ÍNDICE DE CONTENIDOS. Ees la más importante, puesto que los polígonos de cualquier número de lados, incluidos los cuadriláteros,

Transcripción

1 Poígonos: triánguos, cudriáteros y poígonos regures ÍNIE E ONTENIOS 1 Triánguos. 2 udriáteros. 3 Poígonos regures. Ees más importnte, puesto que os poígonos de cuquier número de dos, incuidos os cudriáteros, st unidd didáctic trt de estudio de os poígonos (de griego poys= mucho y goni=ánguo). un siendo e triánguo figur más senci, y que es e poígono de menor número de dos, se pueden descomponer en triánguos. e est form, pueden utiizrse s construcciones de estos en resoución tnto de cudriáteros como de poígonos. úpu de ritish useum. 56

2 esrroo de contenidos 1 TIÁNULOS evins 1.1. ects y puntos notbes de un triánguo demás de os eementos básicos, vértices, dos y ánguos (estudidos e curso nterior), se deben conocer os siguientes eementos notbes: evins. editrices. ircuncentro. isectrices interiores. Incentro. isectrices exteriores. Exincentros. edins. ricentro. turs. Ortocentro. evins (Fig. 1) Son os segmentos que unen un vértice con un punto cuquier de do opuesto. Fig. 1 editrices Son s meditrices de os dos. Se cortn en un mismo punto denomindo circuncentro (c), que es e centro de circunferenci circunscrit. ependiendo de tipo de triánguo, e circuncentro se encuentr en e interior si e triánguo es cutánguo (Fig. 2), en e punto medio de hipotenus si es rectánguo (Fig. 3), o en e exterior si es obtusánguo (Fig. 4). c Fig. 2 c c Fig. 3 Fig. 4 57

3 W c T c w b I w T b W b w c isectrices Interiores (w, w b, w c ) (Fig. 5). Ls bisectrices de os ánguos interiores de triánguo se cortn en e punto I, incentro, que es e centro de circunferenci inscrit. Los segmentos de bisectriz desde e vértice hst e punto de corte con e do opuesto se designn por w =W, w b =W b y w c =W c. T W Fig. 5 I c I b b Exteriores (Fig. 6). Ls bisectrices de os ánguos exteriores de triánguo se cortn, dos dos, en os puntos I, I b e I c, centros de s circunferencis tngentes un do y proongción de os otros dos. ests circunferencis se es denomin exinscrits, de rdios, b y c. c I Fig. 6 =2/3 m, =1/3 m =2/3 m b, b =1/3 m b edins (m, m b, m c ) (Fig. 7) Son os segmentos que unen un vértice con e punto medio de do opuesto. Se cortn en, mdo bricentro, que es e centro de grvedd, de triánguo. E bricentro divide s medins en dos prtes, un dobe que otr. b m c m c m b Fig. 7 =2/3 m c, c =1/3 m c turs (h, h b, h c ) tur es distnci desde un vértice do opuesto de triánguo. Ls turs se dibujn trzndo s perpendicures desde cd vértice do opuesto. Ls tres turs se cortn en un punto (H) denomindo ortocentro (Fig. 8). Obsérvese que si e triánguo es rectánguo (Fig. 9), e ortocentro coincide con e vértice de ánguo recto, y si e triánguo es obtusánguo (Fig. 1), e ortocentro es exterior triánguo. h hb h h c c=h b h H h b H= b=h c h c Fig. 8 Fig. 9 Fig. 1 H 58

4 1.2. eciones métrics en os triánguos p-b eción de os segmentos determindos por os puntos de tngenci de circunferenci inscrit con os dos de triánguo Prtimos de circunferenci inscrit triánguo (Fig. 11), cuyos puntos de tngenci son T, Tb y Tc. Los seis segmentos en que os puntos de tngenci dividen os dos, son igues dos dos y sumn e perímetro de triánguo, 2p. T c =T b, T c =T, T b =T T c I T L sum de tres distintos sumrán e semiperímetro p. p=t b +T b +T, como T b +T b =b, p=b+t, T =T c =p-b p- I b Fig. 11 p-c náogmente: T c =T b =p-, T b =T =p-c ' eción de os segmentos determindos por os puntos de tngenci de s circunferencis exinscrits con os dos de triánguo Tengmos hor en cuent circunferenci exinscrit do, cuyos puntos de tngenci son ', ' y ' (Fig. 12). Se puede observr que '=', donde '=c+' y '=b+'. omo '=' y '=' se puede poner '+'=('+')+b+c= +b+c=2p. Por tnto, '='=p. Un náisis simir se puede hcer con os otros dos dos y sus circunferencis exinscrits. c p p-c ' I «L distnci desde un vértice hst os puntos de tngenci de circunferenci exinscrit do opuesto, en proongción de os otros dos, es igu semiperímetro p» b p p-b ' Segmentos determindos por os puntos de tngenci de s circunferencis inscrit y exinscrits en os dos de triánguo En figur 13 se hn dibujdo e triánguo y sus circunferencis inscrit y exinscrits, con sus respectivos puntos de tngenci. demás de s reciones estudids en os puntos nteriores, se cumpen s siguientes: istnci entre os puntos de tngenci de circunferencis exinscrits sobre s proongciones de un mismo do: K=+b, J=+c, F=b+c istnci entre os puntos de tngenci de s circunferencis inscrit y exinscrit sobre un mismo do: LT c =-b, HT b =-c, ET =b-c I c L T c I T b Fig. 12 H I b. istnci entre dos puntos de tngenci contiguos de circunferencis exinscrits sobre un do y su proongción: L=H=, E=KL=b, JH=FE=c T E J F o distnci entre dos puntos de tngenci contiguos, uno de un circunferenci exinscrit en proongción de un do y otro de inscrit sobre e mismo do: JT b =KT c =, FT =T c =b, T =QT b =c K I. Fig

5 W c w c eción entre s bisectrices y os dos En e triánguo (Fig. 14) se h evdo sobre proongción de do b un segmento =. Tmbién se hn dibujdo bisectriz de ánguo (w c ) y e segmento. E triánguo es isóscees, sus ánguos igues ven /2, por tnto, os segmentos y W c son preos. picndo e teorem de Tes, se estbece: W c /W c =/ o W c /W c =b/ /2 /2 b «L bisectriz de un triánguo divide do opuesto en dos segmentos proporciones os dos concurrentes con e» Fig. 14 c w eción entre os segmentos de bisectrices (W, W b,w c ), os dos y circunferenci circunscrit L bisectriz de un ánguo de un triánguo cort circunferenci circunscrit en e punto medio de rco que brc e do opuesto. En figur 15, bisectriz de ánguo cort rco en su punto medio. L meditriz de do tmbién ps por. Si se estbece un inversión en que e do y circunferenci circunscrit sen figurs inverss, e centro de inversión es e punto y potenci de inversión es =. Los puntos y W son inversos. W = W Est propiedd se empe pr construcción de gunos csos de triánguos, como,,w. x Fig. 15 =W +W O w Si se conocen bisectriz y potenci, se pueden hr os segmentos W y por picción de potenci de punto F respecto de circunferenci de diámetro W (Fig. 16). Pr su construcción, dibujr dos segmentos perpendicures de vores x y w con un origen común J. ibujndo circunferenci de diámetro w y uniendo F con e centro O, se obtienen os segmentos W y. W F x J Fig. 16 6

6 1.3. Triánguos órtico, compementrio y supementrio E triánguo órtico de otro ddo, es que que tiene por vértices os pies de s turs (H, Hb y Hc) de primero (Fig. 17). Si e triánguo es cutánguo, s bisectrices de órtico coinciden sobre s turs de triánguo. En este cso, e ortocentro de triánguo coincide con e incentro de su órtico. H c H b H H Fig. 17 Se denomin triánguo compementrio de otro ddo, que resu-t de unir os puntos medios, b y c de os dos de que (Fig. 18). Los dos de compementrio son preos os de primero, y de vor mitd. b =c/2 Se denomin triánguo supementrio de otro ddo que se obtiene dibujndo pres os dos por os vértices opuestos respectivos. En figur 18, e triánguo es supementrio de b c. Por tnto, si un triánguo es compementrio de otro, este es supementrio de primero. b c c =b/2 b c =/2 Fig Segmento y circunferenci de Euer En e triánguo (Fig. 19) se hn dibujdo su circuncentro ( c ), su bricentro () y su ortocentro (H). c =1/3H c H=2/3H c E segmento de Euer tiene por extremos e ortocentro H y e circuncentro c. ontiene siempre bricentro, de t form que c =1/3 H c. b F H c c L circunferenci de Euer tiene por centro e punto medio (O) de segmento de Euer, y su rdio es mitd de de circunferenci circunscrit. L circunferenci de Euer tmbién es conocid con e nombre de circunferenci de os nueve puntos, por contener os pies de s turs (H, H b y H c ), os puntos medios de os dos (, b y c ) y os puntos medios de os segmentos que unen os vértices con e otocentro (F, F b y F c ). H b F c H H O c F b Fig

7 h c 1.5. onstrucción de triánguos Pr construir un triánguo se necesitn tres dtos. Si e triánguo tiene un condición prticur (isóscees o rectánguo) un dto es impícito, y si tiene dos condiciones prticures (equiátero o rectánguo isóscees), son dos os dtos impícitos. h c Los csos que se estudin en este curso incuyen eementos notbes; por tnto, es necesrio conoceros, sí como sus propieddes y sber picrs. Fig. 2 rco cpz º sobre omo en todo ejercicio de geometrí, hor de resover un triánguo, es conveniente hcer un figur de náisis en que se supong e probem resueto, identificr os dtos y deducir e procedimiento geométrico que ev soución. Equivencis de dtos guns prejs de dtos son equiventes pr construir un triánguo. Fig. 21 gunos ejempos son os siguientes:, b = +b, -b = +b, :b. En todos os csos se pueden deducir y b., =, h c =, h c (Fig. 2)., =, =, (Fig. 21)., b:c =, (Fig. 22). En triánguos rectánguos: = 2m = 2 (Fig. 23). = b:c (Fig. 24). ' ' ibujndo e ánguo y dos dos proporciones b y c, se obtiene un triánguo '' semejnte buscdo. Fig. 22 ' m n m ' Fig. 23 Si reción es b:c=m:n, se puede dibujr un triánguo '' semejnte pedido, con o cu se conocen os ánguos gudos. Fig

8 onstrucción de triánguos escenos tos:, c, h b (Fig. 25). tos:, c, m c (Fig. 28) ibujr e do =. on centro en y rdio 2 m c, y con centro en y rdio c, se dibujn dos rcos que se cortn en P. P es un romboide de dos y c. Por pres se h. 2 m c P c hb c c Fig. 25 tos:,, m c (Fig. 26). ibujr e do = y e ánguo. Levr m c desde pr obtener c. Por simetrí, se h. Fig. 28 tos:,, h b (Fig. 29). ibujr e do = y e rco cpz de 9º sobre. on rdio h b y centro se dibuj un rco que cort rco cpz en H b, pie de tur h b. L rect que une con H b ps por. m c H b c h b Fig. 26 Fig. 29 tos: m, m b, h (Fig. 27) ibujr tur h. on centro en y rdio m se dibuj un rco que ps por. on centro y rdio 2m /3 se h e bricentro. on centro en y rdio 2/3 m b, se obtiene. tos:,, 2p (Fig. 3). ibujr e do = y e ánguo. Levndo e semiperímetro p desde sobre os dos de ánguo se obtienen os puntos de tngenci sobre circunferenci exinscrit de do b. ibujr. L rect tngente desde es exinscrit, contiene do. I b p 2/3 m h m 2/3 m b O p Fig. 27 Fig. 3 63

9 tos:, m, m b (Fig. 31). ibujr medin m b = b, y, sobre e e rco cpz de º. E rco de centro e bricentro y rdio 2m /3, cort rco cpz en. Hy dos posibes souciones en un cso gener. rco cpz º tos: m, m b, m c (Fig. 33). En figur de náisis se puede observr que hciendo un trsción pre de dos medins, se obtiene un triánguo de dos igues s tres medins. ibujdo e triánguo de dos m, m b y m c que tiene por vértices P, y c, se puede obtener e bricentro de buscdo. eshciendo trsción pre de s medins y evndo 2/3 de un, se obtiene otro vértice ( en este cso). E vértice se obtiene por simetrí de respecto de c. 2/3 m O c P m b m b m b P m b m c b 2/3 m b os souciones m Figur de náisis 2/3 m c b m c m 2/3 m c Fig. 31 tos:, m b, m c (Fig. 32). ibujr medin m b = b y sobre e e rco cpz de º. L circunferenci homotétic de de rco cpz, con centro de homoteci y rzón 1/2, es e ugr geométrico de os puntos medios de do. L distnci desde e bricentro c es m c /3. rco cpz º Fig. 33 tos: h, h b, h c (Fig. 34). ibujndo tres segmentos con e mismo origen P, de ongitudes igues s turs dds (P=h, P=h b y PS=h c ) y circunferenci que ps por sus extremos, y S, se obtienen os puntos N, Q y T en os tres segmentos o en sus proongciones. Por potenci de punto P respecto de circunferenci se puede escribir P PN = PQ P = PS PT. omo e áre de triánguo es igu mitd de producto de do por su tur, y es constnte pr cd do y su correspondiente tur ( h =b hb =c hc ), os segmentos PN, PQ y PT son proporciones os dos. ibujr un triánguo ''' de dos PN, PQ y PT. Por semejnz se obtiene e pedido. 1/3 m c O c O' P Q S N T b 2/3 m b ' PT='' PQ='' h PQ PN='' h ' PT =' PN ' Fig. 32 Fig

10 tos:, m, h (Fig. 35). ibujr un rect horizont y sobre un perpendicur e evr h, obteniendo. on centro en y rdio m se dibuj un rco que ps por (punto medio de do ). Si se dibuj otr vez m continución de, se obtiene '. ' es un romboide, cuyo ánguo en ve 18º-º. E rco cpz de 18º-º ps por. Por simetrí, se h. rco cpz 18º-º tos:,, (Fig. 37). ibujr dos semirrects que formen º. En bisectriz de ese ánguo estrán I, centro de circunferenci inscrit e I, centro de circunferenci exinscrit de rdio que se puede dibujr. Levndo desde ' distnci se obtiene T b, punto de tngenci de circunferenci inscrit sobre e do b. ibujr inscrit de centro I. L rect tngente común s circunferencis inscrit y exinscrit dibujds, contiene do de triánguo. h m I m I T b ' ' p Fig. 35 Fig. 37 tos: m c, h, h b (Fig. 36). E romboide P tiene os dos P y seprdos h, digon P es 2m c y distnci entre os dos y P es h b. ibujr dos rects pres horizontes seprds h. Situr e vértice en un punto rbitrrio de un de es. ibujndo un rco de centro y rdio 2m c, se tiene P. ibujr circunferenci de rdio h b y centro. L tngente e desde P contiene do P de rombo, sí obtenemos. E do se obtiene por preismo. tos: h, m, =2 b (Fig. 38). ibujr un rect horizont y sobre un perpendicur e evr h, obteniendo. on centro en y rdio m se dibuj un rco que ps por. L meditriz de ps por (b= =/2). P 2mc c hb hb h m h b Fig. 36 Fig

11 onstrucción de triánguos isóscees =b c = tos: h c, h b (Fig. 42). ibujr dos rects pres (s, t) seprds h b y su pre medi (u). Tomr un punto rbitrrio en un de s pres, hciendo centro en é y con rdio h c se dibuj un rco que cort pre medi en H c. L perpendicur h c por H c contiene do. t hb H c u hb / 2 h c s tos: b, h c (Fig. 4). Fig. 39 tos:, h b (Fig. 43). ibujr dos rects que formen º. on centro en e punto, vértice de ese ánguo, dibujr e rco de rdio h b. L tngente este, pre r, contiene do. Fig. 42 h c b hb r Fig. 4 Fig. 43 tos: h c, 2p (Fig. 41). ibujr un horizont y evntr un segmento perpendicur H c de vor tur. edir p sobre horizont desde H c, se obtiene. L meditriz de ps por. tos: m b, h b (Fig. 44). ibujr e segmento m b = b. edir 2/3 de su vor desde pr hr e bricentro. E rco cpz de 9º sobre m b contiene pie de tur, H b. L perpendicur h b por H b contiene do. Levndo 2/3 m b desde e bricentro sobre es perpendicur, se tiene e vértice. es e simétrico de respecto de b. h c mb 2mb / 3 hb hb Hb 2mb / 3 b H c p Fig. 41 Fig

12 tos:, m b (Fig. 45). Un vez dibujdo e do =, se dibuj su meditriz pr hr. on centro en y rdio e do, y con centro en y rdio m b, se dibujn dos rcos que se cortn en. tos:, m b (Fig. 48). ibujr un triánguo '' semejnte buscdo. ibujr su medin y comprr con dd. m b ' m b b ' Fig. 45 Fig. 48 tos: r, h b (Fig. 46). ibujr dos rects pres (s y t) distntes h b y su pre medi (u). ibujr un circunferenci de centro I y rdio r tngente un de s pres exteriores. E punto de interseción c, de circunferenci inscrit con pre medi, es e punto medio de do desigu. L rect c I contiene vértice. L tngente inscrit en c contiene do desigu. tos: b, h (Fig. 49). Sobre e cteto b se dibuj e rco cpz de 9º. Levr tur h hst obtener H. L rect H ps por. t H hb hb / 2 u s c I h b Fig. 46 Fig. 49 onstrucción de triánguos rectánguos = hipotenus b, c= ctetos tos:, m b (Fig. 5). ibujr hipotenus y su rco cpz de 9º. L semicircunferenci de diámetro es e ugr geométrico de os puntos medios de do b. E rco de centro y rdio m b cort en b semicircunferenci nterior. Uniendo con b se tiene e do b. b m b Fig. 47 Fig. 5 67

13 tos: h, m b (Fig. 51). ibujr dos rects pres seprds h y su pre medi. Tomr un punto rbitrrio en un de s pres, hciendo centro en é, y con rdio m b se dibuj un rco que cort pre medi en b. E rco cpz de 9º sobre b ps por (dos souciones). tos: c, w (Fig. 53). ibujr e do =c y un perpendicur por. Trzr bisectriz de ánguo de 9º y medir sobre e w, teniendo W. Uniendo con W, se dibuj hipotenus. W b h h / 2 m b w c Fig. 51 Fig. 53 tos: b, 2p (Fig. 52). ibujr dos rects perpendicures que se cortn en y trzr circunferenci de rdio b tngente mbs. esde e punto T c, evr e semiperímetro p, se obtiene. idiendo p desde hst circunferenci exinscrit, se tiene T. L tngente T contiene hipotenus. tos: b, w c (Fig. 54). Se dibuj bisectriz w c =W c. ibujr e rco cpz de 9º sobre w c y trzr con centro un rco de rdio b, que ps por y por su simétrico X respecto w c. Ls rects W c y X se cortn en. T b I b p w c W c b T c p X Fig. 52 Fig

14 2 UILÁTEOS omo un cudriátero se puede descomponer en dos triánguos, s propieddes y construcciones de triánguos se pueden picr construcción de cudriáteros onstrucción de preogrmos ibujr un rectánguo conociendo su perímetro 2p, y e ánguo que formn sus digones, α (Fig. 55). 1º E ánguo que formn digon y e do es δ=9º-α/2. 2º ibujr =p y por un rect que forme 45º, cu cort en que form δ con. α δ=9- α/2 p 45º Fig. 55 ibujr un rombo conociendo su do y e ánguo gudo (Fig. 56). 1º ibujr dos semirrects de origen, que formen º. 2º Levndo e do desde se tienen os vértices y. 3º Por preismo se obtiene e vértice. I Fig. 56 ibujr un romboide conociendo sus dos y, y e ánguo que formn sus digones, α (Fig. 57). 1º ibujr e rco cpz de α sobre =2. 2º esde e vértice, punto medio de, se trz e rco de rdio, que cort rco cpz en. 3º Por pres, se obtiene. rco cpz α α α 2 Fig. 57 ibujr un romboide conociendo s dos digones y, y e ánguo obtuso (Fig. 58). 1º ibujr e rco cpz de sobre digon. 2º on centro en O, punto medio de, se trz e rco de rdio /2, que cort rco cpz en. 3º Por pres, se obtiene. /2 rco cpz Fig

15 h α ibujr un romboide conociendo h=distnci entre y, digon y e ánguo α que formn s digones (Fig. 59). 1º ibujr dos rects pres seprds h. 2º Hciendo centro en un punto rbitrrio de un de s rects, se dibuj un rco de rdio digon que cort otr rect en. 3º ibujr por, punto medio de, un rect que forme αº con que pse por y por. Fig. 59 r I 2.2. onstrucción de trpecios ibujr un trpecio rectánguo circunscriptibe, conociendo su bse myor y e rdio de circunferenci inscrit, r (Fig. 6). 1º ibujr un circunferenci de rdio r. 2º ibujr tres rects tngentes e, dos horizontes y otr vertic, que se cortn en os vértices y. 3º edir bse myor pr obtener. 4º L tngente circunferenci inscrit desde contiene do obicuo. Fig. 6 p/2 r p/2 ibujr un trpecio isóscees circunscriptibe ddos, e perímetro 2p, y e rdio de circunferenci inscrit, r (Fig. 61). 1º En un cudriátero circunscriptibe son igues s sums de dos opuestos; por tnto, cd do no básico mide p/2. 2º ibujr dos pres seprds 2r y un circunferenci tngente es. 3º ibujndo dos segmentos de vor p/2 con extremos en mbs pres, y trzndo tngentes circunferenci, pres eos, se obtienen os cutro vértices de trpecio. N Fig. 61 h ibujr un trpecio conociendo e rdio de circunferenci circunscrit, e do no básico y tur h (distnci entre bses) (Fig. 62). 1º ibujr dos rects pres seprds h. 2º on centro en un punto cuquier de un de es, dibujr e rco de rdio, se obtiene e vértice. 3º Pr hr e centro de circunferenci circunscrit, hcer centros en y con rdio ; se cortn en. 4º L circunferenci circunscrit ps por os otros dos vértices y. 5º Por ser inscriptibe, e trpecio es isóscees. Fig. 62 7

16 2.3. onstrucción de trpezoides En figur 63, prtiendo de trpezoide, hciendo un dobe trsción pre de digon y un trsción pre de digon, se obtiene e preogrmo N, en e cu os segmentos que unen con sus vértices son os dos de trpezoide ( y ) o igues eos (= y N=). Los ánguos que formn estos segmentos entre sí son igues os de trpezoide. Est trnsformción se utiiz pr resover gunos csos de trpezoides. α N α Fig. 63 ibujr un trpezoide dds s digones, e ánguo α que formn y dos dos contiguos y (Fig. 64). 1º ibujr e preogrmo N de dos s digones y ánguo α. 2º ibujr e triánguo de que se conocen os tres dos. 3º Hciendo un trsción pre de segmento N=digon, se tiene es digon en posición, y, con e, e vértice. α N ibujr un trpezoide conocidos e do, os ánguos,,, y e perímetro (Figs. 65 y 66). En figur 65 se hce un náisis de probem. Si se evn y en proongción de, se tiene sum de os tres dos, diferenci 2p-. Los ánguos que formn y N con N son /2 y /2 respectivmente. N /2 Fig /2 1º En figur 66 se dibujn os dtos N, /2 y /2. 2º continución se dibujn dos semirrects que formen ánguos igues y. 3º ibujr un ánguo en preo su posición fin y evr JK=. 4º Hciendo un trsción pre de JK se tienen os vértices y. 5º Por útimo, por pres, se obtienen os vértices y. N /2 Figur de náisis Fig /2 K J Fig

17 3 POLÍONOS EULES E 72º 36º 36º Ls propieddes de os poígonos regures, sí como s construcciones (inscritos en circunferenci, ddo e do y estredos), se trtron en e ibro ibujo Técnico I. Propieddes especies de gunos poígonos regures «E do de un pentágono regur es áureo de su digon» (Fig. 67). 36º 72º 36º Los segmentos ==...=d son digones. Los dos son ===...= Los triánguos y son semejntes. Se puede escribir: Fig. 67 = ; d = E triánguo es isóscees, = e igues. omo =-=-=d-: F d = ; d = (d-) H E form de proporción áure. I J Fig º 36º 72º «E do de un decágono regur inscrito en un circunferenci es áureo de rdio de est» (Figs. 68 y 69). Los segmentos ==...= son rdios de circunferenci circunscrit y os dos son ===...= (Fig. 68). En figur 69 se dibuj un dete de triánguo E de figur 68. Se h dibujdo tmbién e segmento E=E. Los triánguos E y E son semejntes. Se puede escribir: O E omo e triánguo E es isóscees, se cumpe que =E igues E. omo =-=-: = = E ; ; = = (-) E que es form de proporción áure. 36º 36º 72º 36º Fig

18 ctividdes compementris 1 Estudir s forms de triánguo órtico de un triánguo rectánguo y otro obtusánguo (Figs. 7 y 71). Qué reción hy entre os ortocentros e incentros de unos y otros? 3 Estudir s forms de circunferenci y segmento de Euer en un triánguo rectánguo y en otro obtusánguo. 4 En figur 73 se representn un triánguo equiátero, un triánguo rectánguo isóscees, y un pentágono regur EF. Se pide: ) educir, sin recurrir dibujo, e ánguo. b) ibujr e conjunto sbiendo que e segmento =32 mm. c) ibujr circunferenci que ps por e ortocentro de, e bricentro de y por e punto medio de potem de pentágono correspondiente do F. Fig. 7 E Fig educir reción entre os dos de os cudrdos inscrito y circunscrito un mism circunferenci (Fig. 72). ' L 4 ' ' Fig educir, en función de os ánguos, y de un triánguo, os ánguos que formn s turs, cundo: ) Se un triánguo cutánguo. b) Se un triánguo rectánguo. c) Se un triánguo obtusánguo. F L 4 ' ' Fig