ópimo para la ramificació vasclar de maera qe la resisecia oal al paso de la sagre a lo largo de a rayecoria qe va de vaso sagíeo grade a o más peqeño sea míima. Véase figra. Uilice la ley de Poiseille qe esablece qe la resisecia R de vaso sagíeo de logid y radio r es R k/r 4 e dode k es a cosae para demosrar qe la resisecia oal R k + 4 r y 4 r A lo largo de la rayecoria P P P 3 es míima cado eprese y e érmios de θ y a. 4 4 / r cos θ r. Sgerecia: Figra.3

29 ..9 Resisecia de vigas 68. a secció rasversal de a viga recaglar de madera corada de roco circlar de diámero d iee logid y achra y. Véase la figra. a resisecia de la viga varía e proporció direca al prodco de la logid y al cadrado de la achra. Calcle las dimesioes de la secció rasversal de la viga de mayor resisecia. Figra.4 Sol. ogid de la secció rasversal: 3 d/ 3 ; achra de la secció rasversal: 6 d / 3.. Rozamieo 69. a eficiecia E de ciero orillo viee dada por E aφ µa φ µ + aφ Dode µ es el coeficiee de rozamieo al deslizamieo y φ el áglo qe forma el plao de icliació de la hélice del orillo co plao perpediclar a s eje. Hallar el valor de φ qe cosige la máima eficiecia para µ.. Sol. φ 5

30 .. Tiempo 7. U hombre se ecera e boe a millas del po más cercao a la cosa. Se dirige al po Q localizado a 3 millas por la cosa y a a milla ierra adero ver la figra. El hombre pede remar a millas por hora y camiar a 4 millas por hora. Hacia qé po sobre la cosa debe remar para llegar al po Q e el meor iempo? Figra.5 Sol. A a milla del po más cercao a la cosa. 7. Sea v la velocidad de la lz e el aire y v la velocidad de la lz e el aga. Segú el pricipio de Ferma rayo de lz viaja de po A e el aire a po B e el aga por a rayecoria ACB qe miimiza el iempo para hacer el recorrido. Demesre qe seθ seθ v v dode θ el áglo de icidecia y θ el áglo de refracció so como se mesra e la figra. Esa ecació se cooce como ley de Sell. Figra.6

31 .. Velocidad del aire de la ráqea al oser 7. a Cado osemos la ráqea se corae para icremear la velocidad del aire de salida. Eso plaea las pregas de cáo debe coraerse la ráqea para maimizar la velocidad y si realmee se e corae ao cado osemos. De acerdo co hipóesis razoables acerca de la elasicidad de la pared de la ráqea y respeco de cómo se frea el aire cerca de la pared por la fricció la velocidad promedio del fljo v pede modelarse mediae la ecació v c r r r cm sec r / r r Dode r es el radio de la ráqea e reposo e ceímeros y c es a cosae posiiva cyo valor depede e pare de la logid de la ráqea. Demesre qe v iee s valor máimo cado r /3r eso es cado la ráqea se corae alrededor del 33 por cieo. El hecho oable es qe las radiografías cofirma qe la ráqea se corae alrededor de esa caidad cado el idivido ose. b Tome r como.5 y c como y grafiqe v e el iervalo r.5. Compare ss reslados co el hecho de qe esa alcaza valor máimo cado r /3r. 73. Al oser el radio de la ráqea de a persoa dismiye. Spoga qe el radio ormal de la ráqea es de R ceímeros mieras qe al oser el radio de la misma es de r ceímeros dode R es a cosae y r es a variable. a velocidad del aire a ravés de la ráqea pede epresarse como a fció de r y si R ceímeros por segdo es esa velocidad eoces V r kr R r Dode k es a cosae posiiva y r esá e el iervalo [/R R]. Deermie el radio de la ráqea cado se ose de modo qe la velocidad del aire a ravés de la ráqea sea máima...3 Volme Sol. /3 del radio ormal 74. Hallar el radio R del coo circlar reco de volme máimo qe se pede iscribir e a esfera de radio r. Sol. R r 3

32 75. E coo circlar reco r se iscribe cilidro circlar reco. Hallar el radio R del cilidro para qe a s volme sea máimo b s área laeral sea máima. Sol. a R r b R r El secor de la figra corado co áglo ceral θ e círclo de plgadas de radio se iliza iedo ss lados para formar coo. Hallar qé θ prodce coo de máimo volme. Figra.7 Sol. 3 6 θ Deermie las dimesioes del cilidro de volme máimo qe se pede iscribir e a esfera de radio R dado. Sol. 6 3 R de radio 3 R de alra Halle las dimesioes del coo circlar reco de mayor volme qe se pede iscribir e a esfera de radio R dado. Sol. R de radio 3 4 R de alra Se qiere obeer embdo co la mayor capacidad posible a parir de papel filro de forma circlar de 7.6 cm de radio. Halle el radio de la base del embdo qe cmple co esas codicioes. Sol. 6. m

33 8. Se elabora coo para beber a parir de rozo circlar de papel de radio R al recorar secor y ir los bordes CA y CB. Ecere la capacidad máima del coo. Figra.8 Sol. 3 R V Se le ha pedido qe diseñe a laa co capacidad para liro co forma de cilidro circlar reco. De qé dimesioes debe ser la laa para sar la meor caidad posible de maerial? Sol. r 5.4 cm h.84 cm. 8 Ecere las dimesioes del cilidro circlar reco de mayor volme qe pede iscribirse e coo circlar reco de radio R y alra H. Sol. Radio: R/3; alra: H/3 83. Se va a fabricar caal de forma qe s secció rasversal sea rapecio isósceles co las dimesioes idicadas e la figra. Deermie el valor de θ de maera qe el volme sea máimo. Figra.9

34 . Gráficas v a 84. a gráfica de la velocidad de objeo se mesra e la sigiee figra ecorar: a v b a gráfica c gráfica si m d desplazamieo cado 4 s e aceleració cado s. Figra.3 Solció: 5 a v b 5 a Figra.3 c d 4 m e a m/s Figra.3

35 .3 Eremos de fcioes de varias variables.3. Coso 85. Ha de cosrirse depósio recaglar para almaceamieo co capacidad de 88 pies cúbicos de grao. Si la apa y el fodo cesa ceavos por pie cadrado y los lados cesa 5 ceavos por pie cadrado qé dimesioes debe eer el depósio para miimizar el coso? Sol. Base cadrada y 6 pies alra z 8 pies. 86. E a fábrica los rabajadores se ha clasificado e dos maeras: A y B. os rabajadores ipo A gaa $4 por jorada mieras qe los del ipo B gaa $3. Para alcazar ciera prodcció e a jorada se ha deermiado amear los salarios de los rabajadores si se emplea rabajadores del ipo A y y del ipo B eoces el úmero de dólares del coso de la jorada es y 3 + 8y + 6. Cáos rabajadores de cada ipo debe emplearse a fi de qe el coso de la jorada sea míimo si se reqiere por lo meos res rabajadores de cada ipo para a jorada? Sol. 5 de A y 8 de B 87. Se cosrye a caja recaglar cerrada co volme de 6 pie 3 empleado res ipos de maeriales. El coso del maerial para el fodo y la apa es de $.8 por pie cadrado el coso del maerial para el free y la pare rasera es de $.6 por pie cadrado y el coso del maerial para los oros dos lados es de $. por pie cadrado. Calcle las dimesioes de la caja de modo qe el coso de los maeriales sea míimo. Sol. ogid de la base 8/3 pie Acho de la base pie Profdidad 3 pie.3. Dosis de medicameos 88. Ua iyecció de miligramos de ciero medicameo A y y miligramos del medicameo B prodce a respesa de R idades y R y 3 c y dode c es a cosae posiiva. Qé dosis de cada medicameo ocasioará la respesa máima? Sol. /3c mg de droga A y /c mg de droga B

36 89. Spoga qe horas despés de la iyecció de miligramos de adrealia la respesa es de R idades y R e - c dode c es a cosae posiiva. Qé valores de y prodcirá la respesa máima?.3.3 Temperara Sol. /c y 9. Spoga qe T grados es la emperara e calqier po yz de la esfera + y + z 4 y T y z. Obega los pos de la esfera dode la emperara es la máima y ambié los pos dode es míima. Además calcle la emperara e esos pos. Sol. ± y ± a grados ± y ± a - grados.3.4 Volme 9. as reglacioes posales eige qe la sma de la alra y el perímero horizoal de paqee o spere las idades. Calcle el máimo volme de a caja recaglar qe peda saisfacer esa resricció. Sol idades 9. Calcle el volme de la mayor caja recaglar co caras paralelas a los plaos coordeados qe se pede iscribir e el elipsoide a y + b z + c Sol. 8abc idades 93. Calcle el volme del mayor paralelepípedo recaglar qe peda iscribirse e el elipsoide y + 4z 36 si las arisas debe ser paralelas a los ejes coordeados. Sol idadescúbicas

37 94. Se elabora a caja recaglar si apa co coso de maerial de $. Si el maerial para el fodo de la caja cesa $.5 por pie cadrado y el maerial para los lados cesa $.3 por pie cadrado deermie las dimesioes de la caja de mayor volme qe peda elaborarse. 5 Sol Míimos cadrados 95. Se aaliza la savia de cico árboles a fi de deermiar la caidad de la hormoa vegeal qe casa la caída de las hojas. E el caso de los árboles de la abla sigiee cado se libera microgramos µg de la hormoa vegeal ocrre la caída de y hojas. Roble Arce Abedl Pio Acacia y Tabla. a Obega a ecació de la reca de regresió para los daos de la abla. b Uilice la reca de regresió para esimar el úmero de hojas caídas de oro ipo de árbol cado se libera µg de la hormoa vegeal. Sol. y b Se eamiaro cico corredores a fi de deermiar s absorció máima de oígeo medida qe refleja el esado cardiovasclar de a persoa. os reslados se presea e la sigiee abla dode segdos es el mejor iempo del corredor al correr a milla y y mililiros por mio por kilogramo de peso es la absorció máima de oígeo del corredor.. Corredor A Corredor B Corredor C Corredor D Corredor E y Tabla. a Obega a ecació de la reca de regresió para los daos de la abla. b Emplee la reca de regresió para esimar la absorció máima de oígeo de corredor si s mejor iempo al correr a milla es de 34.4 s.. Sol. a y b 39.6 mililiros por mio por kilogramo

38 .5 Mliplicadores de agrage.5. Disacia 97. Uilice el méodo de los mliplicadores de agrage para calclar la máima y míima disacia del po - a la esfera cya ecació es + y + z por speso la respesa se podría obeer más fácilmee ilizado argmeo geomérico simple. Sol. má. 4 idades mí. idades 98. Uilice el méodo los mliplicadores de agrage para calclar la míima disacia ere las recas y z y -y z eise por speso formas mcho más secillas de obeer la respesa. Eso es ejemplo de maar moscas a cañoazos. Sol. 6 3 idades 99. Obega el po Py > y > de la sperficie y qe sea el más cercao al orige. Demesre qe el segmeo de reca del orige a P es perpediclar a la agee e P.5. ocalizació de radioelescopio. Esá ecargado de erigir radioelescopio e plaea recieemee descbiero. Para miimizar la ierferecia sed qiere siarlo dode el campo magéico del asro sea más débil. El plaea es esférico co radio de seis idades. Co base e sisema coordeado cyo orige esá e el cero del plaea la iesidad del campo magéico esá dada por Myz 6 y + z + 6. Dóde debería sed siar el radioelescopio?

39 .5.3 Presió parcial. El proceso de Haber y y Bosch* prodce amoiaco mediae la ió direca de irógeo e hidrógeo e codicioes de presió cosae P y emperara cosae: N caalizador + 3H NH 3 as presioes parciales y z del hidrógeo irógeo y amoiaco saisface la ecació + y + z P y la ley de eqilibrio z /y 3 k e dode k es a cosae. a caidad máima de amoiaco ocrre cado se obiee la presió parcial máima del amoiaco. Ecere el valor máimo de z. Sol. 4 Má z P P 7P.5.4 Temperara. Ua soda espacial co la forma del elipsoide 4 + y + 4z 6 Era a la amósfera de la Tierra y s sperficie comieza a calearse. Despés de a hora la emperara e el po y z sobre la sperficie de la soda es Tyz 8 + 4yz 6z + 6 Deermie el po más caliee sobre la sperficie de la soda. Sol. ±4/3-4/3-4/3 3. Spoga qe la emperara Celsis e el po yz sobre la esfera + y + z es T 4yz. ocalice las emperaras máimas y míimas sobre la esfera..5.5 Volme 4. Se desea cosrir a caja recaglar si apa co volme deermiado V m 3 ilizado dos maeriales diferees. El maerial ilizado para el fodo y la pare froal de la caja cesa cico veces por mero cadrado lo qe cesa el maerial ilizado para la pare rasera y los oros dos lados. Cáles debería ser las dimesioes de la caja para miimizar el coso de los maeriales? Sol. V achra 5 /3 5 profdidad 3 achra alra achra

40 5. Ecere las dimesioes de la caja recaglar cerrada co volme máimo qe pede iscribirse e la esfera iaria. Sol. 3 por 3 por 3 idaes 6. U depósio cilídrico reco esá coroado por a apa cóica como se mesra e la figra. El radio del depósio es de 3 m y s área de sperficie oal es de 8 m. Calcle las alras y de maera qe el volme del depósio sea máimo. Sgerecia: El área de la sperficie del coo es y. Figra.33 Sol. 9 Má V

41 .6 Aplicacioes de la iegral.6. Cero de masa 7. Tres paríclas iee masas de 5 y 8 slgs esá bicadas respecivamee e los pos -3 - y 5. Deermie el cero de masa si la disacia se mide e pies. Sol. 3/5 9/5 8. Obega las coordeadas del cero de masa de las caro paríclas qe iee masas igales y esá bicadas e los pos 3 4 y -. Sol. 3/ 9. Tres paríclas co la misma masa esá bicadas sobre el eje e los pos qe iee coordeadas -4 y 5 dode la disacia se mide e meros. Deermie las coordeadas del cero de masa del sisema. Sol. /3.6. Ferza. U aqe cilídrico esá lleo de gasolia cya desidad es de 4 lb/pie 3. Si el eje del cilidro es horizoal y s diámero es de 8 pie calcle la ferza ejercida por la presió de la gasolia sobre eremo del aqe. Sol. 5/3 lb. a cara de a presa qe esa e coaco co el aga esá icliada 45 co respeco a la verical. a cara es recáglo de pie de acho y a alra icliada de 6 pie. Si la presa esá llea de aga deermie la ferza oal ejercida por la presió del aga sobre la cara. Sol lb. E a alberca llea de aga co profdidad de f calcle la ferza del flido e lado de a placa recaglar de 3 por 4 f si la placa reposa vericalmee e el fodo de la alberca a e el lado de 4 f b e el lado de 3 f. Sol. a lb b lb

42 3. Calcle la ferza del flido e lado de a placa semicirclar de radio de 5 f qe descasa vericalmee sobre s diámero e el fodo de a alberca llea de aga a a profdidad de 6 f. Figra a placa e forma de riáglo isósceles qe se mesra a coiació se smerge vericalmee f por debajo de la sperficie de lago de aga dlce. a Deermie la ferza del flido cora a cara de la placa. b Cál será la ferza del flido sobre lado de la placa si el aga fera de mar e vez de aga dlce? Figra.35 Sol lb 5. El visor de a veaa recaglar de vidrio e a pecera ípica e el acario de Neva Iglaerra e Boso es de 63 i de acho y va desde.5 a 33.5 i bajo la sperficie. Deermie la ferza del flido cora esa pare de la veaa. a desidad del aga de mar es de 64 lb/f3. Por si se lo prega el vidrio iee espesor de 3/4 de plgada y las paredes del aqe se eiede 4 i por arriba del ivel del aga para eviar qe los peces sale hacia afera. Sol. 39 lb

43 6. Ua placa semicirclar de f de diámero se smerge e aga fresca co el diámero a lo largo de la sperficie. Deermie la ferza ejercida por el aga sobre lado de la placa. Sol. 4.6 lb 7. Calcle la ferza del flido sobre lado de a placa cadrada de 5 por 5 f si ésa se ecera e el fodo de a alberca llea de aga co a profdidad de 8 f y a descasa sobre s cara de 5 por 5 f b se maiee e forma verical co lado de 5 f c se maiee sobre lado de 5 f e icliada 45 co respeco al fodo de la alberca. Sol. a 48 b 858 lb c 97.3 lb 8. Calcle la ferza del flido sobre o de los lados de a placa e forma de riáglo recáglo co lados de 3 4 y 5 f si la placa se asiea e el fodo de a alberca llea co aga a a profdidad de 6 f sobre s lado de 3 f y esá icliado 6 co respeco al fodo de la alberca..6.3 Masa 9. Se esima qe la desidad de maeria e las proimidades de a esrella gigae se pede epresar como δ r Ce kr siedo C y k cosaes posiivas y r la disacia al cero de la esrella. El radio de la esrella esá ideermiado pero se pede spoer qe es ifiio ya qe δ r decrece my rápidamee para valores de r grades. Calcle la masa aproimada de la esrella e fció de C y k..6.4 Trabajo Sol. Apro C/k 3/.. U pozo de irrigació iee 5. m de profdidad y a secció rasversal circlar cyo radio es de.9 m. Si el pozo esa lleo hasa la miad calclar el rabajo efecado por a bomba para vaciarlo si el aga se eleva desde el ivel de s sperficie. a desidad ρ del aga es aproimadamee 993. kg/m 3. Sol J. U aqe de gasolia cilídrico de 3 pies de diámero y 4 pies de largo se lleva e la pare de arás de camió y se sa para alimear los racores. El eje del aqe es horizoal. Cáo rabajo es ecesario para bombear odo s coeido e racor si la aberra del depósio de ése se ecera 5 pies por ecima del po más alo del depósio?

44 . U cable de pie de logid y de lb/pie de peso pede vericalmee de la pare sperior de pose. Deermie el rabajo qe se realiza al sbir el cable compleo hasa la pare sperior del pose. Sol. 4 pie libra 3. Ua aresa llea de aga iee 6 pie de logid y s secció rasversal iee la forma de semicircferecia co diámero de pie e la pare sperior. Cáo rabajo se reqiere para bombear el aga hacia afera por la pare sperior? Sol pie lb 4. U aqe lleo de aga iee la forma de paralelepípedo recaglar de 4 m de profdidad 5 m de acho y 3 m de largo. Calcle el rabajo reqerido para bombear el aga del aqe a ivel de 5 cm por arriba de la pare sperior del aqe. Sol joles 5. U depósio co forma de coo circlar reco véase figra esa lleo de aga. Si la alra del aqe es de pies 3. m y el radio e la pare sperior es de 4 pies. m ecere el rabajo hecho a al bombear el aga hasa el borde sperior del depósio y b al bombear el aga hasa a alra de pies 3. m por ecima del borde sperior del depósio. Sol. a 638 lb-pie b 369 lb-pie 6. U depósio co forma de coo circlar reco véase figra esa lleo de aga. Si la alra del aqe es de 3. m y el radio e la pare sperior es de. ecere el rabajo hecho a al bombear el aga hasa el borde sperior del depósio y b al bombear el aga hasa a alra de 3. m por ecima del borde sperior del depósio. Sol. a J b.8 5 J 7. Ecere el rabajo realizado al bombear odo el aceie desidad ρ kg/m 3 sobre el borde de depósio cilídrico qe esá apoyado sobre a de ss bases. Spógase qe el radio de la base es. m la alra es 3. m y qe el aqe esa lleo de aceie. Sol J

45 8. U depósio co forma de coo circlar reco co s vérice hacia abajo esá lleo de aga a la miad de s capacidad. Si s alra es de pies y s diámero de 8 pies a ecere el rabajo realizado al bombear oda el aga hasa la pare sperior del depósio. b Ecere el rabajo al bombear oda el aga hasa po siado a 5 pies sobre la pare sperior del depósio. Sgerecia: spoga qe el orige esá e el vérice del coo. Sol. b pie-lb 9. U depósio horizoal co seccioes rasversales semicirclares coiee aceie qe pesa 8 lb/pie 3. El depósio iee pies de diámero y 5 pies de logid. Si s profdidad es de 3 pies deermie el rabajo realizado al bombear odo el aceie a la pare sperior del depósio. 3. U depósio iee seccioes rasversales e forma de riáglos isósceles co el vérice hacia abajo. a pare sperior del depósio iee 6 pies de acho s alra es de 4 pies y s logid de pies. Deermie el rabajo realizado al llear el depósio a ravés de orificio e s fodo mediae a bomba localizada a 5 pies por debajo de s vérice. Sol pie-lb 3. Ua cadea de acla de pies qe pesa lb/pie celga vericalmee sobre el cosado de barco. Cáo rabajo se realiza al irar 4 pies de la cadea? 3. Ua cbea qe coiee iicialmee pies 3 de aga es levaada vericalmee desde el ivel del selo. Si el aga se escapa a razó de ½ pie 3 por pie de disacia verical halle el rabajo realizado al levaar la cbea hasa la alra e la qe qede vacía. Sol. 496 pie-lb 33. a ferza de aracció ere elecró y el úcleo de áomo es iversamee proporcioal al cadrado de s disacia. Si la disacia iicial ere ellos es de idad calcle el rabajo realizado por a ferza eera qe aleja al elecró a a disacia qe es 4 veces la disacia iicial.

46 Uidad Aplicacioes maemáicas a problemas de ierés geeral e igeiería. Crecimieo de poblacioes.. Crecimieo epoecial. Spógase qe el problema de valor iicial modelo para a població de peces esá dado por y ay y y dode a y y so cosaes posiivas si sobrepoblació i capra. a Obega a fórmla de solció para y. b Qé scede co la població a medida qe rascrre el iempo? Se raa de modelo objeivo? Epliqe por qé. Sol. a y y e a. Ua població crece epoecialmee drae T meses co a cosae de crecimieo de.3 por mes. ego la cosae amea repeiamee a.5 por mes. Despés de meses se dplica la població. E qé momeo T cambió la cosae de crecimieo? [Sgerecia: reselva y.3y y y e el iervalo T. ego ilice yt como el valor iicial para problema similar. Ssiya.3 por.5 y reselva e el iervalo T.] 3. U biólogo cea co a població iicial de bacerias y e el periodo qe esá cosiderado observó qe o hbo migració de orgaismos co balace qe arroja qe emigraro meos de los qe imigraro. Deermiar la població de bacerias qe se edrá a vez qe ha rascrrido 7 días si se sabe qe despés de 4 días iee a població de 5 orgaismos.

47 4. Spoga qe la razó de cambio de la població hmaa de la Tierra es proporcioal al úmero de persoas e calqier iempo y spoga ambié qe esa població crece a razó de % cada año. El Almaaqe Mdial de 979 idica qe la població mdial e 978 se esimó e 49 milloes; spoga qe esa cifra es dao correco. a Uilizado ese dao eprese la població hmaa de la Tierra como a fció del iempo. b Segú la fórmla de la pare a cál era la població de la Tierra e 95? El Almaaqe Mdial de 979 da la població mdial de 95 esimada e 5 milloes. Spoiedo qe esa esimació es my cercaa a la correca observe la eacid de la fórmla de la pare a al comprobar poblacioes de años aeriores. c Segú la fórmla de la pare a cál será la població de la Tierra e el? Parece eso razoable? d Segú la fórmla de la pare a Cál será la població de la Tierra e 99? El Almaaqe Mdial de 979 idica qe la població mdial esimada e 99 era de 6 milloes. Spoiedo qe esa esimació esá my próima a la correca observe la eacid de la fórmla de la pare a al comprobar la població de años aeriores. e Segú la fórmla de la pare a cál será la població de la Tierra e? Parece eso razoable?.. Modificacioes del modelo de crecimieo epoecial 5. E la predicció del crecimieo de a població los demógrafos iee e cea las asas de acimieos y defcioes además de la diferecia ere las asas de imigració y emigració. Sea P la població e el iempo y sea N el crecimieo por idad de iempo reslae de la diferecia ere la imigració y emigració. El rimo de crecimieo de la població viee dado por dp d kp + N N es a cosae Resolver esa ecació diferecial co el fi de hallar P e fció de si e el amaño de la població era P. Sol. P N N + + P e k k k

48 6. U esdio de la població de Bosaa desde 975 a 99 codce al sigiee dp modelo para el rimo de crecimieo del país: kp α dode idica el iempo e d años co 99 correspodiedo a P.85 milloes k.355 y α El érmio kp refleja los acimieos y la imigració y el érmio α epresa las meres y la emigració. a Halle a fórmla para P. b Esime la població de Bosaa e el año. 7. Spoga qe la població de peces e lago grade esá creciedo co demasiada rapidez y qe las aoridades locales decide disribir as licecias de pesca qe permie la capra de h peces diarios drae periodo de 3 días. U modelo para al siació podría ser h P ' kp para para 3 > 3 Dode P idica el úmero de peces qe hay e el lago e el isae e días y k es a cosae posiiva qe describe el rimo aral de crecimieo de la població de peces. a Uilice herramieas ecológicas y la rasformada de aplace para hallar a epresió de P si P A. b Halle a relació ere A h y k qe garaice qe eacamee 33 días despés de haber fializado la emporada de pesca de 3 días la població de peces volverá a esar a vez más e el ivel A. Sol. a P h e b A k h k Ae + e k h k3 k [ e e ] k 33k 36k e 36k k e + Ae k 3 > 3

49 8. Para la població de Bosaa cosidere qe se pare de a població de.755 milloes de persoas e 975 y si se spoe qe los acimieos y los fallecimieos así como la imigració y la emigració se eqilibra mamee hasa 977. E 977 se poe e marcha modelo de emigració al qe la població P pede ser descria por la ecació P ' kp a para para Co P.755 k.355 y a a Eprese la fció del miembro derecho de la ecació e érmios de la fció escaló idad. b Uilice herramieas ecológicas y la rasformada de aplace para hallar P epresado la respesa como a fció escaló. c Trace la gráfica de la solció e el iervalo 35 y epliqe lo qe ésa idica e érmios de la població de Bosaa. 9. Bajo circsacias arales la població de raoes de a ciera isla podría amear co a rapidez proporcioal al úmero de raoes presees e calqier iempo cosiderado qe e la isla o había gaos. E la isla o hbo gaos desde pricipios de 96 hasa pricipios de 97 y drae ese iempo la població raoil se dplicó alcazado el úmero de a pricipios de 97. E ese iempo la gee de la isla se alarmó por el úmero cada vez mayor de raoes. Imporó ciero úmero de gaos para acabar co ellos; si la rapidez de crecimieo aral idicado para raoes fe de ahí e adelae corarresado por la acividad de los gaos qe maaro raoes cada mes cáos raoes qedaro a pricipios de 97?. U clivo de baceria eferma crece a a asa qe es iversamee proporcioal a la raíz cadrada del úmero presee. Si hay iicialmee 9 idades y 6 idades esá presees despés de días despés de cáos días habrá 36 idades?. a ecació diferecial dp/d kcosp dode k es a cosae posiiva es modelo maemáico de a població P qe iee variacioes esacioales. Reselva la ecació sjea a P P. Use a graficadora para razar la gráfica de la solció para disias eleccioes de P.

50 . E modelo demográfico de la població P de a comidad se spoe qe dp d db d dd d e dode db/d y dd/d so las asas de aalidad y moralidad respecivamee. a Deermie P si db/d k P y dd/d k P. b Aalice los casos k > k k k y k k...3 Ecació logísica 3. a població de a ciera cidad saisface la ley logísica d 8 d Dode el iempo se mide e años. Spoiedo qe la població de esa cidad es e 98 deermie: a a població como a fció del iempo. b a població e el año. c El año e qe se dplicará la població de 98. d El comporamieo de la població cao. Sol. a c c + 9e > 98 d lím 6 b 9495 habi a es habiaes 4. Spógase qe la població P de bacerias e clivo al iempo cambia a a razó direcamee proporcioal a P P. Si iicialmee hay bacerias y despés de 5 horas la població se redjo a bacerias deermie: a a població como fció del iempo. b a població despés de iempo grade. Sol. a P 999e. 8 b

51 5. Ua coloia de bacerias crece de acerdo co la ley logísica co a capacidad de carga a/b de 5 8 idividos y a asa de crecimieo aral a. días -. Cál será la població despés de dos días si ésa iició e 8 idividos? 6. El rimo de crecimieo del úmero N de veados e parqe aral varía cojamee co el iempo co N y N dode 5 es la població máima esimada como límie. Epresar N como fció de si N cado y N cado 4. Sol. 5 N + 4e El rimo de crecimieo del úmero N de alces e a reserva varía co el iempo e años cojamee co N y 3 N siedo 3 el límie esimado de població e ese espacio aral. a Escribir y resolver la ecació diferecial qe gobiera la població si N 5 cado y N 75 cado. b Represear e a gráfica el campo de direccioes de esa ecació diferecial y la solció pariclar del aparado a. c E qé momeo crece más rápidamee la població? d Si se irodce iicialmee 4 alces e la reserva sar el campo de direccioes para describir el cambio e s població co el rascrso del iempo. 8. Si la població de Esados Uidos e milloes es la població iicial y se da las poblacioes e 84 y 89 de 7.7 y 6.98 milloes respecivamee ilizar el modelo logísico para esimar la població e el isae. Sol P e Se sabe qe ciera població crece a a velocidad dada por la ecació lógisica d/d b a. Demesre qe la asa máima de crecimieo ocrrirá cado la població sea igal a la miad de s amaño de eqilibrio eso es cado la població sea b/a.

52 . Se sabe qe a població de bacerias iee paró de crecimieo logísico co població iicial de y població de eqilibrio de. U coeo mesra qe al fial de a hora hay bacerias presees. Deermie la població como a fció del iempo deermie el iempo e qe la població esará ameado co mayor rapidez y haga bosqejo de la crva logísica. dp P. a ecació logísica rp se sa para describir el crecimieo de cieros d K ipos de poblacioes hmaas o aimales. Aqí r y K represea cosaes qe describe caracerísicas de la població qe esá siedo modelada. a Mesre qe la fció K P. + A K P saisface la ecació logísica co + r Ae b U esdio de daos sobre la població de EE. UU. Mesra qe la solció dada e el aparado a proporcioa be ajse si K A 548 y r Co ecología adecada obega la gráfica de P ilizado esos valores de K A y r. Aqí represea el iempo e años desde 79 el año del primer ceso e EE. UU. c E 79 la població de EE. UU. era de habiaes. E 98 la cifra ascedia a ; e 99 el úmero de habiaes era Evalado la fció represeada e la gráfica del aparado b para los valores de 9 y compare los valores e milloes dados por P co las verdaderas poblacioes. d Segú el modelo co los parámeros dados e el aparado b qé le scederá a la població de EE. UU. Si.. Cosidere la ecació logísica co rimo h de mega caza pesca siega ecéera cosae: dp d P 5 P h. Eise rimo de mega mbral h por ecima del qe la població se eigiría para calqier població iicial P P?

53 dp 3. Cosidere la solció de eqilibrio P b de la ecació logísica kp b P d dode k y b so cosaes posiivas. Para a solció cerca de P b es posible alcazar es decir igalar la solció P b para valor fiio de? Sgerecia: ilice la pare del eorema de eisecia y icidad relaiva a esa úlima. 4. a població hmaa de a ciera isla saisface la ley logísica co a.3 b 3-8 y el iempo medido e años. a Si la població e 98 es dedzca a fórmla para la població de años fros. b Segú la fórmla de la pare a cál será la població e el año? c Cál es el valor límie de la població cado. Sol. a P + 4e / ; b 3966; c 5. Ese es problema geeral acerca de la ley logísica de crecimieo. Ua població qe saisface la ley logísica y iee P miembros e el iempo. a Reselva la ecació diferecial y eprese despés la població P como a fció de. b Demesre qe cado la població P se aproima al valor límie a/b. c Demesre qe dp/d es creciee si P a/b y decreciee si P > a/b. d Cosrya la gráfica de P como a fció de para >. e Ierpree los reslados de las pares b c y d. 6. a població hmaa de a ciera peqeña isla podría saisfacer la ley logísica co a /4 b X -8 y medido e años cosiderado despreciable la emigració aal de la isla. Si embargo el hecho es qe cada años la gee se decepcioa de la vida e la isla y se desplaza hacia el coiee. Modifiqe la ecació diferecial logísica co las a y b dadas de modo qe iclya la emigració aal idicada. Spoiedo qe la població e 98 es reselva el problema de valor iicial reslae y despés deermie la població de la isla como a fció del iempo / 3e Sol. P / 6e 4

54 7. a caidad N de persoas e a comidad bajo la iflecia de deermiado acio se apega a la ecació logísica. Al pricipio N 5 e ao se observa qe N. Se proosica qe habrá límie de 5 idividos qe verá el acio. Deermie N. 8. El modelo demográfico P de sbrbio e a gra cidad esá descrio por el problema de valor iicial dp d P 7 P P 5 e dode se epresa e meses. Cál es el valor límie de la població? Cádo igalará la població la miad de ese valor límie? 9. a os daos del ceso e Esados Uidos de 79 a 95.se ve e la abla. Formle modelo demográfico logísico co los daos de y 9. b Forme a abla para comparar la població real cesada co la qe deermió el modelo de la pare a. Calcle el error y el error porceal para cada par de poblacioes. Año Població e milloes Tabla.

55 ..4 Modificacioes del modelo logísico 3. Corol por sobrepoblació y capra. El problema de valor iicial y -y /9 8/9 y y dode y es a cosae posiiva. a Cál es el coeficiee de sobrepoblació y ss idades? Cál es la asa de capra? b Obega los dos iveles de eqilibrio posiivo. [Sgerecia: calcle las raíces de y y /9 8/9.] c Trace las gráficas de las crvas de solció del problema de valor iicial para disios valores de y. Uilice los iervalos y 5. Ierpree lo qe observa e érmios del fro de la població de peces. Sol. a El coeficiee de sobrepoblació es /9 o año - ; la asa de capra es 8/9 o/año. 3. Reabasecimieo El reabasecimieo de la població de peces co R oeladas de peces aales da lgar a la ecació diferecial modelo y ay cy + R dode a y c so cosaes posiivas. a Epliqe cada érmio de la ecació diferecial ordiaria modelo. b Prebe el modelo e el problema de valor iicial y y y / + 7/3 y y para disios valores egaivos de y y. Qé pasa co las crvas solció si avaza o rerocede el iempo? Uilice los iervalos y 5 para la paalla. Ierpree lo qe observa. 3. Capra y reabasecimieo periódicos. Cosidere el problema de valor iicial y y y +.3se y y. a Epliqe el sigificado de la ecació diferecial ordiaria e érmios de a població de peces. Trace las crvas solció para y valores de y e el iervalo de a. Uilice los iervalos y. Haga lo mismo para 9 y y Ierpree lo qe observa e érmios de la població de peces. b Epliqe por qé se parece las crvas solció qe comieza e y y + y. E el recáglo - y race la crva solció qe pasa por el po.5 y. Por qé carece de seido esa crva e érmios de la població de peces?

56 33. Capra co esferzo cosae. os modelos de esa secció sfre de defeco. E iveles bajos de població o pede maeerse por mcho iempo a asa de capra ala y fija porqe se eermiaría la població. U modelo más segro para los peces es y ay cy H y y y dode a c H y y so cosaes posiivas. E ese modelo cao meor sea la població meor será la asa de capra. a Ierpree cada érmio de la ecació diferecial. Por qé se deomia capra co esferzo cosae? b Para los valores de H meores qe a race crvas solció. 34. Capra iesa capra moderada. Qé scede cado ras periodo de capra iesa sige oro de cico años de capra moderada? Spoga qe y y y / H dode 4 H 5 / Trace las crvas solció para - y e ierpree lo qe observa. Trace las recas y y y e la gráfica y epliqe s imporacia para la població para U modelo de poblacioes ilizado e las prediccioes acariales se basa e la ecació de Gomperz dp Pa blp d dode a y b so cosaes. a Halle P e la ecació de Gomperz. b Si P P > dé a fórmla para P e érmios de a b P y. c Describa el comporamieo de P cado +. [Sgerecia: Cosidere los casos para b > y b ].

57 36. a masa iicial de ciera especie de pez es 7 milloes de oeladas. Dicha masa de dejarse sola amearía a a razó proporcioal a la masa co a cosae de proporcioalidad de /año. Si embargo la pesca comercial elimia a masa de peces a a razó cosae de 5 milloes de oeladas por año. E qé momeo se ermiará los peces? Si la razó de pesca se modifica de modo qe la masa de peces permaezca cosae cál debería ser la razó? 37. a ofera de alimeo para ciera població esá sjea a cambio de esació qe afeca la asa de crecimieo de la població. a ecació diferecial: d c cos d dode c es a cosae posiiva proporcioa modelo maemáico simple para el crecimieo de la població drae el cambio de esació. Reselva esa ecació diferecial e érmios de a població iicial y la cosae c. Deermie las poblacioes máima y míima y el iervalo de iempo ere esos valores. 38. Ua població de aimales qe sige el paró de crecimieo logísico esa siedo mermada a rimo cosae; es decir mieras el amaño de la població P es posiivo úmero fijo h de aimales es elimiado por idad de iempo. a ecació dp P qe modela la diámica de esa siació es rp h para P >. d K a Demesre qe h rk/4 eise dos solcioes de eqilibrio disias de cero. b Demesre qe la meor de las solcioes de eqilibrio del aparado a es a fee mieras qe la mayor de las dos es smidero. 39. Deermie a solció de la ecació logísica modificada dp d P a bp cp a b c >. 4. a Reselva la ecació: dp d P a blp b Deermie el valor de c e la ecació a / b b ce P e e P P

58 4. a Si de a pesqería se recoleca úmero cosae h de peces por mio eoces modelo para la població P de la pesqería e el iempo es dp d P α bp h P P Dode a b h y P so cosaes posiivas. Spoga qe a 5 b y h 4. Como la ecació diferecial es aóoma ilice el cocepo de rerao fase para razar crvas solció represeaivas qe correspode a los casos P > 4 P 4 y P. Deermie el comporamieo a largo plazo de la població e cada caso. b Reselva el problema de valor iicial del iciso a. Comprebe los reslados del rerao fase del iciso a por medio de programa de graficació para razar la gráfica de P co a codició iicial omada de cada o de los res iervalos qe se proporcioa. c Uilice la iformació de los icisos a y b para deermiar si la població de la pesqería se eige e iempo fiio. E caso afirmaivo calcle ese iempo.. Circios RC.. Circios RC de a malla 4. Ua baería cya fem esá dada por Ee -5 vols se coeca e serie co a resisecia de Ω y codesador de. F. Spoiedo qe q ecere la carga y la corriee e calqier iempo. Mesre qe la carga alcaza máimo calclar s valor y halle el valor de para el cal se alcaza. Sol. q e -5 ; i e -5-5; q má q/5.74 Colombs 43. E circio elécrico cado a pila o a baería smiisra a esió cosae E a codesador de capaciacia C a ravés de a resisecia R la carga isaáea q del codesador se adecúa a la ecació diferecial dq q R + E d C a Calcle q como a fció emporal cosiderado el codesador iicialmee descargado es decir si q o q. b Cáo iempo será ecesario para qe la carga q del codesador sea la miad de s valor fial? c Deermie q si q y si se reemplaza la pila por geerador qe smiisre a esió alera igal a E seω.

59 44. U circio RC iee a fem dada e vols por 4 cos a resisecia de ohms y a capaciacia de - farad. Iicialmee o hay carga e el codesador. Halle la corriee e el circio e momeo. Sol. i 4 e cos se Si circio elécrico coiee a resisecia R hms codesador C -3 farad y E se vols a hallar q spoiedo qe q para b emplear i dq/d para hallar i spoiedo i 5 amperes cado. Sol. a q b i / / 3 cos φ e se φ e 46. U circio RC e serie co R 5 kω y C µf iee a fee de volaje cosae de V aplicado a ; o hay carga iicial e el capacior. Obégase: a i V R V C y q para > b i V R V C y q para.5 s. Sol. a V C -e - + V V R e - V i e - ma q -e - µc 47. Recerde qe la ecació diferecial qe describe la carga q e el capacior de circio RC e serie es R dq + q E d C Dode E es el volaje aplicado. Emplee la rasformada de aplace para deermiar la carga q cado q y E E e -k k >. Eamie dos casos: cado k /RC y cado k /RC. Sol C q krc k / RC E RC e e ; q e E / R

60 48. Use la rasformada de aplace para deermiar la carga q e el capacior e circio e serie RC sjeo a las codicioes dadas: q q R Ω C. f y E como e la figra. Figra. 49. Use la rasformada de aplace para deermiar la carga q e el capacior e circio e serie RC sjeo a las codicioes iiciales dadas: q R.5 Ω C.8 f y E como e la figra. Figra. Sol q U 3 e U 3

61 5. a Uilice la rasformada de aplace para calclar la carga q e el capacior de circio RC e serie cado q R 5 Ω C. f y E es la qe idica la figra. b Spoga qe E V. Maeje programa de cómpo para gráficas y race la de q e el iervalo 6. Co la gráfica esime q má el valor máimo de la carga... Marcapasos cardiaco Figra.3 5. E la fig. se mesra marcapasos cardiaco qe cosa de capacior de capaciacia C a baería de volaje E y ierrpor qe se meve periódicamee de Aperiodo de carga del capacior a B periodo de descarga 3 drae el cal el capacior evía esímlo elécrico al corazó el cal acúa como resisor de resisecia R. Ecorar la corriee drae el periodo de descarga. Figra.4

62 5. U marcapasos cardiaco fig. esá formado por a baería capacior y el corazó qe fcioa a modo de resisor. Cado el comador S esá e P el capacior se carga; cado esá e Q se descarga y mada esímlo elécrico al corazó. E ese iervalo el volaje E qe se aplica al corazó esá deermiado por de E d RC e dode R y C so cosaes. Deermie E cado E. Naralmee la aberra y cierre del ierrpor so periódicas para esimlar los laidos arales. Figra.5 - /RC Sol. E E e.3 Circios R.3. Circios R de a malla 53. U circio iee e serie a ferza elecromoriz epresada maemáicamee por E 5cos V resisor de Ω y idcor de. H. Si la corriee iicial es calcle la corriee e el iempo >.

63 54. Si se cierra ierrpor e circio qe coiee a resisecia R a idcacia y a pila qe smiisra a esió cosae E la iesidad de la di corriee i amea al rimo descrio por la ecació + Ri E. E lgar de a d pila e ese caso hay geerador qe smiisra a esió alera igal a v /seω. a Halle la corriee i como a fció emporal. b Evalúe lím i. c Cáo iempo será ecesario para qe i alcace la miad de s valor fial? d Halle i si i i E/R. Sol. a d E i e R E i R R ; b lím i E R ; c l ; R 55. U circio R iee a fem dada e vols por 3 se a resisecia de ohms a idcacia de.5 hery y a corriee iicial de 6 amperes. Halle la corriee e el circio para momeo. Sol. i 69/e - + 3/se - 3/cos 56. U circio R iee a fem dada e vols por 4 se a resisecia de ohms a idcacia de 4 hery y o iee corriee iicial. Hallar la corriee e calqier momeo. Sol. i /66e se cos di 57. Reselva la ecació + Ri E spoiedo qe E E o seω y qe i d i o.

64 58. Se aplica a ferza elecromoriz E > a circio e serie R e qe la idcacia es H y la resisecia es Ω. Deermie la corriee i si i. Sol. 6e i 6 e e / / > 59. a Co la rasformada de aplace deermie la corriee i e circio e serie R co solo bcle cado i h R Ω y E es la qe mesra la fig. b Use programa de cómpo para gráficas para razar la de i e el iervalo 6. Co la gráfica esime i má e i mí los valores máimo y míimo de la corriee. Figra.6 Sol. + 3 / 3 i e cos se e U cos U + se U 6. Reselva la ecació sjea a i y E es la fció meadro de la figra. Figra.7

65 6. Reselva la ecació sjea a i y E es la fció diee de sierra de la figra. Especifiqe la solció cado. Figra cado i Sol. / / / / / e R e R R e R R i U e R e R R R R R R R.3. Circios R de dos mallas 6. El circio qe sige se describe mediae el sisema i i R i R i V i i R i.. Deermie i e i cado se cierra el ierrpor si herys R 3 ohms R 8 ohms y v 6 vols. Spoga qe i i. Figra e 9 e i e 7 e 4 i Sol. +

66 .4 Circios RC 63. U circio RC co R 6 hms. herys y C. farads iee a esió cosae de 6 vols. Spoga qe iicialmee o hay corriee y qe 6 cado se aplica la esió por primera vez. a Halle a epresió para la corriee e el circio e el isae >. b Uilice herramieas ecológicas para represear gráficamee la respesa ecorada e el aparado a para.5. c A parir de la gráfica del aparado b esime el valor máimo de I y halle el valor eaco mediae écicas de cálclo aplicadas a la epresió obeida e el aparado a. d E qé isae se alcaza el valor máimo obeido e el aparado c? Sol. a I -3/e /e - ; c I ma.8; d l5/4 64 E circio RC se iee R ohms C. farads.5 herys y a esió aplicada de vols. a carga q e el codesador se defie e érmios de la corriee I por I. Si se spoe qe o eise a corriee iicial i a carga iicial e el codesador halle la carga e el codesador e el isae >. 65. Deermie la carga q del capacior e circio e serie RC si H R Ω C. F E 35 V q C i A. Sol. q 7 e se 7e cos 66. U circio iee e serie a ferza elecromoriz dada por E 4 se 4 V resisor de 4 Ω idcor de /8 H y capacior de /4 farad. Si la corriee iicial y la carga iicial e el capacior so ambas cero calcle la carga y la corriee e el capacior e calqier iempo >. Sol q se4 cos 4 + e q' cos 4 + se4 e e e 5 8

67 67. U circio RC presea a resisecia de 5 ohms a idcacia de.5 herys a capaciacia de.4 farads y a esió alera aplicada de cos vols. a Si ilizar herramieas ecológicas halle a epresió para el fljo de corriee a di ravés de ese circio si la corriee iicial es la y es 4. d b Comprebe s respesa al aparado a mediae el so de herramieas ecológicas. Sol. i 85 e cos 5 9 se 5 + se + 8cos 68. U circio RC iee R ohms C. farads.5 herys y a esió aplicada deermiada por E 6cos. a carga q e el codesador se defie e dq érmios de la corriee I como i. Si cosideramos qe hay a asecia de d corriee iicial y de carga iicial e el codesador halle la carga del codesador e el isae > a ecació q+ 9 q+ 4q se modela circio elécrico co a resisecia de 8 ohms a capaciacia de /8 farads a idcacia de herys y a esió aplicada dada por E se. q q deoa la carga del codesador e el. isae y q epresa la corriee e el circio. Spoga qe q y q.. a Eprese ese problema de valor iicial como sisema de dos ecacioes de primer orde co las codicioes apropiadas. b Uilice herramieas ecológicas para razar la gráfica de la solció del sisema e el plao de fases co 8. c Uilice herramieas ecológicas para razar la gráfica de la solció de la ecació origial de segdo orde relaiva al eje. Cosidere e primer lgar el iervalo y despés 8. d Describa el comporamieo de la capaciacia cado.

68 7. U circio iee e serie a ferza elecromoriz dada por E se 6 V resisor de Ω idcor de. H y capacior de /6 farad. Si la corriee iicial y la carga iicial e el capacior so ambas cero calcle la carga e el capacior e calqier iempo >. 7. U circio iee e serie a ferza elecromoriz dada por E 5 se V resisor de Ω idcor de.5 H y capacior de -4 farad. Si la corriee iicial y la carga iicial e el capacior so ambas cero calcle la carga e el capacior e calqier iempo >. 7. U circio iee e serie a ferza elecromoriz dada por E se V resisor de 4 Ω idcor de.5 H y capacior de 4-4 farad. Si la corriee iicial y la carga iicial es cero y a carga iicial e el capacior es. colomb calcle la corriee e calqier iempo >. Sol. i e se6+.47cos6-.47cos+.33se 73. U circio iee e serie a ferza elecromoriz dada por E e - V resisor de 8 Ω idcor de. H y capacior de 5-6 farad. Si la corriee iicial y la carga e el capacior so cero calcle la corriee e calqier iempo >. 74. Se iee circio RC e serie e el cal H R Ω C / F además se sabe qe q i el volaje qe se aplica al circio es como se mesra e la figra deermie q para >. Figra. Sol. q 35e e se + 35e 5 5 [ e se 5 + 4e cos 5 + se + cos] cos U circio iee e serie a ferza elecromoriz dada por E 5se V resisor de Ω idcor de.5 H y capacior de -4 farad. Si la corriee iicial y la carga iicial e el capacior so ambas cero calcle la carga e el capacior e calqier iempo >.

69 76. U circio iee e serie resisor RΩ idcor H y capacior de C farads. a corriee iicial es cero y la carga iicial e el capacior es Q o colombs. a Demesre qe la carga y la corriee so fcioes oscilaorias amorigadas del iempo si y sólo si ese caso. R / C deermie las epresioes para la carga y la corriee e b Si R / C disca la araleza de la carga y de la corriee como fcioes del iempo..5 Decaimieo radiacivo 77. E 95 se ilizó coador Geiger para medir la asa de desiegració radiaciva del C 4 e fragmeos de carbó vegeal e a ceva cerca de asca Fracia dode hay mrales rpesres de varios aimales. El coador regisró aproimadamee.69 desiegracioes por mio por gramo de carboo e ao qe para el ejido vivo como la madera de árbol ese úmero fe de 3.5. Uilice como gía la descripció sigiee para deermiar cádo se qemó la madera para hacer el carbó y así deermiar la edad de las piras. E calqier orgaismo vivo la relació ere la caidad de C 4 y la caidad oal de carboo e las céllas es la misma qe e el aire. Despés qe mere orgaismo cesa la igesió de CO y sólo coiúa la desiegració radiaciva. Se sabe qe la vida media ז del C 4 es de alrededor 5568 años. Spógase qe q es la caidad de carboo C 4 por gramo e el isae e la mesra de carbó vegeal; q es adimesioal porqe se raa de a relació de masas. Spógase qe e ese momeo y qe T es cado se qemó la madera. Eoces q qt para T. a Spógase qe q es la caidad de C 4 por gramo de carboo e la mesra e. Comprebe qe e el iervalo T q es la úica solció hacia arás del PVI q -kq q q T b Reselva el PVI del iciso a y demesre qe T q l k q T τ q' T l l ' q Dode k es la asa de decaimieo y ז la vida media para el C 4. c a lecra de coador Geiger e el isae es proporcioal a q la asa de decaimieo de los úcleos radiacivos e a mesra. Calcle T co los daos del eciado del problema.

70 78. El desfiladero Oldvai e Keya cora fljos y ceizas volcáicos así como depósios sedimearios. Es el yacimieo arqeológico de hesos y arefacos de los primeros homíidos cosiderados por algos como los precrsores del hombre. E 959 Mary y ois eakey descbriero cráeo de homíido fosilizado y herramieas de piedra primiivas de mcha aigüedad. os méodos de daació co carboo 4 resla iapropiados para espécime de al edad y araleza. Por ao la daació hbo de basarse e las edades de los esraos volcáicos siados arriba y abajo. El méodo ilizado fe el de decaimieo de argó y poasio. El de poasio y argó es reloj de acmlació lo corario del méodo de daació co C 4. Uilice como gía la descripció sigiee para modelar ese reloj de acmlació. El méodo de poasio y argó se basa e la medició de los áomos de argó prodco de la desiegració radiaciva de los áomos de poasio. De maera específica el poasio 4 K 4 eperimea a desiegració radiaciva a argó 4 Ar 4 y a calcio 4 Ca 4 co asas proporcioales a la caidad de poasio pero co ss respecivas cosaes de proporcioalidad k y k. El modelo para ese proceso de desiegració radiaciva pede escribirse e érmios de las caidades K A y C de poasio argó y calcio e a mesra de roca. Co la ley de eqilibrio se iee K -k + k K A k K C k K dode el iempo se mide hacia adelae a parir del isae e qe la ceiza volcáica se deposió alrededor del cráeo. a Reselva el sisema para deermiar K A y C e érmios de k k y k k + k Sea K K A C. Por qé K + A + C K para oda? Demesre qe K A k K /k y C k K /k cado. b a edad T del esrao volcáico es el valor acal de la variable de iempo porqe el reloj de poasio y argó empezó cado se sedimeo el maerial volcáico. Esa edad se calcla al medir la proporció ere argó y poasio e a mesra. Demesre qe dicha proporció es A/K k /ke kt -. Demesre qe la edad de la mesra e años es /kl[k/k A/K + ]. c Cado se hiciero las medicioes reales e la Uiversidad de Califoria e Berkeley T la edad de los hesos se esimó e.75 milloes de años. os valores de las cosaes de proporcioalidad so k /año y k /año. Cál fe el valor de la proporció medida A/K? Sol. K K e -k A K k /k e -k C K k /k e -k

71 79. a Sea y la caidad de maerial radiacivo co velocidad de decaimieo relaiva k. Sea Q la velocidad de decaimieo. Emplee la ecació diferecial de y o la fórmla de solció para demosrar qe la caidad Q eperimea ambié decaimieo epoecial co velocidad cosae k. b Algas veces es más fácil medir la velocidad de decaimieo radiacivo qe la caidad de maerial. Deermie la caidad de ssacia radiaciva qe había iicialmee sado el reslado del iciso a. Para ver eso calcle primero la velocidad de decaimieo Q -y. Despés deermie los valores de Q correspodiees a los iempos y al momeo presee.4 9 años. Ahora spoga qe odo lo qe sabe es el hecho de qe Q decae epoecialmee a co velocidad cosae k años - el valor iicial de Q y 3 el valor presee de Q. Use esa iformació para deermiar la edad de la mesra. 8. El peróido de hidrógeo es a ssacia qímica iesable qe se descompoe e a molécla de aga y áomo de oígeo. Spoga qe la descomposició se pede modelar mediae proceso de decaimieo co a velocidad de decaimieo relaiva k. sea y la masa del peróido de hidrógeo y w la masa del aga prodcida por el decaimieo. Sea z la fracció de la masa oal qe peróido de hidrógeo. Deermie z e érmios de k. Noe qe 34 g de peróido de hidrógeo prodce 8 g de aga y 6 g de oígeo el cal sale de la mezcla e forma de brbjas. 8. Cado a pelícla foográfica se epoe a la lz los graos de bromro de plaa qe coiee se sesibiliza por acció de la lz. Ua sposició razoable es qe la caidad de graos de bromro de plaa sesibilizados dismiye hacia cero por decaimieo aral. a velocidad de decaimieo depede de las propiedades de la lz y de los graos de bromro de plaa. Para omar foografías drae la oche co elescopio se reqiere largo iempo de eposició. a Spoga qe pedazo peqeño de pelícla iee iicialmee graos de bromro de plaa al empezar la eposició a la :5 a.m. si a la :7 a.m. resa 6 gramos aú o sesibilizados. Cáos graos o sesibilizados resará a la : a.m.? b Spoga qe el iempo ópimo de eposició es el ecesario para qe 8% de los graos sea sesibilizado. Spoga qe asróomo mide el porceaje p 5 de graos o sesibilizados despés de 5 mios de eposició. Deermie el iempo correco de eposició e fció de p 5.

72 8. U radioisóopo ilizado e forma comú para la deecció de cácer de mama es el ececio 99m. Ese radioúclido se agrega a a solció qe iyecada a paciee se acmla e los lgares cacerosos. ego se deeca la radiació del isóopo y se localiza el siio sado cámaras gama y oros disposiivos omográficos. El ececio 99m decae radioacivamee de acerdo co la ecació dy/d -ky dode k.5/h. a cora vida del ececio 99m iee la veaja qe s radioacividad o poe e peligro al paciee. Ua desveaja es qe el isóopo debe fabricarse e cicloró. Como los hospiales o iee cicloró la dosis de ececio 99m debe ordearse de aemao co los sridores médicos. Spoga qe debe admiisrarse a dosis de 5 milicries mci de ececio 99m a paciee. Esime el iempo de erega desde el lgar de prodcció hasa la llegada a la sala de raamieo del hospial como 4 horas y calcle la caidad del radioúclido qe debe soliciar el hospial para lograr admiisrar la dosis adecada. 83. Co frececia el fechado por carboo se sa para deermiar la edad de fósil. Por ejemplo e a ceva de Sdáfrica se halló cráeo hmao jo co los resos de a hogera. os arqeólogos cree qe la edad del cráeo sea igal a la edad de la hogera. Se ha deermiado qe sólo qeda % de la caidad origial de carboo 4 e los resos de madera e la hogera. Esime la edad del cráeo si la vida media del carboo 4 es de aproimadamee 56 años. Spoga qe la razó de decaimieo de a ssacia radiaciva es proporcioal a la caidad de ssacia presee. a vida media de a ssacia radiaciva es el iempo qe arda e desiegrarse la miad de la ssacia. Para ver lo sesible qe pede ser la écica de fechado por carboo. a Velva a resolver el problema spoiedo qe la vida media del carboo 4 es de 555 años. b Velva a resolver el problema spoiedo qe resa 3% de la masa origial. c Si cada o de las cifras de los icisos a y b represea error del % al medir los dos parámeros vida media y porceaje de masa resae a cál parámero es más sesible el modelo? Sol. 366 años

73 84. os úicos isóopos de los elemeos descoocidos hohio e iercio símbolos Hh e I so radiacivos. El hohio decae e el iercio co a cosae de decaimieo de /año y el iercio decae e el isóopo radiacivo del bkio símbolo B co a cosae de decaimieo de /año. Ua masa iicial de kg de holio se coloca e recipiee o radiacivo si oras fees de holio iercio i bkio. Qé caidad de cada elemeo habrá e el recipiee despés de años? a cosae de decaimieo es la cosae de proporcioalidad e el eciado de qe la razó de pérdida de masa del elemeo e calqier isae es proporcioal a la masa del elemeo e ese isae. Sol. B. e - kilogramos de Hh e - e - kilogramos de I y e - + e - kilogramos de 85. Para a ssacia D la velocidad de rasformació co respeco al iempo es proporcioal a la raíz cadrada de la caidad de ssacia o rasformada. Sea k el valor mérico de la cosae de proporcioalidad. Demesre qe la ssacia desaparecerá e iempo fiio y deermie ese iempo. 86. Dos ssacias A y B será rasformadas e solo compeso C. E el laboraorio se ha demosrado qe para esas ssacias se cmple la sigiee ley de rasformació: la razó de cambio co respeco al iempo de la caidad del compeso del compeso C es proporcioal al prodco de las caidades de las ssacias A y B o rasformadas. Spoga qe las idades de medida so elegidas de modo qe a idad del compeso C esá formada a parir de la combiació de a idad de A co a idad de B. Si e el iempo hay a idades de la ssacia A b idades de la ssacia B y iga idad del compeso C demesre qe la ley de rasformació pede ser epresada por la ecació d d k a b. a Reselva esa ecació co las codicioes iiciales dadas. b E la solció del iciso a spoga qe k > e ivesige el comporamieo de cado.

74 87. El sigiee sisema de ecacioes difereciales aparece al esdiar a serie de elemeos qe se desiegra por radiacividad. d λ d dy λ λ d y Dode λ y λ so cosaes. No se ecesia coocimieos especiales de esos sisemas para resolver ése. Resélvalo para deermiar y y sjeas a y y y..6 ey del efriamieo de Newo 88. U veeriario desea saber la emperara de caballo efermo. as lecras del ermómero sige la ley de Newo. Al momeo de colocar el ermómero marca 8 F. Despés de res mios la lecra es de 9 F y re s mios más arde de 94 F. Ua covlsió repeia desrye el ermómero aes de la lecra fial. Cál es la emperara del caballo? Sol. 98 F 89. Jsamee aes de medio día el cerpo de a aparee vícima de homicidio se ecera e caro qe se coserva a emperara cosae a 7 F. A medio día la emperara del cerpo es 8 F y a la p.m. es de 75 F. Cosidere qe la emperara del cerpo e el momeo de la mere era de 98.6 F y qe se ha efriado de acerdo co la ley de Newo. Cál fe la hora de la mere? 9. a emperara T e idades de F de s aló de clases de a iversidad e día frío de iviero varía co el iempo e horas de acerdo co dt d T T si el calefacor esá ecedido. si el calefacor esá apagado. Spoga T a las 9 A.M. qe el calefacor esá ecedido de las 9 a las : A.M. apagado de las a las : A.M. ecedido de a de mediodía y así scesivamee por el reso del día. A qé emperara esará el saló a mediodía? Y a las 5 P.M.? Sol. 7.8 F a mediodía; 6.9 F a las 5 P.M.

75 9. Era el mediodía e frío día de diciembre e Tampa: 6 C. El deecive Taylor llegó a la escea del crime para hallar al sargeo sobre el cadáver. El sargeo dijo qe había varios sospechosos. Si spiera el momeo eaco de la mere podría redcir la lisa de sospechosos. El deecive Taylor sacó ermómero y midió la emperara del cerpo: 34.5 c. ego salió a comer. Al regresar a la : P.M. halló qe la emperara del cerpo era de 33.7 C. E q é momeo ocrrió el asesiao? [Sgerecia: a emperara ormal del cerpo es de 37 C]. Sol. 9:8 A.M. 9. E a fresca mañaa de sábado mieras las persoas rabajaba e el ierior el calefacor maiee la emperara ierior del edificio e C. A mediodía el aparao se apaga y los empleados se va a casa. a emperara eerior es cosae e igal a C drae el reso de la arde. Si la cosae de iempo para el edificio es de 3 horas e qé momeo llegará la emperara del edificio a 6 C? Si algas veaas se deja abieras y la cosae de iempo se redce a horas e qé momeo llegará la emperara a 6 C? 93. E a calrosa mañaa de sábado cado las persoas rabaja dero del edificio el aire acodicioado maiee la emperara ierior e 4 C. A mediodía el aire acodicioado se apaga y las persoas se va a casa. a emperara eerior es cosae e igal a 35 C drae el reso de la ar de. Si la cosae de iempo del edificio es de 4 horas cál será la emperara dero del edificio a las : P.M.? Y a las 6: P.M.? E qé momeo llegará la emperara ierior del edificio a 7 C? Sol. 8.3 C; 3.5 C;.6 P.M. 94. Se va a cosrir almacé si calefacció i aire acodicioado. Segú la caidad de aislamieo la cosae de iempo para ese edificio pede variar de a 5 horas. para ilsrar el efeco del aislamieo sobre la emperara dero del almacé spoga qe la emperara eerior varía como a oda seoidal co míimo de 6 C a las : A.M. y máimo de 3 C a las : P.M. Spoiedo qe el érmio epoecial qe implica la emperara iicial T se ha eigido cál es la emperara míima dero del edificio si la cosae de iempo es hora? Y si la cosae de iempo es 5 horas? Cál es la máima emperara dero del edificio si la cosae de iempo es hora? Y si es 5 horas? Sol. 6.3 C; 9. C; 3.7 C; 8.9 C.

76 95. U les emprao por la mañaa la emperara e la sala de lecra ha descedido hasa 4 F igal a la emperara eer ior. A las 7: A.M. el coserje eciede el calefacor co el ermosao peso e 7 F. a cosae de iempo para el edificio es /K horas y la cosae de iempo para el edificio jo co s sisema de caleamieo es /K ½ hora. Spoiedo qe la emperara eerior permaece cosae cál será la emperara dero de la sala de lecra a las 8: A.M.? E qé momeo llegará la emperara dero de la sala a 65 F? 96. Drae el verao la emperara dero de a camioea llega a 55 C mieras qe e el eerior es cosae e igal a 35 C. Ca do la codcora era a la camioea eciede el aire acodicioado co el ermosao e 6 C. Si la cosae de iempo para la camioea es /K horas y para la camioea co el aire acodicioado es /K /3 hora e qé momeo llegará la emperara dero de la camioea a los 7 C? Sol. 3.4 mi 97. Dos amigos se siea a plaicar y disfrar a aza de café. Al servir el café el amigo impaciee agrega de imediao a ccharada de crema a s café. El amigo relajado espera 5 mios aes de añadir a ccharada de crema qe se ha maeido a emperara cosae. Es eoces cado ambos comieza a omar el café. Qié iee el café más caliee? Spoga qe la crema esá más fría qe el aire y se la ley de efriamieo de Newo. 98. U sisema de caleamieo de aga mediae eergía solar cosa de aqe de aga caliee y pael solar. El aqe esá bie aislado y iee a cosae de iempo de 64 horas. El pael solar geera B/hora drae el día y el aqe iee a capacidad calórica de F por mil B. Si el aga e el aqe esá iicialmee a F y la emperara del caro do de esá el aqe es de 8 F a cál será la emperara e el aqe despés de horas de lz solar? b Se sa ahora aqe más grade co a capacidad calórica de F por mil B y a cosae de iempo de 7 horas co los demás facores idéicos. Cál será la emperara e el aqe despés de horas? Sol. a 48.6 F 99. A las 9 de la mañaa ermómero qe marca 7 F es llevado fera dode la emperara mide 5 F. Cico mios despés el e rmómero marca 45 F. A las 9: a.m. el ermómero es regresado al ierior dode la emperara es fija a 7 F. Ecere a la lecra marcada a las 9: a.m. y b al grado más cercao calcle cádo mosrará la lecra la emperara correca de la habiació 7 F. Sol. a F b 6.9 mi

77 . A las : p.m. ermómero qe marca 8 F es llevado al eerior dode la emperara del aire mide F. A las :3 p.m. la emperara obeida de la lecra del ermómero es de 4 F. Más arde el ermómero es llevado dero dode la emperara esá a 8 F. A las : p.m. la lecr a idica 7 F. Cádo se regresó el ermómero al ierior? Sol. A las :5 de la arde. Dos recipiees grades A y B del mismo amaño se llea co diferees líqidos. os líqidos de los recipiees A y B se maiee a C y C respecivamee. Ua barra meálica cya emperara iicial es C se smerge e el recipiee A. Despés de mio la emperara de la barra es de 9 C. Trascrridos dos mios se reira la barra y se rasfiere de imediao al oro recipiee. Despés de permaecer mio e el recipiee B la emperara de la barra amea. Cáo iempo desde el iicio del proceso arda la barra e llegar a 99.9 C?. Spoga qe forese qe llega a la escea de crime ve qe la emperara del cadáver es 8 F. Propoga daos adicioales pe ro verosímiles ecesarios para esablecer a hora aproimada de la mere de la vicima aplicado la ley de Newo del efriamieo. 3. El señor Pérez coloca al mismo iempo dos azas de café e la mesa del desayador. De imediao viere crema e s aza co a jarra qe esaba desde hace mcho e esa mesa. ee el diario drae cico mios y oma s primer sorbo. lega la Sra. Pérez cico mios despés de qe las azas fero colocadas e la mesa viere crema e la sya y oma sorbo. Spoga qe la pareja agrega eacamee la misma caidad de crema. Qié y por qé oma s café más caliee? Base s aseveració e ecacioes maemáicas.

78 4. Pasel dero de horo. a Diseñe modelo maemáico para la emperara de pasel mieras esá dero del horo co base e las sigiees sposicioes: E la mezcla de pasel esá a emperara ambiee de 7 F; el horo o se precaliea de modo qe e cado la mezcla de pasel se coloca dero del horo la emperara dero del horo ambié es 7 F. a emperara del horo amea de maera lieal hasa 4 mios cado se alcaza la emperara deseada de 3 F; la emperara del horo se mai ee cosae e 3 F para 4. b Use la rasformada de aplace para resolver el problema de valores iiciales del iciso a. Sol. dt a d b k[t U 4] 57.5 T k 57.5 k k + k e k4 k [ e e ] Mecáica 5. Se proyeca hacia arriba objeo desde la sperficie de la Tierra. Igore la resisecia amosférica y spoga qe la ferza graviacioal es cosae a la largo del recorrido. a Ecere la velocidad iicial e meros por segdo si el objeo alcaza s po más alo e segdos. b Ecere la velocidad iicial si el po más alo se ecera a meros por ecima del piso. c Ecere el po más alo si el viaje oal hacia arriba y hacia abajo arda iempo de 6 segdos. 6. Aalicemos modelo para objeo qe cae hacia la Tierra. Si sobre el objeo sólo acúa la resisecia del aire y la gravedad se observo qe la velocidad v debe saisfacer la ecació dv m d mg bv dode m es la masa g es la aceleració debida a la gravedad y b > es a cosae. si m kg g 9.8 m/s b 5 kg/s y v m/s ecere v. Cál es la velocidad límie es decir ermial del objeo?

79 7. El piloo A ha permaecido 3 millas delae de s archieemigo B drae ciero iempo. A sólo millas aes de la mea el piloo A se qedó si gasolia y comezó a desacelerar a a razó proporcioal al cadrado de s velocidad resae. Ua milla despés la velocidad del piloo A se había redcido eacamee a la miad. Si la velocidad del piloo B permaeció cosae qié gaó la carrera? 4 Sol. A gaa d y W 8. Reselva la ecació EI co las codicioes de cooro y y 4 d ; y ; y. Ese problema aparece e el aálisis de las esioes sobre a viga iforme de logid y peso W co ambos eremos emporados e el hormigó. a solció y describe la forma de la viga cado se coloca ciero ipo de carga sobre ella. Aqí E e I so cosaes y el prodco EI es a cosae llamada rigidez a la fleió de la viga. Sgerecia: iegre scesivamee irodciedo a cosae de iegració e cada eapa. Eoces ilice las codicioes de cooro para evalar esas cosaes de iegració. 9. E balísica la relació ere la velocidad v de a bala de rifle y la disacia qe recorrió e el cañó del arma se esablece mediae la ecació a v b + d Dode v y. Bsqe la relació eisee ere el iempo drae el qe la d bala se desplaza e el cañó y la disacia qe recorre a lo largo del mismo. Sol. b + a. Si se iea deermiar la forma de cable fleible y o eesible sspedido ere dos pos A y B a la misma alra se pede aalizar las ferzas qe acúa sobre el cable y obeer la ecació diferecial d d y / dy k + d a Uilice la ssició p dy/d para redcir la ecació de segdo orde a a ecació separable de primer orde. b Eprese la solció geeral de la ecació e érmios de fcioes epoeciales. Aqí es posible qe ecesie a abla de iegrales.

80 . Se ha propeso la sigiee ecació para deermiar la velocidad de boe de remos d 8P M bs d Dode represea la velocidad del boe e el isae ; M es s masa y P S y b so cosaes posiivas qe describe oras caracerísicas del boe y de la persoa qe rema e él. a Deermie la velocidad de eqilibrio del boe. b Deermie si la velocidad hallada e el aparado a es smidero o a fee. c Ierpree el reslado del aparado b desde po de visa físico.. Al modelar la velocidad de los avioes y la pérdida de alid cado se emerge de picado las leyes básicas de la física da lgar a la ecació diferecial dv dθ kv - gvseθ - gcosθ dode θ deoa el áglo de picada e radiaes V Vθ es la velocidad del avió g 9.8 m/s es la cosae de aceleració y k es a cosae relacioada co el área de la sperficie de la ala. Para avió cocreo k 45 θ.786 y Vθ V 5 m/s. Esime V la velocidad del avió a la fializació del picado; es decir cado se edereza hasa qe θ. Sol. V meros por segdo.

81 3. Ua emeraria Diaa pracica paracaidismo salado de avió desde a alid iicial de pies. E el isae s velocidad v saisface el problema de valor dv iicial fv v dode d fv 3.5v + v + v 3. Si o abre s paracaídas alcazará a velocidad ermial cado las ferzas de gravedad se eqilibre co la resisecia del aire. a Obega la velocidad para y segdos y obega eoces s velocidad ermial. b Trace la gráfica de la velocidad de Diaa e el iervalo [ 3]. Sol. a T V Tabla. b a velocidad ermial es aproimadamee de 5.46 pies por segdo. 4. la ecació θ 4θ 5θ represea el áglo l geerado por a pera de vaivé dode l se mide desde la posició de eqilibrio de la pera qe es la posició cerrada. as codicioes iiciales so θ /3 y θ. a Deermieel áglo θ como a fció del iempo >. b Qé le idica s solció acerca de lo qe va a ocrrir cado sea my grade? c Uilice herramieas ecológicas para razar la gráfica de la solció θ e el iervalo [ 5].

82 5. Ua viga horizoal iforme se comba valor y y saisface ípicamee a ecació e la forma d 4 y/d 4 R dode R es a cosae depediee de la carga soporada y de las caraccerísicas de la misma viga. Si los eremos de la viga se apoya e y eoces y y. Además la viga eedida se compora como si s perfil viera po de ifleió e cada apoyo de forma qe y y. a Uilice los valores propios múliples de la ecació homogéea asociada para hallar la solció geeral de la ecació homogéea. b Demesre qe el combamieo defleió verical e el po es /4R U objeo colocado sobre el aga presioado a ciera disacia bajo la misma y lego liberado iee movimieo de balaceo descrio por la ecació d y g + d y s Dode y es el desplazamieo verical desde s posició de eqilibrio g es la aceleració debida a la gravedad y s es la profdidad iicial. Eprese esa ecació como sisema de ecacioes de primer orde. Sol. El sisema es {dy /d y dy /d -g/s y } d g 7. a ecació o lieal de segdo orde + se describe la oscilació de d pédlo dode es el áglo del pédlo co la verical g es la aceleració debida a la gravedad y es la logid del pédlo. Trasforme esa ecació e sisema o lieal de ecacioes de primer orde. d θ 8. a ecació + k seθ describe el movimieo de pédlo o d amorigado dode θ es el áglo qe forma el pédlo co la verical. Coviera esa ecació e sisema y describa odos ss pos de eqilibrio. 9. U cerpo qe pesa 8 libras cae desde el reposo hacia la Tierra desde a gra alra. A medida qe cae la resisecia del aire acúa sobre él y spodremos qe esa resisecia e libras es méricamee igal a v dode v es la velocidad e pies por segdo. Calcle la velocidad y disacia recorrida despés de segdos. Sol. v 4 e -8 ; 4[ + /8e -8 /8]

83 . U hombre eqipado co paracaídas y oro eqipo esecial cae desde el reposo hacia la Tierra. El peso oal del hombre más el eqipo es 6 lb. Aes de qe el paracaídas se abra la resisecia del aire e libras es méricamee igal a /v dode v es la velocidad e pies por segdo. El paracaídas se abre 5 segdos despés de qe se iicia la caída; despés qe se abre la resisecia del aire e libras es méricamee igal a 5/8v dode v es la velocidad e pies por segdo. Calcle la velocidad del hombre a aes de abrir el paracaídas y b despés de abrirse el paracaídas. Sol. a v 3- e - / 6 e 4 b v e U objeo qe pesa 48 lb se sela desde el reposo e la pare sperior de plao icliado meálico qe esá icliado 3 resp eco de la horizoal. a resisecia del aire e libras es méricamee igal a medio de la velocidad 8e pies por segdo y el coeficiee de rozamieo es caro. a Cál es la velocidad del objeo dos segdos despés de haberse solado? b Si el plao mide 4 pies de logid cál es la velocidad del cerpo e el momeo qe llega al po iferior? Sol. a. pies/s b.3 pies/s. Ua piedra qe pesa 4 lb cae desde el reposo hacia la Tierra desde a gra alra. A medida qe cae acúa sobre ella la resisecia del aire qe es méricamee igal a /v e libras dode v es la velocidad 8e pies por segdo. a Deermie la velocidad y disacia recorrida despés de segdos. b deermie la velocidad y disacia recorrida al fial de 5 segdos. 3. Ua peloa qe pesa 6 lb se laza vericalmee hacia abajo hacia la sperficie erresre desde a alra de pies co a velocidad iicial de 6 pies7s. A medida qe cae acúa sobre ella la resisecia del aire qe es méricamee igal /3v e libras dode v es la velocidad e pies por segdo. a Cál es la velocidad y disacia recorrida al fial de mio? b Co qé velocidad choca la peloa cora la Tierra?

84 4. Ua peloa qe pesa ¾ lb se laza vericalmee hacia arriba desde po qe se ecera 6 pies arriba de la sperficie erresre y co a velocidad iicial de pies/s. A medida qe asciede acúa sobre ella la resisecia del aire qe es méricamee igal a /64v e libras dode v es la velocidad e pies por segdo. A qé alra llegará la peloa? 5. U barco qe pesa 3 oeladas pare desde el reposo bajo la ferza cosae de arrasre de lb. a resisecia e libras es méricamee igal a 8v dode v esá e pies por segdo. a Deermie la velocidad del barco como a fció del iempo. b Deermie la velocidad límie es decir el límie de v cado +. c deermie la disacia qe debe recorrer el barco para alcazar a velocidad de 8% de la velocidad límie. 6. U cerpo de masa g se deja caer desde el reposo hacia la Tierra desde a alra de m. a medida qe cae la resisecia acúa sobre ése y esa resisecia e ewos es proporcioal a la velocidad v e meros por segdo. Spoga qe la velocidad límie es 45 m/s. a Calcle la velocidad y disacia recorrida despés de segdos. b Calcle el isae e qe la velocidad es qio de la velocidad límie. Sol. a v 45 e -/5 45[ + 5e -/5 ]; b 5.58 seg 7. U objeo de masa g se laza vericalmee hacia arriba desde po qe se ecera 6 cm arriba de la sperficie erresre co a velocidad iicial de 5 cm/s. el objeo asciede brevemee y despés cae vericalmee hacia la ierra drae odo el iempo acúa sobre él la resisecia del aire qe es méricamee igal a v e dias dode v es la velocidad e cm/s. a Calcle la velocidad. segdo despés de qe el objeo se laza. b Calcle la velocidad. segdo despés de qe el objeo se deiee e s asceso y empieza s caída.

85 8. Dos persoas viaja e boe y el peso combiado de las dos el moor el boe y el eqipo es 64 lb. El moor ejerce a ferza cosae de lb sobre el boe e la direcció del movimieo mieras qe la resisecia e libras es méricamee igal a a y media veces la velocidad e pies por segdo. Si el boe pare desde el reposo calcle la velocidad del boe despés de a segdos b mio. Sol. a.36 pie/s; b 3.9 pies/s 9. U boe qe pesa 5 lb raspora a a sola persoa qe pesa 7 lb; esá siedo remolcado e a ciera direcció a razó de mph. E el isae la cerda del remolqe se sela repeiamee y el pasajero empieza a remar e la misma direcció ejerciedo a ferza eqivalee a a ferza cosae de lb e esa direcció. a resisecia e libras es méricamee igal a dos veces la velocidad e pies por segdo. a calcle la velocidad del boe 5 segdos despés qe la cerda del remolqe se soló. b cáos segdos despés de qe la cerda del remolqe se soló la velocidad será medio de la qe el boe llevaba al ser remolcado? 3. U proyecil qe pesa oza se dispara vericalmee hacia abajo desde helicópero esacioado co a velocidad iicial de pies/s. a resisecia del aire e libras es méricamee a -4 v dode v es la velocidad e pies por segdo. Calcle la velocidad del proyecil como a fció del iempo. Sol. / e 56 9 v 9 59e 3. U obús qe pesa lb se dispara vericalmee hacia arriba desde la sperficie de la Tierra co a velocidad iicial de pies/s. a resisecia del aire e libras es méricamee igal a 6-5 v dode v es la velocidad e pies por segdo. Calcle la velocidad del proyecil como a fció del iempo. 3. U objeo qe pesa 6 lb se deja caer desde el reposo sobre la sperficie de lago e calma y despés empieza a hdirse. Mieras s peso le obliga a desceder la ferza de empje sobre el objeo iede a deeerlo. Si esa ferza de empje es de 6 lb y la resisecia del aga e libras es méricamee igal a dos veces el cadrado de la velocidad e pies por segdo deermie la fórmla para la velocidad del objeo qe se hde como a fció del iempo. / 4 Sol. v 8 5 e 5 + e 8 5

86 33. U objeo qe pesa lb esá colocado bajo la sperficie de lago e calma. a ferza de empje sobre el objeo es de 3 lb; debido a ésa el objeo empieza a asceder. Si la resisecia del aga e libras es méricamee igal al cadrado de la velocidad e pies por segdo y el objeo sale a la sperficie e 5 segdos calcle la velocidad del objeo e el isae e qe alcaza la sperficie. 34. U hombre empja rieo cargado a ravés de a sperficie helada horizoal co a velocidad cosae de pies/s. Cado el hombre se ecera a la miad de s recorrido deja de empjar al rieo y permie qe ése coiúe moviédose por si mismo. El peso combiado del rieo y s carga es 8 lb; la resisecia del aire e libras es méricamee igal a 3/4v dode v es la velocidad del rie e pies por segdo; y el coeficiee de rozamieo sobre el hielo es.4. Qé disacia recorrerá el rieo despés qe el hombre dejó de empjarlo? Sol. 6.8 pies 35. Ua iña se deslizó e s rieo por a colia hasa llegar a a sperficie helada horizoal dode empezó a deeerse. E el isae e qe s velocidad era 5 pies/s el padre de la iña corrió y empjó el rieo hacia adelae ejerciedo a ferza cosae de 5 lb e la direcció del movimieo. El peso combiado de la iña y el rieo es 96 lb la resisecia del aire e libras es méricamee igal a medio de la velocidad e pies por segdo y el coeficiee de rozamieo sobre el hielo es.5. A qé velocidad se meve el rieo segdos despés de qe el padre empezó a empjarlo? 36. Ua caja de leche elaada pesa 4 lb y se sela desde el reposo e la pare sperior de plao meálico qe mide 3 pies de logid y esá icliado 45 respeco de la horizoal. a resisecia del aire e libras es méricamee igal a ercio de la velocidad e pies por segdo y el coeficiee de rozamieo es.4. a Cál es la velocidad co qe se meve la caja segdo despés de haberse solado? b Cál es la velocidad qe lleva la caja e el momeo de llegar a la pare iferior del plao? Sol. a.96 pies/s; b.46 pies/s 37. U mchacho se desliza co s rieo por a pediee de 3. El peso combiado del mchacho y s rieo es 7 lb y la resisecia del aire e libras es méricamee igal a dos veces s velocidad e pies por segdo. Si el movimieo se iició desde el reposo y s velocidad despés de 5 segdos es de pies/s cál es el coeficiee de rozamieo del rieo sobre la piel?

87 38. U objeo qe pesa 3 lb se sela desde el reposo a a alra de 5 pies arriba de la sperficie de lago e clama. Aes de qe el objeo llege a la sperficie del lago la resisecia del aire e libras esá dada por v dode v es la velocidad e pies por segdo. Despés de qe el objeo empieza a hdirse e el aga la resisecia e libras esá dada por 6v. Además sobre el objeo acúa a ferza de empje hacia arriba de 8 lb. Calcle la velocidad del objeo segdos despés qe empezó a hdirse e el aga. Sol. 4.3 pies/s 39. U cohee de masa m se dispara vericalmee hacia arriba desde la sperficie de la Tierra co velocidad iicial v v o. a úica ferza qe cosideraremos qe acúa sobre el cohee es la aracció graviacioal de la Tierra. Despés de acerdo co la ley de Newo de la graviació la aceleració a del cohee esá dada por a -k/ dode k > es a cosae de proporcioalidad y es la disacia hacia arriba desde el cero de la Tierra a lo largo de la reca de movimieo. E el isae R dode g es la aceleració debida a la gravedad y v v o. Eprese a dv/d apliqe los daos iiciales adecados y observe qe v saisface la ecació diferecial. dv v d gr Reselva esá ecació diferecial apliqe la codició iicial adecada y de ahí eprese v como a fció de. e pariclar demesre qe el valor míimo de v o para el cal el cohee escapará de la Tierra es escape; y ilizado R 4 millas g 3 pies/s aproimadamee 5 mph o se 6 mi/s. gr. Esa es la llamada velocidad de se deermia qe ésa es

88 4. U cerpo de masa m esá e movimieo recilíeo a lo largo de eje horizoal. a ferza reslae qe acúa sobre el cerpo esá dada por k dode k > es a cosae de proporcioalidad y es la disacia a lo largo del eje desde po fijo O. El cerpo iee velocidad iicial v v o cado o. Apliqe la segda ley de Newo y despés escriba la ecació diferecial del movimieo e la forma dv mv d k Reselva la ecació diferecial apliqe la codició iicial y eprese el cadrado de la velocidad v como a fció de la disacia. Debe recordar qe v d/d demesre qe la relació ere v y obeida de esa maera se saisface para odo iempo por mv o k + o se + φ k m Dode φ es a cosae 4. a ecació diferecial describe la velocidad v de a masa m e caída sjea a la resisecia del aire la cal es proporcioal a la velocidad isaáea eso es dv m d mg kv E qe k > es a cosae de proporcioalidad posiiva. a direcció posiiva es hacia abajo. a Reselva la ecació sjea a la codició iicial v v. b Use la solció de la pare a para deermiar la velocidad limiae o ermial de la masa. c Si la disacia s medida desde el po dode se liberó la masa sobre el selo se relacioa co la velocidad v mediae ds/d v ecere a epresió eplicia para s si s.

89 4. Spoga qe a peqeña bala de cañó qe pesa 6 libras se dispara vericalmee hacia arriba co a velocidad iicial v 3 pies/s. a respesa a la prega a qé alra llega la bala? depederá de si se oma e cea la resisecia del aire. a Spoga qe o se oma e cea la resisecia del aire. Si la direcció posiiva se defie hacia arriba eoces modelo qe describe el esado de la bala es d s/d - g. Iegre esa ecació a vez para demosrar qe la velocidad es v dode se fija a g -3 pies /s. b Aproveche qe ds/d v para calclar la alra s de la bala medida desde el ivel del selo. Calcle la alra máima a la qe llega. c Repia el problema pero esa vez spoga qe la resisecia del aire es proporcioal a la velocidad isaáea. Es razoable spoer qe la alra máima alcazada por la bala de cañó debe ser meor qe la obeida e la pare b. Demésrelo spoiedo qe la cosae de proporcioalidad es k Ua paracaidisa pesa 5 libras y s paracaídas y eqipo combiados pesa oras 35 libras. Despés de lazarse desde avió a 5 pies de alra espera 5 segdos y abre s paracaídas. Spoga qe la cosae de proporcioalidad e el modelo iee valor de k.5 drae la caída libre y k despés de abiero el paracaídas. Cosidere qe la velocidad iicial al salir del avió es cero. Cál es s velocidad y cáo ha caído segdos despés de salar? Cómo se compara s velocidad a los segdos co s velocidad ermial? Cáo iempo arda e llega al selo? [Sgerecia: spoga qe se raa de dos problemas de valor iicial disio] 44. Al caer a goa de aga se evapora y al mismo iempo reiee s forma esférica. Si se hace las sposicioes adicioales de qe la rapidez co qe se evapora es proporcioal a s área y o se cosidera la resisecia del aire la velocidad dv d 3k /ρ + k /ρ + r v g E ella ρ es la desidad del aga r es el radio de la goa cado k es la cosae de proporcioalidad y la direcció posiiva se defie hacia abajo. a Si la goa de llvia cae desde el reposo deermie v b Demesre qe el radio de la goa e el iempo es r k/ρ + r. c Si r. pie y si r.7 pie segdos despés deermie el iempo e el qe se evapora la goa de llvia por compleo.

90 .8 Mezclas 45. U aqe de 3 galoes coiee 5 galoes de aga salada co 6 libras de sal. Spoga qe hacia la pare sperior del aqe se bombea aga salada qe coiee libra de sal por galó a razó de galoes por mio mieras qe a solció bie mezclada sale por el fodo del aqe a razó de galó por mio. Cáa sal se ecera e el aqe cado ése esá lleo? 46. U aqe de 4 galoes coiee iicialmee galoes de aga qe coiee pares por milloes e peso de dioia qe es carciógeo eremadamee poee. Spoga qe el aga qe coiee 5 pares por milloes de dioia flye hacia arriba del aqe a razó de 4 galoes por mio. El aga e el aqe se maiee bie mezclada y se reira galoes por mio por el fodo del aqe. Cáa dioia se ecera e el aqe cado esá lleo? Sol. 4.5 pares por mil milloes 47. U aqe de galoes coiee iicialmee galoes de aga azcarada co a coceració de.5 libras de azúcar por galó. Spoga qe se agrega azúcar al aqe a razó de p libras por mio qe el aga azcarada se reira a razó de galó por mio y qe se maiee bie mezclada. a Qé valor de p debemos escoger para qe cado qede e el aqe 5 galoes de aga azcarada la coceració sea de.5 libras de azúcar por galó? b Es posible escoger p de maera qe la úlima goa de aga e la cbea ega a coceració de.75 libras de azúcar por galó? 48. Spoga qe aqe de 5 galoes coiee volme V o de aga limpia e el iempo. E ese po comezamos a verer galoes por mio de a solció salia qe coiee.5 libras de sal por galó e el aqe. Tambié e el iempo empezamos a reirar galó por mio de aga salada del aqe. Como siempre spoga qe el aga e el aqe esá bie mezclada de maera qe la coceració de sal e iempo calqiera es cosae e odo el aqe. a Plaee el problema de valor iicial para la caidad de sal e el aqe. [Sgerecia: El valor iicial de V aparecerá e la ecació diferecial.] b Cál es la ecació para el modelo cado V cado el aqe esá iicialmee vacío? Comee sobre la validez del modelo e esa siació. Cál será la caidad de sal e el iempo para esa siació? Sol. a dy/d / y/v + ; b Noe qe si V eoces la ecació diferecial o esá defiida e. a caidad de sal e el aqe e el iempo es /4.

91 49. Spogamos qe recipiee de galoes coiee 4 galoes de aga limpia y comezamos veriedo azúcar al recipiee e el iempo a razó de.5 libras por mio. Tambié agregamos aga limpia al recipiee a razó de galoes por mio. Fialmee digamos qe el aga se maiee bie mezclada de maera qe la coceració de azúcar es iforme e el recipiee y qe reiramos galó por mio de aga azcarada del fodo del recipiee. Cál será la coceració de azúcar e el momeo e qe el recipiee empieza a derramarse? Sol..5 lb 5. U depósio de galoes esá lleo de a solció qe coiee 5 libras de cocerado. Desde el isae se irodce e él aga desilada a razó de galoes/mi y se remeve la solció mieras se vacía a ese mismo rimo. a Epresar la caidad Q de cocerado e la solció e fció de. b Calclar el iempo qe arda la caidad de cocerado e llegar a 5 libras. c Hallar la caidad de cocerado e la solció cado. 5. U depósio de galoes esá lleo hasa s miad de aga desilada. E el isae empieza a erar e él a solció qe coiee.5 libras de cocerado por galó a razó de 5 galoes/mi. a mezcla bie removida e odo momeo escapa del depósio a razó de 3 galoes/mi. a E qé momeo se acabará de llear el depósio? b E ese isae cáas libras de cocerado coedrá? 5. Spoga qe a solció salia co.3 kg de sal por liro se irodce e aqe qe coeía origialmee 4 liros de aga y kg de sal. Si la solció era a razó de liros/mio la mezcla se maiee iforme revolviédola y la mezcla sale co la misma razó deermie la masa de sal e el aqe e el aqe despés de mios. [Sgerecia: sea A el úmero de kilogramos de sal e el aqe mios despés de iiciar el proceso] Sol. 8 kg

92 53. Spoga qe a solció salia co kg de sal por liro se irodce e aqe qe coiee iicialmee 5 liros de aga y 5 kg de sal. a solció era al aqe a razó de 5 liros/mio. a mezcla se maiee iforme revolviédola y sale del aqe a razó de 5 liros/mio. a Deermie la coceració e kilogramos/liro de la sal e el aqe despés de mios. [Sgerecia: Sea A el úmero de kilogramos de sal e el aqe mios despés de iiciar el proceso] b Despés de mios aparece derrame e el aqe y comieza a salir del aqe oro liro por mio. Cál será la coceració e kilogramos/liro de sal e el aqe despés de mios a parir del iicio del derrame? Sol. a.8 kg/ b.598 kg/ 54. Ua solció salia era a a razó cosae de 8 liros/mio e aqe de gra amaño qe e pricipio coeía liros de solció salia e qe se había diselo.5 kg de sal. a solció dero del aqe se maiee bie revela y sale del aqe co la misma razó. Si la coceració de sal e la solció qe era al aqe es de.5 kg/liro deermie la masa de sal e el aqe despés de mios. Cádo llegará la coceració de sal e el aqe a. kg/liro? Sol. 5 45e -/5 kg 5.7 mi 55. Ua solció salia era a a razó cosae de 6 liros/mio e aqe de gra amaño qe e pricipio coeía 5 liros de solció salia e qe se había diselo.5 kg de sal. a solció dero del aqe se maiee bie revela y sale del aqe co la misma razó. Si la coceració de sal e la solció qe era al aqe es de.5 kg/liro deermie la masa de sal e el aqe despés de mios. Cádo llegará la coceració de sal e el aqe a.3 kg/liro? 56. Ua solció de ácido írico era a a razó cosae de 6 liros/mio e aqe de gra amaño qe e pricipio coeía liros de a solció de ácido írico al.5%. a solció dero del aqe se maiee bie revela y sale del aqe a razó de 8 liros/mio. Si la solció qe era al aqe iee ácido írico al % deermie el volme de ácido írico e el aqe despés de mios. Cádo llegará el porceaje de ácido írico e el aqe a % Sol ; 9.96 mi.

93 57. Ua solció salia era a razó cosae de4 liros/mio e aqe de gra amaño qe e pricipio coeía liros de aga pra. a solció dero del aqe se maiee bie revela y sale del aqe a razó de 3 liros/mio. Si la coceració de sal e la solció qe era al aqe es de. kg/liro deermie la masa de sal e el aqe despés de mios. Cádo llegará la coceració de sal e el aqe a. kg/liro? 58. Ua alberca cyo volme es de galoes coiee aga co cloro al.%. A parir del isae se bombea aga del servicio público co cloro al.% hacia la alberca a razó de 5 galoes/mio. El aga sale de la alberca co la misma razó. Cál es el porceaje de cloro e la alberca despés de hora? E qé momeo el aga de la alberca edrá.% de cloro? Sol..97%; 73.4 h 59. U aqe coiee 8 galoes gal de aga pra. Ua solció de salmera qe coiee libras por galó de sal es irodcida e el aqe a razó de galoes por mio y lego perfecamee mezclada sale a la misma velocidad. Ecere a la caidad de sal e el aqe e calqier isae y b el iempo e qe la salmera qe sale coedrá a libra por galó de sal c deermie el valor límie de la caidad de sal qe peda hallarse despés de mcho iempo. d Cáo iempo pasará aes de qe la caidad de sal alcace 8% de ese valor límie? Sol. c s 6 libras; d 64 mios. 6. U depósio co a capacidad de decaliros dal esá medio lleo de aga dlce. Se abre a cañería qe permie irodcir agas residales e el depósio procesadas a rimo de 4 dal por mio. Al mismo iempo se abre desagüe qe permie desalojar la mezcla a rimo de dal por mio. Si las agas residales procesadas coiee gramos de poasio ilizable por dal cál es la coceració de poasio e el depósio cado esá lleo? Tega cidado co las idades! Sol. a coceració de poasio es de 7.5 gramos por decaliro 6. Iicialmee aqe co a capacidad de dal esá lleo de aga. Se irodce aga pra a rimo de dal por mio. Al mismo iempo flye e el aqe a rimo de dal por mio salmera a mezcla de sal y aga qe coiee ¼ de kilogramo de sal por dal. Spoga qe hay a mezcla perfeca. a mezcla sale del aqe a rimo de dal por mio. Calcle la caidad de sal qe habrá e el aqe despés de mios.

94 6. Spoga qe eemos depósio de dal lleo de aga dlce. Se abre desagüe qe reira del depósio 3 dal por segdo y al mismo iempo se abre a válvla qe deja erar a solció del % a coceració del % de cloro a rimo de dal por segdo. a Cádo se ecera el depósio lleo hasa la miad? Y e ese momeo cál es la coceració de cloro? b Si se cierra el desagüe cado el depósio esá medio lleo y ése se va lleado cál será la coceració fial de cloro e el depósio? Sol. a El aqe esá medio lleo segdos despés de qe se haya abiero la válvla y el desagüe. E ese isae la solció coiee 75% de cloro. b a coceració fial es del.875%. 63. Spoga qe c ma es la máima coceració admisible de medicameo e órgao dado y qe el volme V de ése es cosae. Si además se spoe qe iicialmee el órgao o coiee dicho medicameo qe el líqido qe raspora la medicació dero del órgao iee a coceració cosae c > c ma y qe las velocidades de erada y salida de líqido so ambas igales a r demesre qe o se pede permiir la erada del líqido drae iempo sperior a V r l c c c ma 64. U aqe coiee iicialmee gal de salmera e el qe se ha diselo lb de sal. Comezado e el iempo la salmera qe coiee 3 lb de sal disela por galó era al aqe a razó de 4 gal/mi. a mezcla se coserva iforme mediae agiació y esado bie agiada sale simláeamee del aqe co la misma rapidez. a Qé caidad de sal habrá e el aqe despés de mios? b Cádo se edrá e el aqe 6 lb de sal?. Sol. a.3 lb b 7.33 mi 65. U aqe grade coiee iicialmee gal de salmera e el qe se ha diselo lb de sal. Comezado e era aga pra al aqe a razó de 5 gal/mi. a mezcla se maiee iforme mediae agiació y esado la mezcla bie agiada sale simláeamee co a rapidez de gal/mi. a Qé caidad de sal habrá e el aqe despés de 5 mi y cál será la coceració e ese iempo? b Si la capacidad del aqe es de 5 gal cál será la coceració e el aqe e el isae e qe empieza a desbordarse?

95 66. U aqe coiee iicialmee gal de aga pra. Comezado e a salmera qe coiee 4 lb de sal por galó era al aqe a razó de 5 gal/mi. a mezcla se coserva iforme mediae agiació y esado bie agiada sale co a rapidez de 3 gal/mi. a Qé caidad de sal habrá e el aqe despés de mios? b Cádo habrá e el aqe 5 lb de sal? Sol. a lb b.595 mios 67. U aqe grade coiee iicialmee gal de salmera e la qe se ha diselo 5 lb de sal. Comezado e la salmera coiee 4 lb de sal por galó y era al aqe a razó de 3.5 gal/mi. Mediae agiació la mezcla se coserva iforme y esado bie agiada sale del aqe co a rapidez de 4 gal/mi. a Qé caidad de sal habrá e el aqe despés de a hora? b Qé caidad de sal habrá e el aqe cado ése coega solamee 5 gal de salmera? 68. U aqe de 5 liros coiee iicialmee 3 liros de líqido e los qe hay diselos 5 g de a ciera ssacia qímica. El líqido qe coiee 3 g por liro de la ssacia qímica disela era al aqe co a rapidez de 4 liros/mi. Mediae agiació la mezcla se maiee iforme y esado agiada sale a razó de.5 liros/mi. Qé caidad de la ssacia qímica habrá e el aqe e el isae qe empieza a desbordarse? Sol gramos 69. U aqe de liros iicialmee se ecera lleo de líqido e el qe se ha diselo 4 g de a ciera ssacia qímica. El líqido qe coiee 5 g por liro de esa ssacia era al aqe a razó de 5 liros/mi. a mezcla se coserva iforme mediae agiació y esado 5 g por liro de esa ssacia era al aqe a razó de 5 liros/mi. a mezcla se coserva iforme mediae agiació y esado bie agiada sale a razó de 7 liros/mi. Qé caidad de la ssacia qímica habrá e el aqe cado se ecere lleo hasa la miad? 7. El aire de caro cyo volme es pies cúbicos coiee.5% de dióido de carboo. Comezado e el aire del eerior coiee.5% de dióido de carboo y era al caro a razó de 5 pies cúbicos/mi. a Cál es el porceaje de dióido de carboo e el aire del caro despés de res mios? b Cádo coedrá el aire del caro.% de dióido de carboo? Sol. a.7% b.39 mi.

96 7. El aire de caro de 5 por por 8 pies cúbicos coiee.% de dióido de carboo. Comezado e el aire del eerior coiee.5% de dióido de carboo y era al caro. Cáos pies cúbicos de ese aire eerior deberá ser admiidos por mio a fi de qe el aire e el caro coega.% despés de 3 mios? 7. a rapidez co la qe a ciera ssacia se diselve e aga es proporcioal al prodco de la caidad o disela y la diferecia c c dode c es la coceració e la solció sarada y c es la coceració e la solció real. Si esá sarada 5 g de aga podría disolver g de la ssacia. Si g de la ssacia se coloca e 5 g de aga y la miad de la ssacia se diselve e 9 mi qé caidad se disolverá e 3 hr? Sol. 7.5 gramos 73. U aqe coiee 5 galoes de salmera e el qe se ha diselo 5 libras de sal. Comezado e el iempo se admiisra aga a a velocidad de gal/mi; la mezcla se drea a la misma velocidad hacia segdo aqe qe iicialmee coiee 5 galoes de aga pra. E qé momeo coedrá el segdo aqe la caidad más ala de sal? 74. U aqe esá lleo co galoes de aga salada e la cal esá diselas 5 lb de sal. Aga salada coeiedo 3 libras de sal por gal era al aqe a gal por mio y la mezcla bie agiada sale a la misma asa. a Ecorar la caidad de sal e el aqe e calqier iempo. b Cáa sal esa presee despés de mi? c Cáa sal esá presee despés de iempo largo? Sol. a A 3 5e-/5; b 6.6 lb; c 3 lb 75. Dos qímicos A y B reaccioa para formar oro qímico C. se ecera qe la asa a la cal C se forma varía co las caidades isaáeas de los qímicos A y B presees. a formació reqiere lb de A por cada libra de B. Si lb de A y lb de B esá presees iicialmee y si 6 lb de C se forma e mios ecorar la caidad del qímico C e calqier iempo. Sol. 5 3 A

97 76. U aqe coiee liros de aga dode se ha diselo 3 g de sal y le era 4 /mi de solció co g de sal por liro; bie mezclado de él sale líqido co la misma rapidez. Calcle la caidad A de gramos de sal qe hay e el aqe e calqier isae. 77. U aqe coiee liros de aga dode se ha diselo 3 g de sal y le era 4 /mi de aga pra de él sale líqido co la misma rapidez. Calcle la caidad A de gramos de sal qe hay e el aqe e calqier isae. 78. U aqe iee 5 galoes de aga pra y le era salmera co libras de sal por galó a razó de 5 gal/mi. El aqe esá bie mezclado y de él sale solció co la misma rapidez. Deermie la caidad A de libras de sal qe hay e el aqe e calqier isae. Cál es la coceració de la solció e el aqe cado 5 mi? 79. U aqe iee 5 galoes de aga pra y le era salmera co libras de sal por galó a razó de 5 gal/mi. El aqe esá bie mezclado y de él sale solció a razó de gal/mi. Deermie la caidad A de libras de sal qe hay e el aqe e calqier isae. Cál es la coceració de la solció e el aqe cado 5 mi? cádo se vacía el aqe? 8. U aqe esá parcialmee lleo co galoes de salmera co libras de sal disela. e era salmera co ½ lb de sal por galó a razó 6 gal/mi. El coeido del aqe esá bie mezclado y de él a razó de 4 gal/mi de solció. Calcle la caidad de libras de sal qe hay e aqe a los 3 mios. 8. U depósio coiee l de líqido e el qe se diselve 3 gramos de sal. a salmera qe coiee gramo de sal por liro se bombea hacia el depósio a a rapidez de 4 /mi; la solció bie mezclada se bombea hacia fera a la misma rapidez. Calcle la caidad A de gramos de sal qe se ecera e el depósio e el iempo..9 Resores 8. U objeo co a masa igal a 4 slgs 8 lb/3 pies/s se sspede de melle co a cosae de 64 lb/pie. El movimieo del objeo comieza si velocidad iicial se esira 6 plgadas bserve las idades! bajo la posició de eqilibrio y despés se sela. Si o hay resisecia del aire halle a fórmla para la posició del objeo e calqier isae >. Adviera qe el eciado del problema coiee dos codicioes iiciales.

98 83. Ua masa de g celga del eremo de melle co a cosae de 88 dias/cm y se le deja alcazar el po de eqilibrio. Eoces se poe e movimieo al esirar el melle 3 cm desde s posició de eqilibrio y al solar la masa co a velocidad iicial de cm/s e direcció hacia abajo posiiva. Halle la posició de la masa e isae > si o eise resisecia del aire. Sol. 3cos + 5/6se 84. Ua masa de / slg se sjea a melle co a cosae 6 lb/pie. a masa se poe e movimieo cado se desplaza 6 plgadas bajo s posició de eqilibrio si velocidad iicial. Halle el movimieo sbsigiee de la masa si a la cosae qe represea la resisecia del aire es de 4 lb/pie. 85. Ua masa de ½ kg se sjea a melle de cosae 8 N/m dode N idica los ewos. a masa se poe e movimieo al desplazarla cm sobre s posició de eqilibrio co a velocidad iicial de m/s e direcció hacia arriba. a Halle el movimieo sbsigiee de la masa si la cosae qe represea la resisecia del aire es de Ns/m. b Trace la gráfica de la fció hallada e el aparado a para 3 3 y 3 4. c Esime la mayor disacia de la masa sobre s posició de eqilibrio. Sol. a 3 e [ 3se 3 ] + 3cos 3 c a disacia máima es de aproimadamee 33 ceímeros. 86. E s dormiorio de la residecia a esdiae fija peso a melle qe celga del echo. Iicia el movimieo de la masa desde la posició de eqilibrio co a velocidad iicial e direcció hacia arriba. Pero drae ese eperimeo escaleras arriba hay zapaeado rímico de los esdiaes será baile o corol de plagas? qe provoca la vibració del echo y de odo el sisema masaresore. Teiedo e cea la resisecia del aire y esa ferza eera la esdiae deermia qe la ecació del movimieo es se co y. a Reselva esa ecació para la posició del peso respeco a s posició de reposo. b Uilice herramieas ecológicas para razar la gráfica de para.

99 87. a ecació describe la posició de a masa cocrea sjea a melle y pesa e movimieo esirádola pies por debajo de s posició de eqilibrio y doádola de a velocidad iicial de pies/s e direcció hacia arriba. Se spoe qe hay algo de resisecia e el aire. Eprese esa ecació como sisema de ecacioes de primer orde y describa lo qe represea cada ecació del sisema. 88. El problema de valor iicial modela el movimieo de sisema masa-resore co a ferza de amorigació. as codicioes iiciales idica qe la masa se ha esirado bajo s posició de eqilibrio y se ha solado. a Eprese ese problema de valor iicial como sisema de dos ecacioes de primer orde co las codicioes iiciales apropiadas. b Uilice herramieas ecológicas para razar la gráfica de la solció del sisema e el plao de fases. c Uilice herramieas ecológicas para razar la gráfica de la solció de la ecació origial de segdo orde relaiva al eje. d Comparado los reslados de los aparados b y c co las gráficas apropiadas por qé cree qe el movimieo mosrado e ese ejercicio se debería deomiar sobreamorigado? Sol.. 64; 3. El sisema es 89. Cosidere el sisema masa-resore represeado por el problema de valor iicial c +.5 co y. Aqí c es parámero posiivo. 4 a Eprese el problema de valor icial e érmios de sisema ecacioes de primer orde iclyedo las codicioes iiciales. b Para cada o de los valores c.5 y.5 ilice herramieas ecológicas para razar la gráfica de la solció del sisema e el plao de fases. c Para cada o de los valores c.5 y.5 ilice herramieas ecológicas para razar la gráfica de la solció de la ecació origial co respeco a sobre el iervalo. d Sobre la base de ss respesas a los aparados b y c describa cómo varía la araleza de la solció cado c pasa a ravés del valor cado c el sisema esá críicamee amorigado.

100 9. Cosidere el sigiee modelo de sisema de masa-resore: cos8 co y.. a Eprese el problema de valor iicial e érmios de sisema de ecacioes de primer orde iclyedo las codicioes iiciales. b Uilice herramieas ecológicas para razar la gráfica de la solció de la solció del sisema e el plao fases. c Uilice herramieas ecológicas para razar la gráfica de la solció de la ecació origial de segdo orde relaiva al eje. d Cál es la relació ere la gráfica del aparado c y las dos semirrecas y - para? Sol.. 6 cos8 64;. El sisema es 9. as ecacioes. y. y.5y ; y Represea deermiado sisema de masa resore co amorigamieo. Como de cosmbre spoga qe la direcció posiiva para es hacia abajo y qe el iempo se mide e segdos. a Ecere e y para 3 y 4 e ierpree la posició y la velocidad e cada caso. b Calcle el isae e el qe la masa alcaza por primera vez s posició de eqilibrio. 9. U peso de 6 libras esá ido al eremo iferior de resore qe esá sspedido del echo. a cosae del resore es 7 lb/pie. El peso se ecera e reposo e s posició de eqilibrio y al empezar e se aplica al sisema a ferza eera dada por F cos. Deermie el desplazamieo reslae como a fció del iempo spoiedo despreciable el amorigamieo. Sol. cos cos 4

101 93. U peso de libras celga del eremo iferior de resore qe esa sspedido del echo la cosae del resore es lb/pie. El peso se ecera e reposo e s posició de eqilibrio y al empezar e se aplica al sisema a ferza eera dada por F cos 8. El medio ofrece a resisecia e libras méricamee igal a 5d/d dode d/d es la velocidad isaáea e pies por segdo. Deermie el desplazamieo del peso como a fció del iempo. Sol. e 8 + se U peso de 6 libras celga del eremo iferior de resore qe esá sspedido del echo. El peso se ecera e reposo e s posició de eqilibrio y el resore esá alargado 4 plg. Despés al empezar e se aplica al sisema a ferza eera dada por F 7 se 4 3 cos 4. Si el medio ofrece a resisecia e libras méricamee igal a res veces la velocidad isaáea medida e pies por segdo deermie el desplazamieo como a fció del iempo. Sol. e 8 se4 + cos4 + se4 cos4 95. U resore qe iee a cosae de lb/pie esá sspedido del echo. U peso de 3 libras esá ido al eremo iferior del resore qe se ecera e reposo e s posició de eqilibrio. Al empezar e se aplica al sisema a ferza eera dada por F 4 cos ; despés el efeco de esa ferza se maiee hasa y e ese isae cesa de aplicarse. Cado > o acúa iga ferza. El medio ofrece a resisecia e libras méricamee igal a 4d/d dode d/d es la velocidad isaáea e pies por segdo. Deermie el desplazamieo del peso como a fció del iempo para odo. Sol. e 3se4 cos 4 + se + cos 3se4 e e + cos 4 > ; 96. U peso de 8 libras esá ido al eremo iferior de resore qe esá sspedido de po fijo. El peso se ecera e reposo e s posició de eqilibrio y el resore se ha esirado 6 plg. Despés el peso se desplaza 9 plg hacia debajo de s posició de eqilibrio y se sela e. El medio ofrece a resisecia e libras méricamee igal a 4d/d dode d/d es la velocidad isaáea e pies por segdo. Deermie el desplazamieo del peso como a fció del iempo y race la gráfica de s desplazamieo.

102 97. U resore es al qe a ferza de lb podría esirarlo 6 plg. El resore celga vericalmee y peso de 4 libras esá ido e s eremo. Despés de qe ese peso de 4 libras se ecera e reposo e s posició de eqilibrio se desplaza 8 plg hacia debajo de esa posició y se sela despés e. El medio ofrece a resisecia e libras méricamee igal a d/d dode d/d es la velocidad isaáea e pies por segdo. 98. U peso de 6 libras esá ido al eremo iferior de resore qe esá sspedido del echo. a cosae del resore es 7 lb/pie. El peso se ecera e reposo e s posició de eqilibrio y al empezar e se aplica al sisema a ferza eera dada por F cos. Deermie el desplazamieo reslae como a fció del iempo spoiedo despreciable el amorigamieo. Sol. cos cos 4

103 . Oras aplicacioes de las ecacioes difereciales.. Cajas regisradoras e spermercados 99. a caidad C de spermercados qe emplea cajas comparizadas e país esá defiida por el problema de valor iicial dc d C.5C C E dode >. Cáos spermercados iliza el méodo comparizado cado? Cáos lo adopará despés de iempo my largo?.. Cambio de masa y peso corporal. El peso de a persoa depede de las calorías qe oma y de la eergía qe cosme. A s vez esa úlima depede del peso de la persoa esimádose e 7.5 las calorías por libra cosmidas al día. Por ao cao más peso pierde a persoa meos eergía debe cosmir speso qe maiee ivel de acividad cosae. Como modelo para la pérdida de peso sirve la ecació dw d C w Dode w es el peso e libras el iempo e días y C el cosmo diario de calorías. a Hallar la solció geeral de esa ecació diferecial. b Ua persoa qe pesa 8 libras y comieza a diea de.5 calorías diarias cáo ardará e perder libras? Y e perder 35 libras? c Represear la solció e a gráfica. Cál es el peso límie de esa persoa? d Repeir los aparados b y c para a persoa qe pesa libras al comezar la diea

104 . Sea W W s peso e kilogramos el día de a diea. Si sed cosme C calorías cada día y s cerpo qema EW calorías por día dode E represea las dw calorías por kilogramo eoces la ecació k C EW modela s velocidad de d cambio de peso. Esa ecació epresa qe s velocidad de cambio de peso es proporcioal a la diferecia ere las calorías cosmidas y las calorías qemadas siedo k la cosae de proporcioalidad. C C ke a Demesre qe W + W e es a solció de la ecació dode W E E W es s peso al comiezo de la diea. b Dada la solció del aparado a qé le scede a W cado. c Si W 8 kg E 45 cal/kg k /7875 kg/cal y C 5 cal/día cáo ardará e perder kg? Cáo para 5 kg? Y para kg? Qé sgiere ss respesas acerca del proceso de pérdida de peso?. El crecimieo de a célla depede del fljo de riees a ravés de s sperficie sea W el peso de la célla e el isae y W o s peso e y spoga qe dw/d es proporcioal al área de la sperficie de la célla. a Dé argmeo qe apoye la proposició de qe dw/d αw /3 e dode α es a cosae de proporcioalidad. b Halle el peso de la célla e calqier isae. 3. Sea e y los amaños de dos órgaos ieros de ciero mamífero e el iempo. os daos empíricos idica qe las asas relaivas de crecimieo de esos dos órgaos so igales de modo qe d d y dy d Resolver esa ecació diferecial escribiedo y como fció de.

105 4. Co objeo de reglar la pesca e los oceaos se ha esablecido comisioes ieracioales para implemear los coroles. Para eeder el efeco de ales coroles se ha cosrido modelos maemáicos de poblacioes de peces. Ua eapa e ese esferzo por crear evos modelos iclye la predicció del crecimieo de ipo de pez. El modelo de crecimieo de vo Beralaffy se refleja e la ecació de Beroilli dw / αw 3 d βw Dode W W represea el peso de pez y α y β so cosaes posiivas. a Halle la solció geeral de la ecació. b Calcle límw el peso límie del pez. W c Uilizado la respesa al aparado b y la codició iicial W escriba la fórmla para W si cosaes arbirarias. d Bosqeje gráfico de W respeco de. Sol. a W α + Ce β β 3 3 ; b W α β 3 ; c W W / 3 e β 3..3 Capa límie e oceaografía 5. a ecació y 4 + λyy y y y dode λ es parámero posiivo srge e problema de capa límie o lieal de oceaografía física. Escriba esa ecació como sisema de caro ecacioes de primer orde.

106 ..4 Coamiació de lagos 6. Dos ríos desemboca e lago. Uo descarga diariamee a caidad de aga qe coiee a coceració de agee coamiae y el oro ciera caidad de aga limpia. Si se spoe qe el volme del lago es cosae la caidad oal de coamiació e el mismo Q se pede modelar mediae la ecació de eqilibrio dq d D Q * Q e la qe D es a cosae posiiva qe implica los dos cadales veridos al lago y el volme del mismo y Q* es a cosae posiiva qe implica el volme los cadales mecioados y la coceració del agee coamiae. a Cál es la solció de eqilibrio de esa ecació? b a solció ecorada e el aparado a es esable o iesable? Por ejemplo smidero idicaría qe la aporació del río limpio redce la caidad de coamiació e el lago a largo plazo. Sol. a Q Q*; b a solció es smidero y por ao esable...5 Crecimieo de crisales 7. a ecació y + y cosy describe modelo geomérico de crecimieo de crisal. Eprese esa ecació de ercer orde como sisema de res ecacioes de primer orde. Sol. El sisema es {y y y y 3 ; y 3 cosy y }

107 ..6 Crecimieo de iversioes 8. U grpo de empresas empieza a iverir e pare de ss igresos a razó de P dólares por año e fodo previso para reforzar la fra epasió del grpo. Speso qe el fodo reciba ierés de r por compeso coiamee la asa de crecimieo de la caidad A dispoible e el fodo es da ra + P d Dode A e. a Resolver esa ecació diferecial para hallar A e fció de. Calclar A para: b P $ r 6 por y 5 años c P $5 r 5 por y años d Calclar si el grpo ecesia $8 y pede iverir $75 al año e fodo a a asa del 8 por compeso coiamee...7 Crecimieo de céllas 9. U modelo de crecimieo poblacioal basae simple pero asombrosamee eaco e la predicció del crecimieo de mores es descrio por la ecació de Gomperz dn d an lbn Dode N es proporcioal al úmero de céllas e el mor y a b > so parámeros qe se deermia eperimealmee. Bejami Gomperz fe maemáico y acario iglés. a Haga boceo del diagrama de fases para esa ecació. b Bosqeje la gráfica de fn respeco de N. c Halle y clasifiqe odos los pos de eqilibrio para esa ecació. d Para N deermie dóde la gráfica de N respeco de es cócava hacia arriba y dóde es cócava hacia abajo. e Esboce N.

108 ..8 Crva de apredizaje. El jefe de persoal de a empresa esima e 3 el úmero máimo de idades qe pede prodcir rabajador diariamee. El rimo de crecimieo del úmero de idades N prodcidas respeco del iempo e días por empleado evo es proporcioal a 3 N. a Deermiar la ecació diferecial qe describe el rimo de cambio e la prodcividad respeco del iempo. b Resolver esa ecació diferecial. c Calclar la solció pariclar para empleado evo qe prodce idades el primer día y 9 el decimosegdo día.. Cado se iee e cea lo qe se olvida la rapidez de memorizació de algú ema se epresa por da k M A ka d dode k > k > A es la caidad a memorizar e el iempo M es la caidad oal qe se debe memorizar y M A es la caidad qe resa por ser memorizada. a Como la ecació diferecial es aóoma apliqe el cocepo de rerao fase para deermiar el valor límie de A cado. Ierpree el reslado. b Deermie A sjea a A. Trace la gráfica de A y comprebe s predicció e la pare a. Sol. a Cado km k + k M. km b A k + k km A k + k [ k+ k e ]. Observe qe para k > y k > eoces..9 Crvas de persecció. U coejo pare del orige y corre por la rama derecha de la parábola y co a velocidad a. Al mismo iempo perro qe corre a a velocidad b pare del po c y persige al coejo. Escriba a ecació diferecial para la rayecoria del perro.

109 .. Dosis y elimiació de medicameos y hormoas 3. Spoga qe se sa peobarbiol sódico para aesesiar a perro: el perro qeda aesesiado cado s corriee sagíea coiee por lo meos 45 miligramos mg de peobarbiol sódico por kilogramo del peso del perro. Spoga ambié qe el peobarbiol sódico es elimiado de la corriee sagíea del perro e forma epoecial co a vida media de 5 h. qé dosis úica debe ser admiisrada para eer aesesiado drae a h a perro de 5 kg? 4. El biarrao de hidrocodoio es a droga sada para elimiar la os y aliviar el dolor. a droga se elimia del cerpo mediae proceso de decaimieo aral co a vida media de 3.8 h. a dosis sal es de mg cada 6 horas. a Describa y reselva el problema co valor iicial qe modela la caidad de biarrao de hidrocodoio e paciee despés de a dosis. Spoga qe la caidad del medicameo aes de la dosis es Q y qe el medicameo es absorbido imediaamee. b Spoga qe paciee oma biarraro de hidrocodoio sólo día. Spoiedo qe iicialmee o hay iga caidad del medicameo e el sisema del paciee represee de maera gráfica la caidad a lo largo de días. Noe qe el paciee oma 4 dosis el primer día y iga el segdo. d K 5. E el campo de la farmacociéica la ecació de Michaels-Meo d A + describe el rimo co el qe cerpo procesa a droga dode es la coceració de ésa e el cerpo e el isae y K y A so cosaes posiivas. a Para la cocaía A 6 K y.5. Evalúe para 3 y. Calcle cáo iempo será ecesario para qe la coceració se redzca a la miad de s valor iicial. b Para el alcohol A.5 K y.5. Evalúe para y.5. Esime cáo iempo será ecesario para qe la coceració se redzca a la miad de s valor iicial. 6. Por vía iraveosa a paciee le smiisra glcosa e la sagre a a asa cosae de c gramos por mio. Al mismo iempo el cerpo del paciee asimila la glcosa y la elimia de s sagre a a velocidad qe es proporcioal a la caidad de glcosa presee. Si la cosae de proporcioalidad es k demesre qe cado el iempo amea la caidad de glcosa e la sagre se aproima a valor de eqilibrio c/k.

110 7. Spoga qe el cerpo hmao elimia medicameo a a velocidad qe es proporcioal a la caidad y de medicameo presee e la sagre e el iempo. E el iempo se aplica a primera iyecció de y gramos del medicameo a paciee cyo cerpo esaba libre de ese medicameo. a Ecere la caidad residal de medicameos presee e la sagre al fial de T horas. b Si e el iempo T se aplica a segda iyecció de y gramos ecere la caidad residal de medicameo e la sagre al fial de T horas. c Si al fial de cada periodo de logid T se aplica a iyecció de y gramos ecere la caidad residal de medicameos presee e la sagre al fial de T horas. d Ecere el valor límie de la respesa a la pare c cado iede a ifiio. Sol. d y e e kt kt 8. Se iyeca glcosa e sagre a razó de q idades por mio y el cerpo desaloja glcosa de la sagre a rimo proporcioal a la caidad presee. Sea Q la caidad de glcosa e la sagre e el isae. a Deermiar la ecació diferecial qe describe el rimo de cambio de la glcosa e sagre co respeco al iempo. b Resolver esa ecació diferecial omado Q Q o cado. c Calclar el límie de Q cado.

111 9. Cado se admiisra eofilia fármaco para el asma a coceració e la sagre por debajo de 5 mg/l iee poco efeco; pero si la coceració ecede los mg/l aparece efecos secdarios o deseados. Spoga qe iicialmee se admiisra a dosis correspodiee a 4 mg/liro de sagre. a coceració se adecúa a la ecació diferecial dc/d -C/6 dode el iempo esá epresado e horas. a Ecere la cococeració e el isae. b Demesre qe para impedir qe el fármaco se velva ieficaz despés de aproimadamee 6 horas hará fala admiisrar a segda iyecció. c Dado qe la segda iyecció ambié icremea la coceració e 4 mg/l cáo iempo rascrrirá hasa qe sea ecesario admiisrar ora iyecció? d Cál es el iempo míimo de segridad ras el qe se pede aplicar a segda iyecció de forma qe o se prodzca efecos secdarios? e Dibje las gráfica de las siacioes de los aparados b c y d Sol. a C C 4e -/6 ; c 8.6 horas d 5.8 horas. U méodo para admiisrar fármaco es smiisrarlo coiamee e el fljo sagíeo mediae proceso llamado ifsió iraveosa. Ese proceso pede ser dc modelado mediae la ecació diferecial separable y lieal µc + D dode C d es la coceració e la sagre e el isae µ es a cosae posiiva y ambié lo es D el rimo o la razó co qe se admiisra el fármaco. a Ecere la solció de eqilibrio de la ecació diferecial aqella solció al qe dc/dt. b Si C C cado bsqe la coceració e el isae. A qé límie iede dicha coceració cado? Compare s respesa co la del aparado a. c Dibje la gráfica de a solció ípica.

112 . Co frececia la secreció de hormoas e la sagre es a acividad periódica. Si a hormoa se secrea e ciclo de 4 horas eoces la razó de cambio del ivel de la hormoa e la sagre se pede represear mediae el problema co valor iicial d d α βcos k dode es la caidad de la hormoa e la sagre e el isae α es la razó promedio de secreció y k es a cosae posiiva qe refleja la razó co la qe el cerpo elimia la hormoa de la sagre. Si α β k y halle. Sol. cos / 4 + / /se / 4 + / / e. a rapidez co qe se disemia a medicia e el orree sagíeo se describe co la ecació diferecial d/d r k dode r y k so cosaes posiivas. a fció describe la coceració del fármaco e la sagre e el momeo. a Como la ecació diferecial es aóoma apliqe el cocepo de rerao fase para deermiar el valor límie de cado. b Reselva la ecació diferecial sjea a. Trace la gráfica de y comprebe s predicció e la pare a E qé momeo la coceració es la miad de s valor límie?.. Dreado de líqidos 3. U aqe iee la forma de cilidro verical; iicialmee coiee aga co a profdidad de 9 pies y apó e el fodo es reirado e el momeo horas. Despés de h la profdidad del aga ha descedido a 4 pies. Cáo iempo ardará el aga e salir por compleo? 4. E el isae se qia el apó del fodo e el vérice de aqe cóico de 6 pies de alra lleo de aga. Despés de h el aga del aqe iee 9 pies de profdidad. Cáo ardará el aqe e vaciarse? 5. Spoga qe aqe cilídrico qe iicialmee coiee V galoes de aga se vacía a ravés de agjero e el fodo e T mios. Uilice la ley de Torrichelli para demosrar qe el volme del aga e el aqe despés de T mios esa dado por V V [ /T ].

113 6. U aqe de aga iee la forma qe se obiee al hacer girar la parábola by alrededor del eje y. a profdidad del aga es de 4 pies a medio día cado se reira apó circlar qe esá e el fodo. A la p.m. la profdidad del aga es de pie. a Deermie la profdidad y del aga resae despés de horas. b A qé hora se habrá vaciado el aqe? c Si el radio iicial de la sperficie sperior del aga es de pies cál es el radio del agjero circlar del fodo? 7. U aqe esférico de 4 pies de radio lleo de gasolia iee agjero e el fodo de plg de radio. Cáo iempo ecesiará la gasolia e vaciarse cado se abra el agjero? 8. U embdo de cm de diámero e la pare sperior y cm de diámero e la iferior iee a alra de 4 cm. Si se llea de aga hallar el iempo qe se arda e vaciar. Sol. 3.7 s 9. U recipiee e forma de cilidro circlar reco e posició verical deja escapar aga por orificio circlar e s fodo. Cado se igora la fricció y la coracció del aga e el orificio la alra h del aga e el depósio se describe por medio de dh A d A h w gh Dode A w y A h so las áreas de secció rasversal del aga y el orificio respecivamee. a Deermie h si la alra iicial del aga es H. Trace a mao la gráfica de h y eprese s iervalo de defiició e érmios de los símbolos A w y A h y H. Uilice g 3 pies/s. b Spoga qe el recipiee iee pies de alo y radio de dos pies y el agjero circlar iee radio de media plgada. Si al pricipio el recipiee esá lleo cáo arda e qedar vacío?

114 .. Ecació de ada 3. E el campo de la mecáica de flidos es imporae la ecació de ada R R c k 3 dode k y R c so cosaes posiivas y R es parámero qe pede adqirir diversos valores. a Si R R c demesre qe la úica solció de eqilibrio es y qe ésa es smidero. b Si R > R c demesre qe hay res solcioes de eqilibrio R Rc R Rc y y qe la primera solció es a fee mieras qe k k las oras dos so smideros...3 Edad del iverso 3. De acerdo co a eoría cosmológica había igal caidad de los dos isóopos de raio U 35 y U 38 e el momeo de la creació del iverso drae la Gra eplosió el big bag. E el momeo acal hay 37.7 áomos de U 38 por cada áomo de U 35. Cosiderado como vida media años para el U 35 y 7. 8 años para el U 38 calcle la edad del iverso...4 Evaporació 3. Dos líqidos hierve e recipiee. Se ecera qe la relació de las caidades de cada líqido qe evapora e calqier isae es proporcioal a la relació de las caidades y y qe permaece e esado líqido. Demosrar qe y ky/ y resolver esa ecació diferecial.

115 ..5 Gees heredados 33. E el esdio de la géeica poblacioal las idades biológicas llamadas gees deermia qe caracerísicas hereda los seres vivos de ss padres. Spoga qe se cosidera ge co dos sabores A y a qe se da e las proporcioes p y q p respecivamee e isae e a població pariclar. Spoga qe se cmple la relació dp ν µ + ν p d dode µ es a cosae qe describe rimo de mació hacia delae y ν es ora cosae qe represea el rimo de mació hacia arás. a Deermie p y q e érmios de p q µ y ν. b Demesre qe frececias géicas de eqilibrio. ν µ lím p y lím q. Ésas so las llamadas µ + ν µ + ν..6 Iesidad de la lz a ciera profdidad 34. a iesidad I de la lz a a profdidad de meros bajo la sperficie de lago saisface la ecació diferecial di/d -.4I. a A qé profdidad la iesidad es la miad de la iesidad I e la sperficie dode? b Cál es la iesidad a a profdidad de m como fracció de I? c A qé profdidad la iesidad será % de la correspodiee e la sperficie? 35. Cado pasa haz verical de lz por a ssacia rasparee la rapidez co qe decrece s iesidad I es proporcioal a I dode represea el espesor e pies del medio. E aga de mar clara la iesidad a 3 pies bajo la sperficie es 5% de la iesidad iicial I del haz icidee. Cál es la iesidad del haz a 5 pies bajo la sperficie? Sol. I5.98I ; aproimadamee.% de I

116 ..7 ey de radiació de Sefa 36 a ley de radiació de Sefa esablece qe la razó de cambio e la emperara de cerpo a T grados e medio a M grados es proporcioal M 4 T 4 ; es decir dt k[m 4 T 4 ] d Dode k es a cosae. Sea k 4-4 y spogamos qe la emperara del medio es cosae M 7 F. Si T F ecere T y T. 37. a ley de Sefa para la radiació esablece qe la razó de cambio de la emperara de cerpo a T grados Kelvi e medio qe esá a M grados kelvi es proporcioal a M 4 T 4. Es decir dt d k 4 4 M T dode k es a cosae posiiva. Reselva esa ecació mediae separació de variables. Epliqe por qé las leyes de Newo y Sefa so casi igales cado T es cercaa M y M es cosae. [Sgerecia: facorice M 4 T 4 ]. 3 arca T / M 4M k Sol. T M CT + M e ; para T cerca de M M 4 T 4 4M 3 M T de modo qe dt/d k M T dode k 4M 3 k. 38. Segú la ley de Sefa de la radiació la rapidez de cambio de la emperara de objeo cya emperara absola es T es dt d 4 4 k T T m E dode T m es la emperara absola del medio qe lo rodea. Deermie a solció de esa ecació diferecial. Se pede demosrar qe cado T T m es peqeña e comparació co T m esa ecació se apega mcho a la ley de Newo del efriamieo.

117 ..8 Número de empleados 39. Ua agecia gberameal iee acalmee a plailla de 6 empleados ere los qe 5% so mjeres. os empleados va dejado s rabajo de modo aleaorio a rimo de por semaa. Se coraa ssios a rimo de por semaa. Se coraa ssios a rimo de 5 por semaa co la codició de qe la miad sea mjeres. a Cál es el amaño de la plailla de la agecia ras 4 semaas? Qé porceaje será mjeres e ese momeo? b Si se hbiera decidido qe odos los evos empleados fera mjeres cál habría sido dicho porceaje? Sol. a El úmero de rabajadores qe coforma la plailla de la agecia es de 4 33% de los cales so mjeres b 5%...9 Perdida de calor 4. Ua pared de ladrillo k. iee espesor de 3 cm. Si el parámero ierior esá a C y el eerior a C hallar la emperara e la pared como a fció de la disacia del parámero eerior y la pérdida de calor por día a ravés de mero cadrado. Sol. T /3; 69 cal... Presió baromérica 4. a presió baromérica p e plgadas de mercrio a a alra de millas sobre el ivel del mar saisface el problema co codició iicial dp/d -.p; p 9.9. a Calcle la presió baromérica a pies y lego a 3 pies. b Si acodicioamieo previo pocas persoas pede sobrevivir cado la presió desciede a meos de 5 plg de mercrio Cál es esa alra?.. Propagació de rmor 4. Ciera iformació ddosa relaiva a los efecos de la feileilamia e el aga poable comezó a eederse día e a cidad de habiaes. Despés de a semaa persoas había oído el rmor. Spoga qe la razó de ameo del úmero de las qe ha oído el rmor es proporcioal al úmero de los qe aú o esccha el rmor. Cáo iempo pasará hasa qe la miad de la població de la cidad haya escchado el rmor?

118 43. a propagació de a acció e a població grade por ejemplo la compra de les e lgar de Cadllac a medo depede parcialmee de circsacias eeras como por ejemplo el precio la calidad y los regisros de frececia de reparació y e pare de a edecia hmaa a imiar a qiees ya ha llevado a cabo la misma acció. E ese caso la velocidad del icremeo de la proporció y de gee qe ha llevado a cabo la acció se pede epresar por medio de la fórmla dy d y[ s + Iy] E la qe s mide el esímlo eero e I es a cosae deomiada coeficiee de imiació. a Observe qe la ecació es a ecació de Riccai y qe y es a solció pariclar. Uilice el reslado del úlimo Uilice el reslado de y para deermiar si z saisface la ecació de Beroilli. b Deermie y para el caso e el qe el ésimlo eero amea gradalmee co el iempo de al maera qe s a para a cosae posiiva a. Eprese la respesa e forma de a iegra... Propagació de a ifecció 44. Spógase qe esdiae porador de virs de gripe regresa a camps iversiario aislado qe iee esdiaes. Spogamos qe la rapidez co qe el virs se propaga es proporcioal o sólo al úmero de esdiaes coagiados sio ambié al úmero de esdiaes o coagiados. Deermiar el úmero de esdiaes coagiados despés de 6 días si además se observa qe despés de 4 días ya era 5 los coagiados Sol esdiaes

119 45. U dormiorio iversiario aloja a esdiaes cada o de los cales es sscepible de coraer ciera ifecció viral. U modelo maemáico simple spoe qe drae el crso de a epidemia la asa de cambio co respeco al iempo del úmero de esdiaes coagiados I es proporcioal al úmero de esdiaes coagiados y ambié al úmero de almos o coagiados I. a Si e el iempo solo esdiae esa coagiado demesre qe el úmero de esdiaes coagiados esá dado por: e I 99 + e k k b Si la cosae de proporcioalidad k iee valor de. cado es medido e días ecere el valor de la asa de evos casos I al fial de cada día para los primeros 9 días. 46. U modelo lieal de la difsió de a epidemia e a comidad de persoas es el problema de valor iicial d d r E dode represea la població cado el iempo es r > es a rapidez cosae y es eero posiivo peqeño por ejemplo. Epliqe por qé segú ese modelo odos los idividos coraerá la epidemia. Deermie e cáo iempo la epidemia segirá s crso.

120 47. as ecacioes dt kvt δt d dv cv d Se sa para el modelado de ifeccioes por VIH-. Aqí T represea el úmero de céllas ifecadas; T T el úmero de céllas poecialmee ifecadas e el isae de iicio de la erapia; V V la coceració de paríclas virales e plasma; k el rimo de ifecció; c la cosae de rimo de elimiació de paríclas virales; y δ el rimo de pérdida de céllas prodcoras de virs. a Reselva la segda ecació para V epresado la solció e érmios de V V. b Co la solció hallada e el aparado a demesre qe la solció de la ecació diferecial para T se pede escribir como T Te δ kt V + δ c c δ e e Qé deermia la solció del aparado a sobre el úmero de céllas ifecadas cado? Sol. a V V e -c ; b El úmero de céllas ifecadas iede a cero cado.

121 48. U famoso modelo para la propagació de a efermedad es el modelo S-I-R. E isae dado S represea la població de sscepibles de ser ifecados aqellos qe o ha eido ca la efermedad y pede coraerla; I simboliza los ifecados aqellos qe iee la efermedad acalmee y qe pede coagiarla a oros; y R deoa los recperados los qe ha eido la efermedad y so imes. Spoga qe esas poblacioes esá relacioadas mediae el sisema ds. SI d di I. SI d 4 dr I d 4 Co S 45 4 I y R 5. a Sme ambos miembros de las res ecacioes difereciales e ierpree el reslado e érmios de a població. b Trace por separado las gráficas de S I y R como fcioes de. c Trace los diagramas de fases e los plaos S-I S-R e I-R. d Ecere los valores de R e y 7 días. Qé observa? e Aproime el valor de e qe I. ds di dr d Sol. a + + S + I + R. d d d d Eso sigifica qe la població oal o varía. 49. Spoga qe almo es porador del virs de la gripe y regresa a s escela dode hay esdiaes. Si se spoe qe la rapidez co qe se propaga el virs es proporcioal o sólo a la caidad de almos ifecados sio ambié a la caidad de almos o ifecados deermie la caidad de almos ifecados seis días despés si se observa qe a los caro días 4 5. Sol. 76 almos

122 ..3 Pblicidad e veas 5. Al aalizar el efeco de la pblicidad e las veas de prodco se pede eraer el sigiee modelo del rabajo realizado por los ecoomisas Vidale y Wolf. ds ra + + λ S ra d M Aqí S S idica la cifra de veas A A represea el volme de pblicidad M es el ivel de saració de prodco el límie de veas qe se pede alcazar e la prácica y r y so cosaes posiivas. Obviamee la solció de esa ecació lieal depede de la forma de la fció de pblicidad A. a reselva la ecació si A es cosae a lo largo de iervalo de iempo cocreo y se ala ras ése: E realidad deberá resolver dos ecacioes y despés combiar las solcioes apropiadamee. b Dibje gráfico ípico de S respeco de. Elija valores razoables para odas las cosaes e s solció. A A para para T > T Sol. Si st S T podemos escribir la solció como ra S ra + λ M λ T ST e + S ra e ra + λ M ra + λ M para T para T b Si omamos los valores A ; r ; λ.; S ; S T 36 ; M 6 y T obedremos la sigiee gráfica:

123 ..4 Reacció qímica 5. Ua reacció qímica bimoleclar es aqella e la qe las moléclas de la ssacia A colisioa co las moléclas de la ssacia B creado la ssacia X. El rimo de formació o velocidad de reacció viee dado por a ecació diferecial de d la forma k α β dode α y β represea las caidades iiciales de las d ssacias A y B respecivamee y idica la caidad de la ssacia X presee e el isae. a Uilice herramieas ecológicas para razar el campo de direccioes e el caso de qe α 5 β 4 y k.6. b Si cál parece ser el comporamieo de cado. Sol. b parece aproimarse a 4 cado...5 Qia ieve 5. Drae a evada coia hombre comieza a despejar la baqea al mediodía removiedo la ieve co a pala a a asa cosae y despejado camio de amplid cosae. Cerca de las pm el hombre ha qiado la ieve de dos cadras y la de a más alrededor de las 4 de la arde. Cádo comezó a caer la ieve? Epliqe el proceso de modelació [Sgerecia: se reqiere más sposicioes para resolver el problema] 53. Temprao por la mañaa comieza a evar a a razó cosae. A las 7: a.m. a máqia barredora reira la ieve de la carreera. Hacia las 8: a.m. ha recorrido millas pero le omó h más hasa las : a.m. recorrer millas adicioales. a Sea cado empezó a evar y sea la disacia recorrida por la barredora hasa el isae. Spoiedo qe la barredora qia la ieve del camio a a velocidad cosae e pies cúbicos por hora digamos demesre qe d k d E dode k es a cosae. b A qé hora empezó a evar? Sol. A las 6: a.m.

124 54. Spogamos qe el rimo de cambio e el úmero s de millas por hora de carreera qe limpia a máqia qiaieves es iversamee proporcioal a la alra de la ieve. a Escribir y resolver la ecació diferecial qe verifica s como fció de h. b Calclar la solció pariclar qe cmple s 5 millas cado h plgadas y s millas cado h plgadas h Comieza a evar a a velocidad cosae e algú momeo de la mañaa. A mediodía a máqia qiaieves comieza a rabajar a a velocidad cosae. Drae la primera hora la máqia limpia el doble qe e la segda hora. E qé momeo comezó a evar?..6 Respesa a esímlos 56. El fisiólogo alemá Gsav Fecher ideó el modelo epresado como dr k dode k es a cosae para describir la respesa R a esímlo S. ds S Uilice herramieas ecológicas para hacer boceo del campo de direccioes e el caso el caso e qe k..

125 Uidad 3 Aplicacioes maemáicas a procesos específicos de cada igeiería 3. Series de Forier. Desarrolle la fció e la serie de coseos o seos adecada. f + cos cos f Sol.. Desarrolle la fció e la serie de coseos o seos adecada. f + + se se 4 f Sol. 3. Halle los desarrollos e series de coseos o seos e medio iervalo de la fció respeciva. f / / 4. se se f Sol

126 4. Halle los desarrollos e series de coseos o seos e medio iervalo de la fció respeciva. f Sol. f + 4 se se 5. Desarrolle la fció del ejercicio como serie de Forier. f + Sol. 6. Desarrolle la fció del ejercicio como serie de Forier. f 3 f se Sol. f + se d 7. E el problema halle a solció pariclar de la ecació m + k f cado d m k y la ferza implsora f es la especificada e ambos casos. Spoga qe cado f se prologa hacia el eje egaivo de e forma periódica la fció qe resla es impar. 5 f ; f + f 5 Sol. p se

127 d 8. E el problema halle a solció pariclar de la ecació m + k f cado d m k y la ferza implsora f es la especificada e ambos casos. Spoga qe cado f se prologa hacia el eje egaivo de e forma periódica la fció qe resla es impar. f ; f + f Sol. p se d 9. Halle a solció pariclar de la ecació m + k f co m /4 k y la d ferza de implsió f dada e el problema. Spoga qe cado f se prologa a valores egaivos de e forma periódica la fció qe resla es par. f ; f + f Sol p cos 48 d. Halle a solció pariclar de la ecació m + k f co m /4 k y d la ferza de implsió f dada e el problema. Spoga qe cado f se prologa a valores egaivos de e forma periódica la fció qe resla es par. f ; f + f Sol. p 48 + cos

128 . Spoga qe a viga iforme de logid esá simplemee apoyada e y. Cado la carga por idad de logid es w w /l la ecació diferecial de la flecha desviació y de esa viga es e qe E I y w so cosaes. 4 d y w EI 4 d a w e forma de a serie de seos e medio iervalo. b Halle a solció pariclar y de la ecació diferecial. Sol. se se 3. Ecació de oda. Ecere el desplazamieo e a cerda elásica qe esá fija e ss eremos y se poe e movimieo peádola e s cero. a f. > A f A / /. Sol. 4A a se se cos 3. Ecere el desplazamieo e a cerda elásica fija e ambos eremos qe se poe e movimieo si velocidad iicial desde la posició iicial f dode A f A / 4 A / 4 / 4 3 / 4 3 / 4 l.

129 4. E los sigiees problemas deermie a solció formal del problema de la cerda vibrae descrio por el problema co valores iiciales y e la froera dado.. 7 > > se se cos 8 se7 se7 7. Sol 5. E los sigiees problemas deermie a solció formal del problema de la cerda vibrae descrio por el problema co valores iiciales y e la froera dado.. cos 6 > > se 6. E los sigiees problemas deermie a solció formal del problema de la cerda vibrae descrio por el problema co valores iiciales y e la froera dado.. 4 > > + 3 ]cos [ 4. se Sol

130 7. E los sigiees problemas deermie a solció formal del problema de la cerda vibrae descrio por el problema co valores iiciales y e la froera dado. + > > se se / / a cerda plsada. Ua cerda vibrae qeda descria mediae el problema co valores iiciales y e la froera.. g f a > Si la cerda se levaa hasa a alra h e b y se sela eoces las codicioes iiciales so / / b b h b b h f y g. Deermie a solció formal. cos. a se b se b b h Sol

131 9. a cerda golpeada. Ua cerda vibrae qeda descria mediae el problema co valores iiciales y e la froera.. g f a > Si la cerda se golpea e b eoces las codicioes iiciales se pede aproimar mediae f y / / b b v b b v g o o Dode v o es a cosae. Deermie a solció formal.. E el ejercicio ecere el desplazamieo cado > e el problema de vibració de a cerda bajo la codició de qe la velocidad iicial es cero y el desplazamieo iicial esá dado por la f descria e el ejercicio... ; f g f a cos 4. k k a k k se k Sol

132 . E el ejercicio ecere el desplazamieo cado > e el problema de vibració de a cerda bajo la codició de qe la velocidad iicial es cero y el desplazamieo iicial esá dado por la f descria e el ejercicio. f g f a. ;. E el ejercicio ecere el desplazamieo cado > e el problema de vibració de a cerda bajo la codició de qe la velocidad iicial es cero y el desplazamieo iicial esá dado por la f descria e el ejercicio. Figra 3. + cos se a se se Sol ; f g f a

133 3. E el ejercicio ecere el desplazamieo cado > e el problema de vibració de a cerda bajo la codició de qe la velocidad iicial es cero y el desplazamieo iicial esá dado por la f descria e el ejercicio. Figra E el ejercicio ecere el desplazamieo cado > e el problema de vibració de a cerda bajo la codició de qe la velocidad iicial es cero y el desplazamieo iicial esá dado por la f descria e el ejercicio ; f g f a cos 4. se a se se Sol ; f g f a

134 5. Ecere el desplazamieo de la cerda para el problema. ; g f a Si el desplazamieo iicial es cero y la velocidad iicial esá dada por 4 a g 6. Ecere el desplazamieo de la cerda para el problema. ; g f a si el desplazamieo iicial es cero y la velocidad iicial esá dada por v g cos 3 cos. o se a se a v Sol

135 7. Reselva la ecació de oda sjea a las codicioes ciadas e el problema. 4 > a 3 3 cos. se a Sol 8. Reselva la ecació de oda sjea a las codicioes ciadas e el problema. a > se a se a Sol 9. Reselva la ecació de oda sjea a las codicioes ciadas e el problema. Figra cos cos 5 cos 3 6. se a se a se a Sol > como se especifica e la figra a

136 3. Reselva la ecació de oda sjea a las codicioes ciadas e el problema. 6 > a + 3 cos. se a Sol 3. Reselva la ecació de oda sjea a las codicioes ciadas e el problema. se a > se se a a Sol. 3. Reselva la ecació de oda sjea a las codicioes ciadas e el problema. 3. > se a a se Sol 3 cos 3..

137 33. Reselva la ecació de oda sjea a las codicioes ciadas e el problema. > h h a a cosae h es posiiva pero peqeña e comparació co ; eso se llama problema de la cerda rasgada. cos 8. se a se h Sol 34. Deermie a solció formal del problema de la cerda vibrae descrio mediae el problema co valores iiciales y e la froera o homogéeos dado > > + se se se cos. se se se se se se se Sol

138 35. Deermie a solció formal del problema de la cerda vibrae descrio mediae el problema co valores iiciales y e la froera o homogéeos dado.. > > + se 36. Si eremo de a cerda se maiee fijo mieras qe el oro qeda libre eoces el movimieo de la cerda qeda descrio mediae el problema co valores iiciales y e la froera. g f y a > > Dedzca a fórmla para la solció formal cos. se a b g y se a f dode se a se b a a Sol 37. Dedzca a fórmla para la solció del sigiee problema co valores iiciales y e la froera qe implica codicioes e la froera o homogéeas g f U U a > > dode U y U so cosaes.

139 38. Ecere el desplazamieo e a cerda elásica qe esá fija e ss eremos y se poe e movimieo peádola e s cero. 4 f > + f Ecere el desplazamieo e a cerda elásica qe esá fija e ss eremos y se poe e movimieo peádola e s cero. 5 f Figra 3.4 Dode f es como mesra la figra 4. E el sigiee problema deermie a solció formal del problema de la cerda vibrae descrio por el problema co valores iiciales y e la froera dado. 5 > 5 > f 5. 5 > f

140 4. Reselva la ecació de oda sjea a las codicioes ciadas e el problema. reales so úmeros s q p g s q p a > [ ] cos. se a s qs p p q Sol 4. Reselva e ierpree físicamee el problema de valor de froera. > k a + cos 8. se a k k Sol

141 43. El problema del elégrafo. Use el méodo de separació de variables para redcir a solció formal del problema del elégrafo f a > > + + / 4 3 cos. a dode se e T d se f a dode se T a Sol β β β β Reselva la ecació de oda sjea a las codicioes ciadas e el problema. > a Ese problema podría describir el desplazamieo logidial de a barra elásica vibraoria. as codicioes e la froera para y se llama codicioes del eremo libre ver fig.. Figra cos cos. a Sol

142 45. Ua cerda se esa y se asegra e el eje e y e para >. Si las vibracioes rasversales se presea e medio co a resisecia proporcioal al movimieo a la velocidad isaáea la ecació de oda oma la forma. > + β β Halle el desplazamieo si la cerda pare del reposo desde desplazamieo iicial f. + β β β cos. q y se d f A dode se se q q q A e Sol 46. Demesre qe a solció del problema de valor e la froera > > + / / es k k se k k k + + cos 4

143 47. El desplazamieo rasversal de a viga vibraoria de logid esá deermiado por a ecació diferecial parcial de caro orde. 4 4 > + a Si la viga esá simplemee apoyada ver fig. las codicioes e la froera CF y codicioes iiciales CI so g f > > Deermie. [Sgerecia: por comodidad se λ 4 e lgar de λ al separar variables.] Figra d se g a B d se f A dode se a se B a A Sol cos.

144 3.3 Ecació de calor 48. Reselva la ecació de rasmisió de calor sjea a las codicioes respecivas. Spoga a varilla de logid. > k / / Sol. + / cos k se e 49. Reselva la ecació de rasmisió de calor sjea a las codicioes respecivas. Spoga a varilla de logid. k > 5. Halle la emperara e a varilla de logid cado la emperara iicial e ella es f y los eremos y esá aislados. 5. Halle la emperara e a varilla de logid cado la emperara iicial e ella es f y los eremos y esá aislados.

145 5. Spoga qe se pierde calor a ravés de la sperficie laeral de a varilla delgada de logid el cal pasa al medio ambiee qe esá a la emperara cero. Si se aplica la ley lieal de rasferecia de calor la ecació adopa la forma k h > dode h es a cosae. Halle la emperara si la emperara iicial e oda la varilla es f y los eremos y esá aislados ver fig.. Figra reselva la ecació de calor co las codicioes ciadas. k ecació de aplace 54. a Ecere la emperara de esado esacioario e a placa e la forma de secor circlar de radio iario y áglo /6 como se idica e la figra si las emperaras de los lados se maiee a la emperara del arco circlar se maiee a y las caras plaas esá aisladas. b Describa problema ridimesioal eiedo la misma solció como a. c Cál es la solció si el secor iee radio c? Figra 3.8