CAPÍTULO 4 Aplicación de las ED de primer orden

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1 CAPÍTULO 4 Aplicación d las ED d prir ordn En s capíulo prsnaos algunas aplicacions odladas por cuacions difrncials d prir ordn d las raadas n l capíulo anrior. Básican, un odlo in rs coponns: un conjuno d ariabls a siar o sudiar, un principio o l qu dscrib las rlacions fundanals nr las ariabls /o algunas oras ariabls driadas d llas la rcra coponn s un conjuno d rsulados prinals o condicions sobr las ariabls, coo por jplo, rsulados d un laboraorio d quíica, d física, d biología, d la oa d cnsos, c, dpndindo d la aplicación paricular. En cada una d las sccions d s capíulo s nuncia un principio o l sus principals aplicacions, l objio s qu l lcor aprnda a planar un odlo aáico (dscripción d ariabls, plano d las ED condicions), obnga su solución inrpr los rsulados obnidos. 4.. Crciino dcaiino ponncial d( ) En sa scción prsnaos aplicacions odladas por la ED ( ), dond s l ipo, d s consan ( ) s la función incógnia, abién llaada canidad prsn n l ipo. Sinónios d la driada La driada d la función ( ) rspco al ipo abién srá llaada razón d cabio insanána d ( ) rspco a, asa d cabio insanána d ( ) rspco a dpndindo d la nauralza d la aplicación s pud sr ás spcífico, por jplo, n problas n qu ( ) s l núro prsn d núclos radiacios d un arial radiacio, nos rfrios a su driada coo aciidad d dsingración, c. Proporcionalidad San f ( ) ( ) g ariabls con l ipo; las siguins rs proposicions son quialns: P f ( ) s proporcional a g ( ) con consan d proporcionalidad (o razón ) P f ( ) g( ) para odo, consan no nula P f ( ) para odo, consan no nula g( ) Ejplo 4. La razón d a a b s la diisión b a 49

2 5 Aplicación d las ED d prir ordn la Las funcions coo ( ) A, con A, consans, son proporcionals a su driada ( ) A consan d proporcionalidad s, so s dduc dsd la razón rlación ( ) A ( ) ( ) A ( ) A abién dsd la ( ) Ejplo 4. Considr una ED ( ) ( ) suponga qu ( ),. En la ED aparc dspjada ( ) n érinos d ( ), so pri anicipar propidads sobr l dcrciino concaidad d las solucions ( ) dpndindo dl signo d : Si > noncs ( ),, conscunn las solucions ( ) Si < noncs ( ),, conscunn las solucions ( ) son funcions crcins. son funcions dcrcins. Lo figura ilusra dos solucions d ( ) ( ). Obsr qu ( ) s l alor inicial (para ) d ( ) : L d crciino o dcaiino ponncial El principio d crciino o dcaiino ponncial qu odla las aplicacions n sa scción s: d( ) ( ), para alguna consan. d Con ( ). S llaa l d crciino o dcaiino dpndindo d si ( ) s crcin o dcrcin. Dnoaos la canidad inicial ( ) con. A coninuación rsolos las ED d arras. d( ) Epzaos sparando las ariabls coo: d ( ) E ingra para obnr su solución gnral ln ( ) C Aplica la condición inicial ( ) obin: ln C Con lo qu la solución s scrib: ln ( ) ln ln ( ) ( ), dond C s un paráro.

3 Aplicación d las ED d prir ordn 5 Si > noncs ( ) Si < noncs ( ) s crcin l probla d alor inicial s d crciino ponncial. s dcrcin l probla d alor inicial s d dcaiino ponncial. Vida dia El concpo d ida dia aparc n problas d dcaiino ponncial s dfin coo l ipo T n qu la canidad prsn ( T ) s la iad d canidad inicial ( ) dsd la cuación: ( ) ( T ). No qu ( ),5 ( ). Enoncs la ida dia T s dspja s l 5% d la canidad S ha drinado la ida dia para la aoría d aqullos lnos quíicos qu s dsingran (porqu los núclos d sus áoos son insabls, dbido al dsquilibrio nr las furzas d sus parículas nuclars). Por jplo, la ida dia dl Carbono-4 s d 57 años. Ejrcicio 4. Sa ( ) la canidad prsn n l insan d un susanio (población, c) qu sá odlado por d d ED, ( ) para > d ln dusr qu la ida dia s T d. Dusr qu la ida dia dl susanio s. T ln. Si uiliza la : Problas d dsingración radiacia Enr la larga lisa d coponns d cada áoo, ha rs ipos d parículas subaóicas fundanals para dscribir su quíica (sus propidads ransforación): lcrons, proons nurons. Un lcrón in carga ngaia, l proón carga posiia l nurón s lécrican nuro. La asa d un nurón s ligran aor qu la asa d un proón; pro, ncsiaría aproiadan 84 lcrons para igualar la asa d un proón. Los proons nurons s ubican n l núclo dl áoo, inras los lcrons sán fura dl núclo. El núclo dl áoo s u dnso su olun s radan nor qu l olun dl áoo; sin bargo, la aoría d la asa dl áoo s concnra n l núclo. Enr los nuclons (parículas dl núclo) crcanos ha furzas d aracción, inras nr los proons s producn furzas d rplncia los nurons inn l fco d nuralizar parcialn la furza dbida a la rplncia nr proons. Si la agniud d las furzas d aracción s aor qu la agniud dl rso d furzas, noncs l núclo s sabl, d lo conrario l núclo s insabl radiacio, so significa qu sufr rupuras sponánas i parículas o nrgía n fora d ondas (sa nrgía s conocida coo radiación). Para cada áoo s dfinn su: núro aóico núro d proons núro d asa núro d proons núro d nurons Dos áoos con l iso núro aóico difrn núro d asa s llaan Isóopos. Ejplo 4. Uilizaos con posiia, para sr plícios n qu s raa d un probla d dcaiino ponncial Y por lo ano difrn núro d nurons

4 5 Aplicación d las ED d prir ordn Los isóopos dl hidrógno (H) son: hidrógno ( proón, nurons), durio ( proón, nurón) l riio ( proón, nurons). Los isóopos dl carbono (C) qu isn nauraln son carbono- (6 proons, 6 nurons), carbono- (6 proons, 7 nurons) carbono-4 (6 proons, 8 nurons). El carbono-4 s insabl, por ano, s dsingra. Un Elno s aria forada por canidads proporcionals d isóopos con l iso núro aóico (núro d proons). En las ablas priódicas odrnas, los lnos s ordnan ascndnn, por núro d proons. Coo un lno in canidads porcnuals d cada isóopo, su asa o pso aóico prodio s calcula coo la sua d los producos dl porcnaj por la asa dl isóopo rspcio. La asa aóica prodio pud consulars dbajo d cada lno n la abla priódica. En sa scción uilizaos coo principio, qu la locidad con qu s dsingran los núclos d los isóopos radiacios, s proporcional al núro d núclos prsns; por lo ano, l odlo para la dsingración radiacia s: dond ( ) d, ( ), dond > d s la canidad d núclos prsns n l insan. Para fcos prácicos, considraos ( ) n unidads d asa Ejplo 4.4 Fchado con radiocarbono El carbono-4 s un isóopo radiacio con ida dia d 57 años sá prsn n los srs ios. Ps a su dsingración, la razón nr l carbono-4 l carbono- pranc consan (/ ), dbido a qu un sr io rnua la pérdida dl carbono-4 por rspiración o alinación, hasa l ono n qu ura. Tabién s consan la razón dl carbono-4 al carbono- n la aósfra, porqu la canidad d carbono-4 qu s ransua s rnoada n la ala aósfra dbido al bobardo d nurons qu hacn los raos cósicos pronins dl spacio rior, sobr l nirógno-4 producindo carbono-4. Esa razón dl carbono-4 al carbono- n la aósfra s igual a la rspcia razón n srs ios. Por supuso, s éodo para drinar dad d una susancia pronin d un sr io, in un argn d rror iporan cuando l ipo nr la ur la oa d la usra s grand, porqu las rspcias canidads d carbono-4 n la aósfra para sos ipos n la acualidad han nido arians, adás, n fósils con ás d 5, años su radiación s u pquña para sr dida con aciud. Para aproiar una fcha d ur ás allá d 5, años hasa d illons d años, s pudn uilizar coo rfrncia oros isóopos. La cura qu drina la canidad d carbono-4 n la aósfra rspco al ipo, s pud consruir n bas a los análisis qu s han llado a cabo sobr los anillos d los árbols, sdinos n los lagos n océanos salagias d cuas surgidas. Consis n coparar la dad d cada capa con los sdinos d carbono-4 n lla. S idió l nil d carbono-4 n un grao d adra dl anillo inrior d un árbol uro s drinó qu connía l 9,8944% d la canidad d carbono-4 qu conin un árbol io d la isa spci. Drin l ipo qu lla d uro l árbol. ( ) R. La ED qu odla la canidad prsn d carbono-4 a los años s La ida dia dl carbono-4 s 57 años, noncs las condicions d fronra son Dbos hallar T con la propidad ( T ) 9,8944% Epzaos por rcrar la solución d la ED d d d d d( ) ( ) d ( ) ( 57),5

5 Aplicación d las ED d prir ordn 5 Para drinar ln C A, aplica las condicions d fronra C, C consan A, A consan ( ) ( 57),5 A 57 A,5 n sa solución obin: 57 D la prira cuación dspja A susiu n la sgunda para obnr, 5 ln 57 ln, s alor d ra d sprars. ida dia dl carbono 4 S rsu qu la solución al probla s: ( ) ln 57. Y la rspusa a nusra prguna para cuál T s ( T ) 9,8944%? s rspond a coninuación: Ejrcicio 4. ln 57 T ( T ), ln, ln T años Hac años s nconró un huso d un au, s drinó n s ono qu l huso solo connía l 5.48% d la canidad original d carbono-4 qu nía cuando l au urió. Ho n una nua dición, s drinó qu solo conin l 5,89% d la canidad original d s isóopo. Drin l núro d años qu han ranscurrido dsd qu l anial urió. R. Si dnoa con T la canidad d años dsd qu urió al día d ho, noncs T fu hac años. Enoncs T 99 años aproiadan. Ejplo 4.5 El radio (Ra) s un al con núro aóico 88 (88 proons), su isóopo 6 Ra (6-888 nurons) s radiacio. Su ida dia s 6 años s dsingra con rapidz proporcional a la canidad d radio prsn n cada insan. Qué porcnaj d radio sará prsn a los 5, años? R. Sa, canidad d radio prsn a los años. ( ) ( ) El odlo para sa aplicación s ( ) ( ), consan, con condicions d fronra ( 6) d( ) Epzaos rcrando la solución d: ( ) d d( ) d ( ) ln ( ) C, C consan

6 54 Aplicación d las ED d prir ordn C C ( ) ( ) A, A consan La solución paricular rquir d alors spcíficos d las consans (n función d la canidad inicial ). Para obnrlas raduc las condicions d fronra: ( ) ( 6) n A A 6 Dspj ln susiu juno con 6 A 6 A 6 A n la solución gnral para obnr la solución paricular: ln ( ) 6 ( ) 6 Para fcos prácicos scribios ( ) la pansión dcial dl núro ln 6 ln 6,47, dond la canidad d dígios n s u iporan sá suja a la prcisión qu ds. No rqurios d la canidad inicial porqu la inforación sá n érinos porcnuals, d hcho la prguna Qué porcnaj d radio s spra qu sé prsn dspués d 5 años?, s dduc d:,47 5 ( 5), ,86% Eso significa qu l 97,86% d la canidad inicial (aproiadan) sá prsn a los 5 años. D igual fora a los años qudarán l 95,76% l 9,7% d la canidad inicial, rspcian Ejrcicios 4.. Sa (n ) la alura dida dsd l nil dl ar p ( ) Pa 4 San ρ g/ p dl air la aclración ( g /s la prsión aosférica a la alura. Pa la dnsidad prsión aosférica a nil dl ar (consans). Si la praura 5 condicions la prsión aosférica sá odlada por la ED: dp gρ p d p Drin la prsión aosférica ( ) g R. Prsión aosférica p( ) p p ρ p ) d la gradad son consans dnro dl rango qu arí. Bajo sas p n función d la aliud. Trac la gráfica d aliud rsus prsión. 4 Pascal N / g. /s 5 Considrar la praura consan, arrojará una solución aproiada a la ral

7 Aplicación d las ED d prir ordn 55. El uranio s dsingra a una asa insanána, proporcional a la canidad prsn n cualquir insan. Si inicialn (n años) sán prsns M graos d uranio, usr qu la canidad d graos prsns n l año s: M ( ) M, s una consan d proporcionalidad posiia. Si M M graos sán prsns n los ipos T T (dados n años) rspcian, usr qu la ida dia T dl uranio s: Musr qu T M M ( T T ) ln M ln M T M M T. Encunr la ida dia d una susancia radiacia, si l 5% d sa dsaparc n diz años. R. 4,9 años aproiadan. 4. Si l % d una susancia radiacia dsaparc n diz años. En cuáno ipo dsaparc l 9%? R. 64,55 años aproiadan. 5. Bacrias n un ciro culio s incrnan a una asa insanána d cabio rspco al ipo, proporcional al núro prsn. Si l núro original s incrna n un 5% n dia hora. En cuáno ipo s spra nr rs cs l núro original? R.,6 hrs 6. Un culio d bacrias crc con rapidz inrsan proporcional a la raíz cuadrada dl núro prsn. Inicialn ha nu unidads a las dos horas sán prsns diciséis unidads En cuánas horas habrá rina sis unidads? R., horas aproiadan. s canidad d bacrias prsn noncs ( ) ( 7 7) Si ( ) 7. En cira solución ha g d un quíico Q. En una hora ha g d Q. Si la asa d incrno insanána dl quíico rspco al ipo s proporcional a la raíz cuadrada dl ipo qu ha sado n la solución, cuános graos habrá a las cuaro horas? R. g. Si ( ) s canidad prsn d Q, noncs ( ) 8. Una susancia dcrc a una asa qu s inrsan proporcional a la canidad prsn inicialn ha doc unidads prsns 8 unidads sán prsns a los dos días, cuáno ipo oará para dsaparcr la susancia? R.,6 días. Adás, ( ) 44 4 s canidad d susancia prsn a los días.

8 56 Aplicación d las ED d prir ordn 4.. Crciino logísico Esa scción raa funcions ( ) >, O sipln odladas por la ED d Brnoulli (abién sparabl): d( ) ( ) β ( ( ) ), con β d d d β, consans posiias. Coo s usual la ED usra la driada d las solucions qu prndos hallar, sudios solucions < ) srican crcins ( ( ) > ). consans ( ( ) ), srican dcrcins ( ( ) Solucions consans saisfacn ( ), β obin: ( β) Conclu qu las solucions consans d la ED d Brnoulli son: ( ) ( ) β, cabiando la driada por su quialn β La función nula ( ) s solución d la ED d Brnoulli, sin bargo, no la saos considrando. Las solucions dcrcins srican saisfacn ( ) <, β < ( β) < Y coo ( ) > quial a: β < Coo β > so quial a: < ( ) β, quialn a: Sobr la concaidad d sas solucions dcrcins s podrá concluir dspués qu calculos la sgunda driada. Epzaos con la prira driada d las solucions: dria para obnr: d d β d d β d d d d

9 Aplicación d las ED d prir ordn 57 d d Facorizando obin: ( β) d d Dado qu ( ) <, la sgunda driada s ngaia si β > s posiia si β < Enoncs las solucions srían cóncaas si solo si β( ) > quialn a ( ) < s posibl porqu < 6 saos n l caso qu < ( ) (noncs < ( ) β β β β Las solucions srían conas si solo si β( ) < quialn a < ( ) β odo. La siguin figura usra l razo d la gráfica d una d als solucions:. β )., pro so no, lo cual s ciro para Djaos coo jrcicio al lcor hacr un sudio d las solucions n caso qu ( ) >. Ejrcicio 4.4 Solucions crcins srican d la ED d Brnoulli. Esudi concaidad d las solucions ( ) >,, d la ED d Brnoulli qu saisfacn ( ) >, s dcir, qu son srican crcins., L d crciino logísico Las aplicacions n sa scción sán odladas por la l d crciino 7 logísico (ED d Brnoulli): d d β para, β consans posiias ( ) < β Noa Esas ED abién son sparabls odlan, con ucha prcisión, cóo s propaga un irus n una población, abién la dida con qu auna la saura prodio d un sr huano uchos oros coporainos d susanios d inrés huano n priodos largos d ipo. Solución d la ED En la ED d Brnoulli para obnr: d d β apliqu l cabio d ariabls β β Es una ED linal con solución (asuiros l cálculo dl facor ingran para ED linals): 6 Rcurd qu alpha ba son consans posiias 7 Suponos qu las solucions inn driada no ngaia

10 58 Aplicación d las ED d prir ordn d d β d β d β C β C ( ) β C C No qu su driada ( ) adás, β li ( ) β C Trazo d las curas logísicas 8 Para razar la gráfica d las solucions obnidas arriba, pud rcurrir a la driación dirca; sin bargo, para iar cálculos ngorrosos osraros una alrnaia qu pud uilizar aún si la ED no ha sido rsula. En s snido la ED: d d β usra la prira driada d las solucions para sudiar su crciino facoriza: Dado qu ( ) > < β noncs d d d d ( β) ( β ) >, por lo ano, las solucions son crcins. Para sudiar la concaidad d las solucions dri la ED d Brnoulli obnga: d d d β d d d Facoric para sudiar su signo, rsula: ( β) d d d d Cada solución in un puno d inflión coo s usra a coninuación. Las solucions ( ) son coninuas, > β >, noncs is T al qu ( T ) β. 8 sa s la solución dl jrcicio 4.4

11 Aplicación d las ED d prir ordn 59 Susiua T n la úlia ED conclua qu: d ( T ) d( T ) β d β d Coo conscuncia, β Ahora analicos la concaidad d las solucions n los inralos [,T[ ], [ Caso T s un puno d inflión d la cura solución d la ED. T. < T. Las solucions son srican crcins noncs ( ) < ( T ) β d ( ) d( ) ( ( )) > β d d n conscuncia las solucions son conas n [,T[. Caso > T. En al caso ( ) > ( T ) β, so iplica: d ( ) d( ) ( β ( )) < d d noncs las solucions son cóncaas n ] T, [. Adás, las curas solución d las ED d Brnoulli inn asínoa horizonal f ( ) β, so iplica:. La siguin figura rsu la inforación anrior. Las solucions inn fora d S alargada conocidas coo curas Logísicas: Principio fundanal d cono Para inrprar la uliplicación d n núros rals (sudiada n priaria) n paricular d canidads ariabls, rornaos l Principio fundanal dl cono. P, P,, P Un procso P s una sucsión d n accions o rsulados n qu s llan a cabo o s dan conscuian para producir un rsulado qu scribios P P, P,, Pn. Ejplo 4.6 Viajar d una ciudad A a ora ciudad C s un procso. Suponga qu nr A C ha ora ciudad B qu ha dos carrras c, c para ir d A a B dos carrras r, r para iajar dsd B hasa C.

12 6 Aplicación d las ED d prir ordn La prira acción P s iajar dsd A hasa B lo pud ralizar d foras: iaja por c o por c. La sgunda acción P s iajar dsd B hasa C lo pud ralizar d foras: iaja por r o por r. P P, P ) dsd A hasa C, pud fcuarlo por 4 () difrns ruas, Enoncs l iaj (procso sas son: c r, c r, c r, c r Principio fundanal d cono Si las accions o rsulados conscuios P, P,, Pn ocurrn o s dan d p, p,, pn foras rspcian, noncs ha p p pn foras difrns d qu P P, P,, Pn s ralic. Ejplo 4.7 D cuánas foras difrns pud acoodar prsonas n 4 sillas? P P P la prira prsona pud oar cualquira d las 4 sillas, por ano, in 4 opcions. la sgunda prsona pud oar cualquira d las sillas rsans, in opcions. la rcra prsona pud oar cualquira d las sillas rsans, in opcions. Por l principio fundanal dl cono, ha 44 foras difrns d acoodar las prsonas Principio para problas d pidiología En una población d aaño P consan, ha inicialn ( ) infcados con un irus conagioso. Si ( ) s la canidad d indiiduos infcados n l insan, noncs P ( ) s l aaño d la población d no infcados. Suponos qu si no s aíslan los infcados noncs cada uno d llos pud inracuar con cualquir oro, si s úlio sá infcado la población d infcados no auna, pro si sá sano adquir l irus aunando la población d infcados disinundo la d sanos. Por l principio fundanal d cono las inraccions nr infcados sanos s ( ) ( P ( ) ) rapidz con qu s propagu la pidia dpnd dircan d sa canidad, lo anrior s scrib: Esa ED s pud scribir Ejplo 4.8 d d d d β ( P ), para alguna consan d proporcionalidad β. Pβ β s una ED d Brnoulli con Pβ. Un anial d laboraorio con una nfrdad conagiosa s inroduc n una población d 4 anials no infcados. S sab qu la asa d crciino d la población infcada s proporcional al produco d las canidads d anials infcados d anials no infcados. Dspués d días rsula oro anial infcado. En cuános días s spra qu sén infcados 4 anials? Trac la gráfica d la función solución, a parir dl sudio d su prira sgunda driada.. La

13 Aplicación d las ED d prir ordn 6 R. Sa ( ) la canidad d anials infcados, noncs las condicions s scribn ( ) ( ) La población oal s P 5 la canidad d infcados sá odlada por ( 5 ), consan. El produco ( 5 ) rprsna las posibilidads d qu cada uno d los ( ) oro d los 5 ( ) sanos, por jplo, si ha dos infcados, noncs. l irus pas a un indiiduo sano. La ED s scrib 5 5 A sa ED d Brnoulli l aplica l cabio d ariabls: rsula la ED linal Su solución gnral s: 5 5 5d 5d d 5 5 d 5 5 A 5 infcados inracú con 46 son las posibilidads d qu 5 A 5 Para drinar la solución paricular aplica las condicions 5 5 A A A ln Con sos alors la solución gnral s scrib:,989 La figura usra l razo d la gráfica d sa cura logísica: ( ) ( ) obin: ( ln ) ln 48 Si T (dsconocida) s canidad d días qu dbn ranscurrir para qu 4 anials sén infcados noncs:

14 6 Aplicación d las ED d prir ordn 5 4 dspja para obnr 5, 9 4 Ejplo 4.9 T ln 48 T días Sa ( ) la canidad d indiiduos infcados por un irus, son los días ranscurridos dsd qu aparció l irus n una población d P (consan) habians. Inicialn ha un indiiduo nfro al cabo d días sá dada por: la iad d P sá nfra, dusr qu ( ) P ( P ) d d R. La ED para s probla s: ( P ) Con l cabio d ariabls, ln( P) condicions P ( ) ( ) la ED s scrib: P P Pd P Mulipliqu por P P P obnga P Spar los difrncials, ingr obnga: d d P P ( ) P P C P C P P P Para hallar C apliqu las condicions ( ) ( ) P obnga P C P P C P P C P ln( P ) P

15 Aplicación d las ED d prir ordn 6 La solución gnral P C P s pud scribir coo Cabi las consans halladas arriba obin la solución paricular: C P P P ( ) ( ). ln P ln( P) ( ) ( P P ) ( P ) P P P PC P Ejrcicio 4.5 En una jaula d laboraorio ha 98 conjos sanos. Inicialn (para ipo sanas) s inroducn n la jaula conjos ás qu inn una nfrdad conagiosa. Una sana dspués ha acan 5 conjos nfros. Sa () la canidad d conjos nfros qu ha n la jaula cuando han ranscurrido sanas a parir dl ono inicial. a) Plan la ED condicions inicials qu drina ( ) b) Drin ( ) n érinos dl ipo (n sanas). R. ( ) 49( 9 ) 49 c) Cuános días dspués dl ipo cro habrá 9 conjos nfros? R. 45 días aproiadan Ejrcicio 4.6 Si l 5% d los sudians d una unirsidad inn una nfrdad conagiosa una sana ás ard un oal dl 5%, han adquirido la nfrdad. Plan una ED condicions qu odln la aplicación obnr su solución. Qué porcnaj sará conagiado a las sanas (si ha cuarnna)?. P R. Solución ( ). ( ), 6648P s l 66,48% d P (oal d sudians). ( ln 7 ) 9 57 Dografía, saura prodio, circunfrncia ncfálica, pso prodio, c La saura prodio, circunfrncia ncfálica prodio, pso prodio d un niño d ss, son algunas odladas por la ED d Brnoulli: d las ariabls ( ) Apliqu l cabio d ariabls Mulipliqu por β con β β β, son consans posiias. para obnr β, s linal ulipliqu por a la ED d Brnoulli obnga β d para obnr:

16 64 Aplicación d las ED d prir ordn ( ) β d d Spar difrncials, ingr obnga la solución: C β, con C paráro. C β ( ) C β El ipo sul dirs n ss o años. Por lo gnral s in una nsa abla con condicions d fronra, por jplo, la saura ( ) d un bbé obsrada a los,,,..., ss, sin bargo, solo s rquirn rs condicions d fronra para drinar β, l paráro qu aparc n la solución d la ED. Para hallar las rs consans s oan rs daos d la abla: inicial, dl dio final. Por jplo, si l ipo aría d a ss, considra los daos a los, 6 ss. Adás, para iar núros con uchos dígios n su pansión dcial, cabiaos, las unidads d dida dl ipo por, para rfrirs a, 6 ss. Las condicions d fronra oan la fora: ( ) ( ) ( ) aplicadas a ( ) C β rsulan: C C C β β β Aún así, dspjar C, β, s ngorroso por so oiios los cálculos qu nos llan a: ( ) ( ) ( ) C β β No qu hos dspjado para susiuir n ( ), lo iso con β

17 Aplicación d las ED d prir ordn 65 Ejplo 4. El pso prodio d un bbé dpnd dl so para cada so la cura d pso prodio dpnd d su pso al nacr. Para laborar una función qu sirira d guía para conrolar l pso d oros bbés, s pzó por sudiar una canidad iporan d bbés dl iso so, qu uiron una pquña difrncia d pso al nacr s idió su pso cada s, los rsulados d cada s s prodiaron s gnró una abla d psos prodio. Por jplo, d una población iporan d bbés arons cuo pso prodio al nacr fu d,8 g, s obuo la siguin abla 9 d psos prodio: ss pso n g (RN),8 4,6 5, 6, 4 6,6 5 7, 6 7,8 7 8, 8 8,8 9 9, 9,7,,4 Hallar una fórula para l pso prodio n función d ss dsd su naciino. Dibuj la cura órica qu aud a oros padrs a conrolar l pso d su bbé, a parir d la inforación sobr su prira sgunda driadas, usr punos críicos, punos d inflión sudio d la función d pso prodio n los ros dl doinio. R. Epic por cabiar la scala para dir l ipo, o los ipos,, para rprsnar a, 6, ss rspcian (no qu la difrncia nr ipos conscuios s la isa consan, n s jplo s 6). Es cabio d scala nos priirá uilizar las fórulas dadas arriba para hallar las consans: Sa ( ) β,,c l pso prodio (órico) qu dbos hallar a parir dl probla d alors n la fronra: con condicions β ( ),8 ( ) 7,8 ( ),4 Djaos d jrcicio al lcor qu rcr l procso dado arriba para obnr la solución d sa ED d Brnoulli. Inclusi abién pud rsolr la ED coo Sparabl coparar la ficincia d uno oro éodo. Por abos dbrá llgar a la solución gnral: ( ) Dspués d aplicar las condicions d fronra β,867 β C ( ),8 ( ) 7,8 ( ),4 con auda d una copuadora obnga: 9 Es posibl qu nga ls iprcisions por dfcos d iprsión grosor dl razo d la cura. Ps a so s obin una función qu inrpola u bin los punos d la abla. Todo rcién nacido abandona la clínica u hospial dond nació, con un follo qu inclu sa oras curas logísicas óricas para qu sus padrs lln su conrol d pso, saura, crciino d la cabcia, c.

18 66 Aplicación d las ED d prir ordn,75 o si prfir dspja para obnr:, 4759 C,7699 Susiua sos alors n la solución gnral para obnr la solución paricular: ( ),867,7699,4759 dond sá n la scala :6 ss, por jplo, l s 4 corrspond a 4 (aplica rgla d rs a 6 parir d la razón :6) l pso prodio a los cuaro ss s ( ) 6, 495. Tabién, djaos d jrcicio l sudio d crciino, concaidad razo d la gráfica d la función pso prodio Ejrcicio 4.7 En una jaula d laboraorio ha N conjos sanos. Inicialn ( sanas) s inroducn n la jaula a conjos ás, con una nfrdad conagiosa. La canidad d anials nfros crc con razón d cabio insanána con rspco al ipo, proporcional al produco d la canidad d conjos nfros la canidad d conjos sanos n l insan. Una sana dspués ha b conjos nfros. Sa () la canidad d anials nfros n la jaula n sanas. Plan un odlo para s probla pidiológico drin n función dl ipo. ( ) ( ) a R. ( a N ) suja a in solución ( ) ( ) b N a a N a( a N b) ln bn

19 Aplicación d las ED d prir ordn L d nfriaino d Nwon Considr un objo hoogéno (calor spcífico C dnsidad ρ consans), qu s inroduc n un dio circundan, cua praura s anndrá rgulada n un nil consan M. Suponos qu l objo no in una fun d calor inrna para cada insan la praura n cada puno dl objo s U ( ) ano la praura n l ipo cro s U ( ) U. Si la praura dl dio s difrn a la praura inicial dl objo, s dcir M U( ), por lo, noncs l calor s rasfir dsd l objo al dio o icrsa, obdcindo al principio d qu l calor flu dsd los punos d aor praura hacia los d nor praura. Es iporan rcordar qu n odo ono la praura dl dio s anin conrolada n l nil M. Si M > U, l calor flu dsd l dio al objo, l cual gana calorías la su praura n función dl ipo ranscurrido, s dcir, la función praura U ( ) dl objo s crcin. Si U M < noncs l calor flu dl objo hacia l dio, por ano, ( ) Bajo sas condicions s aplicabl l siguin principio. U s dcrcin. L d nfriaino d Nwon La razón d cabio d la praura dl objo rspco al ipo s proporcional a la nrgía érica prdida (sa s rfir a praura dl objo nos praura dl dio circundan). Si dnoa U U( ) noncs sa aplicación sá odlada por las ED: du d du ( U M ) o ( M U ) d dond s consan d proporcionalidad. Esas ED son sparabls linals d prir ordn. En cada jplo podos anicipar l signo d, por jplo, si la praura M dl dio s aor qu la praura inicial dl curpo, noncs U ( ) s crcin, so iplica qu la driada U ( ) >, adás, M U( ) >, n al caso para annr la consisncia d los signos n la ED: U ( ) ( ( )) M U dbría sr >. En los jplos a coninuación, djaros qu la aplicación d las condicions inicials drin l signo d la consan d proporcionalidad. Sin bargo, pzaros por dcidir si U M > o M U >. Ejplo 4. Agua a praura 8ºC, s colocada n un dio circundan qu s anin a praura d 5ºC. A los 5 inuos la praura dl agua s 7ºC. Drin una fórula para la praura dl agua n función dl ipo ranscurrido; la praura a los inuos para qué ipo la praura srá d 6ºC?. U la praura dl agua 5 Sa ( ) M noncs la ED qu odla l probla s:

20 68 Aplicación d las ED d prir ordn Sa qu o U 5 o U du ( U 5) dond U U d ( ) 5, dspués d aplicar las condicions d fronra obndrá la isa solución al probla (coprobarlo), sin bargo, para ponr algunos dalls uilizaros U 5. En al caso, s in U ( ) 5 con so 5 U 5 U. Las condicions d fronra para s probla son U U U ( ) ( 5) 8 7 Escriba la ED coo: U 5 ulipliqu por l facor ingran Los alors d U U 5 d ( U ) 5 d U( ) 5 C, C s scogn d al fora qu: U U ( ) ( 5) C C 7 C 5 C ln no qu sin aniciparlo < 5 Con los cuals la praura n cualquir insan s: ( ) ( )5 ln U ( ) 5 5 5,8966 A los in. s: U ( ) 5 6, El ipo T para l cual ( T ) 6 U s dspja d la cuación: ( ln )T ln, ,8966 d, obin: T in Ejplo 4. Agua n su puno d bullición s coloca n un dio qu s ncunra anndrá a praura M consan. A los inuos l agua in praura d 9ºC a los inuos d 8ºC. A coninuación s usra una solución al probla, qu nos lla a una inconsisncia, a qué s db?

21 Aplicación d las ED d prir ordn 69 R. San U ( ) praura dl agua ranscurridos inuos M la praura dl dio. U ( ) du La ED s ( U M ) las condicions d fronra U ( ) 9 d U ( ) 8 du d U M d Muliplica por l facor ingran obin: U U d ( U ) M d U M d U M C U( ) M C Aplica las condicions U ( ) U ( ) 9 U ( ) 8 D la prira cuación dspja Dspja : M ( M ) M ( M ) M M M obin M C M C 9. Para hallar M liinos C. M C 8 C M susiu n la sgunda rcra para obnr: M M M M M M, igualando obin 9 M M 8 M M Concluirá qu sa cuación no in solución, so s db a qu las condicions una rlación linal, pro l dsarrollo anrior s basa n una rlación ponncial U ( ) U ( ) 9 U ( ) 8 dsd dond: saisfacn Ejrcicios 4.8. Rsula l probla anrior n dos casos n qu ( ) U s salga d la rlación linal, por jplo si:

22 7 Aplicación d las ED d prir ordn U ( ) U( ) 76 U( 4) 7 R. U( ) 68. Agua a praura d ºC s nfría n in a 8ºC n un cuaro con praura d 5 ºC. (a) Encunr la praura dl agua dspués d in R. ( ) 65, (b) Cuándo la praura srá d 4 ºC? R. 5, 88 in (c) Cuándo la praura srá d 6 ºC? R. 9, 8 in U ºC. Agua a praura d ºC oa 5 inuos para calnars a ºC n un cuaro con praura d 4 ºC. (a) Encunr la praura dl agua dspués d inuos R. ( ) 4, 7 (b) Encunr la praura dl agua dspués d inuos R. ( ) 7, 7 (c) Cuándo la praura srá d 5ºC? R. 8, 55 in U ºC U ºC 4. La praura áia qu pud lrs n un ciro róro s º F. Cuando l róro arca 6º F s coloca n un horno qu sá a praura consan. En inuo inuos arca 6º F 8º F rspcian. Cuál s la praura dl horno? R. 4ºF. No qu l róro solo pri dir prauras por dbajo d º F. du 5. Rsolr ( U M ) suja a d U ( ) U U ( T ) U U M ln T U M. R. U( ) M ( U M )

23 Aplicación d las ED d prir ordn Mzclas quíicas Inicialn (n ) un anqu conin agua n qu sá disula uniforn una canidad () graos (gr) d sal la zcla ocupa n l anqu un olun d V galons (gal). En cada insan (a parir d inuos) nra agua salada al anqu, con rapidz r E gal/in concnración c E gr/ gal, siulánan, la zcla sal dl anqu con rapidz r S gal/in concnración dsconocida (dbido a qu la canidad d sal n l anqu s la incógnia). Asuindo qu n cada insan la zcla n l anqu s anin hoogéna, sablcr un probla d alor inicial (PVI) qu odl l coporaino d la canidad d sal () prsn n l anqu. La figura usra las condicions n algún insan. Para obnr la fórula dl olun V() qu ocupa la zcla n l anqu n función dl ipo, parios dl olun inicial V, al qu sua ( r E - r S ) galons por cada inuo ranscurrido, no qu ( r E - r S ) podría sr ngaia, posiia o cro s la canidad d galons d agua n qu disinu (si la rsa s ngaia) o auna (si la rsa s posiia) l olun n l anqu n un inuo; por lo ano, la razón d cabio dl olun rspco al ipo s ( r E - r S ) galons/in:: dv ( ) r E r S d En sa obra s supon qu r E r S V ( ) ( r r ) C son consans, n al caso, spar difrncials ingr para obnr: E S, dond C s consan. Para drinar C s in qu V ( ) V, apliqu sa condición n la cuación anrior dspj: C V Por lo ano si las razons d cabio nrada (E) salida (S) son consans (así son n sa obra), s in: V ( ) V ( r r ) E S Principio El principio qu odla sa aplicación s: d d ( canidad d sal qu nra ( E) por inuo) ( canidad d sal qu sal ( S) por inuo) dond: canidad d sal qu nra por inuo ( E) canidad d sal qu sal ( S ) por inuo ( rapidz d E d la zcla) ( concnración d sal n la zcla d E) ( rapidz d S d la zcla) ( concnración d sal n la zcla d S) La concnración d una susancia n un olun s calcula: canidad d susancia / olun qu ocupa la zcla

24 7 Aplicación d las ED d prir ordn canidad Coo concnrac ion noncs la zcla qu sal dl anqu in concnración olun A coninuación dosraos qu l principio s scrib d d V rs r ( r r ) E S EcE ( ) c S. V ( ) Los rsulados s rsun n la siguin figura: d El principio ( canidad d sal qu nra ( E) por inuo) ( canidad d sal qu sal ( S) por inuo) d S scrib d d d d d d d d re ce rs cs dond re ce rs V re ce rs V ( ) c S V ( ) ( r r ) E rs r ( r r ) S, suja a la condición inicial ( ). Es la ED linal EcE. V E S La ED s sparabl cuando l olun s consan, lo qu s quialn a qu r E rs Ejplo 4. Un anqu conin 4 L d agua pura. Una solución salina con g (graos) d sal por liro nra al anqu con rapidz d L / in., sal dl anqu con una rapidz d L /in. Dar una cuación para la canidad d sal concnración n l anqu n función dl ipo. Adás, calcul la concnración d sal n l anqu cuando s nga 5 L d solución. R. En inuos san ( ) canidad (n graos) d sal n l anqu V ( ) liros d solución n l anqu C ( ) concnración d sal n l anqu Para l olun qu ocupa la zcla s V ( ) 4. Y coo l agua s pura noncs ( ) Para > las propidads d la zcla d: re Enrada s noncs r E ce g/in. ce.

25 Aplicación d las ED d prir ordn 7 rs Salida s ( ) cs V ( ) noncs rs cs V g/in. Ahora, la rapidz d la zcla qu nra nos la rapidz d la zcla qu sal s r E r S, l signo nos sá acord con l hcho d qu l olun qu ocupa la zcla n l anqu disinu, n s caso n un liro por inuo. Dspués d inuos l olun ha disinuido n re rs liros, por lo ano, l olun n l insan s: V ( ) V ( ) ( r r ) 4 La ED qu odla sa siuación s basa n l principio: Es dcir d d E S ( canidad d sal qu nra ( E) por inuo) ( canidad d sal qu sal( S) por inuo) d d 4 d d 4 Mulipliqu por l facor ingran la condición inicial s ( ). 4 ( ) 4 ( 4 ) 4 ( 4 ) d ( 4 ) d ( 4 ) d ( 4 ) ( 4 ) d ( 4 ) ( 4 ) ( ) ( ) 4 d ln( 4 ) obnga: 4 ( A) ( 4 ) ( 4 ) Con, obin: ( 4) ( 4) A ( 4 ) ( A ) ( 4) A A, 65 Pasados inuos la canidad d sal n l anqu s ( ) ( 4 ) ( 4 ) 6 (,65) ( ) la concnración d sal n l anqu s C( ),65( 4 ) V ( ) Para obnr la concnración d sal n l anqu cuando nga 5 liros d solución, piza por calcular l ipo n qu s da sa condición, dsd la cuación dl olun:

26 74 Aplicación d las ED d prir ordn V ( ) 4 5 rsula gr C 6, 975 l calcula ( 5),65( 4 5) Ejplo 4.4 Un rcipin conin 8cc (c ) d agua n qu sán disulos graos d sal. Agua salada con g/cc nra al rcipin con rapidz d 4 cc/in. la zcla bin agiada sal a la isa asa. Dar una ED para la canidad d sal n l anqu coo función dl ipo Dar la canidad d sal coo función dl ipo. Dar la concnración d sal n l anqu coo función dl ipo. Cuána sal ha n l anqu dspués d un largo ipo? R. San ipo n inuos. ( ) g d sal n l anqu V ( ) cc d solución n l anqu C ( ) g/cc concnración d sal n la zcla Si l olun qu ocupa la zcla n l anqu s V ( ) 8 canidad d sal n l anqu ( ) Si > l olun qu ocupa la zcla n l anqu s V ( ) 8 ( re rs ) 8 La ED linal qu odla l probla s: d d d d V d, condición inicial ( ). d d Muliplica por l facor ingran: para obnr: d d ( ) 4 C, C paráro Para hallar C aplica la condición ( ) n la ED anrior obin: 4 C C Conclu qu la canidad d sal n l anqu pasados inuos s ( ) consan 4 graos.

27 Aplicación d las ED d prir ordn 75 Concnración d sal n l anqu dspués d inuos s: C( ) Canidad d sal n l anqu dspués d un largo ipo s: li ( ) 4 ( ) g V ( ) 4 graos c Ejplo 4.5 Un anqu conin V gal. d agua n qu sá disula uniforn una canidad libras d sal. A parir d nra agua al anqu con rapidz r E gal/in concnración c E lb/gal, siulánan, por oro ubo nra agua con rapidz R E gal/in concnración C E lb/gal la zcla sal dl anqu con rapidz r S gal/in. Asuindo qu n cada insan, la zcla n l anqu s unifor, hallar la canidad d sal ( ) n función dl ipo, n l anqu. Asua qu R E, r E, r S, El agua qu sal dl anqu n l insan in concnración c E son consans qu R E re rs. ( ) c S V ( ), la figura dscrib l probla: La canidad d sal qu nra (E) al anqu por inuo s RE CE re ce La canidad d sal qu sal (S) por inuos s La rapidz con qu nra la zcla n l anqu s ganancia d galons d agua por inuo s RE r S c S r gal R E re in re rs S ( ) V ( ) libras in libras in con qu sal s r S, noncs la pérdida o n inuos s ( R r r ) Conclu qu l olun dspués d inuos s V ( ) V ( R r r ) Por lo ano, la ED s En fora canónica d d d d R E C E r E c E rs V ( R ) E r E rs V nra rs R ( R r r ) E E S sal E E E CE re ce S libras in E E S galons. rs r d S ln( V ( RE re rs ) ) V ( R r r ) R r r Muliplica por l facor E E S E E η S obin η d d η V rs η ( RE CE re ce ) ( R r r ) d ( η ) η ( RE CE re ce ) d d( η ) η ( R C r c )d E E E E E S E

28 76 Aplicación d las ED d prir ordn Ingra obin η η ( RE CE re ce ) d A ( A) ( ) ( R CE re ce ) η d η E, A s consan Con la condición inicial ( ) s ncunra l alor d la consan A Ejrcicios 4.9. Un anqu conin 5 galons d agua pura. A parir dl insan, por un ubo nra agua salada al anqu a gal/in,5 lb/gal, siulánan, por oro ubo nra agua salada con rapidz 5 gal/in concnración, lb/gal la zcla sal dl anqu con rapidz 6 gal/in. Asuindo qu n cada insan, la zcla n l anqu s unifor, hallar la canidad d sal () n l anqu n función dl ipo. R. ( ) 7 7 ( 5 ) 5 ( 5 ) 6 7. Un anqu in 4 galons d agua pura. Una solución d agua salada con lb/gal d sal nra al anqu con rapidz d gal/in la zcla bin agiada sal a la isa asa.,5 Cuána sal ha n l anqu n cualquir ipo? R. ( ) 4 4 Cuándo l agua qu sal ndrá,5 lbr/gal? R., 86 inuos. Un anqu in 6 gal. d agua pura. Una solución d agua salada con libras d sal por galón nra a gal/in la zcla bin agiada sal a,5 gal/in. Dar concnración d sal n l anqu n cualquir ipo. R. c( ) ( 6, 5 ) En qu ono l anqu in galons d agua salada? R. 6 in. Dar concnración d sal n l anqu cuando s nga gal d agua salada R. c ( 6 ) Cuándo s áia la concnración d sal n l anqu? R. in. 4. Un anqu conin 6 galons d agua salada con una concnración d sal d lb/gal. Una solución a lb/gal nra a gal/in la zcla bin agiada sal a la isa asa. Cuándo habrá 5 lb d sal n l anqu? R.,8 in. 5. Un anqu conin galons d agua salada con libras d sal disula. Una solución a,5 lb/gal nra a gal/in la zcla bin agiada sal a 4 gal/in. Encunr la concnración d sal a los inuos. R. c ( ), 5 lb/gal. 6. Un anqu conin galón d agua n qu sán disulas uniforn una canidad,5 libras d sal. A parir d, nra salura al anqu por dos ubos, por uno con rapidz d gal/in concnración d,5 lb/gal por l oro con rapidz d 4 gal/in concnración d,5 lb/galón, siulánan, la zcla qu s anin agiada n l anqu para garanizar qu n cada puno la concnración s la isa, sal con rapidz d 5 gal/in. Drin canidad d sal ( ) n l anqu n cada insan la rspcia concnración n la zcla calcul la concnración a largo plazo. 5 R. ( ) ( ) ( ) Concnración c( ) 6 (,75) ( ),75 V ( ) ( ) 6,75 li ( ) a largo plazo s

29 Aplicación d las ED d prir ordn Un anqu in galón d agua pura. A parir dl insan, nra agua salada al anqu con rapidz,5 d gal/in dnsidad libras/gal la zcla bin agiada sal con rapidz d gal/in. Dar l olun qu ocupa la zcla n l anqu n función dl ipo, una ED linal condición inicial qu dscriba la canidad d sal n l anqu coo función dl ipo. Rsolr s probla d alor inicial. R. Volun V ( ). ED,5 Canidad d sal ( ),5,5 ( ), condición ( ) 8. Un anqu conin 9 galons d una solución salina. A parir dl ipo cro s ir n l anqu una solución a razón consan d 6 galons/inuo concnración consan d / d libra d sal/galón. Siulánan sal dl anqu la solución bin zclada a razón consan d galons/inuo. Calcul l ipo qu arda n llnars l anqu si in una capacidad d 8 galons. R. inuos Si al insan n qu s llnó l anqu la canidad d sal ra 5 cs la canidad original, scriba las condicions para s odlo n érinos d la canidad inicial d sal n l anqu. ( ) R. canidad inicial d sal. ( ) 5 Mosrar qu la canidad d sal n l anqu inicialn s 9. Un anqu con capacidad d 4 gal conin inicialn gal d agua pura. El anqu in dos nradas A B d disolución acuosa con soluo salino un agujro por dond sal la disolución salina con locidad consan d gal / in. La nrada A pranc abira hasa qu l anqu s lln, n s ono s cirra A abr B. Sus propidads son: Por A nra disolución a razón d 4 gal / in con concnración d lib / gal Por B nra disolución a razón d gal / in con concnración d lib / gal Dar una función dfinida a rozos qu dscriba la canidad d sal n l anqu n función dl ipo. Hallar la áia concnración. R. La fórula d olun s V ( ) inras A sá abiro alcanza 4 gal para noncs l olun n s lapso d ipo s V ( ) 4 ( ) 5. A parir d s ipo (cirra A abr B) pird un galón por cada inuo a parir dl inuo ( ), La canidad sal n l anqu cuando s cirra A s ( ) 9 l olun s 4 gal. La canidad sal n l anqu n función dl ipo s ( ) ( ) 6 si ( ) 5.5( 5 ) si < < 5 Plana la función d concnración C ( ) ( ) / V ( ) n cada rozo, dria sudia su signo. Para la concnración s crcin su alor áio s.5 lib / gal Para < < 5 la concnración s dcrcin su alor áio s.5 lib / gal

30 78 Aplicación d las ED d prir ordn 4.5. Rsiduos d drogas n organisos Las ED raadas n sa scción s consrun sobr l iso principio uilizado n la scción anrior. Algunos auors uilizan la incógnia ( ) coo concnración d la droga n l órgano; sin bargo, aquí ( ) s la canidad d droga n l órgano para annr la siiliud con la scción anrior. Ejplo 4.6 Un líquido ranspora una droga hacia un órgano a una asa d c /s,8 g/c, sal dl órgano a la isa asa. Si inicialn la droga no sá prsn n l órgano l líquido ocupa 6 c, (a) Plan un PVI qu odl la concnración d droga n l órgano. (b) Rsula l probla d alors inicials planado n (a). (c) Encunr la concnración d la droga n l órgano a los sg. r, son rapidz d E/S (nrada/salida) rspcian dl líquido al órgano R. Si r s ocupado por l líquido noncs: V ( ) V ( r r ) 6 s s olun qu ocupa l líquido n l órgano a los sgundos. ( ) s canidad d droga n l órgano a los sgundos ( ) ( ) c ( ) s concnración d droga n l órgano a los sgundos V ( ) 6 V l olun inicial El principio s l iso qu uilizaos n la scción anrior ncsiaos d los siguins. Canidad d droga d nrada (E) al órgano por sgundo s:,8 ( ) ( ) Canidad d droga d salida (S) dl órgano por sgundo s: c ( ) 6 6 d( ( ) ) ( ) El principio s scrib,8 la condición inicial ( ). d 6 (a) El objio d s scribir la ED la condición inicial, n érinos d concnración. Para so uilizaos la dfinición d concnración: ( ) ( ) c ( ) V ( ) 6 ( ) 6c( ) Esa canidad (n érinos d la concnración) s susiu n la ED: obin d( ( ) ) ( ),8 d 6 d( 6c( ) ),8 c( ) d,8 gr sg gr sg

31 Aplicación d las ED d prir ordn 79 Coo la canidad inicial s ( ) noncs la concnración inicial s ( ) c. (b) Lo anrior rspond l aparado (a). Rsolros la ED Linal anrior, para llo la scrib: 6 c ( ) c( ), 8 6 c ( ) c( ) 75 d Muliplica por l facor ingran µ 6 6 para obnr: 6 c 6 c d c 6 c ,5 C c( ) C 6, C consan. Aplica la condición: c ( ) n la úlia, obin: ( ) 6,5 6 C d C,5 c 6 so rspond l aparado (b),5,5 6,5 (c) La concnración d la droga n l órgano a los sg s c( ),5 g c Ejplo 4.7 Un líquido ranspora una droga hacia un órgano a una asa d f c /s,6 g/c sal dl órgano a la isa asa. Asuindo qu l olun qu ocup l líquido s a a annr n 6 c, inicialn la concnración d la droga n l órgano s d, g/c qu dspués d 5 sgundos s d,9 g/c. Plan una ED con sus rspcias condicions qu odln la concnración d la droga n l órgano. Rsula s probla d alors d fronra (PVF) ncunr l alor d f. Encunr la concnración áia d droga n l órgano. R. San V ( ) V ( r r ) 6 s olun qu ocupa l líquido n l órgano a los sgundos. c ( ) concnración d droga n l órgano a los sgundos. 6 c( ) canidad d droga n l órgano a los sgundos El PVF qu odla sa aplicación s: d( 6c( ) ) d, 6 f c( ) f sujo a c ( ), c ( 5 ), 9

32 8 Aplicación d las ED d prir ordn 6 c ( ) fc( ), 6 f f c ( ) c( ) f 6 f f d Muliplica por l facor ingran µ 6 6 para obnr: f f f f 6 c ( ) 6 c( ) 6 f 6 f f d 6 f c( ) 6 d 5 f Ingra dspja c( ) C 6, C consan. Para drinar las consans n sa solución aplica las condicions d fronra 5 5 f C 6 f 5 C 6,,9 noncs C 5 f 4ln 4 ( ) c( ), c( 5),9 obin: Conclu qu la concnración d droga n l órgano n cualquir insan s c( ) 5 5 ( ln ) 5 4 Una dscripción dl coporaino d la concnración s pud obnr a parir d su driada: ln < ( ) ( ) ( ) ln 5 4 c para odo Enoncs la concnración s una función dcrcin, por lo ano, su alor áio s c ( ), Ejrcicio 4. Un líquido ranspora una droga hacia un órgano a una asa d a c /s b g/c, sal dl órgano a la isa asa. Si inicialn la droga no sá prsn n l órgano l líquido ocupa V c. Dar una fórula para la canidad ( ) d droga n l órgano dspués d sgundos. R. ( ) bv V dond V V a

33 Aplicación d las ED d prir ordn Raccions quíicas Una racción quíica s un procso duran l cual una o arias susancias inicials (racios) cabian para forar una o ás susancias (producos). La cinéica quíica dscrib odo lo rlacionado con la locidad con qu s foran los producos dcan los racios n una racción quíica. Espcífican, la aplicación por odlar n sa obra s la siguin. En l ipo cro s inn canidads a,..., a n d los racios A,..., An rspcian, d un produco Q qu aún no sá prsn. Si () dnoa la canidad forada d Q dspués d inuos, saos suponindo qu (). Adás, s supon qu n l laboraorio n un ipo T s ha drinado qu (T) para alguna consan. Suponos qu p,..., p n pars d A,..., An noncs: p p p n. rspcian, raccionan forar p pars dl produco Q, El objio s hallar una fórula para ( ) n función dl ipo ranscurrido dsd qu inició la racción. Traaros solo raccions quíicas odladas por un driado d la L d acción d asas para un único produco qu s nuncia coo sigu. L d la locidad d racción d ordn n, linal n cada racio Si la praura prsión s aninn consans, la rapidz d foración d Q s proporcional al produco d las canidads prsns d sus racios A,..., A n d( ) p p a ( ) a n n ( ) d p p Aquí rprsna la consan d proporcionalidad., so s: con condicions ( ) ( T ) A coninuación s jusifica la fórula anrior. Sa ( ) la canidad prsn d Q n l insan, noncs d( ) d s la locidad d foración d Q. El núro p p pn s la sua d pars qu raccionan cada insan. Considr uno d los racios, digaos l núro {,, n}, s dcir A. p La fracción por ( ) p : ( ) p p s la canidad d A ( ) p La rsa a ( ) s la canidad d A p Lo anrior s scrib plícian coo: qu ha raccionado para forar. qu no ha raccionado, s dcir, la qu sá prsn. En ols, graos u ora unidad d dida d asa

34 8 Aplicación d las ED d prir ordn p p pn p ( ) ( ) canidad d A canidad d A n qu raccionó noncs qu raccionó a a n p p p n p ( ) ( ) canidadprsn d racio A canidadprsn d racio A n Obian la locidad d racción dpnd d las canidads prsns d los racios, por supuso, d su uliplicación (r principio fundanal dl cono), noncs la locidad d racción sá dada por la siguin ED sparabl: d( ) p p a ( ) a n n ( ) d p p con condicions d laboraorio ( ) ( T ) para alguna consan d proporcionalidad, dnoinada consan d la locidad d la racción. Si inrin un único racio A ( ) ( a ( ) ) sparabl s linal.. la ED corrspondin s, qu adás, d En gnral, la l d locidad d una racción d ordn E En, dond E,, En son consans no cro (no ncsarian nros s drinan prinaln) s: E E n p p ( ) ( ) a n a n ( ) p p Ejplo 4.8 Los racios A B n canidads inicials rspcias d g, raccionan para forar Q. La rapidz d foración d Q s proporcional al produco d las canidads prsns d A B. La foración rquir pars d A por par d B. Si 6 g d Q s foran n inuos, hallar la canidad prsn d Q n cualquir ipo (n inuos) la canidad forada a largo plazo. R. Dno con ( ) la canidad forada d Q dspués d inuos. Dos () pars d A raccionan con una () par d B, para forar rs () pars d Q, n érinos porcnuals / d una par d A raccionan con / d una par d B para forar una par d Q; si n lugar obin qu: d una par d Q, considra la canidad oal ( ) ( ) ( ) s la canidad d A qu raccionó la canidad prsn d A s ( ) s la canidad d B qu raccionó la canidad prsn d B s ( ) Enoncs la ED qu odla sa aplicación: d d ( )( ), s consan d locidad d racción Adás, s han obnido prinaln las condicions ( ) ( ) 6 Opcionaln pud facorizar los coficins para siplificar, coo s usra a coninuación: d d ( 5 )( 6 ) oa β.

35 Aplicación d las ED d prir ordn 8 d βd ( 5 )( 6 ) d βd 5 6 Para jorar l aspco uliplica por 45, obin: d 45βd 5 6 d 5 6 δd ln ( 5 ) ln( 6 ) δ K 6 ln 5 δ K, con δ 45β, K consan. La canidad prsn d Q s nor qu 5 conscunn nor qu 6, noncs s adisibl iar l alor absoluo n δ, pudn calculars lugo, a sa ln 5 ln 6. Si bin las consans K alura dl dsarrollo rsula ás sipl. Las consans dbn scogrs d al fora qu: ( ) ( ) 6 Aplicadas n la úlia solución rsula: 6 ln δ K ln δ K 5 6 K ln 4 δ ln La úlia solución con sos alors d las consans 6 ln 5 ( ln ) ln 4 ( ln ) ln ( 6 ln ) 4 5 A coninuación dspjaos los érinos n : ln ( 6 4( 5 ) ) K, δ s scrib: ( ln ) ( ln ) ( ln ) ( ln ) 4 6 6

36 84 Aplicación d las ED d prir ordn ( ln ) ( ln ) 6 6 ( ) s la canidad prsn d Q a los inuos. 4 La canidad forada d Q a largo plazo s: 4 ( ln ) ( ln ) 4 ( ln ) ( ln ) li ( ) li li 5 g Ejrcicios 4.. Cada graos d la susancia A racciona con graos d B para forar 5 graos d Q. Inicialn sán prsns 6 graos d cada quíico 5 graos d Q s foran n hora. Dar canidad prsn d Q n cualquir ipo (n horas) la canidad áia qu s pud forar. La fras Cada g d A raccionan con g d B para forar 5 g d Q s quialn a Cada /5 g d A raccionan con /5 g d B para forar g d Q, noncs cada g d A raccionan con g d B 5 5 para forar g d Q., R. ( ) s crcin, noncs su áio órico s li ( ),57584,5. A B n canidads inicials 4 graos graos rspcian, raccionan para forar Q. La racción rquir pars d A por cada d B. Si pars d Q s foran n una hora. Coprub qu sgún la fórula: la canidad forada d Q dspués d horas sá dada por ( ), 7784 ( ) ( ) g., Q s produc d una racción qu inolucra los racios A B. La foración rquir graos d A por cada graos d B. Si inicialn ( horas), sán prsns 9 graos d A 4 graos d B, adás, s han forado 75 graos d Q n una hora, drin la canidad ( ) forada d Q n érinos dl ipo ranscurrido. ln R. ( ) 5 ln,5 g La canidad áia d la susancia Q qu s pud forar s áia g 4. Un racio A s ransfora n oro Q. En inuos sán prsns a libras d A a los T > inuos s han forado q libras d Q. Escribir un PVF para la canidad ( ) forada d Q a los in rsolrlo. q ln T a R. ( ) a( ) 5. Los racios A B n canidads inicials 9 graos 5 graos rspcian, raccionan para forar Q. La rapidz d foración d Q s proporcional al produco d las canidads prsns d A B. La foración rquir rs pars d A por cada dos pars d B. Inicialn Q no sá prsn graos d Q s foran n un inuo. Hallar la canidad d Q prsn n cualquir ipo (inuos) diga cuál s la canidad áia g.

37 Aplicación d las ED d prir ordn 85 ( ln 5) ( ln 5) R. ( ), áia 6. Dos racios A B n canidads inicials rspcias d a gr a gr, a consan posiia, foran un produco Q. En cada insan la locidad d racción s proporcional al produco d las canidads prsns d A B. La foración rquir dos pars d A por cada cuaro pars d B. Inicialn Q no sá prsn a gr d Q s foran n in. Escriba las ariabls, ED condicions qu odlan la canidad d Q prsn n cualquir ipo (inuos) diga cual s la canidad áia d Q qu s pud forar. 6a R. ( ) a canidad áia qu s fora d Q s á a

38 86 Aplicación d las ED d prir ordn 4.7. Tracorias orogonals Dfinición 4. Curas orogonals P son orogonals si Dos curas planas Γ (gaa) Ω (oga) qu s inrscan n los punos, P, solo, n cada puno P, P, d inrscción las rspcias rcas angns a Γ Ω son prpndiculars. La figura usra dos curas orogonals Γ Ω con sus rspcias rcas angns P d inrscción. Obsr qu T Γ T Ω : T Γ T Ω n un puno Sa P (, ) cualquira d los punos d inrscción P, P,. Enoncs n s puno P (, ) T in pndin T in pndin M Γ En érinos d driadas: T Γ in pndin ( ) si solan si Ω si solan si Ω T in pndin ( ) En la siguin dfinición s ind l concpo d orogonalidad nr curas a orogonalidad nr failias d curas. Dfinición 4. Failias orogonals San C K paráros (,, C) E la cuación uniparaérica d una failia d curas E (,, K ) G la cuación uniparaérica d una failia d curas G Dcios qu E s una failia d racorias orogonals (TO) d G icrsa, si solo si, las curas d E qu s inrscan con curas d G lo hacn orogonaln. La figura usra dos failias d TO, algunas curas (razos ás oscuros) d una failia algunas d sus TO (línas ás claras). si noncs T Γ s una rca horizonal T Ω s una rca rical con pndin M