MATEMÁTICAS FINANCIERAS

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1 MATEMÁTICAS FINANCIEAS TEMA: A N U A L I D A D E S CONTENIDO AUTO: Tu l o A. Ma teo D u v a l Santo Domngo, D. N. ep. Dom.

2 MATEMÁTICAS FINANCIEAS A N U A L I D A D E S CONTENIDO:. Defncón 2. Elementos de una Anualdad 3. Clasfcacón de las 4. Anualdad Vencda Smple 4. Monto de una Anualdad Vencda Smple 4.. Cálculo de la enta 4..2 Cálculo del Plazo o Duracón 4..3 Cálculo de la Tasa de Interés 4.2 Valor Actual de las Vencdas y Dferdas Smples 4.2. Cálculo de la enta Cálculo del Plazo o Duracón Cálculo de la Tasa de Interés 5. Anualdad Vencda General 5. Cálculo del Monto, Valor Actual, enta, Plazo y Tasa de Interés de una Anualdad Vencda General 6. Anualdad Antcpada Smple 6. Monto de una Anualdad Antcpada Smple 6.. Cálculo de la enta 6..2 Cálculo del Plazo o Duracón 6..3 Cálculo de la Tasa de Interés 6.2 Valor Actual de las Antcpadas y Dferdas Smples 6.2. Cálculo de la enta Cálculo del Plazo o Duracón Cálculo de la Tasa de Interés 7. Anualdad Antcpada General 7. Cálculo del Monto, Valor Actual, enta, Plazo y Tasa de Interés de una Anualdad Antcpada General 8. Anualdad Perpetua o Perpetudad 8. Anualdad Perpetua Vencda 8.2 Anualdad Perpetua Antcpada 9. Amortzacón y Fondos de Amortzacón 9. Amortzacón de Deudas. Tabla de Amortzacón 9.. Saldo Insoluto, Derechos Adqurdos por el Deudor y Saldo a Favor del Acreedor 9.2 Fondo de Amortzacón. Tabla de un Fondo de Amortzacón 9.2. Cálculo del Total Acumulado en un Fondo de Amortzacón y del Saldo Insoluto en Cualquer Fecha 0. esumen de Fórmulas elatvas a las

3 MATEMÁTICAS FINANCIEAS A N U A L I D A D E S. DEFINICIÓN En las transaccones comercales y fnanceras es común emplear, en vez de un pago únco al térmno de un plazo, una anualdad o renta, esto es, un conjunto de abonos fjos a ntervalos guales de tempo. Ejemplos de anualdades: pago de las cuotas mensuales de un préstamo hpotecaro, los dvdendos trmestrales sobre accones preferdas, pagos bmestrales de la prma del seguro de un vehículo, los pagos mensuales de un contrato de alquler de un apartamento, el cobro quncenal del sueldo, los abonos mensuales efectuados para pagar una nevera comprada a crédto, los depóstos semestrales realzados en un fondo de amortzacón para fnancar la susttucón de una maqunara, etc. Se denomna Anualdad o enta a una sere de pagos o sumas de dnero, generalmente de gual cuantía, que vencen a ntervalos guales de tempo. Aún cuando el vocablo anualdad sugere que los pagos son anuales, no debemos entenderlo sempre así, pues la frecuenca de los pagos puede ser cualquer otra: semestral, trmestral, bmestral, mensual, etc. En resumen, por anualdad no asumremos pagos anuales, sno pagos fjos que vencen a ntervalos de tempo guales. 2. ELEMENTOS DE UNA ANUALIDAD Una anualdad queda completamente defnda medante sus cuatro (4) elementos, a saber: a) enta o pago peródco de la anualdad (): es el nombre que se da a la cuantía o valor de cada uno de los pagos peródcos de la anualdad. b) Perodo de los pagos o perodo de la anualdad : es el espaco de tempo fjado entre el vencmento de pagos o captales sucesvos de la msma (año, semestre, bmestre, cuatrmestre, quncena, etc.). c) Plazo o duracón de la anualdad : es el ntervalo comprenddo entre el nco del prmer perodo y la fnalzacón del últmo, o sea, el número total de perodos o de pagos de la anualdad (n). d) Tasa de nterés de la anualdad : es la tasa anual de nterés compuesto que aplca a los abonos o depóstos de la anualdad, con captalzacón peródca que puede concdr o no con el perodo de los pagos. Ejemplo Para fnancar la susttucón qunquenal de una maqunara, una empresa deposta $32, al térmno de cada año en un fondo que abona el 8.75% compuesto anual. Identfque los elementos y represente gráfcamente la anualdad. a) enta o pago peródco: = $32, b) Perodo de los pagos = año c) Plazo o duracón de la anualdad: n = 5 años d) j = 5% m = = $ 3 2, a ñ o s j = % m = 2

4 3. CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES Bajo el título general de anualdades exste una gran varedad de ellas. Una anualdad puede tener o no sus fechas de nco y térmno defndas, o pueden sus pagos efectuarse al nco o al fnal de cada perodo. Asmsmo, la frecuenca de sus abonos puede concdr o no con la frecuenca de captalzacón de los ntereses, así como el prmer pago puede realzarse en el prmer perodo o algunos perodos después. Dependendo de éstos y otros factores, para fnes de estudo, las anualdades se clasfcan de acuerdo con los sguentes crteros: CITEIO TIPO DESCIPCIÓN TIEMPO (se refere a las fechas de nco/térmno del plazo) VENCIMIENTO DE LOS PAGOS (se refere al momento en que se efectúan los pagos) CIETAS CONTINGENTES VENCIDAS ANTICIPADAS En éstas los pagos comenzan y termnan en fechas perfectamente determnadas. En éstas la fecha de vencmento del prmer o del últmo pago, o de ambos, depende de algún suceso prevsble, pero cuya fecha de realzacón no puede fjarse. Las anualdades vencdas u ordnaras son aquellas en las que los pagos se efectúan al fnal de cada perodo. Las anualdades antcpadas son aquellas en las que los pagos se efectúan al nco de cada perodo. CONCODANCIA O NO DE PEIODOS (se refere a la concdenca o no del perodo de los pagos y del perodo de captalzacón de los ntereses) INICIACIÓN DE LOS PAGOS (se refere al momento en que se comenzan a realzar los pagos) SIMPLES GENEALES INMEDIATAS DIFEIDAS En éstas el perodo de los pagos concde con el perodo de captalzacón de los ntereses. En éstas el perodo de los pagos no concde con el perodo de captalzacón de los ntereses. En éstas el prmer pago se efectúa al nco o al fnal del prmer perodo de la anualdad (antcpada o vencda). Son aquellas en las que se estpula que el prmer pago debe efectuarse después de transcurrdo certo número de perodos. Como los crteros de clasfcacón antes vstos no son mutuamente excluyentes, elgendo una característca de cada crtero se pueden formar dferentes tpos de anualdades, resultando que, en las más usuales, predomnan las modaldades: certas, smples, nmedatas (vencdas y antcpadas) y dferdas. Cabe menconar además la anualdad perpetua o perpetudad, una varante de las anualdades certas, la cual se caracterza porque los pagos peródcos se efectúan por tempo lmtado. Abordaremos aquí el estudo de las anualdades certas, comenzando con las smples e nmedatas (vencdas y antcpadas) por ser las más empleadas en el sstema fnancero. Tambén se analzan las anualdades dferdas y las generales, tomando en cuenta, que en este últmo caso, cualquer anualdad general se puede convertr en smple s se emplea la correspondente tasa de nterés equvalente. Comencemos efectuando el cálculo del monto acumulado al fnal del plazo de una anualdad vencda smple. Ejemplo 2 Qué cantdad se acumulará en 2 años s se depostan $20, al fnal de cada semestre en una cuenta de nversones que abona un 0% anual captalzable semestralmente? a) enta o pago peródco: = $20, b) Perodo de los pagos = semestre c) Plazo duracón de la anualdad: n = 4 semestres d) = 0/2 = 5% semestral e) S =? 3

5 n = 3 S =? = $20,000 n = 2 n = sem = 5% S nos ubcamos al fnal del plazo y efectuamos la sumatora de los montos de cada uno de los pagos desde sus respectvos vencmentos, obtendremos a S : 2 3 S = 20, ,000 ( ) + 20,000 ( ) + 20,000 ( ) = $86, ANUALIDAD VENCIDA SIMPLE Una anualdad vencda smple es aquella cuyos pagos vencen al fnal de cada uno de los perodos que la componen, sempre y cuando éstos concdan con los perodos de captalzacón de los ntereses. Ejemplo de este tpo de anualdad, además del caso vsto en el Ejemplo 2, lo consttuye el conjunto de 2 pagos mensuales por valor de $28, c/u, correspondentes al alquler de un local comercal, s los msmos son depostados en una cuenta bancara que paga ntereses a razón del 8% anual convertble mensualmente. 4. MONTO DE UNA ANUALIDAD VENCIDA SIMPLE El monto o valor futuro de una anualdad vencda smple "S" es el valor de dcha anualdad calculado en su fecha de termnacón. Se obtene al sumar los montos que acumulan cada uno de los pagos desde sus respectvos vencmentos hasta el fnal de la duracón de la anualdad. S n-2 n- n n = núm ero de perodos = tasa de nterés por perodo = renta o pago peródco S = m onto de la anualdad Para deducr una fórmula que permta obtener drectamente el monto o valor futuro de una anualdad vencda smple "S" se ejecuta el msmo proceso segudo en el Ejemplo 2, pero trabajando con pagos nvertdos a la tasa de nterés por perodo de captalzacón y por n perodos de captalzacón: 2 S = + ( + ) + ( + ) + Multplcando ambos membros por ( + ) se tene: n K K+ ( + ) (A) 2 3 S ( + ) = ( + ) + ( + ) + ( + ) + K ) n K + ( + (B) Esta operacón es la que se conoce como monto de una anualdad vencda smple. 4

6 estando membro a membro las expresones B A, se obtene: S. = ( + ) n Factorzando se tene: S = [( + ) ] Despejando a S de la expresón anteror, se obtene la fórmula que permte hallar el monto de una anualdad vencda smple: n n [( + ) ] Ejemplo 3 esolver el Ejemplo 2 empleando la fórmula [] encontrada anterormente. S = MONTO ANUALIDAD VENCIDA SIMPLE [] a) enta o pago peródco: = $20, b) Perodo de los pagos = semestre c) Plazo o duracón de la anualdad: n = 4 semestres d) = 0/2 = 5% semestral e) S =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [], se obtene: S = 20,000 4 [( ) ] = $86, Ejemplo 4 S una persona deposta $, al fnal de cada trmestre en una cuenta bancara que abona un 2% compuesto trmestralmente, cuánto será el balance de la cuenta al cabo de 9 años? Cuál es el nterés total ganado? = $, j = 2% m = 4 = 0.2/4 = 3% trmestral t = 9 años n = 9 4 = 36 trmestres S =? a) Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [], se obtene el balance de la cuenta al cabo de los 9 años: S =, [( ) ] = $9, b) Interés total ganado = S Depóstos = 9, ,450 = $39,550.2 Ejemplo 5 Un señor decde ahorrar $5, al fnal de cada bmestre durante 5 años en una nsttucón fnancera que paga el 9% anual captalzable bmestralmente. a) Cuánto será su balance al fnal del plazo? b) S al fnalzar el plazo no se retra n se deposta nada, cuál será el balance de la cuenta 3 años después del últmo depósto? = $5, j = 9% m = 6 = 0.09/6 =.5% bmestral t = 5 años n = 5 6 = 30 bmestres S =? a) Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [], se obtene el balance al fnal del plazo: S = 5, [( ) ] = $563,

7 b) Como el balance anteror está dsponble al térmno de los 5 años, luego el msmo se quedará captalzando los ntereses generados durante 8 perodos (3 años 6 bm.) adconales. Por tanto, el balance peddo se obtene al calcular el monto compuesto de los $563, a la tasa de nterés del.5% bmestral y al cabo de los 8 bmestres: S = 563,080.22( ) 8 = $736,37.65 Ejemplo 6 Andrés amírez efectúa un depósto ncal de $6, en una cuenta de ahorros que abona el % mensual. S acordó depostar $3, al fnal de cada mes durante ½ años y $4, al fnal de cada mes durante los 2 años sguentes, cuál sería el balance de la cuenta al térmno de los 3½ años? cuánto se ganaría por concepto de ntereses? n=42 $6,000 =$3,000 S =$4,000 n=24 S S meses =% D epósto ncal = $6, S = m onto anualdad con =$3, S 2 = m onto anualdad con =$4, = tasa de nterés por perodo = % S = monto total peddo a los 3½ años Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [], se obtenen los montos o valores futuros de las 2 anualdades: 8 [( + 0.0) ] $58, S = 3,000 = [( + 0.0) ] $07, S = 4,000 = a) Usando la fórmula del monto compuesto, se captalzan los valores del depósto ncal y del monto de la anualdad "S ", sumándosele al valor de "S 2 ", a los fnes de obtener el balance peddo "S" : S = 6,000 ( + 0.0) , ( + 0.0) , = $9,723.7 b) Interés total que se ganaría = S Depóstos = 9, , , ,000 = $35, CÁLCULO DE LA ENTA En ocasones se requere obtener el valor de la renta o de los pagos (o depóstos) peródcos "", partendo de un monto o valor futuro específco de una anualdad vencda smple "S", de una duracón "n" y una tasa de nterés por perodo " ". En tales casos, el cálculo de la renta se realza con la expresón que resulta al despejar a "" de la fórmula []: S. = VALO DE LA ENTA [2] n [(+ ) ] 6

8 Ejemplo 7 Cuánto deberá ahorrar una persona al fnal de cada semestre en una cuenta bancara que paga el 8% anual captalzable semestralmente para acumular la suma de $20, al cabo de 6 años? Cuánto se gana por concepto de ntereses? S = $20, j = 8% m = 2 = 8/2 = 4% semestral t = 6 años n = 6 2 = 2 semestres =? I =? a) Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [2], se obtene: 20, = [(+ 0.04) ] 2 = $7, b) El nterés total que se gana resulta al restar la suma acumulada "S" menos los depóstos efectuados "n." : I t S n. Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [3], se tene: I t = [3] = 20, , = $24,64.88 Ejemplo 8 Calcular cuánto se debería ahorrar al fnal de cada mes durante los próxmos 7 años s se deseara acumular $300, efectuando depóstos en un fondo que paga el 5% compuesto mensualmente. S = $300, j = 5% m = 2 = 5/2 =.25% mensual t = 7 años n = 7 2 = 84 meses =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [2], se obtene: 300, = [( ) ] 84 = $2, Ejemplo 9 Con un depósto ncal de $5, y 0 depóstos guales a efectuarse al fnal de cada mes se desea llevar el balance de una cuenta bancara que abona el.% mensual a que alcance la suma de $9, Cuál sería el valor de los depóstos para que al cabo de los 0 meses se tenga acumulado dcho monto? n= 0 S $5,000 =? S m eses =.% D ep ósto n ca l = $5, = tasa de nteré s por perod o =.% S = m onto de la a nualdad con =? S = m onto tota l a a cum u lar 7

9 Como vemos, la suma del monto compuesto del depósto ncal (hasta el fnal del plazo) más el monto de la anualdad deberá alcanzar la suma de $9, ,000 ( + 0.0) + S = 9, A partr de esta relacón, se obtene el valor del monto que se deberá acumular medante los depóstos peródcos de la anualdad "S " : 5, S = 9, S = 9, , S = $4,88.23 Conocdo el monto de la anualdad "S " y medante la fórmula [2], se obtene el valor de los depóstos: 4, = [(+ 0.0) ] 0 = $, CÁLCULO DEL PLAZO O DUACIÓN S se conoce el monto "S" de una anualdad vencda smple, la tasa de nterés por perodo " " y el valor de la renta "", puede calcularse el valor de "n", o sea, el número total de perodos (o de pagos) de la anualdad, medante la expresón que resulta al despejar a "n" de la fórmula []: S log + n = VALO DE LA DUACIÓN [4] log (+ ) Dado que "n" representa el número total de perodos, por consguente s se qusese el tempo expresado en años 2 se procedería a dvdr el valor obtendo con la fórmula [4] entre la frecuenca de los pagos (o de captalzacón de la tasa de nterés) "m", o sea: n t( años ) = [5] m Ejemplo 0 Una persona deposta $900 al fnal de cada mes en una cuenta bancara que abona el 2% anual captalzable mensualmente con el fn de acumular la suma de $4, Cuántos depóstos deberá hacer? S = $4,487.2 = $ j = 2% m = 2 = 2/2 = % mensual n =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [4], se obtene: 4,487.2 log n = = 5 depóstos log (+ 0.0) 2 Después que se tene el tempo expresado en años puede hacerse la conversón a cualquer otra undad (meses, quncenas, semanas, etc.). 8

10 Ejemplo Mguel Torres necesta reunr $33, y con ese propósto realza depóstos quncenales vencdos de $ c/u en un fondo que rnde el 9.024% anual convertble quncenalmente. Determne durante qué tempo (años) deberá estar efectuando esos depóstos. S = $33, = $ j = 9.024% m = 24 = 9.024/24 = 0.376% quncenal n =? t =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [4], se obtene: 33,585 log n = = 60 quncenas log ( ) Medante la fórmula [5] se calcula el tempo peddo ( en años): 60 ( ) = = 2.5 años = 2½ años 24 t años Ejemplo 2 Para acumular $22, un señor efectúa depóstos guales de $2, al fnal de cada mes en una fnancera que abona el.25% mensual. Determne cuántos depóstos será precso hacer para acumular dcha suma y el valor de un depósto adconal en caso necesaro. S = $22, = $2, =.25% mensual n =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [4], se obtene: 22,000 log ,500 n = = depóstos log ( ) Consderaremos que para reunr los $22, se requeren 8 depóstos completos de $2, un depósto adconal que vencerá al fnal del sguente mes 3. Veremos a contnuacón 2 maneras de obtener el valor del depósto adconal: A) D eterm nacón del depósto ad conal m edante una ecuacón de valor =$2,500 S n = S 0 X FF 2 3 =.25% mes x = depósto adconal S = m onto a acum ular = $22, S = m onto de la anualdad (n=8 dep.) La fecha focal se tomará a los 9 meses 3 Se efectuará de esa manera a fn de garantzar que el valor de los depóstos nunca exceda la renta orgnalmente establecda. 9

11 ( ) Cálculo de "S " : [ ] S = 2,500 $20, = Luego, a partr de una ecuacón de valor con FF: a los 9 meses, se obtendrá el valor del depósto adconal: 20, ( ) + x = 22, , x = 22, x = 22, ,58.44 x = $84.56 ESP.: Se requeren 8 depóstos completos de $2, un depósto adconal de $84.56 B) Cálculo del depósto adconal redondeando el valor de "n" obtendo al entero próxmo mayor Como vmos anterormente, susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [4], se obtene: 22,000 log ,500 n = = depóstos log ( ) Como es de suponer, con un valor de " n = 9 " resulta un monto acumulado que excede la suma propuesta: S = 2,500 [( ) ] = $23, Fnalmente, se determna el valor del exceso, obtenéndose el depósto adconal "x" al restarle dcho exceso a la cuantía del últmo (noveno) depósto: Valor del exceso= 23, ,000 = $, Depósto adconal " x" = 2,500, = $84.56 ESP.: Se requeren 8 depóstos completos de $2, un depósto adconal de $84.56 Ejemplo 3 Mlton oque realza depóstos guales por valor de $, al fnal de cada bmestre en una cuenta bancara que abona el 2% compuesto bmestral con el fn de acumular la suma de $3, Determne cuántos depóstos será precso efectuar para alcanzar dcho monto y el valor de un depósto adconal en caso necesaro. S = $3, = $, j = 2% m = 6 = 2/6 = 3.5% bmestral n =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [4], se obtene: 3,900 log ,350 n = = log ( ) depóstos 0

12 Con un valor de " n = 8 " resulta un monto acumulado que excede la suma propuesta: S =,350 [( ) ] = $33, Fnalmente, se determna el valor del exceso, obtenéndose el depósto adconal "x" al restarle dcho exceso a la cuantía del últmo depósto: Valor del exceso= 33, ,900 = $,74.58 Depósto adconal " x" =,350,74.58 = $75.42 ESP.: Se requeren 7 depóstos completos de $, un depósto adconal de $ CÁLCULO DE LA TASA DE INTEÉS En este acápte trataremos sobre el cálculo de la tasa de nterés anual, sempre y cuando sean conocdos el monto "S", la duracón "n" y el valor de la renta "" de una anualdad vencda smple. Ante la mposbldad de despejar a " " de la fórmula [], se procede a obtener su valor por tanteo o por tanteo e nterpolacón. Para desarrollar el proceso de tanteo, trabajaremos con dcha fórmula en el sguente formato: [( + ) ] n = Después de consegur la tasa de nterés por perodo " ", se procede a multplcar dcho valor por la frecuenca de captalzacón de la tasa de nterés "m", a los fnes de obtener la tasa de nterés anual " j ", o sea: S j = m [7] [6] Ejemplo 4 amón Suero ha depostado $, al fnal de cada mes en una cuenta de ahorros, acumulando la suma de $4, al cabo de 8 meses. Qué tasa anual convertble mensualmente ha ganado? S = $4, = $, n = 8 meses =? m = 2 j =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [6], se tene: 8 [( + ) ] 4, = = ,700 Veamos a contnuacón 2 maneras de obtener la tasa de nterés pedda. A) Usando TANTEO e INTEPOLACIÓN TANTEO " " (%) S / a) Asgnamos valores a " " sabendo que lo que se busca es que el segundo membro de la fórmula [6] resulte gual o aproxmadamente gual a b) Como la expresón del prmer membro es un factor de captalzacón, éste depende drectamente de la tasa " " asumda. c) Como se observa, el valor de se encuentra entre los valores y lo cual ndca que el valor buscado de " " estaría entre las tasas 2.3 y 2.4. Luego, medante la nterpolacón se obtene el valor buscado de " ":

13 INTEPOLACIÓN X Establecendo una proporcón con las dferencas (suponendo una varacón lneal de los valores), se calcula el valor de x y, a partr de éste, se obtene el valor de " ". Luego con la fórmula [7] se obtene la tasa anual pedda. x = x = = = x = = 2.34 % j = = %» Tasa anual convertble mensual pedda B) Usando TANTEO TANTEO " " (%) S / a) Asgnamos valores a " " sabendo que lo que se busca es que el segundo membro de la fórmula [6] resulte gual o aproxmadamente gual a b) Como la expresón del prmer membro es un factor de captalzacón, éste depende drectamente de la tasa " " asumda. c) Como se observa, el valor de se encuentra entre los valores y lo cual ndca que el valor buscado de " " estaría entre las tasas 2.3 y 2.4. Probando valores entre 2.3 y 2.4, se encuentra el valor buscado de " ", obtenéndose a contnuacón la tasa anual pedda " j " medante la fórmula [7]: = 2.34 % j = = %» Tasa anual convertble mensual Ejemplo 5 Una persona efectuó depóstos trmestrales vencdos por $, c/u en una cuenta bancara. S al cabo de 4½ años tene en su cuenta la suma de $29,398.20, determne qué tasa anual compuesta trmestral le abonó el banco. S = $29, = $, n = 4.5 4=8 trmestres =? m = 4 j =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [6], se tene: 8 [( + ) ] 29, = = ,000 Procederemos a obtener por tanteo la tasa de nterés pedda: 2

14 TANTEO " " (%) S / a) Asgnamos valores a " " sabendo que lo que se busca es que el segundo membro de la fórmula [6] resulte gual a b) Como la expresón del prmer membro es un factor de captalzacón, éste depende drectamente de la tasa " " asumda. c) Como se observa, el valor de se encuentra entre los valores y lo cual ndca que el valor buscado de " " estaría entre las tasas 5.4 y 5.5. Probando valores entre 5.4 y 5.5, se encuentra el valor buscado de " ", obtenéndose a contnuacón la tasa anual pedda " j " medante la fórmula [7]: : = 5.47 % j = = 2.88 %» Tasa anual compuesta trmestral 4.2 VALO ACTUAL DE UNA ANUALIDAD VENCIDA SIMPLE El valor actual de una anualdad vencda smple "A" es el valor de dcha anualdad calculado en el momento presente, esto es, en su fecha ncal. Se obtene al sumar los valores actuales de cada uno de los pagos desde sus respectvos vencmentos hasta el nco del prmer perodo de la anualdad. A n -2 n - n n = núm ero de perodo s = ta sa de nte rés por perodo = ren ta o pago p eró dco A = valo r actual de la anu aldad Para deducr una fórmula que permta obtener drectamente el valor actual de una anualdad vencda smple "A", nos ubcamos en la fecha ncal y allí efectuamos la sumatora de los valores actuales de los "n" pagos de cuantía ", los cuales se descaptalzan en base a la tasa de nterés " " por perodo de captalzacón: 2 3 A = ( + ) + ( + ) + ( + ) + ) Multplcando ambos membros por ( + ) se tene: A ( + ) = + ( + ) + ( + ) estando membro a membro las expresones B A, se obtene: 2 + A. = ( + ) n Factorzando se tene: A. = [ ( + ) ] n K K+ ( + (A) n+ K K+ ( + ) (B) Despejando a A de la expresón anteror, se obtene la fórmula que permte hallar el valor actual de una anualdad vencda smple: n [ ( + ) ] A = VALO ACTUAL ANUALIDAD VENCIDA SIMPLE [8] n 3

15 Ejemplo 6 Cuál es el valor actual o el valor de una deuda al día de hoy, s la msma se debe saldar medante pagos vencdos de $, durante ½ años, suponendo una tasa de nterés anual del 24% compuesto mensualmente? = $, n =.5 2=8 meses j = 24% m = 2 = 24/2 = 2% mensual A =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [8], se tene: A =,900 8 [ ( ) ] = $28, Ejemplo 7 Calcular el preco de contado de un artículo que puede adqurrse pagando $30, de ncal y $2, al fnal de cada mes durante 2 años, suponendo una tasa de nterés del 2% anual compuesto mensualmente. Inc.= $30, = $2, n = 2 2=24 meses j = 2% m = 2 = 2/2 =.75% mensual PC=? P C V A A P C = Inc al + V A A In cal mes In ca l = $ 30, = re n ta = $ 2, P C = p re co d e c on ta do V A A = va lo r a c tu a l d e la a n u a ld a d Para obtener el preco de contado "PC" se deben referr (o descaptalzar) todos los pagos a la fecha ncal. Esto es, al pago ncal (se queda gual debdo a que vence allí) se le añaden las 24 mensualdades de $2, descaptalzadas (las cuales estamos dentfcando con "VAA"), resultando: PC Incal + VAA Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [9], se tene: = [9] PC = 30, , [ ( ) ] = $84,

16 Ejemplo 8 Un solar valorado en $850, se puede adqurr medante un pago ncal y mensualdades vencdas por $3, durante 5 años. S la tasa de nterés aplcada es de % mensual, determne la cuantía del pago ncal. PC= $850, = $3, n = 5 2 = 60 meses = % mensual m =2 Incal =? Despejando de la fórmula [9] resulta la expresón con la cual se obtene la cuantía del pago ncal: Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [0], se tene: Incal = 850,000 3, Incal = PC VAA [0] 60 [ ( + 0.0) ] 0.0 = $249, Ejemplo 9 (anualdad dferda smple) El valor de una motoccleta se puede saldar medante un pago ncal de $5, y 5 abonos mensuales de $4,2.0, vencendo el prmero dentro de 4 meses. Determne el preco de contado de la motoccleta, suponendo una tasa de nterés del 24% anual convertble mensualmente. Inc.= $5, = $4,2.0 n = 5 meses j = 24% m = 2 = 24/2 = 2% mensual PC=? PC Inc = $5,880 n = 3 A3 =$4,2.0 n = mes = 2% Pago ncal = $5, = renta = $4,2.0 = tasa de nterés por perodo = 2% PC = preco de contado A 3 = valor actual anualdad vencda smple con duracón gual a 5 perodos Para obtener el preco de contado "PC" se deben referr (o descaptalzar) todos los pagos a la fecha ncal. Esto es, al pago ncal (se queda gual debdo a que vence allí) se le añaden las 5 mensualdades de $4,2.0 descaptalzadas. Ahora ben, como los 5 pagos ncan en el mes #4, estamos ante una anualdad dferda 4, la cual podemos analzar como una anualdad vencda cuyos nco y fnal están defndos en el dagrama con los puntos azules. Véndolo así, refermos las 5 mensualdades de $4,2.0 hasta el mes #3 medante la fórmula [8], resultando "A3" y a contnuacón se descontará dcho valor a nterés compuesto hasta la fecha "0" para proceder fnalmente a sumárselo al pago ncal, obtenéndose así el preco de contado "PC" : A 3 = 4,2.0 5 [ ( ) ] = $66, PC = 5, , (+ 0.02) 3 = $4, Una ANUALIDAD DIFEIDA es aquella en la que se estpula que el prmer pago se efectúa después de transcurrdo certo número de perodos. Sus elementos (monto, valor actual, plazo, valor de la renta, etc.) se obtenen consderándola como una anualdad nmedata (vencda o antcpada), usándose para ello las fórmulas correspondentes a ésta. 5

17 4.2. CÁLCULO DE LA ENTA Esta vez de lo que se trata es de obtener el valor de la renta o de los pagos peródcos "", partendo de un valor actual específco de una anualdad vencda smple "A", de una duracón "n" y de una tasa de nterés por perodo " ". En tales casos, el cálculo de la renta se realza con la expresón que resulta al despejar a "" de la fórmula [8]: A. = n [ (+ ) ] VALO DE LA ENTA [] El uso de esta fórmula aplca para la obtencón de la cuantía del pago peródco fjo (captal + nterés) con el que se saldaría una deuda "A", así como para el cálculo del valor de la renta fja que se recbría al realzar una nversón "A" durante un plazo determnado. Ejemplo 20 Una persona adquere una computadora valorada en $29, y acuerda pagarla medante 0 mensualdades vencdas e guales. Cuánto tendrá que pagar cada mes s le aplcan una tasa de nterés del 30% anual captalzable mensualmente y se la entregan sn pago ncal? Qué nterés total envuelve dcho fnancamento? PC= A = $29, j = 30% m = 2 = 30/2 = 2.5% mensual n = 0 meses =? a) Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [], se tene: 29, [ ( ) = = 0 ] $3,404.9 b) El nterés total que envuelve el fnancamento se obtene al restarle la deuda "A" al total pagado "n." : I t = n. A Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [2], se tene: I t = 0 3, ,800 = $4, [2] Ejemplo 2 S se nvrteran $80, en un fondo que abona el 2% compuesto trmestralmente con el fn de retrar sumas guales al fnal de cada trmestre durante 6 años, determne la cuantía de los retros. A = $80, j = 2% m = 4 = 2/4 = 3% trmestral n = 24 trmestres =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [], se tene: 80, [ (+ 0.03) ] = = 24 $0, Con esta fórmula tambén se obtene el nterés ganado al realzar una nversón cuya fnaldad sea recbr una renta fja. En este caso, el nterés total vendría dado por la dferenca del total que se proyecta recbr menos la suma nvertda. 6

18 Ejemplo 22 Lus Lugo compra un apartamento valorado en $2,400,000.00, pagando un 60% del valor por concepto de ncal y fnancando el resto para saldarlo medante mensualdades vencdas en un plazo de 5 años. S la tasa de nterés aplcada es de un 8% anual convertble mensual, determne la cuantía del abono ncal y de la cuota fja mensual a pagar. PC = $2,400, Incal = 60% PC j = 8% m = 2 = 8/2 =.5% mensual t = 5 años n = 5 2 = 80 meses =? a) Cuantía del abono ncal = ,400,000 = $,440, b) Valor a fnancar = A = PC Incal = 2,400,000,440,000 = $960, Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [], se tene: 960, = = $5,460.04» Valor de los pagos mensuales 80 [ (+ 0.05) ] Ejemplo 23 Sobre la compra del apartamento planteada en el Ejemplo 22, determne: a) Cuál es el balance de la deuda justamente después de efectuado el pago #72? b) Cuánto se le ha abonado a la deuda hasta ese momento? c) A cuánto ascenderían los pagos mensuales, s el balance de la deuda obtendo anterormente se acordara saldar en un plazo de 4 años? a) Para obtener el balance de la deuda justamente después de efectuado el pago #72, basta con descontar (a esa fecha) todos los pagos que faltan por efectuar. Como en total eran 80 mensualdades y se han efectuado 72, entonces restan 08 pagos de $5,460.04, los cuales se descaptalzan medante la fórmula [8], resultando: 08 [ ( ) ] = $824, A = 5,460.04» Balance de la deuda justo después del pago # b) Aunque hasta ese momento se han efectuado 72 pagos por valor de $5, c/u, a la deuda sólo se le ha abonado una cantdad gual a la dferenca entre el valor del fnancamento menos el balance de deuda ya obtendo: Valor abonado = 960, , = $35,767.3 c) Susttuyendo: A = $824, =.5% mensual y n = 4 2 = 48 meses en la fórmula [], se obtene: 824, = = $24,2.83» Valor de los nuevos pagos mensuales 48 [ (+ 0.05) ] 7

19 Ejemplo 24 Sergo Lorenzo compra un auto nuevo valorado en $645, y le recben uno usado por $225, como pago ncal, aceptando saldar la suma restante medante el pago de 36 mensualdades con ntereses al 30% anual convertble mensualmente. Determne la cuantía de la mensualdad, s: a) El prmer pago se realza dentro de un mes (anualdad vencda smple) b) El prmer pago se realza dentro de 3 meses (anualdad dferda smple) PC = $645, Incal = $225, j = 30% m = 2 = 30/2= 2.5% mensual n = 36 meses =? Valor a fnancar = A = PC Incal = 645, ,000 = $420, a) Como este caso corresponde a una anualdad vencda smple, la cuota fja mensual a pagar se obtene drectamente medante la fórmula []: 420, = = $7,829.66» Valor de los pagos mensuales 36 [ ( ) ] b) Como este caso corresponde a una anualdad dferda smple, procederemos a analzarla como una anualdad vencda cuyos nco y fnal están defndos en el dagrama con los puntos azules. Véndolo de ese modo, captalzamos la deuda hasta el mes #2 (nco de la anualdad vencda), resultando "A2" (valor de la deuda a los 2 meses): A = $420, =? n = 2 A 2 n = = 2.5% 38 mes Deuda ncal = $420, j = 36% m = 2 = tasa de nterés por perodo = 2.5 % A2 = valor actual anualdad vencda smple con duracón gual a 36 perodos = renta =? A 2 = 420,000 ( ) 2 = $44, Fnalmente, el valor de la mensualdad "" de la anualdad vencda smple de 36 meses (que se nca en el mes #2 y termna en el mes #38) se obtene medante la fórmula []: 44, = = $8,732.29» Valor de los pagos mensuales 36 [ ( ) ] 8

20 4.2.2 CÁLCULO DEL PLAZO O DUACIÓN S se conoce el valor actual "A" de una anualdad vencda smple, la tasa de nterés por perodo " " y el valor de la renta "", puede calcularse el valor de "n", o sea, el número total de perodos (o de pagos) de la anualdad, medante la expresón que resulta al despejar a "n" de la fórmula [8]: A log n = VALO DE LA DUACIÓN [3] log (+ ) Dado que "n" representa el número total de perodos, por consguente s se qusese el tempo expresado en 6 años se procedería a dvdr el valor obtendo entre la frecuenca de los pagos (o de captalzacón de la tasa de nterés) "m", o sea medante la fórmula [5]: n t( años ) = m Ejemplo 25 Cuántos pagos trmestrales vencdos de $ deberán efectuarse para cancelar una deuda de $7,402.74, s la msma se contrajo con ntereses a razón del 2% trmestral? A = $7, =$ = 2% trmestral m = 4 n =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [3], se tene: 7, log n = = 2 pagos log (+ 0.02) Ejemplo 26 Una deuda por $43,35.00 contraída hoy se va a lqudar medante pagos guales de $3,00.00 a efectuarse al fnal de cada quncena. S la tasa de nterés aplcada es de un 2% anual captalzable quncenalmente, determne el número de pagos completos y el valor de un pago complementaro (en caso necesaro) requerdos para saldar la deuda. A = $43,35.00 =$3,00.00 j = 2% m = 24 = 2/24 = 0.5% quncenal n =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [3], se tene: 43,35 log ,00 n = = pagos log ( ) Consderaremos que para saldar los $43,35.00 se requeren 4 pagos completos de $3, un pago complementaro adconal que vencerá al fnal de la sguente quncena 7. 6 Después que se tene el tempo expresado en años puede hacerse la conversón a cualquer otra undad (meses, quncenas, semanas, etc.). 7 Se efectuará de esa manera a fn de garantzar que el valor de los pagos nunca exceda la renta orgnalmente establecda. 9

21 Veremos a contnuacón 2 maneras de obtener el pago complementaro: A) Determnacón del pago complementaro medante una ecuacón de valor A n = 5 =$3,00 FF 0 A X 2 3 = 0.5% 4 5 qunc x = pago complementaro A = deuda a saldar = $43,35.00 A = valor actual anualdad (n=4 pagos) La fecha focal se tomará en la fecha 0 Calculamos el valor de "A " descaptalzando los 4 pagos de $3,00.00 hasta la fecha "0 : 4 [ ( ) ] $4, A = 3,00 = Luego, se plantea la gualdad entre la deuda "A" y los 5 pagos medante una ecuacón de valor con FF en la fecha "0. A partr de ésta se obtene el valor del pago complementaro: 4, x ( ) 5 = 43, , x = 43, x = 43, , x =,500.0 x =, x = $,66.53 ESP.: Se requeren 4 pagos completos de $3, un pago complementaro de $,66.53 B) Cálculo del pago complementaro redondeando el valor "n" obtendo al entero próxmo menor Como vmos anterormente, susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [3], se obtene: 43,35 log ,00 n = = pagos log ( ) Como es de suponer, con un valor " n = 4" resulta un valor actual "A " que no compensa la deuda contraída: 4 [ ( ) ] $4, A = 3,00 =

22 Sendo así, se genera un valor faltante que se obtene de la dferenca de " A A ": Valor faltante = 43,35 4,84.99 = $,500.0 Fnalmente, la cuantía del pago complementaro se obtene al captalzar el valor faltante desde la fecha "0 hasta la fecha de vencmento de éste (" n = 5"): Pago complementaro " x" =,500.0( ) 5 = $,66.53 ESP.: Se requeren 4 pagos completos de $3, un pago complementaro de $,66.53 Ejemplo 27 Plar Moreno nverte $58, en una cuenta de nversones que abona el 9% compuesto semestralmente con el fn de efectuar retros guales de $9, al fnal de cada semestre. Determne cuántos retros completos podrá hacer y, s es precso, el valor de un retro adconal. A = $58, =$9, j = 9% m = 2 = 9/2 = 4.5% semestral n =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [3], se tene: 58,000 log ,000 n = = retros log ( ) Consderaremos que podrá efectuar 35 retros completos de $9, un retro adconal al fnal del sguente semestre. Como es de suponer, con un valor " n = 35" resulta un valor actual "A " menor que la nversón efectuada: 35 [ ( ) ] $57,49. A = 9,000 = Sendo así, se genera un valor faltante que se obtene de la dferenca de " A A ": Valor faltante = 58,000 57,49. = $ Fnalmente, la cuantía del retro adconal se obtene al captalzar el valor faltante desde la fecha "0 hasta la fecha de vencmento de éste (" n = 36" ): etro complementaro " x" = ( ) 36 = $4,50. ESP.: Podrá efectuar 35 retros completos de $ un retro adconal de $4,50. 2

23 4.2.3 CÁLCULO DE LA TASA DE INTEÉS Examnaremos a contnuacón el proceso de cálculo de la tasa de nterés anual, sempre y cuando sean conocdos el valor actual "A", la duracón "n" y el valor de la renta "" de una anualdad vencda smple. Ante la mposbldad de despejar a " " de la fórmula [8], se procede a obtener su valor por tanteo o por tanteo e nterpolacón. Para llevar a cabo el tanteo, trabajaremos con dcha fórmula en el sguente formato: n [ ( + ) ] Después de consegur la tasa de nterés por perodo ", se procede a multplcar dcho valor por la frecuenca de captalzacón de la tasa de nterés "m" a fn de obtener la tasa de nterés anual " j ", o sea, medante la fórmula [7]: = j = m A [4] Ejemplo 28 Para saldar una deuda de $24, contraída hoy, se deberán efectuar pagos guales de $, al fnal de cada trmestre durante 5 años. Determne con qué tasa anual convertble trmestralmente se estaría cargando la operacón. A = $24, = $, n = 5 4 = 20 trmestres =? m = 4 j =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [4], se tene: 20 [ ( + ) ] = 24,630, = Veamos a contnuacón 2 maneras de obtener la tasa de nterés pedda. a) Usando TANTEO e INTEPOLACIÓN TANTEO " " (%) A / a) Asgnamos valores a " " sabendo que lo que se busca es que el segundo membro de la fórmula [4] resulte gual o aproxmadamente gual a b) Como la expresón del prmer membro es un factor de descaptalzacón, éste depende nversamente de la tasa " " asumda. c) Como se observa, el valor de se encuentra entre los valores y 3.24 lo cual ndca que el valor buscado de " " estaría entre las tasas 4.3 y 4.4. Luego, medante la nterpolacón se obtene el valor buscado de " ": INTEPOLACIÓN X

24 Establecendo una proporcón con las dferencas (suponendo una varacón lneal de los valores), se calcula el valor de x y, a partr de éste, se obtene el valor de " ". Luego con la fórmula [7] se obtene la tasa anual pedda. x = x = = = x = = 4.38 % j = = 7.52 %» Tasa anual convertble trmestral pedda b) Usando TANTEO TANTEO " " (%) A / a) Asgnamos valores a " " sabendo que lo que se busca es que el segundo membro de la fórmula [4] resulte gual o aproxmadamente gual a b) Como la expresón del prmer membro es un factor de descaptalzacón, éste depende nversamente de la tasa " " asumda. c) Como se observa, el valor de se encuentra entre los valores y 3.24 lo cual ndca que el valor buscado de " " estaría entre las tasas 4.3 y 4.4. Probando valores entre 4.3 y 4.4, se encuentra el valor buscado de " ", obtenéndose a contnuacón la tasa anual pedda " j " medante la fórmula [7]: = 4.38 % j = = 7.52 %» Tasa anual convertble trmestral Ejemplo 29 Qué tasa anual convertble bmestralmente se le cobró a un crédto de $50, s el msmo fue saldado medante 8 pagos bmestrales vencdos de $3,672.42? A = $50, = $3, n = 8 bmestres =? m = 6 j =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [4], se tene: 8 [ ( + ) ] 50,000 = = , Procederemos a obtener por tanteo la tasa de nterés pedda: TANTEO " " (%) A / a) Asgnamos valores a " " sabendo que lo que se busca es que el segundo membro de la fórmula [4] resulte gual o aproxmadamente gual a b) Como la expresón del prmer membro es un factor de descaptalzacón, éste depende nversamente de la tasa " " asumda. c) Como se observa, el valor de se encuentra entre los valores y lo cual ndca que el valor buscado de " " estaría entre las tasas 3. y 3.2. Probando valores entre 3. y 3.2, se encuentra el valor buscado de " ", obtenéndose a contnuacón la tasa anual = 5.47 pedda % " j " medante la fórmula [7]: = 3.2 % j = = 8.72 %» Tasa anual convertble bmestral 23

25 Ejemplo 30 (Eleccón entre varas opcones de pago) Lucía Sánchez resultó ganadora en el sorteo de una lavadora nueva y como no pensa usarla decde venderla, recbendo las sguentes ofertas: a) 2 mensualdades vencdas de $2, una mensualdad adconal (#3) de $, b) 8 mensualdades vencdas de $, Cuál oferta le convene más, consderando una tasa de nterés del 4.4% anual convertble mensualmente? Las 2 opcones de pago no podrían compararse tal como están expresadas, pues los valores envueltos vencen en fechas dferentes. Para poder realzar la comparacón se referrán los pagos a la fecha ncal (ya que en ésta es que se debe tomar la decsón) para obtener los Valores de Contado Equvalentes (VCE) correspondente a cada opcón, procedéndose luego a selecconar la que arroje el mayor mporte a recbr. ) OPCIÓN a V C E a n = 3 =$2, 00 A =.2% 2 3 m es $,900 = $ 2, = 4.4 / 2 =.2% VCE a = 2,00 2 [ ( ) ] 0.02 A = v alor actual a nua lda d (n =2 pag os) V C E : v a lor d e co nta do equv ale nte +,900( ) 3 = $24, A 2) OPCIÓN b VCEb =$, =.2% 8 mes = $, = 4.4 / 2 =.2% VCE : valor de contado equvalente VCE b =,525 8 [ ( ) ] 0.02 = $24, ESPUESTA : Al comparar los valores VCEa y VCEb, se concluye en que se debería elegr la OPCIÓN a porque arroja el mayor mporte a recbr. 24

26 Ejemplo 3 (Eleccón entre varas opcones de pago) Una persona que se dspone a comprar un equpo de músca valorado en $38,000.00, puede elegr entre 3 planes de pago. Dga cuál le convene más s la tasa de nterés del mercado es de un 30% anual captalzable mensualmente: a) De contado con un 6% de descuento b) Un pago ncal del 25% del valor y 0 mensualdades vencdas de $2, c) Un pago ncal de $3, y 6 mensualdades de $4, ncando a los 4 meses de efectuado el pago ncal. Las 3 opcones de pago no podrían compararse tal como están expresadas, pues los valores envueltos vencen en fechas dferentes. Se obtene el Valor de Contado (VC) o Valor de Contado Equvalente (VCE) correspondente a cada opcón, procedéndose luego a selecconar la que arroje la menor erogacón. ) OPCIÓN a VC a $35,720 j =30% m=2 0 meses VC a = $38,000 ( 0.06) = $35,720.00» Este sería el valor a pagar de contado. 2) OPCIÓN b VCEb 0 A Incal =$2, = 2.5% 0 meses Incal = ,000=$9, = renta = $2, A = valor actual de la anualdad VCE = valor de contado equvalente VCE b = 9, ,950 0 [ ( ) ] = $35,38.59 A 25

27 3) OPCIÓN c 0 VCEc n = 3 =$4,495 A Incal meses = 2.5% Incal = $3, = renta = $4, A = valor actual de la anualdad VCE = valor de contado equvalente VCE c [ ( ) = 3, , ] ( ) 3 = $35,99.2 A ESPUESTA : Al comparar los valores VCa, VCEb y VCEc, se concluye en que se debería elegr la OPCIÓN b por nvolucrar la erogacón de menor cuantía. Ejemplo 32 (Ecuacones de valores equvalentes) Una deuda de $0, contraída hoy se debe pagar medante un abono de $30,000 dentro de 4 meses, 5 abonos mensuales de $7, ncando a los 7 meses y un últmo pago a los 24 meses. Cuál es la cuantía del pago fnal, s la tasa de nterés cargada a la operacón es de un 3.4% mensual? n = 24 $0,000 = 3.4% FF meses $30,000 n = 5 pagos =$7,250 S X n = 3 Como vemos en el dagrama temporal, la deuda la hemos ndcado con una flecha haca arrba y los pagos con flechas haca abajo. Para plantear la gualdad de los dos conjuntos de captales, se obtene el monto o el valor actual de la anualdad dferda, es decr, debemos trabajar con una sola suma que la represente (en este caso usaremos el monto "S"). Colocando la fecha focal al fnal, la ecuacón de valor resultante será: n = 20 0,000 ( ) 24 = 30,000( ) 20 + [( ) 7, ] ( ) 3 + X S 26

28 22, , = 22,5.5 = 202, X X X = $9,59.59» Valor del pago fnal Ejemplo 33 (Ecuacones de valores equvalentes) Víctor uz efectuó los sguentes depóstos: $3, al momento de la apertura de una cuenta bancara y $ mensuales en los próxmos 0 meses. Luego realza los sguentes retros: $, al cabo de 2 meses y 6 mensualdades de $ ncando a los 4 meses de la apertura de la cuenta. S a contnuacón la cuenta no regstra n depóstos n retros, determne su balance a los 26 meses, s la msma abona una tasa del 2% compuesto mensual. n = 26 n = 6 $3,800 =$700 n = 0 depóstos S = % FF meses $,000 n = 6 retros X =$500 S2 n = 7 n = 4 Como vemos en el dagrama temporal, los depóstos se han ndcado con flechas haca arrba y los retros con flechas haca abajo (el balance peddo es lo que tene la cuenta dsponble para retrar a los 26 meses). Para plantear la gualdad de los dos conjuntos de captales, se obtene el monto o el valor actual de las anualdades, es decr, debemos trabajar con una sola suma que represente cada anualdad (en este caso usaremos el monto, por tanto tendremos a "S" y "S2" ). Colocando la fecha focal al fnal, la ecuacón de valor resultante será: 3,800 ( ) 26 [( + 0.0) ] (+ 0.0) 6 =,000( + 0.0) 4 + [( + 0.0) ] ( ) 7 + X S S 2 3,509.4 = 4, X 3, , = X X = $9,062.04» Balance de la cuenta a los 26 meses 27

29 5. ANUALIDAD VENCIDA GENEAL Una anualdad vencda general es aquella cuyos pagos vencen al fnal de cada uno de los perodos que la componen, sendo éstos dferentes de los perodos de captalzacón de los ntereses. Ejemplo de este tpo de anualdad lo consttuye el conjunto de 0 depóstos guales de $, c/u a efectuarse al fnal de cada trmestre en una cuenta de ahorros que abona el 0% de nterés anual convertble mensualmente. 5. CÁLCULO DEL MONTO, VALO ACTUAL, ENTA, PLAZO Y TASA DE INTEÉS DE UNA ANUALIDAD VENCIDA GENEAL La forma más senclla de trabajar con una anualdad vencda general es transformarla en una vencda smple, y luego utlzar las fórmulas ya conocdas de ésta para determnar los valores deseados. Una manera de realzar dcha modfcacón consste en utlzar la tasa de nterés " j " captalzable " m " veces por año, equvalente a la tasa de nterés anual conocda j " captalzable m " veces por año 8 : " 2 " 2 m 2 m j + m = 2 j m TASA DE INTEÉS EQUIVALENTE [5] 2 S la tasa equvalente deseada fuese una tasa efectva (ésta se dentfcaría con " j e " 9 y " m " sería gual a ), entonces se podría trabajar con la expresón smplfcada de la fórmula anteror que resulta al susttur a " m " por : j + m 2 2 j TASA DE INTEÉS EFECTIVA [6] e 2 = m Ejemplo 34 Cuál es el monto y el valor actual de un conjunto de 20 pagos bmestrales vencdos de $3, s la tasa de nterés aplcada es de un 20.5% anual compuesto trmestralmente? = $3, n = 20 bmestres j = 20.5% m = 4 (trmestral) S =? A =? Como estamos ante una anualdad vencda general, prmeramente debemos obtener una tasa de nterés compuesta bmestralmente que sea equvalente a la tasa de nterés dada, a fn de transformar la anualdad en una vencda smple: j 2 = 20.5% j =? m 2 = 4 m = 6 Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [5], se tene: (4 6) j = = % = + 4 O sea, emplearemos: j = % m = 6 = / 6 = 3.388% bmestral 8 S sempre se dentfca con j 2 la tasa de nterés compuesto conocda, entonces nvarablemente se podrá obtener la tasa de nterés equvalente con la fórmula de j, o sea, con la fórmula [5]. 9 Al hallar una tasa j con una frecuenca m =, es decr, una tasa efectva, se camba el subíndce por e y se representa con j e. 28

30 a) Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [], se obtene el valor del monto de la anualdad: S ( ) = 3, = $83, b) Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [8], se obtene el valor actual de la anualdad: A = 3,000 ( ) = $43,072.7 Ejemplo 35 Para la compra de un automóvl usado valorado en $350, se paga un ncal del 40% y el resto con 36 mensualdades vencdas. A cuánto ascende cada mensualdad s se carga un 27.85% de nterés anual convertble semanalmente? A cuánto ascenden los ntereses? PC = $350, Incal = 0.40 PC = $40, Valor de la deuda = A = PC Incal =$20, n= 36 meses j = 27.85% m = 52 (semanal) =? I =? Como estamos ante una anualdad vencda general, prmeramente debemos obtener una tasa de nterés compuesta mensualmente que sea equvalente a la tasa de nterés dada, a fn de transformar la anualdad en una vencda smple: j 2 = 27.85% j =? m 2 = 52 m = 2 Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [5], se tene: (52 / 2) j = = % = + 52 O sea, emplearemos: j = % m = 2 = / 2 = 2.346% mensual a) Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [], se obtene el valor de la renta "" : 20, [ ( ) ] = = 36 $8,697.6 b) Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [2], obtenemos la cuantía de los ntereses: I t = 36 8, ,000 = $03,

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